El sz r vizsg ljuk meg azt a felt telt, hogy a h rmasok egy ltal n lefedik-e az sszes pontot. Ha nem, k szen 51. K l nben a h rmasok legfeljebb 3 log

Átírás

1 El sz r izsg ljuk meg t felt telt, h rmsok ltl lefedik-e sszes potot. H em, k sze 5 K l be h rmsok legfeljebb 3 log potot fedhetek le t bbsz r se. z szerese lefedett gyuk. trtlm h rmsokt midek ppe be kell ei redszerbe. H ezek h rmsok em diszjuktk potokt megit csk k sze gyuk. femrd h rmsokb l k okt, melyek diszjuktk p rok t, log, megl s tht -e eddig le em fedett potok potos fed se. Miel ezekb l h rmsokb l legfeljebb log r szhlm lsztht ki, ez megl s tht mx. eset megizsg l s l. Egy megfelel r szgr f j t k, mert poliomi lis m ret s k elle rz se, fesz tett r szgr f s k t 5 sz ezhet, poliom l p sbe megoldht. Teh t feldt bee NP-be. sz el isszezet s: le H cs cs gr f s m N MXF T EN probl m bemeete. G gr f H-t s m g to bbi cs csot, melyeket sszek t k H lmeyi potj l. feldtbeli k le trtlmz H H-b m f ggetle pot, kkor ezek j pottl tt m+ pot p ros gr fot dk. +m. ir yb pedig, h G-be + m pot p ros r szgr f, kkor eek potji k z tt kell le legl bb m sik j potokb l, le ilye cs cs s legl bb m pot H-b l. H H-beli m pot k z tt mee l, ez -el tt h romsz get d, mi em lehet k t sz el sz ezhet gr fb. kkor eek x ; : : : ; x m oole- ltoz k. z x i ig helyettes t s k felelje meg, megfelel h rms 5 fed sek. Mide es potk feleltess k meg oly formul t, mi t fejezi ki, pot tgj-e szer lefede: H potot i ; : : : ; i k -dik h rmsok trtlmz k, kkor (O(k ) m ret ) potos formul: i ^ x i ^ : : : ^ x ik ) _ (x i ^ x i ^ : : : ^ x ik ) _ : : : _ (x i ^ x i ^ : : : ^ x ik ): K pezz k ilye formul kk (x Vil gos, formul potos kkor el g tht ki, h megfelel potos fed s megl s tht. tht ^- t. is, formul kk m rete ( bee szerepl liter lok, illete m eleti jelekek sz m) O(m ). jzetbe szerepl m dszerrel k sz ts k oly 3-NF formul t, mi ugykkor el g thet ki, mit ez formul. Miel kosrtukci kifejez sf b mide csom pothoz ltoz t s 3 ltoz s formul t m ret O(m ) mrd. redel, probl m yil NP -beli. el tjuk, Hmilto-k r probl m Krp rtelembe reduk lht Hmilto- 5 probl m r. e G ir y ttl gr f. djuk G-hez m g h rom cs csot: u; ; -et, k ss k ssze llel t -t -gyel, u-t G r gz tett w cs cs l, -et pedig w szomsz dil. Egy G-beli Hmilto-k r b l gy Hmilto- t j gr fb, ik w-re illeszked w x l t kit r lj k, s helyette beessz k csi lht u w, x, leket. z j gr fb pedig Hmilto- t k t gs le csk u w, illtee k zbe pedig bej rj G cs csit. Miel sszes szomsz dj szomsz dj w-ek is, t G-beli r sze lehet, tk ybe szerepl RH EP Krp-redukci l j b erre speci lis esetre ezeti issz R szhlm sszeg 6 probl m t. (z el tles gek k z tt szerepelek ok, melyek megold sok kompoeseit f; g-be (RH) Vil gos, probl m NP-be : megdott ki lszt sr l ht koy elle rizhet, j -e. 6 igol s hoz megduk X3 X4 Krp redukci t. e V; Y ; : : : ; Y s X3 feldt eh zs g Ebb l megkostru ljuk X4 feledt p ld y t: e t bjv j3c, U V [ f g [ : : : [ f t g p ld y. ui, lefeded V lphlmhoz m g hozz esz k t potot). eek to bb X ij (diszjukt Y i [ f j g (i ; : : : ; s, j : : : ; t). Vil gos, ez kostrukci X3 feldt m ret be poliom id be ( m ret meght roz tgj gyesek sz m: st). z is yil l, V potos kkor grehjtht t -t telb l szer e d dik, PONTY NP: megfelel ki rt kel s lsztht t k. z 6 ehezebb r sz ek bizoy t s hoz megduk X3 P ONT Y Krp-redukci t. z X3 NP-teljess g H p ld y hoz mide es H H h rmsk feleltess k meg x H oole- ltoz t, s k pezz k V; W V (V H3 x H ) kojukt orm lform j oole-kifejez st. poliomm ret : O(jV jjhj; s -ek el rtkk eleget te ki rt kel se ppe V potos fed s ek feleltethet meg s iszot: x H feledtb "ig", H fed s. Teh t megdott lek pez s t yleg Krp-redukci. Rit sim Judit Friedl Ktli Iyos G bor K roy lex s k y P l Pit r M rt R yi jos Sli ttil Simoyi G bor Szb R k Mds djuk ht koy m dszert I f; ; : : : ; g hlm sszes r szhlm k kilist z s r. list mide potos szer szerepelje; list szomsz dos r szhlmok elemsz m k k l bs ge legfeljebb r szhlm djuk ht koy m dszert oly m felt telekek eleget te m term szetes sz mok kilist z s r,. k oly x; y eg szek, m x + y. Elemezz k m dszer id ig y t! melyekhez sz u kezd szelete, h oly w, u w. Hsol u gszelete, h 3. y, u y. feldt, tl ljuk meg [ : ] t mbbe t rolt hossz s g u sz oly dott x, sz, hol f; b; cg. Jsoljuk mi l keesebb sszehsol t st ig yl m dszert eld t s re, x trtlmz-e r ssz k t bc sz t. Elemezz k m dszer k lts gig y t! k Egy szolg ltt helye id be rkezett ; ; : : : gyfeleket kell kiszolg li. Egyszerre csk gyf llel tudk fogllkozi s i kiszolg l s hoz sz ks ges id meyis g t i. Egy dott K kiszolg l si sorred T i (K) jel li i kiszolg l s k befejezt ig eltelt id t. (Pl. h, t 3, t s K ;, mellett T (K) 5 id s g.) kkor dottk M ; : : : ; M muk k H ; : : : ; H ht rid kkel s P ; : : : ; P protokkl. T k fel, mide es el gz s re pr sz ks g k. djuk lgoritmust, mely meght rozz, mely muk kt muk Egy tterembe fel szerele -es t bl, melye illyk rte helyezkedik el. t bl mide sor hoz illete oszlop hoz trtozik - yom gomb, mellyel megfelel sorb (oszlopb) tl lht es illyk rte llpot t szerre lehet t ltoztti ellekez j re. (Egy gombyom sr dott sorb drb oszlopb g k rt k ellszk, l k pedig kigyulldk.) sz et kezdetekor sszes k rte leoltott illete. Sz etbe ebul k ssze-issz yomogtj k gombokt. H y kpcsol ssl tudj t r llpotb eredeti llpotot? ( gombok llpot k, em l tszik rjtuk, megyomt k-e ket issz ll ti dobozb goly k k sz toszt gy, k-dik dobozb ppe k goly esik. djuk optim lis l p ssz m m dszert sszes doboz ki r t s re, h megegedett l p s k etkez : jel lj k ki tetsz leges dott [ : 8] t mb, melybe bszol t t bbs gi elem (oly elem, mib l legl bb 5 t mbbe). eek elemek megtl l s mi l keesebb sszehsol t ssl. Egy sszehsol t s k tf le eredm yt c luk dott chip, melyek k pesek m s tesztel s re k etkez m do: h sszekpcsoluk k t chipet, midk t yiltkozik m sikr l, hib sk tl lt-e. Egy hib tl chip korrekt l felismeri, m sik hib s chip m g hib s chip k rmilye lszt dht. T k fel, chipek t bb, mit fele korrekt. djuk -e, mely - l keesebb feti tesztet hsz l kikeres j chipet. lgoritmust, Egy -es skkt bl mez i piros s k k gyzetet helyez k el. Ezeket oly m do krjuk tredezi, fels sorb piros, ls b k k gyzetek leek, s bl ls srok mrdjo res. Ehhez - lgoritmusok gykorl feldtok eddig beettekt l. zt kell m r csk eld tei, gy mrdt h rmsokkl, melyek sz m legfeljebb 99 Szeptember 3. I. Feldtok Ves lehet. leghosszbb oly l di kezd szelet t, mi be gszelete is. Jsoljuk O() uiform k lts g m dszert. Hmilto-k rr z rht. Jsoljuk m dszert oly K temez s meght roz s r, melyre P T i (K) miim lis. szor tj k.) llljuk el, sszprotuk lehet leggyobb le. fedhet le diszjukt h y X i h rmssl, h U diszjukt lefedhet h y Y ij gyessel. gy sem.) sz m dobozt, s midikb l k ki ugyyi goly t. } dht:, gy Ht rozzuk meg sz ks ges sszehsol t sok miim lis sz m t! ritmetik l p s sor res mez re tolhtjuk lmelyik szomsz dj t. izoy tsuk be, ehhez 36

2 Redezz k m trix sorib elemeket ek sorredbe, mjd ezt k et e oszlopokt redezz k m do. Mutssuk meg, m sodik redez s em rotj el sorok redezetts g t. hsol dott [ : ; : ] k tdimezi s oole () t mb. djuk O( ) k lts g m dszert -beli leggyobb 3. esb l ll gyzet megkeres s re. Potosbb: ht rozzuk meg leggyobb oly k < eg szet, csup dott -es m trix, melybe csk els sorb s els oszlopb k -t l k l b z sz mdtok. c lszer t rol s hoz djuk meg f : [::] [::]! [::] f gg yt, mely i gy j eset Eek (i; j) p rokhoz k l b z f (i; j) rt keket redel. f el ll t s hoz felhsz lht gy lpm elet, k l b z bs-, sg-, mod- s di-f gg y, lmit f gg ykompoz ci m elete. Egy sz mkombi ci s z r h rom heger ek midik -t l -ig szerepelek sz mok. Egy l p sbe tetsz leges sz m s elhelyezked s heger sszefoght s ezek tt ugybb ir yb s gyit elforgtht k. be, tetsz leges kiidul si helyzetb l csup es ll s el rhet c l p sbe s llp tsuk meg izoy tsuk c kosts optim lis rt k t! T k fel, sz m t g pes progrmuk, mi k m ret feldto jelelegi g p k p ltt le. eszerezt k sz zszor gyorsbb sz m t g pet. Ugyo progrmml mekkor feldtot lehet j fut p ltt megoldi, h progrm l p ssz m m ret feldt eset g pe -el () 3 -bel -el r yos? (c) djuk meg t T () f gg yt z rt lkb, mely 3-ht yokr rtelmeze s eleget tesz k etkez 3. felt telekek: () s -re T () 4T (3) + T double umber; typedef mitcsi l(umber ) oid { d,r; umber c; it ( < ) { pritf(" -"); -; } else pritf(" "); if ( < ) { pritf(" %.lf",); retur; } if ; d { do ; while ( r/d,!fmod(,d) ) { r; c++; } c ( c ) { pritf(" %.lf",d); if ( c > ) pritf("^%d",c); } if ( d ) d 3; else d + ; if ( d*d > ) d ; if () 6 F P : M r output le r s is (log!) ( log ) id be ker l, mi expoeci lis iput O(log ) 33. m ret be. em tudjuk (e rt k t rzst yez s felbot s probl m j l); t sejtik, em F P -beli. F P. (c) Nem. e pl. f (x) jxj, teh t f x sz hoz jxj drb esb l ll sz t redeli. H dott x#y, kkor 3 kell zi, y csk -est trtlm-e. (Ez jxj + jyj l p s.) H ige, kkor hossz t is elle rizz k meg seg ts g el: ike etle -esb l kiidul midig megdupl zzuk -ek sz m t, m sik szlgo szlg h yszor dupl ztuk eddig. H lmikor -ek sorozt hosszbb, mit y, bbhgyjuk, ellekez sz ml ljuk, ddig folyttjuk, m g jxj sz m dupl z s em t rt t. k hossz sorozt dupl z s O(k ) l p s. Miel esetbe < jyj ez legfeljebb O(jxjjyj ) l p st ig yel, mi bemeet hossz k poliomj. k il gos, f (x) em sz molht ki jxj-be poliomi lis, hisze m r csk eredm y ki r s hoz M sr szt sz ks ges jxj l p s. is z il gos, RH NP, hisz megfelel I r szhlm j lesz tuk. teljess ghez megmutjuk 4. lehet RH yelet Krp-reduk li RH yelre. e f k etkez lek pez s : (s ; : : : ; s m ; b) 7! (s ; : : : ; s m ; b). Vil gos, ez poliomid be sz molht. To bb P I s i b f s csk kkor, h P I s i b. kkor I. gy l er bre s 3 s lyokb l legfeljebb kett ker lhet l d b. K sz ts k el gr fot, melyek cs csi s lyokk z kkor hsz luk miim lis sz m l d t, h megfelel p ros t s mxim lis. Mxim lis p ros t sokk. gr fokb (em csk p rosokb) lehet poliomid be tl li, gy feldt is megoldht poliom p ros t st (E l rt jobbt is lehet modi, h kihsz ljuk gr f sj toss git. z, l tszik l p sbe. k etkez megold sb l.) mjd Godolkozzuk II. s lyokt cs kke sorredbe, s : : : s. e i, j. H s i + s j, rkjuk ezeket Redezz k l d b, i-t elj k, j-t cs kkets k eggyel. H s i + s j >, i: s ly ed l lesz l d b, elj k i-t H i j, elj r s get rt, megdtuk pkol st (lie ris id be!). eggyel. bel tjuk, ez optim lis: el g megmutti, oly optim lis pkol s, mely l s -et trtlm Most l d k ugy trtlm, mit lttluk jsolt elhelyez s l. Ebb l s -et s esetleg s -et s mi m dszer k l ed l l d j b, kkor mide m s bepkol s l is ed l kell leie, ekkor H k sze gyuk. H pkol s l s t rs s j ( < j < ), kkor il gos, s j s s helyet cser lhet teh t t ll p k korl tot. e ugyis s t rs s. Ekkor s +s j s +s s s +s j s+s j. lk l, szer bbe tuduk elb i oly pkol ssl, melybe s s/gy s ed l. M g izsg ljuk meg tultkt III. FFD ebbe esetbe optim lis eredm yt d. Hsol godoltmeettel, mit el bb meg lehet mutti, z Ez feldt r szhlm sszeg (RH) probl m kicsi s lyokr, h tizs k probl m speci lis esete. 43. kicsis ge k etkez k ppe hsz lht ki: H b > m, kkor ics megold s. b m eset iszot s lyok ismertetett dimikus progrmoz si lgoritmus logritmikus k lts ge O(bl) O(m l) O(l 3 ), hol jzetbe iput hossz ( sz mdtok hossz k sszege). l lklmzuk FFD (First Fit Decresig) m dszert. Ez yil l poliom idej. ll tjuk, 4 mide es l p s be sszes em res l d tele lesz, ki e esetleg utols t. Ezt idukci l lgoritmus kezd eset trii lis. T k fel, els k s ly bepkol s l teljes l ll t s s k + -edik igoljuk. j. H mide l d tele, kkor idukci s l p s trii lis. T k teh t fel, utols l d b s ly m > hely mrd. Tudjuk, m i i : : : ik, hol i l j (l ; : : : ; k). Ez rt j m m g pozit eg sz sz m, s gy m j, teh t k + -edik s ly bef r utols l d b. z ll t s ig kkor is, P : izsg ljuk gig G sszes cs cs r, szomsz dik k z tt -e k m ret klikk. Egy r gz tett 4 mx. log jv (G)j jv (G)j r szhlmt kell megizsg li, k m ret teljes r szgr fot lkotk-e. cs csr () (*) O( ) l p s el gs ges s (**) ( ) l p s sz ks ges. melyhez k oly i; j idexek, [i : i + k; j : j + k] r szt mb mide eleme felelek meg. K z l k kett kkor le sszek te, h sszeg k. Techik pkol sok megfelelek gr fbeli. izoy tsuk be, () log f () (log f ()) (f () > ): f (x) k x k + k x k + : : : + ( k 6 ) ) f () ( k ): (c) + O( ); de 6 O( ): elhgy k zefek idukci l k etkezik ll t s. (d) mx(f (); g()) (f () + g()) (f (); g() > ): FFD-t l legke sb elt r optim lis megold s megezik ele. djuk lgoritmust hoi toryok feldt k megold s hoz. Mekkor lgoritmus id ig ye? Mit csi l k etkez c progrm? mikor sszes s ly bepkoltuk. Vil gos, keesebb l d b eyi sszs ly em f r bele. 4 V (G) mide es dlog e elem r szhlm r O(log ) izsg lttl meg llp tht, f ggtele pot- lkot-e. r szhlmok dlog redszert e dlog O( e O(log ) ), gy O(log ) : o() k lts g sz m lgoritmusuk, teh t probl m felte s mitt em lehet NP -teljes. } while (! ); } Midezt jv (G)j db. cs csr kell megcsi li. Teh t csk kkor lehet NP -teljes, h P NP. Elemezz k progrm fut si idej t! 4 tmutt s jzetbe! Mit csi l, s mekkor id ig ye k etkez lgoritmusk (feltehetj k, -ht y)? 35

3 H y ; y ; : : : ; y k NP de ci j k megfelel (poliomm ret s poliomid be elle rizhet ) t k rr, x ; x ; : : : ; x k, kkor k sz m, el g si pozici k sorozt, lmit y ; y ; : : : ; y k t k sorozt t r-id t tel lpj l tezik oly c kosts, T IME(c 3 log ) T IME( log c 3 log ) T IME( 3 log c ) P. e M g p, mely x iput eset kisz m tj T (jxj)-et, mjd szimul lj M x -ek els T (jxj) l p s t iputo. M midig meg ll s seg ts g el el lehet m r d tei -be trtoz s probl m j t. x fel, M oly TG, mely -et T () id be felismeri. e M M x lmely x I sz r. T k M-et x iputo. felte s mitt x esetbe M M x mx. T (jxj) l p sbe elfogdj x-et, Futtsssuk de ci j k. z x 6 esetbe iszot de ci j szerit M M x elfogdj x-et, mit em elletmod hisze yelet ismeri fel. Elletmod s. tehet, i ris keres ssel O(log ) l p sbe, M-et hsz l keress k meg t legkisebb k sz mot, melyre jk!. Ekkor eset pr msz m. K l be 6 lko(k; ) 6, l di oszt j -ek. z euklideszi lgoritmussl k ) ritmetiki m elet) sz m tsuk ki teh t lko(k; )-et, mjd lklmzuk rekurz e eddigi elj r st (O(log )-re, lmit lko(k; )-re. Nyil sszese mx. yiszor kell ezt elj r st megh i, h y lko(k; -ek, ez pedig O(log ). sszese teh t O(log )-szer sz ks g M h s r, lmit pr mt yez je ) ritmetiki m eletet gz k el O(log ) m ret sz moko. O(log V k sorr G gr f V cs csit. H cs cs s hozz illeszked lek elhgy s l yert gr fb mx. kisebb, mit eredeti gr fb (ezt P seg ts g el llp thtjuk meg), kkor G gr f mide mx. klikkm ret klikkj be bee. K l be hgyjuk el -t, s ism telj k elj r st. H m r ics elhgyht cs cs, m ret mx. m ret klikket. Mx. jv j iter ci r ( s P -h sr) sz ks g. kptuk Egy megold s lesz t. Miel f-ek eg sz gy ke oszt j kosts tgk, ez rt m rete ( rt k ek sz mjeiek sz m) legfeljebb m rete lehet, teh t poliomm ret, s f-be l bszol t Geer ljuk lmilye sorredbe f; : : : ; mg hlm r szhlmit, s sz moljuk meg okt, melyekre sszegez si felt tel teljes l. Nyil l, r gz tett r szhlmr felt tel elle rz se poliom feti k etkez szre tel lpj : H G sszef gg, kkor G sz ezhet k t sz el () G-ek tetsz leges kiidul utk met p ros-p rtl sz ez s j sz ez s. potj b l G ppe kkor -be, h el tuduk bel le hgyi legfeljebb let gy, kpott gr f em sszef gg. mide E-beli p rr lie ris id be izsg lht (pl. m lys gi bej r ssl). Ez N zz k gig G mide es l re gpotokt trtlm mx. klikkek m ret t, m gpedig szer e gy, megizsg ljuk gpotok szomsz dik sszes r szhlm t, klikket lkotk-e. felte s eze hlmok sz m lek t legfeljebb log jv (G)j jv (G)j, gy sszese O(jE(G)jjV (G)j ) esetet kell mitt s legkedez bbet ( leggyobbt, mi klikket lkot) ki lszti. megizsg li, Iduljuk ki tetsz leges cs csb l, s dobjuk ki szomsz dit. mrd kb l lsszuk tetsz leges s dobjuk ki k szomsz dit is, s gy to bb. Miel cs cs be tel el mx. 3 m sik cs csot cs csot, V lsszuk to bb em b thet f ggetle lredszert (p ros t st). Ez p ld ul tk ybe sok f ggetle let keres moh m dszerrel lek sz m l r yos l p sbe megtehet. T k fel, k drb let kptuk. z lredszer gpotji (k ilye ) yil lefogj k sszes let, lmit is f ggetle lesz, gr f sszes l t em lehet k- l keesebb cs ccsl lefogi, hisze m r ki lsztott lredszer ket ig ) Hmilto-k r let trtlm e + k z l. z sszes lehets ges l r szgr f sz m e 3. +, poliomi lis. Egy ilye r szgr fr l poliom l p sbe elle rizhet, Hmilto-k rt + H els fok potj gr fk, kkor ics Hmilto-k r. m sodfok potokt elhgyhtjuk k zetle l b) k t szomsz dot. Egy ilye l p s ut mid lek, mid cs csok sz m -gyel cs kke, gy sszek te e + el tles g. z eredm y oly pot G gr f, melybe e + s megmrd pot fok legl bb 3. Ez iszot t jeleti, e 3, mib l. Err l kosts m ret mide -r l kell eld tei, -e bee Hmilto-k r. Ez pedig kosts l p sbe megoldht. redukci lie ris G ig yel, sszese teh t O() id. l p st kitudj(s; t; : iteger) : boole; fuctio begi the if l(s; t) the if retur(ig) else retur(hmis); i : to V do for kitudj(s; i; di ) d kitudj(i; t; di ) the if retur(ig); retur(hmis) ed; rjuk rekurz f gg yh so lpul lgoritmust, mi -edik Fibocci-sz mot ht rozz meg! Meyi l p ssz m? dott bites M term szetes sz m. Jsoljuk (-be) poliomi lis idej m dszert b 3p Mc kisz m t s r. becsl st m dszer k lts g re. djuk Jsoljuk ht koy lgoritmust blog 3 c kisz m t s r, hol dott, bi ris br zolt pozit eg sz! m dszer k lts g t! Elemezz k Jsoljuk lgoritmust s b eg szek (bi ris br zol) szorzt k kisz m t s r l bbik szerit: z ; b eg szeket [ : ] illete [ : ] oole t mb k trtlmz k; ezeket csk olsi szbd. (i) z eredm y ( b szorzt) [ : ] oole t mbbe rd ; eek mide poz ci j b csk szer lehet (ii) ri. To bbi mukter letk t O(log c ) bit t rol s r lklms helyet hsz lhtuk, hol c pozit kosts. (iii) Redezz k k etkez list t kupcos redez s, gyorsredez s, s sszef s l ses redez s seg ts g el: ; 9; ; 5; 6; 8; ; ; 4; Potos h y sszehsol t s kell hhoz, elem t mbb l oly tgot keress k, mi t mb eleme k z trtozik? ( t mb redezett uierzum k l b z elem b l ll, de mg em legkisebb redezett. z eredm y b rmelyik lehet legkisebb t z k z l: teh t pl. els pp gy megfelel, mit felt tle l tizedik.) } Egy csup k l b z eg szekb l ll sorozt bitoikus, h el sz r, ut pedig fogy, gy ford t: el sz r ut. P ld ul (; 3; 7; ; ; 9; 5), (9; 7; 5; 4; 6; 8) s (; ; 3; 4; 5) soroztok bitoikusk. djuk O() fogy, ()(**) ssze kell f s l k < < : : : < s < < : : : < + redezett hlmokt. be, sz ks ges sszehsol t sok miim lis sz m. izoy tsuk Ig -e, lklms c lld r mide (; k) p rr s k elem redezett hlmok sszef s l s hez legl bb c( + k) sszehsol t s? } kell djuk kosts szorz erej ig optim lis sz m sszehsol t st hsz l m dszert ; ; : : : ; m ek t elem redezett t mb k sszef s l s re! k luk [ : ] t mb [ : k] s [k + : ] r szeiek felcser l se. Oldjuk meg ezt feldtot O() k lts ggel kosts mukter lettel! s dott redezett uierzum k l b z elem b l ll S hlm. e l : blog c. Felosztd S oly em res S ; S ; : : : ; S l r szhlmokr, tetsz leges i < j l sz mp rr S i hlm hlm eleme kisebb le S j hlm mide elem l. djuk meg O( log log ) sszehsol t st mide m dszert feti feldtr! hsz l ( ek e) redezett [ : ] t mb k drb elem t lki meg ltozttt. ltoztt sok helyeit em Jsoljuk O( + k log k) uiform k lts g lgoritmust gy m dos tott t mb redez s re! } ismerj k. ttese megfelel t t lkotk x -re. behelyettes t s poliomid be el is gezhet. t rb el gezhet. gigpr b l s t rig ye l yeg be es pr b k t rig y ek mximum. 3. Redez s. Redezz k k etkez l cokt rdix redez s seg ts g el: bc; cb; bc; bbc; cc; bc; b. 3. H y sszehsol t ssl lehet megtl li elem k z l legkisebbet? dobuk ki, g l legl bb jv (G)j4 k4 m ret f ggetle pothlmt kpuk. sszehsol t st hsz l redez lgoritmust elem bitoikus soroztok redez s re! sem lehet. lkot gy sem. H midiket gigpr b ljuk is poliom l p s lesz. 3 34

4 z [ : ] t mb elemei redezett t pusb l l k. Tudjuk to bb, ez sorozt k t mooto es t se. Potosbb foglm f; ; : : : ; g idexhlmk k oly X s X r szei, r szsorozt X [ X f; ; : : : ; g s h j; k X i, j < k, kkor [j] < [k] (i ; ). O() sszehsol t st hsz l m dszert t mb redez s re. ( megold shoz hszos lehet Jsoljuk k etkezm ye, em l tezhet oly j < k < l idexh rms, melyre [j] > [k] > [l].) felt teleikek } dott [::] t mb, melyek elemei redezett hlmb l ker lek ki. Tudjuk, t mbbe ics ] > [i ] > [i 3 ] > [i 4 ] r szsorozt, hol i < i < i 3 < i 4. djuk O() k lts g lgoritmust, [i z [ : ] t mbbe redezett uierzum k l b z eleme olt, gys g szerit ek sorredbe. 3. id k zbe megkeerte t mb elemeit, de csk yir, mide es elem j helye eredetit l Vlki z eg sz elemeket trtlm [ : ] t mb t lss ltoz k eezz k, h mide < i < idexre teljes l, j[i] [i + ]j < Jsoljuk ht koy m dszert lss ltoz t mb k redez s re; elemezz k t mb redez se sor ( redez lgoritmus h y l p se ut ) k etkez llpot j tt l tre: z l bb felsorolt, el d so tult m dszerek k z l k zb ls lklm skor fordulhtott ez el? mely(ek) esz r sos redez s, ) ubor kredez s, b) sszef s l ses redez s, c) dott eg sz sz mokt trtlm [::] t mb, melybe legfeljebb elemp r ll ierzi b m ssl elem kkor ll ierzi b, h gyobb megel zi kisebbet). Ig-e, bubor k-redez s redezi (k t t mb t legfeljebb sszehsol t ssl? ) Egy redez si lgoritmust kozert k eez k, h megtrtj form elemekek eredeti sorredj t. l bbi redez si lgoritmusok k z l melyek kozert k: z z [ : ] t mb piros s z ld elemeket trtlm. Szeret k tredezi gy, sz elemek folytoos. helyezkedjeek el (el l sszes piros, ut z ldek gy ford t). Egy megegedett l p s k t szomsz dos e dott eg szekb l ll [ : ] t mb lmit b eg sz sz m. Szeret k ht koy eld tei, -e k t oly i; j f; : : : ; g idex, melyekre [i] + [j] b. Oldjuk meg ezt feldtot O( log ) djuk mi l keesebb sszehsol t st hsz l m dszert eek ( rtelm e meght rozott) i teljes l. megkeres s re. Elemezz k m dszer k lts g t! } idexek dott k t hossz redezett list, ; : : : ; s b ; : : : ; b, melyek sszese k l b z elemet trtlmk. 3. kosts szorz erej ig optim lis sz m sszehsol t st hsz l lgoritmust elem k z l -edik djuk e dott redezett uierzum k l b z elem b l ll S hlm. Szeret k S elemeit : ] t mbbe elhelyezi gy, [ T k fel idirekte, l tezik ilye f rekurz f gg y! Eszerit l tezik M Turig-g p, mi mide x-re s kisz m t oly f (x) sz mot, melyre (x) f (x) (x). e M Turig-g p, mely meg ll iput eset ki rj t els x sz t, mire f (x) [] (pl. lexikogrkus sorredbe sorr geer l x szkt M-et hsz l kisz m tj f (x)-et). Miel sszeyomhttl sz, ilye x t yleg l tezik. hossz M (x) log + c lklms c lld l. z irici-t tel mitt (x) log + c Nyil l, c lld l. Ugykkor felte s k mitt (x) f (x) ( ) k t el tles get m sik kpjuk, log + c ( )4, mi k pteles g el g gy -re. Elletmod sr jutottuk. sszeols (x) kisz m thttls g t igol jzetbeli rel st hsz ltuk.) ( yeg be Nem. e ugyis f () koikus redez s szeriti els hossz sszeyomhttl sz. H H rekurz, 33. f is, hisze h m s ut sorb geer ljuk hossz szkt s midikre meght rozzuk H kkor kkor melyik x ut i y sz l H rt k ltozik, x sszeyomhttl. Viszot, h f () x, rt k t, irici-t tel szerit (x) log ( + ) + lld, mi elletmod x sszeyomhttls g k. kkor Nem. V oly lgoritmus (Turig-g p), mely bemeetre kidj x x : : : x sz t: geer lj 3 ; F ; : : : ; F j Fibocci-sz mokt, m g t l em jut -e, s k zbe sorr ki rj x i biteket: x, F s ezut x i, h F j < i < F j, s x Fj Ezek szerit (x ) log + c, lim (x) 6 c lld l, s (y y : : : y ) + c < 3 4 mide el gg gy -re. lklms z x x : : : x sz megkpht y y : : : y sz b l "hi yz " bitek, x x x 4 : : : x [log ] sorozt hozz d s l. 3 Ebb l t yerj k, (x x : : : x ) (y y : : : y ) + c + log, hol c lklms lld. Z f; g oly sz, mire jz j (y : : : y ) s U uierz lis Turig-g p Z iput eset (e : : : y sz t sz molj ki! e M g p, mi k tr szes Z#W iputo el sz r Z-re lefutttj U-t, mjd y erej ig. z irici-t telt lklm yerj k ll t st.) gy + lld kosts (x : : : x ) c+log z iput p rok leek ( u ; ); : : : ; ( u ; ), hol u t sz t jel li, mely u drb bet b l ll. 4 feldt dott bemeettel yil potos kkor oldht meg, h l tezek oly x ; : : : ; x megfeleltet si mid emegt eg sz sz mok, melyekre x u + : : : + x u x + : : : ; x, x (u ) + em : : : ; x (u ). H u i i k l bs gek mid pozit k gy mid egt k, kkor ez yil em + meg. Ellekez esetbe k t lehet s g. Vgy lmelyik i idexre u i i : ekkor lehets ges oldht, x i s x k k 6 i eset. Vgy pedig pozit s egt k l bs g is: u i > i megold s u j < j lmely i; j idexekre. Ebbe esetbe x i ( j u j ), x j (u i i ), x k k 6 fi; jg-re s d. Teh t t kell elle rizi, k l bs gek mid oos el jel ek-e. Ez yil megtehet megold st e l -beli szk mx. hossz. z l- l hosszbb iput szkt elee eluts t, mx. l hossz szk pedig keres st lklm l j b kosts id be felismerhet. eset Nem. Ugyis 3. c lld r b rmely igolht : c blog c+ ( blog c blog z lpm eletkre ismert lgoritmusok poliomidej ek. ht yoz s eset ob pl. sz m m rete, expoeci lis operdusok O(log ) m ret be. mi kkor kisz m t x -t, x -t, : : :, x k -t sszese k gyzetreemel ssel, mjd okt x i sszeszoroz, melyekre i, megkpjuk x -et, mx. k szorz s felhsz l s l. Miel szorz sokt szorz ssl) modulo m kell el gezi, sem r szeredm yek, sem geredm y m rete em hldj meg log m Egy szorz s (k t m- l em gyobb sz mk sszeszorz s s szorzt mrd kos oszt s m-mel) korl tot. log m-be poliomid be. el gezhet mely emcs kke sorredbe redezi t mb elemeit. } legfeljebb 5 t ols gr esik. djuk O() idej lgoritmust eredeti llpot helyre ll t s r! } m dszer k lts g t! 3 Nem. z y y : : : y r szsorozt el ll tht p ros idex bitek dupl z s l, gy (y y : : : y ) + c N gy elem redez s hez h y sszehsol t s kell? } t elem redez s hez h y sszehsol t s kell? } eredm y -ht y idex bitjeit t rj W bitjeiel. Ekkor M (x : : : x ) (y : : : y ) + log ddit (y : : : y ). midk t sz ls oldl ht r rt ke, ez rt beszor tott meyis g is koerges s d) Gyorsredez s? } -hez trt. Tetsz leges M Turig-g pre T M f gg y rekurz : dott x I sz r el g legf ljebb jxj hossz y I 3 futtti M-et jxj l p sig. Tud, T M rekurz, T M lehetetle, mert em bemeetekkel rekurz. b) legfeljebb cser el? } sszef s l ses redez s; () bubor kredez s; } (c) kupcredez s; (d) gyorsredez s? k r lie ris id be is. t mbelem cser je. Jsoljuk kosts szorz erej ig optim lis l p ssz m lgoritmust. } oyolults gi oszt lyok id be! }. z [ : ] t mbbe eg sz sz mokt t roluk. Tudjuk, oly i idex, mellyel. Nem: m bemeet hossz hoz (kb. log + log m) k pest expoeci lis gy is lehet. [i] < [i + ] < : : : < [] < [] < : : : < [i ] blog c lehet s get izsg l meg m dszer, teh t legl bb eyi l p ssz m. Ugykkor blog c c! Ez ut bbi ll t s p ld ul k etkez elemi becsl s felhsz l s l )log (log ), h eleged e gy. blog c blog c legkisebb meght roz s r! } z x mod m feldt m rete (log x+log +log m). z x ht yoz s el gezhet poliom sok szorz s seg ts g el gyors ht yoz s (iter lt gyzetreemel s) m dszer el: H P k i i i lk (k log ; i f; g), ht yokt (mx. k [] < [] > [3] < [4] > < [ ] > [ ] < [] teljes lj. djuk meg O() sszehsol t st hsz l lgoritmust erre feldtr! } 33 4

5 helyezkedik el. Teh t pilltyi helyzet poz ci bels llpot p rrl jellemezhet, hol lmelyik em hldj meg jyj + -et. gy legfeljebb (jyj + ) bels llpotok sz m l p sbe gy (i),(ii) poz ci lmelyike bek etkezik, gy pedig ism tl dik pilltyi helyzet, (iii) esteek megfele e. esem yek pilltyi helyzetek t rol s seg ts g el (gy t r-id t tel bizoy t s hoz hsol techik l) Ut bbi z el z feldthoz k pest eh zs g, ols fej tetsz legese t ol lehet els resjelt l. zt k szre, h szer ez t ols g gyobb mit jqj ( bels llpotok sz m), kkor oly " gtele ob esett M x, mikor ols feje gtelebe szld ki. e ugyis l-edik l p s els oly ciklusb" mikor M x feje el sz r t ll pi modott t ols got! Ekkor oly k < l l p ssz m, k-dik l p s, M x bels llpot ugy, mit l-edik l p sbe, M x feje iput g hez k zelebb, to bb l p sbe k-dik, k + -edik, stb. l-edik l p sek midik be fej iput ut i res szlgr sze mozog. tht, l-edik l p s s k etkez l k l p sbe M x helyzete l yeg be ugy, mit k-dik s t l p sbe, k l bs g csk yi, feje res szlgr sze m g jobbr eltolt poz ci kb mozog. k et ugyez fog ism tl di gteles gig. Teh t k etkez eseteket lehet megk l b ztei: Vil gos, M x em l tezik; (o) M x megs rti felt teleket; (i) M x meg ll felt teleket gig betrt; (ii) M x felt telek betrt s s l t ll p jyj + -edik cell ; (iii) M x felt teleket betrtj gtele ciklusb esik gy, feje midig els jyj + jqj + cell lmelyik (i). esetek megk l b ztet se imm r el z feldthoz hsol gezhet. Eze e x I jzetbe le 7! + f gg yt kisz m t TG k dj. Ekkor fx# j Z + g yel s h. rekurz V k szre, t l p sbe iput szlgo legf ljebb t t hldhtuk el re. Teh t h lklms y kkor k els (legfeljebb) 5 bet je is megteszi. Ez rt probl m eld t s hez eleged M x els 5 l p s t sz, Ig. e M oly Turig-g p, mely x#f (x) p rokt ismeri fel ( M fx#f (x); x f; g g). oly M g p kostru l s, mely f f gg yt sz m tj ki. z lp tlet dott x-hez sorr luk y f; g szkr, x#y M teljes l-e. Nyil l, x#y M, y f (x). kipr b li t rt het f; g hlm lmely redez se (pl. els res sz, mjd t bbi bi ris sz mk t kipr b l s gys g szerit) lpj. Ez gy sjos em m k dik, hisze el fordulht, lmely, f (x) rtelmeze megel z y-r M em ll meg. probl m k etkez k ppe kezelhet : geer ljuk sorr (; y) rt ket hol emegt eg sz s y f; g. Ez megtehet p ld ul f; g fet eml tett redez se p te p rokt, szok sos p rgeer tor seg ts g el. dott (; y) p rr futtsuk le M-ek els (legf ljebb) l p s t x#y H l p se bel l M em ll meg elfogd llpotb, k k etkez p rt, bk t pedig iputo. ki y-t s lljuk meg. Vil gos, fet zolt lgoritmust megl s t Turig-g p mide x-re meg ll rjuk (; f (x)) p r ker l sorr, hol sz m M-ek x#f (x) p ro ett l p seiek sz m) s ppe (mikor (x)-et sz m tj ki. f e f (x) : h(x), hol h tetsz leges em rekurz I! N (teljes) f gg y (pl. h(x) (x), x sz 3. Ekkor g f gg y oos, teh t rekurz. Kolmogoro-boyolults g). () e M Turig-g p, melyek leg lis iputj bi ris br zolt term sztes sz mb l ll: # : : : #, hol ; : : : ; h sz csup k l b z sz m [; ] iterllumb l; s M rjo output # el sz r drb -t, mjd ; : : : ; -dik helyeket rj t -esre. f; ; #g bc lklms bi ris szlgj r M (x) 4 log + s irici-t tel mitt (x) M (x) + c 4 log + + c, hol k dol s l lld. lklms c lld r ez kisebb mit c log. c T k fel, m gis ilye M Turig-g p. Ekkor M (x) hossz + c [log + ] + c, gy mitt (x) log + c lklms c lld l, mi em lehet gyobb log - l h el g irici-t tel Ez elletmod s. gy. -l kezd d hossz szk sz m, ugykkor - l kisebb Kolmogoro-boyolults g (c) sz m ( lehets ges iputhossz szerit lesz mol) legf ljebb : : : + szk dott k-r jel lje k k drb -esb l ll sz t. Figyelj k meg, ( k ) (k) ddit lld (d) e k oly bi ris j sz m, mire (k). Ilye el z r szfeldt rtelm be l te- erej ig. e x k s y + k. Ekkor (x) + c s (xy) ( + ) log + c lklms c ; c zik. V lsszuk -et oly gyk, + c > log + c teljes lj! lld kkl. z el d so sszef s l ses redez sek (MSORT) rekurzi t lklm ltozt t k roltuk. Jsoljuk itert (rekurzi t, ermet em hsz l ) implemet ci t, melyek k lts ge kor bbi ltozt l dott dobozb k l b z m ret ycsr, lmit m sik dobozb hozz juk ill pcsrok. k etkez sszehsol t si lehet s g k : Egy pcsrhoz hozz pr b luk ycsrt. Kiz r lg h romf le kimeete lehet: p < y, p y, gy p > y; k megfelel e, pr b k k ls tm r je iszoyul ycsr bels tm r j hez. Szeret k ycsrokhoz pcsr megfelel pcsrokt. djuk erre feldtr tlgos O( log ) sszehsol t st felhsz l megtl li } m dszert! T k fel, dott f; b; c; dg bc feletti szkk S hlm. z S-beli szk sszhossz Jsoljuk O() idej m dszert S elemeiek (lexikogrkus) sorbredez s re! lpredez se. V zoljuk O() id ig y lgoritmust ( id korl t bizoy t s l tt) oly eg sz sz mb l ll sorozt melyek elemei redez s re, f; : : : ; 3g trtom yb esek! () f; : : : ; 7 g trtom yb esek! } (*) dott [ : ] t mb, mi s k k z tti eg szekb l ll. Szeret k O( + k) id be l trehozi dtstrukt r t, 3. miek seg ts g el kosts k lts ggel megoldht k etkez feldt: s b term szetes sz mok; emeet: t mb o elemeiek sz m, melyek [; b] iterllumb esek. Meght rozd : Egy k yt rb hot m geslemezre list zz k kik lcs z tt k yeket k lcs z k ee szeriti sorredbe. 3 list mide es k yek rekord felel, melybe k y oos t s r szolg l kulcs s N k z es term szetes sz m, hol N k yt ri k yek sz m. djuk mi l r idebb idej (kosts szorz erej ig optim lis uiform id ig y ) m dszert k eld t s re, ju rb s febru rb Egy szem lyek dtit trtlm yil trt sb rekord. rekordokb szerepel szem ly mgss g 3. tests ly is. Szeret k mi l keesebb muk l eld tei, k-e oly X s Y szem lyek yil- s X mgsbb Y - l, de Y ehezebb, mit X. Jsoljuk ht koy m dszert feldtr! trt sb, m dszer k lts g t! Elemezz k T k fel, iputk t dott eg sz koordi t j s kbeli potok S fp (x ; y ); P 33. (x ; y ); : : : ; P (x ; y )g hlm. s k Q potj ( S-re ze) k z ps, h S-ek ppe potj Q felett, to bb S-ek ppe potj Q-t l jobbr. Jsoljuk ht koy m dszert S-hez k z ps pot keres s re! Elemezz k m dszer k lts g t! dott dottk s k eg sz koordi t j P (x ; y ); P (x ; y ); : : : ; P (x ; y ) potji, melyek k z l ics 3 eese. Jsoljuk O() uiform k lts g m dszert oly ees (k t k l b z potj k) h rom dottk s k eg sz koordi t j P (x ; y ); P (x ; y ); : : : ; P (x ; y ) potji. Jsoljuk O() 3 k lts g m dszert oly P i 6 P j potok ki lszt s r, melyeke tme ees ltl meght rozott uiform eek S ; : : : ; S k oly em res hlmok, melyek elemsz mik sszege, s elemeik s k z esek. 3 lgoritmust, mely sszes S i ( i k) hlmt redezi O() id ltt! Mutssuk djuk ht koy lgoritmust kupc tizedik legkisebb elem ek megtl l s r. Elemezz k m dszer 3 } k lts g t. dott elemet trtlm -kupc s k kulcs. Keress k meg kupc k- l kisebb kulcs elemeit! H 3 ilye elem, lgoritmus O(m) elemi l p st hsz lht. } m Egy redezett hlmb l elem kupcb elhelyeze. izoy tsuk be, leggyobb elem megkeres s hez 4. () sszehsol t s sz ks ges! } djuk kosts szorz erej ig optim lis uiform k lts g lgoritmust l bbi probl m r: 4 Egy [ : ] t mb, mely eredetileg ; : : : ; term szetes sz mokt trtlmt kupcb redeze, INPUT: t elem megs r lt s hely re ker lt. de Tl ljuk meg t mb oly kit lt s t, mi lehetett eredeti! } FEDT: felt telek betrt s eset szlg llpot lld, M x feje szlg els jyj + cell j k ism tl dik. ez gys gred! Egy elem sorozt csup -b l s -esb l ll. Redezz k soroztot sszehsol t ssl! ismerhet fel. < b < c < d. Terezz k meg dtstrukt r t s fel p t s hez sz ks ges lgoritmust! } gigpr b li legfeljebb tbet s szk ges hlm. Teh t yel rekurz. kik lcs z tt k yek sszess ge megezik-e! meght roz s r, melyek midk t oldl ugyyi P i potok k z l. f ls kok k z l ik trtlmz sszes iput potot. 3 Igoljuk, elemb l ll bi ris kupc fel p t se () sszehsol t st ig yel! } sd el z feldt () potj t. sd el z feldt (c) potj l lklmott tletet. 5 3

6 izoy tsuk be, hhoz, hlmb l k t leggyobb elemet ki lsszuk, + dlog e sszehsol t s sz ks ges s el gs ges. () (*) Jsoljuk oly lgoritmust, mi d:5e sszehsol t ssl megtl lj -elem hlm 43. s legkisebb elem t! leggyobb dott [ : ] csup k l b z eg sz sz mot ek sorredbe trtlm t mb. ( t mbbe egt 4 is lehetek!) djuk ht koy lgoritmust oly i idex meght roz s r, melyre [i] i (felt e, sz mok Egy elem redezett hlm k z ps elem ek redezett sorred szeriti b( + )c-ik elemet eezz k. 4 elem redezett hlm elemeit kilist zi gy, legel l k z ps elem, ut mrd k luk eleme stb. (pl. h elemek,,3,4 kkor k t sorred,3,,) hlm elemeit (tetsz. sorredbe) k z ps [ : ] t mb trtlmz. Jsoljuk oly megold st, mely sz ks ges sszehsol t sok sz m t z eg sz elemeket trtlm [ : ] t mb t koexek eezz k, h mide i-re ( < i < ) teljes l, 4 ([i ] + [i + ]). Jsoljuk oly lgoritmust, mely mi l keesebb sszehsol t ssl megtl lj [i] V T [ : ] t mb k, melyek elemei l s sz mok. Keress k meg T mxim lis sszeg folytoos r szt mbj t, 4 gyis o i j idexeket, melyre T [i] + T [i + ] + : : : + T [j] sszeg mxim lis! dott h rom f gg leges r d s drb ezekre felh zht korog, melyek -t l -ig k sz moz. Kezdetbe 4 korogok mid els r dr k felh z tetsz leges sorredbe. c l, korogok sz moz s ttehetj k m sik r dr, m r ott le korogok tetej re. Mutssuk meg, k t llpot korogj t sz ks ges l p ssz m ( log ). ( korogok "em cs szk m sb": sorredj k - r do el r s hez Egy yil trt sb rekordok kulcsuk szerit (bi ris) kupcb k redeze. Feltessz k, 4 eg sz sz mok. Szeret k implemet li kulccs kket s m elet t: bemeet kupc eleme (pl. kulcsok megd) lmit i > sz m, miel elem k kulcs t lecs kketj k ( j kulcs teh t k i), mutt l kupc tuljdos got helyre ll tjuk. Oldjuk meg feldtot mi l ht koybb! Elemezz k m dszer mjd dott m ret t mb, mibe -k s -esek helyezkedek el. Szeret k szit m ret t mb t 5. i-edik eleme o leggyobb j < i idexet trtlmz, melyre [j] Potosbb, le kit ltei, mxfjj < j < i s [j] g; h l tezik oly < j < i; [j] ; [i] bk t. oly p rhuzmos lgoritmust, mi O() processzor felhsz l s l O(log ) id be kit lti si ljuk t mb t! Redezett ; : : : list b keres k gy, l p sbe szerre k drb kisebb-e mit i t pus k rd st 5 f ltei. djuk kosts szorz erej ig optim lis lgoritmust! lehet Egy -szer -es t bl ztb gy elhelyeze db k l b z sz m, mid sorok mid oszlopok ek ek. Mutssuk meg, ekkor keres s l p ssz m (). mooto Vlki sszehsol t so lpul ll t lgos redez si lgoritmusr l t modj, miel elj r s mide 53. soroztot j l redez, melybe redezett sorredhez k pest csk etle p r felcser le, ez rt oly z eg sz rt k [ : ] t mb redez s re szolg l progrm E-progrm (compre-exchge progrm), h 5 uts t s mide Igoljuk, h E-progrm helyese m k dik ( elemeket em cs kke e redezi) mide, lk. iput eset, kkor helyese m k dik mide eg sz rt k iput eset is! rt k z I [; ] iterllum ismeretle x eg sz elem t szeret k meght rozi "Ig-e, x < i?" 5 k rd sekkel, hol i I eg sz. Tudjuk m g, kpott lszok k z l hib s lehet. Jsoljuk lk eek cs csok s; t; ; b; c. z lek pl. k etkez k: (s; t); (s; ); (s; b); (; t); (b; c); (c; t), midik kpcit s 4 folymb l kiidul els l p sbe (s; t) llel j tuk. j t gr fb em mrd hossz t, most kett hossz k etkezik (s; ); (; t). z jbb j t gr fb m r csk 3 hossz t s-b l t-be, ez lesz l p s. hrmdik V k fel u ; : : : ; u, lmit ; : : : ; potokt, lmit s forr st s t yel t. Vezess k u i -b l 4 j -be kpcit s let, h [i; j] 6. z s forr sb l ezess k mide es u i -be oly kpcit s let, i-edik sor sszeg. Hsol, ( j ; t) l kpcit s le j-edik oszlop sszege. Ez csup eg sz meyi h l zt, teh t l tezik eg sz rt k mxim lis folym, to bb FordFulkerso lgoritmus (pl. kpcit s EdmodsKrp el heurisztik l poliom id be) ilyet tl l. kpcit sok mitt (u i ; j ) leke teh t gy e [i; j] ez folym rt k. H (u i ; j ) em olt l, kkor term szetese le folym rt k j]. zt ll tjuk, gy kpott m trix j lesz. Ehhez ht rozzuk meg mxim lis folym rt ket. [i; x m trix elemeiek sszege. Miel ez sor sszegek sszege, ( s be oszlop sszegek sszege), e lehet x- l gyobb folym (k ekkor g sok: forr sb l idul lek, gy yel be me k). De em folym l tezik is: tel ts k forr s illete yel leit s le folym rt ke (u i ; j ) leke [i; j]. ekkor k etkezik, tl lt folym rt ke is x. Ez csk gy lehet, h forr sb l idul lek s Midebb l me k is mid tel tettek, mi ppe sor- illete oszlop sszeg felt telekkel e rt k. yel be Tekits k t lgoritmust, mi dott -re [ p ]-ig gig zi sz mokt, ok k z tt -e l di oszt j z lgoritmus Turig-g ppel megl s tht, s mide iputr meg ll (legfeljebb [ p ] oszt s ut ). -ek. rekurziit sr otkoz ll t sok k y ek: e M illete M oly Turig-g p, mely mide iputr s illete yelet ismerik fel ( M ; M ). z [ yel felismer s re tekits k meg ll, k etkez M g pet: x I iputr el sz r szimul lj M -et, s lljo meg elfogd llpotb, h M x-et. Egy bk t futtss le x-re M -t is, s szerit fogdj el x-et g l, M elfogdt-e x-et elfogdt sem. Vil gos, M midig meg ll s M [. Hsol m do igolht \ rekurziit s. gy yel felismer s hez ciklust kell szerezi, melybe z iput sz sszes lehets ges xy sz t g s r z M -et x-re, M -t pedig y-r. lefuttjuk rekurz felsorolht s gokhoz megitcsk leek leek M s M oly Turig-g pek, M s M m gis gezhet el z m dszerrel, hisze h x-re M em ll meg, kkor x 6 ) x 6 \, felismer se em bj, sszetett g p " gtele ciklusb" esik. hsol megk zel t s yil em m k dik teh t [ -re, hisze M -ek is meg kell di lehet s get x felismer s re. megold s M s M "p rhuzmos" szimul ljuk fel lt M s M l p seit! rtelemszer e, h lmelyik meg ll, csk m sikt futt- futtt s: to bb. suk yel rekurz felsorolht s g k igol s hoz ezt tletet om thtjuk. Egy szeriti "k ls " cik- z futtsuk "bels " ciklust, mely z iput sszes lehets ges z xy sz t g s r lefutttj M illete lusb els l p s t x illete y iputr. kkor lluk meg elfogd llpotb, h lmely -re l tezik oly M xy feldrbol s, M x-et, M pedig y-t elfogdj legfeljebb l p sbe. Egy bk t gtele ciklusb z Nyil l, z, l tezik megfelel z xy feloszt s s lklms, teh t ppe -et ismerj k ker l k. Nem. e I s rekurz e felsorolht, de em rekurz yel (pl. h ). Ekkor em felsorolht (ld. RE \ core E sszef gg st!) rekurz e ) Ige. H, rekurz, kkor komplemeter k, metszet k, ui juk is rekurz, gy \ is s is. Nem. e I s rekurz e felsorolht, de em rekurz yel. Ekkor, mi em b) felsorolht. rekurz e Ige. dott x I sz r k etkez lehet s gek k: M x em l tezik; (o) M x lmikor megs rti felt telt: r r szlgj r gy t lfut resjele; (i) M x meg ll felt telek betrt s l; (ii) M x gtele ciklusb esik felt telek betrt s l. (iii) (o), (i) s (ii) eseteket k y felismeri M x szimul ci j l. z (iii) eset felismer s re gyelj k pilltyi elj r s j lesz. (**) Igoljuk, d:5e sszehsol t s sz ks ges is feti feldt megold s r! } ilye i): igyekezz k mi l keesebb elem megizsg l s l megoldi feldtot! tekite kosts szorz erej ig optim lis. koex t mb miim lis elem t. Turig g pek e M g p, mely el sz r szimul lj M -t, mjd M outputj szimul lj M et (M iputj le M. M outputj le M outputj l oos. Tetsz leges x I iput sz eset M meg ll s g(x) outputj, f gg y t ket dj, g(x) iputtl elid t pedig M meg ll s f (g(x)) rt ket sz m tj ki. szeriti ek sorredbe szerepeljeek mid o r do. Egy l p sbe tetsz leges r dk legf ls midig odhelyez s k sorredj t t kr zi.) } k lts g t! }. Most sjos em t telezhetj k fel, ezek mide iput eset meg llk. z \ yel fel. lgoritmus tetsz leges soroztot redez. Helyes-e ez k etkeztet s? } if [i] < [j] the cser lj k fel [i] s [j] rt keket; legfeljebb 5 k rd st felhsz l strt gi t! helyzetle r s (PH) ism tl d s t! M x ugyis potos kkor esik gtele ciklusb, h pilltyi helyzet 3 6

7 Mide cs csb l id tsuk sz less gi bej r st. Egy cs cso tme 4 hossz k r k sz m megezik 3 fesz t f m sodik s hrmdik szitjei k zt me kereszt lek sz m l. Nyil trt szitsz mot, sz less gi let k rdez. Ezzel lgoritmussl szembe elles g lklmz k etkez ("moh ") z "(u; ) l-e" k rd sre le lsz "ige", h eddig "bellott" lekkel tt em keletkezik strt gi t: bk t lsz le, "em". felt telez s szerit k rd s ut probl m eld l: k r, -edik (u ; ) l l tez s t l gy bizoyosodik be, gr fb k r, gy, f ggtele l El bbi yil csk gy k etkezhet be, h bellott lek k z tt h y k rt lkot. Ezt lehet s get ics. kiz rj. Teh t helyzet, utols lt l f ggetle l m r biztos k rmetes gr f. Ez csk gy strt gi eddig bellott lekb l ll gr f em sszef gg erd. Miel potok sz m gyobb mit lehet, l t bb oly redezetle fu; g p r, u s k l b z kompoesbe esik. Speci lis ezek, oly fu; g p r, fu; g 6 fu ; g. Vil gos, (u; ) l em csi l k rt, s yil lek rdez se k z tt sem csi lhtott. Ez rt iszot k rd sre "ige" kellett le lsz. Ez elletmod s. pillt b let k rdez. Ezzel lgoritmussl szembe elles g lklmz k etkez szb lyhoz hsol strt gi t: z "(u; ) l-e" k rd sre le lsz "em", h bellott lek s piros m g h trle lek trtlmk fesz t f t, bk t lsz le, "ige". felt telez s szerit k rd s ut f ggtele l -edik (u ; ) l l tez s t l eld l, gr f sszef gg -e gy em sszef gg s g strt gi mitt em fordulht el, hisze bellott lek h trle kkel tt sem. trtlmk fesz t f t. z sszef gg s g bizoy t y, bellott lek trtlmk midig Ekkor (u ; ) llel tt keletkezik k r, miek le bellott le (u; ). z (u; ) let fesz t f t. lek rdez sekor le lehetett ol tgdi, hisze lk le is l tezik fesz t f. Ez is elletmod strt gi k. z llist k gig z s el foksz m szerit oszt lyozzuk cs csokt O() id be! z els oszt lyb ok trtozzk, 4 melyekek keesebb mit szomsz djuk, m sodikb pedig ok, melyekek fok legl bb komplemeter gr fb els t pus cs csok midik ek t bb szomsz dj mit, gy. kompoes k m rete gyobb, mit. Ilyeb l em f r el l t bb, teh t els oszt lyb es sszef gg mid kompoesbe k. Egyszer sz mol s muttj, m sodik oszt lyb legfeljebb cs csok trtozht. z els oszt lyt sszeh z pott feldtot legfeljebb pot gr f sszef gg s g ek cs cs Figyelj k meg, piros-k k lgoritmus helyess g ek bizoy t s b k lts g etle helye ker lt 4 mikor t l ttuk be, F miim lis k lts g fesz t f s g (u; ) l eset F -beli eml t sre: ; t tetsz leges oly g l t, mire c(g) c(g ) g-re cser le ism t miim lis k lts g fesz t f t kpuk u f kr l sz l ll t s potj). Mide to bbi rel s ezt szre telt hsz lt. M rpedig eze t y ( r yes feldtb el rt k lts gre is. yil l bizoy t s: e G gr f, cs csok sz m. lklms eltol ssl yil feltehet, ls lyok M sik emegt k. p term szetes sz mr le F fesz t f p -k lts ge p (F ) : P ff c(f )p ) p. mid Mide (F ) : mx ff c(f ). z F s F fesz t f kr yil p (F ) p (F ), P ff c(f )p to bb e P f F c(f ) p. Teh t F kkor s csk kkor lesz oly fesz t f, mire p (F ) miim lis, h F hgyom yos miim lis k lts g fesz t f rr ls lyoz sr, hol e l s ly c(e) p. Ez rt piros-k k lgortimus rtelembe korrekt p -be miim lis k lts g fesz t f keres s re. Tudjuk, tetsz leges ; : : : ; p rtelembe korrekt, lesz -be is. ( megfelel p l tez s hez: e lehet legkisebb lgoritmus pozit sz m, mi fell p mit k t k l b z G-beli ls ly k l bs ge. (H ics ilye, mide l oly s ly, kkor le. Ekkor ugyis mide fesz t f optim lis mid mid p rtelembe oos p-re.) G mide es fesz t f j r l tezik oly N F term szetes sz m, p N F eset j p (F ) tetsz leges (F )j <. e p mx F N F. Ekkor (F ) < (F ) ) p (F ) < p (F ), teh t h p (F ) miim lis, (F ) is. Vigy zt, h t bb -be miim lis k lts g fesz t f, ltl b em lesz midik kkor or k-m dszer els k t meet t hjtjuk gre kell k r ltekit ssel. z els meetbe mide cs csb l 4 legkisebb kime let kell lszti. z sszk lts g foksz mok sszeg el r yos, mi O(e). m sodik mide k k f r kell megtei ugyezt. k k f kt bej r meg tudjuk c mk zi cs csokt f k meetbe szerit, mjd mide es k k f t megit bej r el tudjuk k sz tei f b l kiidul lek list j t s sorsz m is ki tudjuk lszti f k t O( P f foksz m()) id be. z sszk lt g O(P V foksz m()) miimumot O(e) O(e). H > 4, kkor els meet ut mide k k f legl bb pot, m g m sodik meet e el sz r V V ;. V k sorr G cs csit. mikor sorr ker l, t k V illete V k z l bb 4 oszt lyb, hol eddig keesebb szomsz dj. z szeriti idukci l szer e l tht, ez Egy bi ris keres f cs csit, gy k rt l le lig me t szerit h rom oszt lyb soroljuk: tt l le, U tr es, J pedig tt l jobbr le cs csok hlm t jel li. Ig-e midig, mide -beli blr kulcs kisebb tetsz leges U-beli cs cs kulcs l, s mide U-beli cs cs kulcs kisebb, mit tetsz leges cs cs cs cs kulcs? } J-beli k etkez ket tudjuk f m; elemeir l: m megel zi -t f X-order szeriti bej r s b, iszot m. j f Y-order szeriti bej r s b (X,Y fpre; post; ig). Melyik eset(ek)be tudjuk eld tei, m ut Egy bi ris keres f "lmely bej r s " midig fpre; i; postg-order lmelyik t rtj k. 3. Mely bej r sok l lehets ges, t rolt elemek leggyobbik megel zi legkisebbet? () T k fel, bi ris keres f b ; ; : : : ; sz mok k t rol, to bb f lmely sz mok ; ; : : : ; sorredbe k etkezek. Ht rozzuk meg, melyik lehetett ez bej r s bej r s l Egy redezett uierzum eleme bi ris keres f b, k eleme pedig bi ris keres f b t rol. mi l ht koybb m dszert k t f b le elemek gys g szeriti sorredbe t rt kilist z s r! djuk oly t mb t szeret k kpi, mibe + k elem redezette helyezkedik el.) Elemezz k (Teh t k lts g t! } m dszer Egy gy keres f b cs cs fok le gyerekeiek sz m. Mutssuk meg, mide bi ris f b sz m eggyel t bb, mit m sodfok cs csok sz m! leelek dott k pot teljes bi ris keres f. f b t rolt elemek eg szek I [; k ] iterllumb l s sz m legfeljebb szer fodul el f b. Ut bbi felt tel szerit potos oly i I eg sz, mely Illessz k be l bbi 6 kulcsot kezdetbe res (; 3)-f b megdott sorredbe: D; ; E; ; ; F. Rjzoljuk eredm y l kpott f t! } le z [; 78] iterllum sszes eg szei -3 f b helyezkedek el. Tudjuk, gy k rbe k t kulcs, s els kulcs Mi lehet m sodik? Mi rt? } Egy -f k (huszdred -f k) 9 leele. Mekkor f szitjeiek miim lis, illete mxim lis sz m? Egy rekordb l ll dt llom yt -f b szeret k t roli. rekordok hossz byte. kulcs 4 byte. Egy mutt helyig ye 5 byte. T k fel, lpm ret byte. djuk mi l potosbb hossz z S s S kulcshlmokt kieg sz tett -3-f kb t roljuk. Ezek eredeti -3-f t l bb k l b zek csk, mide cs csb fel jeze o idul r szf mgss g (szitjeiek sz m). T k m g fel, S -beli kulcsok mid kisebbek S -beliek l. Jsoljuk ht koy lgoritmust k t f es t s re. c l teh t oly kieg sz tett -3-f, melybe kulcsok S [ S elemei. } Egy f b x cs cs s ly x lesz rmottik sz m. Egy bi ris f t szigor bi risk moduk, h 3. leelek ki tel el mide cs csk potos. T k fel, szigor bi ris f mide x < s ly(bl(x)) s ly(jobb(x)) < mximum m lys g szigor bi ris f b l t()-f le. izoy tsuk be, t ( ) + ()t() dott pot s ko, melyek p rok t midk t koordi t jukb k l b zek. izoy tsuk be, csk bi ris f l tezik, melyek sz gpotji dott pot, s els koordi t szerit keres f s m sodik szerit pedig kupc tuljdos ggl redelkezik. (Vigy zt: kupc tuljdos gb tuljdos ggl, rted bele, f teljes bi ris f le, mit milyet tult "kupc p t " lgoritmus l trehoz.) } em Egy redezett hlm dott elem b l kupcot szeret k p tei, melyre ( kupc tuljdos g mellett) teljes l, mide x cs cs bl r szf j k elemei kisebbek mit x jobb r szf j k elemei. Keres f k ezek lek cs csok t O(e) O( ) id be lesz molht k. z sszeget el kell oszti 4-gyel. T k fel, oly lgoritmus, mi - l keesebb lehets ges let k rdez le. Ekkor persze oly 4. mi ppe is, se-e -ek? s milye lehetett ez bi ris keres f! T k fel, oly lgoritmus, mi - l keesebb lehets ges let k rdez le. Ekkor persze oly 4 mi ppe is, ics f b. djuk ht koy m dszert i meght roz s r. } Egy -3 f b redezett hlm elem t szeret k t roli. Milye korl tok k z esik f mgss g? izsg lt r ezethetj k issz. fels becsl st sz ks ges lpok (blokkok) sz m r. emegt lim ( P i p i ) p mx i i. Ez lpj G-hez lsztht oly p, mire G-ek p -be sz mokr p! fesz t f i be -be miim lis k lts g fesz t f k is. Miel dott p-re piros-k k k lts g miim lis cs cs r fe ll, : izoy tsuk be, ez cskis teljes f lehet, h k szitje, kkor cs csok sz m k } p -be miim lis.) tezik l s sz m, melyre t() b c. ut m r legl bb 4 pot. Ez rt k k lek sz m legl bb 34. Igoljuk, ehhez legl bb ( log ) sszehsol t s sz ks ges! 7 3

8 dottk s k eg sz koordi t j P (x ; y ); P (x ; y ); : : : ; P (x ; y ) potji. Jsoljuk O( log ) m dszert k eld t s re, k-e oly P i ; P j potok (i 6 j), melyek t ols g em t bb k lts g djuk meg f; ; : : : ; 6g sz mokk oly sorredj t, mikor V-f t p t lgoritmus dott iput eset lklm dupl forgt st. sorozt djuk p ld t oly V f r, lklms t rl s eset etle forgt s e le eleged Vtuljdos g helyre ll t s r. dott pot V-tuljdo g bi ris f. djuk meg poliomidej lgoritmust ; : : : ; sz mok. oly sorredj ek meght roz s r, mely eset V-f p t lgoritmus megdott f t hozz l tre, Egy V-f b j elemet illesztett k be el d so tult m dszerrel. z eredm yk ppe kpott V-f 3. gyobb, mit eredeti. Milye forgt st lklmhttuk? } mgss g Igoljuk, tetsz leges pot bi ris f legfeljebb drb szeres forgt ssl tlk tht oly melybe etle cs csk sics bl (szeml letesebbe: jobbr me tt lk tht ). } f, djuk meg f; ; : : : ; 6g sz mokk oly sorredj t, mikor V-f t p t lgoritmus dott iput eset lklm dupl forgt st. sorozt Egy l szit bi ris keres f cs csib kulcsoko s r szf k gy kereire mutt poitereke k l t roljuk r szf s ly t ( cs cs lesz rmottik sz m t). Tudjuk, kulcsok mid k l b z ek, lmit megfelel f mide bels (em le l) cs cs k potos k t. djuk mi l ht koybb lgoritmust le l keres s re, miek k kulcs lehet legk zelebb kulcsok redez se szeriti k z ps kulcshoz! oly h m-mel jel lj k k z ps kulcsot, oly k kulcs leelet keres k, e le oly k kulcs M ssz l, m < k < k gy k < k < m. Elemezz k m dszer k lts g t! le l, djuk meg oly dtszerkezetet, mely lehet teszi, 3. s k z tti eg szeket t roljuk; () kosts id be besz rjuk (eddig m g em trtlmott) elemet; kosts id be t r lj k (k zelebbr l meg em ht rozott, de trtlmott) elemet! (c) j j t kos sorred g re ker l; rgsor szeriti i-edik j t kos kih htj i -ediket; h l zi, helyet cser lek. oly ht koy dtszerkezetet, mely lehet teszi rgsor sz m t g pes kezel s t! sz ks ges Terezz k k etkez k: fukci k esz r( ): j j e yt rgsor g re teszi Kih ( ): i helye ll szem ly e t dj, h " "-el oos tott szem ly i. helye ll s > i Kicser l(i): kicser li rgsor i. s i hely le szem lyeket, h i > Terezz k oly dtszerkezetet, mi redezett hlm elemeiek t rol s r szolg l. megl s td 3. m eletek: es m eletek uiform k lts ge e le t bb, mit Fel p t: O(); Mit r, Mxt r, esz r: O(log ), z t rolt elemek sz m. hol K t mez b l ll rekordokt szeret k t roli, melyek mez i: szem ly lmit telefosz m. k etkez 33. kell ht koy megl s ti: rekord beilleszt se, t rl se, keres s, illete telefosz m lpj, m eleteket t pus k rd sek szem ly re otkoz. Jsoljuk ht koy dtszerkezetet s elemezz k t l-ig k lts g t! -t, kor bb bej rt r szf cskis w -t trtlm lehet. Ez rt w megl togt s t el bb fejezt k be: mit ] < bsz m[]. Teh t krit rium t yleg hsz lht. bsz m[w l p ssz m feti tesztek sz m b lie ris. H y ilye tesztet lklmuk? Eek megbecsl s hez fogjuk dolgot m sik g l. Teh t t sz moljuk meg, r gz tett w cs cshoz h y -re lklmzuk meg < bsz m[w ] tesztet. Pozit eredm yel ppe yiszor, h y w -ek. H yszor fordul bsz m[] egt kimeettel? z el z fejteget sb l t l tjuk, ilye esetbe w r szf j k bej r s el bb el be, mit - ek megkezd se. Ig ez helyett mide oly to bbi cs csr is, melyek m lys gi fejez dik legl bb yi, mit -. Teh t ilye cs csk em lehet se w. H cs csr lklmzuk sz m ] < bsz m[w ] tesztet, kkor -t m lys gi sz mb k zetle l megel z u cs csk se kell le bsz m[. Ez em fordulht el msz m[ ] > msz m[] eset, mert kkor msz m[u ] msz m[ ] msz m[] w Teh t r gz tett w -h z legfeljebb egt teszt trtozik. sszese teh t pozit teszt (eyi tejes l. leiek sz m) s legfeljebb sikertele teszt. Teh t m dszer k lts ge O(). fesz t f, h fesz t erd ek t bb kompoese? m dszer korrekt l m k dik eg sze ddig, m g Mi cs csk se sem tl luk p t. Ebbe esetbe j f t kell kezdei gy k rrel s rr folytti lgoritmust. m r bej rt kompoesek cs csit soh t bb em fogjuk l ti, teh t kompoesek ti sszed dk. k lts gek Feltessz k, G llist l dott. Id tsuk m lys gi bej r st tetsz leges cs csb l. z lek sz moz s bej r s szeriti felhsz l s sorredj be t rt ik: kpj l t sorsz mot, h ydikk t l yeg be bel le idul l kpj -es sorsz mot. Egy tetsz leges ett l k l b z legl bb m sodfok u is, lmelyik l mely met u-b rkezt k s u llist j k els ( be rkez t l k l b z ) le k t szomsz dos mert fog kpi. (Ehhez t kell szreei, mikor u megl togt s megkezd dik, u-r illeszked sorsz mot k z l csk etle, m lys gi fesz t f u-b ezet le kpott sorsz mot.) Vil gos, m dszer lek El sz r piros szb ly ism telt lklm s l bel tjuk, G-ek oly miim lis k lts g fesz t f j, lei G dott F fesz t f j k lei, lmit cs csb l kiidul lek k z l ker lek ki,, miek sz ez s k, h mrd k ( G -beli potok k z tt me em F -beli) leket pirosr festj k. e tkros g tetsz leges m g em piros mrd k l. Ekkor g F bizoyos leiel tt k rt lkot. k rek ugyis leggyobb s ly le g, mert k l be l gyobb s ly lt g-re kicser le F - l olcs bb fesz t f t ik Teh t g pirosr festhet, s m g midig tkros sz ez s k. Ezt ism tele d dik ll t s. kp k. most mrd k leket! gy e O() l gr fb kell miim lis fesz t f t keresi, mi pl. Prim T r lj k O(e log e ) O( log ) id be megtehet. m dszer el K sz ts k el G-ek E mxim lis p ros t s t mgyr m dszerrel O(e) id be! z E -be trtoz lek, 3. ok lek, melyekek etle gpotj p ros tott, yil bee k mx. p ros t sb. to bb to bbi lek felder t s re csi ljuk k etkez t: mide es p ros tott potj r t r lj k E -b l t mi -b l idul, mjd p ts k f l mrd k p ros t shoz trtoz lter l erd t O(e) id be! (Ne lljuk let, els j t t megtl l skor! Vl j b el g lesz csk cs csb l idul lter l bej r st el gezi.) meg -b l idul e l potos kkor bee mx. p ros t sb, h oly j t t, miek els Egy ppe e. H lter l bej r s sor mide es cs csr yil trtjuk f b -b l odezet t le l t, kkor j t utk gpotjib l ezek lek kider lek. k lts g cs csok t O(e), sszese legels K sz ts k el k etkez gr fot: meetredbe megdott mide es "othoz", redezett (U; V ) 3 p rhoz k fel k t gpotot s k ss k ssze ket oly s ly ir y tott llel, meyi llom s llom s U-b l V -be me ot meetideje. Teh t rosk yi "kime " cs cs fog megfeleli, h y rosb k zetle ot idul s yi "beme " cs cs, h y helyr l ot rkezik. K ss k to bb ssze o V ) othoz redelt gpotot (V; W ) ot kezd potj l kkor s ly ir y tott llel, meyi (U; id. kit tetett roshoz k f l m g k l szit -l jel lt cs csot s id tsuk rkoz si s ly leket -b l idul otokhoz. Hsol m do k fel cs csot s -be me leket. bel le feldt ezek ut gy kpott gr fb legr idebb -b l -be ezet t megtl l s, mi megoldht lgoritmus l. H k ot megd s l rkoz si id, kkor gr f cs csik sz m O(k) m g Dijkstr lek sz m O(k + l). Dijkstr lgoritmus k llit s ltozt teh t O((k + l) log k) id be oldj meg Dei luk gr fot, melyek cs csi lehets ges helyzetek (melyik ed ybe meyi folyd k ), 3 ir y tott l ezet m sikb, h megegedett l p ssel el rhet bel le. feldt t k rdezi, cs csb l dott kiidul si helyzetb l el rhet -e dott helyzet, gr fb ezet-e od t s m g legr idebb t hossz t is meg kell ht rozuk. Ezt megtehetj k sz less gi bej r s seg ts g el. V k em felt tle l kell el bb megduk eg sz gr fot ( helyzetek sz m gyo sok lehet), hem szre, mikor pot szomsz dir gyuk ki csik, okt el ll tjuk. (Ez rt lehet hszos, eleged, ltl b lehetek oly helyzetek, melyek em rhet ek el kiidul si helyzetb l, m sr szt h c l ke s mert bel l el rhet, ics sz ks g gr f to bbi r sz ek fel r s r.) l p se mit. } p ts k V-f t l bbi iput sz msoroztb l: 4; 3; ; ; 7; 6; }. Ht rozzuk meg yolc szitb l ll V-f k miim lis, illete mxim lis cs cssz m t! m gpedig forgt s lk l. } bej r s sor el sz r ( f- gy issz lk t) felbukk. kiidul si potr teljes l felt tel, mert p ts k V-f t l bbi iput sz msoroztb l: 4; 3; ; ; 7; 6; } k lts ge bej r s l r yos, teh t lsz mb lie ris. Ht rozzuk meg yolc szitb l ll V-f k miim lis, illete mxim lis cs cssz m t! T k fel, V f p t lgoritmus iputj ; ; 3; : : : ; sorozt. Mi lesz fel p tett V f? 3 Egy sportklub teiszez i kilk tottk er sorredet. Ezt k etkez szb lyok szerit trtj k krb: teh t O(e). Fel p t() elemb l fel piti strukt r t mi. illete mx. elem t rl se feldtot. Mit r, Mxt r esz r(x) x elemet strukt r b illeszti. 9 8