Dinamikus programozás
|
|
- Gabi Hegedüsné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Dnamkus programozás (Horváth Gyula és Szláv Péter előadása felsználásával)
2 Dnamkus programozás Feladat: Adott P 1,P 2, P n pénzjegyekkel kfzethető-e F fornt? Megoldás: Tegyük fel, hogy F P P... P... m! 1 2 m 1 Ekkor F P P P P......, azaz az adott m 1 2 m 1 1 m részproblémának megoldása a megoldás megfelelő részlete. Ezek alapján számoljuk k V(X,) értékeket, ahol V(X,) gaz, az X összeg kfzethető az első pénzjeggyel!
3 Dnamkus programozás Feladat: Adott P 1,P 2, P n pénzjegyekkel kfzethető-e F fornt? Megoldás: Három esetet vzsgálunk: az összeg megegyezk az -edk pénzjeggyel; az -edk pénzjegyet nem sználjuk fel; az -edk pénzjegyet felsználjuk: V P x X, gaz 1 és V X, 1 1 és X P és V X P, 1
4 Dnamkus programozás Feladat: Adott P 1,P 2, P n pénzjegyekkel kfzethető-e F fornt? Megoldás: V(X,): V:=X=P() vagy X, gaz 1 és V X, 1 >1 és V(X,-1) vagy >1 és X P() és V(X-P(),-1) Függvény vége. A megoldás: V(F,N) kszámolása. V P x 1 és X P és V X P, 1 Probléma: a futás dő O(2 N )
5 Dnamkus programozás V(X,) kszámításához mely V() értékekre lehet szükség? Az ábra alapján V értéke alulról felfelé, azon belül balról jobbra számoltók.
6 Dnamkus programozás Pénzváltás(Lehet): V(1..F,1):=ms Ha P(1) F akkor V(P(1),1):=gaz Cklus =2-től N-g Cklus X=1-től F-g V(X,):=X=P() vagy V(X,-1) vagy X P() és V(X-P(),-1) Cklus vége Cklus vége Lehet:=V(F,N) Függvény vége. A futás dő O(N*F) Memóragény: N*F
7 Dnamkus programozás Memóragény csökkentés: elég egyetlen sort tároln a V mátrxból, és az első feltétel s megtakaríttó. Pénzváltás(Lehet): W(1..F):=ms; W(0):=gaz Ha P(1) F akkor W(P(1)):=gaz Cklus =2-től N-g Cklus X=F-től 1-g -1-esével W(X):=W(X) vagy X P() és W(X-P()) Cklus vége Cklus vége Lehet:=W(F) Függvény vége. A futás dő O(N*F) Memóragény: F
8 Dnamkus programozás Feladat: Adott P 1,P 2, P n pénzjegyek közül melyekkel fzethető k F fornt? Megoldás: Legyen V(X,) a legutolsó olyan k ndex, amelyre gaz, hogy P k előfordul X felváltásában! Legyen V(X,)=N+1, X nem válttó fel az első pénzjeggyel!
9 Dnamkus programozás Feladat: Adott P 1,P 2, P n pénzjegyek közül melyekkel fzethető k F fornt? Megoldás: egyébként N N P X V és P X N X V X V X X és N X V 1 1, 1, 1, ,
10 Dnamkus programozás Pénzváltás: A V mátrx kszámolása. V(1..F,0):=N+1; V(0,0):=0 Cklus =1-től N-g V(0,):=0 Cklus X=1-től F-g Ha V(X,-1) N akkor V(X,):=V(X,-1) különben X P() és V(X-P(),-1) N akkor V(X,):= különben V(X,):=N+1 Cklus vége Cklus vége V N 1 0 X, V X, 1 V X, 1 N 1 egyébként 0 X 0 X P N és és V X 0 X P, 1 N
11 Dnamkus programozás Csak akkor van megoldás, V(F,N) N. Ekkor k=v(f,n) olyan pénz ndexe, hogy F-P(k) felválttó az első k-1 pénzzel. Tehát a V(F-P(k),k-1) probléma megoldásával kell folytatnunk, mndaddg, amíg a maradék pénz 0 nem lesz.
12 Dnamkus programozás Db:=0; X:=F; :=N Ha V(F,N) N akkor Cklus :=V(x,) Db:=Db+1; A(Db):= X:=X-P() :=-1 amíg X 0 Cklus vége Eljárás vége. A megoldás előállítása.
13 Dnamkus programozás Feladat: Adott P 1,P 2, P n pénzjegyek közül a lehető legkevesebbet sználva mennyvel fzethető k F fornt? Megoldás: Tegyük fel, hogy F P P P... optmáls m felbontás! Ekkor F P P P... P... m s optmáls, azaz m 1 2 m 1 1 az adott részproblémának megoldása a megoldás megfelelő részlete. m
14 Dnamkus programozás Feladat: Adott P 1,P 2, P n pénzjegyek közül a lehető legkevesebbet sználva mennyvel fzethető k F fornt? Megoldás: P X és P X O X O P X és X O X X és N X O 0 1, 1,1, mn 0 1, ,
15 Dnamkus programozás Pénzváltás(Mnmum): O(1..F,0):=N+1; O(0,0):=0 Cklus =1-től N-g O(0,):=0 Cklus X=1-től F-g Ha X<P() akkor O(X,):=O(X,-1) különben O(X,):=mn(O(X,-1), 1+O(X-P(),-1)) Cklus vége Cklus vége Eljárás vége. O X, mn O N 1 0 OX, 1 X, 1,1 OX P, 1 0 X és és és X 0 X P X P
16 Dnamkus programozás Feladat: Adott P 1,P 2, P n pénzjegyek közül a lehető legkevesebbet sználva melyekkel fzethető k F fornt? Megoldás: Tegyük fel, hogy F P P P... optmáls m felbontás! Ekkor F P P P... P... m s optmáls, azaz m 1 2 m 1 1 az adott részproblémának megoldása a megoldás megfelelő részlete. m
17 Dnamkus programozás Feladat: Adott P 1,P 2, P n pénzjegyek közül a lehető legkevesebbet sználva melyekkel fzethető k F fornt? Megoldás: egyébként X V P X O X O és P X X X és N X V 1, 1, 1 ), ( ,
18 Dnamkus programozás Pénzváltás(O,V): O(1..F):=N+1; O(0):=0; V(1..F,0):=N+1 Cklus =1-től N-g O(0):=0; V(0,):=0 Cklus X=F-től 1-g -1-esével Ha X P() akkor S:=O(X-P())+1 különben S:=N+1 Ha S<O(X) akkor O(X):=S; V(X,):= különben V(X,):=V(X,-1) Cklus vége Cklus vége Eljárás vége. V X, V N 1 0 X, 1 egyébként 0 X 0 X P és és X 0 O( X, ) 1 O X P, 1
19 Dnamkus programozás Feladat: Két testvér adott értékű ajándékokon osztozkodk. Mnden egyes ajándékot pontosan ez egyk testvérnek kell adn. Készíts testvéres osztozkodást, azaz olyat, amelyben a két testvér által kapott ajándékok értéke különbségének abszolút értéke mnmáls! Megoldás: Ha az ajándékok összértéke E, akkor a feladat megoldása a legnagyobb olyan A E/2 szám, amely érték az ajándékok értékeből kétféleképpen s előállíttó. Tehát a megoldás vsszavezethető a pénzváltás probléma megoldására.
20 Megoldás: V(X,): V:=X=P() vagy Dnamkus programozás V P x X, gaz 1 és V X, 1 >1 és V(X,-1) vagy >1 és X P() és V(X-P(),-1) Függvény vége. A megoldás: a legnagyobb olyan A kválasztása (1 és E/2 között), amelyre V(A,N) gaz. 1 és X P és V X P, 1 Probléma: a futás dő O(2 N )
21 Dnamkus programozás V(X,) kszámításához mely V() értékekre lehet szükség? Az ábra alapján V értéke alulról felfelé, azon belül balról jobbra számoltók.
22 Dnamkus programozás Testvéres osztozkodás(a): V(1..E,1):=ms Ha P(1) E akkor V(P(1),1):=gaz Cklus =2-től N-g Cklus X=1-től E-g V(X,):=X=P() vagy V(X,-1) vagy X P() és V(X-P(),-1) Cklus vége Cklus vége Eredmény megadása(a,v,e,n) Függvény vége. A futás dő O(N*F) Memóragény: N*F
23 Dnamkus programozás Eredmény megadása(a,v,e,n): A:=E/2 Cklus amíg nem V(A,N) A:=A-1 Cklus vége Függvény vége.
24 Dnamkus programozás Feladat: Két testvér adott értékű ajándékokon osztozkodk. Mnden egyes ajándékot pontosan ez egyk testvérnek kell adn. Készíts gazságos osztozkodást, azaz olyat, amelyben a két testvér által kapott ajándékok értéke egyforma, a maradék értéke pedg mnmáls! Megoldás: Ha az ajándékok összértéke E, mndkét testvér A értékű ajándékot kap. A feladat megoldása a legnagyobb olyan A E/2 szám, amely érték az ajándékok értékeből kétféleképpen előállíttó. Tehát a megoldás vsszavezethető a pénzváltás probléma megoldására.
25 Dnamkus programozás Megoldás: Legyen V(X,Y,) gaz, az első ajándékból X és Y értékű s előállíttó úgy, hogy mndegyk szám legfeljebb az egyk összegben szerepel! Legyen V(0,0,)=gaz mnden -re, V(X,Y,0) ms mnden X,Y-ra! V(X,Y,)-re a következő rekurzív összefüggés írtó fel >0 esetén: V X,Y, gaz V X,Y, 1 P P X Y és és V X P,Y, 1 V X,Y P, 1
26 Dnamkus programozás Megoldás: Legyen V(X,Y,) gaz, az első ajándékból X és Y érték s előállíttó úgy, hogy mndegyk legfeljebb az egyk összegben szerepel! Legyen V(0,0,)=gaz mnden -re, V(X,Y,0) ms mnden X,Y-ra! V(X,Y,): Ha =0 akkor V:=ms különben X=0 és Y=0 akkor V:=gaz különben V:=V(X,Y,-1) vagy P()X és V(X-P(),Y,-1) vagy P()Y és V(X,Y-P(),-1) Függvény vége. A megoldás: a legnagyobb olyan A kválasztása (1 és E/2 között), amelyre V(A,A,N) gaz.
27 Dnamkus programozás Igazságos osztozkodás(a): V(1..E,1..E,1):=ms; V(0,0,1):=gaz Ha P(1) E akkor V(P(1),0,1):=gaz V(0,P(1),1):=gaz Cklus =2-től N-g Cklus X=1-től E-g Cklus Y=1-től E-g V(X,Y,):=V(X,Y,-1) vagy P()X és V(X-P(),Y,-1) vagy P()Y és V(X,Y-P(),-1) Cklus vége Cklus vége Eredmény megadása(a,v,e,n) Függvény vége.
28 Dnamkus programozás Eredmény megadása(a,v,e,n): A:=E/2 Cklus amíg nem V(A,A,N) A:=A-1 Cklus vége Függvény vége.
29 Dnamkus programozás Hátzsák feladat... 1 Feladat: Adott N tárgy (értékük F, súlyuk S ). Egy hátzsákba maxmum H súlyú tárgyat pakoltunk. Menny a maxmáls elszállíttó érték? Megoldás: Tegyük fel, hogy H S S S... optmáls meg- m 1 2 oldás, azaz F F... F maxmáls! 1 2 m Ekkor H S S S... S... m s optmáls, azaz az m 1 2 m 1 1 adott részproblémának megoldása a megoldás megfelelő részlete. m
30 Dnamkus programozás Hátzsák feladat Feladat: Adott N tárgy (értékük F, súlyuk S ). Egy hátzsákba maxmum H súlyú tárgyat pakoltunk. Menny a maxmáls elszállíttó érték? Megoldás: Jelölje E(X,) a legnagyobb elszállíttó értéket, amely az első tárgyból egy X kapactású hátzsákba bepakoltó. E X, max E F 0 EX, 1 X, 1, F EX S, 1 1 egyébként és és és S S S 1 1 X X X
31 Dnamkus programozás Hátzsák(): E(0..S(1)-1,1):=0; E(S(1)..H,1):=F(1) Cklus =2-től N-g Cklus X=0-tól H-g E(X,):=E(X,-1) Ha S() X és E(X,)<E(X-S(),-1)+F() akkor E(X,):=E(X-S(),-1)+F() Cklus vége Cklus vége Kírás Eljárás vége. E X, max E F 1 0 EX, 1 X, 1, F EX S, 1 egyébként és és és S S S 1 1 X X X
32 Dnamkus programozás Kírás: :=N; X:=H Cklus amíg E(X,)>0 Cklus amíg 1 és E(X,)=E(X,-1) :=-1 Cklus vége K:, X:=X-S(); :=-1 Cklus vége Eljárás vége.
33 Dnamkus programozás stratégája A dnamkus programozás stratégája 1. Az [optmáls] megoldás szerkezetének tanulmányozása. 2. Részproblémákra és összetevőkre bontás úgy, hogy: az összetevőktől való függés körmentes legyen; mnden részprobléma [optmáls] megoldása kfejezhető legyen (rekurzívan) az összetevők [optmáls] megoldásaval. 3. Részproblémák [optmáls] megoldásának kfejezése (rekurzívan) az összetevők [optmáls] megoldásaból.
34 Dnamkus programozás stratégája 4. Részproblémák [optmáls] megoldásának kszámítása alulról-felfelé ladva: A részproblémák kszámítás sorrendjének megtározása. Olyan sorba kell rakn a részproblémákat, hogy mnden p részprobléma mnden összetevője ( van) előbb szerepeljen a felsorolásban, mnt p. A részproblémák kszámítása alulról-felfelé ladva, azaz táblázatktöltéssel. 5. Egy [optmáls] megoldás előállítása a 4. lépésben kszámított (és tárolt) nformácókból.
35 Dnamkus programozás leghosszabb közös rész Feladat: Adjuk meg két sorozat X=(x 1,x 2, x n ) és Y=(y 1,y 2, y m ) leghosszabb közös részsorozatát! Egy akkor részsorozata egy másknak, abból elemek elgyásával megkaptó. Megoldás: Jelölje XX =(x 1,x 2, x ) az X, YY j =(y 1,y 2, y j ) pedg az Y sorozat egy-egy prefxét! Legyen Z=(z 1,z 2, z k ) egy megoldása a feladatnak!
36 Dnamkus programozás leghosszabb közös rész A megoldás elemzése: Ha x m =y m, akkor z k =x m =y m, és ZZ k-1 az XX n-1 és YY m-1 leghosszabb közös részsorozata. Ha x m y m, akkor Z az XX n-1 és Y vagy az X és YY m-1 leghosszabb közös részsorozata. Az XX és YY j leghosszabb közös részsorozatának hossza: h, j h 1, j 1 1 max h 1, j, h, j 1 0 egyébként x 0 y j vagy j 0
37 Dnamkus programozás leghosszabb közös rész A rekurzív algortmus: Hossz(,j): Ha =0 vagy j=0 akkor Hossz:=0 különben X()=Y(j) akkor Hossz:=Hossz(-1,j-1)+1 különben Hossz:=max(Hossz(-1,j),Hossz(,j-1)) Függvény vége. h, j h 1, j 1 1 max h 1, j, h, j 1 0 egyébként x 0 y j vagy j 0
38 Dnamkus programozás leghosszabb közös rész A jó megoldás rekurzó memorzálással: Hossz(,j): Ha H(,j)=-1 akkor Ha =0 vagy j=0 akkor H(,j):=0 különben X()=Y(j) akkor H(,j):=Hossz(-1,j-1)+1 különben H(,j):=max(Hossz(-1,j),Hossz(,j-1)) Elágazás vége Hossz:=H(,j) Függvény vége. Azaz, amt már egyszer kszámoltunk, azt tároljuk és ne számoljuk k újra! A H mátrxot kezdetben -1 értékekkel töltjük k! h, j h 1, j 1 1 max h 1, j, h, j 1 0 egyébként x 0 y j vagy j 0
39 Dnamkus programozás toronyépítés Feladat: Adott M 1,M 2, M n méretű kockákból (amelyek súly szernt csökkenő sorrendbe vannak rendezve) építsünk maxmáls magasságú stabl tornyot! A stabl toronyban felfelé ladva a méret és a súly s csökken. Megoldás: Tegyük fel, hogy M megoldás! ; M ;...; M k 1 k Ekkor n= k-1 -re M ; M ;...; 1... s megoldás, azaz 1 M 2 k1 k1 az adott részproblémának megoldása a megoldás megfelelő részlete.
40 Dnamkus programozás toronyépítés Tehát a feladat a legmagasabb olyan torony magasságának kszámolása, ahol az. kocka van legfelül: Kocka 1 2 Kocka Kocka max... M M M egyébként M M M M 1 2
41 Dnamkus programozás toronyépítés A rekurzív megoldás: Kocka(): K:=M() Cklus j=1-től -1-g Ha M() M(j) akkor Ha Kocka(j)+M()>K akkor K:=Kocka(j)+M() Cklus vége Kocka:=K Függvény vége. A rengeteg rekurzív hívás matt nagyon lassú. Láttó azonban, hogy Kocka() kszámításához csak a korábbakra van szükség. Kocka 1 2 Kocka M Kocka M max... M egyébként M M M M 1 2
42 Dnamkus programozás toronyépítés Toronyépítés: Kocka(1):=M(1) Cklus =2-től N-g K:=M() Cklus j=1-től -1-g Ha M() M(j) akkor Ha Kocka(j)+M()>K akkor K:=Kocka(j)+M() Cklus vége Kocka():=K Cklus vége Eljárás vége. A táblázatktöltős megoldás.
43 Dnamkus programozás toronyépítés Ezzel még nncs kész a megoldás, csak azt tudjuk mnden -re, hogy mekkora a legmagasabb torony, amkor az -edk kocka van felül. A megoldás ezen számok maxmuma. Ha bevezetnénk egy N+1., 0 méretű kockát, akkor a megoldás értéke Kocka(N+1) lenne. Ha a tornyot fel s kellene építen, akkor még azt s tároln kell, hogy melyk kockát melykre kell rátenn.
44 Dnamkus programozás toronyépítés Toronyépítés: Kocka(1):=M(1); Mre(1):=0; M(N+1):=0 Cklus =2-től N+1-g K:=M(); Mre():=0 Cklus j=1-től -1-g Ha M() M(j) akkor Ha Kocka(j)+M()>K akkor K:=Kocka(j)+M(); Mre():=j Cklus vége Kocka():=K Cklus vége Eljárás vége.
45 Dnamkus programozás toronyépítés Torony: Toronyépítés Toronykírás(N+1) Eljárás vége. Toronykírás(): Ha Mre()>0 akkor Toronykírás(Mre()) K: Mre() Eljárás vége.
46 Dnamkus programozás kemence Feladat: Egy fazekasműhelyben N tárgy vár kégetésre. A kemencébe a beérkezés sorrendjében tehetők be, egyszerre legfeljebb K darab. Mnden tárgynak smerjük a mnmáls égetés dejét, amennyt legalább a kemencében kell töltene. Adjuk meg a mnmáls dőt, am alatt mnden tárgy kégethető! Megoldás: Tegyük fel, hogy ((1,, 1 ),, ( m-1 +1,,N)) a megoldás! Ekkor az N. tárgy vagy önmagában kerül a kemencébe, vagy legfeljebb K-1 előző tárggyal együtt.
47 Dnamkus programozás kemence Számítsuk k az első tárgy kégetéséhez szükséges dőt! Idő mn Idő Idő 1 Éget j 1 max Éget j.. ahol j 1 K
48 Dnamkus programozás kemence Kemence: Idő(0):=0 Cklus =1-től N-g H:=Idő(-1)+Éget(); max:=éget(); G:= j:=-1 Cklus amíg j>0 és +j-1 K Ha max<éget(j) akkor max:=éget(j) Ha Idő(j-1)+max<H akkor H:=Idő(j-1)+max; G:=j j:=j-1 Cklus vége Idő():=H; Db():=-G+1 Cklus vége Eljárás vége. Idő mn Idő Idő 1 Éget j 1 max Éget j.. ahol j 1 K
49 Dnamkus programozás kemence Feladat: Egy fazekasműhelyben N tárgy vár kégetésre. A kemencébe a beérkezés sorrendjében tehetők be, egyszerre legfeljebb S összsúlyú tárgy tehető. Mnden tárgynak smerjük a mnmáls égetés dejét, amennyt legalább a kemencében kell töltene. Adjuk meg a mnmáls dőt, am alatt mnden tárgy kégethető!
50 Dnamkus programozás kemence Megoldás: Tegyük fel, hogy ((1,, 1 ),, ( m-1 +1,,N)) a megoldás! Ekkor az N. tárgy vagy önmagában kerül a kemencébe, vagy legfeljebb S súlyú előző tárggyal együtt. Számítsuk k az első tárgy kégetéséhez szükséges dőt! Idő mn Idő Idő 1 Éget j 1 max Éget j.. ahol Súly j.. S
51 Dnamkus programozás kemence Kemence: Idő(0):=0 Cklus =1-től N-g H:=Idő(-1)+Éget(); max:=éget(); G:= j:=-1; Su:=Súly() Cklus amíg j>0 és Su+Súly(j) S Ha max<éget(j) akkor max:=éget(j) Su:=Su+Súly(j) Ha Idő(j-1)+max<H akkor H:=Idő(j-1)+max; G:=j j:=j-1 Cklus vége Idő():=H; Db():=-G+1 Cklus vége Eljárás vége. Idő mn Idő Idő 1 Éget j 1 max Éget j.. ahol Súly j.. S
52 Dnamkus programozás kncs Feladat: Egy N*M-es téglalap alakú területen egy járművel szedhetjük össze az elrejtett kncseket, a bal felső sarokból a jobb alsó felé ladva. A terep jobbra és lefelé lejt, azaz a jármű csak jobbra és lefelé ladt. Add meg, hogy maxmum hány kncset gyűjthet be!! A megoldás elemzése: Ha a megoldás egy L 1, L 2,,L j,, L k úton érhető el, akkor az L 1, L 2,,L j egy olyan út, amn elért pontban az odág begyűjthető legtöbb kncset kapjuk. Kezdőpozícó: (1,1) Végpozícó: (N,M)
53 Dnamkus programozás kncs Megoldás: Számítsuk k mnden lehetséges mezőre, hogy addg eljutva menny a maxmálsan begyűjthető kncsek száma! Gy, j max Gy 1, j, Gy, j 1 Kncs, j max Gy 1, j, Gy, j 1 1 Kncs, j 0 * * * * * * * * * 0 "" " " vagy j 0
54 Dnamkus programozás A megoldás: Gy(N,M) kncs Kncsek: Gy(0,1..M):=0; Gy(1..N,0):=0 Cklus =1-től N-g Cklus j=1-től M-g Ha Kncs(,j)= * akkor k:=1 különben k:=0 Ha Gy(,j-1)>Gy(-1,j) akkor Gy(,j):=Gy(,j-1)+k különben Gy(,j):=Gy(-1,j)+k Cklus vége Cklus vége Eljárás vége. Gy, j max Gy 1, j, Gy, j 1 Kncs, j max Gy 1, j, Gy, j 1 1 Kncs, j 0 0 "" " " vagy j 0
55 Dnamkus programozás kncs Ha a bejárt útra s szükségünk lenne, akkor a Gy mátrx alapján az út vsszakövethető. Azt kell fgyelnünk, hogy mnden helyre a nagyobb értékű szomszédból kellett jönnünk. Útkírás(,j): Ha 1 vagy j 1 akkor Ha Gy(,j-1)>Gy(-1,j) akkor Útkírás(,j-1); K: J különben Útkírás(-1,j); K: L Eljárás vége. A megoldás a számítások után: Útkírás(N,M)
56 Dnamkus programozás kncs Feladat: Egy N*M-es téglalap alakú területen egy járművel szedhetjük össze az elrejtett kncseket. A terep balról jobbra lejt, azaz a jármű csak jobbra, felfelé és lefelé ladt. Add meg, hogy maxmum hány kncset gyűjthet be! Mnden mezőre csak egyszer léphetünk! A megoldás elemzése: Ha a megoldás egy L 1, L 2,,L j,, L k úton érhető el, akkor az L 1, L 2,,L j egy olyan út, amn elért pontban az odág begyűjthető legtöbb kncset kapjuk, e de jöhetünk lentről s. Kezdőpozícó: (1,1) Végpozícó: (N,M)
57 Dnamkus programozás kncs Megoldás: Számítsuk k mnden lehetséges mezőre, hogy addg eljutva menny a maxmálsan begyűjthető kncsek száma, lentről, lletve, fentről léptünk be! L F, j max L 1, j, L, j 1, F, j 1 Kncs, j max L 1, j, L, j 1, F, j 1 1 Kncs, j 0 0, j max F 1, j, L, j 1, F, j 1 Kncs, j max F 1, j, L, j 1, F, j 1 1 Kncs, j 0 0 "" " " "" " " vagy vagy j 0 j 0
58 Dnamkus programozás kncs Kncsek: L(N+1,1..M):=0; L(1..N,0):=0 F(0,1..M):=0; F(1..N,0):=0 Cklus =1-től N-g Cklus j=1-től M-g Ha Kncs(,j)= * akkor k:=1 különben k:=0 L(,j):=max(L(+1,j),L(,j-1),F(,j-1))+k F(,j):=max(F(-1,j),L(,j-1),F(,j-1))+k Cklus vége Cklus vége Eljárás vége. A megoldás: F(N,M)
59 Dnamkus programozás kncs Feladat: Egy N*M-es téglalap alakú területen egy járművel szedhetjük össze az elrejtett kncseket. A terep jobbra és lefelé lejt, azaz a jármű csak jobbra és lefelé ladt. Bzonyos helyeken akadályok vannak, ahova nem léphet! Add meg, hogy maxmum hány kncset gyűjthet be!! A megoldás elemzése: Ha a megoldás egy L 1, L 2,,L j,, L k úton érhető el, akkor az L 1, L 2,,L j egy olyan út, amn elért pontban az odág begyűjthető legtöbb kncset kapjuk. Kezdőpozícó: (1,1) Végpozícó: (N,M)
60 Dnamkus programozás kncs Megoldás: Számítsuk k mnden lehetséges mezőre, hogy addg eljutva menny a maxmálsan begyűjthető kncsek száma! Gy, j max max 0 N M Kncs, j Gy 1, j, Gy, j 1 Kncs, j Gy 1, j, Gy, j 1 1 Kncs, j 0 " " "" " " vagy j 0 * * * + + * * + * * * * *
61 Dnamkus programozás kncs Kncsek: Gy(0,1..M):=0; Gy(1..N,0):=0 Cklus =1-től N-g Cklus j=1-től M-g Ha Kncs(,j)= * akkor k:=1 különben k:=0 Ha Kncs(,j)= + akkor Gy(,j):=-N*M különben Gy(,j-1)>Gy(-1,j) akkor Gy(,j):=Gy(,j-1)+k különben Gy(,j):=Gy(-1,j)+k Cklus vége Cklus vége Eljárás vége. A megoldás: Gy(N,M)
62 Dnamkus programozás Tükörszó Feladat: Egy szóba mnmálsan hány karaktert kell beszúrn, hogy tükörszó legyen belőle (azaz ugyanaz legyen balról-jobbra és jobbról balra olvasva s)! Megoldás: Tetszőleges S szóra az SS T szó bztos tükörszó, tehát a feladat-nak kell legyen megoldása! Alternatív feladat: mnmálsan hány betűt kell töröln?
63 Dnamkus programozás Tükörszó Az egybetűs szavak bztosan tükörszavak. Az azonos kezdő- és végbetűjű szavak tükörszóvá alakításához elég a középső rész átalakítása. Ha az első és az utolsó betű különbözk, akkor két lehetőségünk van a tükörszóvá alakításra: az első betűt szúrjuk be a szó végére; az utolsó betűt szúrjuk be a szó elejére. M, j M 1, j 1 1 mn M 1, j, M, j 1 Probléma: a rekurzó nem tékony! 0 j j j és és S S S S j j
64 Dnamkus programozás Tükörszó Jó sorrendű táblázatktöltés kell: 1, j 1
65 Dnamkus programozás Tükörszó Tükörszó(S,M): M() kezdő feltöltése Cklus j=2-től N-g M(j,j):=0 Cklus =j-1-től 1-g -1-esével Ha S()=S(j) akkor M(,j):=M(+1,j-1) különben M(,j):=1+Mn(M(+1,j),T(,j-1)) Cklus vége Cklus vége Tükörszó:=M(1,N) Függvény vége.
66 Dnamkus programozás Tükörszó Tükörszó(S,T): T(1):=0 Cklus j=2-től N-g T(j):=0; Ment:=0 Cklus =j-1-től 1-g -1-esével Ment:=T() Ha S()=S(j) akkor T():=Ment különben T():=1+Mn(T(),T(+1)) Ment:=Ment Cklus vége Cklus vége Tükörszó:=T(1) Függvény vége. Mátrx helyett vektor sználatával.
67 Dnamkus programozás Tükörszó Tükörszó kírása: Ha Tükörszó(S,E) akkor :=1; j:=n Cklus amíg <j Ha S()=S(j) akkor :=+1; j:=j-1 különben Ha M(,j)=M(+1,j) akkor {S() a j. betű mögé} különben {S(j) az. betű elé} Cklus vége Eljárás vége.
68 Dnamkus programozás rúd darabolás Feladat: Egy fémrudat megadott számú darabra kell felvágn úgy, hogy a vágások pontos helyét s tudjuk. A vágások tetszőleges sorrendben elvégezhetőek. Egy vágás költsége megegyezk annak a darabnak a hosszával, amt éppen (két darabra) vágunk. Adjuk meg a vágás műveletsor optmáls összköltségét, és egy olyan vágás sorrendet, amely optmáls költséget eredményez. A megoldás elemzése: Ha az optmáls vágássorozatban először a K. helyen történk a vágás, akkor a V 0..V k és a V k..v n+1 rúd vágássorozata s optmáls lesz.
69 Dnamkus programozás rúd darabolás Megoldás: Számítsuk k mnden (,j) rúddarabra, hogy m ennek az optmáls vágás költsége! Opt, j V j V mn Opt 0 j1,k Opt k, j k1 j 1 1 j
70 Dnamkus programozás rúd darabolás Kncsek: Cklus =0-tól N-g Opt(,+1):=0; S(,+1):=0 Cklus vége Cklus u=2-től N+1-g Cklus =0-töl N-u+1-g j:=+u; Mn:=+ Cklus k=+1-től j-1-g Ha Opt(,k)+Opt(k,j)<Mn akkor Mn:=Opt(,k)+Opt(k,j); Hol:=k Cklus vége Opt(,j):=Mn; S(,j):=Hol Cklus vége Cklus vége Eljárás vége. A megoldás: Opt(0,N+1)
71 Dnamkus programozás stratégája A dnamkus programozás stratégája 1. Az [optmáls] megoldás szerkezetének tanulmányozása. 2. Részproblémákra és összetevőkre bontás úgy, hogy: az összetevőktől való függés körmentes legyen; mnden részprobléma [optmáls] megoldása kfejezhető legyen (rekurzívan) az összetevők [optmáls] megoldásaval. 3. Részproblémák [optmáls] megoldásának kfejezése (rekurzívan) az összetevők [optmáls] megoldásaból.
72 Dnamkus programozás stratégája 4. Részproblémák [optmáls] megoldásának kszámítása alulról-felfelé ladva: A részproblémák kszámítás sorrendjének megtározása. Olyan sorba kell rakn a részproblémákat, hogy mnden p részprobléma mnden összetevője ( van) előbb szerepeljen a felsorolásban, mnt p. A részproblémák kszámítása alulról-felfelé ladva, azaz táblázatktöltéssel. 5. Egy [optmáls] megoldás előállítása a 4. lépésben kszámított (és tárolt) nformácókból.
73 Dnamkus programozás tovább feladatok DNS A bológa szekvencák, különösen a DNS szekvencák vzsgálata nagyon fontos kutatás terület. Mnden DNS szekvenca leírtó olyan karaktersorozattal, amely csak az A, C, G és T karaktereket tartalmaztja. Számítsd k egy DNS szekvencának egy pontosan K betűből álló részsorozatát, amely a legtöbbször fordul elő a vzsgált szekvencában!
74 Dnamkus programozás tovább feladatok LEFED Azt mondjuk, hogy egész számok zárt ntervallumanak egy H lmaza lefed az [1,N] ntervallumot, az ntervallum mnden x eleméhez van olyan ntervallum H-ban, amelynek x eleme. Egy lefedés költségén a lefedéshez sznált ntervallumok hosszanak összegét értjük. Számítsd k, hogy adott [1,N] lefedendő ntervallum és lefedéshez sználtó ntervallumok egy H lmaza esetén mekkora a mnmáls lefedés költsége, létezk lefedés!
75 Dnamkus programozás tovább feladatok KÉPÁTLÓ Adott egy N x N pxelből álló fekete-fehér kép. Szeretnénk a képen a bal felső saroktól a jobb alsó sarokg egy jobbra-lefele ladó tárvonalat húzn úgy, hogy a vonaltól jobbra-felfele eső fekete, valamnt a vonaltól balra-lefele eső fehér pxelek számának K összege a lehető legkevesebb legyen. A tárvonalra eső pxelek nem számítanak bele. Add meg a mnmáls lyen K értéket!
76 Dnamkus programozás tovább feladatok CSOMAG A csomagküldő szolgálat központjában a beérkezés sorrendjében várakoznak a csomagok továbbításra. Mnden csomagnak smert a súlya. A cégnek két kamonja van, mndegyk azonos K kapactású. Mnden csomag súlya legfeljebb K. A lehető legtöbb csomagot akarják továbbítan a két kamonnal. Kszámítandó az a legnagyobb M szám (1 M N), hogy a sorban első M csomag mndegyke felpakoltó a két kamon valamelykére!
77 Dnamkus programozás tovább feladatok PAKOLÁS Egy raktárból konténereket kell elszállítan K kamonnal. A konténerek egy sorban egymás után helyezkednek el. Mnden konténer súlyát smerjük. Mnden kamonra csak a sorban egymást követő konténerek pakoltók. Azt szeretnék elérn, hogy a lehető legegyenletesebb legyen a kamonok terhelése, am azt jelent, hogy a maxmálsan terhelt kamon terhelése a lehető legksebb legyen. A kamonok súlykapactása legalább akkora, hogy mndegyk bztosan elbírja a rárakandó konténerek súlyát. Mnden kamonra legalább egy konténert kell rakn. Számíts k egy legegyenletesebb pakolást!
78 Dnamkus programozás előadás vége
Dinamikus programozás. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával)
Dnamkus programozás (Horváth Gyula és Szláv Péter előadása felsználásával) Dnamkus programozás kncs Feladat: Egy N*M-es téglalap alakú területen egy járművel szedhetjük össze az elrejtett kncseket, a bal
RészletesebbenDinamikus programozás
Dnamkus programozás (Horváth Gyula és Szláv Péter előadása felhasználásával) Dnamkus programozás Feladat: Adott P,P 2, P n pénzjegyekkel kfzethető-e F fornt? Megoldás: Tegyük fel, hogy F P P... P...! 2
RészletesebbenAlgoritmusok és adatszerkezetek I. 10. előadás
Algortmusok és adatszerkezetek I. 10. előadás Dnamkus programozás Feladat: Adott P 1,P 2, P n pénzjegyekkel kfzethető-e F fornt? Megoldás: Tegyük fel, hogy F P P... P... m! 1 2 m 1 Ekkor F P P P P......,
RészletesebbenDinamikus programozás II.
Dinamikus programozás II. Dinamikus programozás stratégiája A dinamikus programozás stratégiája 1. Az [optimális] megoldás szerkezetének tanulmányozása. 2. Részproblémákra és összetevőkre bontás úgy, hogy:
RészletesebbenAlgoritmizálás, adatmodellezés tanítása 8. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 8. előadás Elágazás és korlátozás A backtrack alkalmas-e optimális megoldás keresésére? Van költség, és a legkisebb költségű megoldást szeretnénk előállítani. Van
Részletesebben8. Programozási tételek felsoroló típusokra
8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy
RészletesebbenA 2008/2009 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló feladatainak megoldása. INFORMATIKÁBÓL II. (programozás) kategóriában
Oktatási Hivatal A 2008/2009 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló feladatainak megoldása INFORMATIKÁBÓL II. (programozás) kategóriában Kérjük a tisztelt tanár kollégákat, hogy a
RészletesebbenA 2010/2011 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának megoldása. II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal A 20/2011 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának megoldása II. (programozás) kategória Kérjük a tisztelt kollégákat, hogy az egységes értékelés érdekében
RészletesebbenPartíció probléma rekurzíómemorizálással
Partíció probléma rekurzíómemorizálással A partíciószám rekurzív algoritmusa Ω(2 n ) műveletet végez, pedig a megoldandó részfeladatatok száma sokkal kisebb O(n 2 ). A probléma, hogy bizonyos már megoldott
RészletesebbenFibonacci számok. Dinamikus programozással
Fibonacci számok Fibonacci 1202-ben vetette fel a kérdést: hány nyúlpár születik n év múlva, ha feltételezzük, hogy az első hónapban csak egyetlen újszülött nyúl-pár van; minden nyúlpár, amikor szaporodik
RészletesebbenAlgoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 09 Rendezések
Algortmusok és adatszerkezetek gyakorlat 09 Rendezések Néhány órával ezelőtt megsmerkedtünk már a Merge Sort rendező algortmussal. A Merge Sort-ról tuduk, hogy a legrosszabb eset dőgénye O(n log n). Tetszőleges
RészletesebbenEgy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról
Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,
RészletesebbenAlgoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu
Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu 4. Dinamikus programozással megoldható feladatok A dinamikus programozás elnevezés egy
Részletesebben4 2 lapultsági együttható =
Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.
RészletesebbenALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK
ALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK 1. ALGORITMUS FOGALMA ÉS JELLEMZŐI Az algortmus egyértelműen végreajtató tevékenység-, vagy utasítássorozat, amely véges sok lépés után befejeződk. 1.1 Fajtá: -
RészletesebbenMátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv
Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,
RészletesebbenStatisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás.
Statsztka próbák Paraméteres. A populácó paraméteret becsüljük, ezekkel számolunk.. Az alapsokaság eloszlására van kkötés. Nem paraméteres Nncs lyen becslés Nncs kkötés Ugyanazon problémára sokszor megvan
RészletesebbenDinamukus programozás
Dinamukus programozás Horváth Gyula horvath@inf.elte.hu 2. Dinamikus programozással megoldható feladatok A dinamikus programozás elnevezés egy probléma-megoldási módszert jelöl. A módszer lényege, hogy
RészletesebbenAdatsorok jellegadó értékei
Adatsorok jellegadó értéke Varga Ágnes egyetem tanársegéd varga.ag14@gmal.com Terület és térnformatka kvanttatív elemzés módszerek BCE Geo Intézet Terület elemzés forgatókönyve vacsora hasonlat Terület
RészletesebbenFuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika
Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a
RészletesebbenRekurzió. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával)
Rekurzió (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Rekurzió és iteráció Balrekurzió Ha az eljárás első utasításaként szerepel a rekurzív hívás, akkor a rekurzió lényegében az első nem
RészletesebbenBevezetés a programozásba. 3. Előadás Algoritmusok, tételek
Bevezetés progrmozásb 3. Elődás Algortmusok, tételek ISMÉTLÉS Specfkácó Előfeltétel: mlyen körülmények között követelünk helyes működést Utófeltétel: mt várunk kmenettől, m z összefüggés kmenet és bemenet
Részletesebben9. Visszavezetés egyedi felsorolókkal
9. Vsszavezetés egyed felsorolókkal Ebben a fejezetben a hét általános programozás tételt olyan feladatok megoldására alkalmazzuk, ahol nem lehet nevezetes felsorolókat sználn, azaz a Frst(), Next(), End()
RészletesebbenKvantum-tömörítés II.
LOGO Kvantum-tömörítés II. Gyöngyös László BME Vllamosmérnök és Informatka Kar A kvantumcsatorna kapactása Kommunkácó kvantumbtekkel Klasszkus btek előnye Könnyű kezelhetőség Stabl kommunkácó Dszkrét értékek
RészletesebbenMETROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS
METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.
RészletesebbenPéldák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):
F NIK INÁRIS RLÁIÓK INÁRIS RLÁIÓK (és hasonló mátrxok s tt!) Defnícó: z R bnárs relácó, ha R {( a, b) a, b } nárs relácók lehetséges tuladonsága:. Reflexív ha ( x,.(a). Szmmetrkus ha ( x, y) ( y,.(b).
Részletesebbend(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.
Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés
RészletesebbenA sokaság/minta eloszlásának jellemzése
3. előadás A sokaság/mnta eloszlásának jellemzése tpkus értékek meghatározása; az adatok különbözőségének vzsgálata, a sokaság/mnta eloszlásgörbéjének elemzése. Eloszlásjellemzők Középértékek helyzet (Me,
Részletesebben4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme
HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató
RészletesebbenORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!
ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test
RészletesebbenAz entrópia statisztikus értelmezése
Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok
RészletesebbenMatematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz
Matematka M. zárthely megoldások, 7 tavasz A csoport Pontozás: + 7 + 7 + 7) + 3 + 6 5 pont.. Lehet-e az ux, y) e 3x cos3y) kétváltozós valós függvény egy regulárs komplex függvény valós része? Ha gen,
RészletesebbenAdatszerkezetek II. 10. előadás
Adatszerkezetek II. 10. előadás Kombinatorikai algoritmusok A kombinatorika: egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján történő csoportosításával, kiválasztásával, sorrendbe rakásával foglalkozik
RészletesebbenKOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben
RészletesebbenMohó algoritmusok. Példa:
Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus sokszor olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Ezt gyakran dinamikus programozás alapján
RészletesebbenPeriodikus figyelésű készletezési modell megoldása általános feltételek mellett
Tanulmánytár Ellátás/elosztás logsztka BME OMIKK LOGISZTIKA 9. k. 4. sz. 2004. júlus augusztus. p. 47 52. Tanulmánytár Ellátás/elosztás logsztka Perodkus fgyelésű készletezés modell megoldása általános
Részletesebben2. forduló. MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2014/2015 tanév. 1. Számkeresztrejtvény:
1. Számkeresztrejtvény: MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2014/2015 tanév 2. forduló Az alábbi keresztrejtvény ábra abban különbözik a hagyományos keresztrejtvényektől, hogy a négyzet alakú mezőkbe
RészletesebbenKombinatorikai algoritmusok. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával)
Kombinatorikai algoritmusok (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Kombinatorikai algoritmusok A kombinatorika: egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján történő csoportosításával,
RészletesebbenKombinatorikai algoritmusok
Kombinatorikai algoritmusok (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Kombinatorikai algoritmusok A kombinatorika: egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján történő csoportosításával,
RészletesebbenVéletlenszám generátorok. 5. előadás
Véletlenszám generátorok 5. előadás Véletlenszerű változók, valószínűség véletlen, véletlen változók valószínűség fogalma egy adott esemény bekövetkezésének esélye értékét 0 és között adjuk meg az összes
RészletesebbenThe original laser distance meter. The original laser distance meter
Leca Leca DISTO DISTO TM TM D510 X310 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - -
RészletesebbenTanult nem paraméteres próbák, és hogy milyen probléma megoldására szolgálnak.
8. GYAKORLAT STATISZTIKAI PRÓBÁK ISMÉTLÉS: Tanult nem paraméteres próbák, és hogy mlyen probléma megoldására szolgálnak. Név Illeszkedésvzsgálat Χ próbával Illeszkedésvzsgálat grafkus úton Gauss papírral
RészletesebbenGyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk).
Gyakorlatok Din 1 Jelölje P (n) azt a számot, ahányféleképpen mehetünk le egy n lépcsőfokból álló lépcsőn a következő mozgáselemek egy sorozatával (zárójelben, hogy mennyit mozgunk az adott elemmel): lépés
RészletesebbenAlgoritmizálás, adatmodellezés tanítása 7. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 7. előadás Oszd meg és uralkodj! Több részfeladatra bontás, amelyek hasonlóan oldhatók meg, lépései: a triviális eset (amikor nincs rekurzív hívás) felosztás (megadjuk
RészletesebbenMásolásra épülő algoritmusok
Másolásra épülő algortmusok Tartalomjegyzék Másolás...2 Másolás és módosítás...3 Másolás és módosítás plusz...4 Tömbelemek módosítása...5 Kválogatás...6 Szétválogat...7 Unó...8 Metszet...9 Összefuttatás...10
RészletesebbenEgyszerű algoritmusok
Egyszerű algortmusok Tartalomjegyzék Összegzés...2 Maxmum kválasztás...3 Mnmum kválasztás...4 Megszámlálás...5 Eldöntés...6 Eldöntés - wle...8 Lneárs keresés...10 Készítette: Gál Tamás Creatve Commons
RészletesebbenVéletlenszám generátorok. 6. előadás
Véletlenszám generátorok 6. előadás Véletlenszerű változók, valószínűség véletlen, véletlen változók valószínűség fogalma egy adott esemény bekövetkezésének esélye értékét 0 és között adjuk meg az összes
Részletesebben10. Alakzatok és minták detektálása
0. Alakzatok és mnták detektálása Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafka tanszék SZTE http://www.nf.u-szeged.hu/~kato/teachng/ 2 Hough transzformácó Éldetektálás során csak élpontok halmazát
RészletesebbenLeica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter
TM Leca DISTO Leca DISTOTMD510 X10 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - - -
RészletesebbenMŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése
MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:
RészletesebbenMűszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok
Műszak folyamatok közgazdaság elemzése Kevert stratégák és evolúcós átékok Fogalmak: Példa: 1 szta stratéga Vegyes stratéga Ha m tszta stratéga létezk és a 1 m annak valószínűsége hogy az - edk átékos
RészletesebbenOKTV 2007/2008 Informatika II. kategória döntő forduló Feladatlap. Oktatási Hivatal
Feladatlap Kedves Versenyző! A megoldások értékelésénél csak a programok futási eredményeit vesszük tekintetbe. Ezért igen fontos a specifikáció pontos betartása. Ha például a feladat szövege adatok valamilyen
RészletesebbenIdőjárási csúcsok. Bemenet. Kimenet. Példa. Korlátok. Nemes Tihamér Nemzetközi Informatikai Tanulmányi Verseny, 2-3. korcsoport
Időjárási csúcsok Ismerjük N napra a déli hőmérséklet értékét. Lokálisan melegnek nevezünk egy napot (az első és az utolsó kivételével), ha az aznap mért érték nagyobb volt a két szomszédjánál, lokálisan
Részletesebben43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HATODIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HATODIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Ismerkedj a 100 tulajdonságaival! I.) Állítsd elő a 100-at a,, b, 3, c, 4, d, 5 négyzetszám összegeként!
RészletesebbenA 2014/2015 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló javítási-értékelési útmutató. INFORMATIKA II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal A 2014/2015 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló javítási-értékelési útmutató INFORMATIKA II. (programozás) kategória Kérjük a tisztelt kollégákat, hogy az egységes
Részletesebbens n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés
A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,
RészletesebbenKÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉS-ÜZEMVITEL)
Közlekedés alapsmeretek (közlekedés-üzemvtel) középsznt 1212 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 25. KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉS-ÜZEMVITEL) KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI
RészletesebbenKÖZBESZERZÉSI ADATBÁZIS
14. melléklet a 44/2015. (XI. 2.) MvM rendelethez KÖZBESZERZÉSI DTBÁZIS Összegez az ajánlatok elbírálásáról I. szakasz: kérő I.1) Név címek 1 (jelölje meg az eljárásért felelős összes ajánlatkérőt) Hvatalos
RészletesebbenOAF Gregorics Tibor: Minta dokumentáció a 4. házi feladathoz 1. Feladat. Megoldás
OAF Gregorcs Tbor: Mnta dokumentácó a 4. ház feladathoz 1. Feladat Adott egy szöveges fájlbel szöveg, ahol a szavakat szóközök, tabulátor-jelek, sorvége-jelek lletve a fájlvége-jel határolja. Melyk a leghosszabb
RészletesebbenOptimalizációs stratégiák 1.
Optimalizációs stratégiák 1. Nyers erő, Oszd meg és uralkodj, Feljegyzéses, Dinamikus, Mohó előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János
RészletesebbenDinamikus programozás
Dinamikus programozás Horváth Gyula horvath@inf.elte.hu 2. Dinamikus programozással megoldható feladatok A dinamikus programozás elnevezés egy probléma-megoldási módszert jelöl. A módszer lényege, hogy
RészletesebbenA 2013/2014 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló javítási-értékelési útmutató. INFORMATIKA II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal 2013/2014 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló javítási-értékelési útmutató INFORMTIK II. (programozás) kategória Kérjük a tisztelt tanár kollégákat, hogy a dolgozatokat
Részletesebben4 Approximációs algoritmusok szorzatalakú hálózatok esetén
4 Approxmácós algortmusok szorzatalakú hálózatok esetén Az MVA-n alapuló approxmácó (Bard-Schwetzer-módszer): Beérkezés tétel: T () = 1 µ [1+ ( 1) ], =1,...,N Iterácó a következő approxmácó használatával:
RészletesebbenKözúti közlekedésüzemvitel-ellátó. Tájékoztató
12/2013. (III. 29.) NFM rendelet szakma és vzsgakövetelménye alapján. Szakképesítés, azonosító száma és megnevezése 54 841 02 Közút közlekedésüzemvtel-ellátó Tájékoztató A vzsgázó az első lapra írja fel
RészletesebbenRelációk. Vázlat. Példák direkt szorzatra
8.. 7. elácók elácó matematka fogalma zükséges fogalom: drekt szorzat Halmazok Descartes drekt szorzata: Legenek D D D n adott doman halmazok. D D D n : = { d d d n d k D k k n } A drekt szorzat tehát
RészletesebbenTöréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás
Elmélet, megvalósítás, alkalmazás Készítették: Borbély Dánel Szerkezet-építőmérnök Msc hallgató Borbély Gábor Alkalmazott matematka Msc hallgató Koppány Zoltán Földmérő- és Térnformatka mérnök Msc hallgató
RészletesebbenDr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola
Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy
RészletesebbenVázlat. Relációk. Példák direkt szorzatra
7..9. Vázlat elácók a. elácó fogalma b. Tulajdonsága: refleív szmmetrkus/antszmmetrkus tranztív c. Ekvvalenca relácók rzleges/parcáls rrendez relácók felsmere d. elácók reprezentálása elácó matematka fogalma
RészletesebbenXI. ERDÉLYI TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI KONFERENCIA
XI. ERDÉLYI TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI KONFERENCIA KOLOZSVÁR, MÁJUS 23-24 OBJEKTUM-ORIENTÁLT ADATBÁZIS RENDSZEREK INDEXELÉSE Irányító tanár: Dr. Varga Vorca, Docens Babes-Bolya Tudományegyetem, Matematka és Informatka
RészletesebbenProgramozási módszertan. Mohó algoritmusok
PM-08 p. 1/17 Programozási módszertan Mohó algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu PM-08 p. 2/17 Bevezetés Dinamikus programozás
Részletesebbenoktatási segédlet Kovács Norbert SZE, Gazdálkodástudományi tanszék 2007. október
Fogyasztók a tõkepacon oktatás segédlet Kovács Norbert SZE, Gazdálkodástudomány tanszék 007. október Költségvetés egyenes kamatláb esetén. dõszak fogyasztása A. év fogyasztásának maxmuma költségvetés egyenes
RészletesebbenSupport Vector Machines
Support Vector Machnes Ormánd Róbert MA-SZE Mest. Int. Kutatócsoport 2009. február 17. Előadás vázlata Rövd bevezetés a gép tanulásba Bevezetés az SVM tanuló módszerbe Alapötlet Nem szeparálható eset Kernel
RészletesebbenVariancia-analízis (ANOVA) Mekkora a tévedés esélye? A tévedés esélye Miért nem csinálunk kétmintás t-próbákat?
Varanca-analízs (NOV Mért nem csnálunk kétmntás t-próbákat? B Van különbség a csoportok között? Nncs, az eltérés csak véletlen! Ez a nullhpotézs. és B nncs különbség Legyen, B és C 3 csoport! B és C nncs
RészletesebbenVisszalépéses kiválogatás
elépő a tudás közösségébe Informatika szakköri segédanyag Heizlerné akonyi iktória, Horváth Győző, Menyhárt László, Szlávi Péter, Törley Gábor, Zsakó László Szerkesztő: Abonyi-Tóth Andor, Zsakó László
RészletesebbenMohó stratégia. Feladat: Megoldás:
I. Feladat: Egy kábelhálózat különböző csatornáin N filmet játszanak. Ismerjük mindegyik film kezdési és végidejét. Egyszerre csak 1 filmet tudunk nézni. Add meg, hogy maximum hány filmet nézhetünk végig!
RészletesebbenBBTE Matek-Infó verseny mintatételsor Informatika írásbeli vizsga
BABEȘ BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR A. tételsor (30 pont) 1. (5p) Tekintsük a következő alprogramot: Alprogram f(a): Ha a!= 0, akkor visszatérít: a + f(a - 1) különben visszatérít
RészletesebbenElosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László
adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:
RészletesebbenDöntéstámogató módszerek segédlet
Döntéstámogató módszerek segédlet. Jelölések és defnícók.... Út, vágás egy rányított élhalmazban... 4. Maxmáls út mnmáls potencál... 7 4. Mnmáls út maxmáls potencál... 5. Maxmáls folyam mnmáls vágás...
RészletesebbenGyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész
RészletesebbenIT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád
IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád BALOGH DEZSŐ BHG BEVEZETÉS A BHG Híradástechnka Vállalat kutató és fejlesztő által kdolgozott napjankban gyártásban levő tárolt programvezérlésű elektronkus
RészletesebbenSchlüter -KERDI-BOARD. Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszigetelés
Schlüter -KERDI-BOARD Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszgetelés Schlüter -KERDI-BOARD Schlüter -KERDI-BOARD A csempeburkolat készítésének unverzáls alapfelülete Pontosan, ahogy
RészletesebbenHipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?
01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó
RészletesebbenDie Sensation in der Damenhygiene Hasznos információk a tamponokról www.123goodbye.com
nokról tampo a k ácó form n s no Hasz Mért használnak tamponokat? A tampon szó francául és a szó szernt fordításban dugó. Már a szó s sokat mond. A tamponok körülbelül öt centméteres rudak, amely közel
RészletesebbenAdatszerkezetek II. 6. előadás
Adatszerkezetek II. 6. előadás Feladat: Egy kábelhálózat különböző csatornáin N filmet játszanak. Ismerjük mindegyik film kezdési és végidejét. Egyszerre csak 1 filmet tudunk nézni. Add meg, hogy maximum
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenCRT Monitor gammakarakteriszikájának
Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Mechatronka, Optka és Gépészet Informatka Tanszék CRT Montor gammakarakterszkájának felvétele 9. mérés Mérés célja: Számítógéppel vezérelt CRT montor gamma karaktersztkájának
RészletesebbenIntegrált rendszerek n é v; dátum
Integrált rendszerek n é v; dátum.) Az dentfkálás (folyamatdentfkácó) a.) elsődleges feladata absztrahált leírás fzka modell formában b.) legfőbb feladata a struktúradentfkálás (modellszerkezet felállítása)
RészletesebbenAlkalmazott modul: Programozás
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás Feladatgyűjtemény Összeállította: Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Frissítve: 2015.
RészletesebbenA 2012/2013 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának megoldása. informatika II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal A 2012/2013 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának megoldása informatika II. (programozás) kategória Kérjük a tisztelt kollégákat, hogy az egységes értékelés
RészletesebbenMATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap
Közlekedésmérnök Kar Jármőtervezés és vzsgálat alapja I. Feladatlap NÉV:..tk.:. Feladat sorsz.:.. Feladat: Egy jármő futómő alkatrész terhelésvzsgálatakor felvett, az alkatrészre ható terhelı erı csúcsértékek
RészletesebbenAlgoritmusok, adatszerkezetek I.
NEUMANN JÁNOS INFORMATIKAI KAR Sergyán Szabolcs Algortmusok, adatszerkezetek I. ÓE-NIK 5014 Budapest, 2015. Készült az Óbuda Egyetem án az ÓE-NIK 5014. sz. jegyzetszerződés kereten belül 2014-ben. Szerző:
RészletesebbenA mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek
A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az
RészletesebbenA 2017/2018 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai. INFORMATIKA II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal A 2017/2018 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai 1. feladat: Repülők (20 pont) INFORMATIKA II. (programozás) kategória Ismerünk városok közötti repülőjáratokat.
RészletesebbenDinamikus programozás vagy Oszd meg, és uralkodj!
Dinamikus programozás Oszd meg, és uralkodj! Mohó stratégia Melyiket válasszuk? Dinamikus programozás vagy Oszd meg, és uralkodj! Háromszögfeladat rekurzívan: c nj := a nj ha 1 j n c ij := a ij + max{c
RészletesebbenA 2017/2018 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai. INFORMATIKA II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal A 1/18 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai INFORMATIKA II. (programozás) kategória 1. feladat: K-homogén sorozat ( pont) Azt mondjuk, hogy az
RészletesebbenAlgoritmizálás, adatmodellezés tanítása 11. előadás. (Horváth Gyula előadása alapján)
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 11. előadás (Horváth Gyula előadása alapján) Rekurzió Klasszikus példák Faktoriális n! Fibonacci-számok Fib n A rekurzió lényege: önhivatkozás n * n 1! ha n 0 1
RészletesebbenProgramozás alapjai. 6. gyakorlat Futásidő, rekurzió, feladatmegoldás
Programozás alapjai 6. gyakorlat Futásidő, rekurzió, feladatmegoldás Háziellenőrzés Egészítsd ki úgy a simplemaths.c programot, hogy megfelelően működjön. A program feladata az inputon soronként megadott
RészletesebbenFeladatsor 2012/13 2. félév a Programozási alapismeretek tárgyhoz
Feladatsor 2012/13 2. félév a Programozási alapismeretek tárgyhoz 1. feladat: b) Van-e K másodpercnél hosszabb szám a listán? c) Melyik a leghosszabb dal? d) Melyik előadónak van a legtöbb száma a listán
RészletesebbenVALLALKQZÁSf SZERZ Ő DES ESPAN Nyugat-dunántúli Regionális Energia Stratégia és a három kistérség i energetikai koncepció kidolgozása tárgyban "
VALLALKQZÁSf SZERZ Ő DES ESPAN Nyugat-dunántúl Regonáls Energa Stratéga és a három kstérség energetka koncepcó kdolgozása tárgyban " Amely létrejött egyrészrő l a Nyugat-dunántúl Regonáls Fejlesztés Ügynökség
RészletesebbenAlkalmazott modul: Programozás 4. előadás. Procedurális programozás: iteratív és rekurzív alprogramok. Alprogramok. Alprogramok.
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás 4. előadás Procedurális programozás: iteratív és rekurzív alprogramok Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto
Részletesebben