E U R Ó P A I U N I Ó STRUKTURÁLIS ALAPOK D I N A M. Az építész- és az építımérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése HEFOP/2004/3.3.1/0001.

Átírás

1 E U R Ó P I U N I Ó SRUKURÁLIS LPOK D I N M I K BMEEOM5 segédle a BME Épíıéöi Ka hallgaói ésée épíés- és a épíıéö épés seeei és aali fejlesése HEFOP/4/33/

2 hé agi po ieaiája Mogás deésögű oodiáaedsebe echaiai ogás alael es ébei heleée eg ási eshe isoío időbeli egáloása po ogásáa alapeő jelleői alael isoíási edsebe: a hele, a sebesség és a gosulás e M ébeli ogás égő M jelű po helee alael es pojáho épes a poho apcsol (a ábá láhaó) deésögű - a épíőéöi echaia oaás hagoáaia egfelelő balsodású - oodiáa-edsebe a ado heleeoal adhaó eg: időpoho aoó ( ) i j + + j O i heleeo ifejeheő ég a poa a oigóól aló áolságáal és a iáú e egségeoal is: e, ahol + + M sebességeo eg ado időpoba a heleeo idő seii első diffeeciálháadosa & i+ & j+ &, i j+ + sebességeo oodiáaegelee egfelelő össeeői iseeébe a sebesség agsága: + + O sebesség ééegsége: [/s] a e τ egségeo segíségéel a sebességeo felíhaó e τ alaba is éiőiáú M gosuláseo alael időpobeli éée a sebességeo idő seii első diffeeciálháadosa, illee a heleeo idő seii ásodi diffeeciálháadosa a & i+ && j+ &, a a i a j+ a + a gosulás agsága: a a a + a + a O gosuláseo a pála M pobeli éiősíjába eül és aa hooú oldala felé ua gosulás ééegsége: [/s ]

3 agi po egees oalú ogása egees oalú ogás a álaláos ébeli ogása eg speciális esee, aele isgálaá ago leegseűsíi, ha a oodiáa-edse úg álasju, hog a egel a po pálájául solgáló egeessel egbe esse Ebbe a esebe udju, hog a hele-, sebesség- és gosuláseo is a ado egees iáába esi, íg elegedő ee előjeles agságá eghaáoi E esebe: & és a & & Gaa előfodul, hog a egees oalú ogás égő aagi po a gosulása a ise, és a sebessége alai a po heleé leíó függéee eessü Ee iegálással haáohaó eg a (, ),( ) edei feléele figelebeéeléel + a Hasoló a hele a függé eghaáoásáál E esebe a eedéül a apju, hog d + d éöi sáíásoál gaa előfoduló ese, aio a a osas áloó ogásál: a, + agi po ise pálá aló síogása, d össefüggésből idulhau i, és d a E esebe a ú egeleese a + + aagi po ogásáa isgálaao gaa alálou ola eseel, aio a ogás pálája ise oábbiaba a ile ogás ieaiai jelleői fogju eghaáoi, síogás eseée M s M e e τ ogó po alael időpobeli heleé a ado pálájá a edőpoól sáío s úal adju eg pála M pojába a e s -sel, a ee eőleges és a éiő iáú egségeo τ( ) göbülei öéppo felé uaó egségeo pedig e ( s) jelöljü göbülei sugá jele pedig ρ s ogás sebessége: d d e τ e τ -sel M s M e τ ogás gosulásá a soaé felí sebességeo időseii deiálásáal ejü: d a & e τ + e& d τ e a τ első ag eg éiőiáú eo épisel, íg a ásodi ag oálisiáú les Vagis a a τ + a a a éiőiáú össeeő: oálisiáú össeeő: a e & a τ τ τ e a e a e ρ τ

4 Köpálá aló ogás ieaia éöi alalaásai soá gaa előfoduló felada a öpálá aló ogás eleése Ee oa, hog a öleedési pálá (ua, asua) oaleeése a ülöböő egees saaso öö össeöő íee is aala O ϕ s pála geoeiájá a sugá eghaáoa pálá a edőpoo a ö öéppojáal össeöe apu eg isoíási oala E öeőe a po heleé a poho aoó sugá és ee isoíási egees álal beá elfodulási söggel udju egadi s ϕ ϕ elfodulási sög ééegsége: [ad] éiőiáú sebesség agsága: ( ϕ ) dϕ ds d d d d sebesség ifejeésébe seeplő a ú sögsebesség, aele ééegsége: [ad/s] po sebessége ehá a sögsebesség és a sugá soaaé aphaó po gosuláseoáa é össeeője a éiő iáú gosulás agsága a adódi: a ifejeésébe seeplő ( ) d d & κ d d τ a τ & e össefüggésből κ a ú söggosulás, aele ééegsége: [ad/s ] po éiőiáú gosulása ehá a söggosulás és a sugá soaaé aphaó gosuláseo oálisiáú össeeője os sugáiáú les és a ö öéppoja felé ua össeeő agsága: a ( ) 4 po gosuláseoáa agsága pedig: a a + a κ Egelees öogás eseé a po a öpálá τ + osas sebességgel oog E esebe a sögsebesség ( ) sié álladó les, aiből öeei, hog deiálja - ai a κ söggosulás - éus les poa e les éiőiáú gosulása, iel a söggosulás és a sugá soaa éus Mide aoba e jelei a, hog a poa egálalá ics gosulása, hise a sugá iáú gosulás a a össefüggésből sáíhaó les π Egelees öogás eseé a eigési idő: egségi idő ala ege fodulao sáá fodulasáa eeü E ásodpec és pec időaaa sou éelei: [s - ] π, 3 illee [pec - ] π éaö a aöbe a 9-6 oldalo seepel τ

5 hé ewo öée és alalaásai egees oalú pálá aló ogásál ieia a aagi po ag ee es ogásállapoa egáloásáa oai uaja, és a aagi ese ogásai a áju haó eőel össefüggésbe ágalja ieaiai alapfogala ágalása soá seepel a hossúság és a idő fogala ieiába újabb alapfogaloal alálou: a öeggel öeg ééegsége a iloga [g] aagi po ieiai öéseűségeie eghaáoásáa solgáló eléle Newo ásodi aióájá alapsi el sei: aagi po ogásáa áloása a ogaóeő haásáal aáos, és ugaaa a egees oala a iáába esi, i aelbe a eő űödi ( ) d diaia alapöéé F foába Eule ada eg silád ese echaiájába a öeg d álalába e függ a időől, íg: F a Newo aa is ual, hog öbb eő eseé a aagi po úg oog, iha a eő egásól függeleül - helesebbe oda - egás uá űödée aagi po elodulása úg eiheő, hog a alael F eő haásáa idő ala beöeeő és alael F eő haásáa beöeeő elolódáseo eedő elolódása: + egelee -el elosa és épee a haáééé: d d + d d d d apo egelee idő sei ég egse deiála: d d d d +, ag a a + a d d Álaláosía: a ai Miel F i a i, íg F i a a F i i Miuá F i a aagi poa haó eő eedőjé jelei, Newo öée öbb eő űödése eseé a öeeő les: R a deésögű oodiáa-edsebe: R R R a a a haladó ogás égő öegű ee ese oaoó egele ugaa, i a ola öegű aagi poa oaoó egele, aele a ese haó eő eüleössegée egfelelő R eő ha,, D'lebe ele Newo öéé ifejeő R a egelee d'lebe egesúli egele alajába ía fel: ( ) R a E a áedeés e egseű algebai áedeés, soal élebb éele a a eiség a ogásjelleőe aalaó oldalól a eő oldala eül á, ehá egáloo a jellege Íg a - eisége eőe el eieü, és e a épel eő d'lebe eheeleségi eőe eee a

6 D'lebe ele éelébe a ogó ese haó eő a eheeleségi eőel egü egesúlba aa E a egesúli állapoo a saiai egesúlól egülöböee ieiai egesúla eeü Ee egfelelőe foálisa egesúli egelee felíása leheséges, ehá: R R R a a a,, diaia é alapfeladaa diaiai isgálaoal apcsolaos feladao álalába é ag csopoba soolhaó első csopoba aoa ao a feladao, aeleél a ise ogásho aoó eő eessü, íg a ásodiba a ise eő haásáa léejöő ogás jelleőie eghaáoása seepel a) Ise ogás léehoásáho süséges eő eghaáoása felada egoldása isolag egseű, ugais ebbe a esebe ise alaeli ieaiai jelleő Íg,,, például eg aagi poál ( ), illee deésögű oodiáaedsebe öéő isgálaál ( ) ( ) ( ) íg ado pálá öéő ogásál s iseeébe a eljes ieaiai ifoáció edeleése áll, iel a sebesség és gosulás a egléő adaoból sáolhaó E öeőe pedig a ogás léehoásáho süséges eő a - gosulásösseeő sáíása uá - eghaáohaó lese Ile feladaoál ige előös a d'lebe elée egfelelő ( a) R - a úgeee ieiai egesúli állapoo ifejeő - egele (egelee) felíása, e íg a saiából jól ise egoldáso ieiai feladao egoldásáa is alalahaó b) do eő haásáa léejöő ogás eghaáoása éöi feladaoál gaoi ese, hog a aagi poa haó eő a idő, hel és sebesség függéeé adoa, és a ee eő haásáa léejöő ogás eessü előí edei feléele elle E a felada a előőhö isoía boolulabb, e diffeeciálegele, ag diffeeciál-egeleedse egoldásá oja agáal Ee a egéssáíásál uau példáa diaiai feladao öül ugaao a a gaoibb ese, aio a eő csa a idő függée, ee belül is a, aio a eő álladó agságú Miafeladao a) Ise ogás léehoásáho süséges eő eghaáoása példa 5 g 5 ábá léő öegű ese a α hajlássögű lejő csölőel húu fel sugaú dob ϕ függé sei foog f o α 3, Haáou eg a öélbe ébedő eő, ha a es és a lejő ööi súlódási éeő f,!

7 Megoldás: a F S dob söggosulása: κ ϕ & 4 ad/s éiőiáú gosulásopoes a dob eülei pojáál és a dobo felfeő öélél: a κ,5 4 /s G elálási poól a esig e les a ado öélsaas és a égé léő es lejő iáú gosulásáa éée is egel iáába a κ,5 4 /s gosulás a: o F i a, G si 3 F + S a S , ,8,5 38, N b) Ise eő haásáa léejöő ogás eghaáoása példa g f, D ábá láhaó echaiai edsebe a csigáál ics öélsúlódás és a C jelű csiga öege elhaagolhaó edse ics egesúlba, ogása idul Haáou eg a eges ese gosulásá és a öelebe ébedő eőe! Megoldás: F G a S S g D S S S S C B 3 g jelű es isgálaa: G 9,8 98 N, F, 96, N S F a, S 96, a D jelű es isgálaa: Miel ics öélsúlódás, a függőleges öélágba is S eő a C jelű es isgálaa: Miel ics öélsúlódás, a ási felfelé eő öélágba is S eő a es öege elhaagolhaó, íg S S csiga gosulása fele a jelű es gosulásáa, hise a behajlío öél öépső pojáa ogása fele aoa, i a jobboldali öélág felső pojáa a elodulása B 3 g G C S S a/ B jelű es isgálaa: G 9, N, a S + G, - S a fei egeleedseből a gosulás egaphaó: a 7,87 /s Ee uá: S 94,9 N, S 85 N Elélei össefoglaló a aöbe a oldalo oábbi példa: 6

8 3 hé ewo öée és alalaásai íes pálá aló ogásál do pálá aló ogásál: D'lebe ele: R R R R τ aτ, a a, τ τ a Miafeladao a) Ise ogás léehoásáho süséges eő eghaáoása példa Megoldás: G N L4 E GPa I,46 4 ábá láhaó, elhaagolhaó öegű, L fesáolságú éáasú hído G súlú odo halad á sebességgel seee hajlíó eesége EI Haáou eg a - híd legéséől eleie - a lehajlásból eleeő úleheléshe aoó diaius éeő a sebesség függéébe! Meoa les a diaius éeő, ha a sebesség, 6, illee /h? lehajlás öeeébe a híd eggöbül legagobb göbüle ao eleei, aio a oaé a legagobb, M GL agis aio a odo a aó öepé a göbülei sugá: ρ EI 4EI eheeleségi eő a oál iáú gosulással elleées iába - aa a doboú oldal felé, a i eseübe lefelé - ua: G GL C ρ g 4EI eljes diaius ehelés a odo súláa és a eheeleségi eőe a össege les: G GL R G+ C G+ g 4EI diaius éeő a diaius eheéé és a saius eheéé háadosa: feladaho aoó adaoa beheleesíe: Ha /h ν +,756, 3,6 6 Ha 6 /h ν +,756, 3,6 Ha /h ν +,756, 84 3,6 R GL ν + G g 4EI 3 4 ν + +,756 9,8 4 9,46

9 ábá léő G5 N súlú asúi ocsi 6 sugaú íbe 8 /h sebességgel halad S Mile α hajlássögű úleelése a süség, hog a síee e ébedje oldaleő?,4 Haáou eg a apo úleelés eseé a síee haó eőe, ha a oa a ado 8 /h, ajd /h sebességgel halad, és aio áll! X,5 a a G G G α S S S B B Megoldás: 8 /h 8 (, ), 3,6, /s F, - a cosα + G siα, a,83/s 6 a a a,83 gα,839, α 4,8 G g g 9,8 F, a siα + G cosα B Miel a eheeleségi eő és a G eő iáú eüleössege éus, eedőjü iáú les Eé a siα+ G cosα gα siα+ cosα G B /h F 3,6 33,33 /s o 5,88 N ( 33,33 ), a,85/s 6, - a cosα + G siα+ X, 5 X,85,9965 5,837 5,N 9,8 F, a siα + G cosα B 5 B, 9,8,837+ 5,9965 B 5, 5 M S,,75 B,75 X,4 Ebből, N,,5 N /h 3 B F, G si X B α, X B 5,837 4,85 N F, G cosα B 5,,9965 B 498, 3 M S,,75 B,75+ X B,4 B B X B Ebből,N, 88, N B

10 b) Ise eő haásáa léejöő ogás eghaáoása ísies eepe léő auóúo a jáű 35 sugaú íbe halad jáű és a ú felüle ööi súlódási éeő a időjáási isooól függőe, és,3 öö áloi Haáou eg a egegedheő sebessége (aelél ics icsúsás) a fei súlódási éeő, alai f, eseée! Mile α hajlású úleeléssel lehee biosíai a /h sebessége f, eseé is? Megoldás: egegede sebessége sáíásáál a ado eőből sáíju a ogásjelleő, íg a úleelés eghaáoásáál ado ogásjelleőél biosíju a ieiai egesúl a) egegede sebessége sáíása íbe haladó jáűe haó eő: a függőleges eülei egeleből: a súlódási eő: gosulás: G g, F f fg a G F ieiai egesúl: fg egegedheő sebesség: gf 9,8 35 f 5,9 f f, 67, /h, f, 94,8 /h, f,3 6, /h b) úleelés sáíása u iáú eülei egeleből: f + G si α a cosα, iáú eülei egeleből: G cos α a siα u a ásodi egeleből ifejee - és beheleesíe a első egelebe: ( g cos α + a siα) + g siα a cosα f a fg Ebből gα fa+ g G F gosulás: 3,55 a,668 /s 35,668, 9,8 o úleelés hajlássöge: α aca 9,5,,668+ 9,8 Elélei össefoglaló a aöbe a oldalo oábbi példa: 5

11 4 hé ewo öééből leeeheő éele, oaási feladao ogáseiség áloásáa éele F d ( ) ogáseiség áloásáa éele saaba eloda a fejei i, hog a öege haó eő ado időaa seii iegálja egelő a ogáseiség ado időaa alai egáloásáal baloldalo léő ifejeés a eő ipulusa, eé a éel ipuluséele is soás eei ipulus ééegsége: [Ns] fei ifejeés eooa oaoi, íg a deésögű oodiáaedsebe egado ogás eseé háo salá egeleé íhaó fel éel előöse alalahaó ola esebe, aio eg aagi poa ado időpobeli sebességé ag é po öi sebességáloás időaaá aaju eghaáoi, és isejü a eő, i a idő függéé Ha a isgál echaiai edse öbb aagi poo aala, ao a éel ide poa ülö felíadó apcsol edse isgálhaju egü is, de eo csa a ülső eő ipulusá ell beleoi a sáíásoba Ha a edsee ülső eő e ha, a eges poo ogáseisége áloásáa össege éus ell, hog lege Vagis ha eg aagi poedsee ülső eő e ha, a edse ogáseisége e áloi E a egállapíás eeü a ogáseiség egaadása éelée Elélei össefoglaló a aöbe a 5 oldalo Példá: 8, 9,, aagi po pedülee, a pedüle áloásáa éele Valael öegű aagi po ogáseiségée a fi (álló) poa oaoó oaéá, ag áséppe, a ado jelű poól a aagi poig aó heleeoa és a aagi po ogáseiségée eoiális soaá pedülee Π O Π O M Π O i j Fei egelee idő sei deiála: O d Π O d (& + &) Miel &, eé & (ieiai oaéa) eeü & Íg Π ( & ) ( & ) ( a) O Newo öée éelébe a R és ee uá: Π & O R M O hol a M O a aagi poa haó eő eedőjée a O jelű poa oaoó oaéá jelei

12 feie éelébe ehá eg fi poa oaoó pedüle idő seii diffeeciálháadosa egelő a aagi poa haó eő ugaaa a poa sáío oaéössegéel E a össefüggés eeü pedüleéele áloó séálasása, ajd pedüleáloás éelé apju: és időpo öi iegálás uá, a aagi po ogásáa éées M OdΠ O Π O éel a fejei i, hog eg öegű aagi poa haó eő eg fi poa oaoó oaéössegée é időpo öi idő seii iegálja egelő a aagi po ugaaa a poa oaoó pedüleée a é időpo öi egáloásáal Euá isgálju a a ige foos speciális esee, aio a aagi poa haó eő eedőjée haásoala a ogás öbe idig a O jelű fi poo eg á Ebbe a esebe ugais: M O R a eő, ael e a feléel ide időpoba ielégíi, ceális eőe eeü, és ileo a odju, hog a po ceális eőébe oog Ceális eőébe oog például a a aagi po, aele ogása öbe csa a súla ha, iel ebbe a esebe a poa haóeő - gaiációs eő - ide időpoba a Föld öéppoja felé ua Ebbe a esebe Π O álladó Ké ogó eo eoiális soaa csa ao lehe álladó, ha idee ugaabba a síba ooga, íg idjá egállapíhaó, hog aeibe a aagi po ceális eőébe oog, ogása álladó pedüleű síogás les Elélei össefoglaló a aöbe a oldalo Példá:, 3 eő uája, a ogási eegia áloásáa éele, a eljesíé O + d 5 ába d F( ) ábá léő F( ) eő d elei elolódás ala ége elei uája (dl) egelő a eő elodulás iáú opoesée és a elei elodulása a soaáal, agis a eőeo és eloduláseo saláis soaáal: dl F d Véges elolódás eseé ( és poo öö), ha a égpoo heleeoai és, a eő uája a elei ua haáoo iegáljaé aphaó: L dl Fd Ha a eő opoeseiel adju eg, a ua a alábbi össefüggésből sáíhaó i: L ( Fd+ Fd+ Fd) Fd+ Fd+ F d űsai sáíáso soá gaoi ese, hog egees oalú pálá, eg aal α söge beáó -álladó agságú - eő E esebe a ua: L dl F cosα d F cosα

13 Ugacsa so feladaba seepel a aagi po öegéhe aoó súleő Ha a aagi po ogásá ébeli deésögű oodiáaedsebe íju le és a ehéségi eő iáába essü fel a egel a ua: L ( F) d F( ) F( ) Vagis a eő uája e függ a befuo pála alajáól, csa a é po agasságáa ülöbségéől Ha eg aagi poo ugóal ögíjü eg fi poho a po ogásao a poa eg, a ugó egúlásáal aáos, issaéíő eő ha Ha a edőpoho a úlásees állapo aoo és a égpoi iéés -sel adju eg, ao: L ua ééegsége: joule [J] J N ogási eegia áloásáa éele: Fd I ogási eegia ehá poií saláis eiség és ééegsége: [N] Eeuá: L a aagi po ogási eegiája Esei a öegű aagi po ogási eegiájáa alael úsaaso öéő egáloása egelő a poa haó eő álal ugaao úsaaso ége uáal eő uájáa eghaáoásából iidula - álladó eő eseé - a eljesíé a öeeőéppe sáíhaju: dl Fd d P F F d d d Saaal ifejee a odhaju, hog a eljesíé eg ado időpoba egelő a aagi po sebességeoáa és a poa haó eő eoáa salá soaáal eljesíé ééegsége: wa [W] W l J/s l N/s Poeciális eő eseé a ua L U U, agis a poeciális eőébe ége uá a poeciálfüggée a ogás edőpojáho és égpojáho aoó éééie ülöbsége adja eg Eo U + U + osas, ai a fejei i, hog a poeciális ébe léő aagi po ieiai és helei eegiájáa össege a po heleéől függele álladó Ee össefüggés a echaiai eegia egaadásáa öée Elélei össefoglaló a aöbe a oldalao Példá: 4, 5, 6, 9, Jáű is hajlássögű lejő aló ogása ogás sooá fellépő eeelleállás E µ, ahol a is lejő egegei a jáű súláal, íg µ a eeelleállási éeő is lejő haása, a cosα öelíés abba is jeleei, hog a ogó po álal ege ua s ódo, aa a ísies áolsággal sáíhaju Ugacsa a is hajlássög ia cosα elfogadhaó a siα gα öelíés eedesége e a α-al jellei, hae a gα -al és aa -el soo ééé adjá eg [ ] eelé segíségéel sáíhaó a súleő lejő iáú opoese: e ( G )[N] ( Ggα) [N] G[N]e[ ] siα Láhaó, hog ha a súleő N-ba adju eg, a lejő iáú opoes N-ba adódi Elélei össefoglaló a aöbe a oldalao Példá:,

14 5 hé Üöése Vaa ola echaiai ogáso, aele isgálaáál a belső elaí eloduláso figele íül hagása eseé a felada e oldhaó eg üöés a echaiai ogáso ee csopojába aoi, íg isgálaáál a alóságos aagi esee silád esé odelleü pillaai idő alai éges ogáseiség-áloás csa úg öeehe be, ha a ado időaa ala a ese ige ag, ú "üöési" eő haa, íg a pillaai időaa elleée a eő ipulusa éges agságú les eieel aa, hog a elei is időaa ala a po heleeoáa áloása elei - és íg elhaagolhaó -, egállapíhaju, hog üöéso csupá a po sebességeoa áloi, égpedig a üöési ipulusa egfelelőe Haladó ogás égő es üöése odulala felülehe - Ceius egees üöés üöés soá é saas ülöböeü eg τ időaa ala a sebességgel éeő es, alai a odulala es a üöési eő haásáa beoódi és a es sebessége ohaosa éusa csöe E a ú össeoódási ag opessiós saas üöés első saasa ala a es ogási eegiája áalaul a esebe eleeő ugalas eőe egfelelő poeciális eegiáá (eseleg hőé, haggá) üöés ásodi fáisába a τ időaa ala a ugalas eő haásáa a ese ésbe ag egésbe issaei eedei alajua, a poeciális eegia ogási eegiáá alaul á, a es eláli a odulala felüleől és eg u sebességgel oog oább üöése e a saasá alaissaeő ag epaiós saasa eeü Ha a üöés ásodi saasa ala a alaissaeés e eljes, ao e apju eg a eedei ieiai eegiá, és íg a sebessége se lese aoosa sebessége és ipuluso aáá egadó u u S e S éeő issapaaási éeőe eeü e esebe ugalas üöésől, íg e esebe éplée üöésől besélü > e > esee, ahol a üöés ésbe ugalas, ésbe éplée, ugalala üöése eeü eljes üöési ipulus: S S + S ( + u) ( + e) eegiaeseség a ugalala üöésél: E ( e ) ieiai eegia ee ése a aadó alaáloáso soá hő- illee hageegiáá alaul á agi po ceius fede üöése üöési felüle oálisáal α söge beáó fede üöés eseé a sebességeo felbohaó eg éiőiáú és eg oálisiáú opoese Ha a ese aagi poa eihejü, id a sebességeo id a opoesei áee a súlpoo, és a üöés ala a es helee e áloi üöés ia a oális iáú opoes elleeő előjelű les és agsága: u e es oálisa eőleges (éiőiáú) sebesség-opoese e áloi sebességeo üöés uái agsága: u si α + e cos α, és a oálissal beá söge: gβ gα e Láhaó, hog üöés uá a sebességeo a oálissal agobb söge á be, i üöés elő

15 Példa 4 /s f,5, Megoldás: B,4 ábá láhaó öegű es heleébe edősebességgel edelei Üöés uá a es a B helebe ál eg Haáou eg a issapaaási éeő ééé, figelebe ée a es és a egáasó felüle ööi súlódás is! Meoa les a üöési ipulus és a eegia eseség? Haáou eg a üöési eő, ha a öseoódási saas időaaa, s, és a üöési eő lieáisa öesi? falho aló üöés sebességé a ogási eegia áloásáa éeléel sáíhaju: fgs, G g G 4 g,5 G, 6 9,8,488 /s Isee a üöés uá a egállás helé, a issapaaáso ialauló sebessége sié a ogási eegia áloásáa éeléel haáohaju eg: u fg, Gu - g,5 G,4,,98 issapaaási éeő: e, 796,488 u,4 9,8,98 /s üöési ipulus: ( + e) ( +,796), g/s S,488 E e -,796 36g /s eegiaeseség: ( ) ( ) üöési eő sáíásáa - ee isgála eeébe - e edeleü á fouláal üöési ipulusa oaoó S + τ d össefüggés iseeébe a eő öeleül e sáíhaó Ha pl éési adao alapjá isejü a össeoódási saasho aoó foába, ao: τ össeoódási idő és f ( ), s τ időaao, és fel udju íi a eő f S + τ f d, aa lieáis függé eseé: S S,,488,,, d 597, [ N] üöési eő ee sáíási odell alapjá ehá lieáisa öesi és a össeoódási saas égé, ál: 59,7 N [ ], s -

16 Ké haladó ogás égő es üöése Visgálaaia a egees ceius esee oláou i oábba láu, e a jelei, hog a súlpoo sebességeoai aoos egeesbe ese és áee a éieési poo üöés opessiós saasába a üöési eő haásáa a ese össeoóda, súlpojai öelede egásho és a é es ööi sebességülöbség iegelíődi üöés első saasa égé a é es aoos u sebességgel halad oább üöés ásodi saasába a ugalas eő haásáa a ese issaei (ésbe ag egésbe) eedei alajua és a üöési eő haásáa eláoloda egásól + öös sebesség: u u iseeébe a üöés uái sebessége is sáíhaó + u ( + e) ( ), + u ( + e) ( ) + + üöésél fellépő ieiai eegiaeseség os is ifejeheő a issapaaási éeőel: ( e ) ( ) ( ) E + issapaaási éeő a üöés uái és elői sebességülöbsége háadosa: I + eljes üöési ipulus: S ( + e) S ( + e) ( ) Példa u - u e edeő-pálaudao álló N súlú seelé a guíódoból 8 /h sebességgel éeő N súlú agoal ugalasa üöi Mile áolsága odul el a seelé a üöés uá 4 N/N eeelleállás eseé? Meoa a issapaaási éeő, ha a elodulás 8? Megoldás: üöés elői sebessége: 8 /h, Rugalas üöés eseé a álló seelé üöés uái sebessége: ogási eegia áloásáa éele alapjá: ( ) ( 8 ) u + + 3,7 /h,99 /s + +,99 9,8 4,,53 Előí elodulás eseé a álló seelé üöés uái sebessége: 4 8,,794 /s,853 /h 9,8 Rugalala üöés eseé: ( + e) ( ) ( + e) ( 8 ) u +,, Ebből a issapaaási éeő: e, 743 Elélei össefoglaló a aöbe a 95- oldalao Példá: 36, 38

17 6 hé Rugalasa egáaso esel aló üöés Vísies ugóal egáaso es édés ágalásá a felada gaolai jeleősége idoolja alóságba a ugalas egáasás eg seeeel aló egáasás jele ugóeő sáíása a egáasó seee igébeéeleie eghaáoásá jelei So esebe a egáaso öeg agáa a seeee a öege, és a üöés ulajdoéppe alael idege ese a seeeel aló üöésé jelei Ee a édése a eleése alódi épíőéöi felada Visgálaai soá a első felada os is a üöés ooó es üöés elői sebességée a ögíése E öeőe a egáasó seee és a üöő es ulajdoságai alapjá döei ell aól, hog ugalas, ugalala ag éplée üöésől a-e só Ha a üöés ugalala, a oábbi isgálaoho ell a issapaaási éeő üöés ípusáa eldöése uá lehe sáíai a üöés uái sebességee Példa d ábá láhaó súlódásees felülee feő öegű es ugóeeségű ugóal ugalasa apcsolódi a odulala falho öegű es sebességgel üöi a öegű esel Haáou eg a üöéso eleeő d diaius elodulás és a ugóba eleeő legagobb eő! üöés uái sebesség függ aól, hog a üöés ugalas, ugalala ag éplée éplée üöés aiba is elé a ási é eseől, hog eo a ugóal egáaso öeggel egesül a üöő öeg és egü ooga oább, íg e éplée üöésél a üöő öeg elpaa a ugóal egáaso öegől bba a esebe, ha a öeg issafele oog a oábbiaba á e befolásolja a egáaso es iseledésé bba a esebe aoba, ha csöe sebességgel, de oább halad, isé uol fogja éi a öegű ese Ee a jelesége a eleése e ése a aaaga Jelöljü a egáaso es üöés uái öegé M-el (Képlée üöéso M +, ülöbe M ) Lege a egáaso ese a üöési saas égéhe aoó sebessége, aiel a egáaso es elidul, V G ( + e) ( + e) G Képlée üöés eseé: V, íg ugalala üöésél: V + G+ + G+ G G d eghaáoásáho felíhaó a ieiai eegia áloásáa éele: ugóeő uája: diaius eő: F V M d M L d Ebből: d V d MV L ülöböő üöési eseehe aoó eedée a ado M és V beheleesíéséel eheő Pl éplée üöéso: F d d G G+ G G, G+ G ( G+ G )g d g G ( G+ G ) g Jól láhaó, hog a ugóeeség öeléséel a üöési eő öesi, íg a elodulás csöe

18 Leeső ehe haásáa isgálaa h ábá a öegű es h agasságól esi a ugóeeségű ugóal a alááasó seeehe ugalasa apcsolódó öegű ese Haáou eg a üöéso eleeő ugóba eleeő legagobb eő! d diaius elodulás és a d üöés elő csa a öege a sebessége: gh üöés uái sebesség os is aól függ, hog a üöés ugalas, ugalala ag éplée Ugacsa a üöés ódjáól függ a egü ogó öeg, ai éplée üöéso M +, ülöbe M ogási eegia: MV Visgálju eg a oábbiaba a éplée üöés eseé! G G G ( + ) gh h G G, + g G+ G G+ G Muá ége egés a egü ogó öege egfelelő súleő: ugóeő: R G + Ee a ugóeőe a d L Mg, ásés a ugóba ébedő eloduláso ége uája: LR ( G + ) d G d d L LG + LR ( G+ G) d G d d G d d G d d Felía a ogási eegia áloásáa éelé: G h G d G+ G d G G d - d - h G + G I G a leeső öege egfelelő súleőből sáío saius elodulás Megolda a ásodfoú egelee, a s fiiailag leheséges egoldásho a ásodi ago poií előjellel ée: d s s s + + h ν s G + G apo ifejeésbe ν a diaius éeő: h ν + + s G + G Jól láhaó, hog a diaius éeő éée öesi a h agasság öeléséel és a saius elodulás csöeéséel (a ugóeeség öeedéséel) Kedeőe befolásolja a diaius éeő a seee G öege

19 Speciális eseé eelheő a h esee, aio a ese éus agasságól hiele ejjü (és e saiusa, fooaosa egedjü) a alááasó seeee Eo a diaius éeő: ν ugalas üöésél a leeső es sebessége a üöéso: gh ogó öeg: G M g ugalasa egáaso es üöés uái sebessége: sebesség éseese a éplée üöésél léőe! diaius elodulás eé ége ua: V G G+ G L LG + LR Mgd + G d d G d G d d d ogási eegia áloásáa éele sei: MV L, Beheleesíe a V-e apo ifejeés: G G G 4G gh 4G G h d g G G g + ( G+ G ) ( G+ G ) Ebből: d G 8hG ( G+ G ) Miel G, a göös ifejeés les a diaius éeő s Ebbe a esbe a e éplée üöésél, bá elála a ese, de eg ésőbbi időpoba a öeg bioosa úja áesi a seeee jelesége a aaagba ésleese e eleeü apo össefüggésee aal a feléeleéssel eeü le, hog a ugalasa egáaso öeg ogása egsabadságfoú Íg össefüggései so gaolai esebe (pl foloos öegeloslású geedáa leeső ehe) csa ao hasálhaó fel, ha a élegese öbb (eseleg égele so) sabadságfoú edse egsabadságfoúa eejü issa a ú eduál öeg eghaáoásáal Eg ado poho aoó eduál öege úg lehe eghaáoi, hog a egsabadságfoú edse ieiai eegiája egegee a eedei odell ieiai eegiájáal Pl eg l hossúságú eeseseű ρ sűűségű M oslopál a egsabadságfoú edseel aló isgálaál a ú eduál öeg: Eg éáasú aó 3 öepée leeső ehe eseé a geeda öepée eduál öeg: 7 M M I M a geeda/oslop eljes 35 öege eéseese a leeső ehee aló sáíás ao is leheséges, ha e éplée a üöés Eo a M és V helée a ugalala üöése egfelelőe + e G ( ) -a, illee G+ G gh ifejeés ell beíi Elélei össefoglaló a aöbe a 5-8 oldalao Példá: 39, 4

20 7 hé Mee ese ieaiája Eg ee es ogásállapoáa iseee a jelei, hog a es ide eges pojáa isejü a ogásállapoá es eges pojaia helee aoba e függele egásól és a oábbiaba iuaju, hog eg po ogásállapoáa iseeébe a öbbi po ogásjelleői sáíhaó ee es ogásáa ülöböő foái aa, aele öül a elolódó (haladó) ogás, a helálló (fi) egel öüli fogó ogás és a síogás ágalju Eg síogás égő ee es pojai egással páhuaos síoba ooga es ide eges pojáa pálája sígöbe les Elolódó ogás O B B B B B B ábá láhaó, hog a B po helee a po heleée iseeébe, a B eo segíségéel egadhaó: B B + fei össefüggésbe és eoo függe a időől, de a B eo e Mide a jelei, hog a sebessége és gosulása deiálással aló sáíása soá a osas eo deiálja éus les B d B d B po sebesség- és gosuláseoa:, a d B B a d d d apo össefüggése a uajá, hog eg ado időpoba a es báel pojáa sebessége és gosulása aoos Igaolu ehá, hog eg po ogásállapoáa iseeébe a öbbi po ogásjelleői is egadhaó Feie sei a es báeli pojába ugaola sebességeo illeőleg gosuláseo apu, agis ee eoo ú sabad eoo Helálló (fi) egel öüli fogó ogás egseűbb ágalás édeébe a ábá egü fel úg a oodiáaedse, hog a egel esse egbe a fogásegellel Köe beláhaó, hog a ese a fogásegele íül feő alael M poja ola síba ége öogás, ael áeg a M poo és eőleges a fogásegele; a ö öéppoja - aele -al jelölü - pedig a fogásegele a Eg sugaú pálá ege ú: s ϕ( ) j M O ϕ ϕ M M feieből öeei, hog aeibe iseees a es fogásegele és eg M pojáa ogásöée, abból ϕ sáíhaó éa a es báel M pojáa pojáa ogásjelleőjé eg udju haáoi a ( )

21 aagi po öogásáál aula sei ϕ iseeébe lehe sáíai a sögsebessége és a κ söggosulás Ee segíségéel a eges poo sebessége és gosulása eghaáohaó sebességeo eőleges les a M poo a poal össeöő egeese és a fogásegelől esőleges áolsága léő po eseé a sebesség agsága: gosuláseoa é opoese les egi opoes eőleges les a M poo a poal össeöő egeese - agis a ado poho aoó öpála éiőjébe esi -, íg a oális iáú össeeő a poba ua fogásegelől esőleges áolsága léő po eseé a gosulás össeeő agsága: íg a gosuláseo agsága: a ( ) + ( ) a a κ, a a, τ τ a κ κ + Láhaó, hog id a sebesség, id a gosulás agsága aáos a fogásegelől aló áolsággal 4 M sebességeo felíhaó eooal ége sáíáso eedéeé is ( ) j ifejeés ifeje: i j j i a ( ) j a M a τ gosuláseo sié sáíhaó eoiális alaba Ee eedéeé a deésögű oodiáaedsebei gosulásopoese isolag egseűe adóda ifejeés ifeje: τ, a a + a + κ j ( + κ ) i+ ( κ ) a κ( ) κ j

22 Síogás ábá láhaó, hog a álaláos síogás össeeheő eg haladó ogásból és eg a poo áeő, a ogás síjáa eőleges egel öüli elfodulásból Ee egfelelőe eg ado időpoba a es ide pojáa aoos les a B sögsebessége: ( ) ( ) ( ) B B B B B B Eg ado po sebességeoáa és sögsebességée iseeébe a eges poo sebességeoa pedig a é össeeő ogásból sáío sebességeoo össegéseé aphaó B + B Célseű elősö a sebességeoa a és egel iáú opoesei sáoli, és e öeőe eghaáoi a sebességeo agságá és iáá elfodulásból sáaó össeeő eoiális soa segíségéel is előállíhaó, íg: B B + j i láju, a síogásál a sebesség a sía eőleges sögsebességeo és a síba eső sebességeo segíségéel sáíhaó Les ola po, aele e les sebessége csa sögsebessége Nics aadála aa, hog a öbbi po sebességé ebből a poból - a ú pillaai fogásöéppoból (oeá sebességceuból) - iidula, csupá a sögsebességből sáísu Ebbe a esebe ics süség eoo össegésée d Miel es síogásáól a só a elfodulás élegese a C poo áeő sía eőleges C egel öül öéi B B gosuláseo os is sáíhaó eoiális alaba: a a + κ B j B Elélei össefoglaló a aöbe a 7-3 oldalao Példá: 9,,, 3 a τ a B a a a gosulás sáíásáál sié abból idulu i, hog a álaláos síogás össeeheő eg haladó ogásból és eg, a poo áeő, a ogás síjáa eőleges egel öüli elfodulásból Ee egfelelőe eg ado időpoba a es ide pojáa aoos les a κ κ κ B söggosulása: ( ) ( ) ( ) Eg ado po gosuláseoáa, sögsebességée és söggosulásáa iseeébe a eges poo gosuláseoa os háo opoes össegéseé aphaó B a + a a a τ + B B B

23 8 hé Mee ese ieiája éaö ágalásáho defiiáli ell a es éhá öegjelleőjé súlpo helé a deésögű oodiáa-edsebe a O O ζ d,, oodiááal is egadhaju: S S d S d S, S, S Seie-éel alapjá a ee es súlpojáa, ag ao áeő egele, illeőleg sía oaoó eheeleségi oaé iseeébe eg ási poa, ag a egellel illeőleg a síal páhuaos ási egele és sía oaoó eheeleségi oaé is sáíhaó eheeleségi oaé R 3 - a hege egelée és a egellel páhuaos aloójáa: I ill I R - a geeda öepé és égé a eesesei súlpoi egele: I l ill I l 3 - a göb súlpoi egelée: I s s d d ξ s S R 5 s ee es öegé a elei d öege egés ese sáío iegáljaé haáou eg: d Eg ado ese a oodiáaedse edőpojáa oaoó saiai oaéa: S d eo, ael ijelöli a es öegöéppojá, ag ás ée a es súlpojá: S S d d ee es eheeleségi oaéa a, és oodiáasíoa: I d, I d, I d, és oodiáaegele oaoó eheeleségi oaéo: I ξ d, I η d, I ζ d η Végül a oodiáa-edse edőpojáa oaoó eheeleségi oaé: IO d Miel + +, és például + ζ, IO d+ d+ d I + I + I, I d+ d I + I, és íg I O I + I

24 Mee ese ieiájáa alapéelei Súlpoéel R a S apo ifejeés a ee es ogásáa oaoó súlpoéel, ael a odja i, hog a ee es súlpoja úg oog, i a es öegéel egegeő öegű ola aagi po, aele a ese haó ülső eő eoössegée egfelelő eő űödi Síogás égő ee es pedülee a fogásegele, a pedüleéel Miel κ O, eé Π ( ) d i j eoiális soa: ( ) i+ j+ ( ) ( ) eoiális soa pedig: dπ d i j ( + ) j ábá léő fi egel, ag a pillaai fogásegel öül sögsebességgel és κ söggosulással fogóogás égő ee es eg esőleges, aagi poa eiheő d öegű ésée sebessége eo a síese és a fogásegel jelű döféspojáól a d öeghe uaó heleeo d aagi poa a pedülee a egele léő odulala poa: dπ d E a eo a síogás öeeébe a egelbe esi, íg a pedüle a egele e pedüleé is éeleheő egés es pedülee a aoos állású elei pedüleeoo össege: Π d Ee uá: Π d apo ifejeésbe e függ a elei po heleéől, íg a iegáljel alól ieelheő Π d d ifejeés a ese a egele oaoó eheeleségi oaéa, aele a síogása oaoó össefüggésebe I -al jelölü Íg a síogás égő es odulala egele oaoó pedülee: Π I pedüleeo idő seii deiálja: Π & I & I κ aagi po odulala poa oaoó pedüleée deiálja egelő a aagi poa haó eőe a poa sáío oaéáal Síogás eseé a pedüleeo és íg aa deiálja is a sía eőleges egelbe esi, íg a aagi poa haó eő oaéeoaia össege is egeliáú les

25 síogás égő ee es odulala egele oaoó pedüleé, ai a oábba láhaó ol, a eges elei öegpoo pedüleée össegeé éeleü Ee egfelelőe a pedüle deiálja is egelő a össeeő deiáljaia össegéel E a jelei, hog össegei ell a eges pooa haó eőe a odulala egele oaoó oaéai: i M i M i ( F i) + M( B i) M oaéo egés a ülső, ásés a belső eőből sáíhaó i össegés soá aoba eg ado belső eő elleejée a oaéa is egjelei a össegbe, íg a belső eőből sáíhaó oaéösseg éus les Ebből a öeei, hog a M oaéössegbe csa a ese haó ülső eő oaéössege jelei eg Ee uá a M Π & alapjá egfogalahaó a síogás égő ee es pedüleéele, el sei a ese haó ülső eőe a odulala egele, ag a pillaai fogásegele sáío oaéössege egelő a ese a egele sáío eheeleségi oaéáa és a söggosulása a soaáal eojelölésől a síogás ia eleie: M I κ E a össefüggés ao hasálhaó a gaolai feladao egoldása soá, ha egseűe eghaáohaó a fogás egel Külöbe célseű a M S I S κ össefüggéssel sáoli, ael sei a ese haó ülső eőe a es súlpoi egelée sáío oaéössege egelő a ese a súlpoo áeő, a ogás síjáa eőleges egele sáío eheeleségi oaéáa és a söggosulása a soaáal E a éel a síogás égő ese a súlpoi egele (súlpoa) oaoó pedüleéele Elélei össefoglaló a aöbe a 7-78 oldalao Példá: 5, 6, 7, 8 i ogáseiség áloásáa éele, a pedüleáloás éele alapéeleből os is leeeheő a feladao egoldásá segíő éele ee es ogáseisége áloásáa éele sei a ee es ogáseiségée ado időaa alai egáloása egelő a ese haó ülső eő eoössegée a ado időaaa oaoó haáoo iegáljáal S Rd ds ( S S) S pedüle áloásáa éele sei a ee es síogásao a sía eőleges odulala egele, illee a es súlpojá áeő egele sáío pedüle ado időaa alai egáloása egelő a ese haó ülső eőe a illeő egele oaoó oaéössege ado időaaa oaoó haáoo iegáljáal M d I ( ), M d I d I ( ) S S Mee es ogási eegiája, a ogási eegia áloásáa éele S ee es ogási eegiája: I, ag S + I S ua sáíásáal a eőpá uája a eőpá és a es elfodulásáa soaaé sáíhaó i eő uájáal aló össegés uá a ogási eegia áloásáa éele: L Elélei össefoglaló a aöbe a és a 9-9 oldalao Példá: 3 3, 3, 34

26 9 hé Egsabadságfoú edse sabad egései Csillapíala sabad egés & & csillapíala sabad egés diffeeciálegelee: + diffeeciálegele álaláos egoldásá ( ) λ de alaba eese, beheleesíés és uá a λ + aaeisius egelee apju egeleből λ, ± i, ahol ásodedű álladó egühaójú lieáis de λ -el aló egseűsíés diffeeciálegele álaláos egoldása a é göhö aoó egoldás lieáis obiációja Áalaíáso uá cos + Bsi egoldásba seeplő álladóa a edei feléeleből udju eghaáoi egés edeéhe aoó időpoo célseű -a felei, & iseeébe a edei feléelee ielégíő egoldás: ( ) cos + si, ael áíhaó ( ) si a + α alaa, ahol a + B és α acg B Vagis a aagi po csillapíala egése haoius egőogás aagi po aiális iéése, ai a egés apliúdójáa eeü a-al egelő + α éée a egés ado időpoho aoó fáisáa eeü, íg α a ú edei fáis éée a edse sajáöfeeciájáa eeü sajáöfeecia dieiója [ / s] ad a siα a π π egelőségből sáíhaó a sajáegésidő: egésidő dieiója [s] egségi idő ala öéő egése sáa :, aele sajáegéssáa (öegéssáa, π feeciáa) eeü /s-ba adódó egéssá dieiója [H] (He) űsai gaolaba hasálju a peceéi öegéssá fogalá is, ael 6 dieiója: [/pec] éöi gaolaba síese alalao össefüggés sei a öegéssáo (feeciá) jó öelíéssel egapju, ha 5-ö osju a öege egfelelő súleőből c-be isáío, a egése egfelelő iáú elodulás égegöéel 4,984 5 π e e

27 Csillapío sabad egés Sebességgel aáos ülső csillapíás & & sebességgel aáos ülső csillapíása egfelelő diffeeciálegele: + c + egelebe seeplő c éeő egadja a egségi sebességhe aoó elleállási eő sáééé, egsége: [Ns/] ásodedű hoogé, lieáis, álladó egühaójú diffeeciálegele egoldásáál feléeleü, hog a λ egoldás de alaba aphaó Beheleesíés és de λ -el aló egseűsíés uá a λ + cλ+ aaeisius egelee apju, aiből: λ c c, ± éplebe seeplő égegö alai ifejeésbe léő é ag agságáól függőe háo ese ülöböeheő eg a) c > ag c> E esebe - aio a csillapíás ag - a göjel alai éé előjele poií, ehá a göö alósa Ee íül, iel a gö c éée -él isebb, idé λ egaí előjelű les Beeee a és c jelölésee: diffeeciálegele álaláos egoldása: ρ ρ d e + d e egoldás é ooo csöeő epoeciális göbe össegé aalaa ugali heleből iodío es asipoiusa öeledi eedei heleéhe, ai a a ába uaja ag csillapíás eseébe ehá e les egés b) c Ebbe a esebe os sics, és iel λ ρ+ ρ, λ ρ ρ ag c c λ λ ρ és a álaláos egoldás: e ( d + ) e ρ öelí E a esee, aio ρ alaba íhaó fel Regés d jobba csöe, i ahog öesi, a ogás a időbe os is ugali helehe c, iius csillapíása eeü c) c < ag c< Mos, aio a csillapíás icsi, a égegö alai ifejeés egaí les, íg é ople göö apu Beeee a c a aaeisius egele egoldásai: λ ρ+ i, λ ρ i ρ diffeeciálegele álaláos egoldása a alábbi les: e ( + Bsi ) feléele és &, ao a egoldás: e ρ cos + ρ + cos si Ha -ál a edei

28 feie éelébe a egöegű, egsabadságfoú edse csillapío sabad egése eg ola feeciájú peiodius egőogás, aele apliúdói a e ρ soó ia öeedéséel csöee i láu, a előő é eseől eléőe os egőogás a E aa ösöheő, hog a csillapíás is csillapíás csillapío egés sajáöfeeciájáál a *-gal a íáu ifejei, hog iseeébe a csillapíala esehe aoó -ból sáaahaó: edei elodulás eseé: a csillapíási jelleő c ogás lefuásá éus 4 * * π csillapío egés sajáegésideje:, öegéssáa pedig: * * egés csillapodásá a egás π időöel öeő iéése aááal jelleehejü é iéés háadosá a csillapío egés deeeuáa, eésees alapú logaiusá pedig logaiius deeeua eeü: logaiius deeeu segíségéel, beeee a Seeei csillapíás e ϑ γ jelölés, π γ γ + + cos si γ ρ, és a ogás egelee: ϑ ρ Ha eg ado seeee egésbe hou, ajd hagju, hog sabad egés égee, a egés ao is csillapodi fog, ha ics ülső egéscsillapíás Ee oa a ú seeei csillapíás, a seee apcsolaaiál fellépő súlódás és a aag e öéleese ugalas ola, a ú belső súlódás Ee sei eg ééseel igaol logaiius deeeuho sáíu eg eiales ülső csillapíási jelleő Íg a eddigi össefüggései a seeei csillapíás eseée is alalahaó lese γ ce γ a csillapío egés sajáöfeeciája a seeei csillapíás eseé:, aa a 4 seeei csillapíás feeciá ódosíó haása csa a logaiius deeeuól függ, agis alóba feeciafüggele Valós seeeeél a -a apo össefüggésbe a égegö alai ifejeés ásodi agja a első agho épes ige icsi, ai a jelei, hog a seeei csillapíás a öegéssáa, sajáöfeeciáa ics jeleős haással Soásos eljáás, hog a seeei csillapíással eiales c ülső csillapíási álladó a iius csillapíás %-ba α adjá eg: [ ] [%] α % 5γ γ Például asbeoseeeeél - jeleős diaius igébeéeleél - 5%-os 5 seeei csillapíásál γ, Elélei össefoglaló a aöbe a 7-6 oldalao Példá: 3, 3, 33, 34

29 hé Egsabadságfoú edse haoius gejesése Haoius eőel gejese csillapíala egés & diffeeciálegele ebbe a esebe: + q si ihoogé diffeeciálegele egoldása a hoogé egele álaláos és a ihoogé egele paiuláis egoldásáa össegeé aphaó hoogé egele egoldása egegei a csillapíás élüli esebe apo egoldással paiuláis egoldás si & függéee és si -el egseűsíe: ( ) g q Visgálju a a esee, aio, a paiuláis egoldás: g alaba eessü Beheleesíe a g ( ) és ( ) g és égehajhaju a -el aló osás! Figelebe ée, hog q g si hoogé és álaláos egoldásá és a paiuláis egoldás össeada q cos + Bsi + si alaba apju a diffeeciálegele álaláos egoldásá és B álladóa a edei feléeleből haáohaju eg Ha -á a edei feléele, &, ao a edei feléelee ielégíő egoldás: q cos + si + si si íg apo egoldásba a első é ag egfelel a sabad egésél apo egoldása, a haadi ag pedig a gejeső eő haásáa első é ag a csillapíás ia öid idő ala egsűi, és a oábbiaba a ihoogé és les a álladósul egés esőleges edei feléel eseé is g q eg ola elolódás jele, aele a gejeső eő aiua ooa a edsee, aeibe saiusa űöde eő diaius haásá a soa ási éeője, a a µ eoaciaéeő eoaciaéeő iáólag a ifejeés uaja Ee absolú éée háadosól, agis a gejeső eő öfeeciájáa és a edse sajáöfeeciájáa a háadosáól függ io a gejeső eő öfeeciája a sabad egés sajáöfeeciájáál isebb, a eoaciaéeő éée egél idig agobb io öeledi a eghe, a eoaciaéeő - és ele egü a egés apliúdója - ohaosa ő Ha agobb - ál, ao öeedéséel a eoaciaéeő asipoiusa öeledi ulláho E a jelei, hog aeibe soal agobb -ál, a gejeső eő ige is apliúdójú egésee oo diffeeciálegele egoldása soá iáu a osai E a jeleség, aio, aa esee, iel e esebe éussal ellee, aa a gejeső eő feeciája a edse sajáfeeciájáal egegei a

30 eoacia & éus edei feléelehe aoó egoldás isgála egeeshejü q q haáééé: li si cos apo eedéből láhaó, hog eoacia eseé a ásodi össeeő apliúdója a időel aáosa öesi, ehá a egés soá a égele felé a, ai a a ába uaja Meg ell jegei, hog a eoacia, aa egbeesés a alóságba e ud ialauli, iel a öfeeciá alós fiiai eisége, ééü alós sá alóságba iso alálou aal a jeleséggel, aio öel esi -ho, de e aoos ele Eo eseé, igaolhaó, hog q si cos, aa: cos E a jelesége, aelél a q si gejeső eő haásáa a aagi po ola feeciájú egés ége, aele apliúdója peiodiusa áloi, lebegése eeü Haoius eőel gejese csillapío egés diffeeciálegele ebbe a esebe & + c& + q si paiuláis egoldás si( ϕ) c q alaba eesheő, ahol ϕ ac g, íg g c + diffeeciálegele paiuláis egoldása ee uá: q c g si ac g c + il ódo apo egoldás haoius egőogás jele, aele apliúdója c gejeső eő peiódusáal, de a egés a gejeső eőhö épes ϕ ac g fáissal ési diffeeciálegele álaláos egoldása: g g g, peiódusa aoos a

31 ( ) ( ) ρ + q c e cos Bsi + si ac g c + hoogé és álaláos egoldása eg csillapío egés épisel, ael öid idő ala egsűi álladósul q egés ifejeésébe a a saius elodulás, íg a eoaciaéeő: µ c + Ha a ülöböő csillapíási ééee a iius csillapíásho, c isoíju, a ülöböő c / c isosáoho aoó aiális apliúdó idig éges éée ese fel és agobb csillapíási éeőhö isebb aiális apliúdó aoi Kis csillapíásál - ahol a eoaciaéeő jeleős - e oo ag hibá, ha a eoaciaéeő ééé a -ál sáíju Eo: µ a c c csillapíási éeő eseé a eoaciaéeő aiális éée isebb les egél, agis a saius elodulásál - a gejeső feeciáól függeleül - isebbe lese a diaius eloduláso ééű csillapíás eséi csillapíása eeü c sabad egés isgálaáál láu, hog a seeeeél ao is a csillapíás, ha eől e godosodu c γ eiales csillapíás ifejeésé beheleesíe a eoaciaéeő: µ + γ Valós seeeeél a γ e öbb,-él, ai a jelei, hog a seeei csillapíása csa a eoacia öelébe a jeleősége eoaciaéeő aiális éée: µ a Például γ,-él a γ γ µ csillapíala egésél a ifejeés előjele ás ao, ha < és ás, ha > Megállapíou, hog aio a gejeső eő feeciája isebb a edse sajáöfeeciájáál a egés és a gejeső eő aoos fáisba a, agis a egés égő es ogásáa iáa ide pillaaba egegei a gejeső eő iááal Ha aoba a gejeső eő feeciája agobb a edse sajáöfeeciájáál, a es a gejeső eőel elleées fáisba - o 8 fáis elolódással - eeg csillapío esebe agis a egés iáa os is áloi, ha folaaosa áloi seeei csillapíással eiales ülső - sebességgel aáos csillapíás, a c c c ϕ ac g ac g, < ag ha >, de a fáis elolódás e ugásseűe, hae γ ϕ ac g Elélei össefoglaló a aöbe a oldalao Példá: 35, 36, 37, 38 e γ - beheleesíe:

32 hé Egsabadságfoú edse álaláos eő ooa gejese egése csillapíala egés diffeeciálegelee: & + q pedig: & + c& + q Álladó agságú eőel gejese csillapíala egés &, a csillapío gejese egés diffeeciálegelee + q & egoldás a hoogé egele álaláos egoldása és a ihoogé egele paiuláis egoldása össegeé áll q elő Beheleesíéssel elleőiheő, hog a paiuláis egoldás: q q Ee uá a egésegele egoldása: cos + Bsi + és B álladóa a edei feléeleből haáohaju eg Ha -ál a edei feléele, ao q q q cos + ( ) cos q q ábából láhaju, hog ola - a sa saius egesúli hele öüli - haoius egőogásól a só, ahol a apliúdó a saius elodulása felel eg Íg a aiális iéés a saius elodulás éseese eedé egegei aal, ai a üöés fejeebe apu, aa a seeee hiele - e saius ódo - elhelee eheből a elodulás ésees Álladó agságú eőel gejese csillapío egés csillapío esehe aoó diffeeciálegele eseébe is elleőiheő beheleesíéssel, hog a paiuláis q q egoldás: q Ee uá a egésegele egoldása: e ρ ( cos + ) + Bsi és B álladóa os is a edei feléeleből lehe eghaáoi Ha -ál a edei feléele, ao q ρ * ρ ρq * e cos e i s * q π *

33 ábá láhaó, hog a hoogé egoldása egfelelő és időel lecsillapodi és a elodulás a saius π elodulása - a ihoogé egele paiuláis egoldásáa egfelelő les aiális iéés a időpoho aoi Eo π ρ π q * + e * aiális apliúdó os a saius elodulás éseeséél isebb les * Gejesés a időől esőlegese függő eőel ábá a gejeső eő a idő eg esőleges függéébe láju E a függé ag leíhaó a ise függée (eseleg saasoé eléő) obiációjaé, ag a eő agsága (pl éés soá fele) gafioól olashaó le q q τ dτ Visgálju a a állapoo, aio a aagi po a τ időpoba á oog, de i ap eg újabb q(τ)dτ ipulus Ehhe a ipulusho aoi a ogáseiség d öeée ogáseiség áloásáa éele éelébe: d q(τ)dτ Α sebessége a τ időpoba a ipulus ia beöeeő öeedése ehá: d q( τ ) dτ ipulus iai sebesség öeééhe aoóa a τ időpoól a aagi po elodulásába is les eg öeé, ael d q( τ ) si ( τ ) dτ Ha -á a edei feléele öeée össegeéséből adódi, ao a po elodulása eg ado időpoba a addigi d, agis: dτ q( τ ) si ( τ ) eljese hasolóa eeheő le a is csillapíás eseée oaoó össefüggés Seeei csillapíásál: q( τ ) e γ ( τ ) si τ dτ ( ) egoldás á foába egadi, aa a elodulás a idő függéébe eghaáoi eéseese csa ao a ódu, ha a eő is isejü a idő függéébe E esebe se bios aoba, hog a soafüggé piií függéé elő udju állíai a aoba ics aadála, hog a ülöböő időpooba ueiusa sáísu a haáoo iegál

34 Lege q q, aa isgálju a álladó eőel aló gejesés eseé Eo q si ( τ) dτ ( cos ) Végeedéül egapu a oábba á egise össefüggés Visgálju a oábbiaba a a esee, aio q q a, aa a gejeső eő a időbe lieáisa öesi a dτ aτ si ( τ ) dτ τ si ( τ ) paciális iegálás alalaa: ( ) si a a egoldásba a első ag a lieáisa öeő saius eőe felel eg és a ado időpoba a egesúli a helee uaja ásodi ag eg álladó apliúdójú haoius egés, ael a lieáisa öeő saius elodulás öül ajli E a apliúdó aál agobb, iél gosabba ő a eő, ugaao fodíoa aáos a ugóeeséggel és a sajáöfeeciáal áasegés ábá láhaó seee áasa időbe áloó ogás ége öegpo elodulása a seee defoációja ia eél -el agobb, ééű öegpoa haó ugalas issaéíő eő -el, a eheeleségi eő & & -el aáos ogás diffeeciálegelee: + & & + beheleesíése uá: + & áasegés ehá ola gejese egésé eelheő, ahol q & & diffeeciálegele egoldásaé a igébeéelei sáíhaó +, agis a seee defoációja adódi, aiből a seee össefüggés segíségéel sáíhaó a öegpo eljes elodulása Bioos éöi feladaoál célseű, ha a diffeeciálegelebe iseeleé a elodulás seepelejü Eo a diffeeciálegele: & + ( ) ( ) ( ) Visgálju a a esee, aio a áasogás haoius, aa si Eo a egele jobb oldala: Megoldásé a álladósul egése a g q si q si si ifejeés apju Láhaó, hog a eljes iéés a áasegés apliúdójáa a eoaciaéeőel agío éée les Elélei össefoglaló a aöbe a 5-53 oldalao Példá: 39, 3, 3

35 hé öbbsabadságfoú edse sabad egései Rugóal apcsol öegpooból álló edse egeleei q 3 3 3q q 3 aa && && 3 && 3 + K q M & q q q 3 ( ) I M a öegái, K a eeségi ái, a öegpoo elodulásai, íg gejeső eőe aalaó eo q a öegpooa haó Meeségi ái sáíása ugalas seeee léő öegpooból álló edse eseé ábá eg elhaagolhaó öegű aó láu aó háo öegpo a 3 3, 3 éébe elodula aó a iodío helebe ics egesúlba, a eges öegpooa a iodíással elleées,,, issaéíő eő haa Ee eőe e isejü, de udju, hog a eges eő a ei egfelelő aó iodíju egesúli heleéből, aie öeeébe a eges öegpoo, ( ) ( ) ( ) 3 iééseel lieáisa aáosa: K Ebből K F eeségi ái ieé hajléosági áia eeü Ee fij elee egadja a öeg élüli ugalas aóa haó j-edi iáú egségi eőből a i-edi iáú elodulás Ee eloduláso sáíásá oábbi auláai alapjá - ag a iuális eő éelée alalaásáal, ag a aó is elodulásaia sáíásáál aulaa egfelelőe - á el udju égei hajléosági ái iseeébe - aa ieálásáal - a eeségi ái sáíhaó öbbsabadságfoú edse sabad egései M & ái-diffeeciálegele ado, & edei feléele ellei Feladau a + K egoldása Keessü a egoldás i ~ c e alaba, eg hoogé lieáis egeleedse ell egoldai ái-diffeeciálegele eg paiuláis egoldása ee uá (a egsabadságfoú edseeél láoaa egfelelő áalaíáso uá: a cos + b si

36 alaba íhaó fel, íg a álaláos egoldás a paiuláis egoldáso lieáis obiációjaé adódi a cos + b si egoldásba seeplő a, b osaso a edei feléele alapjá - eg edsáú lieáis egeleedse egoldásáal - sáíhaó egésegele egoldása a sajáeoo iseeébe K egele felíhaó K M álaláosío sajáéé-felada alajába is Ee feladao ( M) egoldásáa egfelelő sáíógépi pogao álla edeleése, aele solgálajá a sajáééee és a hoáju aoó sajáeooa Ee sajáeoo a oábbiaba jól hasosíhaó sajáosságoal edelee Igaolhaó, hog a sajáeoo a öegáia és a eeségi áia oogoálisa Noálju a ülöböő sajáeooa úg, hog a M s, Ks M soa éée egségi lege E esebe K Eg V áiba foglala a össes sajáeo (a ái -edi oslopa és a V áiba a sajáeoo aspoáljai eüle, íg aa -edi soa egségái les, íg a V KV ) a oooaliás ia a V M V soa eg ola diagoális ái les, aele eleei a soa sajáéée a V MV E, V KV Ha beeeü eg új iseele a V + K össefüggése egfelelőe, beheleesíjü e a M & ái-diffeeciálegelebe, és egsoou a egelee balól V MV & + V KV & V áisal: ái-diffeeciálegele sáú függele egsabadságfoú egése egfelelő diffeeciálegelee esi sé ( ) ( ) && && && + + & egsabadságfoú edse egoldása a oábbi iseee alapjá: egoldásho ehá süségü a a & cos + si és & edei feléelee V V, és íg V ill & V & össefüggés iseeébe Ee sei a és & edei feléele sáíásáho süség a a V áia, ael V V M íhaó fel, agis ics süség a V ái ieálásáa alaba

37 ill & eoo eleei ehá ol ódo aphaó, hog a V M ill & eooal: M ill & M & M cos + M & si Íg: ( ) V össefüggése egfelelőe a sajáeoo - soou a M cos ái -edi soá soou a eo úg apju eg, hog a V ái oslopai - aele a függéeel és össegeü őe: + si & ag: ( ) cos + ẑ si ahol M ill ẑ M & Láhaó, hog a eloduláseo ide időpillaaba a sajáeoo lieáis obiációjaé adódi Lege például s és & Mi láu s eseé M s, íg a egoldásba csa a s egjelei és eo fog s cos s les a elodulás edse ehá a sajáeoa egfelelő apliúdóal eeg E idoolja, hog a sajáeooa sajáegésalaoa is eeü legisebb sajáöfeeciáho aoi a alap egésala feiebe iseee eljáás, ael a sajáeoo báisába íja fel a egésegele egoldásá, odálaalíise eeü ( eges egésalaoa soás ódusa eei) eljáás előe, hog ad eg éplee, aelből báel időpoba sáíhaó a eloduláso ( elodulásoa leeee össefüggés időseii deiálásáal pedig ola össefüggés apu, aeleből a sebessége sáíhaó) eljáás aoba igéli a sajáeoo eghaáoásá, ael öbb íee sabadságfoú edseeél e leheséges Ha e udju a össes sajáeo sáíai, ao a ésleges össegés poala eedé ad i ajd lái fogju, a egoldásba a eges sajáeoo seepe ülöböő, íg leheséges, hog bioos sáú sajáeo sáíása elegedő a éöi gaola egöeele poosság elééséhe sajáeoo süséges sááa eghaáoása eg felelős éöi felada, aellel a ésőbbi auláaiba fogu aláloi seeei csillapíás haása öbbsabadságfoú sabad egésél bba e esebe, ha a belső súlódási éeő ide ugóeleél aoos, a csillapíala esee apo egoldáso egseűe iegésíheő a csillapíás figelebeéele édeébe Ee elélei és ísélei háeé os e udju ágali, csupá a alalaadó eljáás iseejü Ebbe a esebe a γ csillapíási jelleő ide egésalaál aoosa eheő fel sajáöfeecia ódosíása a γ 4 össefüggés alapjá öéi eges egésösseeőél a apliúdó csöeés a e éheő el Ee alapjá a eloduláseo a alábbia sei alaul: γ e γ γ M cos + + & si Elélei össefoglaló a aöbe a oldalao Példá: 3, 33, 34 soó alalaásáal

38 3 hé öbbsabadságfoú edse haoius gejesése álladósul egés sáíása haoius gejesésél a egésegele öele egoldásáal bba a esebe, ha a csillapíással e íáu sáoli, a egés ái-diffeeciálegelee eg - a sei áloó - haoius eőel aló gejesésél alaú les M& + K q si si i oábba a egsabadságfoú edsee isgálaáál láu, a ihoogé egele paiuláis egoldása aloja a egés álladósul ésé Keessü a paiuláis egoldás alaba Beheleesíe a ái-diffeeciálegelebe: g si M si+ K si q si g g g apo egelőség ide éééél feáll, íg, eé si -el egseűsíe: ( K M) g q Felée, hog a egühaó-ái e siguláis (ai a jelei, hog deeiása e éus, aa e sajáöfeecia) a apliúdóeo: g ( K M) q eéseese ics süség a ie ái előállíásáa, a g eo a egeleedse egolda sáíhaó eljáás - ael éségeleül egseű - e ad ifoáció a gejeső feecia és a ülöböő sajáöfeeciá isoáól, a eoaciaesélől és e épes figelebe ei a idig jeleléő csillapíó haásoa ésabadságfoú edse e esebe egseűe ágalhaó Eo: g g,, q q ie ái: ( K M) f ( ) ahol f( ) ( )( )

39 egésegele egoldása a sajáeoo iseeébe oooál sajáeoo és a hoáju aoó sajáéée iseeébe isgálju isé a M& + K q si ái-diffeeciálegelee Ha beeeü eg új iseele a V össefüggése egfelelőe és e beheleesíjü a ái-diffeeciálegelebe, ajd egsoou a egelee balól V áisal, ao a alábbiaa apju: apo egele suúája a alábbi les: V + V KV V q si f si MV& && && && + f f si f I a f a V ái -edi soáa (aa a -edi sajáeo aspoáljáa) és a q eoa a saláis soaa f q les Elégee a eooal aló soásoa: && && && + f f si f Vagis a ái-diffeeciálegele os is N sáú függele - egsabadságfoú egése egfelelő - diffeeciálegelee esi sé, ahol a -edi egele: f si & + egsabadságfoú edse ihoogé diffeeciálegeleée paiuláis egoldásá g si g alaba eese: g g si+ g si f si, g f, q si q si