Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai kar Média és Oktatásinformatika Tanszék. Digitális matematika segédanyagok 10. osztályosok számára

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai kar Média és Oktatásinformatika Tanszék Digitális matematika segédanyagok 10. osztályosok számára 2010 Készítette: Bencz Viktória Informatikatanári-matematika szak Témavezető: Papp-Varga Zsuzsanna Egyetemi tanársegéd

2 Tartalom Tartalom... 2 Bevezető... 4 A dolgozatról... 4 A témáról és a témaválasztásról... 5 I. A 10. évfolyam matematika tananyagának áttekintése a NAT-ban A matematika műveltségi területei... 7 A fejlesztési feladatok II. A 10. évfolyamos tananyag alaptémakörei a különböző matematika könyvekben II.1. Sokszínű Matematika II.2. Hajdú: Matematika II.3. Czapáry Gyapjas: Matematika II.4. Hajnal Imre: Matematika a gimnáziumok 10. évfolyama számára Hasonlóságok és különbségek a legismertebb tankönyvek között III. GeoGebra és az oktatás A programról röviden III.1. E-learninges anyagok és ergonómiájuk III.2. GeoGebra ergonómiája III.3. A program beépülésének lehetőségei az oktatás folyamatába IV. A tananyag egyes részeinek feldolgozása Tudnivalók a fájlok használata előtt IV.1. Geometria témakörben elkészített fájlok IV.2. Trigonometria témakörben elkészített fájlok IV.3. Vektorok témakörében elkészített fájlok

3 IV.4. Néhány fájl részletes bemutatása V. Az elkészített segédanyagok használhatósága VI. Tapasztalatok VII. Befejezés VIII. Irodalomjegyzék Mellékletek Függelék

4 Bevezető Ez a szakdolgozat az Eötvös Loránd Tudományegyetem Média és Oktatásinformatika karán, Informatika-tanár szakán készült. Célja, hogy felhívja a kollégák figyelmét a lehetőségre, hogy nem csak az iskolában tanulhatnak a diákok; valamint segítséget nyújtson elsősorban azon diákok számára, akiknek az iskolai matematika órán nem sikerült mindennel kellőképpen megismerkedniük. Ezen kívül ötletet adhat azokak a vállalkozó kedvű kollégáknak is, akik szeretnék, hogy a diákok otthon is tevőlegesen foglakozzanak a matematikával. A dolgozathoz mellékelt fájlokat példának szántam. A célom az volt, hogy megmutassam, milyen lehetőségeket rejthet magában a digitális világ, és ezt hogyan lehet kihasználni akár az oktatás céljára is. Sajnos még mindig nem azoknak készülnek a segédanyagok, akiknek szükségük lenne rájuk. Rengeteg tanári segédlet készül folyamatosan, hogy minél könnyebben, érthetőbben szemléletesebben tudjanak oktatni. Ez persze nem rossz dolog, de az oktatás nem elsősorban róluk szól. A diákoknak kell elsajátítaniuk a tananyagot, és elsősorban ők igényelnek hozzá segítséget is. A dolgozatról A dolgozat elsősorban olyan tanár kollégáknak készült, akik szeretnék, ha a tanulóik az iskolán kívül is foglalkoznának a matematikával, és ehhez akár a digitális segédanyagok felhasználásától sem rettennek vissza. Először is a Nemzeti Alaptanterv Matematika című fejezetében leírt műveltségi területeken való oktatás során, és az ugyanitt taglalt fejlesztési feladatok felépítésével foglakozom. Itt ragadom meg az alkalmat arra is, hogy rávilágítsak azokra lehetőségére is, ahol a számítógép hasznos segítség lehet. Ezek után a jelenleg használatos matematika tankönyvek tartalmát hasonlítom össze. Ez persze nem lehet teljes lista, így igyekszem a legismertebb, legtöbbet használt könyvekre szorítkozni. 4

5 Itt tartom célszerűnek bemutatni a segédanyagok készítéséhez választott GeoGebra nevű programot, felépítését, részeit és lehetőségeit. A fejezet nem a program teljes mértékű bemutatását szolgálja, dolgozatom ugyanis nem erre hivatott. Akinek mégis szüksége lenne egy részletes ismertetőre, a magyar nyelvű GeoGebraWiki oldalon több szakdolgozatot is olvashat, amelyek részletesen és érthetően tárgyalják a program használatát. Az ezek után következő részben az általam elkészített fájlokat sorolom fel témakörök szerinti csoportosításban. A fejezet elején olvashatóak lesznek majd azok az elvek és formai, didaktikai elgondolások, amik tekintetében a fájlok készültek. A fejezet végén bemutatásra kerül néhány konkrét fájl is. Próbálok minden típusból kiválasztani egyet. Mindezek után arra is kitérek egy rövid fejezet erejéig, hogy az általam készített fájlok milyen felhasználási és egyéb lehetőségeket rejtenek magukban. Az utolsó fejezetben a tapasztalatokról szól. Először is saját gyakorlótanításom során szerzett élményeimre térek ki, majd egy szaktársammal készített beszélgetés tanulságait osztom meg az Olvasóval. A harmadik része a fejezetnek, pedig olyan diákok véleményét tartalmazza, akik kipróbálták az általam készítet segédanyagok egy részét. A témáról és a témaválasztásról Egy diákoknak szóló segédanyag készítését tervezem, amely segít az órán részlegesen megszerzett matematikatudást kiegészíteni, elmélyíteni, átismételni, esetlegesen egy másik szemszögből is megvilágítani. Ehhez a 10. évfolyam tantervét választottam, mert abban rengeteg lehetőség akad a program használatára. A tantervet, és a tanmeneteket átnézve szinte minden témakörhöz tudnám használni a programot, de dolgozatom terjedelmének végessége miatt csak két témakörre szűkítettem a segédanyagokat. Ezek a geometria ami talán a legkézenfekvőbb választás, valamint a trigonometria, ahol pedig tapasztalataim szerint is szükség van a segítségre. 5

6 Az anyag tartalmaz egy elméleti összefoglalót az anyagrészekhez, ami átismétli, amit az órán a diákoknak hallaniuk kellet. Ezek egy részéhez, készülnek mintapéldák és gyakorlófeladatok is. A gyakorlófeladatoknál fontosnak tartom, hogy a tanuló otthon ellenőrizni tudja önmagát anélkül, hogy egy teljes levezetett megoldást megkapjon. Olyan segítséget szeretnék adni, amellyel, egyedül is képes megoldani és megérteni egy a számára esetleg ismeretlen anyagrészt, feladattípust. Remélhetőleg ez az anyag segítség lehet majd egy hiányzónak bepótolni a kihagyott anyagot, vagy esetlegesen egy magántanulónak is, aki otthon dolgozza fel a tanév anyagát, vagy csak segítségként szolgál annak, akinek nem sikerült az órán teljesen megértenie mindent. 6

7 I. A 10. évfolyam matematika tananyagának áttekintése a NAT-ban. A matematika műveltségi területei A Nemzeti Alaptanterv az a dokumentum, ami a jelenlegi közoktatás tematikáját, és kimeneti követelményeit is tartalmazza. Ezért először azt vizsgálom meg, hogy a NAT szerint mit az, amit egy tizedik osztályos diáknak el kell sajátítania a tanév során. A jelenlegi NAT műveltségi területekre osztja a tananyagot. Arra törekszik, hogy egy megismerési tevékenységet, egyfajta szellemi magatartásformát 1 próbáljon közvetíteni, és egyúttal a felnövő gyermek személyiségét is formálja. Egy külön gondolkodásvilággal ismerteti meg a tanulókat. A matematika kiemelt műveltségi területei: a személyiség tiszteletére nevelés, a beszélt és írott kommunikációs kultúra: mások szóban és írásban közölt gondolatmenetének meghallgatása, megértése; saját gondolatok közlése; a jelenségek értelmezéséhez illeszkedő érvek keresése; az érveken alapuló vitakészség fejlesztése, a matematika természettudományokban, társadalomtudományokban, a humán kultúra számos ágában betöltött fontos szerepének az értése, a döntési kompetencia fejlesztése; a modellek érvényességi körének és a gyakorlatban való alkalmazhatóságának eldöntésére alkalmas kompetenciák és képességek kialakítása; a jelenségekhez illeszkedő modellek, gondolkodásmódok (analógiás, heurisztikus, becslésen alapuló, matematikai logikai, axiomatikus, valószínűségi, konstruktív, kreatív stb.), módszerek (aritmetikai, algebrai, geometriai, koordináta geometriai, statisztikai stb.) és leírások kiválasztásának és alkalmazásának tudása; 1 Nemzeti Alaptanterv (243/2003. (XII. 17.) Korm. rendelet) 7

8 a matematikai ismeretek gyakorlati alkalmazása; hozzájárulás a történeti szemléletmód kialakításához; a tanulás, a matematikatanulás szokásainak, képességének alakítása; a reproduktív, problémamegoldó, alkotó gondolkodásmód fejlesztése; a pontos, kitartó, fegyelmezett munka végzése, az önellenőrzés igénye, módszereinek megismerése és alkalmazása; alapvető tevékenységek (pl. mérés, alapszerkesztések), műveletek (pl. aritmetikai, algebrai műveletek, transzformációk) automatizált végzése. 2 Ezek közül a kiemelt területek közül sokat fejleszthetünk a számítógép bevonásával. Külön hangsúlyt fektetnék azokra, amelyeknél a digitális segédanyagok nagy segítségükre lehetnek a tanulóknak. Beszélt és írott kommunikációs kultúra: mások gondolatainak értelmezése, saját gondolatok közlése. A matematikában sokszor egy pontos ábra, egy animáció többet mond vagy mutat, mint amit hagyományosan egy tábla és egy kréta segítségével át tudnánk adni. Sajnos vannak azonban olyan tanulók, akiknek nem olyan jók a rajz vagy ábrázoló képességeik, vagy csak egyszerűen a feladat miatt kézzel nem tudnak pontos ábrát készíteni. Ha ismerik, és tudják használni a rendelkezésükre álló informatikai eszközöket talán kisebb az esély arra, hogy a próbálkozásaik kudarcot valljanak. Ezzel talán megelőzhetjük azt a negatív élményt is, ami az esetleges sikertelenség mellé társulna. Modellek érvényességi köre. A hagyományos módszerekkel ellentétben a dinamikusságnak hála, igenis létrehozható egy-egy általános modell. A dinamikusság lényege, hogy a felhasználók majdnem mindent változtathatnak. Nem egy fix ábra, rajz látszik, hanem kipróbálhatóak a különböző esetek, és így a diákok is sokkal könnyebben tudnak észrevételeket tenni. Ennek a szemléletmódnak az elsajátítása segít, hogy 2 Nemzeti Alaptanterv (243/2003. (XII. 17.) Korm. rendelet) 8

9 a későbbiekben könnyebben választani tudjanak módszerek, gondolkodásmódok, nézőpontok és lehetőségek között. A feladatok diszkutálásában is sok könnyebbséget adhatnak a segédanyagok azáltal, hogy a különböző esetek, határesetek közti kapcsolatok, átmenetek, szemmel is láthatóvá válnak. A tanár munkáját is könnyítheti egy számítógépes segédanyag, hiszen nem kell az összes esetet egyenként felrajzolnia a táblára, és ezzel rengeteg időt nyerhet, amit a magyarázatra, vagy csak éppen a gyakorlásra fordíthat. Sajnálatos, de be kell látnunk, hogy az időhiánnyal majdnem minden tanár megküzd jó néhányszor a tanévek során, és előfordulhat, hogy a tanulók egy részének, egyes témaköröknél éppen ez az, ami hiányzik. Ha egy picivel több idő jutna a feladatokra, a magyarázatokra, vagy egy olyan segítség akadna, amit egyedül is biztonsággal használhatnak a diákok, máris könnyebben vennél majd az esetleges akadályokat is. Matematika ismeretek gyakorlati alkalmazása. Sajnos az egyik indokuk a diákoknak arra, hogy ne tanulják a matematikát olyan intenzitással, amilyennel képesek lennének rá az az, hogy amit használni fognak belőle azt gyakorlatilag az első 6 osztály tananyaga. A kétszintű érettségivel megjelenő újdonság volt az a gondolat, hogy a matematika oktatás során életszagú példákat lássanak a tanulók. Így maguk is meggyőződhetnek a tanultak gyakorlati hasznáról. De sokszor ez sem elég indok arra, hogy komolyabban vegyék a matematika tanulását, ugyanis egy tizenéves diák nem látja át, hogy a matematika óra lényege nem csak a konkrét feladatok megoldásában van, hanem egy szemléletmódot, gondolkodásmódot próbálunk átadni nekik, amit az életük során a mindennapjaikban is hasznosíthatnak. A logika, a problémamegoldás, különböző szempontok figyelembevétele beépül a személyiségükbe, ezáltal könnyebben, gyorsabban, hatékonyabban oldják meg majd az életben is a rájuk váró feladatokat. Viszont ehhez az kell, hogy a matematikára ne csak nyűg -ként gondoljanak. Ebben a dinamikus anyagok nagy segítségünkre lehetnek, hiszen a mai iskolást nehéz elszakítani a számítógép elől. Ha kezükbe 9

10 adunk egy eszközt, ami érdekesebbé teheti a tanulás folyamatát, vagy egyszerűen csak jó szórakozásnak tűnik, azzal elérhetjük, hogy esetlegesen a szabad idejében is foglalkozzon az anyaggal. Tanulás, matematikatanulás szokásainak, képességének alakítása. Az iskolai évek során minden gyerek megtanul tanulni. Ez egy olyan képesség, amit mindenki folyamatosan sajátít el, és folyamatosan fejleszt. Ez ismereti területenként különbözik minden embernél. Mindenki máshogy tanulja a matematikát, az idegen nyelvet, a történelmet vagy a biológiát. Egy dolog azonban az emberek nagy többségénél közös. Ez pedig vizuális tanulás. Ha van egy érdekes, vagy jól elkészített ábra, rajz, kép, animáció, ami mint inger társulhat az adott információ mellé, akkor nemcsak gyorsabban és könnyebben tanulja azt meg a diák, hanem maradandóbb is lesz az adott tudásanyag, és könnyebben idézzük vissza akár évek elteltével is. Hiszen valljuk be, mi is könnyebben emlékszünk vissza arra, amit hozzáköthetünk valamihez, amit már láttunk, hallottunk, vagy tapasztaltunk. Reproduktív, problémamegoldó, alkotó gondolkodásmód fejlesztése. Talán ez az egyik legfontosabb területe a nevelésnek. A számítógép, és az interaktív tábla terjedésével a digitális segédanyagok teret nyerhetnek az oktatásban, és az otthoni tanulásban is. Ezek a segédanyagok nagy segítséget jelenthetnek a házi feladatok elkészítésében, az elmulasztott anyag pótlásában, vagy egy dolgozatra való önálló felkészülésben is. A tanulók valószínűleg szívesebben állnak neki otthon egy feladatnak, ha, van hozzá valamilyen segítségük. Ha van egy biztos pont, amihez hozzányúlhatnak, akkor talán ők is nagyobb esélyt láthatnak a sikerre is. Ez pedig jelentősen motiválhatja őket. Ez a motiváció pedig egyre több önállóan megoldott házi feladatot jelent. Ha pedig úgy érzik képesek egyedül is létrehozni, megoldani valamit, akkor bizonyára nagyobb valószínűséggel teszik ezt meg az iskolai órákon is. Nagy előnyük még ezeknek a segédanyagoknak, hogy többnyire dinamikusak. Ennek köszönhetően elérhető lesz, hogy ne típusfeladatokban gondolkodjanak. Általános eseteket láthatnak, ami hagyományos módszerekkel csak nagyon 10

11 nehezen, vagy körülményesen megvalósítható. Itt egyetlen képernyőn látszik az összes lehetséges eset, és az esetekhez kapcsolódó elméleti anyagrész is az ábrának megfelelően változik. Az általános szemléletmód beépülésével, pedig egy idő után egy ismeretlen problémától sem retten majd vissza a tanuló, hanem megpróbálja majd akár segítség nélkül is megoldani azt. Pontos, kitartó, fegyelmezett munkavégzés, önellenőrzés igénye, módszereinek megismerése, alkalmazása. Valljuk be, a matematika nem tartozik a legkönnyebb tantárgyak közé. Nagyfokú figyelem, precizitás és nem utolsósorban kitartás szükséges hozzá. Sajnos sok diáknak nehézséget okoz még a legkönnyebb feladat is. Az első kudarcok után nagyon sokan feladják, és elhiszik, hogy nem is képesek megtanulni, megérteni a matematikát, pedig ez nem így van. Ha azzal, hogy biztosítjuk a szakszerű, digitális segítséget, elkerülhetjük ezt, akkor megéri vele foglalkozni. Minden diáknak meg kell találnia azt az utat, ami számára a legkönnyebb, és ebben igényelnek nagy segítséget. Sajnos a visszajelzést, értékelést, ellenőrzést is a legtöbben kizárólag a tanártól, a vezetőtől várják, holott sokszor képesek lennének rá egyedül is. A számítógép segítségünkre lehet ebben is. Ha megoldotta a feladatot a diák, és biztosítjuk számára az önellenőrzés lehetőségét olyan módon, hogy a megkapott eredményt begépeli, majd kap egy választ, hogy helyes-e az adott eredmény vagy sem, akkor ezt ki fogja használni. Ennek az egyetlen oka az, hogy a jól megoldott feladat szinte mindig pozitív visszacsatolást eredményez az iskolában is, és ezzel szoros összefüggésben otthon is. Ha pedig kialakul a szokás, hogy a tanuló önállóan ellenőrzi munkájának helyességét, és ez beépül a személyiségbe, akkor nem csak a matematika feladatoknál lesz rá igénye majd, és ennek a tulajdonságának élet más területein is hasznát veheti. 11

12 Alapvető tevékenységek, műveletek automatizált végzése. A matematikatanulásnál vannak bizonyos lépések, amelyeknek úgymond be kell épülnie a tudatalattiba. Számos példában vannak olyan standard követelmények, elemek, amiket ha kihagy, elfelejt a diák, súlyos pontveszteséget eredményezhet a számonkéréseknél. Ezért ezt nem lehet elég korán beépíteni a tananyagba. A feladatok megoldásának rendje, vagy az, hogy szöveges választ adjanak egy szöveges példára, esetlegesen, hogy egy törtet a lehető legegyszerűbb alakra hozzanak, automatikus cselekvés kell, hogy legyen, mire eljutnak az érettségire. Ezek nem felesleges elemek, sőt, sok esetben hozzájárulhatnak ahhoz, hogy könnyebben megoldható legyen az adott feladat. Például egy fizikai, kémiai szöveges példánál a táblázat készítése, vagy egy geometriai feladatnál az ábra, szinte nélkülözhetetlen segítség. Ezeknek az elemeknek be kell épülniük a feladatmegoldásba. A fejlesztési feladatok A NAT táblázatba foglalja fejlesztési feladatok típusait, és hogy melyik életkorban melyik területről, melyik ismeretet kellene fejleszteni. Ezeknél a feladatoknál ma már számításba kell venni azt is, hogy milyen módon célszerű az adott fejlesztést végrehajtani. Ugyanakkor nem mindegyik feladathoz kell feltétlenül digitális segítséget használni, viszont az esetek többségében megkönnyítheti mind a tanár mind a tanuló dolgát. A fejlesztési feladatok szerkezete: 1. Térben és időben való tájékozódás 1.1. Tájékozódás térben A térbeli tájékozódás nagyon fontos, és sajnos sokszor gondot okozó feladat. Senki sem születik térlátással. Vannak, akik könnyebben elsajátítják, de sokaknak még felnőtt korban is gondot okoz egy-egy test lerajzolása, vagy felismerése egy síkbeli ábrán. Ezt a területet nagyon könnyen fejleszthetjük digitális segítséggel. Gondoljunk bele, mennyivel szemléletesebb és átláthatóbb egy ábra vagy rajz, ha tényleg térben 12

13 láthatják a gyerekek. Ma már adottak a lehetőségek, hogy ezt a tanórák keretein belül is használhassuk. Ha például egy térgeometriai feladatnál a tanuló a számítógép segítségével meg tud forgatni egy 3 dimenziós modellt, hogy minden oldalról lássa, az sokat segíthet a feladat megoldásában. Persze ez nem helyettesíti azt a képességet, hogy képes legyen két dimenzióban látni, lerajzolni és felismerni egy háromdimenziós testet, viszont ha esetleg párhuzamosan látja két és három dimenzióban az ábrát, könnyebben fejlődik ez a képesség is Tájékozódás időben Az időben való tájékozódás elengedhetetlen az életben is. Ezt a képességet az iskolában nem csak a matematika tananyag hivatott fejleszteni, de szerves részét képezi. Periódusokról nem sok helyen hallanak a dákok, pedig a mindennapokban mindenhol találkoznak vele. Vegyük csak a napok, hetek hónapok ismétlődését, és természetesen az órarend is egy periódus. Így meg kell ismerkednie magával a fogalommal, és tudnia kell azonosítani és leírni azt bármikor Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Ebben a részben tárgyalja a NAT a szögeket, ívmértékeket és a köztük lévő kapcsolat megismerését. Ez sajnos mindig egy nehéz témakör és sokaknak okoz gondot. Főleg ha a szögfüggvények is sorra kerülnek a 10. osztályban, hiszen ott az adott szöghöz tartozó ív hosszát kell a vízszintes tengelyre fektetni. Ennek személtetése digitális segítség nélkül eléggé körülményes és munkás feladat a tanár számára, és nem is mindig sikerül maradéktalanul átadni a tudást. 2. Megismerés 2.1. Tapasztalatszerzés A matematikában a tapasztalatszerzés elsőre nem tűnik olyan nagy fontosságúnak, pedig ez is fontos része a mindennapi matematikaoktatásnak. A diákoknak meg kell tanulniuk tudatosítani, rögzíteni, és értelmezni tapasztalataikat. Ez a képesség nem születik velük, hanem folyamatos nevelő munkával alakul ki. A tapasztalatok és az 13

14 értelmezésük beépül a diák gondolkodásmódjába, természetessé válik, és használni is tudják majd. Ilyenek a matematikai jelek, modellek, modellek közti kapcsolatok, valamint azok szakszerű leírása. Ezeknek a kapcsolatoknak a felfedezését egy interaktív táblás, vagy dinamikus segédanyag sokkal könnyebbé teheti a tanulók számára Képzelet A képzelet nagyon fontos része a fejlődésnek. Mindenki képes kell, hogy legyen egy testet elképzelni a különböző vetületi ábrák alapján, vagy egy feladathoz annak leírása alapján vázlatot készíteni. Ebben azok a programok, amelyek képesek 3D-s ábrákat kezelni nagy mértékben segíthetnek. Szükséges még egy matematikát tanuló diáknak, hogy el tudja képzelni egy-egy probléma megoldását, sejtse, vagy meg tudja becsülni az eredményt, és a sejtését össze tudja hasonlítani a tényleges eredménnyel. Minél többet gyakorolja ezt, annál közelebbi becslést tud majd adni Emlékezés A tanulás folyamán talán az egyik legsarkalatosabb pont az emlékezőtehetség kihasználása. Van olyan, akinek ez a képessége erősebb, van, akinek gyengébb, de megfelelő tréningezéssel fejleszthető. Ami szinte mindenkinél biztos az az, hogy egy vizuális inger mindig maradandóbb, mint egy hallott. Ezért is fontos, hogy emlékezni tudjunk a lényeges információkra, amikből utólag egy vázlatot, jegyzetet készíthetünk. Az emlékezőtehetség fejlesztése segít a tudatos memorizálásnál is. Ez pedig nem kizárólag a matematikatanulásnál válhat a tanuló előnyére Gondolkodás A gondolkodás a matematika lényege, nélküle nem lehet matematikát tanulni. Ez az a képesség, ami talán a legjobban fejleszthető. Például egyetlen feladat megoldásának számos lépése van, amit a tanulónak át kell gondolnia. A feladat szövegében kapott információkról el kell tudnia dönteni, melyek lényegesek és melyek lényegtelenek a kérdés 14

15 szempontjából. Kell találnia egy modellt, amibe az adott feladat beleillik, esetlegesen, ha nem talál már ismert módszert, akkor fel kell építeni egy új, saját modellt az adott problémához. Kell egy algoritmus, amit használhat, viszont azt is át kell gondolnia, hogy esetlegesen módosítani kell-e az algoritmuson, valamint a megoldásról is meg kell tudni ítélnie, hogy választ ad-e a feladat kérdésére, és körülbelül megegyezik-e azzal, amit előtte sejtett, becsült. A matematika ezeken kívül egy új gondolkodásmódot is ad. A matematika jelrendszerében a szokványos kötőszavaknak is mint például a vagy (megengedő, kizáró), és az akkor bizonyos esetekben más értelmet kapnak. El kell tudni dönteni, hogy mikor használjuk a köznapi értelemben, és mikor a matematikaiban ezeket a kifejezéseket Ismeretek rendszerezése Az ismeretek rendszer nélkül olyanok, mint egy sütemény hozzávalói a recept nélkül. Ha nem tudjuk a helyes sorrendet, soha nem fog például feljönni a piskóta. Az életben mindenhol ott van a rendszer. Nélküle káosz uralkodna. A gyermek folyamatosan tanulja a környezetében a szabályokat, rendszereket. Ebben pedig az iskola is döntő szerepet vállal. A matematikában is nagy szükség van a rendszerezésre. És ezt folyamatosan oktatjuk az órákon. A 10 osztály tanulói már majdnem önállóan is tudják rendszerezni a tanultakat. Összekapcsolják a fogalmakat, megtanulják, hogy mik a jellemzői egy definíciónak, tételnek, ezáltal önállóan sorolják be azokat a saját rendszerükbe. Egy idő után megtanulják használni a rendszerezés megfelelő eszközeit is, olyanokat, mint például a táblázatot, a diagramot, vagy a fadiagramot Ismerethordozók használata Ismerethordozók nélkül ma már nem nagyon lehet boldogulni. A fejlődés olyan mértékű, hogy lehetetlen mindent, amivel kapcsolatba kerülünk, vagy dolgozunk, olyan magas szinten ismerni, hogy nyugodtan, és magabiztosan használhassuk. Ezzel együtt az ismerethordozók is fejlődnek. Gondoljunk csak arra, hogy éve még a logaritmust, és szögfüggvényeket is táblázatos formában találtuk meg, és nem kis kihívás 15

16 volt megtanulni használni azokat a bizonyos táblázatokat. Ma már ezek egy gombbá alakultak egy tudományos számológépen, amit minden diák használ. A régi függvénytáblázatokat, pedig már nem is tudják használni a jelenlegi tanulók. A mai tanulók már nem a lexikonokhoz, könyvekhez nyúlnak, ha utána kell nézni valaminek. Első útjuk nem a könyvtárba, hanem a gépterembe vezet. Beírják egy internetes keresőbe, amire kíváncsiak, és a legtöbb esetben elolvassák az első két-három találat valamelyikét. Sajnos az internet nyíltsága és méretei miatt azonban ezen információk nagy része nem ellenőrzött. Ez persze nem feltétlenül azt jelenti, hogy az ott fellelhető információk rosszak, csak lehet, hogy hiányosak, vagy nem teljes mértékben helytállóak. Ezért is fontos a tanulók rávezetése, hogy honnan és milyen minőségű információt kaphatnak. Valószínűleg könnyebb az interneten rákeresni az adott információra, mint bemenni egy könyvtárba és utánanézni az ott található irodalomban, már csak azért is, mert ugyancsak a fejlődés gyorsasága miatt, vannak olyan információk, amikhez csak az interneten juthatunk hozzá. Feltétlenül be kell épülnie a gyerekek személyiségébe annak, hogy az interneten fellelhető információk ellenőrzésre szorulnak. Mindezek mellett fontos része kell, hogy legyen az oktatásnak, hogy megismertesse a diákot az ismerethordozókkal, és azok használatával. Meg kell tanítanunk a diákoknak, hogy ha szeretnék, honnan szerezhetik meg az áhított tudást. 3. Ismeretek alkalmazása Sarkalatos pontja az oktatásnak, hogy a diákok használni is megtanulják a megszerzett tudást, és a megtanult ismereteket bármikor elő tudják hívni. Fontos, hogy egy-egy tételt vagy definíciót ne csak az adott témakörhöz kapcsoljanak, hanem, ha egy másik helyzetben kell használniuk, legyen az akár egy feladat, akár egy bizonyítás, akár egy következtetés, akkor az ne okozzon gondot. Az egyes tanórákon megszerzett tudást ne csak ott, és akkor legyenek képesek használni, hanem lássák az összefüggéseket a természettudományos, humán és reáltantárgyak között, és képesek legyenek 16

17 az egyik területen megtanultakat, akár egy másik, más típusú területen, esetlegesen évekkel később is sikerrel kamatoztatni. 4. Problémakezelés és megoldás Ez egy olyan képesség, amire a tanulónak nem csak a tanulmányai során, hanem egész életében szüksége lesz. A matematika tanítás során a gyerek kezébe adhatunk egy olyan általános algoritmust, ami az esetek többségében működik, és önállóan is alkalmazni tudja majd. Először is meg kell tanulni felismerni a problémát, majd értelmezni kell azt. Ha ezt sikeresen véghezvittük, nekiállhatunk a megoldást segítő eszközöket keresni, pl. egy már ismert modellt, amibe beleilleszthetjük az aktuális problémát. Választanunk kell egy olyan megoldási lehetőséget, ami illik az adott problémához, vagy ha nem illik semmilyen eddigi modellbe, akkor egy alternatív megoldási lehetőséget kell keresnünk. Miután megvan a megoldás, a diszkusszió elkészítése következik. 5. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint, alkotások adott feltételeknek megfelelően, átstrukturálás. Lényeges képesség, hogy a diák át tudja adni, közzé tudja tenni gondolatait. Lehet az akár egy olyan ötlet, amit már látott, hallott, vagy tapasztalta, hogy működik, vagy akár egy teljesen új és saját dolog. Fontos, hogy önállóan, saját szavaival képes legyen ezt úgy megfogalmazni, leírni, hogy az szakszerű, és helyes legen. Ez az élet minden területén hasznos képesség. Ahogy a valóságban, úgy a matematika világában is képesnek kell lennünk szavakba foglalni a gondolatainkat. Meg kell tanulnunk megfogalmazni a tapasztalatainkat, megoldási ötleteinket egy feladatról, vagy problémáról önállóan úgy, hogy az matematikailag helyes, és mindenki más által is érthető legyen. Ehhez meg kell tanulni egy elnevezés, szimbólum és jelrendszert. Viszont megkönnyítheti a dolgunkat az, hogy egy saját jelölésrendszert alkalmazunk. Ez mind a jegyzetelésben, mind a tanulásban nagy segítségünkre lehet, hiszen könnyebb a saját logikánkat követni, mint egy másik emberét. 17

18 6. Akarati, érzelmi, önfejlesztő képességek és együttéléssel kapcsolatos értékek fejlesztése 6.1. Kommunikáció Az iskola, és az oktatás is felelős azért, hogy egy gyerek megtanuljon adott helyzetnek megfelelően kommunikálni. Fokozatosan ugyan, de meg kell tanulnia a különböző szakterületeknek megfelelő nyelvi sajátosságokat, szerkezeteket. Így van ez a matematikával is. Már kisiskolás kortól kezdve ismerkedik a matematika nyelvével, szófordulataival, sajátos értelmezéseivel. Erre azért is van nagy szüksége, mert csak így képes megérteni mások gondolatait, vagy éppen a sajátjait átadni. A matematikában a közös nyelv teszi egyezményessé, és egyszerűvé a kommunikációt. Sajátos jelölésrendszerével lehetőséget biztosít mindenkinek, hogy képes legyen úgy megfogalmazni, leírni az ötleteit, gondolatait, hogy azt bárki, aki ismeri, a nyelvet képes legyen megérteni Együttműködés Az oktatás fejlődésével, és az alternatív oktatási technikák terjedésével egyre nagyobb teret nyernek a páros, csoportos, projekt feladatok. Ezekkel mind társasági, mind kommunikációs képességeket fejleszthetünk, és nem utolsó sorban a gyerekek is sokkal jobban élvezik, mint a frontális munkát. Viszont a tanár dolga nehezebb ezekben a szituációkban. Hogy a csoportos, vagy projektmunka elvei szerint tervezett tanóra ténylegesen jól működjön, fel kell készíteni a tanulókat, le kell fektetni a szabályokat. A tanulóknak először is meg kell tanulniuk, hogy a csoport érdeke előbbre való a saját érdeknél, és figyelembe kell venniük az egyéni képességeiket. El kell tudniuk fogadni, hogy esetleg más kapja azt a feladatot, amit ők szerettek volna megkapni, mert azon a területen jobbak a képességeik. 18

19 6.3. Motiváltság A motiváltság nagyon fontos, és sajnos a középiskolai oktatásban sok esetben hiányzó tényező. A tanárok sok esetben nem tudják mással motiválni a diákot, mint az érettségivel. Kérdés: Miért tanuljuk ezt? Válasz: Mert le kell érettségizned belőle! Hányszor hangzik el ez a párbeszéd ma is a tantermekben? Sajnos többször, mint kellene. El kellene érnünk, hogy a gyerekekben kialakuljon a tudás, a megismerés iránti igény. Legyen igényük arra, hogy könnyítsék, segítsék a saját munkájukat a rendelkezésre álló eszközökkel. A technika fejlődésével sokat lehetne javítani ezen. Ma már minden iskolás gyerek több időt tölt a számítógép előtt, mint amennyit a házi feladatának megoldására fordít. Azzal, hogy a kezükbe adunk olyan szoftvereket, alkalmazásokat, amelyek úgy segítik őket, hogy nem a kész megoldást közlik, de felkeltik az érdeklődést, és sikerélményt adnak, talán a számítógép előtt eltöltött idő egy részét hasznossá is tehetjük. Jól tudjuk ugyanakkor, hogy a sikerélménynél jobb motiváció nincs. Ha jó jegyet, vagy dicséretet kap egy tanuló, akkor minden bizonnyal legközelebb is hajlandó lesz egy hasonló kihívással megküzdeni, egy idő után pedig saját igénye lesz, hogy megtanulja, megértse, ismerje az adott témát. Sikeres pedig csak akkor lehet az életben, ha van belső motivációja a megismerésre, tanulásra. A tudomány és a technológia annyira gyorsan fejlődik, hogy amit az iskolában megtanulunk, az jó eséllyel maximum egy alap lehet a későbbiekhez. Az iskola sem képes mindenkit minden eshetőségre előre felkészíteni, ezért egy idő után saját magunknak kell ezt észrevenni, és tenni a saját fejlődésünk érdekében. Ha hiányzik belőlünk ez az igény, akkor egy idő után kudarcok érhetnek bennünket Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás Mind a négy fent említett tényező nagyon fontos része mind az oktatásnak, mind az életnek. A diáknak az iskolában töltött évek alatt meg kell ismerkednie ezekkel a tulajdonságokkal, és be kell, hogy épüljenek a tudatába. Szükséges, hogy tisztában legyen saját képességeivel, és azok korlátaival. Mi az, amire képes, és mi az, amiben még fejlődnie kell. Ehhez 19

20 persze szüksége van visszacsatolásra egy külső személytől. Ez lehet a tanár, a szülő, vagy egy diáktárs is. Ezek mellé kell, hogy társuljon az önellenőrzés igénye is. A tanuló is érezze szükségét, annak, hogy biztos legyen a munkájának helyességében. Sajnos az iskolában sokszor elmarad az ellenőrzés fontosságának és előnyeinek tudatosítása. Nem tanulja meg a diák, hogy miért van rá szüksége, és milyen haszna származik belőle, csak azt tudja, hogy levonják a pontot a dolgozatban, ha hiányzik. 7. A matematika épülésének elveiben való tájékozottság Nagyon fontos része a modellalkotás. Ha a tanuló megtanul egy matematikai problémához önállóan modellt alkotni, akkor a matematikán kívül eső nehézségeket, is könnyebben fogja venni. Bármilyen modellnél, problémánál kulcs fontosságú tényező, hogy a megoldójuk tartsa lényegesnek azt, hogy egyértelműen hidalja át az adott helyzetet. Ehhez, használjon, vagy ha szükséges definiáljon olyan új tényezőket, amiket teljességgel biztosan ismer, és alkalmaz. 20

21 II. A 10. évfolyamos tananyag alaptémakörei a különböző matematika könyvekben Mint minden tantárgyhoz, a matematikához is szervesen kapcsolódik a tankönyv. Ez az a segítség, ami a diákoknak is mindig kéznél van, ha elakadnak a tanulás, vagy a házi feladat megoldása során. Éppen ezért a segédanyag készítése előtt szükségesnek éreztem, hogy a tankönyvek tartamával, és felépítésével is megismerkedjem. Minden iskola, sőt minden tanár szabadon választhat a matematika tankönyvek között, és mivel általános segédanyagot szeretnék készíteni, ezért több könyv tartalmát is megnéztem. Igyekeztem azokat kiválasztani, amelyeket a középiskolák a leggyakrabban használnak. II.1. Sokszínű Matematika 10 3 A mai magyar oktatás legkedveltebb tankönyvei közé sorolhatjuk a Mozaik kiadó által szerkesztett Sokszínű Matematika sorozatot is. Ennek a hetedik, javított kiadását néztem át. Tartalomjegyzéke: 1. Gondolkodási módszerek 2. Gyökvonás 3. A másodfokú egyenlet 4. Geometria 4.1. Körrel kapcsolatos ismeretek bővítése 4.2. Hasonlósági transzformáció és alkalmazásai 4.3. Hegyesszögek szögfüggvényei 4.4. Vektorok 5. Szögfüggvények 6. Valószínűség-számítás 3 Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Urbán János, Vincze István: Sokszínű matematika 10. (Mozaik kiadó,7. javított kiadás, 2008.) 21

22 II.2. Hajdú: Matematika A fenti könyv két különböző kiadását is sikerült megnéznem. A régi típusúnak a hatodik kiadásának első átdolgozását, valamint a legújabb átdolgozott, első kiadását. Tartalomjegyzéke: 1. Gyökvonás/Racionális kitevőjű hatványok (újabb/régebbi) 2. Geometriai alapok 3. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek 4. Geometriai transzformációk 5. Trigonometria 6. Szögfüggvények 7. Kombinatorika, valószínűség 8. Képességpróba Szavak jegyzéke II.3. Czapáry Gyapjas: Matematika Az egyik olyan tankönyvcsalád, ami végigkíséri a felső tagozatot, és a gimnáziumot is. Nem sok ilyen tankönyvcsalád van sajnos. Nagyban megkönnyítheti egy diák esetleges iskolaváltását a felső tagozat és a gimnázium vagy szakközépiskola között, ha legalább a tankönyv a régi maradhat. Egy nyolc osztályos gimnáziumban pedig végig ugyanabból a tankönyvből tanulhat a diák. Ennek a könyvnek az első kiadását néztem meg. Tartalomjegyzéke: 1. A valós számok halmaza 2. Négyzetgyök, n-edik gyök 3. Másodfokú egyenletek 4. Hasonlóság és alkalmazásai 4 Hajdú Sándor, Czeglédy István, Hajdú Sándor Zoltán, Kovács András: Matematika 10. (Műszaki kiadó 6. kiadás 1. átdolgozás, 2009.), (Műszaki kiadó 1. kiadás, 2010.) 5 Czapáry Endre- Gyapjas Ferenc: Matematika 10.(Nemzeti tankönyvkiadó, 1. kiadás, 2002) 22

23 5. Vektorok és alkalmazásuk 6. Szögfüggvények és alkalmazásuk 7. Kombinatorika 8. Valószínűség-számítás II.4. Hajnal Imre: Matematika a gimnáziumok 10. évfolyama számára 6 A régi kis alakú Hajnal Imre könyvek amikből magam is tanultam, egy továbbfejlesztett változata. Talán az első kétszintű érettségire felkészítő könyvek egyike volt. Azóta persze készültek modernebb, és sokkal inkább az új rendszer követelményihez alkalmazkodó könyvek, de a tananyag nem változott. Ennek, tankönyvnek is az első kiadását tudtam átnézni. Tartalomjegyzéke: 1. A négyzetgyökvonás azonosságai 2. Az n-edik gyök fogalma, a gyökvonás azonosságai 3. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek 4. Geometria 5. Trigonometria 6. Kombinatorika 7. Valószínűség-számítás Megemlíteném még a most készülő Vancsó Ödön nevéhez fűződő matematika könyvsorozatot, amihez már GeoGebra fájlokat is kapunk CD mellékletben. Így ennek a könyvnek már szerves részét képezi a program használata. Sajnos ebből még nem tudtam az évfolyamnak megfelelő példányt szerezni. 6 Hajnal Imre, Számadó László, Békéssy Szilvia: Matematika a gimnáziumok 10. évfolyama számára (Nemzeti tankönyvkiadó, 1. kiadás, 2002.) 23

24 Hasonlóságok és különbségek a legismertebb tankönyvek között Hasonlóságok Az alaptémakörök közül a legtöbb megegyezik az összes tankönyvben. Ezeken nem nagyon változtatnak a szerkesztők, hiszen nem is igazán tehetik meg. A témaköröknél fellelhető alap ábrák megegyeznek szinte az összes tankönyvben. Ez valószínűleg a témák egységességének köszönhető, valamint annak, hogy vannak olyan jól bevált ábrák, amiken szakmai, és didaktikai okokból sem érdemes változtatni. Ki lehet színezni őket, vagy újraszerkeszteni, alapjaiban véve viszont ott a helyük minden tankönyvben. Mindegyik könyvben, minden fejezethez több különböző kidolgozott példát találhatunk. Ezekben kellő részletességgel íródnak le az adott feladattípusok megoldásainak menetei, és támpontot is adhatnak az olvasónak, ha elakad. A vizsgált tankönyvek terjedelemre is megegyeznek, persze csak nagyságrendileg oldal között van mindegyik tankönyv. Ez alól csak a régebbi Hajdú féle könyv a kivétel, mivel ott 348 számozott oldalt találunk. Mindegyik könyvben kiemelik valamilyen módon háttérszínezéssel, színes szövegdobozzal a fontos tudnivalókat, viszont némelyikben csak dőlten szedik ezeket. Ez a tájékozódást könnyíti meg a tanulók számára, hogy mi a lényeges, mi az, amit mindenképp meg kell tanulni, el kell sajátítani. Az újabb típusú tankönyvekben, már útmutatót is találhatunk, hogy milyen jelölésrendszert alkalmaztak a szerkesztők. A két Hajdú féle könyv tartalomban nem nagyon különbözik egymástól eltekintve a kihagyott témaköröktől viszont az újabb kiadás sokkal inkább olvasó-, és gyerekbarát. Ebben a könyvben már találhatunk GeoGebrás képernyőképeket is, ami azt mutatja, hogy folyamatosan fejlődik, és bővül a könyv. 24

25 Különbségek Az újabb típusú tankönyvekben már megjelenik a gondolkodási módszerek című fejezet, míg a régebbi típusú könyvekből ez kimaradt. Ez is az új érettségi, és a követelményrendszer változásával együtt jelent meg a tananyagban. A témakörökön belüli részletesség nagyon eltérő. Van témakör, amit az egyik könyv 7-10 oldalon keresztül tárgyal, a másik ugyanezt 16 oldalon, a harmadik pedig külön fejezetben foglakozik vele. Az újabb könyvek már színesek, sokkal több ábrát, rajzot, képet, esetleg fényképet tartalmaznak. Ezzel azt érik el, hogy a diákok nagyobb kedvvel nyitják ki a könyveket, és a színes ábrák, képek nagyban segítik az adott témakör megértését is. A Sokszínű Matematika és az újabb kiadású Hajdú féle tankönyvekben kevesebb a szövegi rész a többi tankönyvhöz képest. A hagyományosabb típusú könyvekben sokkal több szöveges magyarázatot találhatunk, míg az újabbakban több a magyarázó ábra. Ez részben a szerkesztésnek is köszönhető, hiszen minden oldal szélén található egy körülbelül három centiméter széles sáv, amiben csak képek, címszavak, fontos képletek vagy ábrák találhatók. Ez nem befolyásolja negatívan az anyag érthetőségét. Azt gondolhatnánk, hogy a részletes magyarázat minden esetben segítség, de sokszor egy-egy kép, vagy ábra egyszerűbb és világosabb magyarázattal szolgálhat. A Sokszínű Matematika, és a Hajdú Sándor féle könyv még másban is különbözik a többitől. Ezekben a könyvekben ugyanis a könyv végén megtalálható az Új szavak jegyzéke. Azok a matematikai definíciók, kifejezések vannak itt oldalszámmal felsorolva, amiket az adott a tanévben új anyagként tanultak. Ugyancsak a Sokszínű Matematika könyv lóg ki a sorból az úgynevezett apró betűs részek tekintetében is. Ebben a tankönyvben ugyanis sem érdekességek, sem apró betűs plusz információk nincsenek, és kimarad a matematikatörténet rész is. 25

26 Különbségként tűnt fel továbbá, hogy ugyanebből a könyvből teljeséggel kihagyták a Kombinatorika témakörét, ami az összes többi könyvben vagy önálló fejezetként, vagy a valószínűség számításon belül, de szerepel benne. Ugyanígy van, ahol hiányzik a Térgeometriai ismeretek fejezet is, vagy csak részlegesen, feladatokon keresztül érinti a Trigonometriai számítások témakörén belül. Vannak persze olyan témakörök is, amelyek csak besorolásban térnek el. Ilyen például a Vektorok fejezet. Van ahol ezt is külön témakörként tárgyalják, van ahol a Geometria fejezetén belül. Ugyanígy eltérőek a vélemények a hegyesszögek szögfüggvényeiről is. Egyes könyvek ezzel is a geometria témakörön belül foglakoznak, mások pedig a trigonometriába sorolják az általános szögfüggvények, és trigonometrikus függvények elé, vagy éppen külön fejezetet szentelnek neki. A legnagyobb különbség a könyvek között abban mutatkozik, hogy mennyi feladatot adnak egy adott anyagrészhez. Van olyan, amiben egyáltalán nincs megoldható feladat Czapáry féle könyv van, amelyikben csak néhány Sokszínű Matematika és van olyan is, amiben megfelelő mennyiségű feladatot találunk Hajnal Imre és Hajdú Sándor féle könyvek. A Hajdú Sándor féle könyven minden fejezet végén találhatunk egy külön Ellenőrző feladatok témakört is. Így biztosítva, hogy ellenőrizhető legyen a tudás elsajátítása. A tankönyvekhez szervesen kapcsolódnak a hozzájuk tartozó egyéb kiadványok: feladatgyűjtemény, CD melléklet, témazáró feladatsorok stb. Általában az a jellemző, hogy amelyikben kevés, vagy nincs feladat, ahhoz tartozik egy feladatgyűjtemény is. A Czapáry féle könyvben minden nagy fejezethez van egy rövid összefoglaló rész. Ez hasznos segítsége lehet a diákoknak a témazáróra való készülés során. Ilyen fejezetet a többi tankönyv nem tartalmaz. A Hajnal Imre féle könyvben találhatóak teljes fejezetek, amelyek már előrevetítenek a magasabb fokú matematikához, de érdekességként, vagy 26

27 kedvcsinálóként beleszerkesztették őket, így aki szeretné, elolvashatja. Például a Cardano képlet története, levezetése, és használhatósága egy ilyen fejezet. egy Ezt csak amolyan érdekességnek szánom, mivel ugyanazon könyv 2 kiadása közötti különbségről van szó. A régebbi Hajdú Sándor könyvben voltak olyan témakörök, amik az újból teljességgel kimaradtak pl. Simson egyenes, Inverzió, Térbeli vetítések. Ezek ma már nem is képezik szerves részeit a középiskolás anyagnak, inkább a felsőoktatásban találkozhatunk velük. Sikerült több típusú, és több különböző könyvet megnéznem, és sajnos elszomorító tapasztalatokkal lettem gazdagabb. Az újabb típusú tankönyvek témaköreikben ugyan nem térnek el drasztikusan elődeiktől, viszont tartalmilag, sokkal, de sokkal kevesebbet nyújtanak. Ez szerkesztéseken is látható, mivel egy tankönyvben, amit körülbelül öt-hat évvel ezelőtt használtak sokkal több volt az írás, és kevesebb az üres hely. A mai tankönyvek szerkesztése sokkal szellősebb. Az akkori tananyagnak több része mára eltűnt a középiskolás tantervekből. Ez számomra azért elszomorító, mivel így a tanulók kevesebbet kapnak az oktatás során. 27

28 III. GeoGebra és az oktatás A programról röviden Ahhoz, hogy az olyan Olvasó számára is érthető, és élvezetes legyen a dolgozat, aki még nem ismeri a GeoGebrát, először röviden bemutatnám magát a programot. A GeoGebrát 2002-ben kezdte el fejleszteni Markus Hohenwarter, s ez a fejlesztés az óta immár több fronton is töretlenül folyik. Eredetileg középiskolai segédletnek szánta, de nagyon gyorsan kinőtte magát. Gyakorlatilag a kisiskoláskortól kezdve, az egyetemi szintű matematikaoktatásig bárhol használható. A program ingyenes, bárki számára hozzáférhető, ezért iskolákban is bátran használható. Többféle módban indítható. Van úgynevezett Applet-start, ami az éppen futó böngészőnkben indítja el a programot, ehhez nem kell sem letölteni, sem telepíteni semmit, csak internetkapcsolat szükséges hozzá. Létezik a Webstart indítási mód, ahol a telepítést az internetről végzi a program, de utána már nincs szükség az összeköttetésre, és le lehet tölteni az offline telepítő fájlt is. Az első két lehetőség platform független, de a telepítő fájloknál, is választhatunk öt nagy különböző operációs rendszer típus közül. A program gépigénye sem nagy, a program futtatásának egyetlen feltétele, hogy legalább Java vagy frissebb verziója telepítve legyen a gépünkön. A GeoGebra legfrissebb verziója a 3.2.-es. Ebben a legnagyobbnak mondható újítás az előzőhöz képest, hogy már táblázatban is tudtunk adatokat megadni, amiket egy függvény kirajzolásához, vagy a koordinátageometriában pontok, vektorok, szakaszok definiálásához is használhatunk. Alapvetően két nagy részre tagolódik a program, ezek a Geometria és Algebra. Ez a kezelőfelületen két külön ablakrészben nyilvánul meg. Ebből a két kifejezésből lett összeollózva a program neve is. 28

29 Algebra ablak Geometria ablak Menüsor Eszköztár Súgó Parancssor A képernyőn látható ablak több, különböző részre oszlik. Mint minden alkalmazásnál, itt is van egy menüsor a szokásos menüpontokkal: Fájl, Szerkesztés, Beállítások, Nézet, Eszközök és Súgó. Közvetlenül alatta találhatjuk az eszköztárat, ahol elérhetőek a geometriai objektumok. Ha egyet kiválasztunk közülük, a gombsor melletti súgó részben megjelenik az adott elem neve, és az is, hogy hogyan használjuk. Ez a rész természetesen testre szabható. Tetszőlegesen változtatható, hogy melyik eszköz érhető el, és melyik nem. Ennek akkor lehet jelentősége, ha esetleg olyan feladatot adunk, amikhez bizonyos eszközökkel szeretnénk megoldatni, vagy a kisebb korosztállyal próbálkozunk, hiszen nekik elég az eszközkészlet töredéke is. Ez alatt találjuk a két, esetleg három részre osztott algebra, geometria, vagy táblázat ablakokat. Az ablakok alatt a parancssort találjuk. Itt definiálhatjuk is az alakzatokat, de van olyan elem is, amit csak innen érhetünk el. Ilyenek a függvények (például: Min, Max, derivált ). Ezeket a jobb alsó sarokban lévő parancs feliratú gördülőmezőből ki is választhatjuk. Ehhez a funkcióhoz nincs ugyan súgó, de ha rossz szintaktikával vagy paraméterlistával adunk meg valamit, egy felugró ablakos hibaüzenetben tájékoztat minket róla, és azt is kiírja, hogy az adott parancshoz mit, milyen sorrendben vár. 29

30 A program geometriai részében tulajdonképpen megkapjuk a hagyományos kézi szerkesztés eszköztárát. Természetesen ezt nem úgy kell érteni, hogy kapunk egy digitális vonalzót, és egy körzőt, hanem az egyes objektumok definiálásánál arra ügyeltek a program készítői, hogy a hagyományos papír alapúval amennyire lehetséges volt megegyezzen. Például egy egyenest két ponttal, egy szakaszt két végponttal lehet definiálni. Egy kört középpontjával és egy kerületi pontjával, vagy a középpontjával és a sugarával lehet megadni. Könnyítésként megjelennek a geometriai transzformációk. Menüpontban, egy kattintással elérhető a tengelyes és a középpontos tükrözés, az eltolás, és a középpontos nyújtás, vagy éppen a forgatás adott α szöggel. Ezeket nem kell a hagyományos módszerrel szerkeszteni. Szabályos sokszögekre is külön menüpont van, de beilleszthetünk akár képet is. Fakultáción, vagy egyetemen használhatjuk az inverziót, a kúpszeleteket is. Ezekre is külön menüpontok vannak. 30

31 Elhelyezhetünk a rajzlapon a szemléltetést segítő eszközöket is. Ilyen például egy jelölőnégyzet, amivel az alakzatok láthatóságát módosíthatjuk: a csúszka, ami változó értéket vehet fel, és animálható is. Így egy mozgó ábrát is tudtunk a programmal készíteni. Szövegbeviteli mezőt is találunk a szerkesztési gombsoron. Ezzel bármit odaírhatunk a rajzlapra, amit lényegesnek találunk. Ez a szöveg dinamikus, így akár kiírathatjuk egy dinamikusan változtatható függvény hozzárendelési szabályát is, ami mindig az aktuális, helyes együtthatókat mutatja, vagy éppen egy mozgatható pont aktuális koordinátáit is. A LaTex segítségével pedig egységes jelölésrendszert tudunk használni a digitális segédanyagokban, és a táblán is. A LaTex nem más ugyanis, mint egy szövegformázási rendszer. Olyan szövegekhez használják általában, amelyek nagyobb mennyiségű képletet tartalmaznak. Egyfajta képletszerkesztésként használjuk a GeoGebrában. Viszont nagy különbség, hogy ezt is dinamikussá tehetjük. Vegyesen tudunk statikus és dinamikus szöveget tenni egy képletbe. Így egy képletet a felírástól a behelyettesítésen át az eredményig egy szövegmezőbe vihetünk be. Természetesen a szöveg is formázható, színezhető, így teljesen összhangba hozható az ábrával. Opcionális része a geometria ablaknak a Navigációs eszköztár a szerkesztési lépésekhez. Ha megszerkesztünk valamit, akkor azt ezzel a funkcióval akár le is tudja játszani a felhasználó diavetítés szerűen: lépésről lépésre is, vagy egy egybefüggő animációként is. Amit még erről a funkcióról tudni érdemes, az az, hogy alapvetően olyan sorrendben jeleníti meg az objektumokat, amilyenben létrehoztuk őket. Természetesen ezt a sorrendet módosíthatjuk a Szerkesztő protokoll ablakban. Ugyancsak a szerkesztő protokollban lévő Töréspont segítségével lépéseket vonhatunk össze, így olyan tagolásban mutathatjuk a szerkesztést, amilyet éppen megfelelőnek találunk. Az Algebra ablakban a rajzlapon lévő összes objektumhoz tartozik egy elem. A beállításokban kiválaszthatjuk, hogy ezeknek az algebrai definícióját, az értékét vagy épp az őket létrehozó parancsot szeretnénk látni. Azt a beállítást választhatjuk, amelyik az adott helyzetben a legelőnyösebb nekünk. Egy pontnál a két koordinátát, egyenesnél, körnél az egyenleteket, szakaszoknál a hosszat, 31

32 szögeknél pedig az értékeket. Az adatok az ablakon belül is két nagy részre oszlanak: szabad és függő alakzatokra. A szabad alakzatokat utólag is mozgathatjuk, újradefiniálhatjuk, változtathatjuk például a helyét a rajzlapon, vagy szakaszoknál a hosszát, vektoroknál az irányukat. A függő alakzatok pedig a szabad alakzatokkal valamilyen kapcsolatban vannak. Például felezőpont, felezőmerőleges, vagy valaminek a transzformált képe, így attól függően mozognak, hogy a szabad alakzatot miként változtatjuk. Nagyon fontos és hasznos még a fájl menüben található Exportálás funkció. Ezzel könnyedén készíthetünk akár egy képet, akár egy weblapot az általunk létrehozott fájlból. A képnél különböző formátumokat, méreteket, felbontást állíthatunk be, attól függően, hogy hol és mire szeretnénk használni azt. Saját elképzeléseink szerint színezhetjük, feliratozhatjuk, vastagíthatunk ki rajta részeket aszerint, hogy dolgozathoz, feladatlaphoz, vagy csak egyszerűen órai személtetésnek szánjuk az adott képet. A weblapnál már több lehetősségünk is van. Az exportálás előtt címet adhatunk, írhatunk szöveget, instrukciókat vagy kérdéseket a GeoGebra ablak elé és mögé is. Egy ilyen egyszerű párbeszédablak kitöltésével egy egész kulturáltan kinéző weboldalt készíthetünk. Itt kell azt is eldöntetünk, hogy azt szeretnénk, hogy a weblapba integráltan jelenjen-e meg a GeoGebra fájl, vagy csak hozzon létre egy gombot, amivel a felhasználó meg tudja nyitni. 32