1. Tétel Racionális ágens Definíció: Komponensek: Feladatkörnyezet és fajtái: Ágenstípusok: 2. Tétel Informálatlan keresés definíciója: Fa keresés:

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Tétel Racionális ágens Definíció: Komponensek: Feladatkörnyezet és fajtái: Ágenstípusok: 2. Tétel Informálatlan keresés definíciója: Fa keresés:"

Átírás

1 1. Tétel Racionális ágens Definíció: Az ideális racionális ágens minden egyes észlelési sorozathoz a benne található tények és a beépített tudása alapján minden elvárható dolgot megtesz a teljesítményérték maximalizálásáért. Komponensek: - a siker fokát mérő teljesítményértékek - az ágens eddigi tudása a környezetről - a cselekvések, amiket az ágens képes végrehajtani - az ágens érzékelési sorozata az adott pillanatig Feladatkörnyezet és fajtái: A feladatkörnyezetet a TKBÉ (Teljesítmény, Környezet, Beavatkozók, Érzékelők) leírásának hívjuk. Fajtái: - teljesen megfigyelhető vagy részlegesen megfigyelhető - determinisztikus vagy sztochasztikus - epizódszerű vagy sorozatszerű - statikus vagy dinamikus - diszkrét vagy folytonos - egyágenses vagy többágenses Ágenstípusok: - egyszerű reflexszerű ágensek - modellalapú reflexszerű ágensek - célorientált ágensek - hasznosságorientált ágensek - tanuló ágensek 2. Tétel Informálatlan keresés definíciója: ezen stratégiáknak semmilyen információjuk nincs az állapotokról a probléma definíciójában megadott információn kívül. Működésük során mást nem tehetnek, mint a következő állapotok generálása és a célállapot megkülönböztetése a nem célállapottól. Fa keresés: egy FIFO sor, mellyel biztosítja, hogy a korábban meglátogatott csomópontokat az algoritmus korábban fejti ki. Azaz a Fa-keresés szélességi keresést eredményez, mivel az összes újonnan legenerált követőt a sor végére teszi, azaz a sekélyebb csomópontok korábban kerülnek kifejtésre, mint a mélyebben fekvők. Szélességi keresés jellemzése: teljesség: Ha a legsekélyebb célcsomópont valamilyen véges d mélységben fekszik, a szélességi keresés eljut hozzá az összes nála sekélyebben fekvő csomópontot kifejtve. optimalitás: A szélességi keresés optimális, ha az útköltség a csomópont mélységének nem csökkenő függvénye. komplexitás: Az exponenciális komplexitású keresési problémák közül csak a legkisebb problémapéldányok oldhatók meg.

2 3. Tétel Egyenletes költségű keresés: mindig a legkisebb költségű n csomópontot fejti ki először, nem pedig a legkisebb mélységű csomópontot. teljesség: csak úgy garantálható, hogy minden lépés költsége egy kis pozitív ε konstansnál nagyobb vagy azzal egyenlő optimalitás: megegyezik a teljesség feltételével, ami azt jelenti, hogy egy út költsége az út mentén mindig növekszik. Így az első kifejtésre kiválasztott célcsomópont egyben az optimális megoldás is. komplexitás: legrosszabb esetben O(b 1+[C*/ε] ) Mélységi keresés: mindig a keresési fa aktuális peremében a legmélyebben fekvő csomópontot fejti ki. Kifejtésüket követően kikerülnek a peremből és a keresés visszalép ahhoz a következő legmélyebben fekvő csomóponthoz, amelynek vannak még ki nem fejtett követői. teljesség: igaz, ha a fa véges mélységű optimalitás: nem optimális komplexitás: O(b m ), ahol b az elágazási tényező és m a csomópontok maximális mélysége Iteratívan mélyülő keresés fában: egy általános stratégia, amit sokszor a mélységi kereséssel együtt alkalmaznak a legjobb mélységkorlát megtalálására. Az algoritmus képes erre, mert fokozatosan növeli a mélységkorlátot, amíg a célt meg nem találja. Amikor az megvan, a mélységkorlát elérte a d-t, a legsekélyebben fekvő célcsomópont mélységét. teljesség: teljes, ha elágazási tényezője véges optimalitás: optimális, ha az útköltség a csomópontok mélységének nem csökkenő függvénye komplexitás: O(bd), ahol b az elágazási tényező és d a mélység 4. Tétel Gráf keresés: A Fa-keresés algoritmust egészítjük ki egy nyitott- és zárt listának nevezett adatszerkezettel, mely tartalmazza a kifejtésre váró és a már kifejtett csomópontokat. Ha az aktuális állapot egybeesik a zárt listán lévő állapotok egyikével, akkor eldobható, ahelyett hogy a kifejtésével kellene foglalkozni. Egyenletes költségű keresés optimális gráfban: két állításból épül fel. Állítás: A fa-keresés elfogadható g-vel és egyenletes költségű kereséssel optimális. Bizonyítás: G az első célállapot, amit kiterjesztünk és g(g)> C* (C* az optimum). Tehát találtunk egy célállapotot, amely nem optimális. Ekkor a peremben van egy optimális út, melynek x eleme is. Ekkor igaz az, hogy van egy optimális út is, ami különbözik attól, amit találtunk. Ennek az útnak biztosan van legalább egy pontja a peremben, mivel minden utat kiterjesztettünk. A peremben ennek a másik útnak a pontja, aminek optimális a költsége mindenképpen kisebb vagy egyenlő, mint az optimum, mivel ez egy részút és nem az egész út. Ezért biztos az, hogy a peremben lévő pont - ami része az optimális útnak - költsége biztosan kisebb, mint az, amit éppen kiterjesztünk. Tehát ellentmondásra jutottunk. Azaz g(x) < g (G), mert g(x) C* ( g elfogadható) ellentmondás, mert mégis G-t választottuk. Állítás: A gráf-keresés konzisztens g-vel és egyenletes költségű kereséssel optimális.

3 5. Tétel Informált keresés: amely a probléma definícióján túlmenően problémaspecifikus tudást is felhasznál, azaz hogyan képes hatékonyabban megtalálni a megoldást. A* algoritmus és tulajdonságai: A csomópontokat úgy értékeli ki, hogy összekombinálja a g(n) értéket az aktuális csomópontig megtett út költsége és a h(n) értéket vagyis az adott csomóponttól a célhoz vezető út költségének becslőjét. Így kapjuk a f(n) = g(n) + h(n) összefüggést. f(n) a legolcsóbb, az n csomóponton át vezető megoldás becsült költsége teljesség: optimalitás: a Gráf-keresést használó A* algoritmus optimális, ha h(n) konzisztens, azaz az f(n) akármilyen út mentén nem csökken komplexitás: optimális hatékonyság: Azt jelenti, hogy egyetlen más optimális algoritmus sem fejt ki garantáltan kevesebb csomópontot, mint az A*. Ez azért van, mert az összes olyan algoritmus, amelyik nem fejti ki az összes csomópontot, melyre f(n)<c*, kockáztatja az optimális megoldás elkerülését. Memóriakorlátozott A*: Mivel minden esetben korlátos a memória, amit felhasználhatunk, ezért az A* algoritmust is erre kellett módosítani. Így a módosult algoritmus működése: - amíg van memória A* - ha elfogy, töröljük a legrosszabb levelet Ha betelik a memória az éppen tárolt csomópontok halmazából kitörli azt, amely a legrosszabb költségbecsléssel rendelkezik, tehát a legkevésbé ígéretes csomópontot egyszerűen kitörli, ezáltal memóriát szabadít fel. Azt a költségbecslést, ami az érintett csomópontban volt propagálja felfelé a szülőknek, a szülők költségét módosítja úgy, hogy tükrözze azt a tudást, amit közben megszerzett az adott csomópontok kiterjesztésével. 6. Tétel Heurisztikák előállításának módszerei: Relaxálás: a probléma egy, egyszerűbb változatának a költségének a megadása. Az így kapott költséget felhasználhatjuk heurisztikának az eredeti feladat megoldásához, mivel ez a költség kisebb lesz, mint az eredeti feladat költsége. Relaxált probléma optimális megoldásának költsége a h() egy elfogadható heurisztika az eredeti problémára. relaxáció = a feltételek elhagyása. Relaxált probléma optimális költsége mindig kisebb, vagy egyenlő mint az eredeti. Ezt egy elfogadható heurisztikának tekintjük az eredeti problémára. Mivel a számított heurisztika a relaxált problémára egy pontos költség, teljesítenie kell a háromszög egyenlőtlenséget is, és ebből kifolyólag konzisztens is. Automatizált relaxálás: ha a feltételek formális nyelven is adottak, akkor a relaxált problémákat automatikusan is előállíthatjuk. Heurisztikák kombinálása: h(n) = max {h 1 (n),, h m (n)} Az így megkonstruált összetett heurisztikus függvény mindig azt a függvényt használja, amelyik az adott csúcspontra a legpontosabb. Mivel az alkotóelemként felhasznált heurisztikus függvények mind elfogadhatóak, ezért h is elfogadható. Továbbá h konzisztens és dominálja az összes, benne alkotóelemként felhasznált heurisztikus függvényt. Mintaadatbázisok: tároljuk az egyes részprobléma esetekhez tartozó pontos megoldási költségeket. Független részproblémák: a költségek összeadhatóak. Elfogadhatóság: kifejtve a relaxálásnál Konzisztencia: kifejtve a relaxálásnál

4 7. Tétel Lokális keresés: ezek az algoritmusok csak egy aktuális állapotot vesznek figyelembe és általában csak ennek az állapotnak a szomszédjaira lépnek tovább. Két fő előnyük van: - igen kevés memóriát használnak - sokszor nagy vagy végtelen keresési térben is elfogadható megoldást produkálnak Globális optimalizálás: globális maximum: a legmagasabb csúcs, ahol f(x) = max y (f(y )) lokális maximum: ahol a szomszédok célfüggvényei kisebbek f(x) max y=x f(y) plató: szomszédok értékei ugyanazok váll: szomszédok értékei ugyanazok, majd ezt egy nagyobb célfüggvény követi Hegymászó keresés és javításai: a keresés egy ciklus, ami mindig javuló értékek felé, azaz felfelé lép. Amint elér egy csúcsot (globális vagy lokális) megáll, mivel megtalálta az első optimumot. A siker, hogy a globális maximumot találja meg nem garantált. Javításai: - sztochasztikus hegymászó: a felfelé mutató irányokból véletlen módon választ - elsőnek-választott hegymászó: az első jobb értékű szomszédot választja - véletlen újraindítású hegymászó: ha elakad egy véletlenül választott pontból újraindul Szimulált hűtés: ebben az esetben a cél, hogy a lokális optimumból kiugorjunk, de a globális optimumból már ne. Egyes esetekben az aktuálisnál rosszabb megoldásokat is elfogadunk. 8. Tétel Populáció alapú keresés: Nyaláb keresés: az algoritmus nem egy, hanem k állapotot követ nyomon. Az algoritmus k véletlen módon generált állapottal indul, így minden lépésben a k állapot mindegyikének összes követőit kifejti, ha valamelyik a keresett cél az algoritmus leáll. A lokális nyaláb keresési algoritmusban a k parallel keresési szál megosztja az információt, így gyorsabban fókuszál. Egyik változata a sztochasztikus nyaláb keresés, ahol nem a k legjobb követőt választja, hanem k véletlen követőt választ. Evolúciós módszerek: A sztochasztikus nyaláb keresés egy variánsa, és a hegymászó algoritmust általánosítja. Evolúciós algoritmus: a nyaláb keresés általánosításához szexuális operátorokat vezetünk be. Genetikus algoritmusok: Állapottér, populáció: véges betűkészletű stringekből áll. Ennek egy adott példánya az egyed. fitness - függvény: a jobb állapotokra magasabb értékeket kell visszaadnia mutáció: az egyed egy értékének megváltoztatása rekombináció: két egyednél keresztezési pontokat adunk meg és ezek alapján keresztezzünk szülő szelekció: válasszunk K/2 darab párt a fitnesszel arányosan, vagy véletlen párosítással túlélő szelekció: válasszuk a K legjobbat, vagy véletlenül a fitnesszel arányosan Differenciális evolúció: populáció: x 1,.., x k R d szülő választás: minden egyed szülő is egyben rekombináció: minden x i {i=1,..,k}- hoz választunk három véletlen egyedet: x r1, x r2, x r3 Legyen: v = x r1 + F [ x r2 x r3 ] + λ[ y g x r1 ] ahol y g az eddigi legkisebb megoldás amit ismerünk. Megj.: v nem függ x i -től, mutáció: nincs (ill. néha mutációnak hívják a fentit) v-t keresztezzük a x i -vel: (v 1, v 2,.,v d ) } (u 1, u 2,, u d ) (x i1, x i2,.,x id ) } ahol az u j = x ij CR valószínűséggel, v j egyébként

5 túlélők: u-val helyettesítjük x i -t ha f(u)> f(x i ) lényeg: az operátorok automatikusan adaptálódnak a populáció kiterjedéséhez és alakjához 9. Tétel Korlátozott kielégítési feladatok: Definíció: az állapottér: D= D 1 x D 2 x x D n ( D i az i. változó (x i ) lehetséges értékei), korlátozások: C 1,, Cm, ahol Ci D, konzisztens (megengedett) hozzárendelések: C1 C2. Cm. Egy hozzárendelést konzisztensnek nevezünk, ha nem sért meg egyetlen korlátozást sem. A célállapotok a megengedhető állapotok is egyben és néhány korlátozás kielégítési probléma azt is igényli, hogy a megoldás célfüggvényt maximalizáljon. Általában egy Ci, a változók egy részhalmazára tartalmaz megszorítást, gyakran változópárra. Algoritmusok: Kényszergráf: ha Ci párokra vonatkozik, akkor adott, ha nem, akkor segédváltozók bevezetésével átalakítható. A gráf csomópontjai a probléma változóinak, élei pedig a korlátoknak felelnek meg. A keresési teret inkrementálisan is definiálhatjuk: kezdeti állapot: {} (üres halmaz), azaz egyik változónak sincs értéke. szomszédok: valamely hiányzó változóhoz rendeljünk értéket, amely nem okoz konfliktust út költség: konstans költség mindegyik lépésre 10. Tétel Többágenses környezeteket vezetünk be, ahol minden ágensnek számolnia kell a többi ágens cselekvésével, mivel azok hatással vannak rá is (pl, sakk, reversi). Az MI-ben a játékok általában igen specializáltak amit a játékelméleti szakemberek determinisztikus, váltott lépésű kétszemélyes, zérusösszegű teljes információjú játékoknak neveznek. Vagyis: - Egy determinisztikus, megfigyelhető világban az ágensek cselekvései váltják egymást - A játék végén a hasznosságértékeik mindig azonosak, és ellentétes előjelűek. A játékot formálisan egyfajta keresési problémának is fel lehet fogni az alábbi komponensekkel: - Kiinduló állapot: tábla-állás + ki fog lépni - Állapotátmenet-függvény: megadja a legális lépéseket, és az azokból következő lépéseket - Végteszt: meghatározza, hogy mikor van vége a játéknak, ezek az állapotok a végállapotok - Hasznossági függvény: a játék végeredményéhez egy számértéket rendel hozzá, pl.: -1,0,+1 Optimális stratégia: Egy optimális stratégia olyan kimenetekhez vezet, amelyek legalább olyan jók, mintha egy tévedhetetlen ellenféllel játszanánk. Az optimális stratégia lényege, hogy a kezdőállapotból a lehetséges lépéseken át eljussunk a nyerésig. Természetesen ebbe az ellenfél is beleszól, vagyis a lépéssorozatban figyelembe kell vennünk, hogy az ellenfél is próbál törekedni az optimális stratégiára. MINMAX algoritmus: Alkalmazzuk a minmax fa minden csomópontjára az alábbi függvényt: MINMAX-ÉRTÉK(n)= Hasznosság(n), ha n egy végállapot MAX_s Követők(n)MINIMAX-ÉRTÉK(s) ha n egy MAX csomópont MIN_s Követők(n)MINIMAX-ÉRTÉK(s) ha n egy MIN csomópont Az optimális döntést az aktuális állapotból számítja ki, felhasználva az egyes követő állapotok minmax értékeinek kiszámítására a definiáló egyenletekből közvetlenül származtatott, egyszerű rekurzív formulát. A rekurzió egészen a levekig folytatódik, majd a minmax értékeket a fa mentén visszafelé terjesztjük a rekurzió visszalépésekor.

6 Idő-komplexitása O(b m ) és tár-komplexitása O(bm), ahol m a fa maximális mélysége és b a legális lépések száma. 11. Tétel A MINMAX algoritmus bejárja az egész fát, ezért nagy fa esetén sok erőforrást használ. Ezt elkerülendő, bizonyos feltételek alapján a fa ágainak egy részét elnyeshetjük, és ezáltal ki sem kell értékelni azokat. Ha a Játékosnak van az n szülőcsomópontjánál vagy ettől feljebb egy jobb választása, akkor az n csomópontot soha nem fogjuk elérni. Ezek alapján az n csomópontot nyugodtan lenyeshetjük. Az alfa-béta nyesés két paramétertől függ: - α : az út mentén tetszőleges döntési pontban a MAX számára eddig megtalált legjobb(vagyis legmagasabb értékű) választás értéke - β : az út mentén tetszőleges döntési pontban a MIN számára eddig megtalált legjobb(vagyis legalacsonyabb értékű) választás értéke. Az alfa-béta keresés az α és a β értékeit munka közben frissíti, és a csomópontnál a megmaradó ágakat lenyesi. Az algoritmus hatékonysága alapvetően függ a csomópontok vizsgálatának sorrendjétől. Komplexitása: O(b (m/2) ). Algoritmus: alphabeta( állapot, alpha, beta ) 1) if állapot = végállapot then return hasznosság( állapot ) 2) for minden s eleme lehetséges következő állapot 3) alpha = max ( alpha, -alphabeta( s, -beta, -alpha )) 4) if beta <= ( kisebb egyenlo ) alpha then return alpha 5) return alpha 12. Tétel Heurisztikus értékelő-függvények és előállításuk: Relaxálás: a probléma egy, egyszerűbb változatának a költségének a megadása. Az így kapott költséget felhasználhatjuk heurisztikának az eredeti feladat megoldásához, mivel ez a költség kisebb lesz, mint az eredeti feladat költsége. Relaxált probléma optimális megoldásának költsége a h() egy elfogadható heurisztika az eredeti problémára. relaxáció = a feltételek elhagyása. Mivel a számított heurisztika a relaxált problémára egy pontos költség, teljesítenie kell a háromszög egyenlőtlenséget is, és ebből kifolyólag konzisztens is. Automatizált relaxálás: ha a feltételek formális nyelven is adottak, akkor a relaxált problémákat automatikusan is előállíthatjuk. Heurisztikák kombinálása: h(n) = max {h 1 (n),, h m (n)} Az így megkonstruált összetett heurisztikus függvény mindig azt a függvényt használja, amelyik az adott csúcspontra a legpontosabb. Mivel az alkotóelemként felhasznált heurisztikus függvények mind elfogadhatóak, ezért h is elfogadható. Továbbá h konzisztens és dominálja az összes, benne alkotóelemként felhasznált heurisztikus függvényt. Mintaadatbázisok: tároljuk az egyes részprobléma esetekhez tartozó pontos megoldási költségeket. Független részproblémák: a költségek összeadhatóak. Alfa-béta, minmax esetén - heurisztikus kiértékelő függvények a nem-végállapotokban - csak bizonyos mélységig használható (idő- és számítási igény miatt) - kiértékelés: 1. végállapotok, eredeti értékek 2. gyors, hatékony

7 3. a nem-végállapotokban a minmaxhoz nagyon közeli értékek (vagy legalább a nyerési esélyeket jól tükrözze) 13. Tétel Ítéletlogika szintaxisa: Az ítéletkalkulus szintaxisa meghatározza az értelmezhető mondatokat. - A szimbólumok: A B C D. - Mondatnak nevezünk egy atomot vagy egy komplex mondatot. - Az atom egy tovább már nem bontható szintaktikai elem, amely I H értékkel rendelkezik, vagy egy szimbólum. - A logikai jelek: (precendencia szerint) - A komplex mondat: mondat mondat * mondat, ahol * {,,, } A zárójeleket a precendencia szabályok figyelembe vételével elhagyhatjuk. Ítéletlogika szemantikája: A szemantika definiálja a szabályokat ahhoz, hogy meghatározzuk egy mondat igazságértékét modell: (lehetséges világ): a szimbólumokhoz igazságértékeket rendel. Pl.: Egy három szimbólumot tartalmazó mondat esetén a 2 3 = 8 db különböző modell lehetséges mondatok igazságértéke: A mondatok igazságértékét rekurzívan lehet meghatározni. Minden mondat atomokból és logikai jelekből épül fel, emiatt meg kell határoznunk az atomok, majd a komplex mondatok igazságértékét. (a) atomok: I = igaz, H = hamis, a szimbólumok értékét a modell határozza meg. (b) komplex mondat: a logikai műveletek igazságtábláival meghatározható az értékük 14. Tétel Logikai következmény - T és f mondatok. Ekkor T = f akkor és csak akkor, ha minden modellben és minden interpretációban, ahol T igaz értéket vesz fel, f is igaz értéket vesz fel. Kvantorok kiértékelése - xf(x) = x f(x), stb (csak vagy is elég) - x y f(x,y) y x f(x,y) (pl f(x,y) : x vezeti y-t) Logikai következtetés: A kvantoroktól megszabadulunk és a következtetési szabályokat felemeljük (lifting) úgy, hogy a finomszerkezetre figyelünk behelyettesítésekkel. kvantorok : - xf(x) => f(c), ahol c skolem konstans szimbólum. Általában a skolemizáció: - Ha y kvantorok között, és az x 1,...,x n -el kötött változókhoz tartozó kvantorok hatáskörében van, akkor helyettesítünk F(x 1,...,x n ) skolem függvénnyel. Lifting: P1',...,Pn', P1,...,Pn : atomok P1',...,Pn',(P1 Pn q) helyettesít (Θ, q) Ahol Θ helyettesítés azon szabad változók helyettesítése olyan termekkel, amelyek más mondatokban előfordulnak. Kielégíthetőség alapú algoritmus: három fő lépésből áll 1. vegyünk (α β)-t, és alakítsuk konjuktív normálformára 2. alkalmazzunk mélységi keresést a következő térben: keresési tér: atomok egy részhalmazához igazságértéket rendelünk kezdőállapot: egyik atomhoz sincs érték rendelve operátor: egy nem hozzárendelt atomhoz igazat illetve hamisat rendel hozzá

8 célállapot: kielégítő modell tétel hamis 3. (A B) (A C) igaz, ha A igaz, ezért vágni lehet. Egy szimbólum tiszta szimbólum, ha mindig ugyanazzal az előjellel szerepel minden klózban. 15. Tétel Következtető algoritmusok: logikai ekvivalencia: α és β logikailag ekvivalens, (α β), ha ugyanazok a modelljeik tautológia: P tautológia, ha minden modellben igaz, jelölése: = P dedukciós tétel: Minden α és β mondatra teljesül, hogy α = β, akkor és csak akkor, ha = α β kielégíthetőség: Egy mondat kielégíthető, ha van olyan modell, amelyben igaz. - α tautológia α kielégíthetetlen - α kielégíthető α nem tautológia reductio ad absurdum(indirekt bizonyítás): α = β (α β) kielégíthetetlen. Itt az α a tudásbázis, a β a tétel amit bizonyítani akarunk α-ból. Rezolúció az ítéletlogikában: Rezolúció során is az a cél, hogy a (α β) kielégíthetetlenségét bebizonyítsuk. Iteratívan mélyülő keresés a következő térben: keresési tér: konjuktív normál formulák kezdőállapot: (α β) konjuktív normál formája operátorok: a rezolúció és hogy az azonos literálokból csak egy maradjon célállapot: az üres klóz. Az üres klóz azonosan hamis, ekkor a β tétel. Az S klóz rezolúciós lezártja RC (S), az összes olyan klóz halmaza, amely levezethető S-ből rezolúcióval. Ez bizonyítja a rezolúció teljességét. Tétel: Ha klózok egy halmaza kielégíthetetlen, akkor a rezolúciós lezártjuk tartalmazza az üres klózt. Bizonyítás: A tételt a kontrapozíciójával bizonyítjuk: Ha RC (S) nem tartalmazza az üres klózt, akkor S kielégíthető. 16. Tétel Elsőrendű logika szintaxisa: - mondat atom (összekötő mondat) kvantor változó mondat mondat - atom predikátum (term, ) term = term - term függvény (term, ) kvantorok változó - összekötő - kvantor - kvantorok A B C (nagybetűk) - változók x y z (kisbetűk) Elsőrendű logika szemantikája: Ítéletkalkulus egy lépése : Lehetséges világok közül választunk, ez a modell az elsőrendű logikához, ahol a lehetséges világ a domain, ami a létező objektumok halmaza (D). Ehhez még kell egy interpretáció, ami a következő: - Minden kvantorhoz rendel elemet a domainből. - Minden függvényhez (n változós) rendel egy D n D függvényt. - Minden predikátumnévhez (n változós) egy D n {igaz / hamis} függvényt. Egy fix domain-en, sok különböző interpretáció is lehet. Kvantorok: Legyen f egy mondat, amelyben szerepel az x változó. x szabad változó, ha - f atomi mondat - <=> f 1 -ben szabad változó

9 - <=> f összetett (pl f 1 f 2 ) és x szabad f 1 -ben vagy f 2 -ben - f= y f 1 (vagy y f 1 ) és x y x kötött változó, ha - x szerepel f-ben és nem szabad 17. Tétel Rezolúció az elsőrendű logikában: Két klóz, amelyek standardizálva vannak, tehát nem tartalmaznak azonos változókat, akkor rezolválható, ha tartalmaznak komplemens literálokat. Akkor komplemensek a literálok, ha az egyik egyesül a másik negációjával. egyetlen-szabály : két klózra l 1 l 2, m 1 m n helyettesít(θ, l 1 l i-1 l i+1 l 2 m 1 m j-1 m j+1 m n ) (lifting a rezolúció szabályhoz) ahol helyettesít (Θ, l i ) = helyettesít (Θ, m j ) Lépések: 1. Vegyük fel β -t : α β -ból indulunk 2. α β konjuktív normálformája kell -t automatikusan bevisszük csak és marad konstansoktól megszabadulunk literálok klózait hozzuk létre ( -t kivisszük) Bináris rezolúció: A komplemens literál pároknál, olyan helyettesítéseket alkalmazunk, hogy megegyezzenek, majd elimináljuk ezeket. Pontosan két literált old fel. Tétel: A rezolúció cáfolás-teljes, azaz ha β logikai következmény, találunk bizonyítást, de ha nem, akkor nem kell bizonyítani. Bizonyítás: hasonló mint az ítéletkalkulus. Gödel tétele: Minden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus elméletben megfogalmazható olyan mondat, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható. 18. Tétel Előre láncolás elsőrendű logikában: Horn-hoz hasonló adatbázis formátum. Határozott klóz : f 1 f 2... f k f k+1, ahol f i -k atomok (pozitív literálok) Tények: pozitív literál Literálok paraméterei: ha csak konstans vagy változó, akkor DATALOG formátum (függvényt nem engedünk). Kvantorokat továbbra is úgy kezeljük, ahogy eddig: Két módus komponens-t használunk a liftingel ugyanaz, mint az ítéletkalkulus, de: 1. algoritmus kell, az összes lehetséges helyettesítés megtalálásához 2. akkor van vége, ha egy új formula és a bizonyítandó α közös alakra hozható helyettesítésnek, vagy nincs új formula (ekkor α nem logikai következmény) Mintaillesztés komplexitása: A változók miatt az elsőrendű logikában MP lehetséges alkalmazásaink előállítása NP nehéz. Visszafelé láncolás Ugyanaz, mint az ítéletkalkulus, csak a helyettesítésekre kell figyelni 1. A helyettesítések Θ halmaza kezdetben üres. 2. Mélységi bejárással ezt a halmazt fokozatosan bővítjük, hozzáadva az új helyettesítéseket (amíg lehet).

10 3. A művelet sikeres, ha eljutunk a tényekig, melyek a levelekben vannak, ebben az esetben megkapjuk a behelyettesítést is. 4. A mélységi keresés miatt nem teljes és ismétlődő állapotok is lehetnek. 19. tétel: valószínűség alapfogalmai: véletlen változók, elemi események, valószínűség, feltételes valószínűség, valószínűség axiómái Véletlen változók: Az ítéletkalkulusban megismert ítéletek szerepét fogják betölteni, logikai operátorokkal, formulák készíthetők velük. A véletlen változók lehetséges értékeit (értéktartományát) nevezzük domaineknek. Jelölés szerint mindig nagybetűvel jelöljük a változó neveket, kisbetűvel az értékeiket. A véletlen változók tipikusan három típusba sorolhatók: 1. Boole - típusú 2. Diszkrét véletlen változók 3. Folytonos véletlen változók Elemi események: Az elemi esemény analógnak tekinthető az ítéletkalkulusbeli modellel (ha csak logikai véletlen változók vannak). Valószínűségi változókkal definiáljuk őket. Az elemi esemény egy olyan kijelentés, ahol minden egyes valószínűségi változóhoz szerepel (értéket kap), és ezeket konjugálom. Az elemi események tulajdonságai: - egymást kölcsönösen kizáró események, legfeljebb egy lehet igaz, - az összes elemi esemény halmaza kimerítő, tehát legalább az egyiknek igaznak kell lennie, - az előző kettőből tehát az következik, hogy a világ aktuális fennállását pontosan egy darab elemi esemény írja le, - egy elemi esemény minden lehetséges elemi kijelentéshez igazságértéket rendel, - minden kijelentés logikailag ekvivalens a neki nem ellentmondó elemi eseményeket leíró kijelentések halmazával. Valószínűség ( a priori valószínűség): Minden kijelentéshez valószínűséget rendelünk. Egy a állításhoz tartozó priori (feltétel nélküli) valószínűség az a meggyőződési mérték, amely bármely más információ hiányában az állításhoz kapcsolható. Jele: P(a) Feltételes valószínűség: P(a b), ahol a és b kijelentések. Ennek jelentése, hogy a valószínűsége ennyi, ha tudom, hogy b igaz, és a teljes tudásunk b. Technikai definíció: P(a b) = P(a, b) / P(b). Egyszerűbb definíciója a szorzatszabály, amelyben a és b szerepe felcserélhető. P(a és b) = P(a b)p(b) = P(b a)p(a) P(A B) pedig nem más, mint a P(A=a i B=b j ) értékek táblázata, ahol a i és b j A és B értékei minden párosításban. A valószínűség tulajdonságai és axiómái: Az eddigiekben szintaxist definiáltunk, most meg kell fogalmaznunk egy szemantikát is. Ezt az axiómákkal kezdjük: 1. A valószínűség mindig [0,1] között van. 2. Azonosan igaz esemény logikai valószínűsége mindig 1, azonosan hamis esemény logikai valószínűsége mindig P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

11 20. tétel: valószínűségi következtetés diszkrét változókkal, eloszlás reprezentációjának tömörítése: függetlenség Kiindulás a teljes együttes eloszlás, azaz elemi események valószínűségei (véletlen változók bármely értékkombinációja). Tehát a következtetéseinket a teljes valószínűségi eloszlás alapján tesszük fel. Egyszerűsítő jelölésmódot vezethetünk be: P(A) = b P(A,b), ahol A egy változó, vagy változók egy halmaza, és b az A-n kívüli változók összes értéke. A szorzatszabállyal ugyanez: P(A)= b P(A b)p(b). Itt annak a változónak a feltétel feletti eloszlását kapjuk meg, amelyet tartalmazó együttes eloszlásokból kiátlagoljuk az összes többi változót a szorzatszabályban, melyet feltételfeloldásnak nevezünk (conditioning). Általában: P(A b) = α P(A,b) = α x P(A,b,x), ahol α: normalizálási konstans, b: ismert tények (kijelentések), x: azon változók összes lehetséges értéke, amelyeknek az értéke ismeretlen (ezekből képzett kijelentések), A: változó, érdeklődésük tárgya. A függetlenség: Kétfajta függetlenségről beszélünk: 1. abszolút függetlenség (két véletlen változó független hatékonyan használható valószínűségi tábla redukálására), 2. feltételes függetlenség (finomabb módszer, további tömörítést tesz lehetővé). Ebből következik a definíciót: - a és b függetlenek akkor és csak akkor, ha P(a és b) = P(a)P(b), ahol a és b kijelentések, - A és B változók függetlenek akkor és csak akkor, ha P(A,B) = P(A) P(B). Ezzel ekvivalens definíciók: 1. P(A B)=P(A) 2. P(B A)=P(B). Ha változók egy halmaza felbontható független részhalmazokra, akkor csökkenthető a teljes együttes eloszlás tárolási mérete. Ekkor minden részhalmazhoz elég az együttes eloszlás lokálisan, ezáltal sokszor nagy tömörítést érhetünk el.

12 21. tétel: feltételes függetlenség, Bayes szabály, Bayes háló definíciója Feltételes függetlenségről: Lehet, hogy a és b általában nem függetlenek, viszont létezik c úgy, hogy P(a és b c) = P(a c)p(b c). Ekkor a és b kijelentések feltételesen függetlenek (c feltevésével), például akkor, ha a és b közös oka c. Általában A és B változó függetlenek, akkor és csak akkor, ha létezik C úgy, hogy P(A B,C) = P(A C)P(B C). A definícióval ekvivalens két másik definíció: P(A B,C) = P(A C) és P(B A,C) = P(B C). Bayes - szabály: Állítás: P(b a) = P a b P b P a Bizonyítás: P(a és b) = P(a b)p(b) = P(b a)p(a) Általában is: P(B A) = P A B P B, ahol A és B véletlen változók halmaza P A 1. Feltételes függetlenség kompakt reprezentációja használható. 2. A gyakorlatban sokszor a jobb oldalon lévő példák ismertek, míg a bal oldaliak nem. Másik alakja (α normalizálási konstans használatával): P(B A) = α P(A B)P(B), itt α adódik az 1-re normalizálásból, de a teljes eloszlást ki kell hozzá számolni. Bayes háló: Olyan adatstruktúra, mely a feltételes függetlenségeket ragadja meg, és egy teljes együttes eloszlás tömör reprezentációja. Részei: 1. Csúcsok: véletlen változók 2. Élek: függési reláció ( ha X Y él, akkor X az Y szülője) 3. Feltételes eloszlás: P(X X szülői) 4. A háló DAG azaz körmentes irányított gráf A háló nem egyértelmű, az eloszlást több háló is leírhatja! 22. tétel: Bayes háló konstruálása diszkrét változókból, zajos-vagy Belátható: legyenek a változók X 1,, X n 1. Ha az X j nem leszármazottja X i -nek, akkor P(X i Szülők(X i ), X j ) = P(X i Szülők(X i )) 2. Ha az X j tetszőleges változó, akkor P(X i Markov-takaró(X i ), X j ) = P(X i Markov-takaró(X i )) Markov - takaró: Szülők Gyerekek Gyerekek szülői Tehát X i csak a Markov - takarótól függ. További tömörítés: Ha k szülő van, akkor 2 k méretű táblázat kell az adott változóhoz. Ha k kicsi, akkor konstans, nem rossz de gyakran még kevesebb információ is elég. Determinisztikus változók: a szülő változók értékeinek függvénye Pl.: X i = min(szülők(x i )) Zajos-vagy ( noisy-or ): 2 k helyett k (ahol pont egy i van) a többi ebből számolva (egyszerűsítés de tömör)

13 23. tétel: valószínűségi következtetés Bayes hálókban: exakt képletek, közvetlen mintavétel, elutasító mintavétel, valószínűségi súlyozás Exakt eset: tudjuk, hogy a teljes együttes eloszlásból kiszámolható, de a Bayes - hálóból kiszámolható a teljes együttes eloszlás. Műveltigény: Kiemelés előtt: O(n2 n ) Kiemelés után: O(2 n ) Ezeken lehet javítani: lehetőleg minden részsorozatot csak egyszer számoljunk ki (dinamikus programozás) Közvetlen mintavétel: Célok: 1. Teljes együttes eloszlás szerint generálni változó hozzárendeléseket véletlenszám-generátorral (új mintát könnyebb venni, mint minden lehetséges hozzárendelés valószínűségét megadni) 2. A generált hozzárendelésekben megfigyelt gyakoriságokkal közelíteni a valószínűséget A szülő nélküli változókkal kezdjünk és lefelé haladjunk, majd a mintavételt sokszor ismételjük. Elutasító mintavétel: N A,b P(A b) = α P(A,b) helyett vegyük P(A b) = lim N N b kiszámolható. mászóval α 1 N b közvetlenül Valószínűségi súlyozás (likelihood weighting): Számolás: minták gyakoriságának számolása helyett a súlyokat adjuk össze m 1, m n mintákra a,b,c szerepel és w 1,,w n súlyokra. N helyett w m i és N(a,b,c) helyett i ben i 24. tétel: felügyelt tanítás problémája, alapfogalmai, indukció problémája Felügyelt tanulás (induktív tanulás - inductive learning): Egyszerű függvényillesztéstől a fizika tudományáig sok mindent lefed. Adott egy ismeretlen f : A B függvény és (x 1, (f (x 1 )),..., (x n, f ( x n )) példák. Keresünk egy h : A B függvényt, ami f-et közelíti. A h függvény a H hipotézistér eleme, H lehet pl. maximum k fokú polinomok, vagy bármi más. Indukció problémája: Az f jó közelítése olyan h, amely ismeretlen x-re is jól becsüli f(x)-et (nem csak az adott példákra), azaz jól általánosít. Pl.: Ha h(x) = f x, ha ismert a példa 0, egyébként { akkor h egyáltalán nem általánosít, de a tanító példákat tökéletesen tudja. Ebből következik, hogy: 1) Törekszünk tömörebb reprezentációra, mint az adatok: Ockham borotvája (Ockham's razor): a lehető legtömörebb leírás, ami még elég Kolmogorov-komplexitás (algoritmikus komplexitás):

14 2) Törekszünk egyszerű reprezentációra a hatékonyság miatt is, mivel egyszerűbb reprezentációban könnyebb keresni. 25. tétel: döntési fák Döntési fák (decision tree): Bemenetként egy attribútumokkal leírt objektumot vagy szituációt kap, és egy döntést ad vissza eredményként a bemenetre adott válasz jósolt értékét. Mind a bemeneti attribútumok, mind pedig a kimeneti érték lehet diszkrét vagy folytonos. Feltesszük, hogy x A diszkrét változók értékeinek vektora, és f(x) B diszkrét változó egy értéke (pl. B = {igen, nem}) Ha a függvény értékkészlete, f(x): - diszkrét, a függvény tanulását osztályozás (classification) tanulásnak, - folytonos, a függvény tanulását regressziónak (regression) nevezzük. Döntési fák kifejezőereje: Várakozás (A 1... A m ) (B 1... B n )... Útvonalak igen levélbe, A i, B i pedig az elágazások. A formulában a diszjunkciós tagok mindegyike azon tesztek konjukciójának felel meg, amelyeket a gyökértől egy pozitív kimenetet jelentő levélig megtett út során végeztünk. Ez éppen egy ítéletkalkulusbeli kifejezés, mivel csak egyetlen változót tartalmaz és minden predikátum unáris. 1.) Ítéletek, pl.: Vendégek = Senki, Vendégek = Néhány, stb. 2.) Az x egy modell. 3.) A döntési fa pedig logikai formula, f(x) a formula kiértékelése. Milyen tömör lehet? Láttuk, hogy ha véletlen, nem tömöríthető. De nem tömöríthető a paritásfüggvény (akkor és csak akkor ad 1-et, ha páros számú bemenet 1 értékű), ekkor egy exponenciálisan nagy döntési fára lesz szükség. Vagy a többségfüggvény (akkor ad 1-et, ha a bemeneteinek több, mint a fele 1 értékű). Az összes változót tudni kell - illetve O(n) - et. Döntési fa építése: Egy logikai döntési fa által kezelhető példa a bemeneti attribútumok X vektorából és egyetlen logikai kimeneti értékből, y-ból áll. Heurisztika: A lehető legjobban szétválogatjuk a pozitív és negatív példákat, így a gyökérbe kerül azaz attribútum, amely a legjobban szeparál. (rekurzív algoritmus): 1.) Válasszuk ki a gyökeret és szeparáljuk a példákat, 2.) Minden ágon a maradék attribútumokra és az oda eső példákra rekurzívan ugyanez. Az esetek, amiket vizsgálni kell a rekurzióban: 1.) Pozitív és negatív példa is van: szeparáljuk őket a legjobban egy attribútumot választva. 2.) Csak pozitív vagy csak negatív példa van: leáll, ez az ág kész. 3.) Nincs példa, de attribútum még van, ekkor default érték, és heurisztikát alkalmazunk. 4.) Ha pozitív és negatív példa is van, de nincs több attribútum, azaz hiba (zaj) a példákban. Ekkor heurisztikát alkalmaz, pl. többségi szavazat (ha több volt a pozitív, akkor pozitív lesz.) A legjobban szeparáló attribútum: Adott változó ismerete mennyivel növeli az információt arról, hogy egy példa igen vagy nem. Információ információelmélet:

15 A p valószínűségű esemény információtartalma: log(p). Ha log 2 -t használunk, mértékegysége a bit. Véletlen változó átlagos információtartalma (entrópia): Σ i p i log 2 (p i ) ( p 1,..., p n, valamint az eloszlás: 1=Σ p i ). Döntési fa egy csomópontjának információtartalma: Legyen p a csomópont alatti pozitív, n pedig a negatív példák száma, a csomópont A. I(A) = p p n log 2 p p n n p n log 2 n p n Információ-nyereség A-ban: A gyerek csúcsainak az átlagos információtartalma azt fejezi ki, hogy A - szerint felbontva mennyi bizonytalanság marad. Legyenek B 1,..., B v A gyerek csúcsai. (A-nak v értéke van, ami v részhalmazra osztja a példákat.). Legyenek E 1,..., E v a megfelelő példa részhalmazok, ahol E i =n i +p i. Nyereség (A) = I A i=1 v 26. tétel: induktív tanuló algoritmusok kiértékelése p i n i p n I B i,ahol a maximális nyereségű attribútumot választjuk. A tanító halmazon építjük a modellt (pl. döntési fát), a teszt halmazon értékeljük ki. Kukucskálás (peeking): Ha a teszteredmények alapján finomhangoljuk az algoritmus paramétereit, akkor a modell függ a teszttől, és a teszthalmazra van optimalizálva. Túlillesztés (overfitting): a magolás egy általánosabb formája a túlillesztés, amikor túl messzemenő következtetéseket vonunk le kevés adatból. Kisszámú példák miatt nem igazi minták alakulhatnak ki. Keresztvalidáció (cross-validation): A tanító / teszt felosztás általánosítása, ez a módszer alaposabban szeparál: 1.) Osszuk fel a példákat K egyenlő részre. 2.) Építsünk K modellt a következőképpen: vegyük valamely részhalmazt, mint teszt halmazt és a többi K-1 et tanítsuk. 3.) Értékeljük ki a K modellt a megfelelő teszthalmazon és vegyük a K értékelés átlagát, ez lesz az értékelés. Megbízhatóbb kiértékelés, hiszen az összes elemet felhasználtuk tesztadatnak. Alkalmazás: Ha van m darab algoritmusunk, mindet kiértékeljük keresztvalidációval, és a legjobb algoritmus segítségével építünk modellt az egész példahalmazon. Ez lesz a végeredmény. Döntési fa specifikus technika (keresztvalidációs algoritmus független): Azért, hogy az irreleváns attribútumokat ne építse be az algoritmusba. Pl. statisztika alkalmazásával. => Valamit tanulni fog, de az biztos tévedés lesz! 27. tétel: hipotézis együttesek, turbózás (boosting), AdaBoost algoritmus Hipotézisegyüttesek (ensemble): Sokszor jó ötlet egy modell (hipotézis) helyett többet gyártani, esetleg más algoritmusokkal, és pl. többségi szavazást alkalmazni. 1.) Modellek hibái nem pont ugyanazok (ideálisan: függetlenek), ezért statisztikailag megbízhatóbb. 2.) Kombinálhatunk is az egyszerűbb modelleket. Turbózás (boosting): Gyenge algoritmusok együttesét állítja elő, amelyek így a tanuló halmazt helyesen osztályozzák. Gyenge algoritmus (weak algorithm): Amely jobb, mint a találgatás, azaz 50 % nál több példát képes helyesen osztályozni a legyártott modell. Jelöljük a gyenge algoritmust L- lel.

16 Ada Boost algoritmus: AdaBoost (példák, L, M) // példák: N darab példa, (x i, y i ), i=1,..., n // L : tanuló algoritmus (gyenge) // M: hipotézisek száma az együttesben // w i : (x i, y i ) súlya, 1/N kezdetben // h i : i-edik hipotézis ( i=1,...,m ) if h m (x j ) = y j then w j w j * error / (1 error) w Normalizál(w) z m log[(1 error) / error] return SúlyozottTöbbség(h, z) // z i : i-edik hipotézis súlya for m = 1 to M h m L(példák, w) error 0 for j = 1 to N if h m (x j ) y j then error error + w j for j = 1 to N 28. tétel: Bayes tanulás, MAP tanulás, maximum likelihood tanulás (definíciók) A Bayes - tanulás során egyszerűen kiszámoljuk minden egyes hipotézis valószínűségét az adatokra támaszkodva, majd ezek alapján adunk predikciót. Azaz az összes hipotézist használjuk, s valószínűségükkel súlyozzuk őket. A hipotézisek valószínűségét a Bayes - szabállyal adjuk meg: P (h i d) = α P(d h i )P(h i ), ahol α az egy konstans α = 1 / P(d), d a megfigyelt adatok. Ha egy X értékét akarjuk jósolni, akkor ez a képlet: P (X d) = Σ i P (X d, h i )P (h i d) = Σ i P (X h i )P (h i d) Ezek után három nagyon fontos fogalmat kell tisztáznunk: Prior, P(h i ): hipotézisek a priori valószínűsége, azaz adott hipotézis fennállása, ha még semmit nem tudunk a világról, Pl.:(komplex hipotézisekhez lehet kisebbet, egyszerűbb hipotézisekhez nagyobbat) Likelihood, (könyvben adatvalószínűségként említik): P(d h i ) : megfigyelések valószínűsége h i mellett Posterior P(h i d) : hipotézis a posteriori valószínűsége, azaz tapasztalat utáni valószínűség A Maximum a posteriori tanulás (MAP) módszerében a priorokkal súlyozott összeg helyett a legvalószínűbb hipotézis alapján végezzük a predikciót, azaz a maximális P(h i d)-hez tartozó h i -t használjuk. Tehát vesszük a valószínűségeket, s kiválasztjuk a maximumot. A MAP felhasználja a prior valószínűségeket, s ebből számol posteriort, de a döntést már nem átlagolja, hanem a maximálisat fogja, és a többit figyelmen kívül hagyja. A maximális hipotézist keresi. A MAP hipotézis alapján végzett predikációk közelítőleg Bayes-predikciók. Ám ez sokkal veszélyesebb módszer, mert túl gyorsan következtetünk A Maximum-likelihood tanulás esetén további egyszerűsítéseket teszünk, mégpedig hogy bármely hipotézis a priori valószínűsége egyenlő. (pl.: ugyanolyan komplex hipotézisek). Ekkor vesszük a maximális P(d h i )-hez tartózó h i -t. Nagyon sok adatnál ugyanoda konvergál, mint a Bayes és a MAP, de kevés adatnál érzékeny, problémák merülhetnek fel az alkalmazásánál.

17 29. tétel: log-likelihood technika, illusztrációja két példával Tanulás teljesen specifikált példákból Tegyük fel, hogy: az összes tanítópéldában minden változó értéke adott, ami a terület valószínűségi modelljében szerepel. Maximum likelihood: diszkrét változók 1. példa: meggy\ citrom, de most Θ a megy aránya, Θ ismeretlen. hipotézis: a meggy aránya Θ nevezzünk meg N db cukorkát: o legyen m db meggy, c db citrom, [c=n-m] o ekkor az adathalmaz valószínűsége, ha a minták függetlenek: P (d ) = = m (1- ) c Melyik Θ - ra maximális? Ehhez: L (d ) = log P (d ) = =m*log + c*log (1 - ). [a log P()-nek ugyanott van a maximuma, de gyakran könnyebb kiszámolni] [elég természetes eredmény]. Megint keresési probléma (maximum). Gyakran nem ilyen egyszerű, hanem pl. hegymászó, stb. kellhet. Megjegyzés: kevés adathalmaz esetén, pl. ha N=1, azt mondja, hogy minden cukor citrom (vagy meggy) [nem használ priorokat] 2. példa: most legyen kétféle csomagolás: piros és zöld a fenti Bayes hálóval kifejezett eloszlás szerint. Három paraméter: Θ, Θ 1, Θ 2 pl. P (meggy, zöld ) = P (zöld meggy, ) * P (meggy ) = Θ (1- Θ 1 ) megint van N db példánk: m db megy, c=n - m citrom legyen Pm + Zm =m a piros és zöld csomagolású meggyek száma, Pc + Zc = c hasonlóan. Ekkor P (d ) = Megint logaritmust véve tagonként maximalizálhatjuk: o megint természetes eredmény, azaz belátható, hogy diszkrét Bayes - hálóhoz mindig hasonló eredmény, azaz minden táblázatot egymástól függetlenül becsülünk. 30. tétel: naiv Bayes algoritmus Bayes - szabály: Állítás: P(b a) = P a b P b Bizonyítás: P(a és b) = P(a b)p(b) = P(b a)p(a) P a Általában is: P(B A) = P A B P B, ahol A és B véletlen változók halmaza P A Feltételes függetlenség kompakt reprezentációja használható. A Bayes - szabály során az okból az okozatra következtető valószínűséget használjuk fel arra, hogy okozatból okra következtető valószínűséget kapjunk. Másik alakja (α normalizálási konstans használatával): P(B A) = α P(A B)P(B), itt α adódik az 1-re normalizálásból, de a teljes eloszlást ki kell hozzá számolni. Naiv Bayes - következtetés:

18 Adottak: Y megfigyelési vektor (y 1,, y n ) V osztályok halmaza {v 1,, v k } Naiv Bayes tanulás: o itt O(N) táblázat van: adatokból becsülhetőek a paraméterek maximális likelihood szerint. o O(N) db osztás kell csak, és a P(c x 1,, x n ) = αp(c) becsülhető o megjegyzés: olcsó, és ehhez képest elég jó 31. tétel: Bayes tanulás a béta eloszlás segítségével, illusztráció egy példával, konjugált prior fogalma Bayes tanulás cukorkás példa ( paraméter, N minta), de most prior is van: P(O) = P( = O) [O: hipotézis véletlen változó] pl. O nak lehet egyenletes eloszlása ( [0,1] - en) [ ekkor maximum likelihood]. gyakorlatban gyakran veszünk béta eloszlást: o béta [a, b] ( ) = a-1 (1 - ) b-1 sűrűségfüggvény. paraméterek: a,b : konstans o a = 1, b = 1 : egyenletes o a = b: szimmetrikus o a + b nagy: csúcsos o E(O) = a/ a +b legyen a prior beta[a,b]( O), ekkor egy D1 adat után: P( D1=meggy) = P (D1 = meggy ) P( ) = beta[a,b] ) = a (1 )b-1 = beta[a+1,b]( ) ez a konjugált prior tulajdonság, azaz a prior eloszlása ugyanaz, mint a posterioré, csak más paraméterekkel. 32. tétel: példa alapú tanulás: k legközelebbi szomszéd, kerneln A tanulás arról szól, hogy modellt húzunk az adatokra, és a modell alapján a meg nem látott dolgokat szeretnénk általánosítani, megjósolni előre. A példa alapú tanulás is hasonlóról szól. Adott (x 1, y 1 ) (x n, y n ) példák. Klaszterezési feladatnál például x alapján kell y-t megmondani. A tanítópéldáknál ezt előre megmondjuk. Ötlet: ismeretlen x kiértékelése hasonló ismert példák alapján. Ezekből a tapasztalatokból állítsuk elő y-t. Nincs explicit modell, vagy függvény, hanem úgymond halmazzal tanítunk, de egyáltalán nem magolásról van szó.

19 Legközelebbi szomszéd modellek: 1. Keressük meg x-nek a k legközelebbi szomszédját. Globális heurisztikának tekinthető, nagyon általános érvényű ( hasonló dolgok hasonlóképp viselkednek ). Ha ezt a Touring-gépek halmazán tekintjük, ez egy merész heurisztika. 2. h(x) a szomszédok y-jainak átlaga (esetleg távolság szerint súlyozott) ha folytonos a probléma, v a szomszédok y-jainak többségi szavazata (diszkrét). Ha csak x 1 x n adott és y-ok nem, akkor a p(x) sűrűség közelítése is jó, azaz milyen valószínűséggel jönnek adott inputok a továbbiakban. Nézzük meg, hogy k legközelebbi szomszéd mekkora területen oszlik el? (sűrűség: pontok / terület) fontos: távolságfüggvény D(x 1, x 2 ) 1. folytonos változónál normalizálni kell a dimenziókat (pl, súly, magasság nem ugyanaz a skála, ellipszisként képzelhetjük el a vizsgált területet). Ekkor vehetjük például minden jellemző szórását, és a jellemző értéket a szórás többszöröseiként fejezzük ki. Folytonos esetben érdemes valamilyen euklideszi távolságot venni. 2. diszkrét esetben Hamming távolság: különböző jellemzők száma (hány változóban különbözik), pl. H(001,111) = 2 (2 helyen különbözik) egyszerű, de sokszor jó tanuló algoritmus. Problémái: - érzékeny a távolság-függvényre (holott a módszer egyszerű ötleten alapszik) - nagy adathalmazokon költséges a k szomszédot megtalálni (néha még végigmenni is költséges egy adathalmazon, internet), ilyenkor a modellépítés célravezetőbb lesz - ha sok jellemző van (sokdimenziós tér) akkor kb. mindenki közel van mindenkihez. Kernel módszerek: Módszer: minden példát saját jogán veszek figyelembe (szomszéd nincs). Minden példához hozzárendelek egy saját függvényt (pl. harang-alakú függvényt), ami azt mutatja, milyen súllyal vesszük a példát figyelembe. Minden x i példához veszünk egy K(x,x i ) kernel - függvényt, pl x i várható értékű, szigma normális eloszlás. Általában a K függvény egy sűrűség-(illetve diszkrét esetben eloszlás-) függvény. - sűrűség közelítése egy x pontra. p(x) = (1/n)ΣK(x,x i ) - h(x) közelítése: K-val súlyozott átlag Megjegyzés: itt minden tanítópéldát figyelembe veszünk 33. tétel: perceptron: definíció, kifejező erő, tanuló algoritmus Neuron absztrakt modellje: Inputok: tipikus a kétértékű input. Minden inputhoz (a j ) tartozik súly, w j,i, ahol i a neuron indexe. Összeszorozzuk az inputokat a súlyokkal, aztán az egészet össze szummázzuk. (belső szorzat) w o,i : eltolássúly (bias weight)

20 a 0 lineáris bemenet az eltolás kapcsolaton (-1) fix input, nagy jelentőségű. A lineáris függvények eltolásához hasznos lesz. Inputtól nem függ. (Meghatározza, hol lesz a küszöbérték) g: (0,1) közé képez le. Leggyakoribb, lépcsős vagy szigmoid Aktivációs függvény: 1. Ha jó input jön, adjon 1-koruli értéket, ha rossz, akkor 0 körülit 2. Nemlineáris legyen küszöbfüggvény vagy szigmoid függvény (1/(1+e -x )) 3. g(in i ) éppen w o,i -nél fog változni 0-bol 1-be 4. szigmoid deriválható tanuló algoritmusnak jobb Általában osztályozási feladatot adunk a neuronoknak. Nem tipikus használat: logikai kapuk. Következmény: bármilyen logikai függvény modellezhető megfelelő számú neuronnal. A neurális háló általában logikailag nem (vagy nehezen) értelmezhető konstrukció. Teljesítmény szempontjából megfelelő. Gyakran túlszárnyalja a döntési fát. A neuronokból hálózatot szoktunk építeni. Az egyik neuron outputját hozzácsatoljuk a másik neuron inputjához. Tanuló algoritmus: Numerikus optimalizálás: súlyok terében gradiens módszer. Adott pontban megnézzük a függvény deriváltját, megnézzük nő-e vagy csökken, és attól függően, hogy min-t vagy maxot keresünk, ellépünk valamerre. Hasonlít a hegymászóra. A hibafüggvényt akarjuk minimalizálni. Mintapéldától és súlyvektortól függ (1-1 db). A hibának a gradiensét határozzuk meg w függvényében, ezután ellépünk a minimalizálás irányába. Technikai megoldás: hiba négyzetre emelése, hogy mindig pozitív legyen. Lényeg: - veszünk egy (x,y) tanítópéldát és - erre az egy példára csökkentjük az E hibafüggvényt, és - ezt ismételjük többször az összes példára, amíg w konvergál. 34. tétel: többrétegű előrecsatolt neurális háló, backpropagation algoritmus Többrétegű hálók: Itt van rejtett réteg. Egy rejtett réteggel már bármilyen folytonos függvény felírható. Rejtett réteg: azok a rétegek, amik outputnál nem látszanak. 1 darab nem-rejtett réteg van (output) a többi rejtett réteg. (inputot külön kezeljük). Tanuló algoritmus: Perceptronhoz hasonló, de az output vektorok, nem skalár értékek (több output lehet), és csak az outputot látjuk, a rejtett perceptronokat nem, ebből következik a visszaterjesztés (backpropagation) algoritmus. Úgy lehet felfogni, mintha a felelősséget visszaterjesztenénk a rejtett rétegekre. A hiba ugyanúgy definiálható, a megközelítés is ugyanaz lesz. Kivétel, hogy nem csak az outputban figyelünk súlyokat. A hibának az összes súly függvényében meg lehet határozni a deriváltját. Egy konkrét képletet kell parciálisan deriválni a súly alapján, majd ez alapján elmozdulni.

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához

Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához A. Grama, A. Gupta, G. Karypis és V. Kumar: Introduction to Parallel Computing, Addison Wesley, 2003. könyv anyaga alapján A kereső eljárások

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007/2008

Mesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007/2008 Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 007/008 Az Előadások Témái Bevezető: mi a mesterséges intelligencia... Tudás reprezentáció i stratégiák Szemantikus hálók / Keretrendszerek

Részletesebben

Mesterséges intelligencia 3. laborgyakorlat

Mesterséges intelligencia 3. laborgyakorlat Mesterséges intelligencia 3. laborgyakorlat Kétszemélyes játékok - Minimax A következő típusú játékok megoldásával foglalkozunk: (a) kétszemélyes, (b) determinisztikus, (c) zéróösszegű, (d) teljes információjú.

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2010/2011 1/363

Mesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2010/2011 1/363 1/6 Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2010/2011 Az Előadások Témái 46/6 Bevezető: mi a mesterséges intelligencia... Tudás reprezentáció stratégiák Szemantikus hálók

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007/2008

Mesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007/2008 Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007/2008 Az Előadások Témái Bevezető: mi a mesterséges intelligencia... Tudás reprezentáció Gráfkeresési stratégiák Szemantikus hálók

Részletesebben

Neurális hálózatok bemutató

Neurális hálózatok bemutató Neurális hálózatok bemutató Füvesi Viktor Miskolci Egyetem Alkalmazott Földtudományi Kutatóintézet Miért? Vannak feladatok amelyeket az agy gyorsabban hajt végre mint a konvencionális számítógépek. Pl.:

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function)

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) Genetikus algoritmusok globális optimalizálás sok lehetséges megoldás közül keressük a legjobbat értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) populáció kiválasztjuk a legrátermettebb egyedeket

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység

Részletesebben

Intelligens Rendszerek Gyakorlata. Neurális hálózatok I.

Intelligens Rendszerek Gyakorlata. Neurális hálózatok I. : Intelligens Rendszerek Gyakorlata Neurális hálózatok I. dr. Kutor László http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/ir2.html IRG 3/1 Trend osztályozás Pnndemo.exe IRG 3/2 Hangulat azonosítás Happy.exe IRG 3/3

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

Információ megjelenítés Számítógépes ábrázolás. Dr. Iványi Péter

Információ megjelenítés Számítógépes ábrázolás. Dr. Iványi Péter Információ megjelenítés Számítógépes ábrázolás Dr. Iványi Péter Raszterizáció OpenGL Mely pixelek vannak a primitíven belül fragment generálása minden ilyen pixelre Attribútumok (pl., szín) hozzárendelése

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Heurisztikák algoritmusok ütemezési problémákra. 1. Állapottér és a megoldások kezelése

Heurisztikák algoritmusok ütemezési problémákra. 1. Állapottér és a megoldások kezelése Heurisztikák algoritmusok ütemezési problémákra 1. Állapottér és a megoldások kezelése Számos nehéz ütemezési probléma esetén az exponenciális idejű optimális megoldást adó algoritmusok rendkívül nagy

Részletesebben

Programozási tételek. Dr. Iványi Péter

Programozási tételek. Dr. Iványi Péter Programozási tételek Dr. Iványi Péter 1 Programozási tételek A programozási tételek olyan általános algoritmusok, melyekkel programozás során gyakran találkozunk. Az algoritmusok általában számsorozatokkal,

Részletesebben

Programozási segédlet

Programozási segédlet Programozási segédlet Programozási tételek Az alábbiakban leírtam néhány alap algoritmust, amit ismernie kell annak, aki programozásra adja a fejét. A lista korántsem teljes, ám ennyi elég kell legyen

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Partíció probléma rekurzíómemorizálással

Partíció probléma rekurzíómemorizálással Partíció probléma rekurzíómemorizálással A partíciószám rekurzív algoritmusa Ω(2 n ) műveletet végez, pedig a megoldandó részfeladatatok száma sokkal kisebb O(n 2 ). A probléma, hogy bizonyos már megoldott

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Programozási Módszertan definíciók, stb.

Programozási Módszertan definíciók, stb. Programozási Módszertan definíciók, stb. 1. Bevezetés Egy adat típusát az adat által felvehető lehetséges értékek halmaza (típusérték halmaz, TÉH), és az ezen értelmezett műveletek (típusműveletek) együttesen

Részletesebben

Gépi tanulás a Rapidminer programmal. Stubendek Attila

Gépi tanulás a Rapidminer programmal. Stubendek Attila Gépi tanulás a Rapidminer programmal Stubendek Attila Rapidminer letöltése Google: download rapidminer Rendszer kiválasztása (iskolai gépeken Other Systems java) Kicsomagolás lib/rapidminer.jar elindítása

Részletesebben

5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus.

5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. 5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. Optimalis feszítőfák Egy összefüggő, irányítatlan

Részletesebben

NP-teljesség röviden

NP-teljesség röviden NP-teljesség röviden Bucsay Balázs earthquake[at]rycon[dot]hu http://rycon.hu 1 Turing gépek 1/3 Mi a turing gép? 1. Definíció. [Turing gép] Egy Turing-gép formálisan egy M = (K, Σ, δ, s) rendezett négyessel

Részletesebben

Osztott jáva programok automatikus tesztelése. Matkó Imre BBTE, Kolozsvár Informatika szak, IV. Év 2007 január

Osztott jáva programok automatikus tesztelése. Matkó Imre BBTE, Kolozsvár Informatika szak, IV. Év 2007 január Osztott jáva programok automatikus tesztelése Matkó Imre BBTE, Kolozsvár Informatika szak, IV. Év 2007 január Osztott alkalmazások Automatikus tesztelés Tesztelés heurisztikus zaj keltés Tesztelés genetikus

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Írta: PIGLERNÉ LAKNER ROZÁLIA STARKNÉ WERNER ÁGNES ÁGENS-TECHNOLÓGIA. Egyetemi tananyag

Írta: PIGLERNÉ LAKNER ROZÁLIA STARKNÉ WERNER ÁGNES ÁGENS-TECHNOLÓGIA. Egyetemi tananyag Írta: PIGLERNÉ LAKNER ROZÁLIA STARKNÉ WERNER ÁGNES ÁGENS-TECHNOLÓGIA Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Piglerné Dr. Lakner Rozália, Starkné Dr. Werner Ágnes, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia MI

Mesterséges Intelligencia MI Mesterséges Intelligencia MI Tudásbázis építése Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade A tudásbázis építése

Részletesebben

Egyirányban láncolt lista

Egyirányban láncolt lista Egyirányban láncolt lista A tárhely (listaelem) az adatelem értékén kívül egy mutatót tartalmaz, amely a következő listaelem címét tartalmazza. A láncolt lista első elemének címét egy, a láncszerkezeten

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Knoch László: Információelmélet LOGIKA

Knoch László: Információelmélet LOGIKA Mi az ítélet? Az ítélet olyan mondat, amely vagy igaz, vagy hamis. Azt, hogy az adott ítélet igaz vagy hamis, az ítélet logikai értékének nevezzük. Jelölése: i igaz h hamis A 2 páros és prím. Logikai értéke

Részletesebben

C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika

C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika Dr. Schuster György 2011. június 16. C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika 2011. június 16. 1 / 15 Pointerek (mutatók) Pointerek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Teljesen elosztott adatbányászat alprojekt

Teljesen elosztott adatbányászat alprojekt Teljesen elosztott adatbányászat alprojekt Hegedűs István, Ormándi Róbert, Jelasity Márk Big Data jelenség Big Data jelenség Exponenciális növekedés a(z): okos eszközök használatában, és a szenzor- és

Részletesebben

QualcoDuna jártassági vizsgálatok - A 2014. évi program rövid ismertetése

QualcoDuna jártassági vizsgálatok - A 2014. évi program rövid ismertetése QualcoDuna jártassági vizsgálatok - A 2014. évi program rövid ismertetése Szegény Zsigmond WESSLING Közhasznú Nonprofit Kft., Jártassági Vizsgálati Osztály szegeny.zsigmond@qualcoduna.hu 2014.01.21. 2013.

Részletesebben

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,

Részletesebben

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 20. INFORMATIKAI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Megoldási útmutató I.

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Egyszerű programozási tételek

Egyszerű programozási tételek Egyszerű programozási tételek 2. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. szeptember 15. Sergyán (OE NIK) AAO 02 2011. szeptember 15.

Részletesebben

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak... Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...) Története Az ókortól kezdve rengeteg feltört titkosírás létezik. Monoalfabetikus

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

Geometriai algoritmusok

Geometriai algoritmusok Geometriai algoritmusok Alapfogalmak Pont: (x,y) R R Szakasz: Legyen A,B két pont. Az A és B pontok által meghatározott szakasz: AB = {p = (x,y) : x = aa.x + (1 a)b.x,y = aa.y + (1 a)b.y),a R,0 a 1. Ha

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Új műveletek egy háromértékű logikában

Új műveletek egy háromértékű logikában A Magyar Tudomány Napja 2012. Új műveletek egy háromértékű logikában Dr. Szász Gábor és Dr. Gubán Miklós Tartalom A probléma előzményei A hagyományos műveletek Az új műveletek koncepciója Alkalmazási példák

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0813 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Függőségek felismerése és attribútum halmazok lezártja

Függőségek felismerése és attribútum halmazok lezártja Függőségek felismerése és attribútum halmazok lezártja Elméleti összefoglaló Függőségek: mezők közötti érték kapcsolatok leírása. A Funkcionális függőség (FD=Functional Dependency): Ha R két sora megegyezik

Részletesebben

Fuzzy rendszerek és neurális hálózatok alkalmazása a diagnosztikában

Fuzzy rendszerek és neurális hálózatok alkalmazása a diagnosztikában Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Fuzzy rendszerek és neurális hálózatok alkalmazása a diagnosztikában Cselkó Richárd 2009. október. 15. Az előadás fő témái Soft Computing technikák alakalmazásának

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS. A minta és mintavétel

KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS. A minta és mintavétel KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS A minta és mintavétel 1 1. A MINTA ÉS A POPULÁCIÓ VISZONYA Populáció: tágabb halmaz, alapsokaság a vizsgálandó csoport egésze Minta: részhalmaz, az alapsokaság azon része,

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia előadás jegyzet

Mesterséges Intelligencia előadás jegyzet Mesterséges Intelligencia előadás jegyzet MI alkalmazási területei 1. ÍRÁSFELISERÉS ORC optikai karakter felismerés 2. BESZÉDFELISMERÉS beszélt szövegből text file a betűk nem azonos módon ejtődnek ki

Részletesebben