III.4. JÁRŐRÖK. A feladatsor jellemzői

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "III.4. JÁRŐRÖK. A feladatsor jellemzői"

Átírás

1 III.4. JÁŐÖK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebra (és számelmélet), szöveges feladatok, mozgásos feladatok, geometria. Előzmények Az idő fogalma, mértékegység-váltás (perc óra), a sebesség fogalma: közös többszörös, relatív prím fogalma. Cél s v, legkisebb t Mozgásos feladatok előkészítése, mozgásos szituációk elképzelése, lejátszása fejben vagy eszközökkel, különböző megoldási módszerek megismerése. A modellalkotás és szövegértés fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben + Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése A matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata + Felhasználási útmutató Az ilyen típusú feladatoktól általában félnek a gyerekek, mert nehéznek érzik. Ez a feladatsor is látszólag bonyolult, pedig remélhetően kiderül nagyon egyszerű lépésekkel, ötletek nélkül megoldható, csak el kell képzelni a helyzetet, és egy picit számolni kell. Mindig érdemes egy teljes megoldás után visszakérdezni, hogy: Mi okozott nehézséget neked a megoldásban?, illetve, hogy: Látva a megoldást, mit tartasz nehéznek?. Ez azért fontos, mert sok gyereknek el is kell hinnie, hogy meg tudja oldani a feladatokat. Érdemes többféle megoldási módszert, gondolatmenetet összegyűjteni. Javasoljuk a gyerekeknek konkrét szituációk elképzelését, illetve lejátszását, kis számítás, előkészítés után a mozgás elképzelését, annak megállapítását, hogy adott időpillanatban hol vannak az autók! Az órán érdemes párokban dolgozni (kék és fehér, azaz külső és belső járőrautó), a feladatok megoldása során lehet modellezni a települést és az autókat. Az 1. c) és az 1. d) feladatok az 1. a) és az 1. b) feladatok megbeszélése után önálló munkában, akár otthon is megoldhatóak. A 3. b) feladatnál hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hogy a külső autó többféle sebességgel haladhat! III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 1.oldal/10

2 A feladatok megoldása közben érdemes megfigyelni, hogy értik-e a diákok a feladat szövegét. (Külső és belső körút, sebesség, irány, találkozás stb.) Tudnak-e sebességből és távolságból menetidőt számolni? Tudnak-e értelemszerű és megfelelő információkat kiszűrni, és a feladat megoldásához egyszerű számításokkal eljutni? A feladatok megoldásának különböző eredményességi szintjei lehetnek: a szituáció megértése; egy-egy autó menetrendjének kiszámítása; a menetrendek összevetése; a következtetések meghozása, válaszadás; a megoldás célszerű leírása; ötletes, az autók sebessége alapján számolással célhoz érő, rajzos, ábrás, grafikonos megoldás. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 2.oldal/10

3 JÁŐÖK Feladat sor Egy kistelepülés úthálózatát látjuk. A belső körút négyzet alakú, és minden utca 500 méter hosszú. Minden nap sötétedéstől másnap reggel 7-ig két szuper-lassú járőrautó biztosítja az ott lakók nyugalmát. Ha bármilyen problémát észlelnek, akkor nem állnak meg, hanem azonnal betelefonálnak a re, és onnan egy motoros járőr siet a helyszínre. A kék színű Külső Járőrautó a tól indul, és a külső utcákat járja körbe-körbe, míg a fehér színű Belső Járőrautó a elől indul, és a belső körúton cirkál az ábrán feltüntetett irányokban. HÉTFŐ 1. Hétfőn mindkét járőrautó állandó 12 km/h sebességgel rótta az utcákat. Este 10 órakor a Külső autó éppen a előtt, míg a Belső autó a előtt haladt el. a) Hány percig tart az egyik, illetve a másik autónak, míg megtesznek egy teljes kört? b) Találkozik-e a két autó valahol az éjszaka folyamán? Ha igen, akkor hánykor és hol? Add meg az összes találkozási helyszínt és időpontot! c) Hajnali 3 óra 15 perckor a belső autós járőr valami problémát észlelt, és azonnal riasztotta a motorost, aki 60 km/h átlagsebességgel haladva gyorsan a helyszínre ért. Hány órakor érkezett a motoros és hova? d) Hajnali 4 órakor valamelyik járőrautó riasztotta a motoros járőrt. Vajon hová ment a motoros? III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 3.oldal/10

4 K EDD 2. Mivel hétfő hajnalban volt egy kis zűr a városban, így kedden a külső járőrautó állandó 18 km/h sebességgel haladt, míg a belső sebessége 9 km/h volt. Este 10 órakor a külső autó éppen a előtt, míg a belső a előtt haladt el. a) Találkozik-e a két autó valahol az éjszaka folyamán? Ha igen, akkor hánykor és hol? b) Az autók közötti rádiókapcsolat éjfélkor hirtelen megszakadt. A járőrök elővették a tartalék kézi adó-vevőjüket, de ezek hatótávolsága nem nagyobb 750 méternél. Egy perc negyven másodperc elteltével egyikük hívta a másik kocsit. Vajon tudtak-e egymással beszélni? SZEDA 3. a) Szerdára teljesen megnyugodott a város. Ekkor a külső autó 10 km/h sebességgel cirkált egész éjszaka, míg a belső 12 km/h sebességgel. Este 10 órakor mindkét autó éppen a nál haladt el. Találkoznak-e az éjszaka folyamán ismét a nál? b) Szerda este a két járőr kicsit összeveszett, így, miután pontban kor a nál voltak, már nem akartak többet találkozni reggelig. A belső autó továbbra is 12 km/h sebességgel haladt, a külső 8 km/h-ra csökkentette sebességét, hogy ne találkozzanak többé. Vajon sikerülhetett-e egész éjjel elkerülniük egymást? III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 4.oldal/10

5 MEGOLDÁSOK 1. a) A külső körút 4 km hosszú, így a külső autónak 12 km/h-s sebességgel haladva 1/3 óráig, vagyis 20 percig tart az út. A belső körút éppen fele olyan hosszú, így a belső autónak csak 2 km-t kell megtennie, ami 10 percig tart. b) Első megoldás (elemi) Kis folyamatábrán követjük az autók útját. A két autót a két kör szimbolizálja (a vastagabb vonallal határolt kör jelzi a belső autót) Jól látszik, hogy az autók 10 perc múlva találkoznak a nél, majd újabb 10 perc múlva visszaáll a kiindulási helyzet. (Ez a 10, illetve a 20 perces menetidőket figyelembe véve érthető.) Majd minden kezdődik elölről. Tehát az autók 20 percenként találkoznak a nél kor, kor, kor, kor... Második megoldás (a mozgás linearizálása, periodikusság, lkkt) Figyeljük az autók szirénáit, amelyek a 4 csúcspontban, a két körút találkozásánál villannak nagyot. A külső autó szirénája (5 perces eltolódásokkal) 20 percenként villan egy-egy csúcsban, a fehér autó szirénája (2,5 percenkénti eltolódásokkal) 10 percenként villan egy-egy csúcsban. 1. ábrázolás időtengelyeken a villanás helyének összehasonlítása Fehér autó B B B Idő Kék autó B B Idő III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 5.oldal/10

6 A két autó akkor találkozik, ha egy csúcsban egyszerre villan a két sziréna. Mivel a kezdeti villanás 2 sarokra történt, így leolvasható, hogy től kezdve 20 percenként találkoznak (lkkt (4,8) = 8). 2. ábrázolás helytengelyeken a villanás idejének összehasonlítása Fehér autó B B B Hely Kék autó B B B Hely Harmadik megoldás (következtetéses megoldás fejben mozizóknak ) Mivel a két autó sebessége ugyanakkora, így amíg a külső autó megtesz egy kört, addig a belső két kört megy, vagyis amíg a külső megtesz fél kört, addig a belső egy kört megy, azaz éppen visszaér a re. Mivel a a től fél körre van, így éppen találkoznak a nél. Innen számítva a belső újabb 2 kör megtétele után találkozik a külső autóval a nél stb. Tehát az autók 20 percenként találkoznak a nél: kor, kor, kor, kor Negyedik megoldás (az ÁNYÉK színre lép, az ötlet szerepe) Vegyük úgy, hogy a kék autónak van egy árnyéka, ami feleakkora sebességgel halad, de a belső körúton. (Tulajdonképpen levetítjük a mozgását a belső körútra merőlegesen.) A kék és a fehér autó pontosan akkor találkozik, amikor az árnyék és a belső autó találkozik, de csakis a két körút 4 közös csúcspontjának egyikében. Most az árnyék sebessége a belső autó sebességének a fele, így mivel a két autónak kezdetben fél kör volt a távolsága, először akkor találkoznak, amikor az árnyék éppen fél kört, a belső autó pedig egy kört haladt. Ez a nél lesz kor. Innen számítva a belső autó elhagyja az árnyékot, és két kör megtétele után éri utol (körözi le) ismét a nél stb. Tehát az autók 20 percenként találkoznak a nél: kor, kor, kor, kor c) A belső autó 10 percenként visszaér a hez, így kor is ott van. 5 perccel később a belső körút felénél jár, azaz kor éppen a nál lesz. A motorosnak 1 km-t kell robognia, azaz 1 perc alatt odaért a hoz. d) Hajnali 4 órakor a belső autó a nél volt, a külső pedig a nál. Így a motorosnak nem kellett sokat gondolkoznia, hogy melyik riasztási helyszínt válassza. A hoz indult sebesen. 2. a) Első megoldás (a sebességek aránya a fontos) Mivel a külső körúton haladó külső autó kétszer akkora sebességgel halad, mint a belső, így ugyanannyi idő alatt kétszerannyi utat tesz meg. Míg a belső 500 métert gurul, addig a külső 1000 métert, így ismét átlósan szemben lesz a két autó. Ez így folytatódik az éjszaka során, így ezen az éjjelen nem találkozik többet a két autó. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 6.oldal/10

7 Illusztráció: Második megoldás (ismét segít az árnyék) Az árnyék [lásd 1. a) feladat Negyedik megoldás] és a belső autó is 9 km/h-s sebességgel halad a belső körúton. Így a két autó sohasem találkozhat többet ezen az éjjelen. b) Az előző megoldás illusztrációjában a 2. ábra ezt az időpontot mutatja. 750 m Kerek órakor, így éjfélkor is a két autó mindig éppen az indulási helyén lesz, vagyis a külső a nál, a belső a nél. A belső autó sebessége 9 km/h, azaz 9000 m m 2,5, így 1perc 40 másodperc azaz 100 másodperc alatt 250 m utat tesz 3600s s meg. A külső autó kétszer ilyen gyors, az ő útja ezalatt 1 km. Elhelyezkedésük az ábrának megfelelő, távolságuk a négyzet oldala + a szabályos háromszög magassága, ami a szabályos háromszög tulajdonságai alapján nagyobb, mint az oldalának fele (ui.: látszik, vagy nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van a szabályos háromszög egyik felében). Így a távolság egyszerű alsó becslése a négyzetoldal + fél négyzetoldal távolsággal adódó 750 méter. (A szabályos háromszög magasságának ismeretében természetesen pontosabban is szá- 3 molhatunk, a távolság m.) 2 Természetesen a becslésünkből adódóan nem ez az egyetlen időpont és az egyetlen helyzet, amikor a két autó távolsága nagyobb, mint 750 méter; az itt mondottakhoz képest egy picit előbb és később is vannak ilyen időpontok és az ezekhez tartozó megfelelő helyzetek. 3. a) Első megoldás (barkács) A külső autó 24 perc alatt megy egy teljes kört (4 km), a fehér autó 10 perc alatt (2 km). A külső autó a nál van: 22 24, 22 48, 23 12, 23 36, 24 00, 0 24, 0 48 III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 7.oldal/10

8 A belső autó a nál van: 22 10, 22 20, 22 30, 22 40, 22 50, 23 00, 23 10, 23 20, 23 30, 23 40, 23 50, 24 00, 0 10 Tehát találkoznak újra a nál. Először éjfélkor találkoznak újra a nál, majd rendre kétóránként. Éjjel 2-kor, 4-kor, 6-kor. Második megoldás (tipikus sebességekkel manipuláló megoldás, a lekörözés fogalma) A külső autó árnyéka [lásd 1.a) 4. megoldás] 5 km/h sebességgel halad, míg a belső autó 12 km/h sebességgel. Egy kör 2 km hosszú. Ha t óra múlva találkoznak (nem biztos, hogy valódi találkozás ez) először, akkor a külső autó 5t a belső pedig 12t km-t tett meg. Ebben a pillanatban a belső autó éppen egy körrel ment többet a külsőnél, így: 12t = 5t + 2, ahonnan t = Ezek után is hasonlóan rendre -óránként találkoznak. óra alatt a belső autó = 3 km-t haladt. Keressük az első olyan (biztosan valódi) találkozást, ami a nál lesz. Ez akkor következik be, amikor a megtett út a 2 km egész számú 7 7 többszöröse. Vegyük a 7 2 óránként adódó megtett utakat: 3 7 3, 6 7 6, , , , , 24,, vagyis a 7. találkozás lesz először a nál. Ez = 2 óra múlva, azaz éjfélkor következik be. Legközelebb hasonlóan éjjel 2-kor, majd 4-kor, illetve 6-kor találkoznak a nál. 24 [Ha a k. találkozás az első a nál, akkor k = 2n (k és n pozitív egészek), ahonnan 7 12k n. Mivel a tört értéke egész szám és a 12 és a 7 relatív prímek, így a k = 7 a legkisebb pozitív 7 megoldás.] Harmadik megoldás ( itt szalad a legkisebb közös többszörös ) A külső autó árnyéka 5 km/h sebességgel halad, míg a belső autó 12 km/h sebességgel. A külső autó egy kört óra alatt tesz meg, míg a belső autó óra alatt. Mi vel,. Számoljunk tovább a 12-vel és az 5-tel. (Számolhatnánk a perccel és a 10 perccel is. Lkkt (10, 24) = 120, folytatás a továbbiakban leírtaknak megfelelően.) Olyan időt keresünk, amely a 12-nek és az 5-nek is többszöröse. A legkisebb ilyen a 60, tehát 5 2, azaz 2 óra múlva éjfélkor találkoznak ismét a nál. A találkozások ezután is 2 óránként lesznek a nál. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 8.oldal/10

9 b) Megmutatjuk, hogy ha a külső autó sebessége bármely, a belsőénél nem nagyobb páros szám, akkor mindenképpen találkoznak még az éjszaka folyamán. (Érdemes először egy egyszerű, a konkrét feladatra vonatkozó megoldást megmutatni a tanulóknak, s csak aztán mint általánosítást, az ittenit!) Első megoldás (barkács) Találkozás csak a belső körút 4 csúcsában lehetséges. A belső autó 1 óra alatt 12 km-t halad, így 500 métert 2,5 perc alatt tesz meg. A menetiránynak megfelelően a belső körút csúcsai: B (), C, (), D. Készítsünk táblázatot, amiből kiderül, hánykor hol van a belső autó, illetve a külső autó lehetséges sebességei esetén mi a helyzet! B B B B B B B Belső autó Külső autó, v = 12 km/h Külső autó, v = 10 km/h Külső autó, v = 8 km/h Külső autó, v = 6 km/h Külső autó, v = 4 km/h Külső autó, v = 2 km/h Külső autó, v = 0 km/h kor újra találkoznak Ha csak a et és a ot figyeljük, akkor is kiderül, hogy a két autó nem tudja elkerülni egymást. A külső autó bármilyen lehetséges sebessége esetén találkozni fognak, sőt ez többször is megtörténik az éjszaka folyamán. (Jobb lesz, ha gyorsan kibékülnek.) Második megoldás (tipikus sebességekkel manipuláló megoldás, relatív prímek) A külső autó árnyéka [lásd 1. a) Negyedik megoldás] 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6 km-t tesz meg óránként. Mivel az árnyék mindenképpen lassabb a belső autónál, így a belső autó a kék árnyékkal akkor találkozik először, amikor először lekörözi a külső autót. Ha ez t óra múlva történik, akkor 12t = t vagy 12t = t 2 + 2,, 12t = t 6 + 2, ahonnan t = vagy vagy vagy vagy vagy (óra) Ennyi idő alatt a belső autó által megtett út rendre: s = vagy vagy vagy vagy vagy kör Egy-egy ilyen találkozás akkor lesz valódi találkozás a külső és a belső autó között, ha a megtett út néhány negyedkör. Ezek alapján a kör és a kör már valódi találkozás. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 9.oldal/10

10 2 12 A t = és az s = esetén először a 11. találkozás lesz valódi találkozás, azaz 2 óra múlva futnak össze. (Ugyanis k csak akkor lesz páros szám, ha a nevezőben lévő gyel lehet egyszerűsíteni, azaz, ha 12k osztható 11-gyel. Mivel a 11 és a 12 relatív prímek, így k osztható 11-gyel. A legkisebb ilyen pozitív egész k a 11. ) A t = és az s = esetén először az 5. találkozás lesz valódi találkozás, azaz óra múlva futnak össze. (Ugyanis ) A t = és az s = esetén először a 3. találkozás lesz valódi találkozás, azaz óra múlva futnak össze. (Ugyanis ) 2 12 t =, s = esetén először a 7. találkozás lesz valódi találkozás, azaz 2 óra múlva futnak össze. (Ugyanis ) 7 7 A külső autó bármilyen lehetséges sebessége esetén találkozni fognak, sőt ez többször is megtörténik az éjszaka folyamán. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 10.oldal/10

III.4. JÁRŐRÖK. A feladatsor jellemzői

III.4. JÁRŐRÖK. A feladatsor jellemzői III.4. JÁŐÖK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebra (és számelmélet), szöveges feladatok, mozgásos feladatok, geometria. Előzmények Az idő fogalma, mértékegység-váltás (perc óra), a sebesség fogalma:

Részletesebben

V.2. GRAFIKONOK. A feladatsor jellemzői

V.2. GRAFIKONOK. A feladatsor jellemzői V.2. GRAFIKONOK Tárgy, téma Grafikonok, diagramok. Előzmények A feladatsor jellemzői Egyenes vonalú egyenletes mozgás, sebesség út idő összefüggésének ismerete. Átlagsebesség. Cél Különböző grafikonok,

Részletesebben

VI.9. KÖRÖK. A feladatsor jellemzői

VI.9. KÖRÖK. A feladatsor jellemzői VI.9. KÖRÖK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői A kör területe, arányok változatlansága sokszorozás esetén. Előzmények Cél A kör részeinek területe egyszerű esetben, szimmetriák, a négyzet és átlójának

Részletesebben

A foglalkoztatottak munkába járási, ingázási sajátosságai

A foglalkoztatottak munkába járási, ingázási sajátosságai 2009/2 Összeállította: Központi Statisztikai Hivatal www.ksh.hu III. évfolyam 2. szám 2009. január 09. A foglalkoztatottak munkába járási, ingázási sajátosságai A tartalomból 1 Főbb megállapítások 2 A

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

1255 Budapest, Pf. 161. web: www.veke.hu e-mail: veke@veke.hu adószám: 18104202-1-42. Trükkök százai

1255 Budapest, Pf. 161. web: www.veke.hu e-mail: veke@veke.hu adószám: 18104202-1-42. Trükkök százai 1255 Budapest, Pf. 161. web: www.veke.hu e-mail: veke@veke.hu adószám: 18104202-1-42 Trükkök százai Saját magunk után az EU-t is becsapjuk a 4-es metró megtérülési adataival? Nyilvánosságra került a nyári

Részletesebben

Az oszlopdiagram kinézhet például úgy, mint a bal oldali ábra. 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2. Kategória busz teherautó furgon személyautó összesen

Az oszlopdiagram kinézhet például úgy, mint a bal oldali ábra. 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2. Kategória busz teherautó furgon személyautó összesen STATISZTIKA 9.7. STATISZTIKA Az adatok ábrázolása megoldások wx76 Az oszlopdiagram kinézhet például úgy, mint a bal oldali ábra. Napi futásteljesítmény Almafajták megtett kilométerek 9 7 6 hétfô kedd szerda

Részletesebben

Sebesség A mozgás gyorsaságát sebességgel jellemezzük. Annak a testnek nagyobb a sebessége, amelyik ugyanannyi idő alatt több utat tesz meg, vagy

Sebesség A mozgás gyorsaságát sebességgel jellemezzük. Annak a testnek nagyobb a sebessége, amelyik ugyanannyi idő alatt több utat tesz meg, vagy Haladó mozgások Alapfogalmak: Pálya: Az a vonal, amelyen a tárgy, test a mozgás során végighalad. Megtett út : A pályának az a szakasza, amelyet a mozgó tárgy, test megtesz. Elmozdulás: A kezdőpont és

Részletesebben

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály SZENT ISTVÁN RÓMAI KATOLIKUS ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS ÓVODA 5094 Tiszajenő, Széchenyi út 28. Tel.: 56/434-501 OM azonosító: 201 669 Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály 1. Hányféleképpen lehet

Részletesebben

Óravázlat. A szakmai karrierépítés feltételei és lehetőségei Szakmai feladatok

Óravázlat. A szakmai karrierépítés feltételei és lehetőségei Szakmai feladatok Osztály: Tantárgy: 9. évfolyam matematika Óravázlat Téma: Résztémák: Időigény: Munkaforma: Kiemelt készségek, képességek: A szakmai karrierépítés feltételei és lehetőségei Szakmai feladatok Logikai feladatok

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Az első oldalon 1-gyel kezdve egyesével beszámozták egy könyv összes oldalát. Hány oldalas ez a könyv, ha ehhez 55 számjegyet használtak fel? Az első 9 oldalhoz 9 számjegyet használtak, a további

Részletesebben

3 6. 3 4. o.: 1 50. feladat 5 6. o.: 26 75. feladat. Mérünk és számolunk 2011. Egységnyi térfogatú anyag tömege

3 6. 3 4. o.: 1 50. feladat 5 6. o.: 26 75. feladat. Mérünk és számolunk 2011. Egységnyi térfogatú anyag tömege Jármezei Tamás Egységnyi térfogatú anyag tömege Mérünk és számolunk 211 FELADATGYŰJTEMÉNY AZ ÁLTALÁNOS ISKOLA 3 6. ÉVFOLYAMA SZÁMÁRA Jedlik-verseny I. forduló 3 4. o.: 1 5. feladat 5 6. o.: 26 75. feladat

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Egy asztal körül 24-en ülnek, mindannyian mindig igazat mondanak. Minden lány azt mondja, hogy a közvetlen szomszédjaim közül pontosan az egyik fiú, és minden fiú azt mondja, hogy mindkét közvetlen

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 2.

Matematikai statisztikai elemzések 2. Matematikai statisztikai elemzések 2. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek. A szórás és szóródás Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 2.: Helyzetmutatók, átlagok, Prof. Dr. Závoti,

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 7. MA3-7 modul. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 7. MA3-7 modul. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 7. MA3-7 modul Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

Név:. Dátum: 2013... 01a-1

Név:. Dátum: 2013... 01a-1 Név:. Dátum: 2013... 01a-1 Ezeket a szorzásokat a fejben, szorzótábla nélkül végezze el! 1. Mennyi 3 és 3 szorzata?.. 2. Mennyi 4 és 3 szorzata?.. 3. Mennyi 4 és 4 szorzata?.. 4. Mennyi 5 és 3 szorzata?..

Részletesebben

Matematika javítókulcs

Matematika javítókulcs 2003 ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS Matematika javítókulcs 6. évfolyam Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény - Értékelési Központ ÁLTALÁNOS TUDNIVALÓK A 2003-as tavaszi felmérés célja a tanulók

Részletesebben

2. témakör: Számhalmazok

2. témakör: Számhalmazok 2. témakör: Számhalmazok Olvassa el figyelmesen az elméleti áttekintést, és értelmezze megoldási lépéseket, a definíciókat, tételeket. Próbálja meg a minta feladatokat megoldani! Feldolgozáshoz szükségesidö:

Részletesebben

A boldog felhasználó

A boldog felhasználó A boldog felhasználó Ingyenes e-book, a Felhasználó Update csapattól Írta: Vidi Rita Mi a különbség a begyakorolt, monoton, örökké félelmetesnek tűnő felhasználás, és a tudás alapú, céltudatos, örömfelhasználás

Részletesebben

Indul a nyár a vasúton is Június 21-től életbe lép a nyári menetrend

Indul a nyár a vasúton is Június 21-től életbe lép a nyári menetrend Indul a nyár a vasúton is Június 21-től életbe lép a nyári menetrend 2014. június 20. péntek, 00.00 / Utolsó módosítás: 2014. augusztus 19. kedd, 11.46 Siófok, 2014. június 20. Szombattól nyári menetrend

Részletesebben

EMLÉKFAL - PINGPONGÜTŐKBŐL

EMLÉKFAL - PINGPONGÜTŐKBŐL EMLÉKFAL - PINGPONGÜTŐKBŐL DR FARAGÓ SÁNDOR emlékversenyt rendez a Szent Margit Rendelőintézet 2009. október 17-én, 17.00 órakor. 2009-2010. évben Óbudán a Szent Margit Rendelőintézet szervezésében egy

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

Rátz László Matematikai kvízverseny 5. osztály

Rátz László Matematikai kvízverseny 5. osztály Rátz László Matematikai kvízverseny 5. osztály 2010. november 26. 1. feladat Ez a különleges óra a pontos időt mutatja. Az első sor ötórás intervallumokat számol (minden ötóránként vált szürkére), a második

Részletesebben

Tervezett menetrendi változások 2014. szeptember 1-től

Tervezett menetrendi változások 2014. szeptember 1-től Tervezett menetrendi változások 2014. szeptember 1-től 2014. szeptember 1-jétől a sűrűbb közlekedést biztosító, őszi-téli menetrend szerint közlekednek járataink. Legfőbb változás, hogy szinte minden vonalon

Részletesebben

Engedjétek meg, hogy egy személyes élményemet megosszam veletek.

Engedjétek meg, hogy egy személyes élményemet megosszam veletek. 1 Engedjétek meg, hogy egy személyes élményemet megosszam veletek. Tavalyelőtt egy koppenhágai látogatásom alkalmával az első reggel - egy vasárnap délelőtt Kilépek a szállásom kapuján, amikor hirtelen

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉS-ÜZEMVITEL)

KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉS-ÜZEMVITEL) ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. október 12. KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉS-ÜZEMVITEL) KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 12. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

SZÁMÍTÓGÉPES ÚTITERV KÉSZÍTÉS AZ AGGLOMERÁCIÓ KÖZFORGALMÚ KÖZLEKEDÉSÉHEZ

SZÁMÍTÓGÉPES ÚTITERV KÉSZÍTÉS AZ AGGLOMERÁCIÓ KÖZFORGALMÚ KÖZLEKEDÉSÉHEZ SZÁÍTÓGÉPES ÚTITERV KÉSZÍTÉS AZ AGGLOERÁCIÓ KÖZFORGALÚ KÖZLEKEDÉSÉHEZ CSISZÁR CSABA BEVEZETÉS Egy utazás megkezdése előtt gyakran tanácstalan a leendő utas. Különösen igaz ez, ha közforgalmú közlekedési

Részletesebben

Matematikaóra-tervezet

Matematikaóra-tervezet Matematikaóra-tervezet "Mondd el és elfelejtem; Mutasd meg és megjegyzem; Engedd, hogy csináljam és megértem." (Kung Fu-Ce) Készítette: Horváth Judit Osztály: 3. osztály (év vége) Tantárgy: matematika

Részletesebben

IV.4. EGYENLŐTLENSÉGEK. A feladatsor jellemzői

IV.4. EGYENLŐTLENSÉGEK. A feladatsor jellemzői IV.4. EGYENLŐTLENSÉGEK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Egyenlőtlenségek megoldási módszerei, egyenlőtlenségekre vezető szöveges feladatok megoldása. A legalább és legfeljebb fogalma. Előzmények Egyenletek

Részletesebben

Indiai titkaim 5 - nagy kupac csomag

Indiai titkaim 5 - nagy kupac csomag 2010 szeptember 05. Flag 0 Értékelés kiválasztása Még nincs értékelve Értéke: 1/5 Értéke: 2/5 Mérték Értéke: 3/5 Értéke: 4/5 Értéke: 5/5 Eljött a nagy nap. 1993. december 13-a, Luca napja. Indulás Indiába

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória 2005. január 12. feladatok kidolgozására két óra áll rendelkezésre. Számológép nem használható. példák tetszőleges sorrendben megoldhatók.

Részletesebben

Bevetésen egy iraki küldetés feladatai Trigonometria 2. feladatcsomag

Bevetésen egy iraki küldetés feladatai Trigonometria 2. feladatcsomag Bevetésen egy iraki küldetés feladatai Trigonometria 2. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 16 18 év modellezés, modellalkotás, alkalmas modellek keresése adatok olvasása táblázatból trigonometriai

Részletesebben

Na, hát akkor tegyünk rendet a fejekben. Nem lesz egyszerű, mert úgy látom nagy a baj.

Na, hát akkor tegyünk rendet a fejekben. Nem lesz egyszerű, mert úgy látom nagy a baj. Snipi matraca Na, hát akkor tegyünk rendet a fejekben. Nem lesz egyszerű, mert úgy látom nagy a baj. Idézet Majik-tól: Vegyük az ágymatrac vastagságát 30cm-nek. Mivel nincs a falra szorítva, csak odatámasztjuk,

Részletesebben

TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB TÉGLALAP, NÉGYZET, KÖR

TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB TÉGLALAP, NÉGYZET, KÖR Matematika A 3. évfolyam TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB TÉGLALAP, NÉGYZET, KÖR 40. modul Készítette: SZILI JUDIT (A 11., 13., 15. PONTOT: LÉNÁRT ISTVÁN) matematika A 3. ÉVFOLYAM 40. modul TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB

Részletesebben

ZÁRÓJELENTÉS. 2009-583-5 vasúti baleset Enese és Ikrény 2009. november 19. 999 sz. vonat

ZÁRÓJELENTÉS. 2009-583-5 vasúti baleset Enese és Ikrény 2009. november 19. 999 sz. vonat ZÁRÓJELENTÉS 2009-583-5 vasúti baleset Enese és Ikrény 2009. november 19. 999 sz. vonat A szakmai vizsgálat célja a súlyos vasúti balesetek, a vasúti balesetek és a váratlan vasúti események okainak, körülményeinek

Részletesebben

Matematika C 10. osztály 10. modul Bolyai-geometria (Hiperbolikus geometria)

Matematika C 10. osztály 10. modul Bolyai-geometria (Hiperbolikus geometria) Matematika C 10. osztály 10. modul Bolyai-geometria (Hiperbolikus geometria) Készítette: Lénárt István Matematika C 10. évfolyam 10. modul: Bolyai-geometria Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Főfeladatok: 30 aranyrúd

Főfeladatok: 30 aranyrúd Lovagi Logikai torna 2016 Fegyverhordozók feladatai Főfeladatok: 1. Mikor fordult elő utoljára, hogy az aktuális dátumban minden számjegy különböző? A dátumokat ÉÉÉÉ.HH.NN. formában írjuk. 2000-rel kezdődő

Részletesebben

ZÁRÓJELENTÉS. 2012-067-5 vasúti baleset Budapest, Nagykőrösi út 2012. február 1. 3-as viszonylatú villamos

ZÁRÓJELENTÉS. 2012-067-5 vasúti baleset Budapest, Nagykőrösi út 2012. február 1. 3-as viszonylatú villamos ZÁRÓJELENTÉS 2012-067-5 vasúti baleset Budapest, Nagykőrösi út 2012. február 1. 3-as viszonylatú villamos A szakmai vizsgálat célja a súlyos vasúti balesetek, a vasúti balesetek és a váratlan vasúti események

Részletesebben

ÍRÁSBELI KIVONÁS. 31. modul. Készítette: KONRÁD ÁGNES

ÍRÁSBELI KIVONÁS. 31. modul. Készítette: KONRÁD ÁGNES Matematika A 3. évfolyam ÍRÁSBELI KIVONÁS 31. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 3. ÉVFOLYAM 31. modul ÍRÁSBELI KIVONÁS MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Bor Pál Fizikaverseny, középdöntő 2012/2013. tanév, 7. osztály

Bor Pál Fizikaverseny, középdöntő 2012/2013. tanév, 7. osztály Bor Pál Fizikavereny, középdöntő 2012/201. tanév, 7. oztály I. Igaz vagy hami? (8 pont) Döntd el a következő állítáok mindegyikéről, hogy mindig igaz (I) vagy hami (H)! Írd a or utoló cellájába a megfelelő

Részletesebben

ő ő ő ő ű Ó ő ő ű ű ő ő Ó ő ő ő ő ő ő ű ő ő ű ű ő ő ű Ó ő ő ő Ó ő ű ő ő ő ű ű ű ő ő ő ő ő ő ő Ó ő ő ő ű ő ő ő ő ő ű ő ő Ó ő ő ű ő ő ő ő ő ő ő ű ű ő ő ő ű ű ő ű ő ő Ó Ó ő Ó Ó ő Ó ű ő ő ő ő ő ű ő ű ű ű ű

Részletesebben

Fizikai példatár 3. 3. Mechanika II. Csordásné Marton, Melinda

Fizikai példatár 3. 3. Mechanika II. Csordásné Marton, Melinda Fizikai példatár 3. 3. Mechanika II. Csordásné Marton, Melinda Fizikai példatár 3.: 3. Mechanika II. Csordásné Marton, Melinda Lektor: MIhályi, Gyula Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

EGÉSZ SZÁMOK. 36. modul

EGÉSZ SZÁMOK. 36. modul Matematika A 3. évfolyam EGÉSZ SZÁMOK 36. modul Készítette: zsinkó erzsébet matematika A 3. ÉVFOLYAM 36. modul EGÉSZ számok MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Írjunk együtt könyvet! A projektmódszer

Írjunk együtt könyvet! A projektmódszer Történelemtanítás a gyakorlatban Írjunk együtt könyvet! A projektmódszer Stefány Judit Az utóbbi tíz esztendőben az üzleti, gazdasági élet és fokozatosan a pályázati lehetőségek kiszélesedésével minden

Részletesebben

Új vezetési és pihenőidők 2007-től

Új vezetési és pihenőidők 2007-től Új vezetési és pihenőidők 2007-től Hatályba léptetés Végre egy jogszabály, amely kellőidőt hagy az alkalmazásához szükséges felkészülésre! Ugyanis az új EK-rendeletben előírtak egy év múlva, vagyis 2007.

Részletesebben

file://c:\coeditor\data\local\course410\tmp.xml

file://c:\coeditor\data\local\course410\tmp.xml 1. oldal, összesen: 16 Tanulási célok: A lecke feldolgozása után Ön képes lesz: saját szavaival meghatározni a menetrend fogalmát; saját szavaival meghatározni a menetrend tartalmának kötelező részeit;

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

SZKB209_04. Ahogy a testünkkel bánunk

SZKB209_04. Ahogy a testünkkel bánunk SZKB209_04 Ahogy a testünkkel bánunk SZKB 9_01_diák.indd 37 2006.12.22. 12:16:25 SZKB 9_01_diák.indd 38 2006.12.22. 12:16:25 Diákmelléklet Ahogy az idõnkkel bánunk 39 Tanulói mellékletek D1 (Ahogy az idônkkel

Részletesebben

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS GÉPJÁRMŰ MENETÍRÓK HE 23-2000

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS GÉPJÁRMŰ MENETÍRÓK HE 23-2000 HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS HE 23-2000 Az adatbázisban lévő elektronikus változat az érvényes! A nyomtatott forma kizárólag tájékoztató anyag! TARTALOMJEGYZÉK 1. AZ ELŐÍRÁS HATÁLYA... 4 2. MÉRTÉKEGYSÉGEK, JELÖLÉSEK...

Részletesebben

Modellek és változásaik a fizikában I.

Modellek és változásaik a fizikában I. Modellek és változásaik a fizikában I. Az ókor Kicsik vagyunk, de hódítani akarunk Kis képes relativitáselmélet azok számára, akik úgy hiszik, hogy meghatározó szerepük van a passzátszél előidézésében.

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest)

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest) NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre bontása csak ott lehetséges,

Részletesebben

Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA

Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Valószínűségszámítási paradoxonok

Valószínűségszámítási paradoxonok Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium Gimnazija sa domom učenika za talentovane učenike "Boljai" Valószínűségszámítási paradoxonok érettségi dolgozat valószínűségszámításból Tanuló: Tokić Rudolf

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

ZÁRÓJELENTÉS 2008-0014-5 VASÚTI BALESET Hejőkeresztúr és Nyékládháza állomások között 2008. január 10. A szakmai vizsgálat célja a súlyos vasúti balesetek, a vasúti balesetek és a váratlan vasúti események

Részletesebben

H í r l e v é l. 2011. április ÉLETET AJÁNDÉKOZOTT!

H í r l e v é l. 2011. április ÉLETET AJÁNDÉKOZOTT! H í r l e v é l Zarándokoknak, útépítőknek, partnereknek 2011. április Lelkivezetői gondolatok ÉLETET AJÁNDÉKOZOTT! 8 nappal Húsvét ünnepe előtt Jézus Krisztus megmutatta az emberiségnek és a világnak,

Részletesebben

ö Ö ü ö ü ö Ö ü ú ü ö ö ö ü ü ü ó ó ó í ö í ö ü ö ö ö í ö ü ö ö ö ü í ó ö ó ö ö í í í ü í ó ü ö í ó ö ö ü ü ú ó ö ö ó ö í ü ű ö ó ú í ö ű ö ű í ö ú ó ó í ó í ö Ó í ú Í ö ü Ö ű ű Ö í ú ó ö í ú ű Ö ö ö ö

Részletesebben

Ö í Ö Ü Ü í í ü ü í í í Ó Í í í í Ó í í íí Ó íí ü ü í í Á íí í ü Ü Ó Ü í í í ü í ü í í í í ü ü í ü í í ü ü ü í í í í ü í í í í í Ö í í ü í í ü ü ü Ó Ó ü í í í í ü ü ü Ö ü ü Ö í í í í í Ö ü í í í ü í í

Részletesebben

ú Ó ű Ó Ó ű ű ű ű ű ű ú ú Í ú Ö ú Á Ö ú ú ú Í ű ű ű ű ú ű ú Í ű Ú Ö ű ú Í Í ú ű ú ű ú ú ú ú ű Í ú Í ű ú ű Í ű ú ú Ú ű Á Ü ű ú ú ű ű ú Í ú ú É Í Í ú ú ú Í ú Ó ú ű ű Í Í ű ű Á Í ú ú Í Ö ű Ú ű Ó ú ú ú Ö ú

Részletesebben

Á Á Í Á Ú Á ő í í ö í í í ö ö ő ü ö í ö ü ö üí ő üí í ő ő ú ö í ö ú í í ő í í ö ú ű ö ú í í ú Í ö ú í í ő í Í ő í ö ú ű í Á Á Í Á ö ö í í í í í Ő É Ú Ú Í É Á ü ő ö ő í ö ö Á ö Í É ö ö É Ö É í ő Ö Ö Í Á

Részletesebben

íí ú Í í Ó í í ó ó í ó Ü í ü í Í í í í ü í í í í í í í í í í ó í ó í ű í ó ü ó ó ü ű Ü Ú Í Ö ó ó ű í í í í ó Ő ó í í ó í ó í í í ü ü ó í ü ü ó í ü Ó í ó ó ó ú ó ü í ó ó í í í í í í í ó ü ü üí Ü Ü í Í ü

Részletesebben

Á Ő É É ó ó ó ó ó ú ó ű ó ú Í Í ó Ö Á ó ó ó ó Í ó ó ó ó Í ű ó ű ű ó É ó ű ó ó ű ó ű ó ó ú ü ü ó ó ó ó ü ú ó ú ó ú ú ó ú ó ó Ú ó ó ú ú ű ó ú Á ü ú Í Ú ű Ú Ö Í Á Á É Á Á Á É Ó ó ó ó ú ó ó ű ó ü ó ó ó ó ó

Részletesebben

Á Ö Ú Á É É Ő ú ü ú ú ű Ü Ö ü ÚÍ ü ü ú Ü Ü ú ú ú Ó ú ú ú ű ú ú ű É ú ü ü ü ü Ü ü ü Ü ű ű ű ű ú Á Á Á Á Á ú ű ü ű Ü ű ú ű ü ű ü ű Ö ú Ü ű ú Ü É ű ü Ü ü ú Ü ú ú ú ü Ü Ü ü ü ú Í ü ü ú ü Á ü Ü ű ű ű ü ű É

Részletesebben

Ü ü ü ű ü ű Í ű ü ü ü ű ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ű Í ü ü ü ü ü Í É Á Á Í É Á Á Á Á Á Á Á Á Ó ű Á ű É É Á Á Á Á Á ű ü Á Á Ó Ó ü ü ű ü ű ü ü ü Í ű Í ü Í Í ü ü Í ü ü ü ü ü ű ü ü ü ü Í Ó É Ü Í Á ü ű Í ü Í Á Á

Részletesebben

ö Ö ö ó í ó ó í ö Ö í ö í ü ó ö Ö ö ö Á ö ö ö ö Ö ö ö ö ö ó ó ó ö ö ö ü ü ö ö ü í í í í ú ö ö ö ö í ö ö ó í ö ó ö ú ö ü ü ü ö ö í üí ö ö ü ó ö úí ö ó ö ó í ö ó í ö í í í ü ö ó ó ó ó ó ö ö í í ü ó ö ö í

Részletesebben

Ö É Á Ú É É É É Í Ü Ü Ő É ö É ö á ö í ü ü á á á á í á í á ö á á á á á á á í á á ö á á ö á á á á Á ö á á á ö í á ö á ü ö á ö í ü ü á Ő í á ö í í Ü á ü ö ö ü á á á Í á í á á ü ö íí á á í á á á á á í ü ö

Részletesebben

ö ü ö Ö ö ö Ö Á ö ö ö ö Ö ü í ö í í ú ú í ö ü ű ü ú í ü ű ö ö í í ü í ü í ü ü ű Á Á í Ú í ú ú í ö ü ö ö ö ö ü ö í ü í ö ü í í í í í í É ú ú É ü ü ű ú ú ö ü ö ü í í ü ö ü ú ú í ü ö ü ö ö ö ö ö ö ö Á ö Ö

Részletesebben

Í Í Í Á É É Í Ó Ó Í Á Á É Á Á Ö É Á Ö Á Á Á Í É É ű Í ű É É Ű Á Á Ó Á Á ű ű É Í Á Á Í Í É É É Á Ó Á Á Ó ű Í Á Á ű ű ű ű Á ű Í ű ű É Í Í Í ű ű ű ű Í ű ű ű ű ű ű Í É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É Í ű Í Í Í Ü

Részletesebben

ű ű Í ű Í Á ű ű Á É Á Á Á Á É Á Á É Ó ű Á Ő Ó É É É Á Í Á É Á Á Á Í Á É Á Ó Í Í ű ű ű Í Í ű Í ű Í Í ű Í Í ű ű ű Í ű ű ű ű ű Í ű ű Í Í ű Á Á ű ű ű ű Í ű Í ű ű ű ű ű Í Í ű Í ű ű Í Í Í É ű Í ű ű ű Í ű Í ű

Részletesebben

ú Ó Ö Ó ű Í Ó ú Í Ü Í Í Í Í ú Í Í Ú É Í Í Ü É Ü Ö Ü ú Í Í Í Í Í É Í Í Í Ó Í Í ú Í ú Í Í ú Ü Í Ü Í Í Í Í Ü Í Í ú Í Í Í ű Ú Í Í Í ú Í ú ú ú ú ú É Í Í Í Í ú Í Í Í Í Í Ü Í Ü ÜÍ ú ú Ú ú ú Í ű Í ú Í Ú Í ű Í

Részletesebben

ü ű ü ű Í ű ü ü ü ü ü ü ü ű ü ű ű ű ü ű ü ű ü ű ü ü ü ü ű ü Í ü Ü Á É Í Á Á Á É Á Á Á Á Á Á Á Ö Á Í ű Á É Á É É É Ú ű É É Ú Á Í Á Ő Á É Ú Á Á Á Á Á Ú Á Á ű É Ó Á É É Ú Ő Á ü ű ű ü ű ű ű ű ű ű ü ü Ú ű Í

Részletesebben

Ö ü Ö ü ü ü í í ü í ü ü ü Á í ü ü í ü í ü ü ű í Ö ü í í í ü ü ű í ú í ü ü í í Á Á ű ü í í í í í ű í í í í ú í ü í í í ü ű í ű ú í ü ü í ű í Á ü í ü ü í Á Ö ü ü ű ü í ü ú ü Á ú ű ü ü ü ű Á Ö ü ű Ö í í ü

Részletesebben

Á Á Á Ó É ö ó ő ó ő ő ő ó ó ó ú ő ö ü ő ó ó ó ó ó ő ó ü ö ö ó ü ő ó ű ó ö ó ó ó ö ő ö ó ó ü ő ö ő ő ü ő ő ő ő ő ó ű ú ó ő ő ö ő ő ü ő ő ő ú ö ö ü Ü ú ö Í ó Ú ó ö ó ő ó ő ű ó ú ú ő ü ő ő ú ö ő ö ú ó ö ó

Részletesebben

Református Iskolák XXI. Országos Matematikaversenye 2013 7. osztály

Református Iskolák XXI. Országos Matematikaversenye 2013 7. osztály 1. Egy nap Mariska néni vett egy tyúkot a piacon. Miután a tyúk tojt két tojást, a tyúkot megették vacsorára. Vagy mindkét tojásból tyúk, vagy mindkét tojásból kakas kelt ki. Minden kakast megettek, a

Részletesebben

TestLine - Fizika 7. osztály Minta feladatsor

TestLine - Fizika 7. osztály Minta feladatsor Fizika 7. osztály Tiszakécske Egészítsd ki a mondatot! 1. 1:21 Könnyű Mágnes ellentétes pólusai között ( vonzás / taszítás ) tapasztalható, míg az azonos pólusok ( vonzzák / taszítják ) egymást. metró

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Megoldókulcs. Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6.

Megoldókulcs. Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6. Megoldókulcs Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6. 1. Az ABC háromszög mindhárom csúcsából merőlegeseket állítunk a többi csúcs külső és belső szögfelezőire. Igazoljuk, hogy az így

Részletesebben

Készült a MÁV Szolgáltató Központ Zrt. Baross Gábor Oktatási Központtal képzési szerződésben álló vasútvállalatok munkavállalói részére

Készült a MÁV Szolgáltató Központ Zrt. Baross Gábor Oktatási Központtal képzési szerződésben álló vasútvállalatok munkavállalói részére Készült a MÁV Szolgáltató Központ Zrt. OKTATÁSI SEGÉDLET A Magyar Államvasutak Zrt. F. 1. sz. JELZÉSI UTASÍTÁS 3. számú módosításának F. 2. sz. FORGALMI UTASÍTÁS 4. számú módosításának F.2. sz. FORGALMI

Részletesebben

TANÁRI SZAKDOLGOZAT Fried Katalin BUDAPEST 2013

TANÁRI SZAKDOLGOZAT Fried Katalin BUDAPEST 2013 TANÁRI SZAKDOLGOZAT Fried Katalin BUDAPEST 2013 Tanári szakdolgozat Tanulmány A matematikai gondolkodás fejlesztése Fried Katalin matamatikatanár MA levelező ELTE PPK Témavezető: Vásárhelyi Éva 2013 Tartalomjegyzék

Részletesebben

FIZIKA Tananyag a tehetséges gyerekek oktatásához

FIZIKA Tananyag a tehetséges gyerekek oktatásához HURO/1001/138/.3.1 THNB FIZIKA Tananyag a tehetséges gyerekek oktatásához Készült A tehetség nem ismer határokat HURO/1001/138/.3.1 című projekt keretén belül, melynek finanszírozása a Magyarország-Románia

Részletesebben

ó ó ó ú ó ó ó ó ó ú ő ú ú ó ű ü ó ü ő ú ü ű ó ű ű ő ő ó ó ű ő ú ó ű ó ó ó ó ű ü ü ó ü ó ó ü ú ó ó ű ó ú ó ú ő ú ó ű ü ő ő ó ü ó ó ű ó ű ó ó ó ó ú ó ű ó ó ű ü ó ü ű ü ó ü ő ó ű ú ó ű ó ő ó ű ó ó ú ó ű ó

Részletesebben

TANMENET. KÉSZSÉGEK, CÉLOK Beszédkészség, kommunikációs képesség, figyelem fejl.

TANMENET. KÉSZSÉGEK, CÉLOK Beszédkészség, kommunikációs képesség, figyelem fejl. Társadalmi Megújulás Operatív Program Kompetencia alapú oktatás, egyenlő hozzáférés - Innovatív intézményekben TÁMOP 3.1.4/08/2. - 2009-0094 " Oktatásfejlesztés Baja Város Önkormányzata által fenntartott

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

A budai fonódó villamoshálózat elindulásához kapcsolódó közlekedési változások

A budai fonódó villamoshálózat elindulásához kapcsolódó közlekedési változások A budai fonódó villamoshálózat elindulásához kapcsolódó közlekedési változások 1) A társadalmi egyeztetésen meghirdetett javaslat A BKK az utasok véleményét kérte a budai fonódó villamoshálózat átadása

Részletesebben

Feladatok GEFIT021B. 3 km

Feladatok GEFIT021B. 3 km Feladatok GEFT021B 1. Egy autóbusz sebessége 30 km/h. z iskolához legközelebb eső két megálló távolsága az iskola kapujától a menetirány sorrendjében 200 m, illetve 140 m. Két fiú beszélget a buszon. ndrás

Részletesebben

ü ü ő ő ü ő ü ő ü Ü ü Ő ő Ú ü ő Ü ü Ú Ó ű Ú Ó Ú Ó Ú ő Ú Ó Ó Ú Ó ű Ú Ó Ú Ó ő Ö Ú Ó Ó Ú Ó Ó ő Ö Ú Ó Ú Ó Ő Ő Ö ő ő Ő Ü Ó Ü ü Ő Ó ő ő ő ő Ó Ü ü ű ő Ó ő Ü ü ő ő ü Ú Ó Ő Ó ő Ő ű ő ü Ú Ú Ö Ö ő ő ő Ö Ő Ő ő ő ű

Részletesebben

A legrövidebb úton úgy tudunk menni az A-ból B-be, hogy csak rézsútosan jobbra és lefele megyünk. (3 pont)

A legrövidebb úton úgy tudunk menni az A-ból B-be, hogy csak rézsútosan jobbra és lefele megyünk. (3 pont) NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 015 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY 9-. OSZTÁLY 015. MÁRCIUS 30. FELADATOK CSAK SZAKKÖZÉPISKOLÁSOKNAK Sz 1. Futár Berci csomagokat szállít Erdőfalván. Most az A pontból kell eljutnia

Részletesebben

Ü Ú ű ö ö ö Ú ű Ú ö ö Ú Ü ö ű ű ö ö ö Ü ö ö Ü ö ö Ú ö Ú ö Ü Ú ö Ú ö Ü Ú Ú Ú ö ö ö Ú ö ű ö ö ö Ó ö ö ö ö ö ö ű ö ö Ö ö ű ű ö Ó ö ö Ú ö ö Ú Ó ÓÚ ö ö ö ö Ó Ú ű Ú ö ö ö ö ö ö ö ű ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ű

Részletesebben

ő ö ü ö ű ö Ó ű ő ő ő ő ú Ó ő ő ö ő ö Ó Ó ő Ó ő Ó ö ő ö Ó ő ő ő ö ő ö ő ö Ó ö ő ű ő ö Ó ö Ó Ó Ó Ó ö ő ö ő ü ö Ó Ó ő ü ő ö Ó ő ö ő ö ő ő ö Ö ö ö ő ő ő ö ő ö ő Ó ő ö ő ő ő ö ő ő ő ö ő ő Ó ö ő ő ü ő ö ü ő

Részletesebben

ű ű ű ű ű Ü ű ű Ü Ő

ű ű ű ű ű Ü ű ű Ü Ő ű ű ű Ú ű ű ű ű ű Ü ű ű Ü Ő Ö Ó ű ű ű Ö Ö ű ű Ö Ü ű ű ű Ó ű ű Ö ű Ö Ú Ú ű ű Ú ű ű ű ű ű ű Ö ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ü Ü ű ű ű Ú ű ű Ö Ö Ü Ó ű Ú Ó Ó ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ü Ü Ü Ü Ü ű Ü ű ű ű ű ű ű Ó ű

Részletesebben