III.4. JÁRŐRÖK. A feladatsor jellemzői

Átírás

1 III.4. JÁŐÖK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebra (és számelmélet), szöveges feladatok, mozgásos feladatok, geometria. Előzmények Az idő fogalma, mértékegység-váltás (perc óra), a sebesség fogalma: közös többszörös, relatív prím fogalma. Cél s v, legkisebb t Mozgásos feladatok előkészítése, mozgásos szituációk elképzelése, lejátszása fejben vagy eszközökkel, különböző megoldási módszerek megismerése. A modellalkotás és szövegértés fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben + Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése A matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata + Felhasználási útmutató Az ilyen típusú feladatoktól általában félnek a gyerekek, mert nehéznek érzik. Ez a feladatsor is látszólag bonyolult, pedig remélhetően kiderül nagyon egyszerű lépésekkel, ötletek nélkül megoldható, csak el kell képzelni a helyzetet, és egy picit számolni kell. Mindig érdemes egy teljes megoldás után visszakérdezni, hogy: Mi okozott nehézséget neked a megoldásban?, illetve, hogy: Látva a megoldást, mit tartasz nehéznek?. Ez azért fontos, mert sok gyereknek el is kell hinnie, hogy meg tudja oldani a feladatokat. Érdemes többféle megoldási módszert, gondolatmenetet összegyűjteni. Javasoljuk a gyerekeknek konkrét szituációk elképzelését, illetve lejátszását, kis számítás, előkészítés után a mozgás elképzelését, annak megállapítását, hogy adott időpillanatban hol vannak az autók! Az órán érdemes párokban dolgozni (kék és fehér, azaz külső és belső járőrautó), a feladatok megoldása során lehet modellezni a települést és az autókat. Az 1. c) és az 1. d) feladatok az 1. a) és az 1. b) feladatok megbeszélése után önálló munkában, akár otthon is megoldhatóak. A 3. b) feladatnál hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hogy a külső autó többféle sebességgel haladhat! III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 1.oldal/10

2 A feladatok megoldása közben érdemes megfigyelni, hogy értik-e a diákok a feladat szövegét. (Külső és belső körút, sebesség, irány, találkozás stb.) Tudnak-e sebességből és távolságból menetidőt számolni? Tudnak-e értelemszerű és megfelelő információkat kiszűrni, és a feladat megoldásához egyszerű számításokkal eljutni? A feladatok megoldásának különböző eredményességi szintjei lehetnek: a szituáció megértése; egy-egy autó menetrendjének kiszámítása; a menetrendek összevetése; a következtetések meghozása, válaszadás; a megoldás célszerű leírása; ötletes, az autók sebessége alapján számolással célhoz érő, rajzos, ábrás, grafikonos megoldás. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 2.oldal/10

3 JÁŐÖK Feladat sor Egy kistelepülés úthálózatát látjuk. A belső körút négyzet alakú, és minden utca 500 méter hosszú. Minden nap sötétedéstől másnap reggel 7-ig két szuper-lassú járőrautó biztosítja az ott lakók nyugalmát. Ha bármilyen problémát észlelnek, akkor nem állnak meg, hanem azonnal betelefonálnak a re, és onnan egy motoros járőr siet a helyszínre. A kék színű Külső Járőrautó a tól indul, és a külső utcákat járja körbe-körbe, míg a fehér színű Belső Járőrautó a elől indul, és a belső körúton cirkál az ábrán feltüntetett irányokban. HÉTFŐ 1. Hétfőn mindkét járőrautó állandó 12 km/h sebességgel rótta az utcákat. Este 10 órakor a Külső autó éppen a előtt, míg a Belső autó a előtt haladt el. a) Hány percig tart az egyik, illetve a másik autónak, míg megtesznek egy teljes kört? b) Találkozik-e a két autó valahol az éjszaka folyamán? Ha igen, akkor hánykor és hol? Add meg az összes találkozási helyszínt és időpontot! c) Hajnali 3 óra 15 perckor a belső autós járőr valami problémát észlelt, és azonnal riasztotta a motorost, aki 60 km/h átlagsebességgel haladva gyorsan a helyszínre ért. Hány órakor érkezett a motoros és hova? d) Hajnali 4 órakor valamelyik járőrautó riasztotta a motoros járőrt. Vajon hová ment a motoros? III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 3.oldal/10

4 K EDD 2. Mivel hétfő hajnalban volt egy kis zűr a városban, így kedden a külső járőrautó állandó 18 km/h sebességgel haladt, míg a belső sebessége 9 km/h volt. Este 10 órakor a külső autó éppen a előtt, míg a belső a előtt haladt el. a) Találkozik-e a két autó valahol az éjszaka folyamán? Ha igen, akkor hánykor és hol? b) Az autók közötti rádiókapcsolat éjfélkor hirtelen megszakadt. A járőrök elővették a tartalék kézi adó-vevőjüket, de ezek hatótávolsága nem nagyobb 750 méternél. Egy perc negyven másodperc elteltével egyikük hívta a másik kocsit. Vajon tudtak-e egymással beszélni? SZEDA 3. a) Szerdára teljesen megnyugodott a város. Ekkor a külső autó 10 km/h sebességgel cirkált egész éjszaka, míg a belső 12 km/h sebességgel. Este 10 órakor mindkét autó éppen a nál haladt el. Találkoznak-e az éjszaka folyamán ismét a nál? b) Szerda este a két járőr kicsit összeveszett, így, miután pontban kor a nál voltak, már nem akartak többet találkozni reggelig. A belső autó továbbra is 12 km/h sebességgel haladt, a külső 8 km/h-ra csökkentette sebességét, hogy ne találkozzanak többé. Vajon sikerülhetett-e egész éjjel elkerülniük egymást? III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 4.oldal/10

5 MEGOLDÁSOK 1. a) A külső körút 4 km hosszú, így a külső autónak 12 km/h-s sebességgel haladva 1/3 óráig, vagyis 20 percig tart az út. A belső körút éppen fele olyan hosszú, így a belső autónak csak 2 km-t kell megtennie, ami 10 percig tart. b) Első megoldás (elemi) Kis folyamatábrán követjük az autók útját. A két autót a két kör szimbolizálja (a vastagabb vonallal határolt kör jelzi a belső autót) Jól látszik, hogy az autók 10 perc múlva találkoznak a nél, majd újabb 10 perc múlva visszaáll a kiindulási helyzet. (Ez a 10, illetve a 20 perces menetidőket figyelembe véve érthető.) Majd minden kezdődik elölről. Tehát az autók 20 percenként találkoznak a nél kor, kor, kor, kor... Második megoldás (a mozgás linearizálása, periodikusság, lkkt) Figyeljük az autók szirénáit, amelyek a 4 csúcspontban, a két körút találkozásánál villannak nagyot. A külső autó szirénája (5 perces eltolódásokkal) 20 percenként villan egy-egy csúcsban, a fehér autó szirénája (2,5 percenkénti eltolódásokkal) 10 percenként villan egy-egy csúcsban. 1. ábrázolás időtengelyeken a villanás helyének összehasonlítása Fehér autó B B B Idő Kék autó B B Idő III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 5.oldal/10

6 A két autó akkor találkozik, ha egy csúcsban egyszerre villan a két sziréna. Mivel a kezdeti villanás 2 sarokra történt, így leolvasható, hogy től kezdve 20 percenként találkoznak (lkkt (4,8) = 8). 2. ábrázolás helytengelyeken a villanás idejének összehasonlítása Fehér autó B B B Hely Kék autó B B B Hely Harmadik megoldás (következtetéses megoldás fejben mozizóknak ) Mivel a két autó sebessége ugyanakkora, így amíg a külső autó megtesz egy kört, addig a belső két kört megy, vagyis amíg a külső megtesz fél kört, addig a belső egy kört megy, azaz éppen visszaér a re. Mivel a a től fél körre van, így éppen találkoznak a nél. Innen számítva a belső újabb 2 kör megtétele után találkozik a külső autóval a nél stb. Tehát az autók 20 percenként találkoznak a nél: kor, kor, kor, kor Negyedik megoldás (az ÁNYÉK színre lép, az ötlet szerepe) Vegyük úgy, hogy a kék autónak van egy árnyéka, ami feleakkora sebességgel halad, de a belső körúton. (Tulajdonképpen levetítjük a mozgását a belső körútra merőlegesen.) A kék és a fehér autó pontosan akkor találkozik, amikor az árnyék és a belső autó találkozik, de csakis a két körút 4 közös csúcspontjának egyikében. Most az árnyék sebessége a belső autó sebességének a fele, így mivel a két autónak kezdetben fél kör volt a távolsága, először akkor találkoznak, amikor az árnyék éppen fél kört, a belső autó pedig egy kört haladt. Ez a nél lesz kor. Innen számítva a belső autó elhagyja az árnyékot, és két kör megtétele után éri utol (körözi le) ismét a nél stb. Tehát az autók 20 percenként találkoznak a nél: kor, kor, kor, kor c) A belső autó 10 percenként visszaér a hez, így kor is ott van. 5 perccel később a belső körút felénél jár, azaz kor éppen a nál lesz. A motorosnak 1 km-t kell robognia, azaz 1 perc alatt odaért a hoz. d) Hajnali 4 órakor a belső autó a nél volt, a külső pedig a nál. Így a motorosnak nem kellett sokat gondolkoznia, hogy melyik riasztási helyszínt válassza. A hoz indult sebesen. 2. a) Első megoldás (a sebességek aránya a fontos) Mivel a külső körúton haladó külső autó kétszer akkora sebességgel halad, mint a belső, így ugyanannyi idő alatt kétszerannyi utat tesz meg. Míg a belső 500 métert gurul, addig a külső 1000 métert, így ismét átlósan szemben lesz a két autó. Ez így folytatódik az éjszaka során, így ezen az éjjelen nem találkozik többet a két autó. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 6.oldal/10

7 Illusztráció: Második megoldás (ismét segít az árnyék) Az árnyék [lásd 1. a) feladat Negyedik megoldás] és a belső autó is 9 km/h-s sebességgel halad a belső körúton. Így a két autó sohasem találkozhat többet ezen az éjjelen. b) Az előző megoldás illusztrációjában a 2. ábra ezt az időpontot mutatja. 750 m Kerek órakor, így éjfélkor is a két autó mindig éppen az indulási helyén lesz, vagyis a külső a nál, a belső a nél. A belső autó sebessége 9 km/h, azaz 9000 m m 2,5, így 1perc 40 másodperc azaz 100 másodperc alatt 250 m utat tesz 3600s s meg. A külső autó kétszer ilyen gyors, az ő útja ezalatt 1 km. Elhelyezkedésük az ábrának megfelelő, távolságuk a négyzet oldala + a szabályos háromszög magassága, ami a szabályos háromszög tulajdonságai alapján nagyobb, mint az oldalának fele (ui.: látszik, vagy nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van a szabályos háromszög egyik felében). Így a távolság egyszerű alsó becslése a négyzetoldal + fél négyzetoldal távolsággal adódó 750 méter. (A szabályos háromszög magasságának ismeretében természetesen pontosabban is szá- 3 molhatunk, a távolság m.) 2 Természetesen a becslésünkből adódóan nem ez az egyetlen időpont és az egyetlen helyzet, amikor a két autó távolsága nagyobb, mint 750 méter; az itt mondottakhoz képest egy picit előbb és később is vannak ilyen időpontok és az ezekhez tartozó megfelelő helyzetek. 3. a) Első megoldás (barkács) A külső autó 24 perc alatt megy egy teljes kört (4 km), a fehér autó 10 perc alatt (2 km). A külső autó a nál van: 22 24, 22 48, 23 12, 23 36, 24 00, 0 24, 0 48 III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 7.oldal/10

8 A belső autó a nál van: 22 10, 22 20, 22 30, 22 40, 22 50, 23 00, 23 10, 23 20, 23 30, 23 40, 23 50, 24 00, 0 10 Tehát találkoznak újra a nál. Először éjfélkor találkoznak újra a nál, majd rendre kétóránként. Éjjel 2-kor, 4-kor, 6-kor. Második megoldás (tipikus sebességekkel manipuláló megoldás, a lekörözés fogalma) A külső autó árnyéka [lásd 1.a) 4. megoldás] 5 km/h sebességgel halad, míg a belső autó 12 km/h sebességgel. Egy kör 2 km hosszú. Ha t óra múlva találkoznak (nem biztos, hogy valódi találkozás ez) először, akkor a külső autó 5t a belső pedig 12t km-t tett meg. Ebben a pillanatban a belső autó éppen egy körrel ment többet a külsőnél, így: 12t = 5t + 2, ahonnan t = Ezek után is hasonlóan rendre -óránként találkoznak. óra alatt a belső autó = 3 km-t haladt. Keressük az első olyan (biztosan valódi) találkozást, ami a nál lesz. Ez akkor következik be, amikor a megtett út a 2 km egész számú 7 7 többszöröse. Vegyük a 7 2 óránként adódó megtett utakat: 3 7 3, 6 7 6, , , , , 24,, vagyis a 7. találkozás lesz először a nál. Ez = 2 óra múlva, azaz éjfélkor következik be. Legközelebb hasonlóan éjjel 2-kor, majd 4-kor, illetve 6-kor találkoznak a nál. 24 [Ha a k. találkozás az első a nál, akkor k = 2n (k és n pozitív egészek), ahonnan 7 12k n. Mivel a tört értéke egész szám és a 12 és a 7 relatív prímek, így a k = 7 a legkisebb pozitív 7 megoldás.] Harmadik megoldás ( itt szalad a legkisebb közös többszörös ) A külső autó árnyéka 5 km/h sebességgel halad, míg a belső autó 12 km/h sebességgel. A külső autó egy kört óra alatt tesz meg, míg a belső autó óra alatt. Mi vel,. Számoljunk tovább a 12-vel és az 5-tel. (Számolhatnánk a perccel és a 10 perccel is. Lkkt (10, 24) = 120, folytatás a továbbiakban leírtaknak megfelelően.) Olyan időt keresünk, amely a 12-nek és az 5-nek is többszöröse. A legkisebb ilyen a 60, tehát 5 2, azaz 2 óra múlva éjfélkor találkoznak ismét a nál. A találkozások ezután is 2 óránként lesznek a nál. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 8.oldal/10

9 b) Megmutatjuk, hogy ha a külső autó sebessége bármely, a belsőénél nem nagyobb páros szám, akkor mindenképpen találkoznak még az éjszaka folyamán. (Érdemes először egy egyszerű, a konkrét feladatra vonatkozó megoldást megmutatni a tanulóknak, s csak aztán mint általánosítást, az ittenit!) Első megoldás (barkács) Találkozás csak a belső körút 4 csúcsában lehetséges. A belső autó 1 óra alatt 12 km-t halad, így 500 métert 2,5 perc alatt tesz meg. A menetiránynak megfelelően a belső körút csúcsai: B (), C, (), D. Készítsünk táblázatot, amiből kiderül, hánykor hol van a belső autó, illetve a külső autó lehetséges sebességei esetén mi a helyzet! B B B B B B B Belső autó Külső autó, v = 12 km/h Külső autó, v = 10 km/h Külső autó, v = 8 km/h Külső autó, v = 6 km/h Külső autó, v = 4 km/h Külső autó, v = 2 km/h Külső autó, v = 0 km/h kor újra találkoznak Ha csak a et és a ot figyeljük, akkor is kiderül, hogy a két autó nem tudja elkerülni egymást. A külső autó bármilyen lehetséges sebessége esetén találkozni fognak, sőt ez többször is megtörténik az éjszaka folyamán. (Jobb lesz, ha gyorsan kibékülnek.) Második megoldás (tipikus sebességekkel manipuláló megoldás, relatív prímek) A külső autó árnyéka [lásd 1. a) Negyedik megoldás] 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6 km-t tesz meg óránként. Mivel az árnyék mindenképpen lassabb a belső autónál, így a belső autó a kék árnyékkal akkor találkozik először, amikor először lekörözi a külső autót. Ha ez t óra múlva történik, akkor 12t = t vagy 12t = t 2 + 2,, 12t = t 6 + 2, ahonnan t = vagy vagy vagy vagy vagy (óra) Ennyi idő alatt a belső autó által megtett út rendre: s = vagy vagy vagy vagy vagy kör Egy-egy ilyen találkozás akkor lesz valódi találkozás a külső és a belső autó között, ha a megtett út néhány negyedkör. Ezek alapján a kör és a kör már valódi találkozás. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 9.oldal/10

10 2 12 A t = és az s = esetén először a 11. találkozás lesz valódi találkozás, azaz 2 óra múlva futnak össze. (Ugyanis k csak akkor lesz páros szám, ha a nevezőben lévő gyel lehet egyszerűsíteni, azaz, ha 12k osztható 11-gyel. Mivel a 11 és a 12 relatív prímek, így k osztható 11-gyel. A legkisebb ilyen pozitív egész k a 11. ) A t = és az s = esetén először az 5. találkozás lesz valódi találkozás, azaz óra múlva futnak össze. (Ugyanis ) A t = és az s = esetén először a 3. találkozás lesz valódi találkozás, azaz óra múlva futnak össze. (Ugyanis ) 2 12 t =, s = esetén először a 7. találkozás lesz valódi találkozás, azaz 2 óra múlva futnak össze. (Ugyanis ) 7 7 A külső autó bármilyen lehetséges sebessége esetén találkozni fognak, sőt ez többször is megtörténik az éjszaka folyamán. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.4. Járőrök 10.oldal/10