Fizikai olimpiász. 51. évfolyam. 2009/2010-as tanév. B kategória

Átírás

1 Fizikai olimpiász 51. évfolyam 2009/2010-as tanév B kategória A házi forduló feladatai (további információk a vagy honlapokon) A fizikai olimpiász résztvevıinek ajánljuk az alacsonyabb kategóriák feladatainak megoldását, illetve az FKS levelezı szemináriumában való részvételt (

2 1. A visszapattanó labda (Mária Kladivová) Két fiú lassan futott a vízszintes parkolóban a kamion után, amely sebessége volt. Tételezzék fel, hogy a parkoló üres volt, és a fiúk nem voltak veszélyeztetve! Az egyik fiú úgy próbálta a labdáját rádobni a kamion függıleges hátoldalára, hogy a másik fiú elkaphassa a labdát, még mielıtt az földet ér. a) Az elsı próbálkozásnál a dobó fiú egy pillanatra megállt és a labdát magsságból kezdı sebességgel dobta rá a kamion függıleges hátlapjára. A dobás pillanatában a kamion távolságban volt. Elkaphatta a másik fiú a labdát földet érése elıtt, ha sebességgel futott?. b) A második próbálkozásnál a labda ugyanolyan feltételek mellett, ugyanazzal a kezdısebességgel lett eldobva a kamion hátlapjára, felfelé szög alatt, a vízszintes síktól felfelé mérve. Elkaphatta a másik fiú a labdát mielıtt földet ért volna? c) Határozzák meg (az adott távolság, a kezdeti sebesség és a dobás magasságánál) a dobás szögének lehetséges intervallumát, amelynél a kamion hátlapjáról visszapattanó labda elméletileg elkapható, még mielıtt földet érne! A kamion hátlapjának felsı széle magasan van a a parkoló felszíne felett. A nehézségi gyorsulás 1. megjegyzés: Az ütközésrıl tételezzék fel, hogy tökéletesen rugalmas! 2. megjegyzés: a c) feladat megoldását grafikusan ajánlatos megoldani; az egyenlet megoldásánál helyettesítsék be és számértékeit! 2. Golyó az éken (Milan Grendel) Az sugarú gömböt csúszásmentesen hagyjuk legurulni egy vízszintes alátétre helyezett éken. Az ék az alátéten súrlódás nélkül szabadon képes csúszni. Az ék háromoldalú hasáb alakú, alapja derékszögő háromszög, amely átfogójának hossza. A hasáb azon oldala, amelyen a golyó gurul, a vízszintes síkkal szöget zár be, a másik oldal merıleges az alátétre. A golyó tömege, az ék tömege, és mindkét test homogén. A gurítás kezdetén a golyó és az ék is nyugalomban vannak az alátéthez viszonyítva, és a golyó az ék oldalát a felsı élének közepén érinti (lásd a B 1 ábrát). a) Mekkora távolságot csúszik az ék attól a pillanattól, hogy a golyó gurulni kezd, addig a pillanatig, amikor a golyó megérinti az alátétet? b) Határozzák meg a golyó középpontja sebességének és az ék sebességének nagyságát abban a pillanatban, amikor a golyó megérinti az alátétet! c) Mekkora lesz a golyó és az ék kinetikus energiájának aránya abban a pillanatban, amikor a golyó megérinti az alátétet? d) Mekkora az a idı, amely a mozgás kezdetétıl telik el addig a pillanatig, amikor a golyó megérinti az alátétet? e) Mekkora lesz a golyó + ék rendszer impulzusának vízszintes és függıleges komponense, miután a golyó átgurul az ékrıl az alátétre? Az eredményt indokolják meg fizikailag! Tételezzék fel, hogy a golyó + ék rendszerben a mechanikus energia vesztesége a mozgás folyamán elhanyagolhatóan kicsi, és miután a golyó elérte az alátétet, az alátéten csúszás nélkül gurul tovább! Az a) rész megoldásakor érdemes felhasználni a testek rendszerének tömegközéppontjára vonatkozó tételt! A feladatot oldják meg általánosan, majd a következı értékekkel: r = 1,0 cm, l = 10 cm, -2 m 1 = 10 g, m 2 = 20 g, φ = 30, a gravitációs gyorsulás nagysága g = 9,81 m s.!

3 r l ϕ B 1 ábra 3. A pálca rezgései a tálban (Ľubomír Konrád) Egy sugarú szilárd gömbfelület belsejében szabadon mozoghat egy hosszúságú homogén pálca úgy, hogy közben ugyanabban a függıleges síkban marad, amely áthalad a gömb középpontján (lásd a B 2 ábrát). Ha a gömb és a pálca közötti súrlódás elhanyagolhatóan kicsi, a pálca csillapítatlan harmonikus rezgést fog végezni. Határozzák r meg a rezgések periódusát! R d α Csak az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgéseket vegyék figyelembe, amelyekre és érvényes, hogy valamint B 2 ábra 4. Elektromos hálózat (Tomáš Bzdušek) Az egyenlı oldalú háromszög alakú elektromos hálózat állandó lineáris fajlagos ellenállású drótból készült. Az ABC háromszög oldalának hossza Az AC és BC szárakat az, vezetı szakaszok kötik össze, amelyek ugyanabból a drótból készültek. Az átkötések az ABC háromszög magasságának távolságában vannak a C csúcstól mérve (lásd a B 3 ábrát). Tételezzék fel, hogy az átkötések száma a) Határozzák meg az feszültségő áramforrás teljesítményét, ha az A és B pontokhoz csatlakoztatjuk! b) Határozzák meg az és pontok közt folyó áramot, ha az a) pontban megadott módon kötjük be az áramforrást! Mekkora értéknél lesz ha és az áramforrás árama? c) Határozzák meg az és pontok közti feszültséget, miután az áramforrást az a) pontban leírt módon csatlakoztatjuk! d) Határozzák meg a hálózat háromszög által meghatározott részében leadott hıteljesítményt és felületi fajlagos hıteljesítményt, miután az áramforrást az a) pontban megadott módon csatlakoztatjuk! Itt az háromszög területe. e) Mekkora lesz az áramforrás teljesítménye, ha az a) pont áramforrását a háló A és C pontjaihoz csatlakoztatjuk?

4 C A 2 B 2 A 1 B 1 A B 3 ábra B Megjegyzés: Ajánlatos áttanulmányozni a Fizikai olimpiász 49. évfolyama A kategóriájának 4. feladatát! 5. Kondenzátorok (Ľubomír Konrád) Az ellenállású rezisztorok valamint és kapacitású kondenzátorok a B 4 ábrán látható módon vannak hídba csatolva. A folyamat elején a kondenzátorok nincsenek feltöltve. A híd A és B csomópontjaihoz állandó feszültségő és belsı ellenállású áramforrást csatlakoztatunk. a) Mekkora maximális nagyságú áram folyik át az áramforráson a híd kondenzátorainak töltése során? b) Határozzák meg, mekkora munkát végez az áramforrás a híd kondenzátorainak feltöltésekor! c) Határozzák meg a kondenzátorok feltöltése alatt a rezisztorokban felszabaduló hı nagyságát! d) Határozzák meg az áramkör feltöltésének hatásfokát, ahol a feltöltött kondenzátorok elektrosztatikus terének energiája! A feladatot oldják meg általánosan, majd a következı értékekre: R 1 = 20 Ω, R 2 = 50 Ω, C 1 = 200 µf, C 2 = 50 µf, C 3 = 150 µf, U = 12 V, R = 2,0 Ω.. C R 1 C 2 A C 3 B C 1 D R 2 B 4 ábra S U R

5 6. Az inga anharmonikus rezgései (Ivo Čáp) A fizikai inga periódusának mérésekor abból a feltevésbıl szoktak kiindulni, hogy a lengés periódusideje nem függ az inga egyensúlyi helyzetétıl mért szélsı szögkitéréstıl. Ez a feltevés azonban csak akkor fogadható el, ha az inga szögkitérése kicsi. Ekkor megfelelı pontossággal érvényes a visszafordító erınyomaték és szögkitérés közti egyenes arányosság, tehát illetve Nagyobb kitérések esetén a számítások bonyolultabbak, ekkor a mozgásegyenletek numerikus megoldása is használatos. A feladat célja megvizsgálni a lengésidı T periódusának függését az inga szélsı szögkitérésétıl. a) Fejezzék ki a fizikai inga periódusidejét (az egyensúlyi helyzettıl számított) kis szögkitérések esetén, mint az inga m tömegének, az inga forgástengelyére számított J tehetetlenségi nyomatékának és tömegközéppontja forgástengelyétıl mért a távolságának függvényét! A T periódus kiszámításához a következı a numerikus módszert használják! A z inga lengésidejének azt a mozgást választjuk, amikor az inga a egyensúlyi helyzetbıl eljut a szögkitéréső szélsı helyzetbe. Nagyon rövid idı alatt az inga kitérése kis szöggel változik. Mivel az szögsebesség a lengés közben változik, a fenti kifejezés annál pontosabb, minél rövidebb idıintervallumot választunk. b) Fejezzék ki az inga szögsebességét a azonnali kitérés, szélsı kitérés és a kis lengések periódusidejének függvényeként! A szögkitérés kiszámításához használják a következı kis szögkitérés-változást meghatározó algoritmust ahol és a szögkitérés és szögsebesség a idıpontban! Ez a kifejezés lehetıvé teszi a szögkitérés kiszámítását a pillanatban. Ehhez az új szögkitéréshez kiszámítjuk a szögsebesség új értékét, majd a számítások folytatódnak az új ertékek kiszámításával a idıre, stb.. A számításokat addig folytatjuk, amíg el nem érjük, a szögkitérésnél, a szélsı szögkitéréssel egyenlı értéket. A szükséges lépések száma határozza meg az inga lengésidejét. A megfelelı pontosság eléréséhez megfelelıen rövid idı intervallumot kell választani (nagyságrendileg ), tehát a lépések száma jelentıs. Ehhez hasonló numerikus-számítások számítógépet igényelnek. c) Számítsák ki numerikusan (megfelelı számítógépprogram segítségével) az inga relatív lengésidejét a következı táblázatban feltüntetett szélsı szögértékre! Töltsék ki a táblázatba a lengésidı relatív eltérését a lengésidıtıl! A numerikus-számításokhoz használják a értéket! Szög φ 0 [ ] T/T 0 T/T 0 [%]

6 Állapítsák meg a kapott értékek alapján, hogy mekkora szélsı szögkitérésnél tételezhetjük fel a megkövetelt pontossággal, hogy az inga lengése harmonikus, és a periódusidı független a szélsı szögkitéréstıl! d) A számítások pontossága a választott relatív lépés nagyságától függ. A numerikusszámítások pontosságának megítélése céljából számítsák ki értékét, ahol a szélsı szögkitérés lengésideje! Mivel nagyon kis kilengésrıl van szó, az eredmény várhatóan nagy pontossággal lesz. Ismételjék a számításokat kisebb relatív lépésekkel és az eredményt foglalják a következı táblázatba! t/t T 2 /T 0 A kapott eredmények alapján indokolják meg a lépések nagyságának hatását a számítások pontosságára! 7. Kísérleti feladat (Ivo Čáp) A fizikai inga anharmonikus rezgéseinek vizsgálata. Végezzenek kísérletet (az elızı feladattal kapcsolatosan) a numerikus eljárással kapott relatív periódusidı igazolására különbözı szélsı szögkitérés értékére! A méréshez használjanak tetszıleges ingát, amely a vízszintes tengely körül a 0 és 180 tartományban lenghet! Jól megfelel ennek a célnak egy kerékpárkerék, rögzítve a kerékpár villás tartójában, jó minıségő és megkent csapággyal. A kerék keretére szalagragasztóval megfelelı tömegő nehezéket rögzítünk. Ezzel eltolódik a kerék tömegközéppontja, és készen van az inga a megfelelı lengésidıvel. A mérés kényelmessége szempontjából alkalmas olyan beállítás, ahol a lengésidı hosszabb (4 s esetleg hosszabb). A lehetı legnagyobb pontosság elérése érdekében mérjék meg a lehetı legtöbb kilengés lengésidejét! A mérés teljes idejét úgy kell megválasztani, hogy a mérés ideje alatt a szélsı szögkitérés ideje lényegesen ne változzon! (Megjegyzés: Amennyiben a méréshez használt stopperóra pontossága, a relatív pontosság eléréséhez a mérés idıtartamának közelítıleg 200 s-nak (3 percnek) kell lennie.) A méréseket a következı táblázatban található szélsı szögkitérésekre végezzék el (a szöget a kerék keretére szögmérı használatával felrajzolt szögértékek segítségével határozzák meg)! szögφ 0 [ ] T/T 0 T/T 0 [%] A értéknek a szélsı szögkitérésnek megfelelı lengésidıt vegyék! Minden mérést ismételjenek 5-ször, és a táblázatba a értékhez az átlagértéket írják be! A mérések eredményét hasonlítsák össze a 6. feladatban kapott numerikus eredménnyel! Fizikai Olimpiász Chyba! Nenašiel sa žiaden zdroj odkazov.. évfolyam a Chyba! Nenašiel sa žiaden zdroj odkazov. kategória Chyba! Nenašiel sa žiaden zdroj odkazov.. fordulójának feladatai

7 A feladatok szerzıi: Mária Kladivová, Milan Grendel, Ľubomír Konrád, Tomáš Bzdušek, Ivo Čáp Bírálat: Ľubomír Mucha, Mária Kladivová Szerkesztı: Ivo Čáp Pénzügyi támogatás: a Szlovák Iskolaügyi Minisztérium a Iuventa (Bratislava) képviseletében Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády, 2009 Translation Teleki Aba; 2009