Minimális költségű folyam-algoritmusok összehasonlítása
|
|
|
- Klára Pappné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Minimális költségű folyam-algoritmusok összehasonlítása Király Zoltán¹, Kovács Péter² ¹ ELTE TTK Számítógéptudományi Tanszék, ELTE CNL ² ELTE IK Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék, ELTE CNL XXVIII. Magyar Operációkutatási Konferencia Balatonőszöd, június 8-10.
2 Áttekintés 1 A minimális költségű folyam modell Definíció Alkalmazások 2 Célok 3 Implementáció és tesztelés LEMON Algoritmusok Tesztadatok, tesztelés paraméterei 4 Megoldási módszerek Negatív körök kiiktatása Duál algoritmusok Költségskálázó algoritmusok Hálózati szimplex algoritmus 5 Összehasonlítás 6 Összefoglalás Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
3 A minimális költségű folyam modell A vizsgált probléma: Szállítsunk megadott mennyiségű terméket egy hálózat termelő csúcsaiból a fogyasztó csúcsokba. A folyam ( szállítási terv ) összköltsége legyen minimális. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
4 A minimális költségű folyam modell Minimális költségű folyam (minimum cost flow) feladat: Adott egy G = (V, E) irányított gráf. Minden (i, j) E élhez hozzárendelünk egy l ij 0 alsó korlátot, egy u ij l ij felső korlátot és egy c ij költséget (egy egységnyi folyam szállításának díja). Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
5 A minimális költségű folyam modell Minimális költségű folyam (minimum cost flow) feladat: Adott egy G = (V, E) irányított gráf. Minden (i, j) E élhez hozzárendelünk egy l ij 0 alsó korlátot, egy u ij l ij felső korlátot és egy c ij költséget (egy egységnyi folyam szállításának díja). Minden i V csúcshoz hozzárendelünk egy b i előjeles termelés/fogyasztás értéket. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
6 A minimális költségű folyam modell Minimális költségű folyam (minimum cost flow) feladat: Adott egy G = (V, E) irányított gráf. Minden (i, j) E élhez hozzárendelünk egy l ij 0 alsó korlátot, egy u ij l ij felső korlátot és egy c ij költséget (egy egységnyi folyam szállításának díja). Minden i V csúcshoz hozzárendelünk egy b i előjeles termelés/fogyasztás értéket. Ha b i > 0, akkor i termelő b i termeléssel. Ha b j < 0, akkor j fogyasztó b j fogyasztással. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
7 A minimális költségű folyam modell Minimális költségű folyam (minimum cost flow) feladat: Adott egy G = (V, E) irányított gráf. Minden (i, j) E élhez hozzárendelünk egy l ij 0 alsó korlátot, egy u ij l ij felső korlátot és egy c ij költséget (egy egységnyi folyam szállításának díja). Minden i V csúcshoz hozzárendelünk egy b i előjeles termelés/fogyasztás értéket. A folyam költségét lineárisan számítjuk. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
8 A minimális költségű folyam modell Minimális költségű folyam (minimum cost flow) feladat: Adott egy G = (V, E) irányított gráf. Minden (i, j) E élhez hozzárendelünk egy l ij 0 alsó korlátot, egy u ij l ij felső korlátot és egy c ij költséget (egy egységnyi folyam szállításának díja). Minden i V csúcshoz hozzárendelünk egy b i előjeles termelés/fogyasztás értéket. A folyam költségét lineárisan számítjuk. Feladat: minimális költségű megengedett folyam keresése. Forrás: R. K. Ahuja T. L. Magnanti J. B. Orlin: Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications. Prentice-Hall, Inc., Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
9 A minimális költségű folyam modell A feladat formálisan (LP): Minimális költségű folyam feladat min c ij x ij (1) x ij (i,j) E j : (i,j) E j : (j,i) E x ji = b i i V (2) l ij x ij u ij (i, j) E (3) Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
10 A minimális költségű folyam modell A feladat formálisan (LP): Minimális költségű folyam feladat j : (i,j) E x ij min (i,j) E j : (j,i) E c ij x ij (1) x ji = b i i V (2) l ij x ij u ij (i, j) E (3) Megjegyzés: megengedett megoldás létezéséhez i V b i = 0 szükséges feltétel. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
11 A minimális költségű folyam modell A feladat formálisan (LP): Minimális költségű folyam feladat j : (i,j) E x ij min (i,j) E j : (j,i) E c ij x ij (1) x ji = b i i V (2) l ij x ij u ij (i, j) E (3) Megjegyzés: megengedett megoldás létezéséhez i V b i = 0 szükséges feltétel. Általában feltesszük, hogy minden mennyiség- és költségérték egész, és a megoldást is egészértékű folyamként keressük. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
12 A minimális költségű folyam modell Alkalmazások: Általános, sok helyen alkalmazható modell. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
13 A minimális költségű folyam modell Alkalmazások: Általános, sok helyen alkalmazható modell. Közvetlenül felhasználható számos területen: szállítmányozás, logisztika, telekommunikáció, hálózattervezés, erőforrás-elosztás, ütemezés stb. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
14 A minimális költségű folyam modell Alkalmazások: Általános, sok helyen alkalmazható modell. Közvetlenül felhasználható számos területen: szállítmányozás, logisztika, telekommunikáció, hálózattervezés, erőforrás-elosztás, ütemezés stb. Gyakran előfordul bonyolultabb optimalizációs problémák részfeladataként is, pl. többtermékes folyam feladatok. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
15 Célok Kutatásunk célkitűzései: Számos ismert algoritmus hatékony megvalósítása. Implementációs részletek, heurisztikák vizsgálata. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
16 Célok Kutatásunk célkitűzései: Számos ismert algoritmus hatékony megvalósítása. Implementációs részletek, heurisztikák vizsgálata. A különböző algoritmusok összehasonlító elemzése (azonos keretrendszerben, nagy hálózatokon). Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
17 Célok Kutatásunk célkitűzései: Számos ismert algoritmus hatékony megvalósítása. Implementációs részletek, heurisztikák vizsgálata. A különböző algoritmusok összehasonlító elemzése (azonos keretrendszerben, nagy hálózatokon). Implementációink összehasonlítása hatékony publikus megoldóprogramokkal. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
18 Célok Kutatásunk célkitűzései: Számos ismert algoritmus hatékony megvalósítása. Implementációs részletek, heurisztikák vizsgálata. A különböző algoritmusok összehasonlító elemzése (azonos keretrendszerben, nagy hálózatokon). Implementációink összehasonlítása hatékony publikus megoldóprogramokkal. Nyílt forrású implementációk közzététele a LEMON programkönyvtár részeként. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
19 LEMON A megvalósított algoritmusok a LEMON kombinatorikus optimalizálási programcsomag részét képezik. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
20 LEMON A megvalósított algoritmusok a LEMON kombinatorikus optimalizálási programcsomag részét képezik. LEMON programkönyvtár: Library for Efficient Modeling and Optimization in Networks Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
21 LEMON A megvalósított algoritmusok a LEMON kombinatorikus optimalizálási programcsomag részét képezik. LEMON programkönyvtár: Library for Efficient Modeling and Optimization in Networks Az ELTE-n fejlesztett nyílt forrású, generikus C++ könyvtár. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
22 LEMON A megvalósított algoritmusok a LEMON kombinatorikus optimalizálási programcsomag részét képezik. LEMON programkönyvtár: Library for Efficient Modeling and Optimization in Networks Az ELTE-n fejlesztett nyílt forrású, generikus C++ könyvtár. Gráfokkal, hálózatokkal kapcsolatos optimalizálási problémák megoldására szolgál. Rendkívül hatékony és rugalmasan felhasználható adatszerkezeteket, algoritmusokat tartalmaz. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
23 LEMON A megvalósított algoritmusok a LEMON kombinatorikus optimalizálási programcsomag részét képezik. LEMON programkönyvtár: Library for Efficient Modeling and Optimization in Networks Az ELTE-n fejlesztett nyílt forrású, generikus C++ könyvtár. Gráfokkal, hálózatokkal kapcsolatos optimalizálási problémák megoldására szolgál. Rendkívül hatékony és rugalmasan felhasználható adatszerkezeteket, algoritmusokat tartalmaz. Hasonló könyvtárak: BGL (Boost Graph Library), LEDA. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
24 Algoritmusok Összesen 9 algoritmust valósítottunk meg, amelyek 4 különböző megoldási módszeren alapulnak. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
25 Algoritmusok Összesen 9 algoritmust valósítottunk meg, amelyek 4 különböző megoldási módszeren alapulnak. 1 Negatív körök kiiktatása primál megközelítés Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
26 Algoritmusok Összesen 9 algoritmust valósítottunk meg, amelyek 4 különböző megoldási módszeren alapulnak. 1 Negatív körök kiiktatása primál megközelítés 2 Javítóutas algoritmusok duál megközelítés Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
27 Algoritmusok Összesen 9 algoritmust valósítottunk meg, amelyek 4 különböző megoldási módszeren alapulnak. 1 Negatív körök kiiktatása primál megközelítés 2 Javítóutas algoritmusok duál megközelítés 3 Költségskálázás primál duál megközelítés Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
28 Algoritmusok Összesen 9 algoritmust valósítottunk meg, amelyek 4 különböző megoldási módszeren alapulnak. 1 Negatív körök kiiktatása primál megközelítés 2 Javítóutas algoritmusok duál megközelítés 3 Költségskálázás primál duál megközelítés 4 Hálózati szimplex módszer Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
29 Tesztadatok, tesztelés paraméterei Tesztadatok: NETGEN programmal generált inputfájlok (DIMACS formátum). Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
30 Tesztadatok, tesztelés paraméterei Tesztadatok: NETGEN programmal generált inputfájlok (DIMACS formátum). Ritka hálózatok: m n log 2 n (n , m ). Sűrű hálózatok: m n n (n , m ). n = csúcsok száma, m = élek száma. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
31 Tesztadatok, tesztelés paraméterei Tesztadatok: NETGEN programmal generált inputfájlok (DIMACS formátum). Ritka hálózatok: m n log 2 n (n , m ). Sűrű hálózatok: m n n (n , m ). n = csúcsok száma, m = élek száma. Élköltségek, kapacitások: az [ ] intervallumból. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
32 Tesztadatok, tesztelés paraméterei Tesztadatok: NETGEN programmal generált inputfájlok (DIMACS formátum). Ritka hálózatok: m n log 2 n (n , m ). Sűrű hálózatok: m n n (n , m ). n = csúcsok száma, m = élek száma. Élköltségek, kapacitások: az [ ] intervallumból. n termelő és n fogyasztó csúcs. Össztermelés: 1000 n. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
33 Tesztadatok, tesztelés paraméterei Tesztadatok: NETGEN programmal generált inputfájlok (DIMACS formátum). Ritka hálózatok: m n log 2 n (n , m ). Sűrű hálózatok: m n n (n , m ). n = csúcsok száma, m = élek száma. Élköltségek, kapacitások: az [ ] intervallumból. n termelő és n fogyasztó csúcs. Össztermelés: 1000 n. Tesztkörnyezet: Két Intel Xeon 3.20 GHz processzor, 2 MB cache, 2 GB memória; opensuse 10.2, GCC fordító, O3 optimalizáció. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
34 Negatív körök kiiktatása Optimalitási kritérium: 1. Tétel: Negatív kör optimalitási feltétel A minimális költségű folyam feladat egy x megengedett megoldása akkor és csak akkor optimális, ha a G x reziduális hálózat nem tartalmaz negatív összköltségű irányított kört. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
35 Negatív körök kiiktatása Optimalitási kritérium: 1. Tétel: Negatív kör optimalitási feltétel A minimális költségű folyam feladat egy x megengedett megoldása akkor és csak akkor optimális, ha a G x reziduális hálózat nem tartalmaz negatív összköltségű irányított kört. Megjegyzés: egy megfordított reziduális él költsége az eredeti élköltség ellentettje. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
36 Negatív körök kiiktatása 1. Tétel: Negatív kör optimalitási feltétel A minimális költségű folyam feladat egy x megengedett megoldása akkor és csak akkor optimális, ha a G x reziduális hálózat nem tartalmaz negatív összköltségű irányított kört. A tételből egy egyszerű megoldási módszer is adódik: Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
37 Negatív körök kiiktatása 1. Tétel: Negatív kör optimalitási feltétel A minimális költségű folyam feladat egy x megengedett megoldása akkor és csak akkor optimális, ha a G x reziduális hálózat nem tartalmaz negatív összköltségű irányított kört. A tételből egy egyszerű megoldási módszer is adódik: 1 Keressünk egy megengedett megoldást (visszavezethető maximális folyam feladatra). Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
38 Negatív körök kiiktatása 1. Tétel: Negatív kör optimalitási feltétel A minimális költségű folyam feladat egy x megengedett megoldása akkor és csak akkor optimális, ha a G x reziduális hálózat nem tartalmaz negatív összköltségű irányított kört. A tételből egy egyszerű megoldási módszer is adódik: 1 Keressünk egy megengedett megoldást (visszavezethető maximális folyam feladatra). 2 Amíg a reziduális hálózat tartalmaz negatív kört, keressünk meg egyet és iktassuk ki: folyassunk rajta annyi folyamot, hogy valamely éle telítődjön. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
39 Negatív körök kiiktatása 1. Tétel: Negatív kör optimalitási feltétel A minimális költségű folyam feladat egy x megengedett megoldása akkor és csak akkor optimális, ha a G x reziduális hálózat nem tartalmaz negatív összköltségű irányított kört. A tételből egy egyszerű megoldási módszer is adódik: 1 Keressünk egy megengedett megoldást (visszavezethető maximális folyam feladatra). 2 Amíg a reziduális hálózat tartalmaz negatív kört, keressünk meg egyet és iktassuk ki: folyassunk rajta annyi folyamot, hogy valamely éle telítődjön. Primál módszer: minden lépésben megengedett megoldást kapunk, és a célfüggvény értékét fokozatosan csökkentjük. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
40 Negatív kör algoritmusok Megvalósított algoritmusok: SCC: simple cycle canceling (egyszerű negatív kör algoritmus) MMCC: minimum mean cycle canceling (min. átlagú körök kiiktatása) CAT: cancel and tighten (kiiktatás és megszorítás) Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
41 Negatív kör algoritmusok Megvalósított algoritmusok: SCC: simple cycle canceling (egyszerű negatív kör algoritmus) Negatív körök keresése Bellman Ford-algoritmussal. Hatékony heurisztikákat dolgoztunk ki. MMCC: minimum mean cycle canceling (min. átlagú körök kiiktatása) CAT: cancel and tighten (kiiktatás és megszorítás) Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
42 Negatív kör algoritmusok Megvalósított algoritmusok: SCC: simple cycle canceling (egyszerű negatív kör algoritmus) MMCC: minimum mean cycle canceling (min. átlagú körök kiiktatása) Minden menetben egy min. átlagú kör keresése és kiiktatása. CAT: cancel and tighten (kiiktatás és megszorítás) Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
43 Negatív kör algoritmusok Megvalósított algoritmusok: SCC: simple cycle canceling (egyszerű negatív kör algoritmus) MMCC: minimum mean cycle canceling (min. átlagú körök kiiktatása) Minden menetben egy min. átlagú kör keresése és kiiktatása. Egyszerű, közismert erősen polinomiális algoritmus. A gyakorlatban viszont rendkívül lassú. CAT: cancel and tighten (kiiktatás és megszorítás) Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
44 Negatív kör algoritmusok Megvalósított algoritmusok: SCC: simple cycle canceling (egyszerű negatív kör algoritmus) MMCC: minimum mean cycle canceling (min. átlagú körök kiiktatása) CAT: cancel and tighten (kiiktatás és megszorítás) Az MMCC javított változata. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
45 Negatív kör algoritmusok Megvalósított algoritmusok: SCC: simple cycle canceling (egyszerű negatív kör algoritmus) MMCC: minimum mean cycle canceling (min. átlagú körök kiiktatása) CAT: cancel and tighten (kiiktatás és megszorítás) Az MMCC javított változata. Valójában primál duál módszert alkalmaz. Csúcspotenciálok (duál megoldás) nyilvántartásával átlagosan jóval gyorsabban találhatunk negatív köröket. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
46 Negatív kör algoritmusok Megvalósított algoritmusok: SCC: simple cycle canceling (egyszerű negatív kör algoritmus) MMCC: minimum mean cycle canceling (min. átlagú körök kiiktatása) CAT: cancel and tighten (kiiktatás és megszorítás) Az MMCC javított változata. Valójában primál duál módszert alkalmaz. Csúcspotenciálok (duál megoldás) nyilvántartásával átlagosan jóval gyorsabban találhatunk negatív köröket. Ez is erősen polinomiális, de elméletben és gyakorlatban is sokkal hatékonyabb. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
47 Negatív kör algoritmusok Az alábbi grafikonokon összehasonlítjuk a negatív kör algoritmusokat. A futásidőket a csúcsok számának függvényében, logaritmikus skálán ábrázoljuk s SCC s SCC 10000s MMCC CAT 10000s MMCC CAT 1000s 1000s 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) SCC: simple cycle canceling MMCC: minimum mean cycle canceling CAT: cancel and tighten Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
48 Negatív kör algoritmusok Az alábbi grafikonokon összehasonlítjuk a negatív kör algoritmusokat. A futásidőket a csúcsok számának függvényében, logaritmikus skálán ábrázoljuk s SCC s SCC 10000s MMCC CAT 10000s MMCC CAT 1000s 1000s 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Az SCC 6-8-szor gyorsabb, mint az MMCC. A CAT viszont nagyságrendekkel gyorsabb mindkettőnél. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
49 Duál algoritmusok Duál megoldási módszer: Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
50 Duál algoritmusok Duál megoldási módszer: Megengedett duál megoldást tartunk fent, és a primál megengedettség felé törekszünk. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
51 Duál algoritmusok Duál megoldási módszer: Megengedett duál megoldást tartunk fent, és a primál megengedettség felé törekszünk. Egy folyamot és csúcspotenciálokat tárolunk. A folyam nem feltétlenül megengedett: teljesülnek a kapacitásfeltételek, de megsértheti a termelés/fogyasztás feltételeket. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
52 Duál algoritmusok Duál megoldási módszer: Megengedett duál megoldást tartunk fent, és a primál megengedettség felé törekszünk. Egy folyamot és csúcspotenciálokat tárolunk. A folyam nem feltétlenül megengedett: teljesülnek a kapacitásfeltételek, de megsértheti a termelés/fogyasztás feltételeket. Minden lépésben egy többlettel rendelkező csúcsból folyamot küldünk egy hiánnyal rendelkező csúcsba. Ezt a reziduális hálózat egy, a redukált költségek szerint vett legrövidebb útja mentén tesszük. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
53 Duál algoritmusok Duál megoldási módszer: Megengedett duál megoldást tartunk fent, és a primál megengedettség felé törekszünk. Egy folyamot és csúcspotenciálokat tárolunk. A folyam nem feltétlenül megengedett: teljesülnek a kapacitásfeltételek, de megsértheti a termelés/fogyasztás feltételeket. Minden lépésben egy többlettel rendelkező csúcsból folyamot küldünk egy hiánnyal rendelkező csúcsba. Ezt a reziduális hálózat egy, a redukált költségek szerint vett legrövidebb útja mentén tesszük. Ha már nincs többletes csúcs, akkor megengedett primál megoldást kapunk. Ez optimális is lesz (ui. a duál megengedettséget fenntartjuk). Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
54 Duál algoritmusok A feladat duálisát csúcspotenciálok segítségével írhatjuk fel. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
55 Duál algoritmusok A feladat duálisát csúcspotenciálok segítségével írhatjuk fel. Az 1. tétellel ekvivalens optimalitási kritérium: 2. Tétel: Redukált költség optimalitási feltétel A minimális költségű folyam feladat egy x megengedett megoldása akkor és csak akkor optimális, ha létezik olyan π potenciálfüggvény, amellyel a G x reziduális hálózat minden élének redukált költsége nemnegatív. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
56 Duál algoritmusok A feladat duálisát csúcspotenciálok segítségével írhatjuk fel. Az 1. tétellel ekvivalens optimalitási kritérium: 2. Tétel: Redukált költség optimalitási feltétel A minimális költségű folyam feladat egy x megengedett megoldása akkor és csak akkor optimális, ha létezik olyan π potenciálfüggvény, amellyel a G x reziduális hálózat minden élének redukált költsége nemnegatív. Definíció: Redukált költség Egy π potenciálfüggvényre nézve egy (i, j) él redukált költsége: c π ij = c ij + π(i) π(j). Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
57 Duál algoritmusok Megvalósított algoritmusok: SSP: successive shortest path (ismételt legrövidebb út) CAS: capacity scaling (kapacitásskálázás) Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
58 Duál algoritmusok Megvalósított algoritmusok: SSP: successive shortest path (ismételt legrövidebb út) Egyszerű változat. CAS: capacity scaling (kapacitásskálázás) Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
59 Duál algoritmusok Megvalósított algoritmusok: SSP: successive shortest path (ismételt legrövidebb út) CAS: capacity scaling (kapacitásskálázás) Az SSP algoritmus egy hatékonyabb (polinomiális) változata. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
60 Duál algoritmusok Megvalósított algoritmusok: SSP: successive shortest path (ismételt legrövidebb út) CAS: capacity scaling (kapacitásskálázás) Az SSP algoritmus egy hatékonyabb (polinomiális) változata. Minden lépésben olyan legrövidebb utakat keresünk, amelyeken legalább egységnyi folyamot küldhetünk át. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
61 Duál algoritmusok Megvalósított algoritmusok: SSP: successive shortest path (ismételt legrövidebb út) CAS: capacity scaling (kapacitásskálázás) Az SSP algoritmus egy hatékonyabb (polinomiális) változata. Minden lépésben olyan legrövidebb utakat keresünk, amelyeken legalább egységnyi folyamot küldhetünk át. Ha ilyet már nem találunk, felezzük értékét, és végrehajtunk egy újabb fázist. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
62 Duál algoritmusok Megvalósított algoritmusok: SSP: successive shortest path (ismételt legrövidebb út) CAS: capacity scaling (kapacitásskálázás) Az SSP algoritmus egy hatékonyabb (polinomiális) változata. Minden lépésben olyan legrövidebb utakat keresünk, amelyeken legalább egységnyi folyamot küldhetünk át. Ha ilyet már nem találunk, felezzük értékét, és végrehajtunk egy újabb fázist. A = 1 fázis végén megengedett és optimális folyamot kapunk. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
63 Összehasonlítás Primál és duál implementációk összehasonlítása: s 10000s 1000s SCC MMCC CAT SSP CAS s 10000s 1000s SCC MMCC CAT SSP CAS 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s 0.001s 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) SCC, MMCC, CAT: primál algoritmusok (negatív körök kiiktatása) SSP, CAS: duál algoritmusok (ismételt legrövidebb út keresés) Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
64 Összehasonlítás Primál és duál implementációk összehasonlítása: s 10000s 1000s SCC MMCC CAT SSP CAS s 10000s 1000s SCC MMCC CAT SSP CAS 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s 0.001s 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) SCC, MMCC, CAT: primál algoritmusok (negatív körök kiiktatása) SSP, CAS: duál algoritmusok (ismételt legrövidebb út keresés) A javítóutas módszerek sokkal gyorsabbnak bizonyultak. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
65 Költségskálázó algoritmusok Költségskálázó módszer: Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
66 Költségskálázó algoritmusok Költségskálázó módszer: Primál duál megközelítés. A max. folyam feladatra adott előfolyam algoritmus (preflow push-relabel) egy módosított változata. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
67 Költségskálázó algoritmusok Költségskálázó módszer: Primál duál megközelítés. A max. folyam feladatra adott előfolyam algoritmus (preflow push-relabel) egy módosított változata. Minden fázisban ɛ-optimális primál duál megoldáspárt állítunk elő: a reziduális hálózat minden (i, j) élére: c π ij ɛ. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
68 Költségskálázó algoritmusok Költségskálázó módszer: Primál duál megközelítés. A max. folyam feladatra adott előfolyam algoritmus (preflow push-relabel) egy módosított változata. Minden fázisban ɛ-optimális primál duál megoldáspárt állítunk elő: a reziduális hálózat minden (i, j) élére: c π ij ɛ. Ezután ɛ-t felezzük, és egy újabb menetet hajtunk végre. ɛ < 1/n esetén optimális megoldást kapunk. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
69 Költségskálázó algoritmusok Költségskálázó módszer: Primál duál megközelítés. A max. folyam feladatra adott előfolyam algoritmus (preflow push-relabel) egy módosított változata. Minden fázisban ɛ-optimális primál duál megoldáspárt állítunk elő: a reziduális hálózat minden (i, j) élére: c π ij ɛ. Ezután ɛ-t felezzük, és egy újabb menetet hajtunk végre. ɛ < 1/n esetén optimális megoldást kapunk. Az egyes fázisokban pumpálás (push) és átcímkézés (relabel) műveleteket végzünk. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
70 Költségskálázó algoritmusok Megvalósított algoritmusok: COS-PR: push-relabel (pumpálás-átcímkézés) COS-AR: augment-relabel (növelés-átcímkézés) COS-PAR: partial augment-relabel (részleges növelés-átcímkézés) Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
71 Költségskálázó algoritmusok Megvalósított algoritmusok: COS-PR: push-relabel (pumpálás-átcímkézés) Az eredeti változat lokális pumpálás (push) és átcímkézés (relabel) műveletekkel. COS-AR: augment-relabel (növelés-átcímkézés) COS-PAR: partial augment-relabel (részleges növelés-átcímkézés) Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
72 Költségskálázó algoritmusok Megvalósított algoritmusok: COS-PR: push-relabel (pumpálás-átcímkézés) COS-AR: augment-relabel (növelés-átcímkézés) Pumpálás helyett javítóutakat keresünk többletes csúcsokból hiányos csúcsokba. Ezen utak mentén növeljük a folyamot (augment). COS-PAR: partial augment-relabel (részleges növelés-átcímkézés) Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
73 Költségskálázó algoritmusok Megvalósított algoritmusok: COS-PR: push-relabel (pumpálás-átcímkézés) COS-AR: augment-relabel (növelés-átcímkézés) COS-PAR: partial augment-relabel (részleges növelés-átcímkézés) Goldberg új ötletét átültettük erre a feladatra: a javítóutak hosszát korlátozzuk. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
74 Költségskálázó algoritmusok Megvalósított algoritmusok: COS-PR: push-relabel (pumpálás-átcímkézés) COS-AR: augment-relabel (növelés-átcímkézés) COS-PAR: partial augment-relabel (részleges növelés-átcímkézés) Goldberg új ötletét átültettük erre a feladatra: a javítóutak hosszát korlátozzuk. Legfeljebb k = 4 élből álló utak mentén növelünk (ekvivalens k pumpálással). Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
75 Költségskálázó algoritmusok Megvalósított algoritmusok: COS-PR: push-relabel (pumpálás-átcímkézés) COS-AR: augment-relabel (növelés-átcímkézés) COS-PAR: partial augment-relabel (részleges növelés-átcímkézés) Goldberg új ötletét átültettük erre a feladatra: a javítóutak hosszát korlátozzuk. Legfeljebb k = 4 élből álló utak mentén növelünk (ekvivalens k pumpálással). Forrás: Andrew V. Goldberg: The partial augment-relabel algorithm for the maximum flow problem. ESA 2008, , Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
76 Költségskálázó algoritmusok Megvalósított algoritmusok: COS-PR: push-relabel (pumpálás-átcímkézés) COS-AR: augment-relabel (növelés-átcímkézés) COS-PAR: partial augment-relabel (részleges növelés-átcímkézés) A három változat teljesítménye nagyon hasonló. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
77 Költségskálázó algoritmusok Megvalósított algoritmusok: COS-PR: push-relabel (pumpálás-átcímkézés) COS-AR: augment-relabel (növelés-átcímkézés) COS-PAR: partial augment-relabel (részleges növelés-átcímkézés) A három változat teljesítménye nagyon hasonló. Általában a COS-PAR algoritmus bizonyult a leggyorsabbnak. A továbbiakban csak ezt vizsgáljuk. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
78 Hálózati szimplex algoritmus Primál hálózati szimplex módszer: Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
79 Hálózati szimplex algoritmus Primál hálózati szimplex módszer: Az LP szimplex módszer specializált változata erre a feladatra. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
80 Hálózati szimplex algoritmus Primál hálózati szimplex módszer: Az LP szimplex módszer specializált változata erre a feladatra. Az LP változóknak a gráf élei felelnek meg. A bázismegoldásoknak pedig ún. feszítőfa-megoldások: olyan feszítőfák, amelyeken kívül minden él korlátozott (a folyamértéke nulla vagy telített). Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
81 Hálózati szimplex algoritmus Primál hálózati szimplex módszer: Az LP szimplex módszer specializált változata erre a feladatra. Az LP változóknak a gráf élei felelnek meg. A bázismegoldásoknak pedig ún. feszítőfa-megoldások: olyan feszítőfák, amelyeken kívül minden él korlátozott (a folyamértéke nulla vagy telített). Egy feszítőfát és egy folyamot (primál megoldás), valamint csúcspotenciálokat (duál megoldás) tartunk nyilván. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
82 Hálózati szimplex algoritmus Primál hálózati szimplex módszer: Az LP szimplex módszer specializált változata erre a feladatra. Az LP változóknak a gráf élei felelnek meg. A bázismegoldásoknak pedig ún. feszítőfa-megoldások: olyan feszítőfák, amelyeken kívül minden él korlátozott (a folyamértéke nulla vagy telített). Egy feszítőfát és egy folyamot (primál megoldás), valamint csúcspotenciálokat (duál megoldás) tartunk nyilván. Az egyes iterációk során a célfüggvény értékén próbálunk javítani. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
83 Hálózati szimplex algoritmus Primál hálózati szimplex módszer: Minden lépésben kiválasztunk egy fán kívüli élt, amely megsérti az optimalitási feltételt. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
84 Hálózati szimplex algoritmus Primál hálózati szimplex módszer: Minden lépésben kiválasztunk egy fán kívüli élt, amely megsérti az optimalitási feltételt. Ezt hozzávesszük a feszítőfához (bázishoz). Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
85 Hálózati szimplex algoritmus Primál hálózati szimplex módszer: Minden lépésben kiválasztunk egy fán kívüli élt, amely megsérti az optimalitási feltételt. Ezt hozzávesszük a feszítőfához (bázishoz). Az így kapott negatív kör mentén javítunk: folyamot küldünk rajta és egy telítődő élét kivesszük a bázisból (pivotálás). Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
86 Hálózati szimplex algoritmus Primál hálózati szimplex módszer: Minden lépésben kiválasztunk egy fán kívüli élt, amely megsérti az optimalitási feltételt. Ezt hozzávesszük a feszítőfához (bázishoz). Az így kapott negatív kör mentén javítunk: folyamot küldünk rajta és egy telítődő élét kivesszük a bázisból (pivotálás). Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
87 Hálózati szimplex algoritmus Primál hálózati szimplex módszer: Minden lépésben kiválasztunk egy fán kívüli élt, amely megsérti az optimalitási feltételt. Ezt hozzávesszük a feszítőfához (bázishoz). Az így kapott negatív kör mentén javítunk: folyamot küldünk rajta és egy telítődő élét kivesszük a bázisból (pivotálás). Ha már nincs alkalmas belépő él, akkor a folyam optimális. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
88 Hálózati szimplex algoritmus Primál hálózati szimplex módszer: Minden lépésben kiválasztunk egy fán kívüli élt, amely megsérti az optimalitási feltételt. Ezt hozzávesszük a feszítőfához (bázishoz). Az így kapott negatív kör mentén javítunk: folyamot küldünk rajta és egy telítődő élét kivesszük a bázisból (pivotálás). Ha már nincs alkalmas belépő él, akkor a folyam optimális. Valójában a primál módszer (körök kiiktatása) egy sajátos változata. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
89 Hálózati szimplex algoritmus Primál hálózati szimplex módszer: Minden lépésben kiválasztunk egy fán kívüli élt, amely megsérti az optimalitási feltételt. Ezt hozzávesszük a feszítőfához (bázishoz). Az így kapott negatív kör mentén javítunk: folyamot küldünk rajta és egy telítődő élét kivesszük a bázisból (pivotálás). Ha már nincs alkalmas belépő él, akkor a folyam optimális. Valójában a primál módszer (körök kiiktatása) egy sajátos változata. Az adatszerkezetnek köszönhetően egy negatív kör megtalálása sokkal gyorsabb (O(m) idejű). Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
90 Hálózati szimplex algoritmus Implementáció: Komplex adatszerkezet szükséges: feszítőfa nyilvántartása és hatékony módosítása. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
91 Hálózati szimplex algoritmus Implementáció: Komplex adatszerkezet szükséges: feszítőfa nyilvántartása és hatékony módosítása. Erre sok különböző módszer ismert: ATI, API, XTI, XPI stb. Az egyik leghatékonyabbat, az XTI-t valósítottuk meg. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
92 Hálózati szimplex algoritmus Implementáció: Komplex adatszerkezet szükséges: feszítőfa nyilvántartása és hatékony módosítása. Erre sok különböző módszer ismert: ATI, API, XTI, XPI stb. Az egyik leghatékonyabbat, az XTI-t valósítottuk meg. A legkritikusabb művelet a belépő él kiválasztása. Erre 5 különböző stratégiát implementáltunk, amelyek hatékonysága nagyon különböző. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
93 Hálózati szimplex pivotálási szabályok s First Eligible s First Eligible 10000s Best Eligible Block Search 10000s Best Eligible Block Search 1000s Candidate List 1000s Candidate List 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s 0.001s 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) First Eligible módszer: A legelső élt választjuk, amelyre nem teljesül az optimalitási feltétel. Minden keresést az előző lépésben talált él után kezdünk. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
94 Hálózati szimplex pivotálási szabályok s First Eligible s First Eligible 10000s Best Eligible Block Search 10000s Best Eligible Block Search 1000s Candidate List 1000s Candidate List 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s 0.001s 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) First Eligible módszer: A legelső élt választjuk, amelyre nem teljesül az optimalitási feltétel. Minden keresést az előző lépésben talált él után kezdünk. Mindig gyorsan talál belépő élt, de az sokszor nem lesz túl jó. Egyszerűsége ellenére elég hatékony módszer. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
95 Hálózati szimplex pivotálási szabályok s First Eligible s First Eligible 10000s Best Eligible Block Search 10000s Best Eligible Block Search 1000s Candidate List 1000s Candidate List 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s 0.001s 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Best Eligible módszer: Minden lépésben a legjobb él választjuk. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
96 Hálózati szimplex pivotálási szabályok s First Eligible s First Eligible 10000s Best Eligible Block Search 10000s Best Eligible Block Search 1000s Candidate List 1000s Candidate List 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s 0.001s 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Best Eligible módszer: Minden lépésben a legjobb él választjuk. Ez eredményezi a legkevesebb iterációt. Viszont ehhez meg kell vizsgálnunk az összes élt, így a módszer nagyságrendekkel lassabb a többi szabálynál. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
97 Hálózati szimplex pivotálási szabályok s First Eligible s First Eligible 10000s Best Eligible Block Search 10000s Best Eligible Block Search 1000s Candidate List 1000s Candidate List 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s 0.001s 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Block Search módszer: Az előző két stratégia közötti középút. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
98 Hálózati szimplex pivotálási szabályok s First Eligible s First Eligible 10000s Best Eligible Block Search 10000s Best Eligible Block Search 1000s Candidate List 1000s Candidate List 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s 0.001s 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Block Search módszer: Az előző két stratégia közötti középút. Minden lépésben rögzített mennyiségű élt nézzük át, és azokból választjuk ki a legjobbat. Ha egy blokkban nincs alkalmas él, akkor újabb blokkokkal folytatjuk. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
99 Hálózati szimplex pivotálási szabályok s First Eligible s First Eligible 10000s Best Eligible Block Search 10000s Best Eligible Block Search 1000s Candidate List 1000s Candidate List 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s 0.001s 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Block Search módszer: Az előző két stratégia közötti középút. Minden lépésben rögzített mennyiségű élt nézzük át, és azokból választjuk ki a legjobbat. Ha egy blokkban nincs alkalmas él, akkor újabb blokkokkal folytatjuk. Fontos paraméter a blokkméret: egy kompromisszumot határoz meg. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
100 Hálózati szimplex pivotálási szabályok s First Eligible s First Eligible 10000s Best Eligible Block Search 10000s Best Eligible Block Search 1000s Candidate List 1000s Candidate List 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s 0.001s 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Block Search módszer: Az előző két stratégia közötti középút. Minden lépésben rögzített mennyiségű élt nézzük át, és azokból választjuk ki a legjobbat. Ha egy blokkban nincs alkalmas él, akkor újabb blokkokkal folytatjuk. Fontos paraméter a blokkméret: egy kompromisszumot határoz meg. Ez a szabály bizonyult a leghatékonyabbnak és legstabilabbnak. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
101 Hálózati szimplex pivotálási szabályok s First Eligible s First Eligible 10000s Best Eligible Block Search 10000s Best Eligible Block Search 1000s Candidate List 1000s Candidate List 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s 0.001s 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Candidate List módszer: A választható élekből bizonyos időközönként listát építünk. A következő pivotálások során ebből választjuk ki a legjobbat. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
102 Hálózati szimplex pivotálási szabályok s First Eligible s First Eligible 10000s Best Eligible Block Search 10000s Best Eligible Block Search 1000s Candidate List 1000s Candidate List 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s 0.001s 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Candidate List módszer: A választható élekből bizonyos időközönként listát építünk. A következő pivotálások során ebből választjuk ki a legjobbat. Fontos paraméter a jelöltlisták mérete. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
103 Hálózati szimplex pivotálási szabályok s First Eligible s First Eligible 10000s Best Eligible Block Search 10000s Best Eligible Block Search 1000s Candidate List 1000s Candidate List 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s 0.001s 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Candidate List módszer: A választható élekből bizonyos időközönként listát építünk. A következő pivotálások során ebből választjuk ki a legjobbat. Fontos paraméter a jelöltlisták mérete. Elég hatékony módszer, de általában lassabb, mint a Block Search. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
104 Hálózati szimplex pivotálási szabályok s First Eligible s First Eligible 10000s Best Eligible Block Search 10000s Best Eligible Block Search 1000s Candidate List 1000s Candidate List 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s 0.001s 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Candidate List módszer: A választható élekből bizonyos időközönként listát építünk. A következő pivotálások során ebből választjuk ki a legjobbat. Fontos paraméter a jelöltlisták mérete. Elég hatékony módszer, de általában lassabb, mint a Block Search. Kidolgoztuk egy valamivel hatékonyabb változatát is. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
105 Összehasonlítás Az alábbi grafikonokon a 4 megközelítési mód leghatékonyabb implementációit hasonlítjuk össze s 10000s 1000s CAT CAS COS-PAR NS-Block Search s 10000s 1000s CAT CAS COS-PAR NS-Block Search 100s 100s 10s 10s 1s 1s 0.1s 0.1s 0.01s 0.01s 0.001s 0.001s 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
106 Összehasonlítás s 10000s 1000s 100s 10s 1s 0.1s 0.01s 0.001s CAT CAS COS-PAR NS-Block Search s 10000s 1000s 100s 10s 1s 0.1s 0.01s 0.001s CAT CAS COS-PAR NS-Block Search 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) A negatív kör algoritmus (CAT) sokkal lassabb a többinél. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
107 Összehasonlítás s 10000s 1000s 100s 10s 1s 0.1s 0.01s 0.001s CAT CAS COS-PAR NS-Block Search s 10000s 1000s 100s 10s 1s 0.1s 0.01s 0.001s CAT CAS COS-PAR NS-Block Search 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) A negatív kör algoritmus (CAT) sokkal lassabb a többinél. A költségskálázó módszer (COS) aszimptotikusan gyorsabbnak tűnik a kapacitásskálázásnál (CAS); nagy hálózatokon lényegesen jobbnak bizonyult. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
108 Összehasonlítás s 10000s 1000s 100s 10s 1s 0.1s 0.01s 0.001s CAT CAS COS-PAR NS-Block Search s 10000s 1000s 100s 10s 1s 0.1s 0.01s 0.001s CAT CAS COS-PAR NS-Block Search 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Sűrű gráfokon egyértelműen a hálózati szimplex (NS) a leghatékonyabb, kb. 20-szor gyorsabb a költségskálázó algoritmusnál (COS). Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
109 Összehasonlítás s 10000s 1000s 100s 10s 1s 0.1s 0.01s 0.001s CAT CAS COS-PAR NS-Block Search s 10000s 1000s 100s 10s 1s 0.1s 0.01s 0.001s CAT CAS COS-PAR NS-Block Search 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Sűrű gráfokon egyértelműen a hálózati szimplex (NS) a leghatékonyabb, kb. 20-szor gyorsabb a költségskálázó algoritmusnál (COS). Ritka gráfokon viszont aszimptotikusan lassabb a COS-nál. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
110 Összehasonlítás s 10000s 1000s 100s 10s 1s 0.1s 0.01s 0.001s CAT CAS COS-PAR NS-Block Search s 10000s 1000s 100s 10s 1s 0.1s 0.01s 0.001s CAT CAS COS-PAR NS-Block Search 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Sűrű gráfokon egyértelműen a hálózati szimplex (NS) a leghatékonyabb, kb. 20-szor gyorsabb a költségskálázó algoritmusnál (COS). Ritka gráfokon viszont aszimptotikusan lassabb a COS-nál. A CAS és COS skálázó algoritmusok futásideje erősen függ az élek számától. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
111 Összehasonlítás s 10000s 1000s 100s 10s 1s 0.1s 0.01s 0.001s CAT CAS COS-PAR NS-Block Search s 10000s 1000s 100s 10s 1s 0.1s 0.01s 0.001s CAT CAS COS-PAR NS-Block Search 1e-04s e-04s Ritka hálózatokon (m n log 2 n) Sűrű hálózatokon (m n n) Sűrű gráfokon egyértelműen a hálózati szimplex (NS) a leghatékonyabb, kb. 20-szor gyorsabb a költségskálázó algoritmusnál (COS). Ritka gráfokon viszont aszimptotikusan lassabb a COS-nál. A CAS és COS skálázó algoritmusok futásideje erősen függ az élek számától. Az NS algoritmus pedig a használt komplex adatszerkezet miatt sokkal erősebben függ a csúcsok számától. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
112 Összehasonlítás A továbbiakban a LEMON könyvtárba bekerült két leghatékonyabb implementációt (COS és NS) hasonlítjuk össze más publikus megoldóprogramokkal. Király Zoltán, Kovács Péter (ELTE) Minimális költségű folyam-algoritmusok / 34
Hálózati folyamok és alkalmazásaik. Kovács Péter
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Hálózati folyamok és alkalmazásaik Hatékony algoritmusok a minimális költségű folyam feladatra DIPLOMAMUNKA Kovács Péter programtervező matematikus hallgató
Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba
I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30
Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. Budapest október 10. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu Budapest 200. október 10. Mit tanulunk ma? Szállítási feladat Megoldása Adott: Egy árucikk, T 1, T 2, T,..., T m termelőhely, melyekben rendre
Hálózati folyamok. A használt fogalmak definiálása
Hálózati folyamok Hálózat A használt fogalmak definiálása Ez összesen 4 dologból áll: - Egy irányított G gráf - Ennek egy kitüntetett pontja, amit forrásnak hívunk és s-sel jelölünk - A gráf még egy kitüntetett
A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/
Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
Hálózati Folyamok Alkalmazásai. Mályusz Levente BME Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék
Hálózati Folyamok Alkalmazásai Mályusz Levente BME Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék Maximális folyam 7 7 9 3 2 7 source 8 4 7 sink 7 2 9 7 5 7 6 Maximális folyam feladat Adott [N, A] digráf (irányított
1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +
Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje
Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.
Algoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,
Szimuláció RICHARD M. KARP és AVI WIGDERSON. (Készítette: Domoszlai László)
Szimuláció RICHARD M. KARP és AVI WIGDERSON A Fast Parallel Algorithm for the Maximal Independent Set Problem című cikke alapján (Készítette: Domoszlai László) 1. Bevezetés A következőkben megadott algoritmus
Az optimális megoldást adó algoritmusok
Az optimális megoldást adó algoritmusok shop ütemezés esetén Ebben a fejezetben olyan modellekkel foglalkozunk, amelyekben a munkák több műveletből állnak. Speciálisan shop ütemezési problémákat vizsgálunk.
Gráfok 2. Legrövidebb utak, feszítőfák. Szoftvertervezés és -fejlesztés II. előadás. Szénási Sándor
Gráfok 2. Legrövidebb utak, feszítőfák előadás http://nik.uni-obuda.hu/sztf2 Szénási Sándor Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Legrövidebb utak keresése Minimális feszítőfa keresése Gráfok 2
Hálózati folyamok. Tétel: A maximális folyam értéke megegyezik a minimális vágás értékével.
Hálózati folyamok Definíció: Legyen G = (V,E) egy irányított gráf, adott egy c: E R + {0} ún. kapacitásfüggvény, amely minden (u,v) ε E élhez hozzárendel egy nem negatív c(u,v) kapacitást. A gráfnak van
A szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Bonyolultságelmélet Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Érzékenységvizsgálat
Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális
Név KP Blokk neve KP. Logisztika I. 6 LOG 12 Dr. Kovács Zoltán Logisztika II. 6 Logisztika Dr. Kovács Zoltán
Név KP Blokk neve KP Felelıs vizsgáztató Kombinatorikus módszerek és algoritmusok 5 MAT 10 Dr. Tuza Zsolt Diszkrét és folytonos dinamikai rendszerek matematikai alapjai 5 Matematika Dr. Hartung Ferenc
Sapientia - Erdélyi Magyar TudományEgyetem (EMTE) Csíkszereda IRT- 4. kurzus. 3. Előadás: A mohó algoritmus
Csíkszereda IRT-. kurzus 3. Előadás: A mohó algoritmus 1 Csíkszereda IRT. kurzus Bevezetés Az eddig tanult algoritmus tipúsok nem alkalmazhatók: A valós problémák nem tiszta klasszikus problémák A problémák
Algoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 06 Adatszerkezetek
Algoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 06 Adatszerkezetek Tömb Ugyanolyan típusú elemeket tárol A mérete előre definiált kell legyen és nem lehet megváltoztatni futás során Legyen n a tömb mérete. Ekkor:
További forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék
További forgalomirányítási és szervezési játékok 1. Nematomi forgalomirányítási játék A forgalomirányítási játékban adott egy hálózat, ami egy irányított G = (V, E) gráf. A gráfban megengedjük, hogy két
ERŐSEN POLINOMIÁLIS PIVOT ALGORITMUSOK A MAXIMÁLIS FOLYAM FELADATRA. Prékopa András és Klafszky Emil munkássága előtt tisztelegve
Alkalmazott Matematikai Lapok 35 (2018), 145 182 ERŐSEN POLINOMIÁLIS PIVOT ALGORITMUSOK A MAXIMÁLIS FOLYAM FELADATRA Prékopa András és Klafszky Emil munkássága előtt tisztelegve A dolgozatban bemutatjuk
Hálózati Folyamok Alkalmazásai. Mályusz Levente BME Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék
Hálózati Folyamok Alkalmazásai Mályusz Levente BME Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék Alsó felső korlátos maximális folyam 3,9 3 4,2 4,8 4 3,7 2 Transzformáljuk több forrást, több nyelőt tartalmazó
Követelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 1. Előadás Követelmények, teljesítés feltételei Vizsga anyaga Előadásokhoz tartozó diasor
Optimumkeresés számítógépen
C Optimumkeresés számítógépen Az optimumok megtalálása mind a gazdasági életben, mind az élet sok más területén nagy jelentőségű. A matematikában számos módszert dolgoztak ki erre a célra, például a függvények
Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához
Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához A. Grama, A. Gupta, G. Karypis és V. Kumar: Introduction to Parallel Computing, Addison Wesley, 2003. könyv anyaga alapján A kereső eljárások
Követelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 1. Előadás Követelmények, teljesítés feltételei Vizsga anyaga Előadásokhoz tartozó diasor
26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA
26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA Az előző két fejezetben tárgyalt feladat általánosításaként a gráfban található összes csúcspárra szeretnénk meghatározni a legkisebb költségű utat. A probléma
5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus.
5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. Optimalis feszítőfák Egy összefüggő, irányítatlan
Opkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Informatikai Intézet Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék
Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Informatikai Intézet Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék 2016/17 2. félév 5. Előadás Dr. Kulcsár Gyula egyetemi docens Tartalom 1. Párhuzamosan
Adott: VPN topológia tervezés. Költségmodell: fix szakaszköltség VPN végpontok
Hálózatok tervezése VITMM215 Maliosz Markosz 2012 12.10..10.27 27. Adott: VPN topológia tervezés fizikai hálózat topológiája Költségmodell: fix szakaszköltség VPN végpontok 2 VPN topológia tervezés VPN
Általános algoritmustervezési módszerek
Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás
A számítástudomány alapjai
A számítástudomány alapjai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Legszélesebb utak Katona Gyula Y. (BME SZIT) A számítástudomány
HÁLÓZAT Maximális folyam, minimális vágás
HÁLÓZAT Maximális folyam, minimális vágás HÁLÓZAT informálisan Hálózat Irányított gráf Mindegyik élnek adott a (nemnegatív) kapacitása Spec csúcsok: Forrás (Source): a kiindulási pont csak ki élek Nyelő
Branch-and-Bound. 1. Az egészértéketű programozás. a korlátozás és szétválasztás módszere Bevezető Definíció. 11.
11. gyakorlat Branch-and-Bound a korlátozás és szétválasztás módszere 1. Az egészértéketű programozás 1.1. Bevezető Bizonyos feladatok modellezése kapcsán előfordulhat olyan eset, hogy a megoldás során
11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2011. április 27. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás Múlt héten nem szerepeltek
Algoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 07
Algoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 0 Keresőfák Fák Fa: összefüggő, körmentes gráf, melyre igaz, hogy: - (Általában) egy gyökér csúcsa van, melynek 0 vagy több részfája van - Pontosan egy út vezet
Diszkrét Irányítások tervezése. Heurisztika Dr. Bécsi Tamás
Diszkrét Irányítások tervezése Heurisztika Dr. Bécsi Tamás Algoritmusok futásideje Az algoritmus futásideje függ az N bemenő paramétertől. Azonos feladat különböző N értékek esetén más futásidőt igényelnek.
11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Informatikai Intézet Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék
Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Informatikai Intézet Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék 2016/17 2. félév 8. Előadás Dr. Kulcsár Gyula egyetemi docens Kereső algoritmusok alkalmazása
1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex
Heurisztikák BitTorrent hálózatok max-min méltányos sávszélesség-kiosztására
Heurisztikák BitTorrent hálózatok max-min méltányos sávszélesség-kiosztására Dobjánné Antal Elvira és Vinkó Tamás Pallasz Athéné Egyetem, GAMF M szaki és Informatikai Kar Szegedi Tudományegyetem, Informatikai
Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához
Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához A. Grama, A. Gupta, G. Karypis és V. Kumar: Introduction to Parallel Computing, Addison Wesley, 2003. könyv anyaga alapján A kereső eljárások
B-fa. Felépítés, alapvető műveletek. Programozás II. előadás. Szénási Sándor.
B-fa Felépítés, alapvető műveletek előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar B-fa Felépítése Beszúrás művelete Törlés
2. Visszalépéses stratégia
2. Visszalépéses stratégia A visszalépéses keres rendszer olyan KR, amely globális munkaterülete: út a startcsúcsból az aktuális csúcsba (ezen kívül a még ki nem próbált élek nyilvántartása) keresés szabályai:
Hasonlósági keresés molekulagráfokon: legnagyobb közös részgráf keresése
Hasonlósági keresés molekulagráfokon: legnagyobb közös részgráf keresése Kovács Péter ChemAxon Kft., ELTE IK kpeter@inf.elte.hu Budapest, 2018.11.06. Bevezetés Feladat: két molekulagráf legnagyobb közös
Térinformatikai algoritmusok Elemi algoritmusok
Cserép Máté 2016. szeptember 14. Analóg programozásnak nevezzük azt, amikor egy feladat megoldásához egy már ismert és megoldott feladat megoldását használjuk fel. Általában nem pontosan ugyanazt a feladatot
Gráfalgoritmusok ismétlés ősz
Gráfalgoritmusok ismétlés 2017. ősz Gráfok ábrázolása Egy G = (V, E) gráf ábrázolására alapvetően két módszert szoktak használni: szomszédsági listákat, illetve szomszédsági mátrixot. A G = (V, E) gráf
Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Követelmények: Aláírás feltétele: foglalkozásokon való részvétel + a félév
Algoritmuselmélet. Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2. előadás
Algoritmuselmélet 11. előadás
Algoritmuselmélet 11. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Március 26. ALGORITMUSELMÉLET 11. ELŐADÁS 1 Kruskal
Nem-lineáris programozási feladatok
Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens
Vállalati modellek. Előadásvázlat. dr. Kovács László
Vállalati modellek Előadásvázlat dr. Kovács László Vállalati modell fogalom értelmezés Strukturált szervezet gazdasági tevékenység elvégzésére, nyereség optimalizálási céllal Jellemzői: gazdasági egység
Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával
Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával * Pannon Egyetem, M szaki Informatikai Kar, Számítástudomány
Számítógép és programozás 2
Számítógép és programozás 2 6. Előadás Problémaosztályok http://digitus.itk.ppke.hu/~flugi/ Emlékeztető A specifikáció egy előfeltételből és utófeltételből álló leírása a feladatnak Léteznek olyan feladatok,
Operációkutatás példatár
1 Operációkutatás példatár 2 1. Lineáris programozási feladatok felírása és megoldása 1.1. Feladat Egy gazdálkodónak azt kell eldöntenie, hogy mennyi kukoricát és búzát vessen. Ha egységnyi földterületen
A minimális költségűfolyam probléma megoldása hálózati szimplex-módszerrel
A minimális költségűfolyam probléma megoldása hálózati szimplex-módszerrel 1 A minimális költségűfolyam probléma megoldása hálózati szimplex-módszerrel DR. BENKŐJÁNOS GATE, Logisztikai Tanszék A hálózat
Teljesítmény Mérés. Tóth Zsolt. Miskolci Egyetem. Tóth Zsolt (Miskolci Egyetem) Teljesítmény Mérés / 20
Teljesítmény Mérés Tóth Zsolt Miskolci Egyetem 2013 Tóth Zsolt (Miskolci Egyetem) Teljesítmény Mérés 2013 1 / 20 Tartalomjegyzék 1 Bevezetés 2 Visual Studio Kód metrikák Performance Explorer Tóth Zsolt
Áttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Áttekintés Kezdjük újra a klasszikus erőforrás allokációs problémával (katonák,
2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 8. Előadás Bevezetés Egy olyan LP-t, amelyben mindegyik változó egészértékű, tiszta egészértékű
Hidraulikus hálózatok robusztusságának növelése
Dr. Dulovics Dezső Junior Szimpózium 2018. Hidraulikus hálózatok robusztusságának növelése Előadó: Huzsvár Tamás MSc. Képzés, II. évfolyam Témavezető: Wéber Richárd, Dr. Hős Csaba www.hds.bme.hu Az előadás
Ütemezési problémák. Kis Tamás 1. ELTE Problémamegoldó Szeminárium, ősz 1 MTA SZTAKI. valamint ELTE, Operációkutatási Tanszék
Ütemezési problémák Kis Tamás 1 1 MTA SZTAKI valamint ELTE, Operációkutatási Tanszék ELTE Problémamegoldó Szeminárium, 2012. ősz Kivonat Alapfogalmak Mit is értünk ütemezésen? Gépütemezés 1 L max 1 rm
Tartalom Keresés és rendezés. Vektoralgoritmusok. 1. fejezet. Keresés adatvektorban. A programozás alapjai I.
Keresés Rendezés Feladat Keresés Rendezés Feladat Tartalom Keresés és rendezés A programozás alapjai I. Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Farkas Balázs, Fiala Péter, Vitéz András, Zsóka Zoltán
Programozási módszertan. Mohó algoritmusok
PM-08 p. 1/17 Programozási módszertan Mohó algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu PM-08 p. 2/17 Bevezetés Dinamikus programozás
Rendezések. A rendezési probléma: Bemenet: Kimenet: n számot tartalmazó (a 1,a 2,,a n ) sorozat
9. Előadás Rendezések A rendezési probléma: Bemenet: n számot tartalmazó (a 1,a 2,,a n ) sorozat Kimenet: a bemenő sorozat olyan (a 1, a 2,,a n ) permutációja, hogy a 1 a 2 a n 2 Rendezések Általánosabban:
Összefoglalás és gyakorlás
Összefoglalás és gyakorlás High Speed Networks Laboratory 1 / 28 Hálózatok jellemző paraméterei High Speed Networks Laboratory 2 / 28 Evolúció alkotta adatbázis Önszerveződő adatbázis = (struktúra, lekérdezés)
MŰSZAKKIOSZTÁSI PROBLÉMÁK A KÖZÖSSÉGI KÖZLEKEDÉSBEN
infokommunikációs technológiák MŰSZAKKIOSZTÁSI PROBLÉMÁK A KÖZÖSSÉGI KÖZLEKEDÉSBEN Készítette: Árgilán Viktor, Dr. Balogh János, Dr. Békési József, Dávid Balázs, Hajdu László, Dr. Galambos Gábor, Dr. Krész
Keresés és rendezés. A programozás alapjai I. Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Farkas Balázs, Fiala Péter, Vitéz András, Zsóka Zoltán
Keresés Rendezés Feladat Keresés és rendezés A programozás alapjai I. Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Farkas Balázs, Fiala Péter, Vitéz András, Zsóka Zoltán 2016. november 7. Farkas B., Fiala
Termeléstervezés és -irányítás Termelés és kapacitás tervezés Xpress-Mosel FICO Xpress Optimization Suite
Termeléstervezés és -irányítás Termelés és kapacitás tervezés Xpress-Mosel FICO Xpress Optimization Suite Alkalmazásával 214 Monostori László egyetemi tanár Váncza József egyetemi docens 1 Probléma Igények
Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása
Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása Bozóki Sándor 1,2, Fülöp János 1,3 1 MTA SZTAKI; 2 Budapesti Corvinus Egyetem 3 Óbudai Egyetem XXXI. Magyar Operációkutatási Konferencia
OpenCL alapú eszközök verifikációja és validációja a gyakorlatban
OpenCL alapú eszközök verifikációja és validációja a gyakorlatban Fekete Tamás 2015. December 3. Szoftver verifikáció és validáció tantárgy Áttekintés Miért és mennyire fontos a megfelelő validáció és
2. Visszalépéses keresés
2. Visszalépéses keresés Visszalépéses keresés A visszalépéses keresés egy olyan KR, amely globális munkaterülete: egy út a startcsúcsból az aktuális csúcsba (az útról leágazó még ki nem próbált élekkel
A szimplex tábla. p. 1
A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex
22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA
22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA A megoldandó feladatok, problémák modellezése során sokszor gráfokat alkalmazunk. A gráf fogalmát a matematikából ismertnek vehetjük. A modellezés során a gráfok több változata is
Függvények növekedési korlátainak jellemzése
17 Függvények növekedési korlátainak jellemzése A jellemzés jól bevált eszközei az Ω, O, Θ, o és ω jelölések. Mivel az igények általában nemnegatívak, ezért az alábbi meghatározásokban mindenütt feltesszük,
Algoritmusok Tervezése. 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás
Algoritmusok Tervezése 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás Mi az algoritmus? Lépések sorozata egy feladat elvégzéséhez (legáltalánosabban) Informálisan algoritmusnak nevezünk bármilyen jól definiált
A számítástudomány alapjai. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
A számítástudomány alapjai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Bináris keresőfa, kupac Katona Gyula Y. (BME SZIT) A számítástudomány
S Z Á L L Í T Á S I F E L A D A T
Döntéselmélet S Z Á L L Í T Á S I F E L A D A T Szállítási feladat meghatározása Speciális lineáris programozási feladat. Legyen adott m telephely, amelyeken bizonyos fajta, tetszés szerint osztható termékből
Konjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással
pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál
Problémamegoldás kereséssel. Mesterséges intelligencia március 7.
Problémamegoldás kereséssel Mesterséges intelligencia 2014. március 7. Bevezetés Problémamegoldó ágens Kívánt állapotba vezető cselekvéseket keres Probléma megfogalmazása Megoldás megfogalmazása Keresési
Algoritmuselmélet 2. előadás
Algoritmuselmélet 2. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Február 12. ALGORITMUSELMÉLET 2. ELŐADÁS 1 Buborék-rendezés
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 3. Előadás
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 3. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Pék Máté 2009. szeptember 21. 1. Folyamok 1.1. Definíció. G = (V, E, K, B) irányított gráf, ha e! v : ekv
Algoritmuselmélet. Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 3. előadás Katona Gyula Y. (BME
1. Előadás Lineáris programozás
1. Előadás Lineáris programozás Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára Operációkutatás Az operációkutatás az alkalmazott matematika az az ága, ami bizonyos folyamatok és
Amortizációs költségelemzés
Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük
angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy
Mohó algoritmusok angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy 1. feladat. Gazdaságos telefonhálózat építése Bizonyos városok között lehet direkt telefonkapcsolatot kiépíteni, pl. x és y város
Ütemezési modellek. Az ütemezési problémák osztályozása
Ütemezési modellek Az ütemezési problémák osztályozása Az ütemezési problémákban adott m darab gép és n számú munka, amelyeket az 1,..., n számokkal fogunk sorszámozni. A feladat az, hogy ütemezzük az
Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Mélységi keresés és alkalmazásai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 9. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Adatszerkezetek II. 1. előadás
Adatszerkezetek II. 1. előadás Gráfok A gráf fogalma: Gráf(P,E): P pontok (csúcsok) és E P P élek halmaza Fogalmak: Irányított gráf : (p 1,p 2 ) E-ből nem következik, hogy (p 2,p 1 ) E Irányítatlan gráf
Térinformatikai algoritmusok Elemi algoritmusok
Cserép Máté Analóg programozásnak nevezzük azt, amikor egy feladat megoldásához egy már ismert és megoldott feladat megoldását használjuk fel. Általában nem pontosan ugyanazt a feladatot oldottuk meg korábban,
Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter
Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter 1 Fák Fákat akkor használunk, ha az adatok között valamilyen alá- és fölérendeltség van. Pl. könyvtárszerkezet gyökér (root) Nincsennek hurkok!!! 2 Bináris fák Azokat
Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai
Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Alkalmazott operációkutatás 1. elıadás 2008/2009. tanév 2008. szeptember 12. Mi az operációkutatás (operations research)? Kialakulása: II.
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function)
Genetikus algoritmusok globális optimalizálás sok lehetséges megoldás közül keressük a legjobbat értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) populáció kiválasztjuk a legrátermettebb egyedeket
Programozás alapjai 9. előadás. Wagner György Általános Informatikai Tanszék
9. előadás Wagner György Általános Informatikai Tanszék Leszámoló rendezés Elve: a rendezett listában a j-ik kulcs pontosan j-1 kulcsnál lesz nagyobb. (Ezért ha egy kulcsról tudjuk, hogy 27 másiknál nagyobb,