Teaching Mahemaics and Saisics in Sciences, Modeling and Compuer-Aided Approach IPA HU SRB/0901/221/088 3D papíron és képernyőn: Három dimenziós alakzaok képi megjeleníése (Az axonomerikus és a perspekív ábrázolás alapjai) Szilassi Lajos A. Dürer fameszee a perspekíva anulmányozásáról Szegedi Tudományegyeem 2011
Taralom Bevezeés... 3 1. Az ábrázoló geomeria eszközei... 3 2. Axonomeria... 5 2.1. Az axonomerikus ábrázolás alapjai... 5 2.2. A kavalier-axonomeria... 7 2.3. Az orogonális axonomeria... 9 3. Perspekíva... 20 3.1. Perspekív kép szerkeszése... 20 3.2. Perspekív kép készíése számíógéppel... 27 4. Az ábrázolási módok összehasonlíása... 33 Ajánlo irodalom... 38 2
Bevezeés A háromdimenziós alakzaokról készülő ponos, rekonsruálhaó rajzoknak az elkészíése a klasszikus ábrázoló geomeria feladaa, amely manapság kiegészül a számíógéppel készülő rajzok eseenkén inerakívan kezelheő, mozgahaó jeleneek készíésével. Ebben az írásban a szemlélees képek készíésének a ké módszeré, az axonomerikus és a perspekív ábrázolás muajuk be elsősorban az előállíás elvi szemponjai, maemaikai háeré szem elő arva. Kiérünk a körző, vonalzó igénylő szerkeszési módokra, valamin arra, hogy számíógéppel mikén lehe ilyen rajzoka előállíani. I nem elsősorban valamely e célra készül szofver kezelési, alkalmazási leheőségei muajuk be, hanem azoknak a maemaikai háeré elemezzük. Célunk az, hogy olvasóink érsék, udaosan szemléljék a papíron, vagy képernyőn eléjük kerülő rajzok készíésének a maemaikai háeré, bemuassuk az egyes ábrázolási módok előnyei, hárányai. Megadjuk a leheőségé annak, hogy olvasóink maguk is készísenek ilyen rajzoka, megfelelő programozói ismereek birokában önálló számíógépi szofvereke is. Az i bemuao rajzok majdnem mindegyikéhez csaoluk a rajzo előállíó fájl. Ezzel mozgahaóvá esszük az ábrázol geomeriai sziuációka, megeremve annak a leheőségé, hogy felhasználóink alaposabban, különböző beállíásokban anulmányozzák azoka. Ennek a ké dinamikus sík-, ill. érgeomeriai szofvernek a használaához i alálunk egyegy rövid bevezeő leírás: Euklides, Euler3D Ugyani alálhaók e szofverek elepíésére vonakozó uasíások is. Maguk a fájlok, a képek alá ír szöveghez csaol hivakozásokkal (linkekkel) akivizálhaók. Az Euklides fájlokhoz aroznak e fájlok aralmára, kezelésére vonakozó leírások is. amelyek a fájllal azonos nevű ex fájlok. Ezek a képekre kainva olvashaók be. Javasoljuk olvasóinknak, hogy ez az írás e szofverek egyidejű inerakív kezelésével együ anulmányozzák. Mindehhez jó munká, az önálló felfedezés örömé kívánjuk. 1. Az ábrázoló geomeria eszközei Manapság a valós, vagy csak elképzel érbeli (három dimenziós) alakzaokról hiheelenül szép kivielezésű, alkalmasin mozgó, ső: inerakívan mozgahaó rajzoka árnak elénk a soka udó számíógépek. A legöbbször leveszik a vállunkról a rajzolás erhé, bár egyúal megfoszanak a rajzolás öröméől is. Semmiképpen nem elégedheünk meg a lávány passzív befogadásával, ha nem is udunk olyan szép rajzoka készíeni, min amik a szemünk elé kerülnek, mindenképpen udnunk kell, hogy mi is örénik, miközben egy érbeli forma, a papírunkra, vagy a képernyőre kerül. Ez a udaosságo szerenénk ki-(vagy ovább-)fejleszeni olvasóinkban, beleérve nem csak az, hogy olvasóink érő szemmel nézzenek meg egy akár kézzel, akár számíógéppel készül rajzo, 3
hanem maguk is képesek legyenek ilyen kézzel rajzol, vagy szerkesze, ső alkalmasin sajá számíógépes programmal előállío rajzok készíésére. Ezér fogjuk mos áekineni az ábrázoló geomeria alapjai, különös ekineel a lászai kép előállíására. Az ábrázoló geomeria feladaa az, hogy a érbeli alakzaokról egyérelműen rekonsruálhaó, szemlélees képe készísen. Olya, amelyről egyarán leolvashaók mind az ado geomeriai alakza szerkezeére vonakozó, mind a merikus adaok. Módszere a veíés: párhuzamos vagy egy ponból kiinduló egyenesekkel egy vagy öbb (kép)síkra a papír vagy a képernyő síkjára veíjük az ábrázolandó geomeriai alakzao. Ha az egyszerűbb szerkeszheőség vagy a könnyebb rekonsruálhaóság, az adaok mérehű leolvashaósága az ábrázolás elsődleges szemponja, akkor a Monge 1 -féle ké képsíkos, más szóval veülei ábrázolás a megfelelő ábrázoló geomeriai eszköz egy érgeomeriai alakza egyérelmű meghaározására. Ha a szokásos módon csak ké képsíko használunk az alakza megadására, akkor pl. egy poliéder (sokszöglapú mérani es) egyérelmű megadásához el kell neveznünk a csúcsoka, külön megjelölve minden csúcspon első (azaz felülnézei, és második, azaz elölnézei képé. E nélkül csupán a ké képből olykor nem rekonsruálhaó egyérelműen a érbeli alakza. Egy harmadik (oldalnézei) kép jelenősen hozzájárulha az alakza egyérelmű rekonsrukciójához. Egy poliéder felülnézei, elölnézei és (jobboldali 2 ) oldalnézei képe Ha az ábrázolás elsődleges célja a szemléleesség, akkor inkább az axonomerikus vagy a perspekív ábrázolás űnik megfelelő eszköznek. Az előbbi poliéder axonomerikus és perspekív rajza. 1 Gaspard Monge (1746 1818) francia maemaikus, a francia forradalom uán engerészei miniszer, hadügyi szervező. 2 A jobboldali jelző arra ual, hogy a jobb kezünk irányából veíjük az alakzao az alakza első ké képéől balra elhelyeze harmadik képsíkra, így az a képsíkok egyesíése (a papírunk síkjába örén forgaása) uán az oldalnézei kép a rajz baloldalára kerül. 4
Mos az axonomerikus és perspekív ábrázolás alapjainak megismerésé űzzük ki célul. Nem csak azér, hogy ilyen ábrák elkészíésében némi járasságo szerezzenek olvasóink, hanem azér is, mer a (an)könyvekben és a számíógép képernyőjén főkén axonomerikus, illeve perspekív képekkel alálkozunk. Így felélenül szükségesnek arjuk, hogy ezeke érő módon, olykor kellő kriikával szemléljék. Meg fogjuk vizsgálni egy-egy ábrázolási mód előnyei és hárányai, ehhez öbbnyire ugyanannak az alakzanak a különböző ábrázolási módokban készül képei állíjuk elő. 2. Axonomeria 2.1. Az axonomerikus ábrázolás alapjai Az axonomerikus ábrázolás lényege, hogy egy érbeli derékszögű koordináarendszerben helyezzük el az ábrázolandó érgeomeriai alakzao, majd ezzel a koordináa-rendszerrel együ párhuzamos veíéssel veíjük egyelen síkra, az úgyneveze axonomerikus képsíkra. Maga az axonomeria szó a lain axis=engely és a mérés szavakon alapuló szóösszeéellel kelekeze Legyen ado a érben három, egy ponra (az origóra) illeszkedő egymásra páronkén merőleges, irányío egyenes, x, y és z, amelyek ebben a sorrendben un. jobbsodrású 3 rendszer alkonak. Helyezzünk el ebben az un. érbeli derékszögű koordináarendszerben egy P pono. Merőlegesen veísük rendre az (x,y), (y,z) és az (x,z) síkokra, majd az így kapo P, P és P pono az eredei P ponal és a engelyekkel együ veísük párhuzamos veíéssel a papírunk (képernyőnk) síkjára, az axonomerikus képsíkra, amely nem lehe párhuzamos a veíés irányával. A koordináaengelyek képé axonomerikus engelykeresznek nevezzük. A ponok axonomerikus képé ugyanúgy jelöljük, min magá a érbeli pono. Ha a P, P, P, P ponok közül bármely keő megfelelő módon ado, akkor a öbbi egyérelműen szerkeszheő. A megfelelő mód jelen eseben az jeleni, hogy a pon megfelelő rendezőinek a megfelelő koordináa engelyekkel párhuzamosnak kell lennie. Így pl. a PP'P P" egy olyan paralelogramma, amelynek az oldalai párhuzamosak az x ill. z engellyel. (P y a P-n ámenő (x,z) síkkal párhuzamos síknak az y engellyel alkoo meszésponja.) Ez a köveelmény lényegében azonos azzal, ahogy a Monge-féle ábrázolásban a pon ké képé összeköő rendezőnek merőlegesnek kelle lennie a képsíkok meszésvonalára. y 3 A jobbsodrású az jeleni, hogy ha a jobb kezünk hüvelyk ujja (durván) az x, a muaó ujjunk az y engely poziív felével egyező irányba mua, akkor a középső újunka az előző keő síkjára merőlegesen arva az a z engely poziív felével lesz egyirányú. Megjegyezzük, hogy ez épp úgy a maemaikán kívüli megállapodás, min ahogy a síkban az óramuaó járásával ellenées forgásirány ekinjük poziívnak. 5
M Z P''' P P z P'' O P y Y X P x P' Egy pon axonomerikus képe Felada: Ado egy axononomerikus engelykeresz, A P és P" pon (ahol P P'' párhuzamos az X engellyel. Szerkesszük meg a P', P''' valamin a Px,Py, Pz ponoka. (A P" pon megadásá az M pon mozgaásával érjük el.) A P ponnak a koordináaengelyekre eső merőleges veüleeinek, a P x, P y, P z ponoknak az axonomerikus képeiből ugyancsak egyérelműen meghaározhaó a P pon axonomerikus képe. Ezek a ponok viszon egyérelműen meghaározhaók, ha ado a koordináaengelyekkel párhuzamos egységnyi szakaszoknak az axonomerikus képe. Lényegében a P pon koordináái a érbeli derékszögű koordináarendszerben (P x, P y, P z ). Így az mondhajuk, hogy egy derékszögű koordinááival ado pon axonomerikus képe egyérelműen meghaározo. De vajon rekonsruálhaó is? Erre a kérdésre ad válasz az axonomerikus ábrázolás legalapveőbb összefüggése: POHLKE 4 TÉTELE: Legyen ado a síkban három, egy ponból kiinduló különböző irányú, eszőleges hosszúságú szakasz. Mindig alálhaó a érben három egymásra páronkén merőleges és egyenlő hosszú szakasz (ilyen például egy kocka egy csúcsából kiinduló három éle), amelyeke egy alkalmasan válaszo párhuzamos veíés a sík megado szakaszaiba képez le. A párhuzamos veíés során a párhuzamos egyenesek veüleei párhuzamosak maradnak (vagy egybeesnek), ezér bármely olyan rajzról, amely három páronkén közös oldallal rendelkező paralelogrammából áll, az mondhajuk, hogy az egy kocka párhuzamos veíéssel kapo képe. Ez a veíés persze a legöbbször nem merőleges az axonomerikus képsíkra (a papírunk síkjára). Éppen i a probléma. Egy rajzra ugyanis öbbé-kevésbé rá merőleges irányból szokás ránézni, miközben az ilyen rajzo alkalmasin egészen lapos szögből és a megfelelő irányból kellene néznünk ahhoz, hogy onnan nézve olyannak űnjön a kép, amely jól megközelíi a valódi alakzao. Az olyan axonomeriá, amelyben a veíés iránya nem merőleges az axonomerikus képsíkra, ferdeszögű (klinogonális) axonomeriának nevezzük. Klinogonális axonomeriában igen könnyű lerajzolnunk egy poliéder, hiszen arra kell csak ügyelnünk, hogy a párhuzamos szakaszok közöi párhuzamosság és arányarás megmaradjon a képen is. Persze öbbnyire nem leheünk elégedeek ezekkel a rajzokkal, hiszen nem könnyű elalálnunk, honnan kellene ránéznünk a papírra ahhoz, hogy a valóságo jól közelíőnek vélhessük a képe. 4 Karl Pohlke(1810-1876) néme gimnáziumi anár 1853-ban ismere fel a nevéhez fűződő összefüggés, de csak 1860-ban közöle a Darsellende Geomerie című ankönyvében (bizonyíás nélkül). 6
Mondjuk az, hogy a érbeli derékszögű koordináa-rendszer engelyei legyenek ennek a kockának az él-egyenesei, és legyen egységnyi e kocka éle. A sík alálomra felve három, közös kezdőponú szakasza eszerin e koordináaengelyek irányá, és ezeken a engelyeken az egységnyi szakasz képé jelenik. Ezeknek a szakaszoknak és a érbeli kocka élének a hányadosá az x, y, illeve z engely meni rövidüléseknek nevezzük. (Ez a hányados alkalmasin 1-nél nagyobb is lehe: gondoljunk arra, hogy esefelé egy leűzö bo árnyéka nagyobb is lehe, min maga a bo.) Egy síkidom és a síkidom párhuzamos veülee közö un. affin kapcsola áll fenn. Például az origóból kiinduló x, ill., y engelyre illeszkedő egységszakaszok affin képei e szakaszoknak a (eszőlegesen megado) képe lesz. Ezek egyérelműen meghaározzák az az affiniás, ami a (érbeli) xy sík és axonomerikus képe közö fennáll. Így a Mongeábrája alapján egyérelműen és rekonsruálhaó módon szerkeszheő az alakza axonomerikus képe. Ugyancsak egyérelműen és rekonsruálhaó módon ábrázolhaó minden érbeli derékszögű koordinááival, ehá egy számhármassal megado pon. Ugyanis az axonomerikus rendszer lényegében egy közös origóból kiinduló három számegyenesből áll. Az ábrázolás elnevezése is erre ual: az axonomeria a lain axis = engely és a mérés szavakból képze szó. Egy konkáv poliéder klinogonális axonomerikus képei Felada: Egy klinogonális axonomerikus rendszer adunk meg, amelyben a engelyek iránya és a rövidülések eszőlegesen felveheők. Ennek speciális esee a kavalier axonomeria, amelyben az Y és Z engely merőleges egymásra, és ezeken a rövidülések egységnyiek. Ez a engelykeresze fogjuk felhasználni különböző alakzaok ábrázolására. Egy konkáv poliéder: (4. fólia) 2.2. A kavalier-axonomeria Van a klinogonális axonomeriának egy gyakran alán úlságosan is gyakran használ speciális esee, az úgyneveze kavalier-axonomeria. Ebben az axonomeriában a érbeli koordináa-rendszer (y,z) síkja párhuzamos az axonomerikus képsíkkal, így az y és z engelyen a rövidülés 1, az x engelyen amely ezekhez képes eszőlegesen állha kisebb és nagyobb is lehe 1-nél. (Többnyire 1/2-nek vagy 2/3-nak szokás válaszani, de ez egyálalán nem köelező.) 7
Ugyanannak az alakzanak a ké különböző kavalier axonomerikus képe Ebben az ábrázolási módban a veíés iránya szükségképpen ferde, ha ugyanis merőleges lenne, akkor puszán egy elölnézei veülei képe kapnánk, amely ermészeesen nem elegendő az alakza egyérelmű megadásához, rekonsruálásához. A kavalier-axonomeria előnye, hogy az (y,z) síkkal párhuzamos helyzeű síkban mondjuk így: a homloksíkban fekvő részleek egybevágók az axonomerikus képeikkel. Innen származik az elnevezése is: kiválóan alkalmas épüleek olyan némi érhaás muaó ábrázolására, ahol az épüle elölnézeének például a várak kiugró díszes homlokzaának, az úgyneveze kavaliereknek a hangsúlyozása vol a cél. Ez az ábrázolási mód bár könnyű benne például kocká vagy kockákból álló alakzaoka ábrázolni olyan képe eredményez, amilyennek valójában soha nem láunk egy kocká. Rajzoljuk meg egy kavalier-axonomeriában készül kocka négyzelapjainak beír körei. A homloksíkba rajzol kör képe kör, a másik keőé egy-egy olyan ellipszis, melynek konjugál ámérői 5 a kocka szemközi éleinek a felezőponjai összeköő szakaszok. Ebben az ábrázolási módban készül (kockába ír) egyik hengerről sincs olyan benyomásunk, hogy azok egyenes körhengerek, különösen ha nem lájuk vele együ a köré ír kocká. Kockába ír hengerek kavalier axonomeriában Felada: Ábrázoljunk klinogonális axonomeriában egy kocká, a lapjaira rajzol beír köröke, majd a kocka beír hengerei. Megoldás: A kocka: 4. fólia A kocka a lapok beír köreivel: 4., 5., 6. 7. fólia Hengerek: 5. és 8. fólia vagy: 6. és 9. fólia, vagy: 7.és 10. fólia. 5 Egy ellipszis ámérője bármely olyan húr, amely illeszkedik az ellipszis középponjára. Konjugál ámérőpár: ké olyan ámérő, amelyek egyike párhuzamos a másik végponjaiba húzo érinőkkel. Ez a ké ámérő közöi reláció szimmerikus. 8
A kavalier-axonomeria úlságosan elerjed, a ankönyvek legöbbször ebben az ábrázolási módban muanak be minden olyan érgeomeriai sziuáció, ahol derékszöge (is) kell ábrázolni. Ez pedig rossz irányba fejleszi diákjaink érszemléleé. Talán az ábrák készíésekor is érvényesíeni kellene a udományos ismereerjeszésnek (ankönyvírásnak) az az álalános elvé, miszerin szabad ugyan elhallgani azoka a dolgoka, amelyek megérése mélyebb ismereeke igényelne az elvárhaónál, de félrevezeni az ismereerjeszés alanyá (a diáko) nem szabad. Márpedig a kavalieraxonomeria félrevezeő érszemléle-fejleszési leheőség. Az axonomerikus ábrázolásban kevésbé járas alanyokkal érdemes elvégezeni az alábbi kísérlee : Minden előzees bevezeés nélkül arra kérjük meg őke, hogy rajzoljanak (szabadkézzel) egy érbeli derékszögű koordináa-rendszer. A legöbben anélkül, hogy ez udaosan ennék kavalier axonomerikus ábrá készíenek. Ezuán megbeszéljük, hogyan szokás elnevezni a engelyeke ahhoz, hogy x, y, z sorrendben jobbsodrású rendszer alkossanak, és abban állapodunk meg, hogy az (x,y) sík a vízszines sík. Ez köveően űzzük ki az a feladao, hogy rajzoljanak le ebben a vízszines síkban egy origó középponú kör. A nagyobb nyomaék kedvéér célszerű rögzíeni, hogy a felada kiűzője egy érgeomeriai sziuációról beszél, a papírra viszon ennek a (síkbeli) rajzara kerül. Így a kísérle részvevőiben udaosul, hogy ellipszis kell rajzolniuk. Gyakran kelekeznek az alábbi ábrának megfelelő rajzok. Z Y X Egy ipikus rajzolási hiba Ez köveően űzzük ki az a feladao, hogy húzzanak a körhöz érinő az y engellyel alkoo meszésponjába. A felada ismé egy érgeomeriai sziuáció, amely az ő rajzukon az jeleni, hogy egyrész az x engely képével párhuzamos egyenes kellene rajzolniuk, másrész a rajzon lévő ellipszis végponjába kellene érinő húzni, amelynek merőlegesnek kell lennie az ellipszis nagyengelyére, jelen eseben az y engelyre. Hol a hiba ebben a rajzban? Nyilvánvalóan o, hogy kavalier axonomeriában nem így kell kinéznie egy vízszines síkban fekvő körnek, miközben ha ránézünk egy vízszines síkban fekvő körre, az ilyennek szokuk láni. 2.3. Az orogonális axonomeria A érgeomeriai alakzaok lerajzolására az orogonális (merőleges) axonomeria űnik a legalkalmasabbnak, amely a érbeli engelykeresze az abban elhelyeze alakzaal együ merőlegesen veíi az axonomerikus képsíkra. Ugyanis ebben az ábrázolási módban 9
min minden axonomeriában a párhuzamos és egyenlő szakaszok képei is párhuzamosak és egyenlők, így jól szemléleheik például egy poliéder élei közöi kapcsolaoka. Ugyanakkor, mivel merőleges veíéssel készülek a rajzok, ha merőleges irányból ekinünk a képre, majdnem ponosan olyannak lájuk az, min magá a érbeli alakzao lánánk. Azér majdnem, mer valójában minden árgyról perspekív kép képződik a szemünkben, amelyen a valóságban párhuzamos szakaszok nem lászanak párhuzamosnak, bár egy nem úl nagy árgya kellő ávolságból nézve ez az összearás alig észreveheő. Másrész a ké szemünk érláás bizosí, ami egyelen rajz soha nem ud nyújani. Erre később fogunk kiérni. Mos ismerkedjünk meg az orogonális axonomeriával. Egyrész azér, hogy magunk is udjunk ilyen rajzoka készíeni, másrész azér, mer nem ár szem elő aranunk, hogy a számíógépes ábrák jórész ezzel a módszerrel készülnek, és jó dolog érő módon szemlélnünk egy ilyen rajzo. Orogonális axonomerikus kép előállíása szerkeszéssel A kelekező kép szemponjából mindegy, hogy a érbeli engelykeresze és az abban elhelyeze alakzao az axonomerikus képsík elé vagy mögé helyezzük. Mos gondoljuk az, hogy mögöe van, és a koordináaengelyeke az axonomerikus képsík az A, B és C ponokban meszi, melyek az úgyneveze nyomháromszög csúcsai. Jelölje x, y, z, O a érbeli engelykeresze és origójá, x, y, z és O ezeknek az ABC síkra eső merőleges veüleei. Mivel a veíés iránya merőleges a képsíkra (az ABC síkjára), ezér O O ABC. Ebből adódóan CO T ABC, ahol T CO AB. Másrész, mivel z x y ABO mind az CO, ezér CO T ABO. Így mivel a CO T -re ABC, mind az ABO merőleges, így ezek meszésvonala is: ezér CO T AB. Ez az jeleni, hogy a CO T minden egyenese merőleges AB-re, így CO AB. Hasonlóan láhaó be az AO BC, valamin az BO CA összefüggés is. z C d x (O ) A d O T d B y Tengelyek képsíkszögei orogonális axonomeriában Felada: Adjunk meg egy orogonális axonomerikus rendszer az ABC nyomháromszögével. (Ennek hegyesszögűnek kell lennie.) Szerkesszük meg a engelyek képsíkszögei, ez alapján a rövidüléseke 10
Javasoljuk a szerkeszési lépések nyomon köveésé: Disanc szerkeszése: (1. 3. fóla) Képsíkszögek szerkeszése (1., 3., 4. fólia) Rövidülések (1., 2., 5. fólia) Egy alakza rajza: (2., 6. fólia). Eredményünk az jeleni, hogy az ABC magasság-egyenesei lesznek a engelyek merőleges veüleei, magasságponja az O pon. Eszerin egy orogonális axonomerikus rendszer megadhaunk a három engely képével; a hegyesszögű ABC nyomháromszöggel; a ompaszögű AOB háromszöggel. Mindhárom eseben ugyanahhoz az ABC nyomháromszöghöz juunk, amelynek a magasságponja O. Feladaunk az, hogy ezekből az adaokból kiindulva megszerkesszük az orogonális axonomeria rövidülései: a érbeli engelyekre mér egységnyi szakaszok képei. Ehelye a érbeli engelyeknek a képsíkkal bezár szögei fogjuk megszerkeszeni, mivel ha egy eszőleges szakasz szerenénk felmérni valamelyik engelyre, akkor elegendő ez a szakasz felmérnünk az ado engely képsíkszögének az egyik szárára, és ennek a másik szárra eső merőleges veülee máris a kerese ado rövidülésű szakasz lesz. A z engely képsíkszöge a CO T háromszög TCO szöge lesz. Ennek a megszerkeszéséhez elegendő a képsíkba (a papírunk síkjába) forgani a derékszögű CO T -e, melynek a CT áfogója, valamin a befogójának az áfogóra eső merőleges veülee, O már raja is van a rajzon. A CT Thalész-körének a megszerkeszésével kapo O CO -e, másrész mellékermékkén megkapuk a C OT aralmazza a kerese d OO OO ávolságo, melye az orogonális axonomeria disancának szokás nevezni. Ugyanez a szerkeszés elvégezhenénk a másik ké engely képsíkszögének a meghaározásához is, de mivel már a d disanc ismer, könnyen megszerkeszhejük azoka a derékszögű háromszögeke, melyek egyik befogója AO, illeve BO, a kerese képsíkszögekkel szemközi befogója pedig d. Mire ez a szerkeszés elvégezük, zavaróan sok vonal kerül az ábránkra ahhoz, hogy még ugyanerre a rajzra zsúfoljuk valamilyen geomeriai alakza axonomerikus képé is. Ezér célszerű egy külön papírra ámásolnunk a engelyek axonomerikus képei, valamin az imén megszerkesze képsíkszögeke. Így már elegendő puszán a szerkeszendő alakzara (poliéderre) figyelnünk. 11
z x y z képsík q x q y q z 1 y x Egy alakza képe orogonális axonomeriában A feni szerkeszés célja lényegében az vol, hogy megszerkesszük a koordináaengelyeken képződő rövidüléseke. Ezek ismereében már ugyanúgy kell egy geomeriai alakzao (poliéder) lerajzolni, min az a klinogonális axonomeriában eük, csak az így kapo rajz sokkal valóságosabbnak űnik. Az, hogy mos lényegében a koordináaengelyek képsíkszögei szerkeszeük meg, jól ki udjuk használni, ha nem csak az egységnyi, hanem egy eszőleges szakasz szerenénk felmérni a koordináarendszer valamelyik engelyére. Az orogonális axonomerikus engelykeresz rövidülései más úon is megkaphajuk, rövidebb szerkeszéssel, de kissé mélyebb meggondolások árán. Amelle, hogy megszerkeszjük ezeke a szakaszoka, megadunk egy ranszformációs képlee is, amellyel kiszámíhaók egy érbeli koordinááival ado pon axonomerikus képének a (képernyő síkjában ve) koordináái, így bármely poliéder csúcsainak megadhajuk az axonomerikus képei, amelyek alapján a programozásban kissé járas olvasóink a képernyőn is elő udják állíani egy poliéder orogonális axonomerikus képé. Orogonális axonomerikus kép előállíása számíógéppel A meggondolás lényege, hogy alkalmas módon elhelyezzük a képsíkhoz képes a érbeli derékszögű koordináa-rendszer három engelyén felve egységnyi szakaszá, az O X, O Y, O Z szakaszoka, majd megszerkeszjük a képsíkra eső merőleges veüleeike. Egyben kiszámoljuk e szakaszok végponjainak a képernyő koordináa-rendszerében ve koordináái. Akkor, amikor egy számíógép képernyőjén láunk mozogni egy érgeomeriai alakzao, vagy éppenséggel mi mozgajuk az, arra kell gondolnunk, hogy mihez képes mozog ez az alakza. A számíógépes rajzoka előállíó programozók úgy gondolkodnak, hogy van egy a képernyőhöz mondjuk inkább így: a képsíkhoz képes rögzíe síkbeli koordináa-rendszer, valamin van egy mozgó érbeli koordináa-rendszer, amelyben leírjuk az ado alakzao például egy poliéder. Amikor axonomerikus képe állíunk elő (akár szerkeszéssel, papíron, akár számolással a képernyőn) lényegében a mozgó 12
érbeli koordináa-rendszerben megado ponoknak az álló koordináa-rendszerben ve képé kell meghaároznunk. Legyenek a képsík (álló, rögzíe) koordináa-rendszerének a engelyei u (a vízszines) és v (a függőleges). Ideiglenesen ekinsük ez a koordináa-rendszer is érbelinek, legyen a harmadik, a képsíkra merőleges engelye w, amely felénk mua, ha az (u, v, w) rendszer jobbsodrású. Először legyen O, X és Y a papírunk (képernyőnk) síkjában úgy, hogy a ké koordináarendszer origója essen egybe, az Y pon illeszkedjen az u, X a v engelyre. Ekkor amennyiben a érbeli koordináa-rendszerünk is jobbsodrású az O Z vekor ugyancsak a képsíkra merőlegesen áll, és felénk mua. Ebben a helyzeben a vizsgál ponok koordináái az (u, v, w) rendszerben: 13 X 0, 1, 0 Y 1, 0, 0 Z 0, 0, 1 Ekkor még az X pon a képsík C, az Y pedig a B ponjával esik egybe, ahol A, B, C és D az u, illeve a v engelynek az origóól egységnyi ávolságra lévő ponjai. Ké forgaással elérheő, hogy a érbeli koordináa-rendszer minden olyan eszőleges helyzee felvegyen a képsíkhoz képes, amelyben a z engely képe a képsík függőleges egyenese. Először forgassuk el az így beállío érbeli koordináa-rendszer a sajá z =O Z engelye körül COX -gel. Térbeli engely körüli forgásról lévén szó, kissé nehézkesebb meghaároznunk, hogy milyen a forgás iránya. Állapodjunk meg abban, hogy a forgásirány akkor poziív, ha a forgásengely irányával i az OZ iránnyal ellenées irányba nézve az poziívnak lájuk. Ez jelen eseben az jeleni, hogy amíg a z engely nem mozdíjuk meg - növelve az lájuk a képen, hogy az X és vele együ az Y pon is negaív irányban mozdul el. (Azér ez az irány és szöge rögzíeük, mer a legöbb érgeomeriai alakzaok számíógépes ábrázolásá végző program is ez eszi.) Ekkor a érbeli egységvekorok végponjai: X sin, cos, 0 Y cos, sin, 0 Z 0, 0, 1 A másik forgaás legyen a képsík u=ob engelye körüli szögű forgaás. Egy ilyen forgaás során a Z pon az u engelyre, így a képsíkra is merőleges körön mozog, amelynek az ámérője CD, az X pon egy ezzel párhuzamos síkú cos, az Y egy sin sugarú X h X, illeve Y h Y ámérőjű körön mozog. Körzővel-vonalzóval vagy például az EUKLIDES dinamikus szerkeszőprogrammal meglepően könnyen megszerkeszhejük a érbeli koordináa-rendszerünk (orogonális axonomerikus) képé. Legyen BOM, ahol az M pon a k kör eszőleges ponja. A Z pon képe amely a képsík v engelyére illeszkedik az M pon CD-re eső merőleges veülee: Z. Mivel a z engellyel együ forog az (xy) sík is, az (xy) sík minden ponjának a merőleges veülee olyan arányban kerül közelebb vagy ávolabb a képsík u engelyéhez, min az M pon u-ra eső merőleges veülee, V az origóhoz:
X hx XX YhY YY Mindez alán világosabbá eszi egy olyan rajz, amelyen profilból muajuk a képsíko: AV VB A képernyő síkja és a érbeli derékszögű koordináarendszer oldalnézei képe Ennek megfelelően a érbeli egységvekorok végponjai az (u, v, w) koordináarendszerben: X sin, cos cos, cos sin Y cos, sin cos, sin sin Z 0, sin, cos Ezek közül az első ké koordináa adja az egységvekorok axonomerikus képeinek a P x, y, z pon, akkor ennek a ponnak koordináái. Ha ado érbeli koordinááival egy az axonomerikus képé, u v P, - az alábbi képleel számíhajuk ki: u x sin ycos v x cos cos ysin cos zsin Mellékermékkén megkapuk az is, hogy ez a P pon milyen ávolra van a képsíkól: w x cos sin y sin sin z cos Erre az adara akkor lesz szükségünk, ha majd perspekív képe szerenénk rajzolni a képernyőre. A feni képleekben szereplő és szögek a földrajzi helymeghaározásban is használ polár-koordináák. Tulajdonképpen e polár-koordináák irányából nézve képezünk orogonális axonomerikus képe a koordináa engelyekből és az azokon mér egységnyi szakaszokból. 14
D X h Z M Z k Y h A O= Z V B O X Y Y (XY) sík X C Rövidülések szerkeszése a veíési irány polár-koordinááiból Felada: Adjunk meg egy orogonális axonomerikus rendszer a z engely körüli, valamin a képsík vízszines engelye körüli forgaásokkal. A megszerkesze engelyirányoka ill. rövidüléseke a mozgahaó F és V ponok vezérlik. Mivel orogonális axonomerikus rendszer felvéelére ez a legrövidebb és legkönnyebben vezérelheő módszer, az alakzaok (kocka, dodekaéder, ikozaéder) orogonális axonomerikus képnek a megszerkeszésére ez a rendszer használjuk, a szerepáadás módszeré alkalmazva. Beállío animáció: az F pon körbeforgaásával a rendszer a z engely körül forog. 3. fólia: a rövidülések szerkeszése. A ké válozahaó szöge beállíó alapponok mozgaásával rendkívül könnyen válozahajuk az ábrázolandó poliéder helyzeé abban az animáció is aralmazó EUKLIDES programban, amellyel az alábbi ábrák készülek: Egy poliéder orogonális axonomerikus képei Felada: Ábrázoljuk orogonális axonomeriában a korábban klinogonális axonomeriában már előállío alakzao. Megoldás: A feladahoz az az orogonális axonomerikus rendszer válaszouk, amelyben a mozgahaó F és V ponokkal, valamin az e egységvekorral aduk meg az orogonális axonomerikus rendszer. A az alakzao a klinogonális axonomerikus rendszerből veük á, a fájl beszúrása menüponal, majd áhelyezük az orogonális axonomerikus rendszerbe a rendszer meghaározó ponok szerepáadásával. Animációkén beállíouk a Z engely körüli forgás. 15
A mellékékel ké EUKLIDES fájl felhasználói észreveheék, hogy az előbbi fájlban a kapo alakzaoknak a z engely körüli forgaásá az F pon mozgaásával, az előre-hára dönésé vagyis a képernyő u engelye körüli forgaásá a V pon mozgaásával érük el. Ehhez az F ponnak csak a vízszines, V-nek csak a függőleges irányú mozgásá használuk ki. E keő össze is lehe vonni. Ez eük az uóbbi fájlban, ahol egyelen M pon mozgaásával érük el ez a ké forgaás. Ez eszi a legöbb érgeomeriai alakzaok ábrázolásá végző program, így az Euler3D is, ahol a lenyomo egérgomb ponosan ugyanígy mozgaja a kapo alakzao. Egy poliéder orogonális axonomerikus képe az Euler3D ben. A feni Euler3D rajzo az egérrel mozgava észrevehejük, hogy a képernyő ablak alsó sorában ké paraméer érék válozik. Ezek az érékek e ké forgaás szögének (vagyis a veíési irány polárkoordinááinak a fokokban mér érékei. Rajzoljunk mos le egy kockába ír egyenes körhenger orogonális axonomeriában. Figyeljük meg, hogy bárhogyan áll is egy orogonális axonomeriában rajzol egyenes körhenger, a kapo kép úgyneveze konúr-alkoója minden eseben az alap-, illeve fedőkör képekén kapo ellipszis a nagyengely végponjaiban érini. Kockára rajzol körök és kocka beír hengerei orogonális axonomeriában. Felada:Ábrázoljunk egy kocká a lapokra rajzol beír körökkel együ orogonális axonomeriában. Megoldás: Beolvasuk az Orax2 fájl, majd a klinog2-, amelyen a kíván rajz szerepel klinogonális axonomeriában, és szerepáadással áviük a klinogonális axonomeria rövidülései meghaározó 4 pono az orogonális axonomeria rövidülései adó ponokba. A fájlban beállío animáció a Z engely körüli forgás. Visszaérve a hibás rajzunkra: vagy az (xy) síkban fekvő kör is kavalieraxonomeriában kelle volna rajzolnunk, vagy ha vízszines engelyű ellipszis szerenénk kapni, a vízszines síkban fekvő kör képekén legalább közelíőleg orogonális axonomerikus engelykeresze kelle volna felvennünk. (Mos derül fény a felada 16
kiűzőjének a galádságára, hogy előbb a engelykeresze rajzolaa meg, és csak ez köveően a kör képé.) Z Y X A hibás rajz és a ké javíási leheősége Olykor sokkal könnyebb a gombhoz megkeresni a megfelelő kabáo. Mos is ez a helyze. Legyen ado egy eszőleges öbbnyire vízszines nagyengelyű ellipszis, amelye ekinsünk egy orogonális axonomerikus engelykeresz (xy) síkjában felve egységnyi sugarú kör képének. Ehhez keressük meg a engelyeke, és azokon a megfelelő rövidüléseke. A z engely ermészeesen a nagyengelyre merőleges lesz. Mivel a nagyengely fele: a=1, a kisengely a korábbi jelölésnek megfelelően b cos, a z engelyen lévő rövidülés 2 2 pedig q z sin a b c, vagyis éppen fókuszávolság fele. Az x és y engelyeken mér rövidülések végponjai az ellipszisre illeszkednek, így ezek egyiké eszőlegesen megadhajuk az ellipszis egy álalános helyzeű (azaz a nagy- és kisengely végponjaiól különböző) ponjával. A másik engely és ezen a rövidülés az ehhez konjugál ámérő végponjakén kapjuk. Ezzel az orogonális axonomeria engelykereszjének és rövidüléseinek egy újabb, alán a legrövidebb szerkeszési leheőségéhez juounk. c = q z a = 1 q x q y Az orogonális axonomerikus rendszer megadhaó ké engellyel és az azon mér rövidülésekkel. Felada: Legyen ado egy ellipszis konjugál ámérőivel. Adjuk meg az az orogonális axonomerikus rendszer, amelyben ez az ellipszis egy kör axonomerikus képe. Megoldás: Először a konjugál félámérőkből szerkesszük meg az ellipszis engelyei, majd a fúkuszponjai. Ez pl. az un Ryz szerkeszéssel kaphajuk meg. 1. és 3. fólia. Henger rajza: 1. és 2. fólia. A hengeré és a köré ír kocka : 1. 2. 4. fólia 17
Ha a ké engelyen a rövidülés egy ellipszis ké konjugál fél-ámérője, akkor az egység a nagyengely fele, a harmadik engely iránya a kisengely iránya, ezen a rövidülés az ellipszis fókuszávolságának a fele. Gömb főkörmeszeei orogonális axonomeriában (rövidüléseke), Szerkesszük meg a harmadik engely és azon a rövidülés. Megoldás: Lényegében ellipszis kell szerkeszenünk aegy konjugál ámérőpárjából. A harmadik engely a kisengelyiránya, azon a rövidülés az ellipszis fél-fókuszávolsága. (1., 2., 3., 4.fólia) Ellenőrzéskén ugyanez a szerkeszés elvégezzük a másik ké engelyre, így három, egymásra páronkén merőleges, egységsugarú, origó középponú kör képé kapjuk. A három kör rajzá alkoó ellipszisek nagyengelyei egyenlők, ez az egység. Egy ekkora sugarú kor a gömb orogonális axonomeriában ve konúrköre. (4., 5., 6., 7. fólia) Animáció egy körbe forgó kör képéről: 8. fólia. Így pl. a Ryz szerkeszés 6 felhasználásával igen könnyen készíheünk orogonális axonomerikus képe egy gömbnek a koordináasíkokkal alkoo főkör-meszeeiről, amelyek mind azonos nagyengelyű ellipszisek. Az izomerikus (egyméreű) axonomeria Orogonális axonomerikus képe szerkeszve majdnem minden beállíás helyes rajzo eredményez. Azonban az orogonális axonomeriának is vannak speciális eseei. Legkönnyebb orogonális axonomerikus képe készíeni az úgyneveze izomerikus (egyméreű) axonomeriában, amelyben a engelykeresz képei 120-os szöge zárnak be egymással, így a rövidülés mindhárom engelyen ugyanakkora, ezér a rövidülések szerkeszésével nem is kell foglalkoznunk. Ebben az ábrázolási módban például egy kocka legközelebbi és legávolabbi csúcsának egybeesik a képe, ami ilyen leheelen háromszög készíésére adha ölee, amilyennel Escher művészeében gyakran alálkozunk 6 A műszaki gyakorlaban gyakran használ szerkeszési eljárás, az un. Ryz szerkeszés, amely az ellipszis ké, egymáshoz konjugál ámérőjéből állíja elő az ellipszis engelyei. 18
M.C. Escher: Relaiviás Escher háromszöge és egy kocka izomerikus axonomeriában Az mondhajuk, hogy az álalános helyzebe beállío orogonális axonomerikus kép a legalkalmasabb érgeomeriai alakzaok szemléleésére. Ezzel a kijelenéssel bizonyára olvasóink is egye fognak éreni, ha összehasonlíják a kocka lapjaira rajzol körök és a kockába ír hengerek korábbi kavalier-axonomerikus képei az orogonális axonomerikus képekkel! Ilyen rajz készíése elvárhaó aól profi grafikusól, aki például ankönyvi ábrák készíésére vállalkozik, de nem felélenül várhaó el aól a maemaikaanáról, akinek nap min nap fel kell skiccelnie egy-egy kocká vagy bármilyen poliéder a áblára. Lehene az anácsolni, hogy egyszer készísen el egy jó orogonális axonomerikus rajzo, és az sablon -kén alkalmazza minden olyan alkalommal, amikor igényesebb rajz készíésére van szüksége. Egyszerűbb azonban műszaki ávlaban rajzolnia. Ez a klinogonális axonomeriának egy olyan speciális esee, amely meglepően jól megközelí egy meghaározo irányú engelyekkel megado orogonális axonomerikus képe. A műszaki ávlaban amelye helyesebb lenne inkább műszaki axonomeriának 7 1 neveznünk az x engely meredeksége, az y engelyé. Ilyen engelybeállíás 8 8 melle az orogonális axonomeriában kapo rövidülés az y és z engelyen majdnem 19
ugyanannyi, az x engely rövidülése ennek közel a fele. Így nem köveünk el nagy hibá, 1 ha rendre: qx ; q y qz 1-nek ekinjük az egy-egy engelyre eső rövidüléseke. 2 z 8 8 1 y 7 x Kocka orogonális axonomeriában és műszaki ávlaban Példa arra, hogy a kocka orogonális axonomerikus képe "beállíhaó" úgy (az F és V ponokkal), hogy a kap kép erősen megközelíse a műszaki ávlaban készíe képe. ( 5. fólia: orogonális axonomeria) (6. fólia: műszaki ávla.) Az orogonális axonomerikus képpel kapcsolaban legfeljebb az a kriika érhe bennünke, hogy nem aranak össze a valóságban párhuzamos egyenesek, nincs ávlaa a képnek. Ez a problémá a perspekív ábrázolás oldja fel. Ismerkedjünk meg vele, ugyancsak az előnyök és hárányok összeveése céljából. 3. Perspekíva 3.1. Perspekív kép szerkeszése A perspekív ábrázolás ugyancsak egyelen perspekív képsíknak neveze képsíko használó ábrázoló geomeriai módszer, amelyben a veíősugarak a ér egy ado ponjára, a veíés cenrumára illeszkednek. Az ábrázolandó árgya a képsíknak a cenrummal ellenées félerében helyezzük el 20
Tekinsük a perspekív képsíko függőlegesnek. Az ábrázolandó árgya jelen eseben egy kocká helyezzük el egy erre merőleges vízszines síkon, az úgyneveze alapsíkon, a képsíknak a cenrummal ellenées félerébe úgy, hogy a képsíkkal ne legyen párhuzamos lapja. Magá a C cenrumo a képsíkra eső merőleges veüleével, a főponal (F) és a képsíkól mér ávolságával, a disanccal (CF=d), az alapsíko a képsíkkal alkoo meszésvonalával az a alapvonallal adjuk meg. Az alapsíkkal párhuzamos és a cenrumra illeszkedő sík a horizonsík, ennek a képsíkkal alkoo meszésvonala a h horizonvonal, amely párhuzamos az alapvonallal, és illeszkedik a főponra. Az alapsíkban fekvő e egyenesnek az e képe a (Ce) síknak a képsíkkal alkoo meszésvonala. A képsík e egyenesének van egy nevezees ponja, az úgyneveze iránypon ( I 1 ), amelye a C ponon ámenő, e-vel párhuzamos e egyenes mesz ki a képsíkból: I 1 e. A ér összes e-vel párhuzamos egyenesének ugyanaz az irányponja, vagyis az e-vel párhuzamos egyenesek képei ebben a ponban meszik egymás. Az alapsíkban fekvő, vagy ezzel párhuzamos egyeneseknek az irányponjai a h horizonvonalra esnek. Egy kocka élei három különböző irány haároznak meg, melyek közül mos egy párhuzamos a perspekív képsíkkal, ezér ehhez az irányhoz nem arozik iránypon. A kocka másik ké irányához arozó iránypon, I 1, I 2 és C egy derékszögű háromszöge alko, amelynek az áfogójához arozó magassága a d=cf disanc. Forgassuk a perspekív képsíkba (a papírunk síkjába) az alapsíko az alapvonal körül. Valamin a C cenrumo aralmazó horizon síko egy ugyanilyen irányú forgással a horizon körül. E forgás közben az alapsík valamely P ponja leírja a T középponú P(P) köríve, a C cenrum pedig az F középponú C(C) köríve. Ezeknek a köríveknek a szárai párhuzamosak: PT CF és PT CF így e ké körív hasonló helyzeű. A hasonlósági ponjuk a P pon perspekív képe a P' CP egyenesre esnek, azaz kollineárisak. pon. Így a (C), p és (P) ponok egy 21
Ez úgy is fogalmazhajuk, hogy az alapsík perspekív képe és az alapvonal körüli leforgaoja közö olyan cenrális kollineáció 7 áll fenn, melynek cenruma a perspekív ábrázolás cenrumának a horizon körüli képsíkba forgaoja, engelye az alapvonal, elűnési egyenese a horizon vonal. Megfordíva: ha az alapsík képsíkba forgaojából, ill. egy oda rajzol alakza valódi képéből állíjuk elő az alapsík ill. abba rajzol alakza perspekív képé, akkor ennek a cenrális kollineációnak ermészeesen az irányegyenese lesz a horizon vonal. Ez ad leheősége arra, hogy egy alapsíkban fekvő négyze leforgao képé, valamin a C pon h horizon körüli leforgaojá megadva megszerkeszhessük az úgyneveze Möbius 8 -rácso, amely az alapsíkban fekvő négyzerács perspekív képe. Ha ugyanis ismerjük a kocka alapsíkban fekvő éleinek a képsíkkal alkoo döfésponjai (az alapvonallal alkoo meszésponjai), akkor az álaluk meghaározo szakaszokkal beskálázva az alapvonala, a kapo ponoka a megfelelő irányponal kell csak összekönünk. 7 A cenrális kollineáció egy projekív geomeriai ranszformáció. Ennek a árgyalására, gyakorlai alkalmazási leheőségeire i nem érünk ki, amely a végelen ávoli érelemekkel kibővíe euklideszi síknak egy olyan egyenesaró leképezése, amelyben ez egymásnak megfelelő ponokra illeszkedő egyemesek egy ponra, a kollineáció cenrumára illeszkednek. Beláhaó, hogy minden cenrális kollienációnak van engelye amelyre az egymásnak megfelelő egyenesek meszésponjai illeszkednek. A cenrális kollineáció elűnési egyenese az az egyenes, amelynek a képe a projekív sík végelen ávoli egyenese, és irányegyenese az az egyenes,amely a végelen ávoli egyenesnek a képe. 8 Augus Ferdinand Möbius (1790 1868). Csillagász, majd a lipcsei egyeem maemaikaprofesszora. Neve ma már leginkább a róla elneveze opológiai konsrukcióról, az úgyneveze Möbius-szalagról ismer. 22
(C) I 1 F I 2 e Perspekív kép szerkeszése Felada: Adjunk meg egy perspekív rendszer az alapvonallal, az F főponal és a d disanccal. 1. Rajzoljunk az alapsík képsíkba forgaojában egy négyzee, ennek a felhasználásával egy az alapsíkban fekvő négyzerács képé az un. Möbius- rácso. (1., 2. fólia.) 2. Készísük el egy poliéder perspekív képé a Möbius-rács felhasználásával. ( 1.,- ideiglenesen 2. és 3., majd ezeke kikapcsova - 4. fólia.). Figyeljük meg, hogy hogyan függ a kapo kép a fópon a disanc, a horizonmagasság megválaszásáól. 3. Szerkesszük meg egy kocka és a kockába ír henger pespekív képé. (1., 6., 8. fólia) A Möbius-rács képé ezzel együ bármilyen érbeli alakza képé az alábbi adaok haározzák meg: a főponnak az alapvonalól mér ávolsága, amely az befolyásolja, hogy mennyire láunk rá az alapsíkra; a d=cf disanc, amelye növelve az irányponok ávolabb, csökkenve közelebb kerülnek egymáshoz; az alapsíkban fekvő négyze oldalainak az alapvonallal bezár szöge, amely ugyancsak befolyásolja a ké iránypon ávolságá. (Gondoljuk végig, hogy a CI 1I 2 háromszöge ulajdonképpen az áfogójához arozó d=(c)f magasságából, valamin egyik befogójának az irányából kell megszerkeszenünk!) A Möbius-rács elegendően nagy részé megrajzolva könnyen kijelölhejük az ábrázolandó alakzaunk alaprajzá. A megfelelő rácsponokból kiinduló, az alapvonalra merőleges egyeneseken kellene megszerkeszenünk a képsíkkal párhuzamos (függőleges) szakaszoknak a meghaározo módon rövidülő képé. E szakaszoka akkor lájuk valódi nagyságukban, ha éppen benne fekszenek a képsíkban. Ezér a másu lévő egyeneseke párhuzamos veíéssel amely a képen valamelyik irányponból örénő veíés jelen vigyük ki a képsíkba, o mérjük fel a szakaszok valódi hosszá, majd veísük vissza a Möbius-rács álal meghaározo helyére. (Az alapsík ponjai egy ilyen veíés során az alapvonalra kerülnek, így egy-egy pon alapsíkól mér ávolsága a képsíkban az alapvonalól mér valódi ávolság lesz.) 23
I 1 F I 2 h a A disanc és a főpon szerepe a perspekív ábrázolásban Vizsgáljunk meg néhány perspekív képe, amely ugyanarról a már jól ismer alakzaról készül. A képről könnyen rekonsruálhaó, hogy valójában hol van a érben az a C cenrum, ahonnan nézve a rajz készül: az F főpon fele, olyan ávolságra, ahonnan az I 1 I 2 szakasz derékszög ala lászik. Ez a rajz méreéhez képes nem úl nagy ávolság. Akkor lánánk az alakzao valósághűnek, ha onnan próbálnánk ránézni a rajzra. Olyan közelről viszon már nem is láunk élesen, egyéb kellemelenségekről nem is beszélve. Ez ehá a perspekív ábrázolás legnagyobb háránya: a legrikábban sikerül a veíés cenrumából néznünk egy perspekív képe. Máshonnan nézve viszon orz a perspekíva I 1 F I 2. A disanc csökkenésével egyre meglepőbb perspekív képeke kapunk, amely persze nem az jeleni, hogy nem jól szerkeszeük a képe, csak az, hogy nem onnan nézzük, ahonnan az igényelné. I 1 F I 2 I F I 1 2 24
Ha olyan messzire visszük a cenrumo a képsíkól, amilyen messziről nézni szokunk egy rajzo, akkor viszon a kelekező rajz méreeihez képes messzire kerülnek egymásól az irányponok, így nem férnek el a papírunkon. A rajzanulás egyik fonos kérdése éppen ennek a apaszalai ávlaannak az elsajáíása. I a meserségbeli udás éppen az jeleni, hogy valaki akkor is jól alkalmazza a perspekíva örvényei, ha nem körzővelvonalzóval vagy éppenséggel számíógéppel szerkesz ilyen ábráka, hanem szabadkézi rajzo készí, és meganulja helyesen kezelni az irányponoka anélkül, hogy azok a rajzlapján lennének. Egy, ké és öbb irányponos perspekív képek A feni rajzok úgyneveze ké irányponos perspekív képek: annak a érbeli derékszögű koordináa-rendszernek, amelyben a lerajzolandó alakzao elhelyezük, ké engelye meszi a perspekív képsíko, a harmadik nem. Tulajdonképpen annyi iránypono keresheünk egy perspekív képhez, ahány olyan egyenes aralmaz az alakzaunk, amely nem párhuzamos a képsíkkal. Egy irányponos ábrázolás eseén, amikor például egy kocka egy lapja párhuzamos a perspekív képsíkkal, célszerű a kocka alapsíkban fekvő lapjának az álóihoz megkeresni az irányponoka, amelyek egyenlő ávol lesznek a főponól. A 27. ábrán egy, a horizonávolságnál nagyobb kocka egy irányponos perspekív képe láhaó. I 1 F I 2 Nem szerenénk felvállalni a perspekíva képzőművészei, művészeörénei szerepének, jelenőségének a aglalásá, azonban nem állhajuk meg, hogy ne muassunk be egy csodálaos példá az egy irányponú perspekíva alkalmazására: 25
Raffaello: Ahéni iskola A freskó egyelen irányponja a középen álló ké nagy görög filozófus Plaón és Ariszoelész esének érinkezésénél alálhaó. Másik példánk a három irányponos perspekívára mua igen szép példá. I érdemes kissé elgondolkoznunk azon, hogy a Mi ábrázol a kép? kérdés melle mennyire fonos a Milyen ábrázolási módban, honnan nézve lájuk ilyennek? kérdés is. Escher művészi konsrukciója alapján, számíógéppel készül az alábbi rajz: M. C. Escher: Három egymás mesző sík (famesze) és az e konsrukció előállíó Euler3D fájl A műalkoás "ika", hogy a művész igen közeli, nagy láószögű perspekívá alkalmazo.. 26
3.2. Perspekív kép készíése számíógéppel Vizsgáljuk meg, hogyan készíhenénk számíógéppel perspekív képe (amennyiben ez a feladao nem bízhanánk egy kész programra)! Miuán már elkészíeük egy érbeli derékszögű koordináa-rendszerbe helyeze pon orogonális axonomerikus képé, ponosabban kiszámíouk annak a képernyő koordináa-rendszerében ve koordináái, nézzük meg, mikén kell ezeke a koordinááka módosíanunk, hogy perspekív képe kapjunk. Egyelőre szoríkozzunk annak az esenek a vizsgálaára, amelyben a főpon éppen a érbeli és síkbeli koordináa-rendszer közös origójába esik. Nézzünk mos rá profilból a képsíkra! Legyen a C cenrum és a képsík ávolsága (a disanc) d=cf, ahol F a főpon. A érbeli P ponnak a képsíkól mér előjeles ávolsága legyen, ahol az előjele akkor ekinsük poziívnak, ha a P pon a képsíknak ugyanabba a félerébe esik, min a C pon. A P pon orogonális axonomerikus képe a képsíkra eső merőleges veülee: P ax, perspekív képe a C-n ámenő veíősugarának a képsíkkal alkoo meszésponja: P p. Ez uóbbi ermészeesen csak akkor léezik, ha <d, vagyis a C kezdőponú [CP) félegyenes meszi a képsíko. Jelölje még K a P ponnak a (CF) egyenesre eső merőleges veüleé. v P p P P ax P ax P P p v F Képsík K d d - C K F Képsík d - d C A felsorol ponok egy síkban, a (CFP) síkban vannak. Mivel P p FC és PKC háromszögek hasonlók, könnyen felírhajuk a FP p és FP ax szakaszai közöi kapcsolao: Pp F FC PK KC PaxF KC d Pp F PaxF d Ez az összefüggés függelen aól, hogy a P pon a képsíknak a C-vel egyező vagy ellenées félerében van-e, mivel - előjeles ávolságkén kezeljük. Mind a szerkeszésből, mind a feni képleből leolvashaó, hogy a képsíkkal párhuzamos és a cenrumra illeszkedő síkra, az úgyneveze elűnési síkra illeszkedő ponoknak nem kelekezik (végesben lévő) képe. Ha pedig egy pon és a képsík ávolsága nagyobb a disancnál, akkor a ponról úgyneveze viruális képe kapunk. Ez az esee csak úgy kerülhejük el, ha a cenrumo a képsíkól ávolabb helyezzük el, min a ponok koordinááinak a maximuma. 27
Felhasználva a P(x,y,z) érbeli koordináákkal ado pon orogonális axonomerikus veüleére vonakozó képleeinke (és figyelembe véve, hogy =w), ugyanennek a ponnak a perspekív képé az d x sin ycos u d x cos sin ysin sin z cos d x cos cos ysin cos zsin v d x cos sin ysin sin z cos képleekkel számíhajuk ki, ahol a perspekív ábrázolás cenruma az origó fele, aól d ávolságra van. Még ké paraméerrel, a főpon (síkbeli) koordinááival bővül a feni képle, ha a főpono á szerenénk helyezni az origóból a képsík F f u ; f v ponjába. Erre például akkor lehe szükségünk, ha szerenénk kissé ráláni az ábrázolandó alakzara. f u f v vekorral el kell olnunk a főponba, majd miuán o kiszámíouk a pon perspekív képé, az előbbi vekor ellenejével vissza kell vinnünk az eredei helyére: Ekkor a P(x;y;z) pono egy OF ; u u f u d x cos sin ysin sin z cos vf v d x sin ycos f d x cos cos ysin cos zsin f d x cos sin ysin sin z cos Ezekkel az összefüggésekkel bármilyen poliéderről könnyedén készíheünk (élvázas) orogonális axonomerikus vagy perspekív képe minden olyan programmal, amely alkalmas egy végponjaival ado szakasz megrajzolására. A érgeomeriai alakzaok megjeleníésé (is) felvállaló programok min például a MAPLE, a MATHEMATICA, vagy az i használ Euler3D leveszi a vállunkról ezeknek a számolásoknak a erhé, ső a poliéder lapjai is megjeleníi, megoldva a láhaóság szerini ábrázolás kérdésé is. Mégsem haszonalan egy olyan program elkészíése, amely ezekkel a képleekkel oldja meg a feladao. Egy ilyen program ugyanis jó leheősége nyúj a kísérleezésre, főkén perspekív képek előállíása erén. Könnyen készíheünk jó és kevésbé jó perspekív képeke, a főpon és a disanc alkalmas vagy éppenséggel vad megválaszásával. Egy-egy ilyen szándékosan kellemelen helyen felve nézőponú képre könnyedén ráfoghaják a perspekív kép rajzolásában járas ismerőseink, hogy ilyen perspekíva nincs, erre a rajzra minden rajzanár elégelen oszályzao adna. Pedig van. Az alábbi perspekív képeken egy nagyobb pon jelzi a főpon helyé, és egy abból kiinduló függőleges szakasz a disanco. Próbálják ki olvasóink, hogy milyennek űnik a rajz abból a ponból nézve, amely a főpon fele van, a papír síkjáól disancnyi ávolságban. (A lapoka a könnyebb áekinheőség kedvéér kiszínezük, noha ez a feladao nem vállala fel a program.) v 28
29
Szereogram: a érláaós rajz Más mellékerméke is lehe ennek a munkának. Ha már udunk élvázas perspekív képe készíeni, ké egymásól megfelelő ávolságban elhelyeze cenrum felhasználásával könnyen előállíhaunk egy úgyneveze szereogrammo, amely igazi háromdimenziós kép előállíásá eszi leheővé. 30
A árgyaka azér lájuk érben, megkülönbözeve a őlünk ávolabbi és közelebbi ponjai, mer a ké szemünkben más-más perspekív kép kelekezik, hiszen a ké cenrum (a ké szemünk) minegy 7-8 cm-re van egymásól. A ké kép közöi elérés amely közelebbi árgyaka szemlélve nagyobb, ávolabbiaka nézve kisebb az agyunk fel udja dolgozni úgy, hogy ezzel érzékeljük a árgyak szemeinkől mér ávolságá. Ha készíünk egyelen képsíkra egy kék színű perspekív képe az egyik, egy pirosa a őle meghaározo ávolságban elhelyeze másik cenrumból, és ez a rajzo megnézzük egy piros-kék szemüveggel, amely széválaszja a ké perspekív képe úgy, hogy a piros üvegen á csak a kék vonalaka, a kéken á csak a pirosaka lájuk, akkor az agyunk összeállíja számunkra a érbeli alakzao. I jegyezzük meg, hogy a köznapi szóhasználaban sajnos egyre elerjedebb a háromdimenziós grafika kifejezés, ami legfeljebb arra ualha, hogy a kép háromdimenziós (azaz érbeli) alakzaokról készül. De há öbb ezer év óa háromdimenziós dolgoka rajzolnak az emberek. A háromdimenziós grafika elnevezés alán helyesebb lenne meghagyni a feni képek számára, amelyek viszon csak valamilyen eszköz jelen eseben a piros-kék szemüveg felhasználásával válnak a néző számára valóban háromdimenziósakká. 31
32
Végezeül bemuaunk egy Pascal-nyelven ír számíógépi programo, amelyen jól anulmányozhaók az orogonális axonomerikus és perspekív ábrázolás sajáosságai. A program szereogrammok készíésére is alkalmas: szereo.exe. Sajnos ez a - öbb min 15 éves - program a Windows7 operációs rendszerben már nem fuahaó. 4. Az ábrázolási módok összehasonlíása Térjünk vissza Pohlke éeléhez. A éel csak az mondja ki, hogy van olyan kocka, amely három, egy csúcsból kiinduló élének a párhuzamos veülee a képsíkban megado három egy csúcsból kiinduló eszőleges szakasz. Természeesen nem csak egy van, a veíési irány menén elolva minden érbeli engelykeresznek (árgynak) ugyanaz az axonomerikus képe. De eől elekinve sem lehe egyérelműen rekonsruálni a érbeli alakzao az élvázas axonomerikus képe alapján. Ugyanis kéféleképpen is felünehejük az alakza láhaóságá. Az így kapo ké kép nem ugyanaz az alakzao ábrázolja, hanem egymásnak egy olyan síkra vonakozó ükörképé, amely merőleges a veíés irányára. Ez orogonális axonomeriánál maga a képsík is lehe. Egy már megrajzol (élvázas) rajzon a láhaóság megválaszásával vagy a engelyek irányának a megadásával udjuk egyérelműen rekonsruálhaóvá enni az ábrázolás. A érgeomeriai alakzaok megjeleníésével foglalkozó programok, min Pl. az Euler3D a felhasználó akív beavakozása nélkül megoldják a láhaóság kérdésé. Ez komoly maemaikai (konsrukív geomeriai) meggondolásoka igényel. 33
Ké alakza azonos axonomerikus képe. Ezzel szemben nem dönhejük el önkényesen a láhaóságo a perspekív képeknél. A perspekív kép már nyúj némi információ arra vonakozóan, hogy a valóságban párhuzamos és egyenlő szakaszok közül melyik a közelebbi. Ez ugyanis nagyobbnak lájuk. Ennek ellenmondó láhaóság felüneése súlyos szakmai hiba. A láhaóság szemponjából helyesen ill. hibásan kihúzo perspekív rajz. Egy eléggé közeli perspekívában ábrázol kocká a lapjaiba ír körökkel együ, valamin a három kockába ír henger is hasonlísuk össze a hengerről készül korábbi, axonomerikus képekkel. 34
Kockába ir henger perspekív képe. Felada: Ado egy perspekív rendszer az alapvonallal, horizonávolsággal, főponal és a disanccal. Abrázoljunk benne 1. egy kocká (1. 2. és 4. fólia) (szerk: 3. fólia) 2. a kocka lapjaira rajzol köröke. (1., 4., 5., 6., 7., fólia) 3. a kockába ír hengereke: a) z engellyel párhuamos alkoók: (1., 4. 5. 8. fólia) b) x engellyel párhuamos alkoók: (1., 4. 6. 9. fólia) c) y engellyel párhuamos alkoók: (1., 4. 7. 10. fólia) A körnek nem csak az axonomerikus, hanem a perspekív képe is ellipszis. Megjegyezzük azonban, hogy axonomerikus ábrázolásnál a kelekező ellipszis középponja lesz a (érbeli) kör középponjának a képe, perspekív ábrázolásban viszon nem, mivel a kör affin képekén kapo ellipszis középponja a kör középponjának a képe, a kör cenrális kollineációval így a perspekív ábrázolás során kapo képe is olyan ellipszis amelynek a középponja a kollineáció elűnési egyenese körre vonakozó pólusának, ehá nem a középponjának a képe. Végül ugyancsak az összeghasonlíás kedvéér bemuajuk egy gömbnek néhány axonomerikus és perspekív képé. Ha az ábrázoló geomeria eszközárára kell szoríkoznunk, akkor egy gömbö épp úgy min egy síko a rá rajzol alakzaokkal, jelen eseben földrajzi szélességi és hosszúsági körökkel szemlélejük. (Az egyenlíő 35
lényegében egy gömbi főkör, a szélességi körök a gömbnek az ezzel párhuzamos síkmeszeei, a hosszúsági körök az erre merőleges főkörök, amelyek ké ponra, a pólusokra illeszkednek.) Ha bárhonnan ránézünk egy kézbe veheő gömbre, a konúrjá mindenhonnan körnek lájuk. Vajon a rajzokon is? A gömb konúrja kavalier-axonomerikus ábrázolásban szükségképpen ellipszis, mivel a veíés iránya ferde. (Gondoljunk arra, hogy egy labda árnyéka a vízszines síkon mindig ellipszis, legfeljebb a bakéríő és rákéríő közöi gyerekek láhaják körnek az év egy bizonyos ponosabban ké pillanaában, amikor a nap éppen a fejük fele delel.) A gömb kavalier axonomerikus képe szükségszerűen ellipszis. A gömb orogonális axonomerikus képe a merőleges veíés mia minden eseben kör. A gömb perspekív képe csak akkor kör, ha az ábrázol gömb középponja a főponra esik. (Néha alálkozunk olyan földgömbről készül semaikus rajzzal, amelyben mindké pólus a rajz konúrjára esik. Ilyen ese csak orogonális axonomeriában fordulha elő. Ekkor viszon a szélességi körökre nem láhaunk rá azaz a szélességi körök egy-egy szakasznak lászanak. 36
A gömb perspekív képe lehe kör és ellipszis is. Reméljük, írásunk végére kiderül, hogy ankönyvekben, didakikai szemponból fonos rajzok készíésekor legkevésbé a klinogonális axonomeriá, ezen belül a kavalier perspekívá arjuk helyesnek. Az azonban, hogy az orogonális axonomeria, vagy a perspekív ábra közül mikor melyike célszerű alkalmaznunk, olvasóikra bízzuk. Nem emlíeük a érgeomeriai alakzaok ábrázolásnak a leghaékonyabb eszközé, a fény-árnyék haás, vagy a felüle ükröződésé bemuaó művészi, vagy az az szimuláló compuer-grafikai eszközöke, csak az ábrázoló geomeria eszközárára szoríkozunk. Reméljük azonban, hogy így hozzájárulunk ahhoz, hogy olvasóink érő szemmel ekinsenek az ilyen alkoásokra. 37