Dr. Gubán Ákos * Birkás Petra ** A SZENT JAKAB-ÚT PROBLÉMÁK BEVEZETÉS Egy általánosítható optimalizálási probléma megoldásának elsı lépéseit íra le a cikk. Az alap probléma az El Camino zarándokúttal kapcsolatban merült fel. Az út vázlatos térképét az 1. ábra mutata be. 1. ábra Az El Camino és a zarándokszállások helyei A térképen látszik, hogy a zarándokok számára több pihenı hely áll rendelkezésre az út során. A zarándok céla az utat a legrövidebb idı alatt megtenni. Természetesen néhány zarándok paraméter meg kell adni. Ismert a zarándok átlag sebessége, a maximálisan megtehetı út hossza. De a szállások is rendelkeznek paraméterekkel, mégpedig telítettségi mértékkel. A mérték azt mutata meg, hogy egy véges diszkrét szállással rendelkezik, ezek a szállások egy kezdeti idı után, fokoza- * BGF Pénzügyi és Számviteli Fıiskolai Kar Salgótaráni Intézete, fıiskolai docens, PhD. ** Régió Finansz Zrt, Salgótarán, pénzügyi referens. 49
tosan kezdenek megtelni. Mivel az alap esetben nem tervezzem a több egymással versengı zarándok modellezését, ezért a szállásra vetítem a telítettséget, és ennek alapán képzem az értéket. Ez a mérték a napi idı függvénye, és minden nap ez az érték a maximumról indul úra, és egy megadott idıponttól kezdıdıen csökken. Ezek alapán a zarándok céla úgy megtervezni a teles utat, hogy a lehetı legnagyobb távolságot tegye meg minden nap úgy, hogy a korlát alatt maradon, és a nap végén rendelkezzék szállással. A feladat tovább bonyolódik, ha figyelembe vesszünk egyéb feltételeket, mint bolt a szállás közelében, vagy a szálás telítettségi mutatót egy valószínőségi változó modellez. A probléma modelle akkor lesz teles, ha a maximális út nem feltétlen rögzített konkrét érték, hanem környezetfüggı érték lesz. A cikk céla a feladat többfokozatú modellezése, és a modellekhez optimalizáló elárások megalkotása. AZ EGYSZERŐSÍTETT RENDSZER MODELLJE Legyen: n a lehetséges szálláshelyek (továbbiakban hely) száma; D i : i, = 0... n; > i a elhelyezkedés szerint rendezett helye, közötti távolság trianguláris mátrix. A mátrix egyszerősíthetı egy vektorral, de ebben az esetben a mátrix egy diagonális körüli elemét származtatni kellene a vektorból. A probléma szempontából egyszerőbb a mátrix használata. Az i = 0 a kiindulási helyet elenti. F i : i = 1... n a helyek maximális szabad kapacitás vektora; T i : i = 1... n; = 0;1 a helyek kezdeti és vég idıpontai. A mátrix elsı oszlopa mutata meg, mikor kezdıdik a hely maximális értéken csökkentése. A második oszlop pedig megmutata, mikor telik T < T be a hely, illetve a zárás idıponta. ( ) i0 i1 v a zarándok (továbbiakban pont) sebessége; m a pont maximális megtehetı távolsága. Kezdetben legyen t a pont napi indulási idıponta 0 t maxti 1, valamint elentse T e a nap végének idıpontát. BIZTOS SZÁLLÁS ESETE Ebben a pontban azt az esetet nézzük meg, amikor a zarándok minden szálláson rendelkezik szabad hellyel. A feladat megadni a legrövidebb napszámot, amivel a teles táv telesíthetı és a hozzátartozó elárást megalkotni. Ekkor nincs szükség az F, T mátrixokra, a sebességre, valamint az indulási idıpontra. (Ez a téli eset, bár a valóságban ekkor kisebb a n értéke.) Fontos feltétel, hogy legyen megoldás, azaz létezik a helyek egy olyan sorozata: i 1,...i l, hogy i1 = 0; il = n és i k 1 < ik valamint D m. i k 1i k A továbbiakban tegyük fel, hogy van lehetséges megoldás. Egy optimális megoldást egy egyszerő mohó algoritmussal választhatuk ki. Elve: mindig azt a következı helyet választuk, amelyik még az adott maximális távolságon belül van és a legtávolabbi. Azaz, legyen : 0 n; n N az igénybe vett helyek vektora N 0. A -edik elemhez konstruáluk meg az elérhetı helyek halmazát: P 0 = { i < i n; D i m i} ( m D ) : = ; < d = min N i i P 1, N 50
és N : D = m d. N 1, i Ebben az esetben a megtett napok száma és ez az optimum. A helyszámra vonatkozó teles indukcióval belátható, hogy minden esetben a legtávolabbi lehetséges hely választása biztosíta a legnagyobb távolságot ugyanazon idı mellett. = 1 esetén nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy re igaz, a +1 elem választása során, mivel re a lehetséges legtávolabb vagyunk, az elıtte lévı helyekrıl elérhetı összes hely innen is elérhetı, esetleg ez a halmaz bıvülhet más elemekkel, mivel a legtávolabb vagyunk. Az elkészített szoftver segítségével az 1. táblázat adataira kapuk a következı megoldást (2. ábra). 1. táblázat Szállások száma: 70, maximális megtehetı út (km): 70 km Szállás Szállás Szállás Szállás Szállás km km km km azonosító azonosító azonosító azonosító azonosító km 1 12 15 21 29 21 43 10 57 19 2 23 16 60 30 22 44 13 58 20 3 21 17 32 31 7 45 15 59 28 4 50 18 10 32 21 46 18 60 24 5 22 19 12 33 13 47 21 61 10 6 12 20 9 34 10 48 22 62 8 7 9 21 5 35 15 49 20 63 11 8 10 22 10 36 17 50 3 64 15 9 13 23 44 37 32 51 15 65 15 10 42 24 21 38 41 52 7 66 10 11 20 25 5 39 33 53 21 67 17 12 12 26 7 40 10 54 3 68 18 13 30 27 13 41 9 55 10 69 13 14 40 28 15 42 21 56 14 70 12 2. ábra Egy megoldás egyszerő esetre TELÍTİDİ SZÁLLÁSOK ESETE Az elızı modell egy bonyolultabb változata. Ebben az esetben minden nap a megadott két idıpont között fokozatosan telik a szálláshely. Most számunkra csak a telítıdés idıponta számít csak, azaz a pontnak el kell tudni érnie a kiválasztott helyet a telítettség elıtt. Az elárást lényegesen nem bonyolíta a kényszer feltétel. Most viszont szükség van a sebesség paraméterbıl származó maxi- 51
{ } a i i < m mális utazási idıre t t =. Ebbıl származtatuk a maximális beérkezési idıt: t a = t + tt. Legyen v P : = i 0 i n; t < T1 ; D m; í a helyrıl elérhetı helyek halmaza. A választás csak innen történhet. Az elızı gondolatmenet szerint, válasszuk azt az im -t, amelyik ezek közül a legtávolabb van: D = max D. Ismét az elızı gondolatmenethez hasonlóan teles indukcióval iga- i m i P zolható, hogy az elárás az optimumot biztosíta. i Az eset tovább általánosítható, ha csak a telitı függvény ismert minden helyre. A függvényre csak az alábbi kikötést kell tenni:. Ez alapán a fenti módszer már használható. a.) monoton csökkenı, nem negatív függvény; b.) D = [ T ; T ] f i0 c.) i ( i ) i e f T 0 = p : p i > 0 a maximális helyszám (lehet tetszıleges pozitív valós érték); { 0} Ebben az esetben, T = inf T T [ T 0; T ]; f ( t) i 1 i e i = Az elkészített szoftver segítségével a fenti algoritmus néhány esetét mutata a következı két ábra. Az elsı esetben telesíthetı az adatokra az út. 3. ábra Megoldható telítıdı szállás A második esetben nem lesz olyan szállás a hatodik napon. 4. ábra Nem megoldható eset 52
VÉLETLENSZERŐEN TELÍTİDİ SZÁLLÁSOK ESETE A modellben minden szálláshoz a nap minden pillanatához tartozik egy valószínőség érték. Mely azt mutata meg, az adott pillanatban mekkora annak a valószínősége, hogy van szabad hely. Ebben az esetben a feladatot többféleképpen is átfogalmazhatuk. a.) Melyik az a legrövidebb idı, amely alatt biztos szálláshelyek mellett telesíthetı az út? b.) Melyik az a legrövidebb idı, amely egy megadott biztonsági szint mellett biztosít szállást minden nap? (Az elızı eset 1 biztonsági szinthez tartozó speciális eset.) c.) Rögzítük hány nap kell az út során biztos szállással rendelkezni, a többihez csak egy biztonsági szintet rendelünk. A megoldáshoz minden helyhez rendelünk egy telítettség függvényt. melyre telesül: 1. D i = [ T ; T ] p i0 2. monoton csökken; e függvény, 3. Legyen illetve általánosan,. Az a. és b. eset ezek segítségével könnyen megoldható. Az elárás pontosan megegyezik az elızıvel azzal a különbséggel, nem a értéket használuk a határnak, hanem a illetve. Legyen az így kapott helyek sorozata: és legyen valamint Ekkor annak a valószínősége, hogy minden esetben rendelkezünk szállással: A c. eset megoldása eltér az elızıtıl. Ezzel a problémával nem foglalkozom ÁLTALÁNOS ESET Az általános esetben két fontos fogalmat kell ól meghatározni. Az egyik a távol van, közel van, még elérhetı stb., valamint a fáradtságot. Azaz a problémánk alapát az ada, hogy a korábban megtett távok függvényében, mennyire fáradtunk el az elızı napokban, és ennek megfelelıen, melyik szállás lesz még elérhetı távolságban, és melyek lesznek távol. Ezek a paraméterek mutaták: nem kétértékő logikával állunk szemben, sıt egy szabályozásról lesz szó. Pont ilyen problémák megoldására használák a fuzzy logikákat, és a fuzzy szabályozásokat. 53
RÖVIDEN A FUZZY LOGIKÁRÓL A fuzzy logika alkalmazása esetén halmazba tartozás 0 (nem), illetve 1(igen) értékei helyett, hanem köztes értékek is léteznek, amelyek megmutaták, hogy egy adott elem milyen mértékben tartozik egy halmazhoz. Azaz az alaphalmaz minden eleméhez hozzárendelünk egy számot, általában 0 és 1 (néha -1 és 1 között), ami ellemzi az elem A halmazba való tartozásának mértékét. Ezt a hozzárendelést a halmaz tagsági függvényének nevezzük. Az alkalmazás során dıl el a használt tagsági függvény, melynek alaka többféle lehet. A fuzzy halmazok között is értelmezhetık mőveletek, melyek a halmaz mőveletek általánosítása. Részletes definíciói ismertek ezzel itt most nem foglalkozunk. RÖVIDEN A FUZZY IRÁNYÍTÁSI RENDSZEREKRİL A fuzzy irányítási rendszerek legfontosabb eleme a szabálybázis, azaz a ha a bemenet, akkor a kimenet alakú szabályok halmaza. Az egyszerő modellek, mint a ZADEH- vagy MAMDANI-féle, általában homogén szabálytípusból épülnek fel, a bonyolultabb hierarchikusan strukturált szabálybázisokban az alszabálybázisok strukturálisan is különbözhetnek. A fuzzy szabálybázis szerkezetileg hasonlít az más AI-ban alkalmazott szakértı szabálybázisokra, de ebben az esetben a szimbólumok mellett fuzzy tagsági függvényeket is használnak. A fuzzy irányítási rendszerek további összetevıe az illeszkedési mértéket meghatározó egység, amely a szabálybázis antecedens elemeit hasonlíta össze az aktuális megfigyelés tagsági függvényével vagy konkrét értékével. A fuzzy irányítási rendszer harmadik egysége a következtetı gép. A következtetı gép lényege, hogy az illeszkedési mérték meghatározása után a kapott súlyokat a fuzzy szabálybázisban található tüzelı szabályok konzekvenseivel kombinála. Többféle megoldási mód használatos. A fuzzy irányítóknál szükség van arra, hogy valamilyen konkrét crisp beavatkozó érték elenék meg, amely a következtetı gép kimenetén elıálló fuzzy tagsági függvény defuzzifikálásával történik. Így a negyedik alkotóelem a defuzzifikáló egység, amely számos különbözı technika közül választva valamilyen módon a kapott fuzzy tagsági függvény legellemzıbb, legtipikusabb elemét, vagy középértékét választa ki. 5. ábra Általános fuzzy irányítási rendszer vázlata AZ ÁLTALÁNOS ESET FUZZY MODELLJE Két bemeneti halmazt határozunk meg, az egyik az elızı nap útviszonyaitól függı fáradtság mutatót ada meg, a második az út erısség definíciós halmaz. Kimenet a megtehetı távolság leíró, illetve egy fáradtság lesz. 54
Legyen a fáradtság 0-100 skálán mérhetı mennyiség, a fogalom definícióát az alábbi elemek alkoták: Fáradtság:={nagyon (n), közepesen (k), fáradt (f), alig (a), nem(p)} Öt fuzzy halmazzal modellezhetı, ezek tagsági függvénye: 6. ábra A Fáradtság fuzzy halmazok A második bementi halmazrendszer az Útviszony lesz, mely a következı elemeket tartalmazza: Útviszony={sík (s), lankás (l), közepes szintkülönbség (k), erıs szintkülönbség (e)} a szintkülönbség maximálisan 1500 méter, ezért erre skálázzuk a függvényeket. 55
A tagsági függvények a következık: Végül a távolság kilométerben: 7. ábra Az Útviszony fuzzy halmazok Távolság:={rövid (r), kevés (k), elég (e), megfelelı (m), ó (), távol (t)} 56
A szabályozás három lépésben történik. Az elsı lépésben az elızı napi fáradtság értékbıl és az útviszonyból meghatározzuk a megtehetı távolságot. A második lépésben kiválasztuk a megfelelı szálláshelyet, mad a harmadik lépésben megaduk az ú fáradtság mutatót. (A kezdeti fáradtság a nem(p) értéket tartalmazza.) Mivel két antecedens van rendszerben ezért a szabálybázist mátrix alakban tuduk ábrázolni, ahol a mátrix elemei a konzekvensek lesznek. A mátrix sorait a fáradtság, míg az oszlopait az útviszony címkézi. s l k e p m e a m e k f m m e k k m e e k n m e k k Ezek után a két antecendest kell fuzzifikálni. Elsı lépésben a szabályok aktivitását aduk meg méghozzá fuzzy-and mővelet segítségével. Tehát bármely beövı x fáradtság, illetve y nehézség érték esetén egy adott (i,) szabály aktivitása: Ezek után meghatározzuk a fuzzy kimeneti értéket. Számunkra telesen megfelel az egyik ól használható megoldás a max-prod elárás. Az elárás lényege, hogy az (i,) szabály konklúzióának tagsági függvényének és a szabály aktivitásának szorzatát vesszük, mad megkeressük ezek maximumát. Ez ada a kimeneti nyelvi értéket. Amennyiben több halmaz is telesíti, akkor a rendszerben súlyozással választunk. A megkapott távolság nyelvi értéket fuzzyfikálnunk kell ahhoz, hogy konkrét maximum távolságot kapunk. Erre a MAX módszeren belül a súlypont-módszert foguk használni. Ami a kimeneti görbe alatti terület súlypontának abszcissza-értékét foga eredményül adni: Miután rendelkezésre álla maximális megtehetı távolság a korábban alkalmazott mohó algoritmus segítségével, megkereshetük a lehetséges szálláshelyet. Miután az aktuális szálláshelyet kiválasztottuk, a megtett út hosszának, nehézségének, valamint az elızı napi fáradtság értéknek a segítségével, egy úabb fuzzy elárás segítségével meghatározzuk a fáradtság értéket. Ez egy kissé bonyolultabb, több szabályt tartalmazó elárás, mivel, itt három antecendest fogunk a következtetésben használni. A kapott érték alapán az elárás ismételten elvégzi a távolság szabályozást. Ennek elemeit nem részletezzük, mivel hasonló módon mőködik, mint e fenti elárás. 57
ÖSSZEFOGLALÁS A fenti cikkben egy távolságelemzı rendszer mőködésének egy megoldását adtuk meg. Mivel az eredeti probléma sok bizonytalan, nem pontosan kvantifikálható mennyiséget tartalmaz, ezért a fuzzy szabályozás megoldását választottuk végsı módszernek. A közbülsı részmegoldások mind csak ennek elıkészítését szolgálták. A végsı elárás egy ól mőködı szimulációát ada a rendszernek. IRODALOMJEGYZÉK KÓCZY L. T.- TIKK D.: Fuzzy rendszerek, www.hik.hu/tankonyvtar/site/books/b120/ D. DUBOIS, H. PRADE, Fundamentals of fuzzy sets, Kluwer Academic Publishers, 2000. GUBÁN M., GUBÁN Á.: Egy fuvarozási vállalat szállítmányozási feladatának matematikai modelle és tervezett megoldási algoritmusa Globalitás és vállalkozás Tudomány napa, BGF Budapest, 2001, pp. 226-235. 58