Alkalnazott Matematihai Lepok 27 (2OlO), 189-193. TURANYI TAMAS: REAKCIOMECHANIZMUSOK VIZSGALATA AKADEMIAI KIADO, BUDAPEST, 2010. TOTH JANOS Mi indokolja ennek az ismertet6snek a megjelentet6set az Alkalrnazott Matematikai Lapokban? Tirrdnyi Tamris vegy6sz s alkalmazott matematikus hosszri 6vek 6ta foglalkozik nagy iisszetett kemiai reakci6k modellez6s6vel, egyszerrisit6s6vel 6s numerikus vizsgdlat6val. Az itt szerepld modellek leggyakrabban nemlineiiris (sokszor polinomi6,lis) koztins6ges, ritksbban parcidlis difierencis"legyenletb6l 5,116 rendszerck. A. nagy jeiz6 arra utal, hogy az egyenletek sziima, vagyis a flgyelemmel kis6rt anyagfajtdk szdma legaliibb nehany tucat, de esetenkent tiibbszdz, s6t tobbezer is lehet. Hogyan foghatunk hozz6, egy ilven, matematikusi szemmel ehettentd rerdszer v izsg6,lal tt"hoz? A szerz6 a legfontosabb alapfogalmak 6s alapprobl6m6k ismertet6se (2. N hdng reakci6kinetikai alapismeret) utd.n a kcivetkezd megkcizelit6seket ajdnlja. 3. Reakci.1utak A reakci6utak igen szeml6letes heurisztikus m6dszere Horiutit6l [10] 6s Temkint6l (Tyomkin) [I7l szdrmazik. A konyv n6hdny dbriija ennek a m6dszernek a felhasznald,ss.val megmutatja egyes elemek 6tvitel6t a kiilijnf6le anyagfajtek kozott metiinjevegd elegyek robban,4sa kozben. A m6dszer r6szletes 6s matematikailag kielegitd taxgyalasa nern ismeretes, feltehetdleg az operaci6kutatds, specis.lisan a h6l6zali folyamatok elm6lete nyfjtana ehhez alkalmas eszk6z6ket. I. Erzdkenyseg- 6s bi,zonytalansdganalizis A k6zons6ges difierenci5,legyenletek elm6let6ben az els6rendf linei4ris parcialis difierencidlegyenletekkel val6 kapcsolat megvil6.gitrasa v6gett el6 szokott kerilni a uaridcids egyenlet. Ugyanez az egyer.- let a mfszaki 6s a reakci6kinetikai irodalomban drzdkenysegi egyenletkbnt szerepel, ugyanis a megoldasok param6terek szerinti deriv6,ltja fgy is interpretalhat6, mint a me6oldesok Erz6kenys6ge a param6tereh megveltoztatasara, ez rt is nevezik 6ket ezen a t5,jon lokrilis 4rzikenysegeknek vagy lokrilis i.rzi.kengsigi egyiitthatiknak. Mivel meghats,roz6suk szimitdsig6nyes feladat, ez6rt folyamatosan rijabb 6s rijabb heurisztikus eljsrasokat dolgoznak ki erre a c6lra. Megjegyzendd, hogy a reakci6- kinetik6,n kiviili 6rz6kenys6gvizsg6latta foglalkoz6 irodalom jelentds r6sze sokkal egyszerribb objektumokkal, iddt6l fiiggetlen megold6sfiiggvenyek parametert6l val6 fiigg6s6vel foglalkozik. A bizonytalans6ganalizis l6nyege, hogy a modellek parametereit val6szi is gi v6.ltoz6knak tekintve k6pesek vagyunk-e valamit mondani a modellek felhaszndl6s6val sz6molt numerikus eredmcnyek eloszl6s6r6l. Ennek a fejezetnek ki.il6ndsen Alkalnazott Matematikai Ldpok (20 I 0)
190 TOTH JANOS sz6p 16sze a reakci6sebess gi egyiitthat6 hdm6rsekletfiiggesdt lei16 Arrhenius-osszefiigg6s param6terei bizonytalansegdnak elemz6se. 5. Iddskdla-analizif Itt nem a Stefan Hilger 6ltal kezdem6nyezeti [8] 6s rijabban egyre nagyobb 6rdekldddst kivdlt6 [5, 19] id6skrilskon 6rtelmezett dinamik5r6l van sz6, hanem a szingul5ris perturb6ci6 klasszikus, Tyihonov-f6le elm6let6nek [14, 18, 20] alkalmaz6s6r6l. Fizikai folyamatokns,l 6s k6miai reakci6kn6l ugyanis meglehet6sen tipikus, hogy a folya.matok tobb id6sk6ldn zajlanak, egyesek sokkal gyorsabbak a tobbiekn6l. Az ilyen fizikai 6s kdmiai folyamatokat leir6 differencid,legyenletek mereuek 6s numerikus megold6suk neh6z. A merev differenci6legyenletek kezelhetetlens6ge speci6lis numerikus m6dszerek l6trehozes6t k6nyszeritette ki, amilyen polddul Gear m6dszere [6]. A titbb, egym6st6l nagyon kiilonboz6 id6sk6la l6te nemcsak h6trdnyos: az ilyen folyamatok vizs86laia leegyszeflisithetd azaltal, hogy az egyes id6sk5ldkon v6gbemen6 folyamatokat kiilon kezeljiik. Az egyszerrisit6s matematikai alapj6r6l sz6l egy fontos specislis esetben (a Michaelis-Menten-reakci6 eset6ben) Heineken, Tsuchiya 6s Aris tiibb mint 40 6vvel ezel6tti alapvet6, m6g mindig nem el6g szdles kdrben ismert munkaja [7]. Mivel a t6ma 6,ltalenos 6s matematikailag korrekt targyaliisa l,irat magera, ez6rt m6g napjainkban is lehet koztilni me6lehetdsen naiv cikkeket err6l a teri.iletr6l. A teriilet kvazistaciondrius kdzelitos neven a ktinyv 6.5. szakasz'ban rijra el6keriil. 6. Reakcilmechani,zrnusok red,ukci6jc A nagy rendszerek egyszerlisit6s6re ir6- nyul6 t6rekvesek egyik c6lja a v5,ltoz6k sz6mdnak csijkkent6se. A szerz6 itt nemcsak a sziik 6rtelemben vett viiltoz6dsszevonis (lumltino) l,echnikaiit ismerteti, ami itt anyagfajt6k osszevonasa ndven szerepel, hanem sz5mos tov5bbi hasznosnak bizonyult elji4rast is, igy a felesleges anyagfajt6k 6s reakci6l6p6sek elhagy6sdt 6s a reakci6l6posek iisszevones6t is. Szellemes 6s rendkiviil hat6kony a repromod,ellezes m6dszere, ami nem rniis, mint a kinetikai differencidlegyenlet megold6 operdtor6nak interpol6llsa polinom mal, majd ennek felhaszn6ldsa a reakci6difirizi6-egyenlet megold6sara. Az eljar6st parcidlis difierencidtegyenletek megold6,sara csak az operdtorszeletel6s m6dszer6- vel egyiitt lehet alkalmazni. Ez ut6bbit MagyarorszAgon els6sorban Farag6 IstvAn 6s munkatarsai vizsgd.lj5.k [2, 11] 6s alkalmazzdk. A repromodellez6s m6dszer6vel kapott szdmit6sok eredm6nyei teljesen meggy6z6ek, a kozelitesek pontoss6gdra 6s a sziiks6ges gepid6re vonatkoz6 Sltaldnos matematikai tdrgyali4sr6l nincs tudomasom. 7. Az 4rzdkenysdgi Jiigguinyek hasonl1sdga Ez a teriilet a legjellemzdbb abb6l a szempontb6l, hogy matematikus nent merne hozzs,fogni, Turdnyi Tamds 6s munkatarsai viszont b6tran alkalmazzdk, mint heurisztikus m6dszert, 6s p6lddul rendhiviil 6rdekes biol6giai tanulsrigokhoz jutnak el. Bonvolult molekuldris biol6giai modellekben egyes paxam6terek (rendszerint reakci6sebess6gi egyiltthat6k) szerinti 6rz6kenys6gek hasonl6s6ga azt jelentheti, hogy valamelyik reakci6l6p6s sebess gi egyiitthat6jdnak jelent6s megvdltozas6,t miis reakci6l6p6sek sebess6gi egyiitthat6- jdnak megfeleld megveltoztatasaval kompenz6lni lehet. Ez a biol6giai rendszerek robosztussdgdnak egvik magyarizata lehet. 8. Programok 1sszetett reakci mechanizmusok uizsgdlati'ra A konyvben leirt m6dszerek tijbbs6g6t nem kell beprogramozni, hanem az Internetr6l sz6mos Alkalmazott Matematikai Lapok (2010)
TURANYITAMASIREAHCIOMECHANIZMUSOXVIZSGALATA 191 program letdlthet6 az eljd.rasok haszndlatiihoz. Attekint st kapunk az 6,ltaldnos programokr6l, amelyek kinetikai difierencis"legyenletek megold6s6ra vagy a folytonos idejri, diszkr6i d,llapotterii sztochasztikus modell (l6sd p6ld6ul R6nyi cikk6t 1953-b6l: [15]) szimuldl6s6ra [16], illetve elemz6s6re szolgdlnak. Az dltalanos matematikai m6dszerek mellett a szerzd 6rdekl6d6s6nek megfelel5en ismerteti az 6g6si, l6gkiirk6miai 6s biok6miai kinetikai modelleket kezeld specidlis szimul6ci6s 6s analiziil6 programokat is. 9. )sszefoglalds Ez a ktinyv z1416 fejezetenek cime, de itt a recenzio iisszegez6se kovetkezik. A kdnyv nem kis r6szben a szerz6, kolllgii 6s tanitv6,nyai nemzetktizi folydiratokban megjelent munk6in alapul. Ugyanakkor a konyv tcibb temakiir szdleskoni Attekint6sot is laftalmazza 6s killcincisen hasznos az elk6peszt6en gazdag (464 tetelt tartalmaz6) irodalomjegyz6k. Az Internet pozitiv hat6sa tobb helyen is 6rezhetd. A konyv szi4mos sz6,mit6gepes program honlapjdnak cim6t is megadja. A konyvvel kapcsolatos rijabb hireket 6s kieg6szit6seket a http: //garf ield. chen. elte. hu/turanyi/reakcionechanizxnusok. htnl weboldalon lehet elolvasni, 6s a konvv n6h6ny kedvcsiniil6 fejezet6t is le lehet onnan tolteni. Igen hasznos a teriilettel ismerkedd sz6m6ra, hogy a Tdrgymutatd a kifejezesek angol eredetii6t is megadja. A ktrnyv tartalomjegyz6ke angol nyelven is szerepel, rem6lhetdleg felkeltve valamely nemzetkcizi kiad6 Erdekldddsdt is. Ami a form6t illeti: a tipogrefia megfelelti, a meg rt shez ielentiisen hozz6iarul6 6br5h sz6pek, a k6pleiek persze olyanok, amilyeneket a Word mcgenged... Egy kritikai megjegyz6s: ha egy ilyen konyv irodalomjegyz6kobdl Craciun [1], Feinberg [3, 4], Horn 6s Mincheva [12] neve hi6nyzik (csak Volpert k6pviseli a form6- lis reakci6kinetika matematikai elm6let6t), akkor helyesebb lett volna cimkent' ezt adni Reakci mech,anizmus ok s vimttda dpes uizs g tilato, mert a legnagyobb hangstily a sz6mit6g6pes m6dszerekre esik. A mii a szerz6 szdnd6ka szerint segits6get kivd.n nyrljtani egyetemi hallgat6knalr, illetve a teriilettel ismerkedni hiv6n6 kutat6knak. Ezen feladatainak a konyv kivdl6an megfelel. A jelen ismertet6st olvas6 alkalmazott matematikusok szdms.ra azonban a fentiekb6l az is kideriilhetett, hogy a reakci6kinetikai alkalmazasok terii- Iet6n nem kevesebb 6s nem konnyebb feladatok vdrnah a - statisztikdval, analizissel, numerikus matematikd,val foglalkoz6 matematikusokra (is), mint a rozsom6kok vsndorl'sdnak teriileten [13], 6s tal'n ezeknek a feladatoknak a mesoldasa m6g n6mi (egy6ni anyagi 6s kozdrdekri ktirnyezetv6delmi) ltaszonnal is jarhat. Hivatkoz6,sok I1l CRAcruN, M., FETNBERG, M.: Multiple equilibria xn complex chemical reaction netuorks: IL The species-reaction graph. SIAM J. Appl. Math. 66' (4) (2006) 1321 i338 12) FARAG6, 1., H,cvesr, A.: Consisten(:1) analysis ol opemtor splitting methods for C0- setnigmltps. Semigroup Forum 74, (2007) 125 139. Alkahnazott M atematikui Lapok ( 20 1 0)
r92 TOTH JANoS t3l t4l [5] [6] [7] HETNEKEN, F. G., TsucHryA, H. M., ARrs, R: On the mathematicdl status ol the pseud,osteadv state hwothesis of biochenical kinetics. Math. Biosci. 1, (1) (1967) 95-113. t8l tel [10] HoRrurr, J.: Theor\ oj reecliott rates as based, on the stoichiometric number concept. Annals of the N w York Academy of Sciences 213, (1973) 5-30. lr2l [13] Rozsom6kokr6l: http ://blle. y s o tt. net /3-J e l ovlmat ek- A4lnatb4Syarrorlat - 2005-mo. pdf [141O'MALLEY, R. E., Jn.: Sing ar perturbation nethods Ior ordinary difrerential eqt&tions (Springer-Verlag, New York, 1991). lrsl [16] FEINBERG, M: Chemi,cal re\ction netuork structure and the stabitritv ol com.pler isothernal rcaclors: L The deficiencg zero dnd defrci,eflcu one theorems. Chem. Eng. Sci. 42, (10) (1.988) 2229-2268. FETNBERG, M.. Chetnical reactiott nefuork structure and the stahilitg of compler isothermal reactors: II. Multiple stelldu states lor netuorks oj d,ef,cie.ncy one. Chem. Eng. Sci. 43, (1) (1988) r-25. GARAY, B. M., ViRDAI, J.t Interpolstion of d,ynamic equations on time scales. J. Difference Eq. Appl. r3, (8-9) (2007) 847 854. CEAR, C. W.: The autonxati,c integtution oj ordinarg difrerential eguorions. Communicarions of rhe AcM 14, (3) (197r) 176-179. HTLGER, S.:,,Ein Malkettenkalkiil mit AnuendLng auf Zentrurnsmanniglaltigkeitenlt, Thesis, Universitet Wiirzburg, (1998). Honlap a szingul5,ris perturbeci6r6l tu alkalmazesair6ll http: //ru!. ida. ueil. du/-iliiik/singdir. htrdl*ap]: chen t11l LADrcs, T.: The dnalvsis oj the splitting error Ior ad.aeclion-reaction problems in air pol- Iution nodels, Id6jarSs - (Quarterly Journal of the Hungarian Met orological Seryice) 109, (3) (2005) 173-188. MrNcr.EvA, M., SrEcEL, D.: Tiimeghdtds tipus,i reakci6d,ifrlizits-rendszerek stabilitdso,. Alk. Mat. Lapok 26, (2009) 97-127. (Forditotta: Egri Edit). RdNyr, A.: Kemiai reakcidk td,rguo,ldsa s sztochdsztikrls lolyamatok elmeletu segitsege\el. Magy. T\rd. Akad. Mat. Kut. lnt. Kiizl.2, (1953) 83-101. Srpos, T., TdTH, J., IiEDr, P.: Stochost'ic siml&tion oj chemical redcttotr be digital conp ter, I. Tke model. React. Kinet. Catal. Lett. 1, (1) (1974) I13 I17. [17] TEMKTN, O., Zerceent<, A., BoNcHEv, D.: Chemi.cal Reaction Netuorks: A Graph The' oretical Appro.tch, (CRC Press, f996). t18lvasrl'eva, A. B: Andreg Nikolo,eoich Ti.khonou arul his school lor singdar Perturbation p?oblem. MatelI'. Mod. 13, (12) (2001) 6-9. [1e] YrNrrn, A., Ur.tr- Uruxreee, \J: Mathenatica opplicati ons on time scales Lecture Notes in Computer Science 3482, (2005) 529 537. [20] ZACH,4R, A.: Compcrison of tmnsjormdtiorls lrofl nonkinetic to hinetic models. Acta Chimica Hungarica Models in Chemistry 135, (3) (1998) 425-434. Alkalmazott Maternatikai Lapok ( 20 1 0 )
TOTH JANoS BME, TTK Analizis Tansz6k Budapest, Egry J. u. 1. TURANYITANIAS:REAKCIOMECHANIZ]\4USoKVIZSGALATA 193 A jelen ismertetd mar ftban volt a nyomda {e16. amikor megjelent a }rir, hogy a K miai TudomAnyok Osztdly6nak ajdnl6sa alapjan az Akad6miai Kiadd Niv6dii6t - vehette 6t Mar6th Mikl6st6l, az NIITA alelnijk6tdl Tur6nyi Tamds, az NIITA doktora, a Reakci6mechanizmusok vizsgiilata cimfi krinyv 6rt. Alkahnazott M atematik&i Lapa k ( 2010 )