Húrnégyszögek, érintônégyszögek 7 0/ 0/ 0 008 Külsô pontól körhöz húzott érintôszkszok egyenlôk & A sokszög egy-egy csúcsáól induló érintôszkszok egyenlôk és két szomszédos oldl drji & Minden egyes érintôszkszól egyik páros sorszámú, másik pártln sorszámú oldl része, és ezek z érintôszkszok kidják z összes oldlt & A páros sorszámú oldlk összege egyenlô pártln sorszámú oldlk összegével 009 A deltoid kkor és csk kkor érintônégyszög, h konvex A deltoid kkor és csk kkor húrnégyszög, h = 80, zz = 90 & A deltoid kkor és csk kkor érintônégyszög és húrnégyszög egyszerre, h két szemközti szöge derékszög 00 Legyenek romusz írt kör érintési pontji K, L, M, N A romusz eírt kör középpontj z átlók metszéspontj: O (KO = LO = MO = NO) OK 9 AD z érintés mitt, vlmint OM 9 BC z érintés mitt & AD ibc mitt K; O; M egy egyenesen vn Hsonlón megmutthtó, hogy N; O; L egy egyenesen vn & KLMN négyszög átlói egyenlô hosszúk és felezik egymást & KLMN tégllp 0 Jelöljük romusz középpontját K-vl, csúcsit A-, B-, C-, D-vel A szerkesztés: ; r; 90 " ADK A-t tükrözni K-r: C D-t tükrözni K-r: B 0 vgy megoldás lehet 0 ) Adott: ; ; ; r A szerkesztés: ; ; & ABC szögfelezôje: f AB-vel párhuzmos felé r távolságr: e 4 f + e = K 5 K középpontú, r sugrú kör: k 6 A-ól érintô k-hoz: d 7 C-ôl érintô k-hoz: d 8 d + d = D 0 vgy megoldás lehet ) Adott: r; ; ; c Felhsználjuk, hogy z érintési pont húzott sugrk négyszöget négy húrnégyszögre ontják A szerkesztés: K középpontú, r sugrú kör: k K csúcsú, egymáshoz cstlkozó (80 - ); (80 - ); (80 - c) szögek " H; E; F; G H-n, E-en, F-en és G-en merôleges z od érkezô sugrkr 4 merôlegesek metszéspontji: A; B; C; D + + c < 60 esetén egyértelmû megoldás vn + + c $ 60 esetén nincs megoldás 0 A szerkesztés: k egy átmérôjének E és F végpontján érintô: e és f f tetszôleges Cl pontjáól sugrú körív; e-vel vló metszéspontj: Bl K-ól merôleges ClBl-re, ennek metszéspontj k-vl: G 4 G-n át párhuzmos ClBl-vel, ennek e-vel és f-fel vló metszéspontj: B és C 5 f tetszôleges Dl pontjáól d sugrú körív; e-vel vló metszéspontj: Al 6 K-ól merôleges AlDl-re, ennek metszéspontj k-vl: H 7 H-n át párhuzmos AlDl-vel, ennek e-vel és f-fel vló metszéspontj: A és D 0; egyevágó vgy - egyevágó trpéz megoldás egy kiválsztott átmérôhöz 04 EF középvonl, K két félkör érintési pontj Az érintô körök középpontji és z érintési pont egy egyenesen vnnk ABCD érintônégyszög + AD + BC = AB + DC = EF + + AD/ + BC/ = EF + EF ugynn K pontn metszi z AD és CB átmérôjû köröket + K két kör érintési pontj
8 Hsonlóság 05 06 05 Felhsználjuk, hogy ABCD húrnégyszög, ezért + l = 80 ABCD érintônégyszög, ezért AB + CD = BC + DA & AB - BC = DA - CD Legyen E! AD olyn pont, melyre DE = CD & AE = DA - DE = DA - CD = AB - BC, másrészt DEC egyenlô szárú, így { = = (80 - l)/ = / & AEC = 80 - / A szerkesztés: AC; AB - BC; 80 - / " " AEC AE egyenes kimetszi k-ól D-t 0; vgy megoldás vn 06 ABCD érintônégyszög, ezért DH = DG és BE = BF & DHG = DGH = f és BEF = = BFE = { Ezek érintôszárú kerületi szögek eírt körhöz & DHG = HEG és BEF = = EHF ABCD húrnégyszög + + d = 80 + (80 - {) + (80 - f) = 80 + f + { = = 90 + ~ = 90 + GE = HF Hsonlóság Kicsinyítés, ngyítás Az 07 04 feldtok szerkesztési lépései könnyen elvégezhetôk 05 eset: EA képe EP E középpontú hsonlóságot lklmzunk A szerkesztés: P pontn merôlegest állítunk z AE egyenesre & m m + e(e; B) = Bl Bl ponton át párhuzmost húzunk BC egyenessel & f 4 f + e(e; C) = Cl 5 Cl ponton át párhuzmost húzunk CD egyenessel & g 6 g + e(e; D) = Dl eset: EA képe PA A középpontú hsonlóságot lklmzunk A szerkesztés lépései hsonlók z elsô eseteihez 06 A szerkesztés: OB + e = Bl Bl ponton át párhuzmost húzunk AB egyenessel & f l OA + f l = Al, OA + e = All 4 All ponton át párhuzmost húzunk AB egyenessel & fll 5 OB + f ll = Bl A megoldások szám 0,, vgy végtelen sok lehet 07 A szerkesztés: e(o; B) + k = {B ; B } B i ponton át párhuzmost húzunk AB egyenessel & i e(o; A) + i = A i 4 Az A pontól kiindulv is végrehjtjuk fenti szerkesztési lépéseket Négy megoldás lehet 08 A szerkesztés lépései z ), ), c) eseten: e(o; C) + e = Cl, e(o; D) + e = Dl ClDl oldlú négyzet ABCD-vel zonos félsíkn & AlBlClDl e(o; A) + e = All, e(o; B) + e = Bll 4 AllBll oldlú négyzet ABCD-vel zonos félsíkn & AllBllCllDll 09 A hsonlóság z e és f egyenesek M metszéspontjá négyzet vlmelyik csúcsát viszi & A hsonlóság középpontj négyzet vlmelyik átlóegyenesének és egy rá nem illeszkedô csúcs és z M pont összekötô egyenesének metszéspontj A szerkesztés: e(a; C) + e(d; M) = P e(a; C) + e(b; M) = P e(b; D) + e(c; M) = Q 4 e(b; D) + e(a; M) = Q H vlmelyik átlóegyenesen rjt vn M, kkor végtelen sok megoldás vn Egyéként legfelje négy megoldás lehet
Kicsinyítés, ngyítás 9 00 Legyenek tégllp csúcsi A, B, C és D, négyzet csúcsi P, Q, R és S AB i PQ, BC i QR A szerkesztés: e(c; R) + e(b; Q) = K e(k ; S) + e(c;d) = Sl, e(k ;P) + e(a; B) = Pl e(c; R) + e(d; S) = K 4 e(d; S) + e(a; P) = = K 5 e(a; P) + e(b; Q) = K 4 Négy megoldás lehet, K, K és K 4 középpontokkl is egy-egy hsonló négyzet dódik 0 Legyenek négyzet csúcsi A, B, C és D, z dott szksz végpontji E és F A szerkesztés: EF oldlr mindkét irányn megszerkesztjük négyzetet & EFClDl és EFDllCll e(a; E) + e(b; F) = O és e(a; F) + e(b; E) = = O & O, O hsonlóságok középpontji Két megoldás vn H z dott szksz vlmelyik négyzetoldl egyenesére esik, kkor másik megfelelô csúcspárt válsztunk középpont megkeresésére 0 eset: A képe P, A képe Q A szerkesztés: e(a ; P) + e(a ; Q) = O & O hsonlóság középpontj Q ponton át párhuzmost húzunk z A A egyenessel & e és e + e(o ; A ) = A l A l ponton át párhuzmost húzunk z A A 4 egyenessel & e és e + e(o ; A 4 ) = A 4 l 4 A 4 l ponton át párhuzmost húzunk z A 4 A 5 egyenessel & e 4 és e 4 + e(o ; A 5 ) = A 5 l eset: A képe Q, A képe P A szerkesztés: e(a ; Q) + e(a ; P) = O & O hsonlóság középpontj P ponton át párhuzmost húzunk z A A egyenessel & f és f + e(o ; A ) = A ll A ll ponton át párhuzmost húzunk z A A 4 egyenessel & f és f + e(o ; A 4 ) = A 4 ll 4 A 4 ll ponton át párhuzmost húzunk z A 4 A 5 egyenessel & f 4 és f 4 + e(o ; A 5 ) = A 5 ll Két megoldás vn 0 eset: e(a; B)! e(d; E) A szerkesztés: D ponton át párhuzmost húzunk AC egyenessel & d D ponton át párhuzmost húzunk BC egyenessel & d E ponton át párhuzmost húzunk BC egyenessel & e 4 E ponton át párhuzmost húzunk AC egyenessel & e 5 d + e = Cl és d + e = Cll 6 e(a; D) + e(b; E) = O és e(a; E) + e(b; D) = = O & O, O hsonlóságok középpontji 7 DECl és DECll keresett háromszögek Egy megoldás vn, h DE = AB, ekkor m =-; két megoldás vn, h DE! AB eset: e(a; B) = = e(d; E) A szerkesztés: -5 megegyezik z eseten leírtkkl 6 e(c; Cl) + e(a; B)=O és e(c; Cll) + e(a; B) = O & O,O hsonlóságok középpontji 7 DECl és DECll keresett háromszögek Egy vgy két megoldás lehet 09 0 0/ 0/
40 Hsonlóság 04/ 04/ 04 Felhsználjuk, hogy z AB oldl és képe párhuzmos egymássl eset: z O pont nincs z AB egyenesen A szerkesztés: AB-re A pontól d hosszúságú szkszt mérünk mindkét irányn & P és Q pontok P ponton át párhuzmost húzunk AO egyenessel & p Q ponton át párhuzmost húzunk AO egyenessel & q p + e(b; O) = Bl és q + e(b; O) = Bll 4 Bl ponton át párhuzmost húzunk AB egyenessel & Bll ponton át párhuzmost húzunk AB egyenessel & 5 + e(a; O) = Al és + e(a; O) = All 6 Al ponton át párhuzmost húzunk AC egyenessel & All ponton át párhuzmost húzunk AC egyenessel & 7 + e(c; O) = Cl és + e(c; O) = Cll Egy vgy két megoldás lehet eset: z O pont rjt vn z AB egyenesen A szerkesztés: AB-re A pontól d hosszúságú szkszt mérünk mindkét irányn & P és Q pontok P és Q pontokon át BC egyenessel húzott párhuzmosok z AC egyenesôl kimetszik z R és S pontokt R ponton át párhuzmost húzunk AB egyenessel & r, S ponton át párhuzmost húzunk AB egyenessel & s 4 r + e(c; O) = = Cl és s + e(c; O) = Cll 5 Cl és Cll pontokon át AC egyenessel húzott párhuzmosok z AB egyenesôl kimetszik z Al és All pontokt; Cl és Cll pontokon át BC egyenessel húzott párhuzmosok z AB egyenesôl kimetszik Bl és Bll pontokt Egy vgy két megoldás lehet 05 A szerkesztés: Legyen P k körnek z OA egyenesre nem illeszkedô pontj Ol ponton át párhuzmost húzunk PO egyenessel & e e + e(a; P) = Pl 4 Ol középpontú OlPl sugrú kör & kl Nincs megoldás, h A = Ol Végtelen sok megoldás vn, h A = O Egy megoldás egyéként 06 A szerkesztés: AlBl-re Al pontn szöget, Bl pontn szöget mérünk Az zonos félsíkn levô két-két szögszár metszéspontj C, illetve C Az egyik háromszög zonos, másik ellentétes körüljárású lesz z eredetivel 07 A szerkesztés: Az AB oldlr ADEF tégllpot szerkesztünk, mely egyevágó megdottl, és hossz oldl illeszkedik AB-re B pontn merôlegest állítunk z AB egyenesre & g e(a; E) + g = El 4 El pontól merôlegest állítunk z AB egyenesre & merôleges tlppontj Dl 5 A = Al, B = Bl & AlBlElDl tégllp 6 BC, illetve CA oldlr hsonlón megszerkesztjük tégllpot Egyértelmû megoldás 08 Felhsználjuk, hogy z szög g ih szelôire párhuzmos szelôk tétele: KP : PQ = KR : RS A szerkesztés: tetszôleges szög f szárán KP = és PQ = z szög e szárán KR = l P és R egyenese: g 4 g-vel párhuzmos Q-n át: & h 5 h + e = S 6 RS = l Egyértelmû megoldás 09 AB szksz rányos osztás két részre, h AP : PB = m : naszerkesztés: A kezdôpontú tetszôleges félegyenes: f tetszôleges, zonos egységen f-en APl = m és PlBl = n BlB egyenes: g 4 g-vel párhuzmos egyenes Pl-n át: h 5 AB + h = P ) m = és n = 8 6 ) m = 5 és n = 7 c) m = és n =, mert : 5 = : = : AB szksz rányos osztás három részre, h AP : PQ : QB = m : n : p A szerkesztés: z A kezdôpontú tetszôleges félegyenes: f tetszôleges, zonos egységen f-en APl = m, PlQl = n
Kicsinyítés, ngyítás 4 és QlBl = p BlB egyenes: g 4 g-vel párhuzmos egyenes Ql-n, illetve Pl-n át: h, illetve i 5 AB + h = Q és AB + i = P d) m = és n = és p = 4 e) m = 5 és n = 7 és p = 8 f) m = és 4 n = és p = 6, mert : : 4 = : : = 6 : : 040 A háromszög oldlit segédegyenest lklmzv osztjuk m : n rányú részekre z 09 feldt útmuttás szerint 04 A i B i ia j B j & z egyállású szögek egyenlôk & CA i B i CA B, h # i # 8 & megfelelô mgsságik rány egyenlô hsonlóság rányávl & = & AB= 085, m AB 8 8 Hsonlón: A 7 B 7 =,7 m; A 6 B 6 =,55 m; A 5 B 5 =,4 m; A 4 B 4 = 4,5 m; A B = 5, m; A B = 5,95 m Az 04, 04, 044, 045, 046 feldt megoldását z olvsór ízzuk 047 A szerkesztés: z A kezdôpontú e félegyenesen: AB; BC = BC; C A = CA z A kezdôpontú f félegyenesre k hosszúságú szksz & AA A A -gyel párhuzmos C -en át: c és A A -gyel párhuzmos B -en át: 4 c + f = C és + f = B 5 AB ; B C ; C A oldlú háromszög " AlBlCl Egyértelmû megoldás 048 ) A szerkesztés: ; szögû háromszög " A 0 B 0 C 0 A 0 kezdôpontú A 0 B 0 félegyenesre B 0 C = B 0 C 0 ; Ugynzon félegyenesen C -ôl C A = C 0 A 0 & A 0 A, z A 0 B 0 C 0 kerületével egyenlô szksz A 0 kezdôpontú f félegyenesre A 0 A = s = k 4 A A -gyel párhuzmos C -en át: c és A A -gyel párhuzmos B -en át: 5 c + f = C és + f = B 6 A 0 B ; B C ; C A oldlú háromszög " ABC Egyértelmû megoldás ) A szerkesztés: ; szögû háromszög " A 0 B 0 C 0 B 0 kezdôpontú A 0 -t nem trtlmzó félegyenesre B 0 C = B 0 C 0 ; ugynzon félegyenesen C -ôl C A = C 0 A 0 & B 0 A, z A 0 B 0 C 0 l + l oldlávl egyenlô szksz B 0 kezdôpontú f félegyenesre B 0 A = + 4 A A -vel párhuzmos C -en át: p 5 p + f = C 6 B 0 C ; C A ; 80 - - dtokól " ABC Egyértelmû megoldás c) A szerkesztés: ; szögû háromszög " A 0 B 0 C 0 Legyen A! C 0 B 0 olyn pont, melyre C 0 A = C 0 A 0 " B 0 A = l - l A -n át f egyenes, zon B pont, melyre A B = - 4 B 0 B - vel párhuzmos C 0 -on át " g 5 g + f = A 6 A A ; A B ; " ABC A megoldhtóság feltétele > 049 ) A szerkesztés: ; 90 " A 0 B 0 C 0 A 0 C 0 + C 0 B 0 " A 0 B (A 0 C 0 egyenesen) A 0 -on át f-re ( + ) = A 0 B 4 B B -vel párhuzmos C 0 -on át " c 5 c + f = C 6 A 0 C ; 90 ; " ABC Egyértelmû megoldás ) A szerkesztés: ; 90 " A 0 B 0 C 0 A 0 B 0 - A 0 C 0 " B 0 B (A 0 B 0 egyenesen) B 0 -on át f egyenes, B 0 B = c - 4 B B -vel párhuzmos A 0 -on át " 5 + f = A 6 B 0 A ; 90 ; " ABC Egyértelmû megoldás 050 H két egyenlô szárú háromszög szárszöge egyenlô, kkor háromszögek hsonlók Ezért szerkesztendô háromszöghöz hsonlót szerkesztünk, mjd megfelelô dt és z dott hosszúság közötti hsonlósági ránnyl megszerkesztjük kívánt háromszöget Egyértelmû megoldás 05 ) A szerkesztés: Adott szksz felmérése A kezdôpontú f félegyenesre " AD AB; BD = BD szksz z A kezdôpontú e-re " AD D D -vel párhuzmos B-n át & 4 + f = B 5 AB oldlú négyzet Egyértelmû megoldás ) A szerkesztés: Adott szksz felmérése B-n átmenô f egyenesre & BC B-n átmenô e egyenes egyik félegyenesére BA, mjd A-ól B-t trtlmzó félegyenesre AC = AC szksz " " C pont C C -vel párhuzmos A-n át & 4 + f = A 5 BA oldlú négyzet megoldás Egyértelmû megoldás 05 ) Bármely két négyzet hsonló, ezért tetszôleges négyzet átlójánk és egyik oldlánk összegére, vlmint z dott szkszr lklmzzuk z 05 ) feldtn látott szerkesztési eljárást ) Bármely két négyzet hsonló, ezért tetszôleges négyzet átlójánk és egyik oldlánk különségére, vlmint z dott szkszr lklmzzuk z 05 ) feldtn látott szerkesztési eljárást AB 8 8 8
4 Hsonlóság Hsonló síkidomok eírás, levágás 057 05 A szerkesztésnél felhsználjuk párhuzmos szelôk tételét 054 Kétféleképp rjzolhtunk egy oldlr kifelé z ABC háromszöggel egyevágó háromszöget: eset: AB egyenesre vló tükrözéssel: ABD Ekkor z ABD C középpontú, / rányú hsonló képe z AlBlD l, hol Al z AC felezôpontj, Bl BC felezôpontj és D l C-ôl induló mgsság tlppontj eset: AB szksz felezôpontjár vló tükrözéssel: ABD Ekkor z ABD C középpontú, / rányú hsonló képe z AlBlD l, mi z ABC középvonl háromszöge Egy dott csúcsól egy vgy két megoldás dódik 055 Legyenek z egyenlô szárú háromszög csúcsi A, B és C, szályos háromszög csúcsi A, B és D A szerkesztés: e(a; B) + e(c;d) = Dl, mi z AB szksz felezôpontj Dl ponton át párhuzmost húzunk z AD egyenessel & e Dl ponton át párhuzmost húzunk DB egyenessel & f 4 e + e(a; C) = Al és f + e(b; C) = Bl Egyértelmû megoldás 056 C középpontú hsonlóság segítségével szerkesztünk A szerkesztendô háromszög lppl szemközti Dl csúcs z átfogó elsô pontj A szerkesztés: Az átfogór kifelé olyn egyenlô szárú ABD-et szerkesztünk, minek szár másfélszerese z átfogónk AB + e(c; D) = Dl Dl ponton át párhuzmost húzunk z AD, illetve BD egyenessel & e és f 4 e + AC = Al és f + BC = Bl & AlDlBl Egyértelmû megoldás 057 A szerkesztés: Legyen P z AC egyenes, Q BC egyenes olyn tetszôleges pontj, hogy PQ iab legyen PQR és PQR szályos háromszögek szerkesztése PQ szkszr e(c; R ) + e(a; B) = C és e(c; R ) + e(a; B) = C 4 C i ponton át párhuzmost húzunk R i Q egyenessel & f i és C i ponton át párhuzmost húzunk R i P egyenessel & g i 5 f i + e(c; B) = A i és g i + e(a; C) = B i Egy vgy két megoldás lehet 058 Felhsználjuk, hogy ABCD PQDA esetén BDA AQD & szögeik egyenlôk, zz DAQ = ABD merôleges szárú hegyesszögek & BD átló merôleges AQ átlór A szerkesztés: BD átlór merôlegest állítunk z A csúcsól & m m + e(d;c) = Q Q pontn merôlegest állítunk DC egyenesre & e keresett egyenes 4 Az e egyenest z AB szksz felezômerôlegesére tükrözve másik megoldást kphtunk Egy vgy két megoldás lehet 059 Felhsználjuk, hogy ABCD PQCD esetén BC : AB = PQ : PD = AB : PD A szerkesztés: CB félegyenesre B ponton túl AB szkszt mérünk & & E C pontól tetszôleges félegyenest húzunk & f C pontól f egyenesre AB szkszt mérünk & Bl 4 E ponton át párhuzmost húzunk BBl egyenessel & e; e + f = Al 5 D pontól DA egyenesre BlAl szkszt mérünk & P 6 P ponton át párhuzmost húzunk CD egyenessel & g; g + e(c;e) = Q A DC oldlhoz kifelé PQBA prlelogrmmávl egyevágó prlelogrmmát illesztve másik megoldást kpunk 060 Felhsználjuk, hogy ABC DAC esetén megfelelô szögek egyenlôk > esetén z A csúcsn z AC ol-
Hsonló síkidomok eírás, levágás 4 dlr szöget szerkesztünk & z új szögszár egyenese e c > esetén hsonlón dódik z e megoldás A megoldások szám vgy 0 06 eset: >, > c Felhsználjuk, hogy ABC DBC esetén megfelelô szögek egyenlôk A szerkesztés: A B csúcsn BC oldlr szöget szerkesztünk & z új szögszár egyenese f A C csúcsn BC oldlr szöget szerkesztünk & z új szögszár egyenese g f + e(c; A) = D és g + e(a; B) = D eset: <, < c Felhsználjuk, hogy ABC D CA D BA esetén megfelelô szögek egyenlôk A szerkesztés: Az A csúcsn z AC oldlr szöget szerkesztünk & z új szögszár egyenese h Az A csúcsn z AB oldlr c szöget szerkesztünk & z új szögszár egyenese i h + e(b; C) = D és i + e(b; C) = D eset: = = c esetén nincs megoldás A megoldások szám 4, vgy 0 06 Felhsználjuk, hogy PlQlRlSl négyzet hsonló szerkesztendô PQRS négyzethez, hsonlóság középpontj B A szerkesztés: A BC oldl tetszôleges Pl pontján BC-re állított merôleges egyenes és z AB oldl metszéspontj Sl A BC egyenesen nyugvó SlPl oldlhosszúságú négyzet & SlPlQlRl négyzet e(b; Rl) + e(a;c) = R 4 Az R ponton át BC-re állított merôleges egyenes& m; m + e(b; C) = Q 5 Az R ponton át húzott SR-rel párhuzmos egyenes & & n; n + e(a; B) = S 6 Az S ponton át BC-re állított merôleges egyenes & p; p + e(b; C) = P Hsonlón szerkeszthetô másik két oldlegyenesen nyugvó négyzet Három megoldás vn 06 B középpontú hsonlóságot lklmzunk A szerkesztés: A BC oldl tetszôleges Pl pontján BC-re állított merôleges egyenes és z AB oldl metszéspontj Sl SlPl : PlQl = = :és Ql! e(b; C) & SlPlQlRl tégllp e(b; Rl) + e(a; C) = R 4 Az R ponton át BCre állított merôleges egyenes tlppontj Q 5 Az R ponton át BC-vel húzott párhuzmos egyenes és AB egyenes metszéspontj S 6 Az S ponton át BC-re állított merôleges egyenes tlppontj P & P Q R S tégllp 7 Az elôzô lépéseket végezzük SllPll : PllQll = :kiindulássl & P Q R S tégllp Hsonlón szerkeszthetô másik két oldlegyenesen nyugvó két-két tégllp Ht megoldás vn 064 A szerkesztés: A három dott iránnyl párhuzmos oldlú háromszög & PQR PQR köré írt köre és középpontj & l, K Az O pontól induló KP-vel, KQ-vl, KR-rel egyirányú sugrk kimetszik k körôl z A, B, C pontokt 4 Az ABC O pontr vontkozó tükörképe, DEF is megoldás Két megoldás vn 065 A szerkesztés: DB átlón nyugvó, AC átlóvl párhuzmos oldlú romusz & DBFE A középpontú hsonlóságot lklmzunk: z E pont képe R! DC, illetve z F pont képe Q! BC Az R ponton átmenô AC-vel párhuzmos egyenes metszéspontj AD szksszl & S 4 A Q ponton átmenô AC-vel párhuzmos egyenes metszéspontj AB szksszl & P Egyértelmû megoldás 066 A szerkesztés: Az ABCD négyzet középpontj & K K középpontú AC, illetve BD szimmetritengelyû, EFGH tégllphoz hsonló tégllpok szerkesztése & P Q R S és P Q R S Olyn K középpontú hsonlóságot lklmzunk, melynél fenti két tégllp csú- 06 066
44 Hsonlóság 067 csink képe négyzet oldlir esik & P lq lr ls l és P lq lr ls l tégllp Végtelen sok megoldás vn, h EFGH négyszög négyzet, két megoldás vn egyéként 067 A szerkesztés: Legyen F z AC egyenes, D z AB egyenes olyn pontj, hogy FD ixz teljesüljön Az F ponton át ZY egyenessel párhuzmost húzunk &, z F ponton át XY egyenessel párhuzmost húzunk &, D ponton át XY egyenessel párhuzmost húzunk & c, D ponton át YZ egyenessel párhuzmost húzunk& d + c = E és + d = E 070 4 e(a; E ) + e(b; C) = El és e(a; E ) + e(b; C) = = Ell 5 AEl: AE rányú A középpontú hsonlósággl & Dl, Fl 6 AEll: AE rányú A középpontú hsonlósággl & Dll, Fll H kiindulási szksz végpontji vgy c szög szárir illeszkednek, új két-két megoldást kpunk 068 A szerkesztés: Legyen z AOB szög szögfelezôje f és Pl z OA sugár, Sl z OB sugár olyn pontj, hogy PlSl 9 f teljesüljön PlSl oldlú négyzet & QlRlSlPl OQl, illetve ORl egyenes metszéspontj z AB ívvel & Q, illetve R pont 4 A Q, illetve z R pontokn QR szkszr állított merôlegesek metszéspontj szögszárkkl & & P, illetve S Egyértelmû megoldás 069 A szerkesztés: Az AB szksz felezôpontj és felezômerôlegese & F AB és f AB Legyenek Pl és Ql z AB htároló húr tetszôleges f AB egyenesre szimmetrikus pontji PlQl oldlú négyzet 07 & RlSlPlQl 4 e(f AB ; Rl) + k = R és e(f AB ; Sl) + k = = S 5 Az R, illetve z S pontokól z AB szkszr állított merôlegesek tlppontj & Q, illetve P Egyértelmû megoldás 070 A szerkesztés: Az AOB szög szárit érintô tetszôleges kör: l, z AOB szög szögfelezôje: f f + l = El z O ponttól távoli metszéspont Az l kör és szögszár érintési pontj: Tl 4 Az E ponton át ElTl-vel párhuzmos egyenest húzunk & & g; g + OB = T 5 A T pontn OB-re merôleges egyenest állítunk m; m + f = K 6 K középpontú KT sugrú kör & k Egyértelmû megoldás 07 A szerkesztés: A szögszárkt érintô tetszôleges sugrú kör: k (középpontj O), szögfelezô: f e(c; P) + k = {P ; P } P ponton át P O-vl, illetve P O-vl párhuzmos egyenest húzunk & p és p 4 f + p = O és f + p = O 5 O i középpontú PO i sugrú kör & k i Két megoldás vn 07 Mivel keresett Q pontr d(q; P) = d(q; e), ezért Q P ponton átmenô, e egyenest érintô kör középpontj A szerkesztés: Az e egyenes f egyenesre vontkozó tükörképe & el Az e és el egyeneseket érintô, P ponton átmenô körök középpontj & Q, Q ( szerkesztés z 07 feldt megoldásán leírtk szerint történhet) A megoldások szám, vgy 0 lehet Megjegyzés: A keresett pontok z e vezéregyenesû P fókuszú prolánk z f egyenessel közös pontji
Hsonló háromszögek 45 Hsonló háromszögek Bizonyítási feldtok 07 ) Például 40, 70, 70 és 00, 40, 40 szögû háromszögek nem hsonlók, ár vn egyenlô szögük ) H z állítás igz voln, kkor minden egyenlô szárú háromszög hsonló lenne szárszögétôl függetlenül 074 Például 4 cm, 6 cm, 8 cm és cm, cm, 4 cm oldlú háromszögek nem egyevágók, ár megfelelô oldlik rány egyenlô és mindkettônek vn 4 cm-es oldl 075 ) Mivel c = cl, f és f l szögfelezô, ezért DCB = DlClBl = c/ és f : f l = : l & = l Az láhúzottkól & ABC AlBlCl ) Legyen z AB, illetve & DCB DlClBl & z AlBl oldl felezôpontj E, illetve El Tükrözzük C csúcsot z E, Cl csúcsot z El pontr & D, illetve Dl Mivel : : s = l : l : sl, ezért : : s = l : l : sl & CDB ClDlBl & CBD = = ClBl Dl & ACB = AlClBl & ABC AlBlCl, mert két oldluk rány és z zok áltl közrezárt szög egyenlô 076 ATC AlTlCl, mert szögeik f = fl és 90 & = l BTC BlTlCl, mert szögeik { = {l és 90 & = l & = l & ABC AlBlCl, mert szögeik egyenlôk 077 BC : CA : AB = 4 : 5 : 6 & < < c BC oldl C-n túli meghosszításár mérjük fel z AC oldl hosszát: CD = AC & CDA = CAD ABC DBA, mert BA : BD = 6 : 9 = = 4 : 6 = BC : AB és közös & BDA =, tehát c =, mert c külsô szöge ACD-nek 078 Például egy négyzet és egy nem egyenlô oldlú tégllp nem hsonló négyszögek, ár szögeik páronként egyenlôk Az 079, 080, 08, 08, 08, 084 feldt megoldását z olvsór ízzuk 085 EF iab & EG iad és FG ibd EG CG Alklmzzuk párhuzmos szelôszkszok tételét z ACD -re: = Alklmzzuk AD CD FG CG párhuzmos szelôszkszok tételét BCD -re: = A fentiekôl következik: BD CD EG FG = CD súlyvonl & AD = DB & EG = FG, tehát súlyvonl felezi z EF szkszt AD BD 086 A szimmetrikus trpéz húrtrpéz vgy prlelogrmm is lehet Az árán vázolt négy szimmetrikus trpéz egyike sem hsonló másikhoz, ár szögeik egyenlôk 077 085 086
46 Hsonlóság 088 087 eset: ABCD nem prlelogrmm Tekintsük z ABCD trpéz kiegészítô háromszögét, DCO-et! AOB re lklmzzuk párhuzmos szelôk tételét: OD DP PA = = & DP : PA = CQ : QB OC CQ QB eset: ABCD prlelogrmm, ekkor DP = CQ és PA = = QB & DP : PA = CQ : QB 088 Az 087 feldtn láttuk, hogy A B ia B ipq& & A P : PA = B Q : QB és B C i B C i QR& B Q : QB = = C R : RC és C D i C D i RS & C R : RC = D S : SD és D A i D A i ST & D S : SD = = A T : TA & A P : PA = A T : TA & P / T Számolási feldtok 089 l= cm és cl =, cm 090 l = 5,6 cm, cl =,5 cm 9 09 l= cm es l= cm 09 l=, 6 cm 4 6 09 Az árnyékok hossz: = 5,8 m és =,6 m A kémény mgsság c, kró mgsság d =,9 m m = = = & c = = 9, : 4 m mgs kémény 6, d d 6, 5, 8 c m 5, 8 l l 80 094 = 5 m, =,8 m, l = cm = & = & l=,5 cm szélesség tervrjzon l 500 9 5 095 l = cm; l = 6 cm és cl= cm 096 l = 0 m, l = 0 m, cl = 5 m 097 l = m, l = m, cl= 5, m ABl 9 ACl ABl ACl 098 BlACl = BAC = = = és = = & = & AB 5 5 AC 0 5 AC AC & ABC ABlCl, mert két oldluk rány és zok közrezárt szöge egyenlô 099 = m és l= m 00 ABC A B C, mert két oldluk rány és zok közrezárt szöge egyenlô & = cm és =, cm 0 ) l=5 cm és c = 8 cm ) c = 0 cm és cl = cm 0 Vizsgáljuk leghossz, legrövide és közülsô oldlk rányát! l l cl ) = = = & Hsonlók háromszögek c 0 l l cl 4 ) = = = & Hsonlók háromszögek, megfelelô c 5 oldlik és l, c és l, és cl l 9 l cl 4 098 c) = = Y = = & Nem hsonlók háromszögek 0 c 5
Hsonló háromszögek 47 0 l = 08, cm, l =, cm, cl= 6, cm 04 l = 8 cm, l = cm, l = 6 cm, 4 l = 0 cm 05 l = 8 cm, l = 9 cm, l = cm, 4 l = 6 cm 06 Az oldlk: 0 cm, 4 cm, 8 cm, 6 cm 07 k = 00 mm és kl = 40 mm 08 = c d és e c + = f = c+ d A hrmdik oszlop dtivl: c 7 8 & c cm c + 4 = 0 = ; 8 5 6 66 = & = cm A tálázt hiányzó dti: z elsô oszlopn: d = cm és f = cm, 5 4 7 7 60 6 5 8 második oszlopn: = cm és f = cm, hrmdik oszlopn: = cm és c = cm, 0 99 negyedik oszlopn: = cm és e = cm 4 09 Legyen R közös kiindulási pont A, B pontok jutnk fél ór ltt: A B = 80 km A R : A R = B R : B R; párhuzmos szelôk tételének megfordítás mitt A B ia B A párhuzmos szelôszkszok tételét lklmzv z A 5 5 RB szelôire: A B : A B = : = & A 4 B = 5 = $ 80 = 450 km Áltlánosn: l $ 60 km távolságuk l ór múlv 0 A keresett ponthlmz egy, z e egyenessel párhuzmos egyenes, mi e-nek P középpontú m rányú középpontos hsonló képe ) m= ; m= ) m= ; m4= m 4 5 m + n A BC = lpú m mgsságú háromszögek A csúcs BC-vel párhuzmos, m távolságr levô párhuzmos egyenespáron vn S súlypont & SA = FA & S pont z F pontnk A középpontú m = rányú középpontos hsonló képe & A keresett ponthlmzt BC egyenessel párhuzmos egyenesek pontji lkotják, melyek m távolságr vnnk BC egyenestôl Jelölje z egyik oldlon létr csúcsát C, lánc végeit D, E, szárk tljon levô pontjit A, B CDE CAB, mert szögeik páronként egyenlôk Mgsságik rány egyenlô hsonlóság rányávl CDE mgsság: m =,4 és CAB mgsság: h = m DE = & DE = 07, m= 70cm h AB Jelölje A pály eláthtó pontját, B kerítés tlpztát, K legfelsô pontját, NM ház lpjától leglcsony keresett pontig terjedô szkszát ABK ANM, mert szögeik KB MN páronként egyenlôk = & MN = m & A nyolcdik szinttôl kezdve, zz 7, 8, 9, 0 emeletrôl lehet elátni pályár AB AN 4 4 Az árán zonosn jelölt egyállású szögek egyenlôk & BD DE & BED BCA & = BA AC ) BD = cm és AD = AB - BD = 4 cm AC AB AD+ BD AD AD 7 ) = = = + & = DE BD BD BD BD 8
48 Hsonlóság 5 5 i ic id; d(; ) : d(; c) : d(c; d) = m : m : m = : : 4 e és f metszô egyenesek A i ; B i ; C i ; D i pontokn metszik párhuzmosokt A A = 60 cm és D D = 96 cm Húzzunk e egyenessel párhuzmost z A ponton át: el és A A = B S = C T = D U = 60 cm Az árán zonosn jelölt egyállású szögek egyenlôk, ezért A B S A D U és A C T A D U & mgsságik rány egyenlô hsonlóság rányávl A B S mgsság: m és A D U mgsság: m BS m + m + m és A C T mgsság: m + m & = & BS DU DU = m+ m+ m 9 CT m+ m 5 és = & CT = DU DU m + m + m 9 eset: D U = D D - D U = 6 cm & B S = 8 cm és C T = 0 cm & B S + B S = B B = 68 cm és C T + C T = C C = 80 cm eset: A M: MD = 5 : 8 & e és f és c párhuzmosok között metszi egymást D U = D D + 04 60 76 + D U = 56 cm & B S = cm és C T = cm & B S - B S = B B = cm és C T - 80 - C T = C C = cm 6 Húzzunk MA -gyel párhuzmos egyenest A-n át: e Az e áltl kimetszett P, Q pontokr AA = B P = MQ = ; PB = 0,5 PB idq & DAQ -re lklmzhtjuk párhuzmos szelôszkszok tételét: = & DQ = & MD = DQ + QM = DQ AD 6 PB AB 8 =, tehát f körülelül 9, m mgs AP AD 7 ABCD ADQP & = & AP = AD $ & AD AB AB 6 6 & AP = 4 $ = Az új prlelogrmm oldli cm és 7 7 7 4 cm AB AD 8 ABCD ADFE és k középvonl & = = AD AE AD = & AB = AD AB & = AD AB
Hsonló háromszögek 49 9 Legyenek P! BC, Q! AC és R! AB prlelogrmm csúcsi BP : QP = 6 : 5 = y : x és PCQ BCA, mert szögeik egyállású szögek & megfelelô oldlik rány egyenlô & QP PC QP 0 - BP 6 & = & = és BP = QP & QP = 0 cm és BP = cm BA BC 5 0 5 0 Legyenek P, Q! BC, R! AC, S! AB tégllp csúcsi B pontot S R vektorrl eltolv Bl pont dódik BlC = BC - P Q és BlCR BCA, mert szögeik egyenlôk & = = RQ BC l BC - PQ m BC BC 9 eset: R Q : P Q = 5 : 9 & RQ 48 - RQ = 5 & RQ 0 cm 6 48 = és PQ = 8 cm 5 eset: R Q : P Q = 9 : 5 & RQ 48 - RQ 9 7 5 = & RQ = cm PQ cm 6 48 = y h x S R A BCA, mert szögeik egyállású szögek & = - h n x eset: x : y = m : n & m h x hm hn = - & x = y = h m + nh m + nh m x eset: x : y = n : m & n h x hn hm = - & x = y = Megjegyzés: dott oldlrányú, háromszöge írt tégllpot szerkesztettünk z 06 h n + mh n + mh feldtn SRA BCA, mert szögeik egyállású szögek & megfelelô szkszik rány egyenlô & x h & & x, zz h- x = h = = + + h x h ABC DAC, mert szögeik egyenlôk & megfelelô oldlik rány egyenlô, zz DC CA CA 6$ 6 = & DC = = & DC = cm és BD = BC - DC = 9 cm CA CB CB 4 ABC ADB, mert szögeik egyenlôk & megfelelô oldlik rány egyenlô, zz AD AB BD = = & AB = AC $ AD = c AB AC BC eset: AD : DC = 9 : 7 & c = (9 + 7) $ 9, c = cm és BD: BC = 9 : = 4 : eset: AD : DC = 7 : 9 & c = (7 + 9) $ 7, c = 4 7 cm és BD: BC = 7 : 4
50 Hsonlóság 5 DC = qac - ADu, mert c < esetén c < &D z AC szksz elsô pontj, ekkor DC = = AC - AD; c > esetén c > & D z AC egyenes C-n túli pontj, ekkor DC = AD - AC ABC ADB, mert szögeik egyenlôk & megfelelô oldlik rány egyenlô, zz AD AB AB = & AD= ) c = cm < = 4 cm & AD = & AD = cm és DC = cm AB AC AC 4 c c ) AD = és DC = - 6 K P E = K EP = K EP = K P E, mert K P E és K P E egyenlô szárú, illetve K EP és K EP csúcsszögek & K P E K P E & P E : P E = K E : K E = r : r ) r + r = 6 cm és r : r = : 5 & r 6 cm és 0 cm d d & r = és r + + = ) r + r = d és r : r = : & 7 PQ ibc & z zonosn jelölt egyállású szögek egyenlôk & APQ ABC & mgsságik rány egyenlô hsonlóság rányávl, zz = & = - & r = PQ AU r h r h BC AT h h+ 8 PQ ibc & APQ ABC & mgsságik rány egyenlô hsonlóság rányávl, zz PQ m- KR KR 0 - KR = & = & KR = 6cm& PQR oldli cm, 6 BC m 0 0 6 cm cm és 9 PQ iab & z egyállású szögek egyenlôk & CQP CAB & oldlik rány egyenlô QP CQ AQ AQ hsonlóság rányávl, zz = & = - c & romusz oldl AQ = AB CA c c+ 0 Az N ponton átmenô AB-vel párhuzmos egyenes z AC oldlt L pontn metszi & & MNLA négyszög prlelogrmm & BN = AM = NL & BNL egyenlô szárú, z lpon fekvô szögeinek ngyság / & BL felezi szöget A szerkesztés: szögfelezôje & f f + AC = L L ponton át AB-vel párhuzmosn húzott egyenes & g 4 g + BC = N 5 N ponton át AC-vel párhuzmosn húzott egyenes & h 6 h + AB = M & MN szksz megoldás MN szksz hosszánk kiszámítás: A megfelelô szögek egyenlôsége mitt CLN CAB és BNM BCA, illetve z MNLA prlelogrmm oldlir AL = MN és LN = BN & CL LN - AL LN - MN BN BN MN BN MN & =, =, = és =, = & BN= MN, CA AB c c BC AC - MN MN c = & szksz hossz MN= c + c 7/ 7/
Hsonló háromszögek 5 DE iac & ABC -en lklmzzuk párhuzmos szelôszkszok tételét & DE BE DE - CE 8 & =, zz = & CE = - DE AC BC 8 7 DE BD DE 4 - AD 6 =, zz = & AD = 4 - DE AC BA 8 4 7 A fentiekôl AD + CE = 56 - DE és AD + CE = 6 cm dott & DE = 0 cm Szögfelezôtétel Legyen f c + AB = P Jelöljük z AP szksz hosszát x-szel & PB = 5,5 cm - x Alklmzzuk szögfelezôtételt: x : (5,5 - x) = 6 : 7 & AP = x = cm, 54 cm 77 PB = 5,5 cm - cm = cm, 96 cm 6 Alklmzzuk szögfelezôtételt z ár jelöléseivel: x : (c x) = : & (c - x) = x & c = x( + ) & x = c c c = & c- x= c- = + + + 4 eset: H =, kkor f c + e(a; B) = 0Y eset: H!, kkor ) Húzzunk párhuzmost B-n át ACvel " D CDB-en CDB = PCA = cl/, mert egyállású szögek DCB = cl/, mert D külsô szögfelezô pontj & CDB egyenlô szárú, DB = CB = Alklmzzuk párhuzmos szelôszkszok tételét DPB CA és DB párhuzmos szelôire: CA : DB = PA : PB, zz : = PA: PB c ) : = PA : (PA + c) & PA = & - PB = c - + c = c - Megjegyzés: > esetén P z A csúcshoz, > esetén B csúcshoz vn közele 5 Alklmzzuk szögfelezôtételt z AC C f szögfelezôjére, vlmint BC C f szögfelezôjére: AD : DC = AC : C C és BE : EC = C B : C C Mivel C felezéspont, AC = C B & & AD: DC = AC : C C = C B : C C = BE: EC Az láhúzottk z ACB AB és DE szelôinek szögszárkól kimetszett szksziról szólnk A párhuzmos szelôk tételének megfordítás mitt DE iab 6 CP iblf mitt lklmzzuk párhuzmos szelôk tételét BlAB CP és BlF szelôire, vlmint z ABC FAl és PC szelôire: BlA : = c : c & c = c BA l és BAl : = c : c & c = 4 6
5 Hsonlóság 8 9 BAl BA l BAl c = c $ & c $ = c $ & BlA = $ $ BAl = BAl, mert szögfelezôtétel szerint c c = c 7 Legyen párhuzmosnk BC oldlll vló metszéspontj Q PQ iac; CP felezi ACB -et A szögfelezôtételôl tudjuk, hogy AP : PB = :, zz (c - PB) : PB = : & PB = c = Alklmzzuk párhuzmos szelôszkszok tételét z ABC PQ és AC párhuzmos + c szelôire: PQ : AC = PB : AB, zz PQ : = + : c & PQ = + 8 A szögfelezôtételt lklmzv z f szögfelezôre: CE : EB = : c EF ibt mitt lklmzzuk szelôszkszok tételét z ACB EF és BT szelôire: TB : FE = CB : CE = (CE + EB) : CE = m c m$ = + EB : CE A szögfelezôtételt és z dtokt felhsználv: = + & FE = = FE + c =6 cm 9 Állítás: CO o : O o P = ( + ) : c c Az ABC-re lklmzott szögfelezôtételôl eláthtó, hogy AP = Alklmzzuk szögfelezôtételt z APC-en CAP AO o + c felezôjére: CO o : O o P = : + = : c & + & CO o : O o P = ( + ) : c Mgsságtétel, efogótétel 40 Legyen háromszög derékszögû csúcs C, z eôl induló mgsság tlppontj T c) ATC CTB, mert szögeik páronként egyenlôk BC TB TC TC m= = n & n & AT AC TC = = = TC AT n és TB = TC $ n & AT : TB = : (TC $ n) = : n, tehát z átfogó szeleteinek rány : n n p q ) eseten n =, z rány : 9 ) eseten n = 4, z rány : 6 d) eseten n =, z rány q p 4 Legyen z átfogó két szelete p és - p A efogótétel szerint (5x) = p és (6x) = 5x p = $ ( - p) & = & 5 $ ( - p) = 6p & p = 50 cm, zz AT =50 cm 6x $ ( - p) és TB= 7 cm
Hsonló háromszögek 5 4 Legyen z átfogó két szelete y és y + A efogótétel szerint (x) = y(y + ) és (x) = 9x ( y+ )( y+ ) = (y + )(y + ) & = & 9y = 4y + 8 & y =,6 cm, zz AT =,6 cm és 4x y( y+ ) TB =,6 cm & AB = AT + TB = 5, cm 4 Legyen háromszög derékszögû csúcs C, z eôl induló mgsság tlppontj T ABC ACT CTB, mert mindegyik derékszögû és BAC = CAT = BCT AC AT x p AC TC x A megfelelô oldlk rány: = & = & p = 8 cm és = & = CB TC 7x 4 CB TB 7x 4 = & q = 98 cm q 44 Mgsságtétel: m c = 4 $ = 4 cm Befogótétel: = 46 $ = 8cm és = $ 6 = = 8 cm 45 Befogótétel: 5= c & c =,5 cm & TB = 0,5 cm és =, 5 $ 0, 5 =, 5 cm Mgsságtétel: mc = 05 $, = cm 46 Legyen háromszög derékszögû csúcs C, z eôl induló mgsság tlppontj T Pitgorsz tétele z ATC-re: AT = 5-9 & AT = 4 cm Befogótétel: 5 = 4 c & c = 6,5 cm & TB =,5 cm és = 5, $ 65, = 75, cm 47 A szerkesztés: ( + ) átmérôjû k kör átmérôvégpontji A és B A-tól távolságr lévô T pontn merôleges AB-re: m m + k = {C ; C } C T = C T = z ABC-re lklmzott mgsságtétel mitt 48 A tégllp oldli és, keresett négyzet oldl x A tégllp és négyzet területe egyenlô: = x & x = A tégllp két szomszédos oldlánk mértni közepét kell megszerkeszteni Az eljárást lásd z 47 feldtnál 49 Felhsználjuk: H egy derékszögû háromszög átfogóhoz trtozó mgsság és szkszokr ontj z átfogót, kkor z átfogóhoz trtozó mgsság A szerkesztés: Vegyünk fel ( + ) átmérôjû kört " k; A; B Húzzunk párhuzmost AB-vel tôle távolságr: e ; e e i + k = {C ; C ; C ; C 4 } 4 C-ôl merôleges AB-re " T, AT = és TB = 0 vgy megoldás lehet 50 A szerkesztés: Rjzoljunk ( ) átmérôjû kört Az egyik átmérô végpontján meghúzzuk z érintôt Az 50 érintôre felmérjük szkszt 4 Az új végpontot összekötjük kör középpontjávl 5 A szelô rövide drj, hossz drj hosszúságú Az 5 pont izonyítás: AC-ôl induló szelôre szelôdrok tétele: x(x + - ) = & & x + ( - ) x - = 0, minek megoldási:! ( ) x ; = - + + " x =-, mi nem lehet, illetve x = Tehát CP = és CQ = + - =, ezért szerkesztés vlón -hoz és -hez vezetett
54 Hsonlóság 5 5 A efogótétel szerint = pc és = qc & = pc és pc p = qc & = = qc q 5 ABC-en B-nél derékszög vn Thlész tétele mitt A efogótételt lklmzv z ABC-re: AB = AT $ AC 5 Thlész tétele mitt AKO = 90 Az AKO-en KP z átfogóhoz trtozó mgsság, így AK efogótételôl számolhtó: AK = AP $ AO Ugyncsk Thlész tétele mitt ALB = 90 Az ALB-en LP z átfogóhoz trtozó mgsság, így AL = AP $ AB efogótételt felhsználv AL = AP $ AB = AP $ AO = $ AP $ AO = $ AK AL = AK & Arnymetszés 54 Vegyünk fel egy átmérôjû kört Húzzunk hozzá A külsô pontól AB = hosszú érintôszkszt, mjd A-ól egy, kört C-en és D-en metszô szelôt Írjuk fel szelôdrok szorztár vontkozó összefüggést z A pontól induló AC szelôre és AB érintôre: = AC $ AD & & = AC $ (AC + ) & AC szksz z AB szksz rnymetszete 58 59 55 Legyen háromszög lpj AB, z A-ól induló szögfelezô AD ABD CAB = 80 - & = 7 ; 80 - = 6 A háromszög szögei 7 ; 7 és 6 56 A háromszög lpon fekvô szögének szögfelezôje z eredetivel hsonló háromszöget vág le, mert mindkettôen 6 -; 7 - és 7 -osk szögek & ABD CAB A szögfelezés mitt ADC is egyenlô szárú, így AD = DC = & BD = - A hsonlóságnál egymásnk megfelelô oldlk rány: = = - & = ( - ) & z lp rnymetszete -nek 57 A szályos tízszög körülírt kör középpontjáól csúcsokhoz húzott sugrkkl tíz dr egyenlô szárú háromszögre onthtó Ezeknek háromszögeknek 6 -os szárszöge vn, ezért z 56 feldt eredményét felhsználv z lp rnymetszete szárnk: lp " 0, tízszög oldl; szár " r, kör sugr 58 A A A 4 egyenlô szárú Az A OA teljesszög ötöde, 7 A OA -gel zonos íven nyugvó kerületi szög z A A 4 A, mi fele középponti szögnek & A A 4 A = 6 Az A A 4 A egyenlô szárú, szárszöge 6, így z 56 feldt szerint lpj szár rnymetszete: lp " 5 ; szár " z ötszög átlój 59 Legyen AOB és BOK 0 oldlú szályos sokszög két szomszédos oldlához trtozó középponti háromszöge OK-t hosszítsuk meg KC = 0 szksszl Az egyes részhá-
Hsonló háromszögek 55 60 6 romszögek szögeit z ár trtlmzz Eszerint AOC egyenlô szárú, AC = OC = 0 + r és ACO = 6 AOK = 7 és AO = OK = r mitt AK = 5 Tekintsük K középpontú 0 sugrú kört B és C rjt vn ezen körön Vegyük k körhöz A-ól húzott szelôket A szelôdrok szorztár vontkozó tétel mitt: AB $ AC = AX $ AY & 0 ( 0 + r) = ( 5-0 )( 5 + 0 ) (*) Az 56 feldtn láttuk, hogy 6 -os szárszögû egyenlô szárú háromszög lpj rnymetszete szárnk, tehát r = 0 ( 0 + r) Ezt (*) összefüggésen felhsználv: r = ( 5-0 )( 5 + 0 ) & r + 0= 5 J r N r 60 Alklmzzuk Pitgorsz-tételt z OFB-re: x + K O = r + & x + rx = r & L 4 P & x(x + r) = r & x rnymetszete r-nek (l 54 feldt) & x = 0 (l 55 feldt) Az ár lpján AO = BC = x = 0 Írjunk Pitgorsz-tételt z AOB derékszögû háromszögre: AB = 0 + r Az 59 feldt állítását felhsználv AB = 5 6 Az árán BCD körülírt köre BC szksz, z AFC körülírt köre z AF szksz 6 -os látószögkörívének tekinthetô & BCA, illetve z FAB érintôszárú kerületi szögek & & AC egyenes BCD körülírt körének, BA egyenes pedig z AFC körülírt körének érintôje Alklmzzuk szelôdrok tételét: A BCD köré írt körhöz z A-ól induló érintôre és szelôre r = 0 ( 0 + r) Az AFC köré írt körhöz B-ôl induló érintôre és szelôre 0 = r(r - 0 ) A BCE egyenlô szárú háromszög szár r, szárszöge 7, tehát EC tekinthetô z r sugrú köre írhtó szályos ötszög oldlánk Az E pontól C középpontú r sugrú körhöz 0 hosszú érintô húzhtó (EG), mert EG = EA $ EB = (r - 0 )r, és jo oldlról már megmutttuk, hogy 0 -tel egyenlô Így z EGC G-en derékszögû, két efogó 0 és r = 6, z átfogó 5 Menelosz tétele, Cev tétele 6 Húzzunk párhuzmost B-n át AC-vel! A párhuzmosnk B, A, C pontokt trtlmzó egyenessel vló metszéspontj legyen B* Alklmzzuk párhuzmos szelôszkszok tételét z AC B BB* és AB párhuzmos szelôire: C A AB -AC B A AC B A = & = - & = Alklmzzuk párhuzmos szelôszkszok C B BB* C B BB* C B BB* AB BB* BA BB* tételét CA B BB* és CB párhuzmos szelôire: = & = Vizsgáljuk AC CB AC BC
56 Hsonlóság AC BA CB z állításn kijelölt szorztot, felhsználv fent kpott eredményeket: $ $ = C B AC B A B A BB* CB CB = $ $ = =- BB* BC B A BC 6 Tegyük fel, hogy B, A és C nincsenek egy egyenesen Legyen B A összekötô egyenesének z AB egyenessel vló metszéspontj C* Alklmzzuk Menelosz-tételt B A egyenesre: $ $ =- A feltétel szerint: $ $ =- Egyenlôségükôl: AC* BA CB AC BA CB C* B AC B A CB AC B A AC* BA CB AC BA CB AC* AC AC+ CC* AC $ $ = $ $ & = & = & AC C* B AC B A CB AC BA C * B CB CC * + CB CB $ C B + + C C* $ C B = AC $ C*C + AC $ C B & C C*(C B + AC ) = 0 C B + AC nem lehet 0, mert A! B, tehát csk C / C* lehet, vgyis B, A és C egy egyenesen vnnk 64 Legyen C-ôl induló szögfelezônek AB-vel vló metszéspontj P, z A-ól induló szögfelezônek BC-vel vló metszéspontj Q, eírt kör kp-j O o Alklmzzuk Menelosz-tételt PBC-re és z A, O o, Q pontokt trtlmzó szelôre: BA POo CQ BA c + CQ $ $ =- A szögfelezôtétel mitt = =-, illetve = AP OC QB AP c QB c - + o POo c Az összefüggéseket ehelyettesítve: - + $ $ =- & POo: OoC = OC o c + 65 Legyen z AA, BB, és CC egyenesek metszéspontj M Alklmzzuk Menelosztételt z AC C-re és B, M, B pontokt trtlmzó szelôre: AB C M CB () $ $ =- BC MC B A Alklmzzuk Menelosz-tételt BC C-re és z A, M, A pontokt trtlmzó szelôre: BA C M CA () $ $ =- Osszuk el z () összefüggést () összefüggéssel: AC MC AB AB C M CB AC MC AB $ $ $ $ $ = Felhsználv z AB =-BA és A BC MC B A BA CM CA B =-BA és BC = AC BA CB =-C B, CA =-A C egyenlôségeket, z állítást kpjuk: $ $ = C B AC B A AC BA CB 66 Feltétel: $ $ = C B AC B A 66/ eset: Tegyük fel, hogy AA és CC M-en metszik egymást Tegyük fel, hogy BB feltétel ellenére sem megy át M-en Legyen BM + AC = B* Alklmzzuk Cev-tételt z ABC-re és z AA, BB*, CC egy ponton átmenô szelôkre: $ $ = A feltétellel összehsonlítv: AC BA CB* C B AC B* A
Hsonló háromszögek 57 AC BA CB* AC BA CB CB* CB $ $ = $ $ & = C B AC B* A C B AC B A B* A B A CB+ BB* CB & = & CB B* B + B A B A $ B A + B B* $ B A = = CB $ B*B + CB $ B A & B B*(CB + B A) = 0 & & B B* $ CA = 0 AC! 0 mitt B B* = 0 teljesülése kell, mi zt jelenti, hogy B / B*, tehát z egyenesek egy pontn, M- en metszik egymást eset: Tegyük fel, hogy AA icc, de BB nem párhuzmos velük A feltétel szerint e(b; B ) + e(a; A ) = = N Ekkor z elsô eseten izonyítottk szerint N! e(c;c ), zz CC nem lenne párhuzmos AA egyenessel 67 ) Súlyvonlk esetéen: AC = C B és BA = A C és CB = B A AC BA CB AC BA CB $ $ = $ $ =, tehát Cev-tétel megfordítás mitt AA C B AC B A AC BA CB, BB és CC súlyvonlk egy pontn metszik egymást (párhuzmosk nem lehetnek, mert A, B és C z oldlk elsô pontji) ) Szögfelezôk esetéen szögfelezôtétel szerint: AC : C B = : és BA : A C = c : és AC BA CB c CB : B A = : c $ $ = $ $ =, tehát Cev-tétel megfordítás mitt AA C B AC B A c, BB és CC szögfelezôk egy pontn metszik egymást (párhuzmosk nem lehetnek, mert A, B és C z oldlk elsô pontji) c) Mgsságvonlk esetéen: AC C AB B, mert mindkettô derékszögû és A-nál lévô szögük egyenlô & AC : B A = : c AA B CC B & BA : C B = c : és AA C BB C & & CB : A C = : Vizsgáljuk z rányok szorztát AC BA CB AC BA CB c $ $ = $ $ = $ $ = A merôleges viszony mitt párhuzmosság nem fordulht elô, így Cev C B AC B A B A C B AC c tételének megfordítás mitt z AA, BB és CC mgsságvonlk egy pontn metszik egymást Megjegyzés: Tompszögû háromszög esetéen C is, B is külsô pont, így két negtív tényezô szerepel, mi szorzt elôjelét nem változttj A izonyítás derékszögû háromszög esetéen Cev-tétel felhsználásávl nem végezhetô el 68 Külsô pontól körhöz húzott érintôszkszok egyenlôk: AB = C A; BC = A B; CA = B C AC BA CB AC C B CB $ $ = $ $ =, tehát Cev tételének C B AC B A C B CB AC megfordítás mitt z AA, BB és CC egy pontn metszik egymást (párhuzmosk nem lehetnek, mert A, B és C mindegyike elsô pont) 69 A külsô pontól húzott érintôszkszok egyenlôsége mitt CE = E C és AE = E c A és E B = BE c Vizsgáljuk meg z AE, BE és CE c szelôk áltl létrehozott szeletek rányánk szorztát: & 68 69 66/
58 Hsonlóság 70 AEc BE CE -AE -E B EC $ $ = $ $ = Cev tételének megfordítás mitt z AE Ec B EC E A - E B EC -AE, BE és CE c egyenesek egy pontn metszik egymást (párhuzmosk nem lehetnek, mivel A és E, B és E CE c egyenesnek más-más oldlár esnek) 70 Feltétel: AA, BB és CC egy pontn metszik egymást A Cev-tétel mitt $ $ = A-ól k- C AC BA CB B AC B A hoz húzott szelôkre szelôdrok szorzt: AC $ AC = AC AB BA BC = B A $ B A & = B-ôl húzott szelôkre: C AB AC B $ C B = BA $ BA & = BC BA CB CA C-ôl húzott szelôkre: A C $ A C = CB $ CB & = Vizsgáljuk Cev-feltételt indexû pontokr: $ $ = $ $ = $ $ = C CA CB AC BA CB AC BA CB AC BA CB B AC B A B A C B AC - AB - BC - CA AB BC CA B A C B AC =- ( ) $ $ (-) $ $ (- ) $ =( -) $ - $ (-) $ - $ (-) $ - = AC BA CB CB AC BA = = & A Cev-tétel megfordítás mitt z AA AC BA CB, BB és CC egyenesek egy $ $ C B AC B A pontn metszik egymást Hsonló négyszögek BE BP BC - CP 7 AE icd & BEP CDP & = = CD CP CP 5 5 CP ) = - CP & CP = 4 cm ) = - & CP = cm, zz = + 0 CP CP + CP 7 ABCD prlelogrmm és BP : PC = 5 : 7 & AD = BC, BP : BC = 5 : = BP : AD és BE BP BE AD ibp & AED -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: =, zz AE AD BE+ 4, = 5 = & BE = cm 7 Legyen z E ponton át AD-vel húzott párhuzmosnk z AB oldlll vló metszéspontj P, DC oldlll vló metszéspontj Q PQ ibc, AP + PB = és AE : EC = m : n & PE ibc AE AP m m és CAB -en párhuzmos szelôk tétele szerint: = = & AP = ; EC - AP n m + n n PB = n + m 74 Legyen DE egyenesnek z AB egyenessel vló metszéspontj P AE : EC = m : n és AE AP m BP m n AP icd & APE CDE & =, zz = + _ - i & BP = EC CD n n
Hsonló négyszögek 59 75 76 BC CC 75 AA icc & ABA -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: = = AB AA x AB$ x = & BC = BB p p icc & BAB -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: AC CC x AB$ x AB$ x AB$ x = = & AC= Fentieket összegezve: AC AB BB q q + BC = AB & + = p q pq = AB& x =, zz = + p + q x p q 76 Hosszítsuk meg BC szkszt C csúcson túl CA hosszúságú szksszl, zz CD = CA = p legyen Az ACD = 80-0 = 60 és CD = CA & ACD szályos & AD = p és CDA = 60 és AD icc & DBA -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: CC BC CC q pq =, zz = & CC= AD BD p p + q p + q CP AC 77 CP ide & EAD -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: = & DE AE x $ & = & x = QC ifg & FBG -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: = & = & y = Fentieket összevetve: x= y FG BF + + + + CQ BC y $ 0 78 CD = cm 79 EC = 0 cm 80 AD = cm és BC = 5, cm 7 8 Legyen két szár egyenesének metszéspontj E AB icd & EDC EAB & megfe- ED DC y lelô oldlik rány egyenlô: ) =, zz & y EA AB y + 4 = 0 = 7 és EC DC =, zz EB AB x 8 = & x = A kiegészítô háromszög oldli: cm, cm, cm x + 6 0 7 8 7 7 ED ) EA = DC AB, zz y c cd & y y + = d = - c és EC EB = DC AB, zz x c & x x + = = c - c cd c A kiegészítô háromszög oldli: c,, -c -c egység 5 8 AC = 8 cm 8 DC = cm 84 BM= 4 cm és MD = cm 85 Legyen M z átlók metszéspontj AB icd & ABM CDM & MC : MA = MD : MB és DC : AB = MC : MA A fentiekôl következik, hogy MC : MA = DC : AB
60 Hsonlóság AB + CD AM 86 EF középvonl & EF = = 9 cm AB icd & ABM CDM & = MC BM 9 AB = = = és AB + CD = 58 cm & AB = 8 cm és CD = 40 cm MD 0 CD 87 Legyenek P és Q szárkon levô osztópontok Legyen R z AC átló m : n rányú osztópontj & AR : RC = m : n DAC -en = egyenlôség áll fenn csúcsól induló, egy- PD RC AP AR BQ AR máshoz cstlkozó szkszokr & PR icd ACB -en = egyenlôség áll fenn csúcsól induló, egymáshoz cstlkozó szkszokr & RQ iab Mivel AB icd, fentiek szerint QC RC RQ ipr& R, P, Q pontok egy egyenesen vnnk& PQ iab icd AP BQ 88 Legyenek P és Q szárkon levô osztópontok Felhsználjuk, hogy h = és PD QC AP BQ AB icd, kkor PQ iab icd, mit z 87 feldtn izonyítottunk = = és PD QC AB icd trpéz lpji, vlmint AC + PQ = R & PR icd, illetve RQ iab DAC -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: =, zz PR PR AP = & PR = cm ACB -en DC AD 9 RQ CQ párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: =, zz RQ = & RQ = 8 cm Hsonlón kiszámíthtó, hogy PS = 8 cm és QS = cm AP BQ AB BC 89 Legyenek P és Q szárkon levô osztópontok Felhsználjuk, hogy h = és PD QC AP BQ AB icd, kkor PQ iab icd, mit z 87 feldtn izonyítottunk = = és PD QC AB icd trpéz lpji, vlmint AC + PQ = R & PR icd, illetve RQ iab DAC -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: =, zz = & PR= ACB -en pár- PR AP PR DC AD 5 5 RQ CQ RQ huzmos szelôszkszok tétele szerint: =, zz = & RQ = & PR + RQ = AB BC 5 5 + = PQ = 5 90 Legyenek P i és Q i z egyes szárkon levô osztópontok Felhsználjuk, hogy h APi BQi = és AB icd, kkor P PD i QC i Q i iab icd, mit z 87 feldtn izonyítottunk & i & ABQ i P i és P i Q i CD négyszögek trpézok P Q z ABCD trpéz középvonl & PQ = + + + P Q z ABQ P trpéz középvonl & PQ = + = P Q 4 z P Q CD trpéz középvonl & PQ + + = = + 4
Hsonló négyszögek 6 9 Legyenek z egyik szár meghosszításánk új végpontji P és Q, másik száré S és R Az 87 feldt állítás szerint, h QA : AD : DP = RB : BC : CS és AB icd& QR iab icd isp EF z ABCD trpéz középvonl & & EF icd ips és EF iab iqr, vlmint PD = DF és AF = = AQ Az EF középvonl hossz ( + 6) : = 4 cm CD z FESP trpéz középvonl & (PS + 4) : = & & PS = 0 cm trpéz egyik lpj AB QREF trpéz középvonl & (QR + 4) : = 6 & QR = 8 cm trpéz má- sik lpj 9 APi BQi 9 Felhsználjuk, hogy h = és AB icd, kkor P PD i QC i Q i iab icd, mit z 87 feldtn izonyítottunk = = és AB icd trpéz lpji, vlmint AC + P PD i APi BQi i i QC i 6 - i i Q i = = R i & P i R i icd, illetve R i Q i iab DAC -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: PR i i APi PiRi i 4i =, zz = & PR i i= ACB -en párhuzmos szelôszkszok tétele DC AD 8 6 RQ i i CQi RiQi 6 i szerint: =, zz = - 4i & RQ i i= 6 ( - i) PR i i+ RQ i i= PQ i i= + AB BC 6 i 4 + 6 ( - i) = - PQ = cm, PQ = cm, PQ = cm 0 8, PQ 4 4 = cm, PQ 5 5 = 6 = cm 9 Legyenek P és Q szárkon levô osztópontok Legyen PQ + AC = R és PQ + BD = S AP BQ Felhsználjuk, hogy h = és AB icd, kkor PQ iab icd, mit z 87 feldtn izonyítottunk = = és AB icd trpéz lpji, vlmint AC + PQ = R & PR icd, il- PD QC n PD QC AP BQ m letve RQ iab ) DAC -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: PR AP PR m m =, zz = & PR = ACB -en párhuzmos szelôszkszok DC AD m + n m + n RQ CQ RQ n n tétele szerint: =, zz = & RQ = BD átló esetén hsonlón AB BC m + n m+ n n m dódik, hogy PS = ; SQ = m + n m+ n n + m ) PR + RQ = PQ = m+ n 94 Legyen M z átlók metszéspontj, P! AD és Q! BC pedig z M-en át húzott párhuzmosnk szárkkl vló metszéspontj AB icd ie & ABM CDM & = = MB MA DM CM 5 DM CM 5 = & = = AB ipm & ADB -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: 8 DB CA
6 Hsonlóság 95 PM DM 5 PM 5 40 = = & = & PM = cm AB imq & AB DB 8 & ACB -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: MQ CM 5 MQ 5 40 = = & = & MQ = cm AB CA 8 95 DC iep & EAP -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: = CD AD EP AE EQ BE DC iqe & EBQ -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: = AEB -en CD BC AE BE EP EQ párhuzmos szelôk tétele szerint: = & = &EP = EQ Megjegyzés: h z AD BC CD CD ABCD négyszög prlelogrmm, kkor nem jön létre z E metszéspont 96 Legyen M z átlók metszéspontj, P és Q pedig z M-en át húzott párhuzmosnk szárkkl vló metszéspontj AB ipm & ADB -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: = AB imq & ACB -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: PM DP AB DA MQ CQ AB = CB ABM CDM & DP CQ PM MQ = & = &PM = MQ DA CB AB AB 97 Az 96 feldtn láttuk, hogy z átlók M metszéspontj felezi rá illeszkedô, z lpokkl párhuzmos egyenes trpéz esô szkszát & RM = MS DP irm & REM -en DP EP párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: = PC ism & SEM -en párhuzmos RM EM PC PC EP szelôszkszok tétele szerint: = = & DP = PC& P felezi DC szkszt Hsonlón igz, hogy AQ = QB & Q felezi z AB szkszt Tehát z EM egyenes felezi trpéz lp- RM MS EM jit Megjegyzés: h z ABCD négyszög prlelogrmm, kkor nem jön létre z E metszéspont 98 Felhsználjuk, hogy h AH : AD = BH : BC = : és AB icd, kkor H H icd AH HP ) DAC -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: = = & H P= AD CD HD HQ ADB -en párhuzmos szelôszkszok tétele szerint: = = & HQ = AD AB A fentiekôl következik, hogy HQ - HP = PQ= - 97 98