Megoldások 1. Egy sorozat első tagja ( 5), a második tagja. Minden további tag a közvetlenül előtte álló két tag összegével egyenlő. Mennyi a sorozat első 7 tagjának összege? A szöveg alapján írjuk fel a rekurzív sorozat általános képletét: a n = a n 1 + a n. Számítsuk ki a sorozat tagjait: a 1 = 5; a = ; a 3 = 3; a 4 = 1; a 5 = 4; a 6 = 5; a 7 = 9. Ezek alapján a megoldás: ( 5) + + ( 3) + ( 1) + ( 4) + ( 5) + ( 9) = 5.. Ábrázold derékszögű koordináta rendszerben az a n = (n 1) 4 sorozat első négy tagját! Hanyadik tagja a sorozatnak a 45? Számítsuk ki a sorozat első négy tagját: a 1 = 4; a = 3; a 3 = 0; a 4 = 5. Tekintsük a következő ábrát: Legyen a keresett érték az n edik tag, s írjuk fel a következőt: (n 1) 4 = 45. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy n 1 = 8 és n = 6 (nem felel meg a feladat szövegének). Ezek alapján a 45 a sorozat 8. tagja. 1
3. Határozd meg az a n = cos (n π ) sorozat 00. tagját és az első 018 tag összegét! Számítsuk ki az első néhány tagot: a 1 = 0; a = 1; a 3 = 0; a 4 = 1; a 5 = 0; a 6 = 1; Ebből adódik, hogy a sorozat tagjai között mindig egy adott számnégyes ismétlődik. Mivel 00: 4 = 505, s a maradék 0, így a 00 = 1. Mivel 018: 4 = 504, s a maradék, így az első 018 tag 504 darab számnégyesből áll, illetve még egy 0 - ból és egy ( 1) ből. Ezek alapján az összeg S = 1 (egy számnégyes összege 0). 4. Egy sorozat elemeire a harmadiktól kezdve teljesül, hogy a n = a n 1 a n. Mennyi a sorozat 014. tagja és az első 017 tag összege, ha a 1 = 1; a =? Számítsuk ki az első néhány tagot: a 1 = 1; a = ; a 3 = 1; a 4 = 1; a 5 = ; a 6 = 1; a 7 = 1; a 8 = ; a 9 = 1; a 10 = 1; Ebből adódik, hogy a sorozat tagjai között mindig egy adott számhatos ismétlődik. Mivel 014: 6 = 335, s a maradék 4, így a 014 = 1. Mivel 017: 6 = 336, s a maradék 1, így az első 017 tag 336 darab számhatosból áll, illetve még egy 1 ből. Ezek alapján az összeg S = 1 (egy számhatos összege 0). 5. Egy sorozat elemei pozitív egész számok, a harmadiktól kezdve mindegyik elem az összes őt megelőző elem összege. A sorozat első eleme 1. Mekkora lehet a sorozat második eleme, ha a sorozat n edik eleme 1000, és n a lehető legnagyobb? Legyen a = x. Számítsuk ki az első néhány tagot: a 1 = 1; a = x; a 3 = 1 + x; a 4 = (1 + x); a 5 = 4 (1 + x); ; a n = n 3 (1 + x). A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: n 3 (1 + x) = 1000. Mivel 1000 = 3 5 3, így a legnagyobb megoldás n = 6, s ekkor x = 14.
6. Egy 8 lépcsőfokból álló lépcsőn úgy mehetünk fel, hogy egyszerre 1 vagy lépcsőfokot léphetünk. Mennyi különböző módon lehet így a lépcsőn felmenni? Az első lépcsőfokra 1 féleképen, a másodikra - féleképpen léphetünk fel. A harmadikra 3 - féleképpen juthatunk fel, mert vagy az első vagy a második lépcsőfokról lépünk. A negyedikre 5 - féleképpen juthatunk fel, mert vagy a második vagy a harmadik lépcsőfokról lépünk. Ebből adódik, hogy a sorozat tagjait az előző két tag összegeként kapjuk meg. Számítsuk ki a sorozat tagjait: a 1 = 1; a = ; a 3 = 3; a 4 = 5; a 5 = 8; a 6 = 13; a 7 = 1; a 8 = 34. Ezek alapján az utolsó lépcsőfokra 34 - féleképpen juthatunk fel. 7. Egy sorozat első tagja 3, a második eleme pedig 4. A sorozat további tagjait az alábbi összefüggés adja meg: a n = a n 1 a n ; n 3. Határozd meg a sorozat 6. tagját! Bizonyítsd be, hogy a sorozat számtani sorozat! Számítsuk ki a sorozat tagjait: a 1 = 3; a = 4; a 3 = 5; a 4 = 6; a 5 = 7; a 6 = 8. A bizonyításhoz vizsgáljuk meg az egymást követő tagok különbségét: a n+1 a n = a n a n 1 a n = a n a n 1. Mivel az egymást követő tagok különbsége állandó, így ezek egy számtani sorozat elemei. 8. Melyik számtani sorozat az alábbiak közül? (a n ) = 5n (b n ) = 5 n 3 (c n) = + n (d n ) = n 9 n + 3 (e n ) = 8 (f n ) = sin(n π) Az egymást követő tagok különbségét vizsgálva a következő megoldások adódnak: a n+1 a n = 5 (n + 1) (5n ) = 5 d n = (n 3) (n+3) n+3 e n+1 e n = 8 8 = 0 f n+1 f n = 0 0 = 0 = n 3 d n+1 d n = n + 1 3 (n 3) = 1 3
9. Létezik e olyan számtani sorozat, amelynek elemei: a 1 = 3 5 + 1; a = a 3 = 8 5? A középső tagot alakítsuk a következőképpen: 11 5 1 = 3 5 + 1 + 8 5. 11 5 1 Ebből adódik, hogy az első és harmadik tag számtani közepe a második tag, vagyis egy számtani sorozat egymást követő elemei. A sorozat differenciája: d = 11 5 1 6 5 + = 5 5 3. és 10. Lehet e ugyanannak a számtani sorozatnak a három tagja: 1; 3;? Legyenek az adott számok a sorozat következő tagjai: a k = 1; a l = 3; a m =. Írjuk fel a tagok segítségével a következő egyenletrendszert: a 1 + (k 1) d = 1 a 1 + (l 1) d = 3} a 1 + (m 1) d = Vonjuk ki a harmadik egyenletből az első egyenletet: (m 1) d (k 1) d = 1. Ebből átrendezés után a következő adódik: d = 1 m k. Mivel a k; l; m pozitív egész számokat jelölnek, így a deifferencia értéke egy racionális szám. Amennyiben egy számtani sorozat valamelyik tagja és differenciája is racionális szám, akkor a sorozat minden tagja racionális. Ezek alapján nincs ilyen számtani sorozat (a 3 egy irracionális szám). 11. Egy számtani sorozatban a n+1 = p a n + q a n 1, ha 1 < n. Mekkora p és q értéke? A sorozat n edik tagját írjuk fel a következőképpen: a n = a n 1 + a n+1. Ebből átrendezés után a következő adódik: a n+1 = a n a n 1. Ezek alapján a keresett értékek: p = és q = 1. 4
1. Lehet e egy számtani sorozat minden tagja különböző prímszám, illetve négyzetszám? Először tegyük fel, hogy a sorozat minden tagja prímszám. Írjuk fel a sorozat tagjait: a 1 = p; a = p + d; a 3 = p + d; ; a p+1 = p + p d; A sorozat (p + 1) edik tagját írjuk fel a következőképpen: a p+1 = p (1 + d). Ebből adódik, hogy biztosan van két 1 től különböző osztója van, vagyis összetett szám. Ezek alapján nem létezik olyan számtani sorozat, melynek minden tagja prímszám. Most tegyük fel, hogy a sorozat minden tagja négyzetszám. Legyen az n edik tag a n = k, a következő tag pedig a n+1 = a n + d. Ez utóbbi tag nem lehet kisebb a következő négyzetszámnál: a n + d (k + 1). Ebből az a n = k behelyettesítésével rendezés után a következő adódik: d k + 1. Ezek alapján nem létezik olyan számtani sorozat, melynek minden tagja négyzetszám, mert a d állandó nem lehet nagyobb egy tetszőleges pozitív számnál. 13. Egy számtani sorozat negyedik eleme, differenciája 3. Számítsd ki a sorozat tízedik elemét és az első 1 tag összegét! Írd fel az általános (n - edik) tag képletét! Először számoljuk ki a sorozat első elemét. a 4 = a 1 + 3d = a 1 + 3 3 a 1 = 7 Ezek alapján a megoldások: a 10 = a 1 + 9d = 7 + 9 3 = 0 S 1 = a 1+(n 1) d n = ( 7) + 0 3 1 = 483 a n = a 1 + (n 1) d = 7 + (n 1) 3 = 3n 10 5
14. Egy számtani sorozat harmadik tagja 7, ötödik eleme 15. Tagja - e a 133? Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját: a 5 = a 3 + d 15 = 7 + d d = 4 a 3 = a 1 + d 7 = a 1 + 4 a 1 = 1 Legyen a n = 133, s számoljuk ki az n értékét: a n = a 1 + (n 1) d 133 = 1 + (n 1) 4 n = 34,5 Mivel az n értéke nem egész, így a 133 nem tagja a sorozatnak. 15. Egy számtani sorozat harmadik tagja 50, a sorozat tízedik tagja 10 zel kisebb a nyolcadik tagjánál. Határozd meg a sorozat első tagját és differenciáját! Először számoljuk ki a sorozat differenciáját: a 10 + 10 = a 8 a 1 + 9d + 10 = a 1 + 7d d = 5 Ebből felírhatjuk a következőt: a 1 + d = 50 a 1 + ( 5) = 50 a 1 = 60 16. Egy számtani sorozat második és nyolcadik tagjának összege 10. A sorozat harmadik és tizennegyedik tagjának összege 31. Számítsd ki a sorozat tizenötödik tagját! A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: a + a 8 = 10 a 3 + a 14 = 31 } a 1 + d + a 1 + 7d = 10 a 1 + d + a 1 + 13d = 31 } a 1 + 8d = 10 a 1 + 15d = 31 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = 7 és d = 3. Ezek alapján a megoldás: a 15 = 7 + 14 3 = 35. 6
17. Egy számtani sorozat második, harmadik és negyedik tagjának összege 63. A sorozat ötödik és hatodik tagjának összege 7. Számítsd ki a sorozat tízedik tagját és írd fel a sorozat általános (n - edik) tagjának képletét! A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: a 5 + a 6 = 7 a + a 3 + a 4 = 63 } a 1 + 4d + a 1 + 5d = 7 a 1 + d + a 1 + d + a 1 + 3d = 63 } a 1 + 9d = 7 3a 1 + 6d = 63 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = 7 és d = 3. Ezek alapján a megoldások: a 10 = 7 + 9 ( 3) = 0 a n = 7 + (n 1) ( 3) = 30 3n 18. Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 30 cal kisebb, mint a következő három tag összege. Az első hat tag összege 60. Melyik ez a sorozat? A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: a 1 + a + a 3 = a 4 + a 5 + a 6 30 a 1 + a + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = 60 } 9d = 30 6a 1 + 15d = 60 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = 5 3 és d = 10 3. 19. Egy számtani sorozat második és nyolcadik tagjának az összege, kilencedik és harmadik tagjának különbsége 4. Mennyi az első tíz tag összege? A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: a + a 8 = a 9 a 3 = 4 } a 1 + d + a 1 + 7d = a 1 + 8d (a 1 + d) = 4 } a 1 + 8d = 6d = 4 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = 15 és d = 4. Ezek alapján a megoldás: S 10 = ( 15) + 9 4 10 = 30. 7
0. Határozd meg a számtani sorozat 11. tagját, ha az első 15 tagjának összege 55, míg az első 0 tag összege 400! A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: a 1 + a 15 a 1 + a 0 15 = 55 } 0 = 400 a 1 + a 1 + 14d a 1 + a 1 + 19d 15 = 55 0 = 400 } a 1 + 14d = 34 a 1 + 19d = 40 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = 43 5 és d = 6 5. Ezek alapján a megoldás: a 11 = 43 5 + 10 6 5 = 103 5. 1. Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 65, a következő öt tag összege 15. Mennyi a sorozat első tagja és különbsége? A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: a 1 + a 5 a 6 + a 10 5 = 65 } 5 = 15 a 1 + a 1 + 4d a 1 + 5d + a 1 + 9d 5 = 65 5 = 15 } a 1 + 4d = 6 a 1 + 14d = 86 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = 1 és d = 6.. Egy számtani sorozat második tagja 3. E sorozat első tíz tagjának az összege harmadakkora, mint a következő tíz tag összege. Határozd meg a sorozat első tagját és differenciáját! A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: a 1 + a 1 + 9d a 1 + d = 3 10 3 = a 1 + 10d + a 1 + 19d } 10 a 1 + d = 3 0a 1 10d = 0 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = 1 és d =. 8
3. Egy számtani sorozat különbsége 5, első n tagjának összege 56, n edik tagja n. Add meg a sorozat első n tagját! A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: a 1 + (n 1) 5 = n a 1 + n n = 56 } a 1 + 4n = 5 a 1 n + n = 11 } Az első egyenletből fejezzük ki az egyik ismeretlent: a 1 = 5 4n. Ezt visszahelyettesítve a második egyenletbe a következőt kapjuk: 3n 5n 11 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai n 1 = 7 és n = 3 6. Az n nem felel meg a feladat szövegének. Az n 1 értékét visszahelyettesítve a következőt kapjuk: a 1 = 5 4 7 = 3. Ezek alapján a sorozat első hét tagja: 3; 18; 13; 8; 3; ; 7. 4. Melyik az a számtani sorozat, amelyben az első tag n, a differencia 3 és az első n tag összege 35? Határozd meg az n értékét! Írjuk fel az első n tag összegét: n + (n 1) 3 n = 35. Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 5n 3n 470 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai n 1 = 10 és n = 9,4. Az n nem felel meg a feladat szövegének. 5. Egy számtani sorozatban a 1 = 11 és a k = 16. Mennyi a k értéke, ha az első k tag összege 5? Írjuk fel az első k tag összegét a következőléppen: a 1 + a k k = 5 11 + 16 k = 5 k = 10 9
6. A 17 től kezdve a pozitív egész szánok sorában összeadtuk minden tizedik számot. Mennyi darabot adtunk össze, ha a kapott összeg 147? A számtani sorozat első tagja a 1 = 17 és differenciája d = 10, az összeg S n = 147. Írjuk fel az első n tag összegét: 17 + (n 1) 10 n = 147. Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 5n + 1n 147 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai n 1 = 16 és n = 18,4. Az n nem felel meg a feladat szövegének. 7. Mennyi a 101 és 501 közé eső azon természetes számok összege, melyek 3 - mal osztva 1 - et adnak maradékul? A sorozat első tagja a 1 = 103, utolsó tagja a n = 499 és differenciája d = 3. Először számoljuk ki az n értékét: a n = a 1 + (n 1) d 499 = 103 + (n 1) 3 n = 133 Ezek alapján a megoldás: S 133 = 103 + 499 133 = 40 033. 8. Egy számtani sorozat első tagja 4, differenciája 5. Hány tagja van a sorozatnak 1000 és 000 között? A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenlőtlenségrendszert: 1000 a n 000. Ebből adódik a következő: 1000 < 1 + (n 1) 5 < 000. Rendezés után azt kapjuk, hogy az egyenlőtlenségrendszer megoldása: 00,8 < n < 400,8. Ezek alapján a megfelelő tagok 01. ; 0. ; ; 399. ; 400., vagyis 00 elem felel meg. 10
9. Egy számtani sorozatnak a második eleme 11, a hatodik eleme 39. Mennyi olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, de legfeljebb négyjegyű? Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját: a 6 = a + 4d 39 = 11 + 4d d = 7 a = a 1 + d 11 = a 1 + 7 a 1 = 4 A legkisebb kétjegyű szám a 10, a legnagyobb négyjegyű szám a 9 999, vagyis a kérdésnek megfelelő tagok ezen két szám közé esnek. Ebből felírhatjuk a következő egyenlőtlenségrendszert: 10 a n 9 999 10 4 + (n 1) 7 9 999 Rendezés után azt kapjuk, hogy az egyenlőtlenségrendszer megoldása: 1,85 n 148,85. Ezek alapján a megfelelő tagok. ; 3. ; ; 147. ; 148., vagyis 147 elem felel meg. 30. Egy számtani sorozat harmadik tagja 10, nyolcadik tagja 30. Melyik az a legkisebb n, amelyre teljesül, hogy a sorozat első n tagjának összege legalább 1 000? Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját: a 8 = a 3 + 5d 30 = 10 + 5d d = 4 a 3 = a 1 + d 10 = a 1 + 4 a 1 = Ebből felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: S n 1 000 + (n 1) 4 n 1 000 Rendezés után a következő adódik: n 500. Ezt megoldva a következőt kapjuk: n 500 vagy n 500,36. Ezek alapján a sorozat első 3 tagjának összege lesz először 1 000 feletti érték. 11
31. Meddig adtuk össze 1 től kezdve a természetes számokat, ha az összeg 5000 és 5100 közé esik? A sorozat leső tagja a 1 = 1 és differenciája d = 1. Ebből felírhatjuk a következő egyenlőtlenségrendszert: 5000 < S n < 5010 5000 < 1+(n 1) 1 n < 5010. Rendezés után a következő adódik: 10000 < n + n < 1000. Ezt megoldva a következőt kapjuk: 99,5 < n < 100,5 Ezek alapján a megoldás: n = 100. 3. Iktass be a 3 és 48 közé három számot úgy, hogy a számötös egy számtani sorozat egymást követő elemeit alkossák! A számtani sorozat első tagja a 1 = 3 és ötödik eleme a 5 = 48. Ebből számítsuk ki a sorozat differenciáját: a 5 = a 1 + 4d 48 = 3 + 4d d = 11,5 Ezek alapján a megoldás: a = 14,5; a 3 = 5,5; a 4 = 36,75. 33. Egy számtani sorozat első tagja 5, kilencedik tagja 141. Számítsd ki a sorozat harmadik, ötödik és hetedik tagját a differencia kiszámítása nélkül! A szimmetria tulajdonság segítségével felírhatjuk a következőt: a 5 = a 1 + a 9 = 5 + 141 = 73. Ezek alapján a megoldások: a 3 = a 1 + a 5 a 7 = a 5 + a 9 = 5 + 73 = 73 + 141 = 39 = 107 1
34. Egy számtani sorozat második és hatodik elemének összege 15. Lehet e a sorozat minden tagja egész szám? A szimmetria tulajdonság segítségével felírhatjuk a következőt: a 4 = a + a 6 = 15 = 7,5. Ezek alapján a sorozat negyedik tagja nem egész, így nincs ilyen sorozat. 35. Egy számtani sorozat negyvenedik tagja 5 tel kevesebb, mint a tizenötödik tag. Mennyi a sorozat differenciája? A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: a 40 + 5 = a 15 a 1 + 39d + 5 = a 1 + 14d d = 1 36. Egy számtani sorozat hatodik és harmadik tagjának különbsége 1. Mennyi a századik és a tízedik tagnak különbsége? A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: a 6 a 3 = 1 a 1 + 5d (a 1 + d) = 1 d = 4 Ezek alapján a megoldás: a 100 a 10 = a 1 + 99 4 (a 1 + 9 4) = 360. 37. Egy számtani sorozat első tizenöt tagjának az összege 0. Mennyi pozitív tagja van a sorozatnak? Amennyiben a sorozat nem konstans, akkor felírhatjuk a következőt: a 1 + a 15 15 = 0 a 8 15 = 0 a 8 = 0 Ezek alapján 7 darab pozitív tagja van a sorozatnak. Amennyiben a sorozat konstans, akkor minden tagja 0, így nincs pozitív tagja. 13
38. Egy számtani sorozat hét egymást követő tagjának az összege 700. Meg lehet e ebből állapítani, hogy a 100 szerepel e a sorozat tagjai között? A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: a 1 + a 7 7 = 700 a 4 7 = 700 a 4 = 100 Ezek alapján a sorozat negyedik tagja 100. 39. Egy számtani sorozat első 11 tagjának az összege 104. Lehet e a sorozat minden tagja természetes szám? A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: a 1 + a 11 11 = 104 a 6 11 = 104 a 6 93,09 Ezek alapján a sorozat hatodik tagja nem természetes szám, így nem lehetséges a feltétel. 40. Egy számtani sorozat ötödik, nyolcadik, tizenhatodik és tizenkilencedik tagjának összege 13456. Add meg a sorozat tizenkettedik tagját és az első 3 tag összegét! Írjuk fel a következő egyenletet: a 1 + 4d + a 1 + 7d + a 1 + 15d + a 1 + 18d = 13456. Ebből rendezés után a következő adódik: a 1 + 11d = a 1 = 30864. Ezek alapján a megoldás: S 3 = a 1+d 3 = 70987. 41. Egy számtani sorozat első három tagjának összege 9, szorzata 10. Határozd meg a sorozatot! Először számítsuk ki a sorozat második elemét és differenciáját: a 1 + a + a 3 = 9 a d + a + a + d = 9 a = 3 a 1 a a 3 = 10 (3 d) 3 (3 + d) = 10 d 1 = 7 és d = 7 Ezek alapján két sorozat a megoldás, melyek első három tagjai: 10; 3; 4 és 4; 3; 10. 14
4. Egy számtani sorozat negyedik tagja 15. Mennyi az első hét tag összege? Mutass két példát ilyen sorozatra úgy, hogy az egyik fogyó, a másik pedig növekvő sorozat legyen! Írjuk fel az első hét tag összegét a következőképpen: S 7 = a 1 + a 7 7 = a 4 7 = 15 7 = 105. Növekvő sorozat: 9; 11; 13; 15; 17; 19; 1. Csökkenő sorozat: 4; 1; 18; 15; 1; 9; 6. 43. Egy számtani sorozat tagjaira teljesül, hogy a 5 a 10 = 5 és a + a 8 = 10. Add meg a sorozat első tagját és differenciáját! Írjuk fel a sorozat ötödik tagját a következőképpen: a 5 = a + a 8 = 10 = 5. Számítsuk ki a sorozat tízedik tagját: 5 a 10 = 5 a 10 = 5. Ebből számítsuk ki a sorozat differenciáját: 5 = 5 + 5d d =. Ezek alapján a sorozat első tagja: a 1 = 5 4 ( ) = 13. 44. Egy számtani sorozat első tagja 190, n edik tagja 0. A közbülső tagok összege 36. Írd fel a sorozat első n tagját! A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: S n = 190 + 36 + 0 = 48. Számítsuk ki az n értékét és a sorozat differenciáját: a 1 + a n n = 48 190 + 0 n = 48 n = 8 a 1 + (n 1) d = 0 190 + 7d = 0 d = 56 Ezek alapján a megoldás: 190; 134; 78; ; 34; 90; 146; 0. 45. Egy számtani sorozat első négy tagjának összege harmada a következő négy tag összegének. Határozd meg az első tíz tag és a következő tíz tag összegének arányát! Írjuk fel a következő egyenletet: (a 1 + a 1 + d + a 1 + d + a 1 + 3d) 3 = a 1 + 4d + a 1 + 5d + a 1 + 6d + a 1 + 7d. 15
Ebből rendezés után a következőt kapjuk: a 1 = d. Írjuk fel az első tíz tag összegét: S 10 = d + 9d 10 = 50d. Írjuk fel a következő tíz tag összegét: S 11 0 = d + 10d + d + 19d 10 = 150d. Ezek alapján a megoldás: 50d 150d = 1 3. 46. Egy számtani sorozat első nyolc tagjának összege 100, közülük a páros indexű tagok összege 44. Melyik ez a sorozat? A páros indexű tagok sorozatában az első tag a, differencia d és az elemek száma 4. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: a 1 + 7d (a 1 + d) + 6d 8 = 100 4 = 44 } a 1 + 7d = 5 a 1 + 8d = } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = 3 és d = 3. 47. Egy számtani sorozat első 60 tagja közül a páros indexű tagok összege 640, a hárommal osztható indexű tagok összege pedig 1790. Határozd meg a sorozat első 60 tagjának az összegét! A páros indexű tagok sorozatában az első tag a, differencia d és az elemek száma 30. A hárommal osztható indexű tagok sorozatában az első tag a 3, differencia 3d és az elemek száma 0. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: (a 1 + d) + 9 d (a 1 + d) + 19 3d 30 = 640 0 = 1790 } 30a 1 + 900d = 640 0a 1 + 610d = 1790 } 16
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = és d = 3. Ezek alapján a megoldás: S 60 = + 59 ( 3) 60 = 5190. 48. Egy számtani sorozat differenciája 3. Az első n tag összege 5010, az első n + 10 tag összege 6895. Mekkora az n értéke? Számítsd ki a sorozat első tagját! A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: a 1 + (n 1) 3 a 1 + (n + 9 1) 3 n = 5010 (n + 10) = 6895 } a 1 n + 3n 3n = 1000 a 1 n + 3n + 57n + 0a 1 = 1350 } A két egyenletet kivonva, rendezés után a következő adódik: a 1 = 175 3n. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe a következőt kapjuk: 3n 3347n + 1000 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai n 1 = 60 és n = 334 6. A második megoldás nem felel meg a feladat szövegének. Az n = 60 értéket visszahelyettesítve a megoldás: a 1 = 175 3 60 = 5. 49. Egy számtani sorozat első két tagjának a négyzetösszege 5, a második és a harmadik tag négyzetösszege 100. Add meg a sorozatot! A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: a 1 + a = 5 a + a 3 = 100 } (a d) + a = 5 a + (a + d) = 100 } a a d + d = 5 a + a d + d = 100 } A két egyenletet kivonva, rendezés után a következő adódik: a = 1 d. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe a következőt kapjuk: d 4 76d + 88 = 0. 17
Legyen y = d, s így a következő másodfokú egyenlet adódik: y 76y + 88 = 0 A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai y 1 = 4 és y = 7. Ezeket visszahelyettesítve a következők adódnak: d 1 = ; d = ; d 3 = 7; d 4 = 7. Ezeket visszahelyettesítve a következők adódnak: a 1 = 6; a = 6; a 3 = ; a 4 =. Ezek alapján négy megoldás van, s az első tagok: a 11 = 4; a 1 = 4; a 13 = 50; a 14 = 50. 50. Egy egész számokból álló számtani sorozat első 5 tagjának összege 65, szorzata 19 168. Melyik ez a sorozat? Először számítsuk ki a sorozat harmadik tagját: a 1 + a 5 5 = 65 a 3 5 = 65 a 3 = 13 Írjuk fel a következő egyenletet: (13 d) (13 d) 13 (13 + d) (13 + d) = 19168. Rendezés után a következőt kapjuk: 4d 4 845d + 1865 = 0. Legyen y = d, s így a következő másodfokú egyenlet adódik: 4y 845y + 1865 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai x 1 = 5 és x = 186,5. Az x nem felel meg a feladat szövegének. Az x = 5 értéket visszahelyettesítve a következők adódnak: d 1 = 5 és d = 5. Ezek alapján két sorozat a megoldás, melyek első tagjai: a 11 = 3 és a 1 = 3. 51. Bizonyítsd be, hogy 17 szomszédos egész szám összege osztható 17 tel! A szomszédos egész számok egy számtani sorozatot alkotnak. Ezek alapján az összegképletből adódik az állítás: S 17 = a 1+a 17 17. 18
5. Bizonyítsd be, hogy 101 től kezdve összeadva n darab páratlan számot, az összeg utolsó két jegye megegyezik n utolsó két jegyével! A sorozat első tagja a 1 = 101 és differenciája d =. Ezek alapján az összegképletből adódik az állítás: S n = 101 + (n 1) n = 100n + n. 53. Tudjuk, hogy 013 darab különböző pozitív egész szám összege 4 05 167. Bizonyítsd be, hogy a számok között legalább két páros szám található! Amennyiben minden szám páratlan, akkor a legkisebb összeg úgy keletkezik, ha az első 013 páratlan számot adjuk össze: S 013 = 1 + 405 013 = 4 05 169. Mivel a feladatban szereplő összeg ennél kisebb, így nem lehet mindegyik szám páratlan. Amennyiben a számok között van páros, akkor azok száma csak páros lehet, mert ellenkező esetben a számok összege páros lenne. Ebből adódik az állítás, s egy ilyen lehetséges megoldás: 1; 3; 5; ; 4019; 401; 40; 404. 54. Hány jegyű szám a 10, illetve a 3 első ötven pozitív egész kitevőjű hatványának szorzata? Írjuk fel a szorzatot a következőképpen: x = 10 1 10 10 49 10 50 = 10 1 + + + 49 + 50. A kitevők egy számtani sorozatot alkotnak, melyek összege: S 50 = 1 + 49 1 50 = 175. Ezek alapján a keresett szám az x = 10 175, vagyis 176 darab számjegyből áll. Írjuk fel a szorzatot a következőképpen: y = 3 1 3 3 49 3 50 = 3 1 + + + 49 + 50. A kitevők egy számtani sorozatot alkotnak, melyek összege: S 50 = 1 + 50 50 = 175. Amennyiben az adott szám az x = 3 175, akkor felírhatjuk a következőt: lg x = 175 lg 3. Ebből rendezés után a következő adódik: lg x 608,3. Ezek alapján a keresett szám az x 10 608,3, vagyis 609 darab számjegyből áll. 19
55. Az első 76 természetes szám összegében akárhánynak az előjelét megváltoztatjuk. El lehet e érni, hogy a kapott összeg 1977 legyen? A sorozat első tagja a 1 = 0, differenciája d = 1 és az elemek száma 76. Számítsuk ki a számok összegét: S 76 = 0 + 75 1 76 = 850. Amennyiben egy tag előjelét megváltoztatjuk, akkor az összeg páros számmal fog csökkeni: n helyett ( n) t írva a különbség n. Ezek alapján nem érhető el, mert a változtatás után az összeg nem lehet páratlan. 56. Állítsd elő a 100 3 at 100 darab egymás utáni páratlan szám összegeként! A páratlan számok egy számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája d =. A feladat szövege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: a 1 + 99 100 = 100 3. Ezek alapján a megoldás: a 1 = 9901. 57. Az első n pozitív páros szám összegének és az első n pozitrív páratlan szám összegének hányadosa 101. Mekkora az n értéke? 100 Írjuk fel az első n darab pozitív páros szám összegét: S = Írjuk fel az első n darab pozitív páratlan szám összege: S = Ebből felírhatjuk a következő egyenletet: n + n n = 101 100. Ezek alapján a megoldás: n = 100. + (n 1) 1 + (n 1) n = n + n. n = n. 58. Határozd meg az alábbi összeg értékét! 1 + + 3 4 + 5 + 6 + 7 8 + + 013 + 014 + 015 016 Bontsuk fel az összeget a következőképpen: 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + + 015 + 016 (4 + 8 + + 016). 0
A zárójelen kívüli, illetve belüli összeg tagjai egy egy számtani sorozatot alkotnak. Számítsuk ki a zárójelen kívüli tagok összegét: S 016 = 1 + 016 016 = 033 136. Számítsuk ki a zárójelen belüli tagok összegét: S 504 = 4 + 016 504 = 508 84. Ezek alapján a megoldás: 033 136 508 84 = 1 016 568. 59. Egy számtani sorozat tízedik tagja, a századik eleme 0. Hagyjuk el a sorozat minden olyan tagját, amelynek utolsó számjegye. Mennyi a megmaradt sorozat első 00 tagjának az összege? Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját: a 10 + 90d = a 100 + 90d = 0 d = a 1 + 9d = a 10 a 1 + 9 = a 1 = 4 A sorozat minden ötödik tagja (4; 6; 8; 10; 1; 14; 16; 18; 0; ; 4; ) végződik re. Az elhagyott tagok számtani sorozatot alkotnak, amely első tagja 1, differenciája 10 és az elemek száma 50. Számítsuk ki az eredeti sorozat első 50 tagjának összegét: S 50 = 4 + 49 50 = 6350. Számítsuk ki az elhagyott sorozat első 50 tagjának összegét: S 50 = 1 + 49 10 50 = 1850. Ezek alapján a megoldás: S 00 = 6350 1850 = 50400. 60. Egy könyvszekrény nyolc polca közül a legfelsőn 35 könyv van és minden további polcon 4 gyel több, mint a felette levőn. Hány könyv van a könyvszekrényben? A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: a 1 = 35 és d = 4. Számítsuk ki a sorozat első 8 tagjának az összegét: S 8 = 35 + 7 4 Ezek alapján a szekrényben 39 könyv található. 1 8 = 39.
61. Egy m hosszúságú sálat akarunk kötni. Ha az első napon 18 cm - t, majd pedig minden nap az előző napinál 4 cm - rel hosszabb darabot kötünk, akkor hány nap alatt készül el a sál? Mekkora rész készül el az utolsó napon? A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: a 1 = 18; d = 4; S n = 00. Írjuk fel az első n tag összegét: 18 + (n 1) 4 n = 00. Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: n + 8n 100 = 0. A megoldóképlet segítségével adódik, hogy az egyenlet megoldása n 1 6,77 és n 14,77. Az n nem felel meg a feladat szövegének, Ezek alapján a sál a 7. napon fog elkészülni. Számítsuk ki az első 6 tag összegét: S 6 = 18 + (6 1) 4 6 = 168. Ezek alapján az utolsó napon 3 cm sál készült. 6. Egy cirkusz kör alakú nézőterén 8 sor ülőhely van. Az egyes sorok ülőhelyeinek száma számtani sorozatot alkot. Az ötödik sorban 100, a második sorban 70 ülőhely található. Hány ülőhely van a 8. sorban és az egész nézőtéren? A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: a 5 = 100; a = 70; n = 8. Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját: a + 3d = a 5 70 + 3d = 100 d = 10 a 1 + d = a a 1 + 10 = 70 a 1 = 60 Számítsuk ki a sorozat nyolcadik tagját és az első 8 tag összegét: a 8 = 60 + 7 10 = 130 S 8 = 60 + 130 8 = 760 Ezek alapján az utolsó sorban 130 ülőhely van, a nézőtéren pedig összesen 760.
63. Egy stadionról tudjuk, hogy egy szektora egy emelkedő körgyűrűcikk. Az első sorban 80, a többiben soronként 4 gyel több ülőhely van. Minden sor 35 cm rel magasabban van, mint a megelőző és az utolsó sor 14 méterrel magasabban van, mint az első. A stadion 8 ilyen szektorból áll. Mekkora a maximális nézőszám? Először számítsuk ki a sorok számát: 1400: 35 = 40, így 41 sor van egy szektorban. A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: a 1 = 80 és d = 4. Számítsuk ki az első 41 tag összegét: S 41 = 80 + 40 4 Ezek alapján a stadionba összesen 5 480 néző fér el. 41 = 6560. 64. Egy gyümölcsös párhuzamos soraiban 660 fát ültettek. Az első sorba 8 - at, minden következő sorba 3 - mal többet ültettek, mint az előzőbe. Hány fa jutott az utolsó sorba és mennyi sor fa van a gyümölcsösben? A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: S n = 660; a 1 = 8; d = 3. Írjuk fel az első n tag összegét: 8 + (n 1) 3 n = 660. Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 3n + 13n 5 30 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása n 1 = 40 és n 44,3. Az n nem felel meg a feladat szövegének. Számítsuk ki az utolsó tagot: a 40 = 8 + 39 3 = 15. Ezek alapján 40 sorból áll a gyümölcsös és az utolsó sorban 15 fa található. 65. Egy hétnapos túra első napján 3 km t gyalogoltak, minden további napon pedig 5 km rel többet, mint az előző napon. Mennyi km t tettek meg az utolsó napon? A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: a 1 = 3 és d = 5. Számítsuk ki a sorozat hetedik tagját: a 7 = 3 + 6 5 = 53. Ezek alapján az utolsó napon 53 km t tettek meg a túrázók. 3
66. Egy utca páros oldalán től 010 ig vannak számozva a házak. A postás az egyik napon a 6 os számú háztól kezdve, minden ötödik házhoz kézbesített levelet. Mennyi levelet vitt ezen a napon a postás az utca páros oldalán? A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: a 1 = 6; d = 5; a n = 006. Számítsuk ki az n értékét: 006 = 6 + (n 1) 5 n = 401. Ezek alapján összesen 401 levelet kézbesített a postás. 67. Egy nyomdában 30 papírlap közül néhányat 10 részre vágtak, majd az így kapott részek közül néhányat ismét 10 részre vágtak szét és így tovább. Lehetséges e, hogy egy ilyen munkaszakasz után 010 papírdarab keletkezzen? Egy lap szétvágásánál a lapok száma 9 cel növekszik. A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: a 1 = 30; d = 9; a n = 010. Számítsuk ki az n értékét: 010 = 30 + (n 1) 9 n = 1. Ezek alapján 0 lapot kell szétvágni a kívánt mennyiséghez. 68. Egy 379 oldalas könyvet szeretnénk elolvasni. Ha az első napon 19 oldalt, majd minden nap az előző napinál 18 oldallal többet olvasunk, akkor hány nap alatt sikerül kiolvasni a könyvet? A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: a 1 = 19; d = 18; S n = 379. Írjuk fel az első n tag összegét: 19 + (n 1) 18 n = 379. Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 9n + 10n 379 = 0. A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai n 1 5,96 és n 7,07. Az n nem felel meg a feladat szövegének. Ezek alapján 6 nap alatt sikerül kiolvasni a könyvet. 4
69. Agárversenyen a fogadók közül minden nyertes 450 tallérral kevesebbet kapott, mint az őt megelőző. A legtöbbet nyerő 3600 tallért kapott, a többi nyertes összesen 9900 tallért. Mennyien nyertek a fogadók közül? A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: a 1 = 3600; d = 450 és S n = 13500. Írjuk fel az első n tag összegét: 3600 + (n 1) ( 450) n = 13500. Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: n 17n + 60 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai n 1 = 5 és n = 1. Az n nem felel meg a feladat szövegének, mert ekkor negatív összeg is keletkezne. Ezek alapján 5 ember nyert a fogadók közül. 70. Örököltünk 100000 dollárt, s ezt szerencsejátékkal próbáljuk megnövelni, így Monte Carlóba utazunk. Az első napon azonban 10 dollárt vezsítünk, s minden ezt követő napon 3 dollárral többet, mint az előzőn. Legfeljebb mennyi napig játszhatunk, s marad e 50 dollárunk a hazaútra? A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: a 1 = 10 és d = 3. Írjuk fel a következő egyenlőtlenséget: 10 + (n 1) 3 n 100 000. Ebből rendezés után a következő egyenlőtlenség adódik: 3n + 17n 00 000 0 A megoldóképlet segítségével az egyenlőtlenség megoldása: 61,05 n 55,38. Ezek alapján legfeljebb 55 napig tudunk játszani. Számítsuk ki az első 55 tag összegét: S 55 = Ezek alapján 95 dollár maradt a hazaútra. 10 + 54 3 55 = 99705. 5
71. Két egymástól 119 km távolságra levő városból egy egy kerékpáros indul egyással szemben. Az első kerékpáros az első órában 0 km utat tesz meg és minden további órában km rel kevesebbet, mint az előzőben. A második kerékpáros, aki két órával később indul, mint az első, az első órában 10 km utat tesz meg és minden további órában 3 km rel többet, mint az előzőben. Mikor találkozik a két kerékpáros? Milyen messze van a találkozás helye a két várostól? Írjuk fel az első kerékpáros n. edik óráig megtett útját: 0 + (n 1) ( ) Írjuk fel a második kerékpáros (n ). - edik óráig megtett útját: n. 10 + (n 3) 3 (n ). A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 0 + (n 1) ( ) n + 10 + (n 3) 3 (n ) = 119. Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: n + 47n 60 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai n 1 = 5 és n = 5. Az n nem felel meg a feladat szövegének. Ezek alapján a két kerékpáros 3 és 5 órát kerékpározott, s a megtett útjuk 39 km és 80 km. 7. Egy háromjegyű szám jegyei, a felírás sorrendjében, egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Ha a számot elosztjuk a jegyeinek az összegével, 48 at kapunk. Ha a számban a százasok és az egyesek számát felcseréljük, az eredetinél 396 tal kisebb számot kapunk. Melyik ez a háromjegyű szám? Legyenek a szám számjegyei: a d; a ; a + d. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 100 (a d) + 10 a + a + d a d + a + a + d = 48 100 (a d) + 10 a + a + d = 100 (a + d) + 10 a + a d + 396 } Az első egyenletet rendezve a következő adódik: a = 3d. 6
Ezt behelyettesítve a második egyenletbe azt kapjuk, hogy d =. Ezt visszahelyettesítve a következő adódik: a = 6. Ezek alapján a keresett szám a 864. 73. Egy számtani sorozat első három eleméről a következőket tudjuk: az első tag kétjegyű szám, a második tag az első jegyeinek felcserélésével jön létre, a harmadik pedig az elsőből úgy kapható, hogy jegyei közé egy 0 t írunk. Határozd meg a számokat! Legyenek a sorozat tagjai a következők: a 1 = 10x + y; a = 10y + x; a 3 = 100x + y. A szimmetria tulajdonság segítségével felírhatjuk a következőt: 10y + x = Ebből rendezés után a következő adódik: y = 6x. 10x + y + 100x + y Mivel a szövegnek csak az x = 1 és y = 6 felel meg, így a keresett számok: 16; 61; 106.. 74. Egy áruházi akció során húsz sorban piramisszerűen tornyozták egymásra a dezodorok dobozait: felfelé haladva minden sorban ugyanannyival volt kevesebb doboz. A felső tíz sorban összesen feleannyi doboz volt, mint az alsó tíz sorban, a felső tizenöt sorban pedig összesen 375 volt. Mennyi doboz volt a legfelső sorban és felfelé haladva hány dobozzal volt kevesebb mindegyik sorban, mint az alatta levőben? Írjuk fel a felső tizenöt sor összegét a következőképpen: a 1 + a 15 15 = 375 a 8 15 = 375 a 8 = 5 Írjuk fel a felső tíz sor összegét: S 10 = 5 7d + 5 + d Írjuk fel a következő tíz sor összegét: S 11 0 = Ebből felírhatjuk a következő egyenletet: Ezt megoldva azt kapjuk, hogy d =. 10. 5 + 3d + 5 + 1d 5 7d + 5 + d Ezt visszahelyettesítve a következő adódik: a 1 = 11. 10. 10 = 5 + 3d + 5 + 1d 10. Ezek alapján a legfelső sorban 11 dezodor volt, s minden sorban az előzőnél vel több. 7
75. Egy 4 m hosszú futószőnyeget kell felcsavarnunk egy 3 cm átmérőjű hengerre. Átköthető e 50 cm hosszú zsineggel, ha az 5 mm vastagságú szőnyeget sikerül jó szorosan összeteketni, és a zsinegből 10 cm kell a megkötéshez? A tekerés során keletkező rétegeket tekinthetjük koncentrikus köröknek. Az első (legbelső) réteg átmérője 4 cm, a következőé 5 cm és így tovább. Ebből a keletkező kerületek egy számtani sorozat tagjai, ahol a 1 = 4π és d = π. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 4π + (n 1) π n = 400. Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: π n 7π n + 800 = 0. A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása n 1 1,8 és n 19,84. Az n nem felel meg a feladat szövegének. Számítsuk ki a külső réteg kerületét: a 13 = 4π + 1π 50,7. Ezek alapján a zsineg nem lesz elég, mert nem éri körbe a szőnyegből képzett hengert. 76. Hány olyan háromszög van, amelynek a szögei fokokban mérve egész számok és egy számtani sorozat egymást követő tagjai? (A hasonló háromszögeket nem tekintjük különbözőknek.) Legyen a szögek nagysága: a d; a ; a + d. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: a d + a + a + d = 180. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a = 60. A másik két szög összege 10, amiből összesen 60 eset lehetséges: 1 119 ; 118 ; ; 60 60. Ezek alapján 60 darab háromszög létezik. 8
77. Egy háromszög oldalhosszúságai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A háromszög kerülete 7 cm, legrövidebb és leghosszabb oldalának a szorzata 65 cm. Mekkora a háromszög területe? Legyen az oldalak hossza: a d; a ; a + d. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: a d + a + a + d = 7. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a = 9. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (9 d) (9 + d) = 65. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy d 1 = 4 és d = 4. Ebből adódik, hogy a háromszög oldalai mindkét esetben: 5 cm; 9cm és 13 cm. Számítsuk ki a háromszög kerületét: K = 5 + 9 + 13 = 7 cm. Ezek alapján a háromszög területe: T = 13,5 (13,5 5) (13,5 9) (13,5 13) 16,07 cm. 78. Határozd meg annak a derékszögű háromszögnek a szögeit, amelynek az oldalhosszúságai egy differenciájú számtani sorozat egymást követő tagjai! Legyen az oldalak hossza: a ; a ; a +. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (a ) + a = (a + ). Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = 8, vagy a = 8. Az a nem felel meg a feladat szövegének. Ezek alapján a háromszög oldalai: 6 cm; 8 cm; 10 cm. Megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a háromszög legkisebb szögét: sin α = 6 10 α 36,87 Ezek alapján a harmadik szöge: β = 180 90 36,87 = 53,13. 9
79. Egy derékszögű háromszög oldalai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A háromszög területe 150 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? Legyen az oldalak hossza: a d; a ; a + d. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: (a d) a = 150 (a d) + a = (a + d) } a a d = 300 a 4a d = 0 } Az első egyenletből vonjuk ki a másodikat, s rendezés után a következő adódik: d = 100 a. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, azt kapjuk, hogy a 1 = 0, vagy a = 0. Az a nem felel meg a feladat szövegének. Az a = 0 értéket visszahelyettesítve a következő adódik: d = 5. Ezek alapján a háromszög oldalai: 15 cm; 0 cm és 5 cm. 80. Egy derékszögű háromszög oldalai rendre egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák a háromszög szögei? Legyen az oldalak hossza: a d; a ; a + d. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: a + (a d) = (a + d). Ebből rendezés után a következő adódik: a = 4d. Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy a háromszög oldalai: 3d; 4d; 5d. Ezek alapján a szögfüggvények segítségével kiszámíthatjuk a háromszög hiányzó szögeit: sin α = 3d 5d = 3 5 sin β = 4d 5d = 4 5 α 36,87 β 53,13 30
81. Egy háromszög három oldalhossza egy számtani sorozat három egymást követő tagja. A háromszögnek van 10 - os szöge és a kerülete 300 cm. Határozd meg a háromszög oldalainak hosszát és a másik két szögét! Legyen az oldalak hossza: a d; a ; a + d. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: a d + a + a + d = 300. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a = 100. A háromszög legnagyobb szöge 10, így az ezzel szemben levő oldal hossza 100 + d. Írjuk fel a koszinusz tételt: (100 + d) = 100 + (100 d) 100 (100 d) cos 10. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy d = 40. Ezek alapján a háromszög oldalai: 60 cm; 100 cm; 140 cm. Írjuk fel a szinusz tételt: sin α = 60 sin 10 140 α 1,79 Ezek alapján a háromszög harmadik szöge: β = 38,1. 8. Egy konvex sokszög belső szögeinek mérőszámai egy számtani sorozat egymás utáni tagjai. Hány oldalú a sokszög, ha a legnagyobb szöge 177, 5, a legkisebb pedig 1 30. Mekkora a sokszög többi szöge? Először váltsuk át a szögpercet fokká: 1 30 = 1,5. A szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (n ) 180 = Ezt megoldva azt kapjuk, hogy n = 1. 177,5 + 1,5 n. Számítsuk ki a sorozat differenciáját: 177,5 = 1,5 + 11d d = 5. Ezek alapján a sokszög szögei: 1,5 ; 17,5 ; 13,5 ; 137,5 ; 14,5 ; 147,5 ; 15,5 ; 157,5 ; 16,5 ; 167,5 ; 17,5 ; 177,5 31
83. Megállapítható e egy konvex ötszög egyik szögének pontos értéke, ha az ötszög szögei egy számtani sorozat egymás utáni tagja? Először számítsuk ki az ötszög belső szögeinek összegét: (5 ) 180 = 540. Írjuk fel a sorozat első 5 tagjának összegét a következőképpen: a 1 + a 5 5 = 540 a 3 5 = 540 a 3 = 108. Ezek alapján az ötszög egyik szögének nagysága 108. 84. Hány oldalú az a sokszög, amelynek a szögei egy olyan számtani sorozat egymást követő tagjai, ahol az első tagja 100, a differenciája pedig 10? Legyen a keresett sokszög n oldalú. A szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (n ) 180 = 100 + (n 1) 10 n. Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: n 17n + 7n = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai n 1 = 8 és n = 9. Az n nem felel meg a feladat szövegének, mert a 9 = 180 nem lehet a sokszög belső szöge. Ezek alapján a sokszög 8 oldalú. 85. Egy téglatest térfogata 840 cm 3, az egy csúcsban összefutó élek hosszúságának az összege 30 cm. Az élhosszúságok egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Mekkora a téglatest felszíne? Legyen az élek hossza: a d; a ; a + d. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: a d + a + a + d = 30. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a = 10. A térfogat segítségével felírhatjuk a következő egyenletet: (10 d) 10 (10 + d) = 840. Ebből adódik, hogy a háromszög oldalai mindkét esetben: d 1 = 4, vagy d = 4. Ezek alapján a téglatest élei mindkét esetben 6 cm; 10cm és 14 cm, felszínük pedig 568 cm. 3