XI. Erdélyi Tudományos Diákköri Konferencia Kolozsvár, 2008. május 23 24. Koalíciók alakulása komplex hálózatokban Szerzı: Bálint Enikı Babeş Bolyai Tudományegyetem Matematika Informatika kar Informatika szak, 3. év Témavezetı: Dr. Simon Károly Babeş Bolyai Tudományegyetem Matematika Informatika kar Programozási nyelvek és módszerek tanszék
Bevezetés A koalíció- illetve csoportképzıdés jelensége régóta felkeltette a kutatók figyelmét széleskörő felhasználhatósága miatt, az utóbbi években éppen ezért több kutatási program is indult ezen a területen. Egyik felhasználási területe szociális, politikai és gazdasági vonatkozású csoportosulások vizsgálata, amely nagy segítséget nyújt a társadalomban létrejött folyamatok megértéséhez és szimulálásához. Nemrégiben Néda és társai vizsgálták a koalíciók alakulását kis, globálisan kapcsolt szociális hálózatok esetén (Néda et al., 2003; Néda et al., 2006). Az eredmények egy érdekes fázisátalkulást mutattak ki a pozitív kötések valószínőségének változása függvényében. Jelen dolgozatban ezt a kutatást szeretném kiterjeszteni nagyobb hálózatok esetére, megvizsgálni, hogyan viselkedik ez a fázisátalakulás, illetve koalícióformálódás más típusú, például skálafüggetlen hálózatok esetén. A dolgozat elsı felében kitérek arra, hogy tulajdonképpen mit jelent egy koalíció kialakulása szociális hálózatok esetén, milyen jelentısége van az ilyen irányú kutatásoknak, majd áttekintem az eddigi kutatási eredményeket, amelyek hozzájárultak kutatásomhoz, illetve összehasonítási alapul szolgálnak saját kísérleteimhez. Az általam kapott eredmények és következtetések után néhány újabb kutatási, továbbfejlesztési lehetıséget is megemlítek. A koalícióformálódás problémája Mindennapi életünk számos területén találkozunk különbözı hálózattípusokkal. Ha a hálózat definícióját úgy fogjuk fel, mint egy olyan struktúrát, amely egyedekbıl (individuumokból) és a közöttük levı kapcsolatokból (kötésekbıl) áll, ez teljesen nyilvánvalóvá válik. Ilyen hálózat a baráti társaságunk, a politikai pártok, a természet megannyi jelensége, az internet stb. Bármelyik területen ezeknek a komplex struktúrájú hálózatoknak az átlátása nagy nehézségekbe ütközhet, ezért felmerül az egyedek csoportosításának problémája. A koalícióképzıdés (a továbbiakban a klaszterezıdés, csoportosulás szavakat fogom erre a fogalomra szinonim értelemben használni) különösen nagy szerephez jut 2
szociális és gazdasági hálózatokban. Egyes gazdasági csoportosulások például sokkal hatékonyabban képesek felvenni a versenyt kisebb koalíciókkal vagy egyedekkel szemben. Ezekben a hálózatokban, a kapcsolatok értékétıl függıen, fontos meghatározni azokat a csoportokat, amelyek a legoptimálisabban képesek a kollaborációra, ami azt is feltételezi, hogy nincs, vagy minimális a konfliktus a hálózatot alkotó egyedek között. Ilyen szinten meghatározhatjuk a koalíciót, mint olyan egyedek összességét, amelyek között a kapcsolatok a legoptimálisabbak, így egy közös cél elérése érdekében történı kollaboráció megvalósulhat. A fogalom a játékelméletbıl is ismerıs lehet, hiszen a cél ugyanaz: olyan csoportokat formálni, amelyekkel biztos a gyızelem. A koalíció jelentısége tehát nem csekély, meglehetıs hatalomhoz és befolyáshoz juttatja magát a csoportot. Szociális (társadalmi, politikai stb.) hálózatok esetében a következı jellemzık irányították a vizsgálódásomat: A csomópontokat individuumok, pártok, szervezetek, egyéb csoportosulások alkothatják A kapcsolatok intenzitását egy véges skálán lehet leképezni, a kettıs modellen kívül (1/-1) különbözı fokozatokat is bevezethetünk (például - 5, 5 közötti skálát) Egyes hálózatokban fontos a csomópontok súlya is, például bizonyos bankok több tıkével, illetve hatalommal rendelkeznek, ugyanígy a politikai pártok esetén egyes pártoknak nagyobb a befolyása, ezért koalíciók kialakításának vizsgálata során ettıl a tényezıtıl nem tekinthetünk el Különbözı hálózattípusokkal kell számolnunk a szociális hálózatok komplexitása miatt Homogenitásról szociális hálózatok esetében sem beszélhetünk, itt is többféle hálózattípus jelenik meg a kontextus, egyének/szervezetek, kapcsolatok, a vizsgált szempont függvényében. Teljes hálózat (globálisan kapcsolt) például egy szők (ezek a hálózatok általában kisméretőek) baráti társaság, ahol mindenki mindenkit ismer (nem feltétlenül kedvel is), de a legtöbb szociális hálózat skálafüggetlen jelleget mutat (a 3
színészek hálózata, ahol kapcsolatról beszélhetünk, ha két színész játszott ugyanabban a filmben, azon kutatók hálózata, akik közösen publikáltak, stb.). Szociális hálózatokban történı koalíciók számítógépes szimulációjára többféle módszer alkalmazható, amely figyelembe veszi a csomópontok közötti pozitív vagy negatív kötéseket. A koalíciók kialakítása során ebben az esetben csak ezt az egyetlen tényezıt vesszük figyelembe, de ne felejtsük el, hogy a valós életben nem mindig elegendı csupán a pozitív kötések (kapcsolatok) megléte a sikeres együttmőködéshez, hanem például közrejátszik benne a versenyszellem, csapatmunkára való hajlam, kommunikációs készségek, kreativitás stb. További interdiszciplináris kutatásokat tartok elképzelhetınek a szociológia és mesterséges intelligencia terén, ahol újabb befolyásoló tényezıket tárhatnak fel sikeres koalíciók kialakítása érdekében, vagyis egy olyan új modell létrehozását, amely nem csak a kapcsolatok milyenségét, hanem az egyedek tulajdonságait is figyelembe veszi. Dolgozatomban csupán statikus koalíciókat vizsgálok, vagyis egy adott hálózatot, amely konstans mérető, és a kötések súlya sem változó. Ez a statikus modell kiterjeszthetı dinamikus hálózatokra is (amilyen legtöbb esetben egy szociális háló), lehetne szimulálni a koalíció átalakulását egyedek távozása után, új egyedek bekerülésekor, vagy kapcsolatok megváltozásakor. Skálafüggetlen hálózatok A skálafüggetlen hálózat (Barabási, Albert, 1999; Barabási 2002) a komplex hálózatok egyik típusa, nagyon sok hálózat (például a legtöbb szociális hálózat is) ebbe a kategóriába tarozik. A hálózat jellemzıje, hogy léteznek bizonyos hubok, vagyis olyan csomópontok, amelyek sok kapcsolattal rendelkeznek (nagy fokszámúak), a hálózat legtöbb tagja azonban kevés kapcsolattal rendelkezik. A hálózat struktúrája független az ıt alkotó csomópontok számától, ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, bármennyi legyen is ez a szám. A csomópontok fokának eloszlása követi a Yule-Simon eloszlást, amelyet a 4
valószínőség ír le, ahol P(k) annak a valószínősége, hogy egy csomópont a hálózatból kapcsolódik k számú más csomóponthoz. A γ együttható a valós életben általában a 2 és 3 közötti értékeket veszi fel, de megtörténik, hogy 1 és 2 közötti értékeket is felvesz. Barabási és Albert 1999-es nagyhatású cikkének megjelenése után a skálafüggetlen hálózatok tanulmányozása széles körben elterjedt, és több tudományág keretein belül szolgáltatott fontos, és gyakran meglepı eredményeket. Bebizonyosodott, hogy a valós világban megjelenı hálózatok közül nagyon sok skálafüggetlen jelleget mutat: az emberi kapcsolatok hálózata (egyes embereknek - hírességeknek, politikusoknak, stb. - nagyobb ismeretségi körük van, ık lesznek tehát a hubok), a filmszínészek (közös filmek) és kutatók (közös publikációk) hálózata, a tudományos publikációk hálózata (a kötések a hivatkozások), a proteinláncok, az Internet, a World Wide Web, szemantikus hálózatok, stb. Éppen ezért válik nagyon fontossá a koalíciók kialakulásának tanulmányozása ilyen hálózatokon. Forrás: http://en.wikipedia.org/wiki/image:scale-free_network_sample.png 5
A kutatások jelenlegi állása Az Ising- és a Potts-modell A statisztikus fizikában az Ising modell, és ennek általánosítása, a Potts-modell eredetileg bizonyos diszkrét változók, úgynevezett spinek mozgását, csoportosulását figyelte egy rácsban (lásd Binder, Reger, 1992). Minden spin idıben változtathatja mozgási irányát a hımérséklettıl vagy a szomszéd spinek értékétıl függıen. Egyszerő esetben egy spin a {-1,1} halmazból veszi fel az értékeket (lefele vagy felfele történı mozgás). Az S i spinek egymással páronként kölcsönhatásban állnak. Felírhatunk egy energiafüggvényt, amelyet az határoz meg, hogy a spinek hasonlóak (ugyanaz az értékük), vagy eltérıek: Vegyük észre, hogy két spin szorzata +1, ha egyenlık, -1, ha különbözıek. A J ij érték az i és j spinek közötti kötésváltozó, ha ez az érték nagyobb, mint 0, ferromágneses vonzásról, ha kisebb, mint 0, antiferromágneses hatásról beszélünk, 0 érték esetén nincs kölcsönhatás a két spin között. A ferromágneses hatás egy csoportba vonzza a spineket, az antiferromágneses hatás ellenkezı hatást vált ki. Látható tehát a hasonlóság a szociális hálókkal, amelyekben a ferromágneses, illetve antiferromágneses hatást pozitív, illetve negatív kötésekkel képezhetjük le, ami rendre megfelel a kollaborációnak vagy a konfliktusnak. Az Ising-modellel ellentétben a Potts-modellben a spinek különbözı p értékeket vehetnek fel. A végtelen skálájú Potts spinüveg Hamilton-függvénye:, ahol a σ(i) Potts-állapot felveheti az i = 1, 2,, p-1 értékeket. A δ a Kronecker delta, amely értéke 1, ha S i = S j, különben 0. Egy általános kiterjesztése a modellnek, hogy bevezetünk egy külsı h magnetikus teret, és az állapotok változását ennek függvényében figyeljük. A vizsgálatok 6
során észrevették, hogy p>2 értékre, és megfelelıen alacsony hımérsékleten a végtelen skálájú Potts-modell mindig ferromágneses, azaz a spinek egy csoportba tartanak. A Néda és társai által javasolt modell Néda és társai egy érdekes fázisátalakulást figyeltek meg és írtak le konkrét numerikus eredményekkel kismérető globálisan csatolt hálózatokban (Néda et al., 2003; Néda et al., 2006). Az általuk alkalmazott modell a Potts-modellel mutat hasonlóságot, de több pontban különbözik is tıle. A rendszer N elembıl (csomópontból) áll, minden két elem között létezik kötés (Z ij ). Ennek a kötésnek az értéke 1, ha az egyedek szívesen kollaborálnak, -1, ha konfliktusban vannak. A statisztikus fizika módszereit felhasználva definiálható egy költségfüggvény (lásd Potts-modellnél energiafüggvény), amit minimalizálva (ideális esetben 0) megkapjuk az optimális állapotot (klasztereket). Ha két elem, amelyek között a kötés pozitív, de nem ugyanabban a klaszterben helyezkednek el, vagy a kötés negatív, és ugyanabban a klaszterben helyezkednek el, a rendszer energiája S i S j Z ij értékkel nı, különben 0 marad. A költségfüggvény tehát felírható a következı formában:, ahol σ(i) az i-edik elem állapotát jelenti, vagiys azt a koalíciót, amelyikbe tartozik. Adott rendszer esetén a képlet második tagja konstans, mivel nem függ a koalíciók konfigurációjától, ezért elhagyható, és a minimalizálandó költségfüggvény a következıképp alakul: A vizsgált esetben az S i S j Z ij kifejezés értéke 1, vagy 1, a klaszterek száma (p) a rendszerben 1-tıl N-ig változhat, tehát nem korlátozott. A T = S S Z jelölést bevezetve a kapcsolatok eloszlásfüggvénye a q pozitív kötések valószínősége függvényében: ij i j ij 7
Néda és társai kimutatták, hogy ennek a q valószínőségnek létezik egy küszöbértéke, vagyis ha a valószínőség nagyobb ennél az értéknél, akkor egyetlen nagy klaszter kialakítása az optimális, ennél kisebb érték esetén minden elem külön klaszter kialakítására törekszik. Tehát egy perkolációszerő fázisátalakulás figyelhetı meg a rendszerben. A kialakult legnagyobb klaszer relatív mérete (a rendparaméter): ahol C x (i,q) az i állapotban levı elemek száma a kötéseknek egy x eloszlása esetén. Mivel többféle konfiguráció alakulhat ki ugyanakkora energiával, viszont különbözı klasztermérettel, ezért átlagot számolnak. Eltérések a Potts-modellhez viszonyítva Potts-modell esetén a kapcsolatok értékei véletlenszerően alakulnak, átlaguk: a varianciát pedig a következı kifejezés adja meg:, A Néda és társai által bevezettet egyszerő koalíciómodell költségfüggvénye sokban hasonlít a Potts-modell energiafüggvényére, és p = N esetben egyforma alakban írhatók fel. Ha T ij = NJ ij, ahol a J ij eloszlásfüggvénye akkor így írható fel: A varianciát kiszámolva az eloszlásfüggvénybıl látható, hogy míg a Pottsmodellben a variancia N-el, addig ebben a modellben N 2 - el arányos. Egy másik különbség a két modell között, hogy a Potts-modell figyelembe veszi a koalíciók állapotát is, ahol az elsı koalíció N állapotban lehet, a második már csak N-1 8
állapotban, és így tovább, ezzel szemben a koalíciómodell csak az elemek csoportosulását figyeli. Potts-modell esetén p>2 és T = 0 paraméterekre a rendszer egyetlen koalíció kialakítására törekszik, a koalíciómodell ezért sem egyezik meg ez elıbbivel, mivel itt egy másfajta fázisátalakulás figyelhetı meg. Fázisátalakulás globálisan kapcsolt hálózatokban Néda és társai a megfigyelt fázisátalakulás leírásához többféle módszert használtak, elsıként a renormalizációs módszert, ami egy adott q-ból (pozitív kötések valószínősége) és egy kételemő rendszerbıl indul ki, majd a rendszer méretét fokozatosan duplázva számolja ki a rendparamétert. k lépés után a renormalizációs képletek: Ha q a [0, ½) intervallumból veszi az értékeit, akkor a q k és r k határértékei a végtelenben 0-hoz tartanak, ha az (1/2, 1] intervallumból, akkor ez a határérték 1. A következtetés, hogy a két fázis között a fázisátalakulás az ½ pontban történik meg. Ez az eredmény azt jelenti, hogy ½-nél kisebb valószínőséggel létrejött kötések esetén a rendszer (szociális hálózat) nem képes a kollaborációra, az egyedeknek nem érdekük egyetlen minden elemet magába foglaló koalíció kialakítása, míg ennél az értéknél nagyobb valószínőség esetén a rendszer optimális állapota egy koalícióba tömöríteni az elemeket. Néda és társai módszerükkel csupán kis mérető globálisan csatolt hálózatokra végezték el kísérleteiket, én a jelen dolgozatban ezt szeretném kiterjeszteni nagyobb hálózatokra (N = 400), hiszen a szociális hálók esetén gyakran állunk szemben sok csomóponttal és bonyolult struktúrával rendelkezı hálózatokkal. Ugyancsak fontosnak tartom a probléma vizsgálatát más típusú hálózatokban is, nem csak globálisan kapcsoltakban, hiszen, ahogyan a szerzık is megjegyzik, ez egy ideális eset, ami ritkán fordul elı. Vizsgálom tehát koalíciók kialakulását skálafüggetlen hálózatokban, illetve 9
véletlenszerően generált hálózatokban, ahol a kötések nem csak az 1/-1 értékeket vehetik fel, hanem egy paraméterként átadott intervallumból veszik a súlyokat. Fázisátalakulás nagymérető hálózatokban Alkalmazott módszer: genetikus algoritmus Koalíciók kialakulásának vizsgálatára többféle módszert is alkalmaztak (például szimulált hőtés, Monte Carlo módszerek, extremális optimalizációk), megjegyzendı, hogy ezeknek az optimalizációs módszereknek általában nagy erıforrás-mennyiségre van szükségük (Néda et al., 2003; Néda et al., 2006). Evolúciós algoritmusok (lásd Dumitrescu et al., 2000) alkalmazásával lehetıség nyílik nagyobb hálózatok tanulmányozására (Járai, Simon, 2007; Simon 2007). A közelmúltban az evolúciós algoritmusok jelentıs népszerőségre tettek szert és alkalmazásuk számos területen sikeresnek bizonyult (bioinformatika, közgazdaságtan, stb.) Az evolúciós algoritmusok egyik osztályát, a genetikus algoritmusokat sikerrel alkalmazták, többek között, optimalizálási és adatelemzési problémák megoldására. Az algoritmus a természetes evolúció és kiválasztás során bekövetkezı folyamatokból (öröklıdés, keresztezıdés, mutáció) inspirálódik. Egy populációval dolgozik, amelyet individuumok építenek fel. Ezeket az individuumokat kromoszómák kódolják. Minden egyes individuum egy lehetséges megoldásnak tekinthetı. Az algoritmus célja a legoptimálisabb megoldást megtalálni és kiválasztani. Az algoritmus egy véletlenszerően generált kezdeti populációból indul ki, és több generáción át vizsgálja az egyedek rátermettségét (fittségét), vagyis a megoldás optimalitását. Az egyedeket sztochasztikusan választja ki a populációból a fittségük alapján, keresztezi ıket (rekombináció, crossover), vagyis két egyed kromoszómái között géneket cserél, majd mutáció során véletlenszerően módosít géneket. Ezáltal létrejön egy újabb populáció, az új generáció, ami az algoritmus következı iterációjának szolgál alapul. A fenti lépések ismétlıdnek, mindaddig, amíg egy adott leállási feltétel teljesül. A Néda és társai által kapott eredményekbıl kiindulva a közelmúltban Járai és Simon koalíciók optimalizálását megvalósító genetikus algoritmust javasoltak (Simon, 10
Járai 2007; Simon 2007). A javasolt módszert alkalmazták mind globálisan csatolt, mind kismérető skálafüggetlen hálózatokra, de a szimulációkhoz felhasznált számítógépes program korlátai miatt csak aránylag kismérető hálózatokat sikerült tanulmányozniuk. Megjegyzendı, hogy az elızıekben említett módszer megjelenésével egy idıben, független kutatások eredményeként, egy másik csoport is egy nagyon hasonló genetikus algoritmussal hasonló eredményekhez jutott, globálisan csatolt hálózatok esetén (Diosan, Dumitrescu, 2007). Mivel a skálafüggetlen jelleg nagyobb mérető hálózatoknál válik hangsúlyosabbá, szükségesnek mutatkozott az elızıekben említett algoritmus módosítása, és egy nagyobb hálózatok tanulmányozására is alkalmas számítógépes program kifejlesztése. Ezen kívül érdemes különbözı paraméterek változtatása (csomópontok és kapcsolatok súlyozása, stb.) esetén is elvégezni a kísérleteket. A továbbiak az említett problémák megoldására javasolt módszeremet, illetve az ezt megvalósító számítógépes program segítségével elért eredményeket szeretném bemutatni. A koalíciók optimalizálására javasolt genetikus algoritmus A Néda és társai által javasolt modell alapján, a Simon és Járai által javasolt módszerbıl kiindulva az alábbiakban ismertetett genetikus algoritmust javasolom koalíciók optimalizálására. Genetikus reprezentáció. Jelen esetben a populációt alkotó individuumok egyegy klaszterezıdési állapotot reprezentálnak. Az individuumon belüli kromoszómák száma megegyezik a csomópontok számával, a megfelelı indexő kromoszóma magát a csomópontot jelöli, értéke pedig a klasztert, amelybe tartozik. Egy kromoszóma értéke az {1,...,N} halmazból kerül ki, ahol N a csomópontok száma. A kromoszómák értékei határozzák tehát meg, hogy melyik egyed melyik koalícióba kerül, ezáltal a koalíciók nagyságát és számát is. Fittségi függvény. Azt, hogy egy koalíció mennyire közelíti meg az ideális állapotot, a fittségi függvénnyel számolom ki. Azt az esetet, amikor nincs kötés két csomópont között, semlegesnek veszem, ez az eredményt (fittségi értéket) nem befolyásolja. Sorra veszem a hálózat összes csomópontját, és vizsgálom, hogy a vele 11
kapcsolatban levı csomópontok ugyanabba a koalícióba tartoznak-e, vagy nem. A fittségi értéket csak akkor módosítom, ha ugyanabba a koalícióba tartoznak. A képletet tehát így lehetne felírni: ahol N ( SiZ ij + S j Z ji) δ σ ( i) σ( j) i, j= 1 δ = σ( i) σ( j) 1, haσ 0, haσ, () i = σ( j) ( i) σ( j) a σ ( i) értékek azt jelölik, hogy az adott csomópont melyik koalícióhoz tartozik. Mivel modellünkbe még nem vezettünk be irányított kapcsolatokat, ezért a Z ij = Z ji, a csomópontok sem súlyozottak, tehát S i = S j = 1. A képlet tulajdonképpen így írható fel egyszerősített formában (a jelen esetre vonatkoztatva): érték maximális. N i, j=1 2 Z ijδ σ ( i) σ( j). Látható tehát, hogy a rendszer akkor van optimális állapotban, amikor ez az Inicializálás. A kezdeti populáció több, mint 2N (a javasolt érték 4N) nagyságú, rekombináció és mutáció során tovább bıvül, majd csak a legalkalmasabbak élik túl a szelekciót. Az elsı N individuum mindegyikében egyetlen klaszter generálódik, amelybe az összes csomópont belekerül. Szelekció és keresztezés. A populációból proporcionális szelekcióval kiválasztunk egy paraméterként megadott százaléknyi individuumot, majd azokat keresztezzük. Meghatározzuk a törési pontokat, ugyancsak a beolvasott paraméterek alapján, majd e törési pontok két felén kicseréljük a géneket a két kiválasztott egyed között. Mutáció. Ugyancsak paraméterként olvassuk be a mutációra kiválasztandó individuumok részarányát, és ennek függvényében válasszuk ki a populációból a mutációnak alávetett egyedeket. A mutáció során a kiválasztott egyedek kromoszómáin belül néhány gént véletlenszerően generált értékekre cserélünk, így hozva létre az új egyedeket. Végül a populációt fittség szempontjából rendezzük, és csak a legalkalmasabbakat tartjuk meg., 12
Kísérletek és eredmények A kísérletek elvégzésénél alkalmazott program legfontosabb paraméteri (néhány a GA mőküdésére vonatkozó elıre definiált paramétert itt nem tüntetek fel): Név Lehetséges értékek Leírás networktype random / full / scalefree A generálandó hálózat típusa. nonodes 0-500 (>500 értékre A hálózatban szereplı csomópontok még nem volt tesztelve) száma. positivelinkprobability [0, 1] A pozitív kapcsolatok valószínősége. linkoccurenceprobability [0, 1] Csak véletlen hálózatok esetén, egy kapcsolat megjelenésének a valószínősége. weightedlinks true / false Logikai változó, ami megadja, hogy súlyozott kapcsolatokkal dolgozunk, vagy nem. weightednodes true / false Logikai változó, ami megadja, hogy súlyozott csomópontokkal dolgozunk, vagy nem. A kísérleteket elvégeztem mindhárom hálózattípusra, mindegyik esetben vizsgáltam a súlyozott, illetve súlyozatlan kötések közötti változásokat. A cél ugyanakkor nagyszámú csomópontokkal végezni el a kísérleteket, ezért ezt az értéket skálafüggetlen hálózatok esetén 400-nak vettem. Minden egyes futás alkalmából a pozitív kötések valószínősége 0-tól 1-ig nı, és ennek függvényében vizsgálom a legnagyobb koalíció relatív méretét, valamint a fázisátalakulást. 13
Numerikus eredmények véletlen hálózatokban Globálisan kapcsolt hálózatok esetében (amelyek tulajdonképpen a véletlen hálózatok egy speciális típusát alkotják) súlyozatlan kapcsolatokat véve alapul a kapott eredmények alátámasztják a Néda és társai által kapott eredményeket. Az alábbi diagramon (1. ábra) feltüntetett adatokat 10000 csomópont átlagából számoltam. 1.ábra. Globálisan kapcsolt hálózatok súlyozatlan kapcsolatokkal Az ábrán világosan látszik a fázisátalakulás teljes hálózatok esetében, ahogyan azt Néda és társai is kimutatták. A renormalizációs módszer útján kapott eredmények a 2. ábrán láthatóak. 14
2. ábra. A Néda és társai által renormalizációs módszerrel nyert eredmények Figyeljük meg a 2. ábrával való hasonlóságokat, a Néda és társai által alkalmazott renormalizációs módszer eredményeképp kapott értékekkel, mikor a hálózat csomópontjainak a száma a végtelenbe tart; ezek az eredmények ugyanolyan átalakulásokat mutatnak a görbékben, mint az evolúciós módszerrel kapott eredmények. Ahogy a csomópontok száma növekszik, a görbe is egyre meredekebbé válik. Azonban az is feltőnhet, hogy az a határ, ahol a fázisátalakulás megtörténik, az evolúciós módszerrel kapott eredmények esetén kisebb értéket mutat. Ugyancsak eltérés figyelhetı meg a Néda és társai által kapott egzakt eredmények és az én eredményeim között, bár ez nem mérvadó, hiszen a vizsgált hálózatok mérete különbözı, illetve maga az alkalmazott módszer is okozhat ilyen eltéréseket. A következı kísérletem annak a vizsgálatára irányult, hogy hogyan változik meg ez a fázisátalakulás, ha súlyozom a kapcsolatokat. Az eredményeket 3000 csomópont átlagából számoltam, a kapott értékek a 3. ábrán láthatók. 15
3. ábra. Globálisan kapcsolt hálózatok súlyozott kötésekkel Összehasonlításképp az ábrán feltüntettem N = 50 csomópont esetén a súlyozatlan kapcsolatokkal nyert eredményeket is. Ebben az esetben a két görbe szinte fedi egymást, tehát elmondható, hogy a kapcsolatok súlyozása nem befolyásolja a koalícióformálódás során megjelenı fázisátalakulást. 4. ábra. Véletlen hálózatok súlyozott és súlyozatlan kötésekkel 16
Ugyanezt az eredményt kapjuk véletlen hálózatok esetén is (4. ábra). A véletlen hálózatok súlyozott, illetve súlyozatlan kötésekkel vett görbéi szinte egybeesnek, ami újabb bizonyítéka annak, hogy a súlyozás nem befolyásolja a fázisátalakulást. Ugyanakkor a 4. ábrán az is megfigyelhetı, hogy a globálisan kapcsolt, illetve véletlen hálózatok görbéi között sincsen lényeges különbség (ez nem meglepı, hiszen amint már említettük, a globálisan kapcsolt hálózat is egy speciális véletlen hálózat) Numerikus eredmények skálafüggetlen hálózatokban Láthattuk, hogy, eddigi megfigyeléseink alapján, a kapcsolatok súlyozása nincs befolyással a fázisátalakulás jelenségére, felmerül tehát a kérdés, hogy a hálózatok topológiája mennyire befolyásolja a koalícióformálódás során létrejövı fázisátalakulást. A kísérleteket nagyszámú csomóponttal rendelkezı hálózatokra is elvégeztük, hiszen, mint már említettem, a skálafüggetlen jelleg fıleg nagy hálózatok esetén válik érzékelhetıvé. 5. ábra. Skálafüggetlen hálózatok súlyozatlan kötésekkel. 17
A véletlen (vagy globálisan kapcsolt) hálózatokkal sok szempontból hasonló diagramot láthatunk az 5. ábrán. Mindkét esetben (globálisan kapcsolt és skálafüggetlen hálózatok esetében) 100 csomópontra vizsgált görbe összehasonlításából láthatjuk, hogy skálafüggetlen hálózatok esetében nagyobb értékek szükségesek hasonló görbének az eléréséhez (figyeljük meg globálisan kapcsolt hálózatoknál az N = 100, illetve skálafüggetlen hálózatoknál az N = 400 esetet). Látható egy kis eltérés a fázisátalakulás során is, ez skálafüggetlen esetben egy nagyobb értéknél következik be. Azonban lényeges változásokat nem hoz be a hálózat típusának a változtatása, a fázisátalakulás szinte ugyanannál a határnál következik be. Végül elmondhatjuk, hogy a jelen eredmények alapján sem a kötések súlyozása, sem a hálózatok topológiája nem befolyásolja a fázisátalakulás meglétét, skálafüggetlen hálózatoknál ugyan megfigyelhetı egy kisebb mérető eltérés e fázisátalakulás küszöbértékében a globálisan kapcsolt vagy véletlen hálózatokhoz képest, viszont ez az érték sokban nem tér el az eddig kapott értéktıl. További kutatási lehetıségek Koalíciók alakulása terén még sokféle folyamat van, amit modellezni és vizsgálni érdemes, és valószínőleg érdekes eredményekhez vezet. Szőkebb vizsgálódási területünkön vizsgálni lehetne olyan hálózatokat, amelyekben nemcsak a kapcsolatok, de a csomópontok is súlyozottak. Ez jobban meg is közelítené a valós életbıl vett példát, hiszen legtöbb szociális hálózatban nem egyenlık az egyedek, egyes politikai pártok, cégek nagyobb befolyással bírnak, egyes személyeknek fontosabb a véleménye stb. Ezzel egyidejőleg azt is lehetne vizsgálni, hogy hogyan alakulnak a koalíciók olyan esetben, amikor a kapcsolatok nem szimmetrikusak, vagyis irányított hálózatokkal van dolgunk. Ez is közelebb áll a valós élethez, ahol lehet, hogy az egyik ember rokonszenvez a másikkal, viszont ez nem mindig kölcsönös. Az eddigi kutatások során csupán statikus koalícióképzıdéssel foglalkoztam, újabb kutatási téma lehetne annak a szimulálása, hogy hogyan alakulnak át a koalíciók, ha maga a hálózat megváltozik: például valaki kilép a hálózatból, vagy belép a hálózatba, ha megváltozik valamelyik kötésnek az értéke stb. 18
Továbbá az algoritmus párhuzamosítása, lehetıvé tenné még nagyobb mérető skálafüggetlen hálózatok tanulmányozását nagyteljesítményő számítógépek vagy számítógép-klaszter segítségével. 19
Hivatkozások BARABÁSI A.-L.: Linked: The New Science of Networks. Perseus, Cambridge, 2002, MA. BARABÁSI A.-L., Albert R: Emergence of scaling in random networks. Science, vol. 286., 5439, 509-512. DIOSAN, Laura, DUMITRESCU, Dumitru: Evolutionary Coalition Formation in Complex Networks. Studia Univ. Babeş-Bolyai, Informatica, LII, 2, 2007, 115-128. DUMITRESCU D., LAZZERINI B., JAIN L.C., DUMITRESCU A., computation. CRC Press, Boca Raton, 2002, FL. Evolutionary BINDER, K., REGER, J. D.: Theory of orientational glasses models, concepts, simulations. Adv. Phys. 41, 1992, 547 NÉDA Zoltán, FLORIAN Răzvan, RAVASZ Mária, LIBÁL András, GYÖRGYI Géza : Phase transition in an optimal clusterization model. Physica A, 362, 2006, 357-369. NÉDA Zoltán, RAVASZ Mária, FLORIANI Răzvan, LIBÁL András: Fázisátalakulás egy optimális klaszterezési feladatban. In: Nagy, L. (szerk.): Korszerő kísérleti és elméleti fizikatanulmányok. Scientia Kiadó, Sapientia könyvek 20., Természettudományi sorozat, 2003, Kolozsvár, 183-208. NÉDA Zoltán, RAVASZ Mária, FLORIAN Răzvan, LIBÁL András, GYÖRGYI Géza: Klaszterezés és fázisátalakulás frusztrált hálózatokban, Mőszaki Szemle 42, 2008, 3-8. SIMON Károly, Evolutionary techniques for data clustering, Ph.D. thesis, 2007 SIMON Károly, JÁRAI-SZABÓ Ferenc, Evolutionary clustering based investigation of coalition formation problems. International Workshop on Complex Systems and Networks, Sovata, 2007. 20