XI. Erdéyi Tudományos Diákköri Konferencia Matematika szekció Ponceet záródási tétee Szerző Nagy Örs, BBTE, MIK Matematika-informatika szak, IV. év Témavezető Dr. András Sziárd, adjunktus BBTE, MIK, Differenciáegyenetek Tanszék Koozsvár, 2008. május 23-24.
Tartaomjegyzék 1. Záródási téteek 4 1.1. Cikk-cakkok................................... 4 1.2. A Ponzag szerkesztés.............................. 7 1.3. A Ponceet szerkesztés............................. 9 2. A Ponceet téte 13 2.1. A Ponceet-téte szüetése........................... 13 2.2. A Ponceet-téte eemi bizonyítása....................... 15 2.3. Ponceet átaános tétee............................ 19 3. A matematikai inga és a Ponceet-téte 21 3.1. A matematikai inga páyája.......................... 21 3.2. A matematikai inga és az eiptikus integráok kapcsoata.......... 23 3.3. A Ponceet poigonok.............................. 25 A. Függeék. Cayey-tétee körökre 26 B. Függeék. Körsorok 28 2
Bevezetés Jean-Victor Ponceet francia hadmérnök-tábornok, Napóeon oroszországi hadseregében szogát. 1812 teén a,,nagy armada veresége után orosz fogságba esett. A rabságban feeevenítette magában az egyetemi tanumányait, ovasmányait. Szeemi közegtő ezártan a geometria új terüeteit fedezte fe, s eméjében furcsa körtáncra indutak a poigonok. 1814 szeptemberében szabadut és visszatért Franciaországba. A fogságban fogant gondoatai 1822-ben jeentek meg,,értekezés az aakzatok projektív tuajdonságairó címme. Ebben a művében jeent meg a következő téte: Adottak az egymást nem érintő e és a körök, a az e besejében. Az e körön tetszőegesen váasztott A 0 pontbó induva megszerkeszthetjük az e kör A 1, A 2, A 3,... pontjait úgy, hogy A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3... egyenesek érintsék az a kört és bármey két, a sorban egymást követő egyenes küönbözzék egymástó. Eőforduhat, hogy bizonyos számú épésben visszajutunk a kezdőpontba, azaz A n = A 0. Ekkor az e kör bármey másik pontjábó induunk is ki, biztosan visszatérünk a kezdőpontba, mégpedig ugyanannyi épésben, mint eőzőeg. Koncentrikus körök esetén a téte áítása triviáisan tejesü, minden más esetben azonban megehetősen nehéz a bizonyítás. A bizonyításná taán még nehezebb azt megmondani, hogy miyen egyen a két kör heyzete ahhoz, hogy egyátaán iyen visszatérés (záródás) bekövetkezzen. Egyátaán nem könnyű arra váaszoni, hogy mekkora egyen az emített két kör sugara, ietve a körök középpontjainak távosága ahhoz, hogy a téteben eírt szerkesztés adott n épésben záródjon. Ezekre a kérdésekre a téte nem ad váaszt. Az emút két évszázadban több matematikus (Fuss 1792, Steiner 1827, Richeot 1830, Jacobi 1881, Chaundy 1923, Kerawaa 1947) is fogakozott a fenti kérdésekke; eredményeik már n 5 értékeire pontos, de nagyon bonyout megodást adnak. Így nem megepő, hogy az idők foyamán közeítő megodásokka is próbákoztak. Wei 1878-ben taát egy agoritmust, amey közeítő megodást ad páros n-ek esetén. A következő három fejezetben mi is ezt a kérdéskört járjuk körü. Az eső fejezet végteen periodikus szerkesztési ejárásokat és ezekhez kapcsoódó záródási téteeket mutat be. A második fejezetben megadjuk a Ponceet-téte két megehetősen küönböző bizonyítását. A harmadik fejezet a dogozathoz tartozó, MATLABban írt, a matematikai inga mozgását fehasznáó program eméeti hátterébe nyújt bepiantást. A program segítségéve közeítő megodást mutatunk a záródás bekövetkezésére tetszőeges n esetén. 3
1. Záródási téteek Ebben a fejezetben végteen, periodikus szerkesztési ejárásokka fogakozunk. 1.1. Cikk-cakkok 1.1. Feadat. Adottak a k A, k B r sugarú körök, meyek nem mennek át egymás középpontján. Továbbá adott az A 1 pont a k A -n, és B 1 a k B -n úgy, hogy az A 1 B 1 szakasz éppen r hosszúságú. Szerkesszünk meg az A 1, B 1, A 2, B 2,... egyenő odaú poigont a következő ejárás szerint: a) A n+1 egyen k A -nak a B n -tő r távoságra evő, A n -tő küönböző pontja; ietve egyen A n+1 = A n, ha nincs iyen A n -tő küönböző pont. b) B n+1 egyen k B -nek az A n+1 -tő r távoságra evő, B n -tő küönböző pontja; ietve egyen B n+1 = B n, ha nincs iyen B n -tő küönböző pont. Bizonyítsuk be, hogy A 4 = A 1! 1. ábra. Az 1.1 feadat megodása Megodás: Az 1. ábrán a k A, k B körök középpontjait O A, O B -ve jeötük és a fetüntetett szakaszok mind r hosszúságúak. Azt ke bebizonyítani, hogy B 3 A 1 hossza is éppen r. Mive az A 1 B 1 A 2 O A, O A A 2 B 2 A 3, A 3 B 2 O B B 3 négyszögek mind rombuszok, ezért az A 1 B 1, O A A 2, A 3 B 2 és B 3 O B szakaszok párhuzamosak egymássa. Így az A 1B 1 O B B 3 négyszög is paraeogramma, tehát A 1 B 3 a vee szemközti B 1 O B szakassza együtt r hosszúságú. Megjegyzés: Az eőző feadat kijeentésében szerepő szerkesztési ejárást Zig-zag szerkesztésnek nevezzük. 4
1.2. Feadat. Adott a k A r sugarú kör és a k A középpontján át nem menő e B egyenes. Továbbá adott az A 1 pont a k A -n, és B 1 az e B -n úgy, hogy az A 1 B 1 szakasz éppen r hosszúságú. Szerkesszünk meg az A 1, B 1, A 2, B 2,... egyenő odaú poigont a Zig-zag ejárás szerint, majd igazojuk, hogy A 5 = A 1! 2. ábra. Az 1.2 feadat megodása Megodás: A 2. ábrán a k A kör középpontját O A -va jeötük és a fetüntetett szakaszok mind r hosszúságúak. Az A 1 B 1, O A A 2, A 3 B 2 szakaszok párhuzamosak és egyenőek, mert az A 1 B 1 A 2 O A és az A 2 O A A 3 B 2 négyszögek rombuszok. Ebbő következik, hogy az A 1 B 1 B 2 A 3 négyszög paraeogramma és így A 1 A 3 párhuzamos az e B egyenesse. Az eőző gondoatmenethez hasonóan az indexeket kettőve megnöveve arra következtetünk, hogy A 3 A 5 is párhuzamos az e B egyenesse, azaz A 5 egybeesik A 1 -gye. A bemutatott két feadat mögött az aábbi átaános téte húzódik meg: 1.1. Téte (Cikk-cakk téte). Legyen k A és k B egy-egy kör vagy egyenes a térben. Adott a ρ távoság úgy, hogy a két aakzat egyikén sincs oyan pont, ameytő a másik aakzat minden pontja ρ távoságra enne. Ha vaamey A 1 B 1 ρ hosszúságú szakaszbó kiinduva a Zig-zag szerkesztés n periódusú, azaz A n+1 = A 1 és B n+1 = B 1, akkor bármey ρ hosszú szakaszbó induva n periódusú. Megjegyzés: A téteben szerepő aakzatok pontjaira vonatkozó fetéte azért szükséges, hogy tetszőeges A 1 B 1 (A 1 k A, B 1 k B ) ρ hosszúságú szakaszbó kiinduva az Zig-zag szerkesztés egyértemű egyen. Érdekességként megemítjük a téte fefedezéséhez vezető út nem fötéten egymásra épüő szakaszait. 1879-ben Darboux síkbei, négyszög aakú rúdszerkezeteket vizsgát. Képzejük úgy, hogy a négyszög odaai rudak, a csúcsok pedig csukók. Tehát a csúcsokná a két rögzített hosszú csatakozó oda eforduhat egymáshoz képest. Darboux-t a rúdszerkezetek ehetséges mozgásai érdeketék, és néhány egyenetet feírva a Jacobi-fée eiptikus függvényekre vonatkozó azonosságokra emékeztető összefüggéseket taát. 5
1916-ban Fricke, feeevenítve Lagrange észrevéteeit az eiptikus függvények és a gömbi geometria kapcsoatáró, bebizonyítja a Cikk-cakk tétet két gömbi főkör között cikázó poigonra. 1965-ben Bottema két, egy síkban eheyezkedő körre mondja ki a Cikkcakk tétet és a bizonyítást Ponceete-téteére vezeti vissza. 1971-ben az MIT munkatársai goyóscsapágyakka kapcsoatos számításokat végeznek számítógéppe, és közben fefedezik a Cikk-cakk téte térbei vátozatát, meyet nem sokka később anaízisbei technikáva be is bizonyítottak. Sajnos a téte csak egzisztencia jeegű! Nem tudunk meg semmit a körök eheyezkedésérő. A továbbiakban csak azt az esetet vizsgájuk, amikor k és körök közös síkban fekszenek. Ekkor egyen r és R a k ietve sugara, d a két kör középpontjának távosága, és ρ a cakk hossza. Ezekhez a paraméterekhez tartozó cikk-cakk konfigurációt jeöjük z(r, R, d, ρ)-va. Evárható enne, hogy az n épésben záródásnak egyen egy agebrai megfeeője, egy z n négyvátozós függvény, jobb esetben poinom úgy, hogy z n (r, R, d, ρ) = 0 z(r, R, d, ρ) egy cikk-cakk konfiguráció Ha az egyik aakzat pédáu egyenes, akkor csak a k kör r sugara, középpontjának -tő vaó távosága és a ρ hosszúság szükséges a rendszer meghatározásához, amit jeöjük z (r,, ρ)-va, így a záródást jeentő z n függvények háromvátozósak. A z n és z n függvények megtaáásához, ameyekrő kiderüt, hogy tényeg poinomok, azonban hosszú út vezetett. 6
1.2. A Ponzag szerkesztés 1.3. Feadat. Adottak a síkban a k, körök. Szerkesszünk háromszöget, meynek csúcsai k-n, odafeezői pedig -en vannak. 3. ábra. Az 1.3 feadat A fenti feadat méyén szintén egy végteen szerkesztési ejárás apu, meyet Ponzag szerkesztésnek (PONceet + zig-zag) nevezünk. Az ejárás ényege, hogy a k kör és az kör vagy egyenes esetén a k kör oyan A 1 A 2 húrjábó indu ki, ameynek F 1 feezőpontja ieszkedik -re. Az A n sorozatot a következő ejárást isméteve kapjuk meg: A n egyen az kör A n 1 -bő kétszeresére nagyított képének és k-nak az A n 2 ponttó küönböző metszéspontja; ietve A n = A n 2, ha nincs iyen másik metszéspont. Az A n 2 A n 1 szakasz F n 2 feezőpontja ieszkedik re, így az emített nagyított kép és k egyik metszéspontja az A n 2 pont esz. Így nem forduhat eő, hogy nincs metszéspont, azaz, hogy a szerkesztés eakad. Az ejárás akkor esz biztosan egyértemű, ha nagyított képe nem eshet egybe k-va, azaz ha nem a k középpontján áthaadó, fee akkora sugarú kör, mint k. Kérdés, hogy mey A 1 pontbó kiinduva esz a szerkesztési foyamat 3 épéses periodikus. A 4. ábrán az ABC háromszög odaainak F A, F B, F C feezőpontjai egy, az ABChez hasonó háromszöget határoznak meg, aho a hasonósági arány 1/2, a hasonósági középpont a háromszögek közös G súypontja. A G-re vaó ( 1/2) arányú kicsinyítés az ABC háromszöget az F A F B F C -re, k-t -re, az O k középpontot az O középpontba képezi e. Tehát egy már biztos: A kért háromszög csak akkor szerkeszthető, ha éppen fee akkor sugarú, mint k. Iyenkor viszont a k kör bármey oyan AB húrja, ameynek F C feezőpontja ieszkedik -re, része egy megfeeő háromszögnek. Az és k körök ismeretében ugyanis megszerkeszthető a G pont, mint az O O k szakasz O feöi harmadoópontja. A G-re vaó ( 2)-szeres nagyítás -et k-ra képezi. Legyen enné a nagyításná F C képe a C pont. A G pont az ABC háromszög súypontja és a CF C harmadoópontja. Ha most k-t 7
( 1/2) arányban kicsinyítjük a G ponton át, akkor az körhöz, az A, B pontokbó az -re ieszkedő F A, F B odafeezőpontokhoz jutunk. 4. ábra. Az 1.3 feadat megodása A feadat eredményét átaánosítja a következő téte: 1.2. Téte (Ponzag téte). Adott a k kör és az kör (vagy egyenes) úgy, hogy ne menjen át a k középpontján. Ha a Ponzag szerkesztés n épésben periodikus a k egy oyan húrjábó kiinduva, ameynek feezőpontja az -en van, akkor bármey iyen tuajdonságú húrbó kiinduva is az. Megjegyzés: A XIX. században így mondták vona ki: Ha van egy oyan n-szög, ameynek csúcsai a k körön, odafeezőpontjai pedig az körön (vagy egyenesen) vannak, akkor végteen sok iyen tuajdonságú n-szög van. Megjegyzés: Az átaunk vizsgát n = 3 eset a Feuerbach körrő 1 szó. A Cikk-cakk téte eredményeihez hasonóan agebrizájuk a kapottakat. Egy két körbő áó Ponzag konfiguráció megadásához csak a k és az kör R ietve r sugarára, vaamint a körök középpontjainak d távoságára van szükség. Jeöjük tehát a Ponzag konfigurációt pz(r, R, d)-ve. Ekkor a feadat megodása során kapott záródást garantáó pz 3 háromvátozós poinom pz 3 (r, R, d) = r 2R aakban írható. A kapott összefüggésbő átható, hogy a körök középpontjainak távosága nem játszik szerepet n = 3 esetén. 1 A háromszög odaainak feezőpontjai, magasságainak tappontjai és a magasságpontot a csúcsokka összekötő szakaszok feezőpontjai a Feuerbach körön vannak. E kör középpontja feezi a magasságpontot a háromszög köré írt kör középpontját összekötő szakaszt, sugara a háromszög köré írt kör sugarának a fee. 8
1.3. A Ponceet szerkesztés 1.4. Feadat. Adottak a síkban a k, körök. Szerkesszünk háromszöget, majd négyszöget, ameynek csúcsai k-n vannak, odaegyenesei pedig érintik -et. 5. ábra. Az 1.4 feadat A feadatban kért szerkesztési ejárás eég egyszerű. Ha kiinduunk a k kör -et érintő A 1 A 2 húrjábó, akkor A 2 -bő csak meg ke húznunk az kör A 1 A 2 -tő küönböző érintőjét. Az érintő és a k kör A 2 -tő küönböző metszéspontja esz az A 3 pont. A következő épésben A 3 -bó húzunk érintőt -hez és így tovább. Ezt azt ejárást Ponceet szerkesztésnek nevezzük. A fenti feadat azt kérdezi, hogy mey A 1 A 2 húr-érintőtő induva esz a foyamat 3, ietve 4 épésben periodikus. Hasonó eredményhez vezető feadatta már Euer is fogakozott, hiszen egy neki tuajdonított téte szerint a háromszög szerkeszthetőségének fetétee R 2 d 2 = 2Rr, aho R és r a háromszög körüírt ietve beírt körének sugarai és d a két kör középpontjának távosága. 6. ábra. Háromszög hozzáírt és körüírt köre A mi esetünkben nem biztos, hogy a két kör egymásban van, ugyanis - mint ahogy a 6. ábrán átható - ehet a keresett háromszög hozzáírt köre is. Ekkor a fenti összefüggés kissé módosítva, így néz ki: R 2 d 2 = 2Rr. 9
A húrérintő négyszögre vonatkozó anaóg, de kissé bonyoutabb összefüggést Euer tanítványa, Fuss taáta meg 1797-ben: 2r 2 (R 2 + d 2 ) = (R 2 d 2 ) 2 A probéma nagyobb n-ekre rohamosan nehezedik. Öt-, hat-, hét-, és nyocszögek esetén Fuss már csak azt a speciáis esetet vizsgáta, amikor a sokszög szimmetrikus a körök centráisára. A nagy vátozást Ponceet 1817-ben megjeent tétee hozta. Ez a téte az eddigi jeöéseket követve a következőképpen fogamazható meg. 1.3. Téte. Legyenek k és egymást nem érintő, nemefajuó kúpszeetek. Ha van oyan húr-érintő, ameybő induva a Ponceet-szerkesztés n periódusú, akkor bármey húrérintőbő induva n periódusú. Megjegyzés: Ponceet tovább átaánosítva a tétet αk + β kúpszeetsorokra is kiterjesztette. A fenti téte az átaános téte egy speciáis esete. Az eőző két szerkesztési ejáráshoz hasonóan itt is keressük a k és paramétereit tartamazó agebrai reációt, mey esetén a k és kúpszeetek n periódusú konfigurációt akotnak (P n ). Az emút két évszázadban több matematikus is fogakozott a fenti kérdésse. Fuss 1797-ben, Steiner 1827-ben, Richeot 1830-ban, Jacobi 1881-ben, Chaundy 1923-ban és Kerawaa 1947-ben taátak összefüggéseket. Ezek azonban már eég kicsi n-ek esetén (n 5) megehetősen bonyoutak. 1828-ban Jacobi az eiptikus integráokka hozta kapcsoatba a Ponceet-tétet, majd 1853-ban Cayey ismerve Fuss, Steiner, Ponceet és Jacobi eredményeit, utóbbi módszerét követve, megtaáta a képeteket. Eredményeit a következő téte fogaja össze: 1.4. Téte (Cayey tétee). Jeemezzük a k és kúpszeetet a K ietve a L mátrixokka, majd képezzük a t K + L mátrixot. E mátrix determinánsának négyzetgyökét a t vátozó szerint sorbafejtve a következőt kapjuk: t K + L = A0 + A 1 t + A 2 t 2 + A Ponceet szerkesztés pontosan akkor n periódusú, ha A 2 A 3... A m A m+1 A 3 A 4... A m+1 A m+2....... = 0, A m A m+1... A 2m 2 A 2m 1 A m+1 A m+2... A 2m 1 A 2m amikor n = 2m + 1 A 3 A 4... A m A m+1 A 4 A 5... A m+1 A m+2....... A m A m+1... A 2m 3 A 2m 2 A m+1 A m+2... A 2m 2 A 2m 1 = 0, amikor n = 2m 10
1.5. Téte. Adottak a k és körök az x 2 + y 2 = R 2 és az (x d) 2 + y 2 = r 2 egyeneteik áta. Az egyeneteknek megfeeő K ietve L mátrixokbó képzett t K + L mátrix determinánsa: (1 + t)[r 2 + (R 2 + r 2 d 2 )t + R 2 t 2 ]. Bizonyítás: t K + L = tr 2 tx 2 ty 2 + r 2 x 2 + 2xd d 2 y 2 = = ( t 1)x 2 + ( t 1)y 2 + 2dx + (tr 2 + r 2 d 2 ) = t 1 0 d 0 t 1 0 d 0 tr 2 + r 2 d 2 = ( x, y, 1 ) det(t K + L) = det t 1 0 d 0 t 1 0 d 0 tr 2 + r 2 d 2 = x y 1 = ( t 1)( t 1)(tR 2 + r 2 d 2 ) d 2 ( t 1) = = (1 + t)[(1 + t)(tr 2 + r 2 d 2 ) + d 2 ] = = (1 + t)[tr 2 + r 2 d 2 + t 2 R 2 + tr 2 td 2 + d 2 ] = = (1 + t)[r 2 + (R 2 + r 2 d 2 )t + R 2 t 2 ]. Az 1.4 téte aapján a kapott kifejezés négyzetgyökét t szerint sorbafejtve kapjuk, hogy: (1 + t)[r2 + (R 2 + r 2 d 2 )t + R 2 t 2 ] = = A + Bt + Ct 2 + Dt 3 + Et 4 + F t 5 + Gt 6 + Ht 7 +... Innen a küönböző együtthatókbó képzett determinánsok értékei megadják a kívánt összefüggéseket a k és körök R és r sugarai vaamint a középpontjaik d távosága között. Pédáu n = 3, 5, 7 stb. esetén: C = 0, C D D E = 0, C D E D E F E F G = 0,... n = 4, 6, 8 stb. esetén pedig: D = 0, D E E F = 0, D E F E F G F G H = 0,... Ezen fetéteek tejesüése meett végteen sok oyan n-szög írható a k körbe, meyek odaai egyidejűeg az kört érintik. A megehetősen bonyout összefüggések kifejtett aakban a függeékben ovashatók. 11
Votak azonban oyanok, akik közeítő megodásokat kerestek: Wei 1878-ben taát egy agoritmust, amey közeítő megodást ad páros n-ek esetén. Mi a MATLABban írt programunk segítségéve tetszőeges n esetére mutatunk megodásokat. Mieőtt rátérnénk a Ponceet-téte bizonyítására nézzük még meg két igen érdekes és nemcsak matematikai, hanem esztétikai érteemben is szép, taán megepő következményét a tétenek. 1.1. Következmény (Steiner poriszmája). Ha két koncentrikus kör úgy heyezkedik e, hogy az egyik a másik besejébe esik, és ezután oyan köröket rajzounk, ameyek sorjában egymást is és az eredeti két kört is érintik, akkor megtörténhet az az eset, hogy az érintő körök sorozata bezáru; n körbő áó gyűrűt kapunk, ameyben az utosó érinti az esőt. Ebben az esetben a gyűrű eső körének minden oyan kört kiváaszthatunk, amey érinti az eredeti két kört. 7. ábra. Steiner poriszmája 1.2. Következmény. Az 1.1 következmény konfigurációjában a gyűrűt akotó körök középpontjai eipszist akotnak. Sőt, a gyűrűt akotó, páronként egymást érintő körök középpontjait összekötő szakaszok egy kört érintenek. 8. ábra. Steiner poriszmája és Ponceet tétee 12
2. A Ponceet téte 2.1. A Ponceet-téte szüetése Jean-Victor Ponceet 1788. január 7-én szüetett a franciaországi Metzben. Egyetemi tanumányai aatt Monge tanítványa vot, majd francia hadmérnök tábornokként, Napóeon oroszországi hadseregében szogát. 1812 teén a,,nagy armada veresége után orosz fogságba esett. A rabságban feeevenítette magában az egyetemi tanumányait, ovasmányait, Monge geometriai módszereit vizsgáta. Szeemi közegtő ezártan a geometria új terüeteit fedezte fe. Megakotta az ideáis pontok ietve a projektív transzformáció fogamát, és eméjében furcsa körtáncra indutak a poigonok. 1814 szeptemberében szabadut és visszatért Franciaországba. A fogságban fogant gondoatai 1822- ben jeentek meg,,értekezés az aakzatok projektív tuajdonságairó címme. Ebben a művében jeent meg a következő téte: 2.1. Téte (Ponceet tétee). Adottak az egymást nem érintő e és a körök, a az e besejében. Az e körön tetszőegesen váasztott A 0 pontbó induva megszerkeszthetjük az e kör A 1, A 2, A 3,... pontjait úgy, hogy A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3... egyenesek érintsék az a kört és bármey két, a sorban egymást követő egyenes küönbözzék egymástó. Eőforduhat, hogy bizonyos számú épésben visszajutunk a kezdőpontba, azaz A n = A 0. Ekkor az e kör bármey másik pontjábó induunk is ki, biztosan visszatérünk a kezdőpontba, mégpedig ugyanannyi épésben, mint eőzőeg (n). Megjegyzés: A téte tehát nem azt mondja ki, hogy mindig visszajutunk, hanem azt, hogy a visszatérés nem a kezdőpont és a épésszám megváasztásátó, hanem a két kör nagyságátó, egymáshoz viszonyított heyzetétő függ. Megjegyzés: Koncentrikus körök esetén a téte áítása triviáisan tejesü. Minden más esetben megehetősen nehéz a bizonyítás. Emékezzünk most újra az 1.4 feadatra. Ponceet eőbbi tétee aapján mondhatjuk, hogy ha az 1.4 feadat adataira tejesü Euer R 2 d 2 = 2Rr összefüggése, akkor végteen sok megodás van, ha nem tejesü, akkor nem étezik iyen háromszög. 9. ábra. Ponceet tétee n = 3 esetén 13
A heyzet ahhoz hasonó, mint amikor három szögbő akarunk háromszöget szerkeszteni. Csak akkor van megodás, ha a szögek összege 180, ekkor viszont végteen sok megodás van, sőt a háromszög egyik odaa tetszőegesen kiváasztható. Ehhez hasonóan itt, ha az e, a körök R, r sugarai és középpontjaik d távosága kieégíti az Euerösszefüggést, akkor az e kör bármey pontja váasztható egy e-be és a köré írt háromszög csúcsának. Ponceet viszont azt is vizsgáta, hogy miyen adatokra nem tejesü az Euer összefüggés, és igen érdekes eredményre jutott. Kiderüt ugyanis, hogy a szerkesztendő háromszögek nagyon szabáyos módon nem éteznek. Iyen megviágításban az Euer téte nem egyszerűen csak a háromszögrő és annak két nevezetes körérő, hanem egy körsor eemei között kígyózó poigon záródásáró is szó. A 10. ábrán rossz adatokbó próbátunk háromszöget szerkeszteni. Az e és a köröket a rossz adatoknak megfeeően vettük fe. Ezt követően fevettünk az e körön próbaként egy A pontot, majd ebbő érintőt húztunk az a körhöz, mey az e körbő kimetszette a B pontot. A Ponceet szerkesztési ejárásnak megfeeően a B-bő ismét érintőt húztunk a-hoz és kaptuk C-t. A CA egyenes áthatóan nem érinti már az a kört. Ez természetesen várható is vot. Az viszont már megepő, hogy újabb e-n evő pontokbó kiinduva, az ejárást többször megisméteve, az a-t nem érintő C i A i szakaszok mindegyike egy másik kört érint: c-t. Ráadásu a c kör az a és e körök körsorához 2 tartozik. Ezt Ponceet is észrevette és bizonyította is. 10. ábra.,,rossz adatokbó szerkesztett háromszögek 2 A körsorokró részetesebb eírás a függeékben ovasható 14
2.2. A Ponceet-téte eemi bizonyítása A téte küönböző nézőpontokbó vaó részetes eemzése után eérkezett az idő, hogy be is bizonyítsuk. Eőbb azonban ássunk néhány, a téte bizonyításának tárgyaását egyszerűbbé tevő, segédtétet és azok bizonyítását. 2.1. Lemma. Ha A és B rögzített pontok a síkban, akkor azon M pontok mértani heye, ameyekre αma 2 + βmb 2 = c (áandó), a következő: a) ha α + β = 0, akkor egy egyenes, mey merőeges AB-re; b) Ha α + β 0, akkor i) üres hamaz, vagy ii) egy pont, vagy iii) egy oyan kör, meynek középpontja az AB egyenesen van. Bizonyítás: a) α + β = 0 β = α MA 2 MB 2 = c α. Legyen M 0 az M pont AB-re eső vetüete, ekkor MA 2 = MM 2 0 + M 0 A 2 és MB 2 = MM 2 0 + M 0 B 2 és így c α = MA2 MB 2 = M 0 A 2 M 0 B 2 = (M 0 A M 0 B)(M 0 A + M 0 B). Következik, hogy az M 0 pont az M vetüete rögzített, így az M az M 0 -ban az AB-re emet merőegesen van. Mive minden iyen pont tejesíti a fetétet, a keresett mértani hey az egész egyenes. b) Ha α, β > 0, akkor az (AB)-n fevesszük azt a C pontot, ameyre CA = β, ekkor CB α CA = β α AB és CB = AB. α+β α+β Az M AB háromszögben az M C egyenesre akamazzuk a Stewart tétet: vagyis MA 2 CB + MB 2 CA MC 2 AB = CB CA AB, αma 2 + βmb 2 MC 2 = α + β MC 2 = αβ (α + β) 2 AB2 c α + β αβ (α + β) 2 AB2 =: x. Ha x > 0, akkor M egy C középpontú, x sugarú kört ír e; ha x = 0, a mértani hey a C pont; ha pedig x < 0 a mértani hey üres hamaz. Megjegyzés: Ha α < 0, a B és M szerepét fecseréjük. 2.2. Lemma. Legyen C(O 1, R 1 ) és C(O 2, R 2 ) két tetszőeges kör és d egy egyenes, mey metszi e köröket az A, D ietve B, C pontokban. Ha X az A, B, C, D pontok vaameyike, jeöjük e X -sze az X pontban ahhoz a körhöz húzott érintőt, ameyen X rajta van. Ha e C e D = {M}, e C e A = {N}, e B e A = {P } és e D e B = {Q}, akkor az MNP Q négyszög köré írható kör középpontja, az O 1 és O 2 pontok koineárisak. 15
11. ábra. A 2.2 emma Bizonyítás: A P O 2 B és P O 1 A derékszögű háromszögekbő P O 2 2 = P B 2 + R 2 2, P O 2 1 = P A 2 + R 2 1 (1) A P AB háromszögben a szinusztétet akamazva kapjuk, hogy tehát az (1) szerint P A P B = sin(180 v) sin u = sin v sin u = α P A2 = α 2 P B 2, P O 2 1 α 2 P O 2 2 = R 2 1 α 2 R 2 2. Hasonóan, MO 2 2 = MC 2 + R 2 2, MO 2 1 = MD 2 + R 2 1, így MD MC = sin(180 v) sin u Ugyaniyen meggondoások aapján = sin v sin u = α MD2 = α 2 MC 2, MO 2 1 α 2 MO 2 2 = R 2 1 α 2 R 2 2. NO 2 1 α 2 NO 2 2 = QO 2 1 α 2 QO 2 2 = P O 2 1 α 2 P O 2 2 = MO 2 1 α 2 MO 2 2 = R 2 1 α 2 R 2 2, így a 2.1 emma aapján az M, N, P, Q pontok egy oyan körön heyezkednek e, ameynek középpontja az O 1 O 2 egyenesen van. 16
Megjegyzés: A bizonyításbó kitűnik, hogy a tuajdonság egy módosított vátozata is igaz: Ha az MNP Q négyszög a C(O 3, R 3 ) körbe írható és a d egyenes az A, B, C ietve D pontokban metszi az NP, P Q, MN és MQ egyeneseket, akkor az O 3 pont rajta van az MQ és NP -t a D ietve A-ban és az MN ietve P Q-t a C és B-ben érintő két kör középpontja áta meghatározott egyenesen. 2.3. Lemma. Legyen a C(O 2, R 2 ) kör a C(O 1, R 1 ) kör besejében. Az A 0 C(O 1, R 1 ) pontbó kiinduva megszerkesztjük az A 0,..., A n,... pontsorozatot úgy, hogy A k A k+1 érinti a C(O 2, R 2 ) kört és A k C(O 1, R 1 ) k N. Hasonóan megszerkesztjük a B 0,..., B n,... sorozatot is. Igazojuk, hogy étezik egy oyan kör, ameynek középpontja az O 1 O 2 egyenesen van és amey érinti az összes A k B k egyenest. 12. ábra. A 2.3 emma Bizonyítás: A 12. ábra szerint jeöjük C 1, C 2, D 1, D 2 -ve az érintési pontokat, vaamint egyenek C 1 D 1 A 0 B 0 = {M}, C 1 D 1 A 1 B 1 = {N}, C 2 D 2 A 1 B 1 = {N }, C 2 D 2 A 2 B 2 = {P }. Tekintsük azt a C(O 3, R 3 ) kört, amey A 0 B 0 -t M-ben, A 1 B 1 -t pedig N-ben érinti. A 2.2 emmát akamazva a C(O 3, R 3 ), C(O 2, R 2 ) körökre és az M D 1 C 1 N egyenesre kapjuk, hogy O 3 O 1 O 2. Hasonóan, az A 1 B 1 -t N -ben és az A 2 B 2 -t P -ben érintő C(O 4, R 4 ) kör O 4 középpontja is az O 1 O 2 egyenesen van. ( ) 17
B 1 ND 1 -ben: A 1 NC 1 -ben: Hasonó meggondoások miatt B 1 N = B 1D 1 sin u sin v NA 1 sin u A 1 C 1 = = sin u sin(180 v) sin v } B 1N NA 1 = B 1D 1 A 1 C 1. (1) De B 1 D 1 B 1 D 2 A 1 C 1 A 1 C 2 N A 1 N B 1 = A 1C 2 B 1 D 2. (2) } (1),(2) = B 1N NA 1 = B 1N N A 1 N = N, tehát a C(O 3, R 3 ) és C(O 4, R 4 ) körök N-ben érintik az A 1 B 1 egyenest, és így középpontjuk az N-ben az A 1 B 1 -re emet merőegesen van. A ( ) szerint mindkét középpont az O 1 O 2 egyenesen is rajta van, tehát mindkét középpont közös pontja két nem egybeeső egyenesnek, és így a két középpont egybeesik. Mive az N közös pontja a két körnek és a körök középpontjai egybeesnek, ezért a két kör tejes egészében egybeesik, vagyis az a kör, amey A 0 B 0 -t M-ben és az A 1 B 1 -t N-ben érinti, érinti az A 2 B 2 -t is. Az eőbbi gondoatmenetet megisméteve az A 1 B 1, A 2 B 2 és A 3 B 3 egyenesekre kapjuk, hogy C(O 3, R 3 ) érinti A 3 B 3 -t is; indukcióva az is beátható, hogy C(O 3, R 3 ) az összes A k B k egyenest is érinti. 2.2. Téte (Ponceet-téte). Az eőbbi tuajdonság jeöéseit hasznáva, ha az A 0,..., A n,... sorozat periodikus, azaz vaamiyen k 0-ra A 0 = A k, akkor tetszőeges B 0 C(O 1, R 1 ) pontbó kiinduva a B 0,..., B n,... sorozat is periodikus, és B k = B 0. Bizonyítás: Tekintsük a 2.3 emmában megszerkesztett C(O 3, R 3 ) kört, amey érinti az összes A n B n egyenest. A 0 B 0 és A k B k is érinti a C(O 3, R 3 ) kört, és mive A k = A 0, az A 0 B 0 és A 0 B k is érinti a C(O 3, R 3 ) kört. Téteezzük fe, hogy B 0 (A 0 A 1 ) a kisebb köríven van. Ekkor B 1 az (A 1 A 2 ) körívhez tartozik és átaában B k az (A k A k+1 )-hez, és így (mive A k = A 0 és A k+1 = A 1 ) a B k pont is az (A 0 A 1 ) köríven van. Az A 0 A 1 viszont metszi a C(O 3, R 3 ) kört és egy szeő egyik odaán egy adott pontbó nem húzható két érintő egy körhöz, tehát B 0 = B k. 18
2.3. Ponceet átaános tétee Most kijeentjük a tétet átaánosabb esetben, és az eőbbi nehézkes eemi bizonyítás után adunk egy újabb, igen érdekes bizonyítást. 2.3. Téte (Ponceet átaános tétee). Legyen e egy nem metsző körsor egyik köre, az a 1, a 2,..., a n irányított körök pedig ugyanennek a körsornak az e besejében taáható, nem fetétenü küönböző tagjai. Az e körön fevett A 0 pontbó kiinduva megszerkesztjük ugyanezen a körön az A 1, A 2,..., A n pontokat úgy, hogy az A 0 A 1, A 1 A 2,..., A n 1 A n egyenesek rendre érintsék az a 1, a 2,..., a n köröket, az irányításnak 3 megfeeően. Eőforduhat, hogy a szerkesztés végén éppen visszajutunk, azaz A n = A 0. Ebben az esetben az e kör bármeyik pontjábó is induunk ki, az n-edik épés után vissza fogunk jutni a kezdőpontba tetszőeges sorrendben húzva az érintőket a körökhöz. A bizonyítás eőtt szükségünk van néhány absztrakt agebrai eszközre; eőbb vezessük be ezeket. Tekintsük az e kör pontjainak hamazán azt a eképezést, amey az X e ponthoz hozzárendei az X-bő az a (irányított) körhöz húzott, az irányításnak megfeeő, e-ve vaó második metszéspontját. a) Ha az a kör megegyezik e-ve, akkor ez a eképezés az identitás, azaz a heyben hagyás. b) Ha az a kör koncentrikus e-ve, de nem egyezik meg vee, akkor a vizsgát transzformáció egy egyszerű eforgatás. c) Más esetben a forgatáshoz hasonó hozzárendeést kapunk, meyet ferde eforgatásnak nevezünk. d) Két - azonos pont körüi - eforgatás kompozíciójaként újabb eforgatást kapunk, meynek szöge az eredeti forgási szögek összege. A fent eírtak úgy foghatók fe, mintha az e körbő és a körsor e besejében fekvő irányított köreibő áó P hamazon enne egy műveet, meyre: azaz (a b) c = e a b = (c ) 1 Ponceet természetesen szót sem ejtett iyen absztrakt agebrai fogamakró, de ényegében megmutatta, hogy a műveet asszociatív és kommutatív. Tehát a P hamaz a műveetre nézve kommutatív, azaz Abe csoportot akot, aho e egységeem, és egy irányított kör inverze ugyanaz a kör eentétes irányítássa. A fenti eszközök birtokában ehetőségünk van a fent kijeentett a korábbiakná jóva átaánosabb téte egyszerű bizonyítására. 3 Mive egy küső pontbó egy körhöz két érintő húzható, a szerkesztési bonyodamak ekerüése végett, rögzítsünk a körsor körein egymástó függetenü egy-egy forgatási irányt. 19
Bizonyítás: Az e körvona a 1, a 2,..., a n körökre vonatkozó ferde eforgatásainak kompozíciója a körsor b = a 1 a 2... a n irányított köre áta meghatározott ferde eforgatássa egyezik meg. Ez a transzformáció az A 0 pontot önmagába képezi, tehát a b irányított körhöz A 0 -bó húzott érintő nem metszheti az e kört, hanem azt is érinti. Ez azt jeenti, hogy b = e, hiszen a körsor többi eem e besejében van és nem érinti e-t. Az e áta meghatározott ferde forgatás az identitás, tehát az A 0 pont heyett bármeyik másik pontbó induunk is ki, visszajutunk hozzá. A csoport kommutativitása miatt az se számít, hogy miyen sorrendben húzzuk az érintőket a megadott körökhöz. 20
3. A matematikai inga és a Ponceet-téte 3.1. A matematikai inga páyája 13. ábra. A matematikai inga A matematikai inga oyan ideaizát inga, amey egy hosszúságú súytaan fonábó és egy rá erősített m tömegű tömegpontbó á. Jeöjük a fona függőegesse bezár szögét ϕ-ve ( < ϕ < ). Ekkor Newton második törvénye 4 aapján, fehasznáva, hogy kapjuk, hogy vagyis az inga mozgásegyenete: F = m g sinϕ és a = ϕ, m ϕ = m g sin ϕ; ϕ + g sin ϕ = 0, aho ϕ a szögkitérést, míg ϕ a szöggyorsuást jeöi. A fenti egyenet Mathieu 5 -egyenetként is ismert. A továbbiakban vizsgájuk a matematikai inga páyáját. Az x 1 := ϕ és x 2 := ϕ jeöéseket bevezetve, a fenti differenciáegyenet átírható az { x1 = x 2 x 2 = g sin x 1 autonóm differenciáegyenet-rendszerré, aho x 2 = ϕ a szögsebességet jeöi. Tudjuk, hogy autonóm differenciáegyenet-rendszernek három fée páyája ehet: egy pont (egyensúyi áapot), egyszerű zárt görbe (a megodás periodikus) vagy egy egyenesse hoomorf páya (az egyenesnek van a páyára történő bijekciója). Ezeket az eseteket fogjuk megvizsgáni. 4 F = m a, aho F az m gyorsítandó tömegre kifejtett erővektor és a a gyorsuásvektor 5 Émie Léonard Mathieu (1835. május 15., Metz 1890. október 19., Nancy) francia matematikus 21
Legyen ϕ(t 0 ) = ϕ 0 = 0 a kezdeti szögkitérés, vaamint ϕ 0 a kezdeti szögsebesség a t 0 pianatban. Szorozzuk be az inga ϕ + g sin ϕ = 0 egyenetét ϕ 0-va, ekkor azt kapjuk, hogy ϕ ϕ + g ϕ sin ϕ = 0 d [ 1 dt 2 ( ϕ)2 + g ] (1 cos ϕ) = 0 Jeöje E(ϕ, ϕ) := 1 2 ( ϕ)2 + g (1 cos ϕ). Ekkor az energiamegmaradás evébő következik, hogy E(ϕ, ϕ) a mozgások mentén áandó, tehát 1 2 ( ϕ)2 + g (1 cos ϕ) = c, c R. (2) A) Ha c = 0, akkor 1 2 ( ϕ)2 + g (1 cos ϕ) = 0 és mive a ba odaon evő összeg mindkét tagja pozitív, következik, hogy ϕ = 0 és cos ϕ = 1, vagyis ϕ = 2nπ, n Z. Ebben az esetben az inga egyensúyi heyzetben van. B) Ha c 0, akkor t 0 = 0 esetén ϕ 0 = 0, így az 1( ϕ 2 0) 2 + g (1 1) = c egyenetbő kapjuk, hogy c = 1 2 ( ϕ 0) 2 Téteezzük fe, hogy ϕ 0 = 0. Ekkor a (2) egyenet g (1 cos ϕ) = 1( ϕ 2 0) 2 aakú esz. A záróje etüntetése után kapjuk, hogy 1 2g ( ϕ 0) 2 = cos ϕ (3) ) a) Ha 1 ( ϕ 2g 0) 2 < 1 akkor a (3) egyenetbő ϕ = arccos (1 ( ϕ 2g 0) 2. b) Ha c) Ha 1 ( ϕ 2g 0) 2 = 1, akkor két eset ehetséges: i) ( ϕ 2g 0) 2 = 0 ϕ 0 = 0 Visszaheyettesítve a (3)-ba cos ϕ = 1, tehát ϕ = 2nπ, n Z ii) ( ϕ 2g 0) 2 = 2 ( ϕ 0 ) 2 = 4g ϕ 0 = ±2 g (kritikus sebesség) Visszaheyettesítve a (3)-ba cos ϕ = 1, tehát ϕ = (2n + 1)π, n Z 1 ( ϕ 2g 0) 2 > 1, akkor az inga körbe forog. 22
3.2. Az esőfajú eiptikus integrá és a matematika inga periódusának kapcsoata Ismét az inga ϕ + g sin ϕ = 0 mozgásegyenetébő induunk ki, meyet integráva a ( ) 2 dϕ = 2 g dt (cos ϕ cos ϕ 0) egyenethez jutunk, ahonnan kapjuk, hogy dϕ dt = innen pedig a következő összefüggés adódik: 2g cos ϕ cos ϕ0 dϕ cos ϕ cos ϕ0 = 2g dt. A periódus meghatározásához a fenti kifejezést ke integráni a tejes körön, ami úgy is kiszámítható, hogy csak a negyed körön integráunk (0 ϕ 0 ), majd a kapott értéket szorozzuk néggye. Tehát T 4 = 2g ϕ0 0 dϕ cos ϕ cos ϕ0 Fehasznáva, hogy cos ϕ = 1 2 sin 2 ϕ, a ba odaon a nevezőben a gyök aatt 2 [ cos ϕ cos ϕ 0 = 2 sin 2 ϕ 0 2 ϕ ] sin2, 2 ezt beheyettesítve T 4 = 1 ϕ0 2 g 0 Innen kifejezve T -t kapjuk, hogy T = 2 g ϕ0 0 dϕ sin 2 ϕ 0 2 sin2 ϕ 2 dϕ sin 2 ϕ 0 2 sin2 ϕ 2 Az esőfajú eiptikus integráokka vaó kapcsoatteremtés érdekében a következő heyettesítést végezzük:. Ekkor z = sin2 ϕ 2 sin 2 ϕ 0 2 T = 4 g ϕ0 0 dz = cos ϕ 2 2 sin ϕ dϕ 0 2 2 cos ϕ 2 sin ϕ 0 2 23 cos ϕ 2 1 sin2 ϕ 2 sin 2 ϕ 0 2 dϕ
A heyettesítés közben fehasznáva, hogy cos 2 ϕ 2 = 1 ϕ ( sin2 2 = 1 z sin ϕ ) 2 0, 2 majd bevezetve a ρ := sin ϕ 0 jeöést kapjuk, hogy 2 1 dz T = 4 g (1 z2 )(1 ρ 2 z 2 ). Tehát aho esőfajú eiptikus integrá. A 0 ( T = 4 F (1, ρ) = 4 g g F 1, sin ϕ ) 0, 2 F (x, k) = T = 4 g x 0 1 0 dt (1 t2 )(1 k 2 t 2 ) dz (1 z2 )(1 ρ 2 z 2 ) összefüggés a θ = arcsin z heyettesítésse ismertebb aakra hozható, hiszen ekkor dθ = 1 1 z 2 dz és z = sin θ, így a megfeeő heyettesítéseket evégezve, kapjuk, hogy π 2 dθ T = 4 g 1 ρ2 sin 2 θ = 4 ( π ) g E 2, ρ = 4 aho 0 E(φ, k) = φ esőfajú eiptikus integrá Legendre 6 -fée aakja. 0 dt 1 k2 sin 2 t ( π g E 2, sin ϕ 0 2 ), 6 Adrien-Marie Legendre (1752. szeptember 18., Párizs - 1833. január 10., Párizs) francia matematikus. Statisztikáva, számeméette, absztrakt agebráva és matematikai anaízisse fogakozott. 24
3.3. A Ponceet poigonok A bevezetőben már emítettük, hogy a dogozathoz kapcsoódik egy Matabban írt program, mey a matematikai inga mozgását fehasznáva közeítő megodást ad tetszőeges n esetén a Ponceet-tétere, azaz ha beovassuk, hogy hány épésben (n) szeretnénk, hogy záródjon a Ponceet poigon, akkor a program kirajzoja a két kört és a köztük cikázó zárt törött vona határota n odaú, akár önátmetsző sokszöget. Lássuk a megodást! Az egyszerűség kedvéért váasszuk a küső nagy kört az origó középpontú egységnyi sugarú körnek. Tehát R = 1. A kérdés már csak az, hogy megadott n esetén ho egyen a másik kör középpontja, és mekkora egyen annak sugara ahhoz, hogy megkapjuk a kívánt n odaú sokszöget. Az ötet az, hogy dogozzunk az origóban fefüggesztett, egységnyi hosszúságú matematikai ingáva. Ennek a egaább egyszeri körbeforduásáva nyert pontok az origó középpontú, egységnyi sugarú körön esznek. Ezekhez a pontokhoz természetesen az ingaegyenet numerikus megodásáva juthatunk, amit a Matabba eég könnyen végre is hajthatunk. Ha n épésben szeretnénk a záródást, akkor szükségünk van n darab pontra a küső körrő, a mi esetünkben az inga megodását akotó pontok közü. A kérdés az, hogy mey pontokat váasszuk ahhoz, hogy a kiváasztott pontok áta meghatározott sokszögbe kört tudjunk írni. Ehhez meghatározzuk az inga periódusát. Az így nyert T értéket eosztva n-ne, megkapjuk azt az időtartamot, amennyi idő aatt az inga megteszi a tejes kör n-ed részét (t := T n ). Ezt ismerve az A 1A 2... A n sorozat A i -edik pontjának azt a pontot váasztjuk, aho az inga a t i-edik időpianatban van. Az így kiváasztott pontok határozzák meg a Ponceet poigont. A pontok koordinátái az inga numerikus megodásábó a szögkitérés aapján könnyen meghatározhatók, meyeket ismerve megadhatók az n-szög odaainak egyenetei is. Már csak a beső, a poigonba írt kör meghatározása maradt hátra. Mive tudjuk, hogy a sokszögbe írt kör középpontja a sokszög szögfeezőinek a metszéspontja, a szögfeezők egyeneteinek meghatározása után a középpont koordinátái is megkaphatók. Ezek ismeretében a középpont és vaamey A i A j oda távosága megadja a kicsi kör sugarát. A gondoatmenetbő kiderüt, hogy minden csak az ingaegyenet miné pontosabb megodásán múik, meynek csak a számítógép sebessége szab határt. Végü ássunk két, a program segítségéve rajzot ábrát: 14. ábra. Ponceet tétee konvex és önátmetsző ötszögre 25
A. Függeék. Cayey-tétee körökre Adottak a k és R ietve r sugarú körök a K és L mátrixok áta. A középpontjaik távosága d. A Cayey-tétenek megfeeően képezzük a t K + L mátrixot. E mátrix determinánsának négyzetgyökét a t vátozó szerint sorbafejtve a következőt kapjuk: (1 + t)[r2 + (R 2 + r 2 d 2 )t + R 2 t 2 ] = = r + 1 (R 2 +2r 2 d 2 ) t + 2 r ( + + 1 2 ( 1 2 ) 2R 2 +r 2 d 2 1 (R 2 +2r 2 d 2 ) 2 t 2 + r 8 r 3 ) R 2 1 (R 2 +2r 2 d 2 )(2R 2 +r 2 d 2 ) + 1 (R 2 +2r 2 d 2 ) 3 t 3 + r 4 r 3 16 r 5 ( 1 2R 2 (R 2 +2r 2 d 2 ) (2R 2 +r 2 d 2 ) 2 + 3 8 r 3 16 ) 5 (R 2 +2r 2 d 2 ) 4 t 4 +... 128 r 7 (R 2 +2r 2 d 2 ) 2 (2R 2 +r 2 d 2 ) r 5 A Cayey-téte aapján a Ponceet szerkesztésse rajzot poigon n épésben záródik, ha tejesünek a következő összefüggések. Ezen fetéteek tejesüése meett végteen sok oyan n-szög írható a k körbe, meyek odaai egyidejűeg az kört érintik. n = 3 esetén: C = 0 4r 2 R 2 R 4 + 2R 2 d 2 d 4 8r 3 = 0 ( R 2 + 2rR + d 2 )(R 2 + 2rR d 2 ) = 0 n = 4 esetén: D = 0 2r2 R 4 2r 2 d 4 R 6 + 3R 4 d 2 3R 2 d 4 + d 6 16r 5 = 0 (R d)(r + d)( R 4 + 2R 2 d 2 + 2r 2 R 2 d 4 + 2r 2 d 2 ) = 0 n = 5 esetén: C D D E = 0 16r 4 d 4 + 24r 2 R 2 d 4 8r 2 R 6 16r 2 d 6 + +5R 8 + 5d 8 20R 6 d 2 + 30R 4 d 4 20R 2 d 6 = 0 n = 6 esetén: D E E F = 0 70R 4 d 6 + 48r 4 R 2 d 4 + 32r 6 d 4 48r 4 d 6 10r 2 R 8 + 30r 2 d 8 + +35R 2 d 8 35R 8 d 2 + 70R 6 d 4 + 60r 2 R 4 d 4 80r 2 R 2 d 6 + 7R 10 7d 10 = 0 26
n = 7 esetén: C D E D E F E F G = 0 128r 8 d 4 + 192r 6 R 2 d 4 + 240r 4 R 4 d 4 480r 4 R 2 d 6 256r 6 d 6 + 21R 1 2+ +21d 1 2 + 240r 4 d 8 560r 2 R 4 d 6 + 420r 2 R 2 d 8 + 280r 2 R 6 d 4 28r 2 R 10 112r 2 d 10 420R 6 d 6 + 315R 4 d 8 126R 10 d 2 + 315R 8 d 4 126R 2 d 10 = 0 n = 8 esetén: D E F E F G F G H = 0 1680r 2 R 6 d 6 + 1890r 2 R 4 d 8 + 630r 2 R 8 d 4 1008r 2 R 2 d 10 33d 14 + 33R 14 + +1155R 6 d 8 231R 12 d 2 + 693R 10 d 4 693R 4 d 10 1155R 8 d 6 + 231R 2 d 12 560r 4 d 10 + 560R 6 r 4 d 4 + 1680R 2 r 4 d 8 1680R 4 r 4 d 6 640r 8 d 6 + 256r 10 d 4 + +800r 6 d 8 42r 2 R 12 + 210r 2 d 12 + 480R 4 r 6 d 4 1280R 2 r 6 d 6 + 384R 2 r 8 d 4 = 0 27
B. Függeék. Körsorok B.1. Értemezés. Az O a (u a, v a ) középpontú R a sugarú a kör egyenete: (x u a ) 2 + (y v a ) 2 = R 2 a. Vigyünk mindent ba odara, és az így megjeenő poinomot, mint x és y függvényét, jeöjük a(x, y)-na. Tehát a(x, y) := (x u a ) 2 + (y v a ) 2 R 2 a. Ha a P (ξ, η) pont ieszkedik a körre, akkor a(ξ, η) = 0, küönben nem. Mive (ξ u a ) 2 + (η v a ) 2 az O a P szakasz hosszának négyzetét adja meg, ezért ha a(ξ, η) értéke negatív, az azt jeenti, hogy O a P 2 < R 2 a, azaz P az a kör besejében heyezkedik e. Ha pedig a(ξ, η) értéke pozitív, akkor P a körön kívü van, és a(ξ, η) a P -bő a körhöz húzott érintő hosszának négyzetét adja meg. Sőt, mind a pozitív, mind a negatív esetben az is igaz, hogy a P -n át a körhöz húzott tetszőeges szeőnek a körre vett R, Q metszéspontjaira a P R P Q érték áandó, azaz függeten a szeő megváasztásátó. Ezt az áandó értéket a P pont a körre vonatkozó hatványának nevezzük, és értéke egyenő O a P 2 R 2 a-te, tehát a(ξ, η) értékéve. 15. ábra. A P Q P R érték függeten a szeő megváasztásátó A fentiek aapján azt mondjuk, hogy az a(ξ, η) = t egyenetet azok a pontok eégítik ki, ameyeknek az a körre vonatkozó hatványa t. Legyen az a-tó küönböző b kör, meynek egyenete: b(x, y) = (x u b ) 2 + (y v b ) 2 R 2 b = 0. 28
Keressük azokat a pontokat, meyekbő az a-hoz és a b-hez húzott érintő szakaszok hosszának aránya egy adott érték. Átaánosabban, egyen c azon pontok mértani heye a síkban, meyeknek az a körre vonatkozó hatványa úgy arányik a b körre vonatkozó hatványhoz, mint α a β-hoz. Ekkor a c hamaz egyenete: βa(x, y) αb(x, y) = 0. (4) Az így eőáított aakzat is kör (eseteg pont) vagy α = β esetén egy egyenes, hiszen a (4) oyan kétvátozós egyenet, meyben nem szerepe xy-os tag, és a másodfokú tagok együtthatói megegyeznek. B.2. Értemezés. A βa(x, y) αb(x, y) = 0 aakú görbék hamazát az a és b generáta körsornak nevezzük. Megjegyzés: A körsort bármeyik két tagja meghatározza, mive bármeyik két eemébő megkapható az összes többi eem egyeneteik ineáris kombinációiva. Megjegyzés: Ha a és b egy körsor két küönböző köre, c pedig a körsor tetszőeges eeme, akkor c küönböző pontjainak az a-ra és b-re vonatkozó hatványainak aránya megegyezik. 29
Hivatkozások [1] Darboux, Gaston: Principes de Géométrie Anaityque, Gauthier-Viars et Cie Éditeurs, Paris, 1917. [2] Hajós György: Bevezetés a geometriába, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1999. [3] Herr, Urike: Über das Theorem von Ponceet, Staatsexamensarbeit, Johannes Guttemberg Universität, Meinz, 2000. [4] Hraskó András: Geometria téteek a harmadrendű görbe csoporttuajdonságáva összefüggésben, PhD értekezés, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest, 2005 [5] Lebesgue, Henri: Les Coniques, Gauthier-Viars Imprimeur-Édituer, Paris, 1942. [6] Pogáts Ferenc: Vektorok, koordinátageometria, trigonometria, Typotex, Budapest, 2005. [7] Ponceet, Jean-Victoir: Traité des propriétés projectives des figures, Párizs, 1822. [8] Reiman István: Geometria és határterüetei, Szaay Könyvkiadó és Kereskedőház, Kisújszáás, 1999. [9] Sain Márton: Nincs kiráyi út, Gondoat Kiadó, Budapest, 1986. [10] Sain Márton: Matematikatörténeti ABC, Tankönyvkiadó, Budapest, 1977. [11] Stoyan Gisbert: Matab, Typotex, Budapest, 2008 30