MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! ) Az ábrán egy intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ; b) Az az függvény képét eltoljuk az y tengely mentén két egységgel fölfelé, így függvény képét kapjuk. ) Határozza meg az. feladatban megadott, értelmezett függvény értékkészletét! ; Az értékkészlet a felvett függvényértékek halmaza. ( ) 6 ) Ábrázolja az, f ; 0 0 5 4 függvényt a f intervallumon ( pont) ;6 vagy (pont) intervallumon!
4) A ;6 ] [ -on értelmezett grafikonjával adtuk meg. Határozza meg az megoldását! Adja meg f f függvény hozzárendelési szabályát a legnagyobb értékét! f 0egyenlőtlenség 6 f legnagyobb értéke: Összesen: pont 5) Az f és g függvényeket a valós számok halmazán értelmezzük a f ; következő képletek szerint: a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben az f függvényt! (Az ábrán szerepeljen a grafikonnak legalább a intervallumhoz tartozó része.) (4 pont) b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! c) Oldja meg az g, 5 egyenlőtlenséget! (6 pont) a) f ábrázolása (4 pont) b) c) 0
Az egyenlőség teljesül, ha vagy 0. A megoldás: A feladat grafikusan is megoldható. Összesen: pont 0 6) Az f függvényt a 0 ; 6 intervallumon a grafikonjával értelmeztük. Mekkora f legkisebb, illetve legnagyobb értéke? Milyen értékekhez tartoznak ezek a szélsőértékek? (4 pont) f legkisebb értéke. Ez az értékhez tartozik. f legnagyobb értéke 7. Ez az 6 értékhez tartozik. Összesen: 4 pont 7) Adott a következő egyenletrendszer: y lg lg y a) Ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek koordinátái kielégítik a () egyenletet! b) Milyen, illetve y valós számokra értelmezhető mindkét egyenlet? c) Oldja meg az egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! ( pont) P( ; y) d) Jelölje meg az egyenletrendszer megoldáshalmazát az a) kérdéshez használt derékszögű koordináta-rendszerben! a)
b) Az () egyenlet miatt y és c) d) A y lg lg lg lg A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt 4 0 0 5 4 5 y és és y 4 A másodfokú egyenletrendszer megoldásai: 5 5 ; 4 illetve ; 4 amiből a második számpár nem tartozik az eredeti egyenlet értelmezési tartományába, az első számpár kielégíti az eredeti egyenletrendszert. 5 5 ; 4 pont bejelölése. 8) Adja meg az metszéspontjának koordinátáit! 9) A metszéspont: Összesen: 7 pont 5 y egyenletű egyenes és az y tengely 0; a) Ábrázolja a ; 4-on értelmezett,, 5 0, 75 hozzárendeléssel megadott függvényt! b) Állapítsa meg a fenti függvény minimumának helyét és értékét! c) Oldja meg a valós számok halmazán a egyenletet! a) Ábrázolás b) A minimum helye: 5, Értéke: 0,75 c) Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve: 4 4 Rendezve 0 Gyökei: illetve (8 pont)
De nem megoldás (nem teszi igazzá az eredeti egyenletet) Az esetén mindkét oldal értéke 7, ezért ez megfelelő valós gyök. Összesen: pont 0) A valós számok halmazán értelmezett függvénynek minimuma vagy maimuma van? Adja meg a szélsőérték helyét és értékét! ( pont) Maimuma van, szélsőérték helye: ; értéke: 4. 4 Összesen: pont ) Adjon meg egy olyan zárt intervallumot, ahol a grafikonjával megadott alábbi függvény csökkenő! Például: 0; vagy ; 8 ) Adott az :, f 0 f függvény. Határozza meg az értelmezési tartománynak azt az elemét, amelyhez tartozó függvényérték 4. 6 ) Adja meg a értékkészletét! ; intervallumon értelmezett f függvény ( pont) A függvény legkisebb értéke az, az adott intervallum végpontjaiban a függvény értéke 5, illetve 0, a függvény értékkészlete az ; 0 intervallum. Összesen: pont
4) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett az 5 másodfokú függvény zérushelyeit! Számítsa ki a függvény helyettesítési értékét az, helyen! ( pont) Zérushelyek: 0 és 5. A helyettesítési érték 5) Mennyi az 4, 56 f 0 veszi fel ezt az értéket? 6). Összesen: pont függvény legnagyobb értéke, és hol A legnagyobb érték: 0. Ezt az 0 helyen veszi fel. Összesen: pont a) Fogalmazza meg, hogy az grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az, függvény grafikonjából! Ábrázolja az f függvényt f :, f 0 0 6; 6 a intervallumon! A 4; B 54 ; f :, f függvény (5 pont) b) Írja fel az és pontokon áthaladó egyenes egyenletét! Mely pontokban metszi az AB egyenes az f függvény grafikonját? (Válaszát számítással indokolja!) (7 pont) a) Ha az f0 ; 0 grafikonját előbb a majd a vektorral eltoljuk, az f függvény grafikonját kapjuk. Helyes grafikon. ( pont) b) Az AB egyenes egyenlete: ( pont) Az egyik közös pont: 0; Az egyik közös pont: y 7 A 4; B ; 7) Adja meg a metszéspontjának koordinátáit!, Összesen: pont y 8 egyenletű egyenes és az y tengely 09 ; 8) A valós számok halmazán értelmezett f másodfokú függvény grafikonját
úgy kaptuk, hogy a v ; 4, 5 vektorral eltoltuk. g : g( ) függvény grafikonját a a) Adja meg az f függvény hozzárendelési utasítását képlettel! ( pont) b) Határozza meg f zérushelyeit! (4 pont) c) Ábrázolja f grafikonját a [; 6] intervallumon! (4 pont) Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenlőtlenséget! d) 5 a) A függvény hozzárendelési szabálya: f, 4 5 (6 pont) ( pont)
b) A 0,5 4,5 0 egyenletet kell megoldani. c) 0,5 4,5 0 5 d) Átrendezve az egyenlőtlenséget, éppen az 0 ; 0; ; ; ; 5. ennek az egész megoldásai: A feladat megoldható grafikusan is. 9) A valós számok halmazán értelmezett függvényt transzformáltuk. Az alábbi ábra az így kapott f függvény grafikonjának egy részletét mutatja. Adja meg f hozzárendelési utasítását képlettel! ( pont) A hozzárendelési utasítás: 5 ( pont) A hozzárendelési utasítás megadható a függvény két részre bontásával is. (4 pont) f alakhoz jutunk. ( pont) 0) Legyen f a valós számok halmazán értelmezett függvény, f sin. Mennyi az f függvény helyettesítési értéke, ha Írja le a számolás menetét! f sin sin 6? ( pont) Összesen: 7 pont ( pont) Összesen: pont
, log ) Az melyikkel azonos? A: B: C: D:, log, log 8, log, log A helyes válasz betűjele: B függvény az alább megadott függvények közül ) a) Rajzolja meg derékszögű koordinátarendszerben a ; 6 intervallumon értelmezett, hozzárendelésű függvény grafikonját! (4 pont) b) Állapítsa meg a függvény értékkészletét, és adja meg az összes zérushelyét! ( pont) c) Döntse el, hogy a pont rajta van-e a függvény grafikonján! Válaszát számítással indokolja! d) Töltse ki az alábbi táblázatot, és adja meg a függvényértékek (a hét szám) mediánját! ( pont) a) P,;,58 (4 pont) b) Az értékkészlet az ; intervallum, a függvény zérushelye az 5 c) P nincs a grafikonon, mert pl. d),,8-0,5 0,7,0 4 5,5 Sorba rendezés: 0,5; 0,5; ; ;,7;,98;. A medián. 0,5,7,98-0,5 Összesen: pont
) Milyen valós számokat jelöl az a, ha tudjuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett a függvény szigorúan monoton növekvő? a 4) Adja meg képlettel egy olyan, a valós számok halmazán értelmezett függvény hozzárendelési utasítását, amelynek (abszolút) maimuma van! A megadott függvénynek állapítsa meg a maimumhelyét is! ( pont) f : Például: Abszolút maimuma van helyen. Összesen: pont 5) A következő két függvény mindegyikét a valós számok halmazán értelmezzük: ;. Adja meg mindkét függvény értékkészletét! f sin g sin f értékkészlete: ; g értékkészlete: R f Rg ; 6) Az ábrán a valós számok halmazán értelmezett függvény grafikonjának egy részlete látható. Adja meg a és b értékét! f a b a b Összesen: pont Összesen: pont
7) István az log 0 függvény grafikonját akarta felvázolni, de ez nem sikerült neki, több hibát is elkövetett (a hibás vázlat látható a mellékelt ábrán). Döntse el, hogy melyik igaz az alábbi állítások közül! a) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény szigorúan monoton csökkenő. b) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény - höz -t rendel. c) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény zérushelye. b). 8) Adott a valós számok halmazán értelmezett Adja meg az f függvény minimumának helyét és értékét! A minimum helye: - A minimum értéke: 4 f 4 függvény. Összesen: 9) Az alább felsorolt, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket közös koordinátarendszerben ábrázoljuk. A három függvény közül kettőnek a grafikonja megegyezik, a harmadik eltér tőlük. Melyik függvény grafikonja tér el a másik két függvény grafikonjától? a) sin b) c) sin cos A helyes válasz betűjele: a)
0) Az alábbi hozzárendelési utasítással megadott, a valós számok halmazán értelmezett függvények közül kettőnek egy-egy részletét ábrázoltuk. Adja meg a grafikonokhoz tartozó hozzárendelési utasítások betűjelét! A) B) C) D) ) párja C) ) párja A) Összesen: pont ) Adja meg az 0 másodfokú függvény minimumhelyét és minimumának értékét! Válaszát indokolja! 0 5 4 (4 pont) A minimumhely 5. A minimum értéke 4. Összesen: 4 pont ) Legyenek f és g a valós számok halmazán értelmezett függvények, továbbá:, f 5 5 5 és, g 5 a) Számítsa ki az alábbi táblázatok hiányzó értékeit! ( pont) f() g(),5 b) Adja meg a g függvény értékkészletét! ( pont) c) Oldja meg az 5 5, 5, 5 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! (6 pont)
a) f, 0 5,5,5 b) A függvény hozzárendelési utasítását átalakítva: A függvény minimuma a,5. Az értékkészlet: c) Rendezés után: Az 5, ;,75 0,75 0 egyenlet gyökei:. Mivel a másodfokú kifejezés főegyütthatója pozitív, ezért az egyenlőtlenség megoldása: és 7,5,5 7.. Összesen: pont ) Adja meg az alábbi hozzárendelési szabályokkal megadott, a valós számok halmazán értelmezett függvények értékkészletét! f g sin cos f értékkészlete: g értékkészlete: ; ; Összesen: pont 4) Döntse el, melyik állítás igaz, melyik hamis! a) A valós számok halmazán értelmezett hozzárendelési szabállyal megadott függvény grafikonja az tengellyel párhuzamos egyenes. b) Nincs két olyan prímszám, amelyek különbsége prímszám. c) Az cm sugarú kör kerületének cm-ben mért számértéke kétszer akkora, mint területének cm -ben mért számértéke. d) Ha egy adathalmaz átlaga 0, akkor a szórása is 0. f 4 a) igaz b) hamis c) igaz d) hamis Összesen: 4 pont
5) a) Rajzolja fel a intervallumon értelmezett grafikonját! b) Mennyi a legkisebb függvényérték? a) ; függvény b) A legkisebb függvényérték:. Összesen: pont 6) Melyik az ábrán látható egyenes egyenlete az alábbiak közül? A : y B : y C : y, 5 D : y A helyes válasz betűjele: A.
7) Az ábrán egy -4;4 intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki, hogy melyik formula adja meg helyesen a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) d) b) 8) Adott a valós számok halmazán értelmezett értékek esetén lesz, 0 6 f 9) Az ábrán az lineáris függvény grafikonjának egy részlete látható. Határozza meg m és b értékét! ( pont) b 40 m b 4 f Összesen: pont függvény. Mely? m 0 Összesen: pont 40) Az ábrán az függvény f : ; ; f a grafikonja látható. a) Adja meg az f függvény értékkészletét! b) Határozza meg az a szám értékét! ( pont) Az f értékkészlete 0,5;4. a 0,5. Összesen: pont
4) Válassza ki az függvény hozzárendelési szabályát az A, B, C, D lehetőségek közül úgy, hogy az megfeleljen az alábbi értéktáblázatnak! A: f B: f D f f - 0-4 0-4 C: f 4) Az ábrán a ;5 intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! A: B: C: D: D: f C 4) a) Egy háromszög oldalainak hossza 5 cm, 7 cm és 8 cm. Mekkora a háromszög 7 cm-es oldalával szemközti szöge? (4 pont) intervallumon a következő egyenletet! b) Oldja meg a 0; cos. (6 pont) 4 c) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)! I) Az f :, függvény páratlan függvény. II) Az : intervallum. III) A sin f g, g cos függvény értékkészlete a ; h :, h cos zárt függvény szigorúan monoton növekszik a ; 4 4 intervallumon. a) (A kérdezett szöget -val jelölve) alkalmazzuk a koszinusztételt: Ebből cos, azaz (mivel egy háromszög egyik szögéről van szó) 60 7 5 8 5 8 cos
b) Ha c) cos, akkor a megadott intervallumon vagy Ha 5 cos,., akkor a megadott intervallumon vagy I) igaz II) hamis III) hamis 4,. Összesen: pont