IX.B. Számrendszerek Megoldások. Szilviának a végén 8 kagylója maradt. Nézzük, hányat dobott HO" (OV] U HJ\HW PDMG D PiVRGLN OpSpVEHQ PpJ NHWWW WHKiW összesen hármat. A feladat megoldása: 8 + 3 = kagylóval játszott. Az alábbi ábrán ez jól látható (téglalapok jelzik a csoportosítást, az áthúzott kagylók pedig visszakerültek a tengerbe). $]HOVFVRSRUWRVtWiVXWiQ A második csoportosítás után: És a végállapot: 0HJMHJ\]pV(OVUiQp]pVUHQHPOiWV]LNPLDNDSFVRODWHIHODGDW és a számrendszerek között. A számlálás mindig csoportok létrehozásával jár. Ha kettes csoportokat (azaz párokat) képe- ] QNDNNRUNHWWHVV]iPUHQGV]HUKH]YH]HWPRGHOOWNDSXQN 49
$ IHQWL ieuinrq MyO OiWV]LN KRJ\ D N O QE ] FVRSRUWRVtWiVRN PLQGLJD]HO]Oépésben keletkezett csoportok párosítását jelen- WLN D]D] HOV] U PDJXNDW D NDJ\OyNDW UHQGH]L SiUED PDMG D keletkezett párokat párosítja (így kap négyeseket), majd ezeket a négyeseket párosítja (nyolcasok), és így tovább. Az eldobott kagylók pedig mindig az új párosításban páratlanul maradt, az HO] SiURVtWiV VRUiQ NHOHWNH]HWW FVRSRUW /iwmxn D]W LV KRJ\ KD Szilvia nem hagyja abba a megkezdett algoritmust, akkor a követ- NH]OpSpVEHQ6-os csoportokat kellene képeznie (ilyen nem lett volna), és a páratlanul maradt 8-as csoportot pedig vissza kellene dobnia a vízbe. Írjuk fel, hogy lépésenként hány csoportot dobott el:,,0,. Ez a IHODGDW PHJROGiViW MHOHQW -es szám kettes számrendszerbeli DODNMD YLVV]DIHOp OHtUYD LQFV HEEHQ VHPPL PHJOHS KLV]HQ Szilvia éppen az általunk jól ismert átalakítási eljárást végezte el számunkra egy kissé szokatlan módon: 5 2 0 $ IHO J\HOQHN QDJ\RQ HJ\V]HU& GROJD YDQ KD FVDN DUUD kíváncsi, hány zsák hamis tallért talált, ugyanis mindegyik zsákból kivéve egy-egy tallért és azt mérlegre téve, a mérleg amennyivel többet mutat 50 dkg-nál, amennyi hamis tallért tartalmazó zsák van. Így azonban nem tudja megállapítani, hogy melyik zsákban vannak a hamisak, mert például 52 dkg esetén hamis tallér lehet bármelyik két zsákban. Nyilvánvaló, hogy ha mindegyik zsákból ugyanannyi tallért veszünk ki, akkor nem tudjuk megtalálni a hamis zsákokat. Ezért FpOV]HU&D]HOV]ViNEyO-et, a másodikból 2-t, a harmadikból 4- HWDQHJ\HGLNEO8-DWpVD] W GLNEO6-ot kivenni. Ha mindegyik zsák valódi tallérokat tartalmazna, akkor 30 dkg-ot mérnénk.,qqhqwo HOpJ FVDN D PpUW W EEOHWW PHJUH ILJ\HOQL +D D PpUpV eredménye például 32 dkg, akkor dkg-mal kaptunk többet a QRUPiOLVQDN WHNLQWKHW 30 dkg-nál. A pedig csak egyféleképpen jöhet ki a felsorolt számok összegeként: +2+8, vagyis a hamis talopurnd]hovdpivrglnpvdqhj\hgln]vinedqydqqdn 0 50
Vegyük észre, hogy éppen a kettes számrendszer helyi értékeivel próbálkoztunk (, 2, 4, 8, 6). Ez nem véletlen, ugyanis ha a zsákokat sorba rakjuk, és -gyel jelöljük a hamis, 0-val az igazi tallérokawwduwdopd]y]vinrndwdnnruhj\ WMHJ\&0-t és -et tartalmazó számot kapunk. Mivel éppen a kettes számrendszer helyi értékeit használtuk, ezt a csak 0-t és -HW WDUWDOPD]y WMHJ\& V]iPRW HJ\pUWHOP&HQ iwdodntwkdwmxn HJ\ Wt]HV V]iPUHQGV]HUEHOL számmá. Ez a szám a hamis tallérok számát adja, ami a mérleg iowdo PpUWW EEOHWEO LVPHJiOODStWKDWy9DJ\LVPpUpVXWiQQLQFV más dolgunk, mint a mért többletet, azaz a hamis érmék számát fölírni kettes számrendszerben, és az így kapott szám 5 számjegye ( vagy 0) megmutatja, mely zsákokban vannak a hamis tallérok. Megjegyzés: Érdemes elgondolkodni azon, hogy miért éppen a kettes számrendszert hívtuk segítségül. $] HO] IHODGDWKR] KDVRQOyDQ LWW LV GRER]RQNpQW N O QE ] V]iP~PLQWDYpWHOOHOHOpUKHWKRJ\HJ\PpUpssel megállapítsuk az HJ\HV GRER]RNEDQ WDOiOKDWy FVRNROiGpN IDMWiLW$] HOV GRER]EyO -et, a másodikból 3-at, a harmadikból 9 csokoládét kell kivenni. A OHJNLVHEE W PHJ DPHO\ tj\ PpUKHW 300 g (mind mogyorós), a legnagyobb 326 g (mind kekszes). De nem csak ezekben az HVHWHNEHQ HJ\pUWHOP& D GRER]RNEDQ OpY FVRNROiGpN IDMWiMD Például 37 g esetén a mért tömeg minimálistól való eltérése csak egyféleképpen adódhat: 2 + 2 3 + 9 = 7. Ezek szerint az HOVGRER]EDQ02 g-os, a második dobozban szintén 02 g-os, a harmadik dobozban pedig 0 g-os táblák vannak, vagyis a dobo- ]RNiOWDO WDUWDOPD]RWWFVRNROiGpNIDMWiMDVRUUHQGEHQDN YHWNH] kekszes, kekszes, tejes. Mogyorós csokoládé nincs. /iwkdwydkdvrqoyvijd]ho]ihodgdwwdo$kiurpipohfvrnroigé szükségessé teszi a legalább hármas alapú számrendszer használatát. Ha a mogyorósat 0-val, a tejeset -gyel a kekszeset 2-vel jelöljük, akkor a 000, 00, 002, 00, 0, 02, 020, 02, 022, 00,, 22, 222OHKHWVpJN ] ONHOODPpUpVDODSMiQHJ\HWNLYiOasztani. A hármas számrendszerrel való kapcsolat miatt ez a mérési ered- PpQ\LVPHUHWpEHQHJ\pUWHOP&HQPHJWHKHW $ N YHWNH] PyGV]HUUHO FVDN KiURP PpUpV V] NVpJHV H] D minimális): A 8 HPEHUEO 4-et megvizsgálnak a géppel. Így megtudják, hogy a kiválasztott négy ember között van-e a 5
terrorista. Akármi is a vizsgálat eredménye, most már csak 4 J\DQ~VtWRWW YDQ (EEO D 4-EO NHWWW PHJYL]VJiOQDN D JpSSHO 9DJ\DNHWWN ] OD]HJ\LNDWHUURULVWDYDJ\DPiVLNNHWWN ] O az egyik. A géppel ezt el tudják dönteni. Most már csak két gyanúsított van, akik közül elég az egyiket megvizsgálni. Összesen 3YL]VJiODWYROWKiURPHOKtYiVVDOYDJ\LVH] VV]HVHQ3 óra 3 percig tart körülbelül. (Tegyük fel, hogy Szimatnak az eredményeket telefonon jelentik a kapitányságról, tehát nem igényel külön LGWD]HUHGPpQ\HNHOMXWWDWiVDDUHS OWpUUH$]iEUDDYL]VJiODtok egy lehetséges menetét mutatja. 2 3 4 5 6 7 8 x gyanúsítottak:,2,3,4,5,6,7,8 x. vizsgálat, a vizsgált személyek:,2,3,4 köztük van a terrorista x gyanúsítottak:,2,3,4 2. vizsgálat, a vizsgált személyek:,2 nincs köztük a terrorista x gyanúsítottak: 3,4 3. vizsgálat, a vizsgált személy: 3 QHPDWHUURULVWD x gyanúsított: 4 52 Összesen 3,5 óra Már csak az a kérdés, le lehet-e rövidíteni a nyomozás idejét. Lehet-H NHYHVHEEV]HU PHJWHQQL D] XWDW D UHS OWpU pv D UHQGUkapitányság között? A fenti módszerrel az a probléma, hogy a PiVRGLN YL]VJiODWRW QHP HMWKHWM N PHJ DGGLJ DPtJ D] HOV vizsgálat eredményét nem ismerjük. Kell-e tudnunk menet közben az egyes vizsgálatok eredményét, vagy össze tudunk állítani egy olyan vizsgálati tervet, amely független a részeredmények -WO" Mivel a gép egyszerre több felvétel tárolására is alkalmas, érde- PHVHEE My VRN IHOYpWHOW NpV]tWHQL XWiQD D]RNDW D UHQGUND- SLWiQ\ViJRQ HOKtYDWQL (]]HO PHJVSyUROKDWQiQN D] LGLJpQ\HV sziootwivwduhs OWpUpVDUHQGUNDSLWiQ\ViJN ] WW(J\LNOHKHWség, hogy mindenkit egyesével megvizsgálunk (az utolsó gyanú-
sított utast nem kell). Így az órás úton kívül 7 felvétel-hoktyiv lesz, ami összesen 2 óra et vesz igénybe. Ez már lényhjhvhqmreed]ho]3 és fél órás eredménynél. (QQpO PpJ MREE HUHGPpQ\ LV HOpUKHW (]W PXWDWMD D] DOiEEL táblázat: 2 3 4 5 6 7 8 x a gyanúsítottak:,2,3,4,5,6,7,8 x. vizsgálat:,2,3,4 2. vizsgálat:,2,5,6 3. vizsgálat:,3,5,7 Eredmények:. pozitív 2. negatív 3. negatív x gyanúsított: 4 Összesen,5 óra A feladat fenti megoldása és a kettes számrendszer közötti kapcsolat könnyen megmutatható. Számozzuk meg a 8 gyanúsítottat 0-tól 7-ig. Ekkor kettes számrendszerben felírva az a cél, hogy megtaláljunk egy 000 és közötti számot. 000 00 00 0 00 0 0 x. vizsgálat 2. vizsgálat 3. vizsgálat ev]uhyhkhwm NKRJ\D]HOVYL]VJiODWEDQpSSHQD]RNDWDJ\DQ~Vt- WRWWDNDW YL]VJiOMXN DNLN VRUV]iPiQDN HOV V]iPMHJ\H 0. Ha az HOV YL]VJiODW SR]LWtY DNNRU D] HOV V]iPMHJ\ 0, különben. Hasonlóan a második és a harmadik vizsgálat eldönti a második és a harmadik számjegyet. Megjegyzés: A teljes megoldás megkövetelné annak a bizonyítását is, hogy három mérésnél kevesebbel nem megoldható a IHODGDW(WWOPRVWHOWHNLQW QN 53