LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK ÉS TRANSZFORMÁCIÓK A leképezés lineáris leképezésnek neezzük, h ármely elesül, hogy ; ekorokr és R számr Minden lineáris leképezés lhogy így néz ki: Kerφ Imφ meking.hu H kkor lineáris leképezés lineáris rnszformáiónk neezzük. A leképezés ekorihoz rendel -eli ekorok, de egyállán nem izos, hogy így z egész előáll képkén. A -nek z részé, mely leképezés során előáll, leképezés képerének neezzük és Im 7 dim B Ker dim Im dim -el elölük. A képe minden lineáris leképezésnél, de előfordulh, hogy más nullekor lesz. Ezen ekorok hlmzá neezzük leképezés mgerének és Könnyen izonyíhó, hogy Im lér -en és Ker lér -en. Ezen lerek dimenzióink összege éppen ekorér dimenzió: DIMENZIÓTÉTEL: -eli ekorok képe is Ker -el elölük. Minden lineáris leképezés 7 ellemezheünk egy máriszl. lóán mindegyike égelen sok máriszl B ellemezheük, ezek máriok pedig úgy kelekeznek, hogy eszünk egy eszőleges ázis -en és ázisekorok képei egymás mellé íruk. Nézzünk erre egy példá!
Feldok meking.hu együk például engelyes ükrözés. Ez egy R R lineáris leképezés. H iszon egy másik ázis lpán íruk föl ugynennek ükrözésnek máriá, kkor egészen más mário kpunk. Legyen például másik ázis köekező: A szokásos ázis lpán ükrözés máriá úgy kpuk, hogy ázisekorok képei egymás mellé íruk: A rnszformáió mári mos is úgy kelekezik, hogy egymás mellé íruk ázisekorok képei. n i zonn egy izglms fordul. Addig minden simmel, hogy ázisekorok képe: Cskhogy i z ú ázisekorok képei még mindig régi ázisn duk meg. Nekünk zonn ázisekorok képei is z ú ázisekorok segíségéel kell megdnunk. Az ehá kérdés, hogy mennyi együnk z és ekorokól, hogy előállnk és képei. Ezúl szerense megsegí ennünke, z ekor képe ugynis: mi úgy űnik éppen mínuszegyszerese. Tehá -ől d és -ől pedig -d kell. N ez kell írnunk mári első oszlopá, ho z ekor képe kerül.
meking.hu Az ekor képe szinén szerensésen előállíhó, ugynis mi pedig éppen z eredei mínuszegyszerese, ehá -ől -d és -ől d kell. Az ú ázisekorok képeinek ezek z ú koordináái kerülnek rnszformáió máriá. Az ú ázisn felír mári: A leképezés mári sokkl öe is ud nnál, minhogy egyszerűen leír mgá leképezés. Minden ekorról megmond ugynis, hogy ponosn mi lesz ekor képe. Bármilyen leképezésnél ekor képe: gyis ekor képe úgy lesz, hogy egyszerűen megszorozzuk ekor leképezés máriál. Nézzük meg például mindez engelyes ükrözésnél. Lássuk mi lesz z engelyre ükrözés során eől remek ekoról: A ükrözés mári normál ázisn: A ekor képe:
I n zán, hogy még mi minden ud leképezés mári: H egy leképezés mári kkor leképezés megfordíásánk mári Egy leképezésnek ponosn kkor léezik megfordíás, máskén inerze, h márink léezik inerze, és z inerz leképezés mári: H n ké leképezés, monduk és leképezések mári pedig és kkor leképezés mári:, Mindez leheőé eszi, hogy készísünk egy remek kis képlee rr, hogy mikén álozik meg egy leképezés mári z ú ázisr ló áállásnál. A leképezés mári ú ázisn felír: C C hol meking.hu C z ú ázisr áérés mári régi ázisn. Mi is elen mindez? n ugye rnszformáió régi mári, ez és n ez izonyos sinál. Ez izonyos C, mi nnk rnszformáiónk mári, mi régi ázisól ú ázis C mári ehá RÉGI BÁZIS ÚJ BÁZIS C A képle z mond, hogy z ú mário így kpuk: C C
Mindezeke összefogll: LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK MÁTRIXA A lineáris leképezésnek... ázisekorok képei egymásmellé íruk :... n H egy másik... n ázisn felír máriá úgy kpuk meg, hogy n ázisn íruk föl mário, kkor... n A ké mári közöi áárás z lái éel izosí: C C I C z ú ázisr ló áérés mári:... n RÉGI BÁZIS H A és B olyn máriok, hogy léezik egy C mári, úgy, hogy C... ÚJ BÁZIS n A C B C meking.hu kkor z előző éel lpán A és B mindkeen ugynnnk leképeésnek mári, sk másmás ázisn felír. Ez ény úgy neezzük, hogy ké mári egymáshoz hsonló. A és B máriok hsonlók, ehá A ~ B, h léezik olyn C mári, mire A C B C n n mári kkor digonlizálhó, h léezik n dr függelen H még emlékszünk rá, z A sáekor, gyis sáekorokól álló ázis és digonlizáló mári éppen sáekorok egymásmellé írásáól kpuk. N ez nem más, min z iméni ú ázisr ló áállás éele: dig A C AC hol C... sáekorokól álló mári n Feldok Ső, z iméni hsonlósággl kpsolos definíió lpán ármely A márir H pedig n egy másik B mári, melynek szinén léezik digonális lk és A dig dig B A A ~ dig. kkor eől köekezik, hogy A ~ B. Az állíás megfordíás is igz, gyis megállpíhuk, hogy h A és B mindkeen digonlizálhó máriok, kkor A dig B A B dig ~
6 7 B 7 B meking.hu Lássunk néhány példá! együk z leképezés, mely R R és R ; Ellenőrizzük, hogy lón lineáris leképezés-e, h igen duk meg képere, mgere és rnszformáió máriá. Legyen izsgáluk meg, hogy elesül-e: Lássunk egy másik példá! együk z leképezés, mely R R és R ; Ellenőrizzük, hogy lón lineáris leképezés-e, h igen duk meg képere mgere és rnszformáió máriá. Legyen izsgáluk meg, hogy elesül-e: ezek sn nem egyeznek meg, ezér rnszformáió nem lineáris. ezek mos megegyeznek, eddig ehá ó
7 7 B 7 B meking.hu Nézzük, elesül-e, hogy: Ez is elesül, ehá leképezés lineáris. Ezek uán lássuk mi lesz mgér és képér, illee rnszformáió mári. A mgéren olyn ekorok nnk, melyek képe nullekor, ehá Eől köekezik, gyis mgéren olyn ekorok nnk, melyek első és második koordináá megegyezik: Ker A képéren olyn ekorok nnk, melyek első koordináá ármi, de második koordináá null, gyis: Im A rnszformáió mári sndrd ázisn: ehá rnszformáió mári: Kerφ Imφ
8 Feldok meking.hu együk z z R R leképezés, hogy R ; ; Ellenőrizzük, hogy lón lineáris leképezés-e, h igen duk meg képere, mgere és rnszformáió máriá, duk meg sáérékei, sáekori, h n, kkor sáázisá és digonális lká. Elsőkén megnézzük, hogy lón lineáris leképezés-e. Legyen izsgáluk meg, hogy elesül-e: és Ennek ellenőrzése reenő unlms I ön másik: Ez is elesül, ehá leképezés lineáris. égre ráérheünk z izglms részekre. ezek mos megegyeznek, eddig ehá ó
9 7 B 7 B meking.hu A mgéren olyn ekorok nnk, melyek képe nullekor, ehá Eől és köekezik, gyis mgéren olyn ekorok nnk, melyek első és második koordináá megegyezik, hrmdik koordináá pedig null: Ker A képéren olyn ekorok nnk, melyek első koordináá lmi, második koordiná ennek mínuszegyszerese, hrmdik koordiná lmi. z A rnszformáió képere ehá kédimenziós: z Im mgér képér Kerφ Imφ
Feldok meking.hu Nézzük mi lesz rnszformáió mári. A mário sndrd ázisn íruk fel: gyis rnszformáió mári: Lássuk sáérékeke és sáekorok! A krkeriszikus egyenle: de Az uolsó sor szerin feünk ki: A sáérékek: A hozzáuk rozó sáekorok I A egyenlerendszerekől kpuk: I gyis rnszformáió márián főálón kionogunk k, pedig koordináás ekor lesz, miel mári X-s: Ez három különöző egyenlerendszer lesz, mi megoldhnánk elemi ázisrnszformáiól is, de mos nins kedünk zzl megoldni.
Feldok meking.hu n függelen sáekor, így rnszformáió mári digonlizálhó. A digonlizáló mário úgy kpuk, hogy sáekorok egymásmellé íruk, mi uldonképpen nem más, mi z ú ázisr ló áérés mári: S A digonális lk: S S dig i meg z -e: no i meg -: Kionuk -:
Feldok meking.hu együk z z R R leképezés, hogy R ; ; Ellenőrizzük, hogy lón lineáris leképezés-e, h igen duk meg képere, mgere és rnszformáió máriá, duk meg sáérékei, sáekori, h n kkor sáázisá és digonális lká. Elsőkén megnézzük, hogy lón lineáris leképezés-e. Legyen izsgáluk meg, hogy elesül-e: és Ennek ellenőrzése ismé reenő unlms I ön másik: Ez is elesül, ehá leképezés lineáris. égre ráérheünk z izglms részekre. ezek mos megegyeznek, eddig ehá ó
7 B 7 B meking.hu A mgéren olyn ekorok nnk, melyek képe nullekor, ehá Eől, és, gyis köekezik, mgéren ehá olyn ekorok nnk, melyek mindhárom koordináá megegyezik: Ker Lássuk, milyen ekorok nnk képéren. Az első koordiná lmi, második lmi y, hrmdik z, kkor z y miel pedig így z y A rnszformáió képere ehá kédimenziós: y y Im Nézzük mi lesz rnszformáió mári. A mário sndrd ázisn íruk fel: gyis rnszformáió mári: Lássuk hozzá rozó sáérékeke és sáekorok:
Feldok meking.hu A sáérékekhez felíruk szokásos krkeriszikus egyenlee: de Az uolsó sor szerin feünk ki: de de gyis ehá és így egyelen sáérék Lássuk, milyen sáekorok roznk hozzá. Berkuk -: A megoldás ekkor és így egyelen sáekor: Ninsen ehá három függelen sáekor, gyis nins sáekorokól álló ázis, rnszformáió mári nem digonlizálhó.
A LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK EKTORTERE HOM(, ) lineáris leképezés másnéen homomorfizmusnk is neezzük. Ezek homomorfizmusok A és zok márii mguk is egy ekorere lkonk, ez ekorere Hom, -nek neezzük. Kerφ Imφ Azok homomorfizmusok, hol udunk muni olyn nem inekíek. ezér Miel ekorok mire w de mi w Ker -en nnk dimker gyis z, hogy egy leképezés nem inekí, éppen z eleni, hogy meking.hu nullekoron kíül más ekorok is, ehá Kerφ w Imφ Az állíás megfordíás is igz, ehá dim Ker B B 7 Ekkor dimenzióéel lpán 7 dim homomorfizmus ponosn kkor inekí, h Im dim gyis leképezés dimenzióró. A sík szokásos rnszformáiói közül z gy y engelyre ükrözés és z origó körüli forgás dimenzióró rnszformáió, z engelyre eíés nem.
Egy leképezés szürekínek neezünk, h eles előáll képkén. Kerφ Imφ homomorfizmusok, melyek inekíek és szürekíek is egyszerre, iekí Azok homomorfizmusok. Ráuk külön elneezés n forglomn, őke neezzük izomorfizmusoknk. meking.hu Kerφ: Imφ izomorfizmus, kkor H dim Ker és dimenzióéel mi de miel képér éppen megegyezik dim dim Im dim 7 B -el, ezér dim. Az izomorfizmus ehá egy kölsönösen egyérelmű megfeleleés ké ekorér ekori közö, z egyik ekorér minden ekorához rozik másik ekoréren ponosn egy izonyos ekor, gyis ké ekorér lényegéen ugynz. 7 B dim dim mi is így kell, hogy legyen, hiszen egy ekorere dimenzió már Ez ellemez. 6
NÉHÁNY ISMRETEBB LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ ÉS MÁTRIXA R R leképezések közül egyik legfonos lineáris rnszformáió z origó középponú Az -szögű forgás. Ez 8 eseén éppen z origó középponú ükrözés. sin 9 os 9 os sin A szokásos ázis lpán z -szögű forgás máriá úgy kpuk, hogy ázisekorok képei egymás mellé íruk: os sin os 9 sin 9 nnk i ezek rigonomerii összefüggések, mike érdemes megegyeznünk: meking.hu os sin os sin 9 sin 9 os 9 sin 9 os Ezek lpán z origó középponú -szögű forgás mári: os sin sin os A középponos ükrözés os8 sin8 B A 9 o -os forgás pedig B os9 sin 9 sin8 7os8 7 sin 9 os9 8 eseén kpuk, ennek mári: 9 eseén kpuk, ennek mári: 7
8 Feldok meking.hu A engelyes ükrözés máriá már ól ismerük: A lineáris rnszformáiók egy külön soporá lkoák eíések, gy más néen proekiók. Az engelyre ló merőleges eíés mári: égül nézzünk meg egy R R lineáris rnszformáió, z y síkr ló merőleges eíés. Íruk föl máriá szokásos ázisn és n ázisn is, hol ázisekorok: i ; k és i k. A mári szokásos ázisn A szokásos ázis lpán ükrözés máriá úgy kpuk, hogy ázisekorok képei egymás mellé íruk: A szokásos ázis lpán eíés máriá úgy kpuk, hogy ázisekorok képei egymás mellé íruk:
9 Feldok meking.hu Mos nézzük meg, hogy mi lesz mári n ázisn, hol ázisekorok: i ; k és i k. Az ú ázisn felír mário úgy kpuk, hogy z ú ázisekorok képei íruk egymás mellé, de z ú ázisekorok koordinááil felír. A régi ázisekorok képei: i i k Az ú ázisekorok képei: i i k / / / i k k i i i k / / / i k k i i Az ú ázisn felír mári: / / / / / / Az ú ázis máriá gondolkodásmenesen is megkphuk C C képle segíségéel. Ehhez mindössze z ú ázisr ló áállás C máriár n szükség: Az ú ázisekorok i ; k és i k. C / / / / / / C C
Nézzük mos ez z ú mário és próáluk meg digonlizálni. Miel z y síkr merőleges eíésnek éppen z eredei i ; ; k ekorok sáekori, digonális mári meg fog egyezni régi máriszl. Az kell ehá isszkpnunk. / / / / / / Kiszámoluk sáérékeke. Miel sáekorok z eredei i ; ; k ázisekorok, előre uduk, hogy minek kell kiönnie. Az y síkr eíésnél i -ől és -ől önmg lesz, mindkeő sáéréke, míg k ekor képe nullekor így hozzá rozó sáérék null. Lássuk kiönnek-e: / / de / / / / Az uolsó sor szerin feünk ki. / / / de / de / / meking.hu A X-es deerminánsok is kifeük: / / / / / Kiemelünk: / / / Feldok / / / / gyis ké sáekor és. A hozzáuk rozó sáekorok elileg z i ; és k ekorok lesznek. lóán zonn nem, ugynis i és helye i és i lesz, de k mrd k. Nézzük meg!
Feldok meking.hu n ehá három függelen sáekor: A digonlizáló mári: S A digonális lk: / / / / / / S S dig / / / / / / i meg z -e: / / / / / / / / / / / / I és s eszőleges: ; s s / / / / / / Kionuk -: / / / / / / / / / / / / Az - z első egyenlee helyeesíe: