Döntéselmélet KONFLIKTUSELMÉLET
Konfliktus A konfliktus emberek vagy csoportjaik közötti rivalizálás, verseny bizonyos javak megszerzéséért, értékeik elismeréséért. A versengés vélt vagy ténylegesen összeegyeztethetetlen célok vagy korlátozott javak elérése érdekében történik A konfliktus jellemzői: Kölcsönösen függő helyzet Egymást kölcsönösen kizáró célok A konfliktusok okai: Értékkülönbség A felek közötti viszonyrendszer problémái Információs problémák Strukturális problémák érdekkülönbségek
Konfliktus a csoportos döntéseknél Tárgyalás Legfontosabb konfliktus kezelési technika Két alapvető típusa van: Helyzet alapú alkudozás a tárgyaló partnere és nem a problémára koncentrál A tárgyaló fél a kívánatos végeredmény szerint rangsorolt, lehetséges megoldások egész sorát alakítja ki, és a másik félnek a megegyezés érdekében lépésenként bemutatja A nyitó helyzet a tárgyaló fél által remélt legnagyobb eredményt reprezentálja. Az összes ezt követő - többi pozíció kevesebbet igényel az ellenféltől, és ez által kevesebbet igényel az ellenféltől, és ez által kevesebb előnyt nyújt az adott tárgyaló félnek.
Játszmák Játszmák elemei: A játékosok A számukra elérhető stratégiák A lehetséges következmények Kétszemélyes játszmák tulajdonságai: Végesek Zéró összegűek Teljes információsok
Magatartás minták 1. Egoizmus x max (saját haszon maximalizásás) 2. Önmegtagadás x min (saját haszon feladása) 3. Altruizmus y max (másik hasznának maximalizásás) 4. Agresszivitás y min (másik legyőzése, megszüntetése) 5. Kooperáció (x+y) max (közös haszon maximalizásása) 6. Verseny (x-y) max (másik legyőzése, nekem legyen jobb, mint a másiknak
Játékelméleti alapfogalmak Stratégia: olyan módszer, amely az ellenfél hibáit kihasználva győzelemre, de legalábbis döntetlenre segíti a játékost. (A játékos legjobbnak tűnő döntése.) Játék: azon szabályok összessége, amelyek leírják a játékosok lehetséges viselkedését és az azt meghatározó körülményeket. Egy játék két, vagy többszemélyes lehet. A játék tökéletes információs: a játékosok birtokában van minden szükséges információ (szabályok, információk stb.), és a játék véges. Zéró összegű játék: a játékosok a nyereségüket csak egymás kárára növelhetik Nem zéró összegű játék: ha a játékosok együttműködnek, akkor valamilyen külső forrásból is származhat nyereségük.
Játékelméleti alapfogalmak Kooperatív játék: a játékosok a közös cél érdekében együttműködnek, ha nem kooperatív egy játék, akkor a játékosok versengenek egymással. Nash-egyensúly: stratégiák olyan összessége, amelyben egyik játékosnak sem lesz abból előnye, ha változtat a stratégiáján, miközben a többi játékos azonos stratégiával játszik tovább. Minden zéró összegű kétszemélyes játékban létezik mindkét fél számára optimális stratégia. Természetesen feltételezzük azt is, hogy minden játékos arra törekszik, hogy a nyeresége a legnagyobb, míg vesztesége a legkisebb legyen!
Játékelmélet A játékelmélet többszereplős döntési problémákat tanulmányoz, amelyek gyakran felmerülnek a közgazdaságtanban (Gibbons, 2005). A játékelmélet olyan helyzetekkel foglalkozik, amelyekben legalább két döntéshozó (például egyén, család, vállalat, intézmény, ország, stb.) próbálja saját hasznosságfüggvényét maximalizálni. (Simonovits, 2007)
Példák kétszemélyes játékokra Fogolydilemma A nemek harca A vezérürü játék A gyáva nyúl játék
Fogolydilemma (Prisoner's dilemma) Alaphelyzet: van két fogoly; ha az egyik vall, de a másik nem, akkor a vallomást tevő elmehet, míg a másik 10 évet kap; ha egyik sem vall, akkor 6-6 hónapot kapnak, ha mindketten, akkor 5-5 évet. Ez nem zéró összegű játék. A nehézség: a játék "megoldása", a domináns stratégiák melletti egyensúly az, hogy mindketten valljanak. Bármit is tesz a másik, a játékos jobban jár, ha vall. Mégis mindketten jobban járnának, ha egyikük sem vallana. A fogolydilemma jelentőségét e paradox tulajdonsága adja, vagyis hogy az egyensúly paretói értelemben rossz eredményt idéz elő. E tulajdonsága miatt a "láthatatlan kéz" ellenpontjának tekinthető. Itt ugyanis az önérdek követése nem segíti elő a közérdeket.
Nemek harca (Battle of the sexes) Alaphelyzet: egy fiatal pár reggel összeveszik az esti programon: focimeccs vagy színház. Reggel nincs idő a megbeszélésre, este későn végeznek a munkájukkal, és ekkor kell dönteni ki hova menjen. A felek preferenciái: elsősorban együtt tölteni az estét, másodsorban az általa kedvelt helyen. Ez sem zéró összegű játék. A játéknak két egyensúlya van tiszta stratégiákkal (mindketten színházba mennek, illetve mindketten focimeccsre mennek). Létezik egy harmadik egyensúly is kevert stratégiákkal.
Vezérürü Alaphelyzet: két jól nevelt ember egymást tessékeli előre az ajtóban. A nehézség: ha mindketten ragaszkodnak ahhoz, hogy a másik menjen előre, örökre az ajtó előtt ragadnak. Ha az egyikük enged, fennáll a veszélye, hogy emiatt a másik modortalannak tartja majd. Ez a helyzet nagyon hasonlít a Nemek harcára, a különbség az, hogy a kölcsönös kooperáció (önzetlenség) itt nem a legrosszabb eredményre vezet és a kölcsönös versengés még rosszabb. A versengés az a stratégia, hogy ragaszkodunk ahhoz, hogy a másik menjen ki először, a kooperálás pedig az, hogy a másik megvetését vállalva elsőként megyünk ki. A legrosszabb helyzet a kölcsönös versengés, mert akkor egyikük sem jut át az ajtón és éhen halnak. Ennél jobb a kooperáció, mert akkor mindketten egyszerre átpréselik magukat az ajtón. A legnagyobb közös nyereség akkor alakul ki, ha az egyikük kooperál, másikuk verseng, mivel akkor mindketten átjutnak az ajtón, csak a versengő játékos plusz nyereségként még meg is vetheti "illetlen" társát, aki pedig kooperált.
Gyáva nyúl (game of chicken) Alaphelyzet: Két kocsi száguld egymás felé, az veszít, aki hamarabb félrekapja a kormányt. A nehézség: Ha egyikük sem kapja félre mindketten meghalnak, de egyik sem tudhatja, hogy a másik mennyit kockáztat még.
Párosításelmélet A párosításelmélet lényege, hogy halmazok elemeit akarjuk egymással párosítani. Ha két egymástól eltérő, és semmilyen szinten nem keveredő halmazok elemeit akarjuk egymással összerendezni, akkor kétoldali párosításról beszélünk (pl.: egyetemi felvételi probléma) Ha csak egy halmaz elemeit akarjuk egymáshoz rendelni, akkor egyoldali párosításról beszélünk (pl.: szobatárs probléma).
Párosításelmélet Léteznek úgynevezett egy az egyhez párosítások, ahol az egyik halmaz minden eleméhez a másik halmazból csak egy-egy (de ezek egymástól különböző), elemét rendeljük. Ezt hívják kölcsönös egyértelmű hozzárendelésnek. Abban az esetben, ha az egyik halmaz elemeihez a másik halmazból több elem is válaszható, akkor többértelmű hozzárendelésről beszélünk, ezek az úgynevezett egy a többhöz hozzárendelések. Létezhetnek még olyan hozzárendelések, ahol nincs korlát egyik halmazban sem, hanem bármelyik elemhez bárhány elemet lehet hozzárendelni a másik halmazból.
Párosításelmélet Egyértelmű hozzárendelés: olyan hozzárendelés, ahol az egyik halmaz eleméhez a másik halmazból csak egy elem tartozik. Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés: olyan egyértelmű hozzárendelés, ahol az egyik halmaz minden eleméhez hozzárendeljük a másik halmaz egy-egy (különböző) elemét. Többértelmű hozzárendelés: olyan hozzárendelés, ahol az egyik halmaz eleméhez a másik halmazból több elem is tartozhat.
A párosításelmélet és az operációkutatás kapcsolata Döntéselmélet Operációkutatás Játékelmélet Párosításelmélet
Párosításelméleti problémák Házassági probléma Iskolaválasztási Kórház /rezidens Szobatárs probléma
Párosításelméleti problémák Egyetemi felvételi Gale Shapley (1962) Hallgatók versengenek a jó egyetemekért, és az egyetemek a jó hallgatókért. Az eredmény egy párosítás, amely megadja, hogy kit melyik egyetem melyik szakjára vesznek fel. Egy párosítást igazságosnak (stabilnak) akkor nevezünk, ha egy diák jelentkezésének visszautasítása oka csak az lehet, hogy az adott szak kvótáját a diáknál jobb jelentkezőkkel töltötték fel.
Algoritmusok Mohó algoritmus Gale-Shapley algoritmus (GS) Bostoni mehanizmus A columbusi algoritmus A legjobb csere-körök módszere (Top trading Cycle)
Mohó algoritmus A véletlen vagy sorozatos diktatúra alkalmazásakor a hallgatókat (véletlen, azaz sorsolással kialakított) sorba rendezik, és a soron következő hallgató mintegy diktátorként választhat a megmaradt opciók közül. Így az algoritmus nem veszi figyelembe a másik fél, felvételi probléma esetében pl. az egyetemek preferenciáját, nem venné figyelembe, valóságban természetesen erre a problémára nem alkalmazzák ezt az algoritmust. 1. Vizsgáljuk az egyéneket egyenként 2. Minden egyén esetében megvizsgáljuk a hozzá tartozó preferencia sorrendeket. Ha találunk olyan alternatívát, amely szerepel az egyén preferencia listáján és még szabad, akkor kínáljuk fel azt neki innentől az alternatíva és az egyén párt alkotnak 3. Ha nem találunk az egyénnek megfelelő még szabad alternatívát, akkor az egyén nem kerül párosításra
Gale-Shapley algoritmus (GS) Amellett, hogy a Mohó algoritmus nem egy stabil párosító mechanizmus, a beiskolázási algoritmusok esetében egy másik probléma is felmerül, nevezetesen, hogy a különböző iskolák más és más prioritási sorrendbe rendezik a hallgatókat Tehát a beiskolázási mechanizmusnak figyelembe és tudomásul kell vennie az iskolák ilyen jellegű preferenciáit. Balinski Sönmez rávilágítottak, hogy a Gale Shapley algoritmus nemcsak hogy megfelel ezeknek az igényeknek, de még olyan további szempontok figyelembevételére is alkalmas, mint az úgynevezett szabályozott választás, ahol bizonyos korlátokat alkalmaznak a nemi, faji vagy etnikai alapú szegregáció csökkentésére
Gale-Shapley algoritmus (GS) Az egyének és az alternatívák egyaránt rendelkeznek saját preferenciákkal. 1. Minden egyén a legmagasabb preferenciával rendelkező alternatívát választja 2. Ha többen választják egyszerre ugyanazt az alternatívát, az alternatívák kiválasztják a preferencia sorrendjük alapján számukra legkedvezőbb egyént, és a többit visszautasítják 3. Azok az egyének akik nem kerültek kiválasztásra (mert voltak náluk jobban preferált egyének), a soron következő legmagasabb preferenciájú alternatívát választják és megismétlődik a második lépés. A harmadik lépés addig ismétlődik, míg minden személy megtalálja a számára megfelelő alternatívát, vagy saját preferencia listájának végére nem ér
Párosításelméleti problémák h 1 : e 2 e 1 h 2 : e 1 e 2 Kapacitás:2 h 3 : e 1 e 3 h 4 : e 2 e 3 e 1 : h 1 h 3 h 2 h 5 h 6 h 5 : e 2 e 1 e 2 : h 2 h 6 h 1 h 4 h 5 h 6 : e 1 e 2 e 3 : h 4 h 3 hallgatói sorrend egyetemi sorrend
Bostoni mehanizmus 1. Minden egyén a legmagasabb preferenciával rendelkező alternatívát választja 2. Ha többen választják egyszerre ugyanazt az alternatívát, az alternatívák kiválasztják a számukra legkedvezőbb egyént, és a többit visszautasítják 3. Azok az egyének, akik az első körben nem kerültek kiválasztásra, a soron következő legmagasabb preferenciájú alternatívát választják és megismétlődik a második lépés A harmadik lépés addig ismétlődik, míg minden személy megtalálja a számára megfelelő alternatívát, vagy saját preferencia listájának végére nem ér
A columbusi algoritmus 1. Minden egyén legfeljebb három alternatívát jelölhet meg. 2. Bizonyos alternatívák egyértelműen preferálnak bizonyos tulajdonságokat és az azzal rendelkező személyeket. Egyébként a jelentkezők rangsorát sorsolással határozzák meg. 3. A (még) szabad helyeket a fenti preferenciák figyelembevételével ajánlják meg a jelentkezőknek. Az ajánlatra három napon belül kell válaszolni. Elfogadás esetén a jelentkező kikerül a rendszerből, az elfogadott ajánlat alapján hozzárendelődik az alternatívához. Ahogy egyes ajánlatok elutasításra kerülnek, ezek a helyek megnyílnak a korábban várólistás személyeknek.
A legjobb csere-körök módszere (Top trading Cycle) Minden hallgató és iskola megnevezi, hogy mit/kit rangsorol az első helyre. Jelentse s n a párosításban részt vevő n-edik hallgatót (n=1,, k), míg C m a párosításban résztvevő m-edik főiskolát (college) (m=1,, k). Mivel a résztvevők száma véges, létezik olyan s 1, C 1, s 2,..., C k kör, hogy s i a C i -t preferálja, aki viszont s i+1 -t, továbbá C k az s 1 -t preferálja. Minden hallgató és minden iskola legfeljebb egy-egy körhöz tartozik. Minden olyan hallgatót, aki egy ilyen körhöz tartozik, felveszi az általa megnevezett iskola. Ezzel a hallgató kikerül a rendszerből, az iskolának pedig eggyel kevesebb szabad helye marad. Ha minden hely elfogyott, akkor az iskola is kikerül a rendszerből, így a továbbiakban a hallgatók már nem nevezhetik meg, mint kedvencüket. Minden további lépésben a megmaradt hallgatók és a megmaradt iskolák vesznek részt, ettől eltekintve a lépés lefolyása ugyanaz, tehát a résztvevők megnevezik a preferenciájukat, majd a körökhöz tartozó hallgatókat az általuk megnevezett iskola veszi fel. Az algoritmus akkor ér véget, ha a hallgatók elfogynak. Mivel minden lépésben legalább egy hallgató felvételt nyer, a szükséges lépések száma nem több mint a hallgatók száma.
Algoritmusok összehasonlítása Algoritmusok van értelme taktikázni aki egyszer bekerült egy helyre, az bent is marad legmeghatározóbb karakterisztika figyelembe veszi a referenciákat Mohó nincs nem leginkább preferált nem mindig Gale-Shapley nincs nem preferenciák, bármely választás Boston van igen leginkább preferált nem mindig Columbus van nem leginkább preferált nem mindig igen Top Cycles Trading nincs igen leginkább preferáltak, csere igen
Ellenőrző kérdések 1. Mutassa be a játékelméletet! 2. Mutassa be a párosításelméletet! 3. Ábrázolja a párosításelmélet és az operációkutatás kapcsolatát! 4. Mutassa be a különböző játékelméleti feladatokat! 5. Mutassa be a párosításelmélet problémáit! 6. Mutassa be a párosításelmélet algoritmusait! 7. Hasonlítsa össze a különböző játékelméleti algoritmusokat!