A repülési háromszögekről I Sebességmérés repülőgépen, stopperórával Egy repülőgép sebessége megmérhető az alábbi módon is ld 1 ábra Az ábra forrása: [ 1 ] 1 ábra Sík terepen kijelölünk egy ABC háromszöget, majd állandó motorteljesítmény mellett végigrepülünk az oldalai mentén, és megmérjük az ismert l 1, l, l 3 hosszúságú oldalak megtételéhez szükséges t 1, t, t 3 időtartamokat ld az 1 ábra bal oldali részét Ezekkel képezhetjük a l1 l l3 v 1, v, v3 ( 1 ) t1 t t3 sebesség - nagyságokat A háromszög oldalaival már a szögei is rögzítettek, hiszen a három oldal a háromszöget teljesen meghatározza A feladat: adott v i ( i = 1,, 3 ) sebességvektorok esetén meghatározandó ~ a szél v L sebessége nagyság és irány szerint, valamint ~ a repülőgép v R saját -, azaz az áramló levegőhöz képest mért sebességének v R nagysága A feladat megoldható szerkesztéssel és számítással is A megoldás mozgástani lényege az alábbi Szélcsendben a repülőgép sebességének nagysága ( 1 ) szerint közvetlenül adódna Ha fúj a szél, ahogy az szinte mindig fennáll, akkor a repülőgép v R sebességét úgy kapjuk, hogy a szél v L és a repülőgép szélhez viszonyított v Ri sebességét vektoriálisan összegezzük Képletben: v i = v L + v Ri ( )
Az 1 ábra jobb oldali részén éppen ilyen összegzéseket láthatunk, éppen háromszor, az i = 1,, 3 - nak megfelelően A szerkesztést az alábbi lépésekben végezzük 1 Egy tetszőlegesen felvett O közös kezdőpontból felhordjuk a v i vektorokat, egy alkalmasan választott rajzi sebesség - mérték felvétele után Ezt megtehetjük, hiszen a vektorok nagysága / hossza ( 1 ) szerint már ismert, iránya pedig a megfelelő háromszög - oldal irányával egyező Az előbb felhordott vektorok I, II, III csúcsait egyenes szakaszokkal összekötjük, majd az így előállt háromszög köré kört írunk Ennek módja ahogy az ábra is mutatja : két oldalfelező merőleges metszéspontjával a kör Ŏ középpontjának kijelölése, majd innen bármelyik vektor csúcsáig vett körzőnyílással kör rajzolása 3 Leolvassuk az eredményeket: ~ v L = OŎ; ~ v R = v R1 = v R = v R3 Az eredmények indoklása / értelmezése: ~ feltettük, hogy a szél sebessége az egész mérés során állandó nagyságú és irányú; ~ az állandó értéken tartott motorteljesítmény kikötése pedig azt jelenti, hogy a repülőgép az áramló levegőhöz képest állandó sebességgel halad, az egész mérés folyamán; ~ az 1 ábra jobb oldali részén leolvasható, hogy a szerkesztés a ( ) szerinti vektor - háromszögeket szolgáltatja, melyekből a sebesség - mérték segítségével vesszük le a számszerű eredményeket Ezzel a feladatot szerkesztéssel megoldottuk A számításos megoldást az elemi trigonometria / algebra alkalmazására alapozzuk A számítás során használt összefüggések és jelölések követését segíti a ábra Az 1 ábrán közölt adatokkal, ( 1 ) szerint: l1 14,6 km s v1 3600 166,3 km / h; ( 3 ) t 316 s h 1 l 0,1 km s ( 4 ) v 3600 100,9 km / h; t 717 s h l,6 km s ( 5 ) 3 v3 3600 150,9 km / h t3 539 s h Most a ábra alsó ábrarészének megfelelően, koszinusz - tétellel: l l l l l cos '; ( 6 ) 1 3 3 innen
3 ábra
4 l l3 l1 cos ' l l3 Behelyettesítve a számértékeket: 0,1, 6 14, 6 cos ' 0, 773, 0,1,6 innen ' 39,4 ( 7 ) ( 8 ) Hasonlóképpen: l l1 l3 l1 l3 cos '; ( 9 ) innen l1 l3 l cos ', ( 10 ) l l 1 3 14, 6, 6 0,1 cos ' 0, 4848, 14,6,6 ahonnan ' 61,0 ( 11 ) Még egyszer: l l l l l cos '; ( 1 ) 3 1 1 l1 l l3 cos ', l l 1 14, 6 0,1, 6 cos ' 0,1813, 14,6 0,1 ' 79,6 Ellenőrzés: ' ' ' 180? 39, 4 61,0 79,6 180 Most számítsuk ki az A, B, C oldalak hosszát! A ábra alapján: ( 13 ) ( 14 ) A v v v v cos ; ( 15 ) 1 1 figyelembe véve, hogy
5 cos cos( 180 ' ) cos ', ( 15 ) és ( 16 ) - tal: 1 1 ( 16 ) A v v v v cos ' ( 17 ) Számszerűen: A 166, 3 100, 9 166, 3100, 9 0,1813 km / h 09, 6 km / h, A 09,6 km / h ( 18 ) Hasonlóképpen: B v v v v cos '; ( 19 ) 3 3 B 100,9 150,9 100,9150,9 0,773 km / h 37,6 km / h, B 37,6 km / h ( 0 ) Végül: C v v v v cos '; ( 1 ) 1 3 1 3 C 166,3 150,9 166,3150,9 0,4848 km / h 73,4 km / h, C 73,4 km / h ( ) Most határozzuk meg a repülőgép saját, azaz az áramló levegőhöz viszonyított sebességének v R nagyságát: az I, II, III háromszög köré írható kör sugarát! Ennek képlete ld: [ ] : A B C R, ( 3 / 1 ) 4T ahol T SS AS BS C, ( 3 / ) és 1 S A B C ( 3 / 3 ) Behelyettesítve: a ( 3 / 3), ( 3 / ), majd a ( 3 / 1 ) képletekkel 1 1 S A B C 09,6 37,6 73, 4 km / h 360,3 km / h, SA 360,3 09,6 km/h = 150,7 km/h, S B 360,3 37,6 km/h = 1,7 km/h ; SC 360,3 73,4 km/h = 86,9 km/h
6 T 360,3 150,71,786,9 4061, 4 km/h ; 09,6 37,673, 4 R km/h 141,5 km/h v R ; 4 4061,4 141,5 km/h ( 4 ) vr Tehát a repülőgép saját sebességének nagysága mintegy 14 km / h Ez a végeredmény megegyezik az 1 ábrán közölt eredménnyel Most határozzuk meg a szélsebesség v L nagyságát és v 1 -hez képest az irányát! A ábra szerint: ~ először koszinusz-tétellel: v v v v v cos ; ( 5 ) L R 1 R 1 ~ majd szinusz-tétellel: sin v R, és innen sin vl v R arcsin sin v L A ( 5 ) és ( 6 ) képletekben szereplő µ paramétert az alábbiak szerint is meghatározhatjuk, a ábra szerinti jelölésekkel Először kiszámítjuk az *, *, * segédszögeket: B sin *, innen pedig vr B * arcsin vr Számszerűen: 37,6 * arcsin 57,1 ; 141,5 * 57,1 ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) Hasonlóan: A sin *, vr majd A * arcsin v R ( 9 )
7 09,6 * arcsin 47,8 ; 141,5 * 47,8 Végül: C sin *, v R C * arcsin v R 73,4 * arcsin 75, 0 ; 141,5 * 75,0 Ellenőrzés: * * * 180?, 57,1 47,8 75,0 179,9 180 Ezután: 1C 90 * ; ( 30 ) ( 31 ) ( 3 ) ( 33 ) ehhez az 1C 3C 180 egyenlet szerint kapjuk, hogy 180 ' ; 1C 3C 3C ( 34 ) ehhez az egyenlet szerint kapjuk, hogy 3C 3B * * ; ( 35 ) 3C 3B ehhez az B 3B 180 180 ' ; 3B B B egyenlet szerint kapjuk, hogy ( 36 ) ehhez a v v B v Bcos 3 B egyenletből adódó
8 cos B v B v v B 3 egyenlet szerint v B v3 B arccos v B Visszafelé haladva: ( 37 ) - ből: 100,9 37,6 150,9 B arccos 3,8 ; 100,937,6 B 3,8 ( 37 ) ( 38 ) Most ( 8 ), ( 36 ) és ( 38 ) szerint: ' 39, 4 3,8 15,6 ; 3B 3B 15,6 B Ezután ( 30 ), ( 35 ) és ( 39 ) képletekkel: * 47,8 15,6 3, ; 3C 3C 3, 3B Majd a ( 11 ), ( 34 ) és ( 40 ) képletekkel: ' 61,0 3, 8,8 ; 1C 1C 8,8 3C Végül a ( 3 ), ( 33 ) és ( 41 ) képletekkel: 1C * 90 8,8 75, 0 90 13,8 ; 13,8 ( 39 ) ( 40 ) ( 41 ) ( 4 ) Most a ( 5 ) képlettel: v v v v v cos L R 1 R 1 141,5 166,3 141,5 166,3 cos13,8 km/h 44, 4 km/h; vl 44,4 km/h ( 43 ) Tehát a szél sebességének nagysága mintegy 44 km / h Ez a végeredmény jól egyezik az 1 ábrán közölt eredménnyel
9 Most ( 6 ) szerint: v R 141,5 arcsin sin arcsin sin13,8 49,5 ; v 44,4 49,5 L ( 44 ) Ez az eredmény elfogadhatóan egyezik az ábráról lemérhető hajlásszöggel Megjegyzések: M1 A számítás másképpen is berendezhető Javasoljuk, hogy az Olvasó állítsa fel a szerkesztést követő koordináta - geometriai, ill vektoralgebrai összefüggéseket, majd ezekkel számszerűen határozza meg és az előzőekkel hasonlítsa össze az eredményeket! M A szerkesztéssel nyert eredmények pontossága nyilván kisebb, mint a számítással kapott eredményeké Így történhet meg az, hogy a ( 44 ) szerinti, és az ábráról lemérhető megfelelő eredmények mintegy két fokkal eltérnek egymástól M3 Az imént tárgyalt sebességmérési mód inkább csak elvi jelentőségű, hiszen a repülőgépek fedélzeti műszereivel másképpen / többféleképpen is meghatározható a gép saját sebessége Azonban nem feledkezhetünk meg arról a lehetőségről sem, amikor a fedélzeti műszerek működésképtelenek Ekkor egy térkép és egy stopperóra nagy szolgálatot tehet M4 A fenti sebességmérési mód egyik alapfeltétele a szélsebesség nagyságának és irányának állandó volta a gyakorlatban ritkán teljesül Emiatt is csak közelítő pontosságúak az így kapott eredmények A mérések számának növelése és az adatok matematikai statisztikai feldolgozása / kiértékelése növelheti a valódi értékekhez közelebb álló eredmények meghatározásának esélyét II A szélháromszög A) [ 3 ] - ban az alábbiakat olvashatjuk Szélcsendben elméletileg az útirányszög megfelel a repülés irányszögének Szél esetén a légtömegek és vele együtt a repülőgép vízszintes irányban elmozdul Hátszél esetén a repülést segíti, szembeszél esetén nehezíti azt, míg oldalirányú fúvása esetén a gépet az útvonalról letéríteni szándékozik Hogy ez a szélsodrás ne következzen be, repülőgépünk hossztengelyét olyan szögbe kell a széllel szembe beállítani ( a szélre rátartani ), hogy az mindig a kijelölt útvonal felett haladjon A repülőgép mozgása így az útirányt tekintve mindig oldalazó A szélháromszög tehát nem egyéb, mint az I pontban is emlegetett sebességi háromszög; azt mutatja, hogy a repülőgép földhöz viszonyított sebessége az áramló levegő ( a szél ) sebességének és a gép szélhez képesti sebességének a vektoriális összege
10 B) Most tekintsünk egy navigációs problémát! Jelölések: v: a gép levegőhöz viszonyított sebessége; v : a gép földhöz viszonyított sebessége; u: a negatív szélsebesség; N, O, S, W: Észak, Kelet, Dél, Nyugat; α: a negatív szél irányszöge; β : a tényleges útirányszög; β: a tényleges géptengely - irány Forrása: [ 4 ] 3 ábra Adott: u, v, α, β Keresett: β, v Megoldás: Először: rajzoljuk meg a megfelelő sebességi vektorháromszöget ld 5 ábra! 5 ábra
11 Másodszor: számítsuk ki a β szög értékét! Az 5 ábra szerint: d u sin ' vsin ' ( 45 ) Innen: u ' arcsin sin ' v ( 46 ) Harmadszor: számítsuk ki a v sebesség - nagyságot! Például koszinusz - tétellel: v' u v u v cos ( 47 ) Ezzel a feladatot megoldottuk C) Egy internetes oldalon [ 5 ] az alábbiak olvashatók Navigációs szélháromszög Ha a szél irányát fokokban adják meg, akkor az azt jelenti, hogy: Észak: 0 ; Kelet: 90 ; Dél: 180 ; Nyugat: 70 Ha a szél iránya nem esik egybe az útvonalunkkal, akkor a szél nem csak a föld feletti sebességünket, hanem a haladási irányunkat befolyásolja A szél eltérítő ereje annál nagyobb: - Minél merőlegesebb szögben éri a gépünket a megfújás - Minél erősebb a szélsebesség - Minél hosszabb az útvonal - Minél kisebb az önsebesség Útvonalrepüléskor nagyon fontos ismernünk, hogy milyen nagy az a szögérték, amelyen repülve az eredetileg meghatározott útvonalon repülhetünk Ennek a matematikai úton történő meghatározása igen bonyolult és nagy a hibalehetőség, ezért a legegyszerűbb eljárást, a szerkesztést alkalmazzuk A szerkesztés menete a következő: - Megrajzoljuk a repülés útvonalát (A-B) irány és nagyság szerint (Vútvonal) - Erre az útvonalra tetszőleges léptékben felveszünk sebességértékeket km/h-ban számolva - Az A kiindulási pontból megrajzoljuk a szél irányát, és sebességét, de ugyanolyan léptékben és mértékegységben, mint amilyennel az A-B közötti szakaszt rajzoltuk meg (Vszélseb) - A szélsebesség vektor végpontjából (PIROS pont) egy olyan kört rajzolunk (ZÖLD KÖR), amelynek a sugara egyenlő a repülőgép önsebességével (A példán 160 km/h - ZÖLD pont) - Ahol a repülőgép önsebesség-vektora (Vönseb) metszi az útvonalra rajzolt sebességvektort (Vútvonal), az a pont határozza meg a föld feletti sebességünket (Kék pont), és az itt lévő a szög a rátartási szöget (SÁRGA szög) (A KÉK pont ás az A pont közötti távolság a föld feletti sebességvektorunkat határozza meg a Vffseb)
1 Az a szöget adjuk hozzá az iránytű irányszögéhez, és megkapjuk azt a szöget, amely felé a gépünk orrának állnia kell (nem számolva a deviációt, deklinációt), hogy pontosan a repülési irányon maradjon (miközben oldalra sodródik) D) Egy további feladat: a repülési sebesség számítása GPS - adatokból ld [ 6 ] A GPS - adatok: a gép földhöz viszonyított sebessége, nagyság és irány szerint, valamint a gép levegőhöz viszonyított sebességének iránya Az alapgondolat: két mérés során kapott adatokból számítani a keresett mennyiség(ek)et A számítást a 6 ábra alapján végezzük Jelölések: G i : Groundvelocity a gép földhöz viszonyított sebessége; W: Windvelocity a szélsebesség; A i : Airvelocity a repülőgép levegőhöz viszonyított sebessége; i =1,, a két mérésnek megfelelően Adott: G 1, G, φ G1,φ G ; φ A1, φ A GPS-adatok alapján Keresett: A
13 6 ábra Az első mérésnek megfelelő szélháromszöggel: G 1 = A 1 + W ( 48 ) A második mérésnek megfelelő szélháromszöggel: G = A + W ( 49 ) Itt kihasználtuk azt a tényt, hogy a szélsebesség nagysága és iránya mindkét mérés során ugyanaz Most képezve a két utóbbi egyenlet különbségét: G G 1 = A A 1 ( 50 ) Szorozzuk meg skalárisan önmagával ( 50 ) mindkét oldalát: G1 GG1 G cos A1 AA1 A cos ( 51 ) Itt felhasználtuk, hogy G G1 ( 5 ) és ( 53 ) A A 1
14 Most vegyük figyelembe, hogy a repülőgép levegőhöz viszonyított sebességének nagysága mindkét mérés során ugyanaz: A1 A A, ( 54 ) így ( 51 ) és ( 54 ) - gyel: G G G G cos A 1 cos ( 55 ) 1 1 Ezután használjuk fel az 1 cos sin ( 56 ) trigonometriai összefüggést, így ( 55 ) és ( 56 ) - tal: G1 G G1G cos Asin ( 57 ) - ből: G1 GG1G cos A sin Az egyszerűség kedvéért az 180 értéket választjuk, így ( 58 ) és ( 59 ) az ( 57 ) ( 58 ) ( 59 ) 1 A G G G G cos 1 1 ( 60 ) végeredményt adja Ezzel az eredeti feladatot megoldottuk Kiegészítés: Folytassuk a feladatot: határozzuk meg a mérési adatok és a számított eredmények alapján a szél sebességének nagyságát és irányát is! A számítást a 7 ábra alapján végezzük Először koszinusz-tétellel: W A G A G cos ( 61 ) i i i i i Figyelembe véve, hogy ( 6 ) i A G, i i valamint emlékezve ( 54 ) - re, a szélsebesség nagyságára kapjuk, hogy W A G AG cos, ( 63 ) ahol i = 1, i i i
15 A szélsebesség irányára nézve: di Gi sin i Wsin i, ( 64 ) innen ( szinusz-tétel ) Gi sin i sin i, W ( 65 ) azaz G i i arcsin sin i W ( 66 ) Végül: ( 67 ) i Ai i 7 ábra Minthogy fölös méréseink vannak, ezért az alábbiak szerint járunk el ( 6 ) szerint: ( 6 / 1 ), 1 A1 G 1 A G ( 6 / ) Most ( 63 ) szerint: W A G AG cos, ( 63 / 1 ) 1 1 1 1 W A G AG cos ( 63 / )
16 A két utóbbival: W1 W W ( 68 ) Folytatva: ( 66 ) szerint G 1 1 arcsin sin 1, ( 66 / 1 ) W G arcsin sin ( 66 / ) W A két utóbbi képletben már W ( 68 ) szerinti értéke szerepel Majd ( 67 ) szerint: ( 67 / 1 ) 1 A 1, 1 A ( 67 / ) Végül: 1 ( 69 ) Ezzel az eredetit kiegészítő feladatot is megoldottuk Irodalomjegyzék Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 008 június 1 [ 1 ] Heinz Neuber: Technische Mechanik, Dritter Teil: Kinetik Springer Verlag, Berlin Heidelberg, 1974 [ ] Szerk: Gáspár Gyula: Műszaki matematika, I kötet Tankönyvkiadó, Budapest, 1973 [ 3 ] Bede Tibor: Motoros ultrakönnyű repülés AE - RObit kiadó, Gödöllő, 1995 [ 4 ] http://wwwifpuni-bremende/ryder/lv/gk/mecpdf [ 5 ] http://wwwpumaszallashu/elmelet-repuleselmelet/repuleselmelet_11oldhtml [ 6 ] http://wwwacuradcom/airspeed/