Néhány történelmi mérföldkő Mezopotámia a II. évezred előtt. Hammurapi korának algebrája. Klukovits Lajos SZTE TTIK Bolyai Intézet 013. február 13. 1 Már a I.e.. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen ökológiai viszonyok ellenére. Kevés ásványi nyersanyag, pusztító árvizek: özönvizek. 3 Az első városok (falvak) kultikus helyeken 7000-től: 1 Dzsarmo (Kurdisztán) kb. 150 lakos, Jerico (Palesztina) kb. 000 lakos 6000 körül, 3 Ur (Dél-Mezopotámia) kb. 34.000 (!) lakos 800 körül. Az itt élő népek 1. 1 Az őslakók ismeretlenek. Az első ismert bevándorlók a SUMEROK. 3 Nem tudjuk merről jöttek, 4 biztosan nem tartoztak a semi-, ill. az indoeurópai népek családjába. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 1 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. / 44 Néhány történelmi mérföldkő Mezopotámia a II. évezred előtt. Néhány történelmi mérföldkő Mezopotámia a II. évezred előtt. Az itt élő népek. 1 Városállamokat alapítottak, a IV. évezred végén összeolvadtak az őslakókkal. 3 Megbízható régészeti (írásos) források kb. 750-től vannak, zömmel a városállamok harcairól a hegemóniáért. 4 Például Uruk Kis, és Ur Lagas. 5 500-tól Ur, a kor legnagyobb lakosságú városa, hegemóniája. 6 400 körül Lagas a vezető hatalom, az első társadalmi reform: Urukagina a kistermelők érdekében, majd az első kísérlet egységes birodalom létrehozására. 7 370 körül Sarrukin (Szargon) vezetésével AKKÁD hódítók, az első sémi nép e tájon. Átveszik és terjesztik a sumér kultúrát. Az itt élő népek kultúrája. 1 Ismeretlen eredetű képírás. 600 körül: a Gilgames eposz, az első irodalmi alkotás. 3 Özönvíz legendák. 1 Mintegy 50 ilyen legenda ismert. Görögök: Zeusz bosszúja az emberi romlottság miatt. 3 Maják: A gyékényen ülő bölcsek könyve. 4 A klasszikus bibliai történet. 4 Fontos találmányaik. 1 fazekaskorong, lovak használata, 3 ló vontatta kerekes járművek. 5 Kezdetleges, helyiértékes jegyeket is hordozó, számírás: jele az 1-nek és a 10-nek, meg a 60 hatványainak volt. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 3 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 4 / 44
Néhány történelmi mérföldkő Mezopotámia a II. évezred első harmadában Néhány történelmi mérföldkő Hammurapi törvényoszlopa. 1 000 körül több hullámban újabb, nomád, hódító sémi népek jönnek: (ismét) akkádok, elámiak, amurok/amoriták és mások. Letelepednek, újabb városokat alapítanak, köztük BABILONT. Gyors lakosságcsere, a sumer holt nyelv lesz, az akkád válik általánosan használttá. 3 A XVIII. század elején HAMMURAPI megalapítja az Óbabiloni Birodalmat. 4 Hammurapi törvényei, a XVIII. vagy a XIX sz. elején találták meg a törvényoszlopát Susa-ban (a források sok eltérő dátumot tartalmaznak). 5 Ma is érvényes és használt matematikai eredmények. 6 1600 körül a hettita hódítók megdöntik a birodalmat. Rövidesen a kassuk is jönnek, elterjesztik a lótenyésztést. 7 Asszir hódítók. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 5 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 6 / 44 Néhány történelmi mérföldkő Mezopotámia a II. évezred első harmadában A Behistum kőtábla. Néhány történelmi mérföldkő Írásos emlékek. 1 Az első számottevő leletegyüttes: Asszurbanipal asszir uralkodó Ninive-i könyvtára. 1870. A Behistum kőtábla megtalálása: 3 perzsa, asszir és méd nyelven tudósít I. Dareiosz perzsa uralkodó Kambüzesz fölötti győzelméről 4 A perzsa ismeretében megfejtették a másik kettőt, majd az asszir alapján az akkádot. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 7 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 8 / 44
Mezopotámiai aritmetika. Aritmetika A mezopotámiai számírás. Aritmetika A mezopotámiai számírás az Óbabiloni Birodalom korában. 60-as alapú következetesen helyiértékes számírást alkalmaztak. Mindössze két jelet használtak: saját jele az 1-nek és a 10-nek volt. Hiányossága: nem volt jele a számjegy hiányának. Egy példa. < < < A számjegyek írása. Az 1 jele, az ék : Nemcsak az 1-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványát jelölhette. A 10 jele, a sarokpánt : Ez szolgált a 60 bármely egész kitevős hatványa tízszeresének jelölésére is. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 9 / 44 < Ha egész szám, akkor lehet például 1 60 3 + 10 60 + 0 60 + 5 = 53.05, vagy 1 60 + 30 60 + 5 = 5.405, vagy akár 60 + 35 = 95 is. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 10 / 44 A mezopotámiai számírás. Aritmetika DE ők hatvanados törtekkel is számoltak. Újabb hiányosság: hatvanados vessző nincs. A lehetséges jelentések száma növekszik. Törtek. Néhány lehetséges jelentés: 1 + 10 60 1 + 0 60 + 5 60 3 60 + 35 60 = 60 7 1. = 1 + 1 6 + 1 180 + 1 43.00, Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 11 / 44 A mezopotámiai számírás. Neugebauer ötlete. Aritmetika A 60-as számrendszerben megadott számok decimális jegyekkel való föĺırására Neugebauer adott meg egy módszert: a 60-ados jegyeket decimálisan írjuk, és vesszővel választjuk el egymástól. A hatvanados-vesszőt pontosvesszővel jelöljük. Így az előbbi számok a következőképp írhatjuk: Az átírás. 1 60 3 + 10 60 + 0 60 + 5 = 1, 10, 0, 5 = 53.05, 1 60 + 30 60 + 5 = 1, 30, 5 = 5.405, 1 + 10 60 1 + 0 60 + 5 60 3 = 1; 10, 0, 5 = 1 + 1 6 + 1 180 + 1 43.00 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 1 / 44
Másodfokú egyenlet. Az eredeti szöveges megoldás. 1. Feladat. (Szenkereh). Hosszúság és szélesség. A hosszúságot és a szélességet összeszoroztam, és így megkaptam a területet. Amennyivel pedig a hosszúság meghaladja a szélességet, azt hozzáadtam a területhez, és 3, 3 [-at kaptam]. Hosszúság és szélesség összeadva pedig 7. Mi a hosszúság, szélesség, terület? Az eredmény közlése. 7 3, 3 az összegek 15 a hosszúság 1 a szélesség 3, 0 a terület Eljárásod ez legyen: 7-et, a hosszúság és a szélesség összegét 3, 3-hoz add hozzá; 3, 30 [az eredmény]. -t a 7-hez add hozzá; 9 [az eredmény]. 9-ből letöröd a felét; 14; 30-szor 14; 30 [az] 3, 30; 15. Levonsz 3, 30-at 3, 30; 15-ből; 0; 15 a különbség. 0; 15 négyzetgyöke 0; 30. Az első 14; 30-hoz add hozzá a 0; 30-at: a hosszúság 15. 0; 30-at a második 14; 30-ból kivonsz: a szélesség 14. Azt a -t, amit a 7-hez hozzáadtál, 14-ből, a szélességből levonod: 1 a végleges szélesség. A 15 hosszúságot és a 1 szélességet összeszoroztam. 15-ször 1 [az] 3, 0 [ennyi a] terület. A 15 hosszúság a 1 szélességen mennyivel nyúlik túl? 3[-mal] haladja meg. 3-at a 3, 0-hoz, a területhez adj hozzá: 3, 3[-at kapsz]. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 13 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 14 / 44 Elemzés 1. Elemzés. Mai jelölésekkel az egyenletrendszert kapjuk. xy + x y = 3, 3 x + y = 7 A számolás második lépéséből látszik, hogy az y szélesség helyett egy új y = y + szélesség bevezetésével kapjuk, hogy xy = 3, 30 x + y = 9. Az eredeti megoldás lépései és következményei ezen egyenletrendszer alakításában. Párhuzamos számolás 1. 7 + 3, 3 = 3, 30 xy = 3, 30 + 7 = 9 x + y = 9 9 : = 14; 30 14; 30 14; 30 = 3, 30; 15 3, 30; 15 3, 30 = 0; 15 x + y = 14; 30 ( ) x + y = 3, 30; 15 ( ) x + y xy = 0; 15 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 15 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 16 / 44
Elemzés 3. Elemzés 4. Párhuzamos számolás. (x ) + y 0; 15 = 0; 30 xy = x y = 0; 30 14; 30 + 0; 30 = 15 x + y + x y = x = 15 14; 30 0; 30 = 14 x + y x y = y = 14 14 = 1 y = y = 1 Az 1. Feladat megoldásának összegzése. Mai szimbolikával a szöveges probléma egy alakú egyenletrendszerre vezet. xy = P x + y = a Ennek megoldásakor bevezettek egy új w határozatlant (a két eredeti határozatlan számtani közepétől való eltérést), amelynek révén egyhatározatlanossá vált a probléma: Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 17 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 18 / 44 Elemzés 5. Másodfokú egyenletek. Az 1. Feladat megoldásának összegzése. x = 1 a + w y = 1 a w, w = (1 a ) P. Mit kellene ehhez tudni? Egyrészt ismerniük kellett az alábbi azonosságokat: Fontos megjegyzések. Hangsúlyozni kell, hogy formulákat kizárólag a mai olvasó könnyebbségére írtunk és írunk föl. Nyomatékosan hangsúlyozzuk, hogy a korabeli írnok minden probléma megoldását szövegesen írta le. (a + b) = a + ab + b (1) (a b) = a ab + b, () másrészt tudniuk kellett négyzetgyököt vonni. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 19 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 0 / 44
További másodfokú egyenletek.. Feladat. VAT 6598. Megoldandó az egyenletrendszer. Megoldás. xy = P x y = d Most a határozatlanok számtani közepére vezettek be új határozatlant, mi w-vel jelöljük. x = w + d, y = w d, ahol w = (d ) + P. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 1 / 44 További másodfokú egyenletek. Előretekintés. A két ismertetett feladat megoldási módszere szerepel I.sz. 50 körül élt alexandriai Diophantosz Aritmetikájában, mint az összeg és különbség módszere. További problémák: 8. Probléma: Megoldandó az egyenletrendszer. x + y = S = 1, 40 x + y = a = 50 A számolás az mutatja, hogy a második egyenlet négyzetéből kivonták az első egyenletet, és ezzel ugyanolyan egyenletrendszert kaptak, mint az 1. Feladatban szereplő, s az ott megismert módon a Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. / 44 8. Probléma. w = formulák által leírt úton haladtak. S ( a ), x = a + w, y = a w, 9. Probléma. A második egyenlet most x y = d = 10 alakú, s a megoldás az előbbiekhez hasonló formulákkal adható meg. w = S + x = w + d, y = w d. ( ) d, Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 3 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 4 / 44
. Probléma. Kivontam a négyzetet a területéből és az 14, 30. Az eredeti megoldás. Vedd az 1-et [az együtthatót] és osszad két részre. A 0; 30-at szorozd önmagával, az 0; 15. Ezt add hozzá a 14, 30-hoz. A 14, 30; 15 [négyzet]gyöke 9; 30. Ezt add hozzá a 0; 30-hoz, amit önmagával szoroztál. Ez 30, ami a négyzet [oldala].. Probléma elemzése. A probléma az x x = 14, 30 egyenlet, egy x ax = b alakú egyenlet, megoldását kívánja. Látható, a bal oldalt teljes négyzetté alakították (a () azonosság alkalmazása), és a ma mérlegelvnek nevezett módszert alkalmazták. Az utóbbi első alkalmazását az 1930-as évekig a I.sz. VIII. században élt al-khwarizminek tulajdonították. A számolás eredménye. Az x ax = b alakú egyenlet megoldása: x = 1 a + (1 ) + b Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 5 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 6 / 44 Itt a gyökképlet? 7. Probléma. A négyzet hétszereséhez hozzáadtam a terület tizenegyszeresét és ez 6; 15. A megoldás elve. A egyenletet kell megoldanunk. 11x + 7x = 6; 15 Ismét négyzetté alakították az egyenlet bal oldalát, de ehhez előbb 11-gyel megszorozták az egyenlet, azaz a egyenlettel dolgoztak., 1x + 1, 17x = 1, 8; 45 A megoldás mai jelölésekkel. A megoldandó egyenlet alakú. Számolásuk az formulával írható le. ax + bx = c x = 1 ( ) b ca + b a Észrevétel. Az előbbi két megoldás azt tanúsítja, hogy tulajdonképpen ismerték a másodfokú egyenletek gyökképletét, hiszen aszerint számoltak. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 7 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 8 / 44
Még néhány feladat módszereik erejének demonstrálására. Világos azonban, hogy NEM a KÉPLETET ismerték, hanem azt az eljárást, amivel az megkapható. 14. Probléma. Két négyzetem területét összeadtam, [az] 5,5. A második négyzet [oldala] kétharmada az első négyzet[é]nek és még 5. A megoldás 1. Ha x, y jelöli a két négyzet oldalát, akkor az egyenletrendszert kell megoldani. x + y = 5, 5 y = 0; 40x + 5 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 9 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 30 / 44 BM 13901/14. 14. Probléma. A második egyenletből y-t az elsőbe helyettesítve, a 1 x + a x = a 3 alakú másodfokú egyenletet kapunk. DE, e módszer a behelyettesítés bevezetését szintén al-khwarizminek tulajdonították. A megoldás. Az agyagtáblán található számolás ezt a vélekedést is cáfolja, ugyanis a következőképp számoltak: 1 + 0; 40 0; 40 = 1; 6, 40, 5 0; 40 = 3; 0, 5, 5 5 5 = 5, 0 Ez pedig nem más, mint azon egyenlet együtthatói kiszámítása, amit az emĺıtett behelyettesítéssel kapunk, azaz x + (0; 40x + 5) = 5, 5. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 31 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 3 / 44
BM 13901/14. BM 13901/14. A megoldás 3. Rendezve (1 + 0; 40 )x + 5 0; 40x = 5, 5 5 = 5, 0. Ezen egyenlet megoldását az alábbi számolásokkal végezték el: 1; 6, 40 5, 0 = 36, 6; 40, 3; 0 3; 0 = 11; 6, 40, 36, 6; 40 11; 6, 40 = 36, 17; 46, 40. A megoldás 4. (erdeti) A gyöknek és annak, amit önmagával szoroztál a különbsége 43; 40. Ha ezt megszorzod 1; 6, 40 reciprokával, megkapod az egyik négyzetet [a négyzet oldalát], ami 30. A másik négyzet [oldala] pedig 5. Megjegyzés. Hasznos lehet az érdeklődők számára a reciprok meghatározása hatvanados tört alakban, mi nem részletezzük. Az azonban világos, hogy korrekt megoldást kaptak. Ezután megadták a 36, 17; 46, 40 négyzetgyökét, ami 46; 40, majd így folytatták. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 33 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 34 / 44 BM 13901/14. A mezopotámiai algebra. Elemzés. Világos, hogy a behelyettesítés után kapott ax + bx = c alakú egyenletet előbb a-val megszorozták, ismét egy olyan lépés, aminek első alkalmazását al-khwarizminek szokás tulajdonítani, majd az egyenlet bal oldalát teljes négyzetté alakították, (ax + b) = ac + b. ezután gyökvonással kapták a megoldást: ac + b x = b. a Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 35 / 44 Tanulságok. Az Óbabiloni Birodalom írnokai ismerték az (1) és () azonosságokat. Ismerték már az al Khwarizminek tulajdonított al-muqabla és al-jabr módszert. Minden olyan (pozitív együtthatós) másodfokú egyenletet meg tudtak oldani, amelyiknek volt pozitív gyöke (két pozitív gyök esetén csak a nagyobbikat adták meg). Így az egyenletek 3 típusával foglalkoztak: x + px = q x = px + q x + q = px Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 36 / 44
A mezopotámiai algebra. A mezopotámiai algebra. Egy igazi gyöngyszem A szöveges probléma a egyenletrendszerre vezet. 0; 0(x + y) + 0; 1(x y) = 15 xy = 10, 0 E feladatot tartalmazó, a Yale Egyetem gyűjteményében őrzött, agyagtábla csak egy töredék, a feladat megoldása már hiányzik róla. Az előbbiekben ismertetett megoldási technikák közül azonban több is kínálkozik. Ötletek. 1 A második egyenletből kifejezzük az egyik határozatlant, majd behelyettesítjük azt az elsőbe. Ez azonban teljes harmadfokú egyenletre vezet, ami eddigi ismereteink szerint már meghaladja a korabeli ismereteket. Egy másik lehetőség az, hogy a második egyenlet 4 0; 1-szeresét hozzáadva az első egyenlethez az 0; 0(x + y) + 0; 1(x + y) = 6, 55 (x + y)-ban másodfokú egyenletet kapjuk, amely már kezelhető lehetne az ismert módszerekkel. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 37 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 38 / 44 A mezopotámiai algebra. Elemzés 1. 1 Csak speciális, például x 3 = A, vagy x 3 + x = B alakú harmdfokú egyenleteket tartalmazó táblák ismeretesek. A teljes harmadfokú egyenletek bizonyos típusainak megoldására először a közel három évezreddel későbbi iszlám matematikusok adtak meg geometriai módszereket. E lehetőséget így el kell vetnünk. Ez az út elképzelhető ugyan, de véleményem szerint kevéssé valószínű. Nem ismertek (még) e módszert tartalmazó táblák. A mezopotámiai algebra. Elemzés. Neugebauer egy ötlete, amely jól illeszkedik gondolkodásmódjukhoz: vezessünk be két új határozatlant, a következő meggondolással. Számos feladatban szerepel a határozatlanok összege vagy különbsége, és a határozatlanok szorzata. Itt az a többlet, hogy mind az összeg, mind a különbség szerepel. Mindkét esetben célszerű volt új határozatlanként az eredetiek számtani közepét, és az attól való eltérést bevezetni. Most is tegyünk így, azaz alkalmazzuk az x = u + v y = u v helyettesítéseket. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 39 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 40 / 44
A mezopotámiai algebra. Négyzetgyökvonó algoritmus Egy megmaradt kérdés. Elemzés 3. A helyettesítésekkel az egyenletrendszert kapjuk, 0; u + 0; 4v = 15 u v = 10, 0 amely már könnyen megoldható, csak a második egyenletből v - et az elsőbe kell helyettesítenünk, vagy a második egyenlet 0; 4-szeresét hozzá kell adnunk az elsőhöz. Ez annak ellenére szimpatikus ötlet, hogy más ismert feladatoknál csak egy új határozatlant vezettek be, míg itt egyszerre kettőt kellene. Hogyan számolták ki (pozitív) számok négyzetgyökét? A Yale Egyetem gyűjteményének YBC 789-es agyagtábláján szerepel a kiszámítása 3 hatvanados tört helyiértékre: 1; 4, 51, 10. E szám decimálisan közeĺıtőleg 1, 414196, ami csak kb. 6 10 7 -nel tér el a helyes értéktől. Ezt a pontosságot a reneszánsz kor vége felé tudták újra elérni az európai, valamint az iszlám matematikusok. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 41 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 4 / 44 A négyzetgyökvonás. Négyzetgyökvonó algoritmus A négyzetgyökvonás. Négyzetgyökvonó algoritmus Iterációs eljárás. a-t akarjuk meghatározni. 1. lépés: Válasszunk egy a 1 közeĺıtést, a második legyen a b 1 = a a 1. lépés: Legyen a = a1+b1, és b = a a. Világos, hogy a és b között van, valamint a 1 b 1 > a b Az eljárást a kívánt pontosság eléréséig kell folytatni, de hány lépés kell. Iterációs eljárás. A konvergencia gyorsaságát mutatja, hogy ha értékét az előbbi módon az a 1 = 1 kezdő értékkel számoljuk, akkor az a 5 értéke megegyezik azzal a számmal amit a mai általánosan használt zsebkalkulátorok szolgáltatnak. A pontosság kb. 6 10 7. Az utóélet. Ezen algoritmust a későbbi korok számos tudósnak tulajdonították. Olvashatunk róla úgy, mint a I.e.. 46-365 között élt tarrentumi Archytas (az utolsó nagy pitagoreus ), a I.sz. 100 körül élt alexandriai Heron eljárása, de úgy is, mint Newton algoritmusa. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 43 / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. 44 / 44