Az egyenáramú hálózatok

1. hálózatok fogalma és csoportosítása z egyenáramú hálózatok z elektromos termelőkből (feszültségforrás, áramforrás) és fogyasztókból (ellenállások) illetve az ezeket összekötő vezetékekből álló elrendezést villamos hálózatnak nevezzük. gyakorlatban az áramot - a szabad töltések rendezett haladó mozgását - egy generátor feszültségével hozzuk létre egy meghatározott - vezetőkből kialakított úton, az úgynevezett áramkörben. legegyszerűbb áramkör (1. ábra) a feszültséget szolgáltató generátorból, fogyasztóból és a töltések rendezett haladó mozgását biztosító vezetőpárból áll. + _ generátor olyan energiaátalakító, mely a bevezetett mechanikai, hő, kémiai stb. energiát a villamos töltés mozgatására alkalmas villamos energiává alakítja oly módon, hogy a töltéseket szétválasztja. töltések a generátor egyik kivezetésén át az összekötő vezetéken és a fogyasztón áthaladva a generátor másik kivezetéséhez jutnak Elágazásmentes áramkörben az áramerősség értéke állandó! generátor kivezetéseit, csatlakozási pontjait kapcsoknak nevezzük. Ezeket a kapcsokat pozitív és negatív jelöléssel látjuk el. z összekötő vezetékek teszik lehetővé a töltéshordozók áramlását a generátor egyik sarkától - a terhelőellenálláson keresztül - a generátor másik sarkáig, mert áram csak zárt áramkörben folyhat! gyakorlatban az áramkör nyitását vagy zárását kapcsolóval (K) lehet g 0 a) 1. ábra K. ábra g 0 b) megoldani (a ábra). generátor ( g ) feszültségének hatására az áramkörben áramerősség fog kialakulni (b ábra). z összekötő vezetékek ellenállását egyelőre elhanyagoljuk, tehát ideális összeköttetést tételezünk fel a generátor és a terhelőellenállás között. Ekkor a fogyasztó kapcsain fellépő feszültség megegyezik a generátor feszültségével (1. ábra). generátort ideálisnak tekintjük, tehát kapocsfeszültsége az áram értékétől függetlenül állandó. zárt áramkörben az áramerősség felvett pozitív irányát a pozitív töltéshordozók haladási iránya alapján határozzuk meg. z áram iránya a generátor pozitív pólusától a fogyasztón át a negatív pólus felé mutat. z áram irányát háromszög végű nyíllal jelöljük, így különböztetjük meg a feszültséget jelölő nyilaktól. Tehát az egyszerű áramkörben a feszültségnyíl mind a generátoron, mind a fogyasztón a pozitív kapocstól a negatív felé mutat. töltéshordozók az egyszerű áramkörben ugyanabban az irányban haladnak, és az áramerősség az áramkör minden pontján ugyanakkora. z ábrában (1 ábra) az áramerősséget több helyen is feltüntettük, ezzel is jelezve, hogy a generátor, a fogyasztó és az összekötő vezetékek árama is ugyanakkora. Ezért az áramnyíl iránya a generátornál ellentétes a feszültségnyíl irányával (az 0 feszültség és az áram kijelölt iránya ellentétes), a fogyasztónál azonos a feszültségnyíl irányával (az feszültség és az áram iránya) megegyező. Ezek a feszültség és az áramerősség megállapodás szerinti (ún. konvencionális) pozitív irányai. Ha a termelők csak egyenfeszültséget (egyenáramot) szolgáltatnak, akkor egyenáramú hálózatról beszélünk. továbbiakban ezt feltételezzük, és a fogyasztókat az ellenállásukkal helyettesítjük, tehát minden fogyasztó ellenállás. K 1 MF-KVK-VE

legegyszerűbb hálózat az egyszerű áramkör (3a ábra), amely egy generátorból és egy ellenállásból áll. termelőt a fogyasztóval összekötő vezeték ellenállását elhanyagoljuk. z áramkört a K kapcsoló zárja. Összetett villamos hálózatról beszélünk, ha elágazások is vannak az áramkörben (b ábra). K 1 g t g. 4. 3 a) b) 3. ábra zárt áramkört huroknak nevezzük. z egyszerű áramkör egyetlen hurok (a ábra), míg összetett áramkörökben több hurok is kijelölhető (b ábra). Tehát a hurok egy olyan zárt áramkör, amelyben termelők és/vagy fogyasztók találhatók. z összetett hálózatok csomópontjai azok a pontok ( és pont), ahol kettőnél több vezető találkozik. két csomópontot összekötő hálózatrészt ágnak nevezzük, amely sorbakapcsolt termelőket és/vagy fogyasztókat tartalmaz. b ábrán három ilyen ág látható. 3. ábrán aktív hálózatok láthatók, amelyek generátort tartalmaznak, így az ellenállásokon áram folyik, feszültség mérhető. z 4. ábrán passzív hálózatokat ábrázoltunk, amelyeket úgy kaptunk, hogy az előző áramkörökből eltávolítottuk a generátort. 4. ábrán látható elrendezések 1 3 kétpólusok, azaz két kivezetéssel rendelkező hálózatrészek. Ezek termelőt nem tartalmaznak, tehát passzív kétpólusok, 4 amelyek egyetlen adattal, az eredő ellenállással (ld. később) jellemezhetők. a) b) 4.ábra Ellenőrző kérdések: 1. Mit nevezünk villamos hálózatnak?. Milyen elemekből áll az egyszerű áramkör? 3. Mit nevezünk huroknak illetve csomópontnak? 4. Mit nevezünk ágnak, és mi a kapcsolat a hurok és az ág között? 5. Mit nevezünk passzív kétpólusnak, és hány adattal jellemezhetjük?. z Ohm-törvény Végezzünk kísérletet az 5. ábra szerinti elrendezéssel. jelű fogyasztó egy adott hosszúságú és keresztmetszetű ellenállás-huzal. generátor feszültségét változtassuk, és a voltmérő illetve ampermérő segítségével határozzuk meg az összetartozó - értékpárokat (1.). Ezután növeljük meg a vezető hosszát, és ismételjük meg a vizsgálatot (.). Feltételezzük, hogy a vizsgálatok során a vezető hőmérséklete nem változik. kapott eredményeket ábrázoljuk - koordináta-rendszerben (6. ábra). Ez alapján két fontos megállapítást tehetünk: V 5.ábra MF-KVK-VE

1. z ábrázolt pontokat összekötve mindkét esetben egyenest kaptunk, tehát az áram és feszültség között arányosság áll fenn (lineáris kapcsolat).. második esetben ugyanakkora feszültséghez kisebb áram tartozik, tehát a két mennyiség közötti. arányosság mértékét a fogyasztó jellemzői határozzák meg. Mérési tapasztalatainkat általánosíthatjuk: egy 1. áramkör tetszőleges szakaszán az áram- és feszültségviszonyokat vizsgálva azt tapasztaljuk, hogy a feszültség az áramerősséggel arányos: 6. ábra vezető ellenállást fejt ki a töltések áramlásával szemben, amit az arányossági tényezővel jellemezhetünk. z arányossági tényező a vezetőre jellemző állandó, neve: villamos ellenállás. Tehát Ohm törvénye szerint: Egy ellenállás kapcsain fellépő feszültség a rajta átfolyó áramerősséggel arányos, ha az ellenállás értéke nem változik. Írjuk fel a törvényt mindhárom használt alakjában: z első alak szerint az ellenállás kapcsain fellépő feszültséget meghatározhatjuk, ha a rajta átfolyó áramot ismerjük. második szerint az ellenállás kapcsain fellépő feszültség alapján az ellenálláson átfolyó áramot meghatározhatjuk, ha az ellenállás értékét ismerjük. harmadik összefüggés az ellenállás értékének meghatározására alkalmas, ha a rajta átfolyó áramot és a kapcsain ennek hatására fellépő feszültséget ismerjük. z 5 ábra szerint elvégzett mérés során meghatározott feszültségek és áramok hányadosa állandó, és a vezető ellenállását adja meg (7. ábra). z egyenes egyenletében, amit az Ohm-törvény alapján írhatunk fel, a meredekség a vezető ellenállásával egyezik meg. z ellenállás egysége V Ω (ohm). Egy ohm olyan vezető két pontja közötti elektromos ellenállás, amelyek között egy amper erősségű áram folyik, ha e két pont közötti feszültség egy volt. z ellenállás reciprok értékét vezetésnek nevezzük: G 1 vezetés mértékegysége: 1 Ω S (Siemens). áll. 7. ábra Tehát az Ohm törvényt az alábbi alakban is felírhatjuk: G Egy áramköri elem villamos ellenállását meghatározhatjuk az Ohm-törvény alapján, ha ismerjük a rajta átfolyó áramot, és ennek hatására a kapcsai között fellépő (mérhető) feszültséget. z ellenállás értékét számítással is meghatározhatjuk, de ehhez megfelelő adatokra van szükségünk. z esetek többségében megadott hosszúságú és keresztmetszetű - általában valamilyen fémből vagy fémötvözetből készült - huzalról (vezeték) van szó. Tapasztalataink szerint a huzal villamos ellenállása egyenesen arányos a huzal hosszával, és fordítottan arányos. a huzal keresztmetszetével. 3 MF-KVK-VE

z ellenállás értéke nemcsak a huzal geometriai méreteitől, hanem az anyag milyenségétől is függ. Ezt az arányossági tényezőt fajlagos ellenállásnak hívjuk, és ρ (görög ró) betűvel jelöljük. Így az adott huzal ellenállását az összefüggés alapján határozhatjuk meg, ahol l a vezetőnek az elektronok áramlási irányába eső hossza, és az áram irányára merőleges keresztmetszet. Fejezzük ki a fenti összefüggésből a fajlagos ellenállás értékét: ρ l Ha a tört értéke 1, akkor a ρ és számértékre megegyeznek, tehát a fajlagos ellenállás az egységnyi keresztmetszetű és egységnyi hosszúságú huzal ellenállását adja meg. fajlagos ellenállás mértékegysége: [ ] [ ] [ ] m ρ Ω Ω m l m műszaki gyakorlatban előforduló keresztmetszeteket általában mm -ben adjuk meg. mm használata esetén is az S mértékegység-rendszerbe illeszkedő egységet kapunk, mert a mm is S mértékegység: -6 mm 10 m 6 1 Ω 1 Ω 10 Ω m 1 µ Ω m m m nyag ρ 0, 10-8 Ω m alumínium,7 réz 1,75 sárgaréz 6,6 ezüst 1,6 arany, nikkel 7 platina 9,8 vas 10 ólom 1 higany 97 szén 0,01 konstantán 50 manganin 43 ρ [] fajlagos ellenállás értékét néhány gyakrabban előforduló anyagra a mellékelt táblázatban megadtuk. táblázat második oszlopában a 0 o C hőmérséklet estén érvényes értékek láthatók. z ellenállás reciproka a vezetés (G), a fajlagos ellenállás reciproka a fajlagos vezetés (γ): 1 1 1 G γ l ρ ρ l l Ha a huzal anyagát és átmérőjét ismerjük, akkor meghatározhatjuk az adott értékű ellenállás elkészítéséhez szükséges huzal hosszát. z 7. ábra alapján megállapíthatjuk, hogy az ellenállás árama a rákapcsolt feszültséggel arányosan (lineárisan) növekszik. Lineáris hálózatok esetén valamennyi ellenállás értéke független a rajta átfolyó áram illetve a kapcsain fellépő feszültség értékétől. Ez azt jelenti, hogy a generátor feszültségével arányosan változik valamennyi ellenállás árama vagy feszültsége. Mi a továbbiakban csak lineáris hálózatokkal foglalkozunk. vizsgálatok során feszültséget és áramot kell mérnünk. z ellenálláson fellépő feszültséget feszültségmérővel (voltmérő) mérjük (8a ábra). voltmérő - melyet a fogyasztóval párhuzamosan kell kötni - az áramkör két pontja közötti feszültséget méri. z ideális feszültségmérőnek végtelen nagy a belső ellenállása, így a hálózatból teljesítményt nem vesz fel, a rákapcsolt feszültség hatására áram nem folyik, azaz az áramkörben szakadásként viselkedik. l 4 MF-KVK-VE

z ellenálláson átfolyó áram erősségét árammérővel (ampermérő) mérjük (8b ábra). z ampermérő az időegység alatt átáramló töltések mennyiségét méri, ezért a fogyasztóval sorba kell kapcsolni. z ideális ampermérő belső ellenállása nulla, a rajta átfolyó áram hatására a kapcsai között feszültség nem lép fel, azaz az áramkörben rövidzárként viselkedik. 0 V 0 a) b) 8. ábra szakadás illetve a rövidzár felfogható az áramkör egy-egy speciális ágaként. szakadás nagy ellenállású, míg a rövidzár nulla ellenállású ágnak tekinthető. Ellenőrző kérdések: 1. Milyen kapcsolat van az ellenállás árama és feszültsége között?. Mit értünk villamos ellenállás alatt, és mi a mértékegysége? 3. Írja fel és értelmezze az Ohm-törvény különböző alakjait! 4. Mit értünk vezetés alatt, és mi a mértékegysége? 5. Mit értünk fajlagos ellenállás és fajlagos vezetés alatt? 6. Mikor tekinthetünk egy hálózatot illetve elemet lineárisnak? 7. Hogyan mérünk feszültséget illetve áramot? 8. Hogyan helyettesíthető az ideális voltmérő illetve ampermérő? 3. Joule-törvény villamos áram kialakulásának feltétele, a töltéshordozók áramlását fenntartó villamos tér jelenléte. Ez akkor jöhet létre, ha a fogyasztó kapcsaira feszültséget kapcsolunk. villamos térben elmozduló töltések mozgatásakor a tér munkát végez, melynek nagysága: W Q ahol a Q töltésmennyiség az feszültség hatására elmozduló töltéseket jelenti. Ha az időegység alatt átáramló töltések száma ( áramerősség) állandó, akkor a t idő alatt elmozduló összes töltés a Q t összefüggéssel határozható meg. Ezt behelyettesítve a munka összefüggésbe megkapjuk a villamos munka meghatározására alkalmas általános összefüggést:. W t Ezt az összefüggés a Joule-törvény. z összefüggés akkor használható, ha a t idő alatt az feszültség és áramerősség értéke nem változik. Mivel mi csak egyenáramú hálózatokat vizsgálunk, ez a feltétel teljesül. villamos munka mértékegysége: V s W s (wattszekundum). Kapcsolata más mértékegységekkel: 1 Ws 1 J (joule) 1 Nm. Ez nagyon kis egység, ezért a gyakorlatban az áramszolgáltatók a villamos fogyasztást kwh-ban (kilowattóra) mérik. két mennyiség közötti kapcsolat: 1 kwh 1 kw 1h 1000 W 3600 s 3,6 10 6 Ws 5 MF-KVK-VE

Megadhatjuk a villamos munkát az Ohm törvény felhasználásával más formákban is: W t t t villamos munka az energia egy megjelenési formája. z általunk használt készülékek ezt más energia fajtává alakítják át: pl. a villamos tűzhely főzőlapja hővé, a turmixgép vagy a fúrógép motorja mechanikai energiává. villamos teljesítmény a villamos készülékek, berendezések munkavégző képességét jellemző adat, amely az időegység alatt végzett (vagy végezhető) munka értékét adja meg. Tehát a teljesítmény a munkavégzés sebességét határozza meg. fogyasztóra jutó villamos teljesítmény időben egyenletes munkavégzés esetén: P W t villamos munka képletének felhasználásával a villamos teljesítmény: P t t amiből P Mértékegysége: W (watt). 1 W 1 J 1 Nm. s s Kifejezhetjük a villamos teljesítményt az Ohm-törvény alapján a fogyasztó ellenállásának segítségével is: P Megállapíthatjuk, hogy a fogyasztó teljesítménye a rajta átfolyó áram illetve a kapcsain fellépő feszültség négyzetével arányosan változik. Például kétszeres feszültség vagy áram esetén a teljesítmény négyszeresére nő. fogyasztók névleges teljesítménye fontos adat, hiszen ennek ismeretében a fenti összefüggés alapján meghatározhatjuk azt az áramot illetve feszültséget, amellyel a fogyasztó tartósan igénybe vehető. Ezért ezt az adatot általában feltüntetik a készülékeken, berendezéseken. Ennek ismeretében a fogyasztó névleges jellemzőit (áramfelvétel, ellenállás) is meghatározhatjuk. W V a) b) 9.ábra Egyenáramú körökben egy fogyasztó teljesítményét voltmérővel és ampermérővel is meghatározhatjuk (9a ábra), mert a mért értékekből a teljesítményt már számolhatjuk. villamos teljesítmény közvetlen mérésére alkalmas műszereket wattmérőnek nevezzük. wattmérő olyan műszer, amely egy áramtekerccsel és egy feszültségtekerccsel rendelkezik. gy a fogyasztón átfolyó áramot, valamint a fogyasztó kapcsain fellépő feszültséget méri. Ezek szorzatát képezi, és a szorzattal (a fogyasztói teljesítménnyel) arányosan 6 MF-KVK-VE

kijelzést ad. wattmérő áramtekercsét a fogyasztóval sorosan, a feszültségtekercsét pedig azzal párhuzamosan kell kötni (9b ábra). Célszerű az áramtekerccsel sorba ampermérőt, a feszültségtekerccsel párhuzamosan voltmérőt kapcsolni.. műszeren leolvasott kitérésből ugyanis nem következtethetünk arra, hogy mekkora áram folyik át az áramtekercsén, illetve mekkora feszültség lép fel a feszültségtekercs kapcsai között. P be Fogyasztó (energiaátalakító) P h villamos energia veszteségek P v hő-, mechanikai-, fény-, vegyi stb energia 10.ábra generátorra (villamos hálózatra) csatlakozó fogyasztók a generátorból (hálózatból) energiát vesznek fel, és azt munkavégzésre fordítják. felvett villamos energiát átalakítják más energia típussá, és az energiaátalakítás során veszteségek lépnek fel (10 ábra). Például a tűzhely főzőlapjában keletkező egy része a környezet felé távozik, a turmixgép motorjának tekercse és vasteste is melegszik, tehát a hasznosuló (leadott) energia mindig kisebb lesz, mint a generátorból felvett (összes) villamos energia. betáplált energiának azon részét, amely nem hasznosítható más energiává alakul, veszteségnek nevezzük. hatásfok a hasznosított és az összes energia hányadosa (10 ábra), tehát viszonyszám. Értékét százalékban szoktuk megadni: W η W h ö 100 (%) W h mindig kisebb, mint a W ö, ezért a hatásfok mindig kisebb, mint 100%. Ha a teljesítmény időben állandó, akkor a hatásfok értelmezhető az időegységre jutó energiára, tehát teljesítményekre is. z értelmezés szerint: P. η h P h Pö Ph + Pveszt Ellenőrző kérdések: 1. smertesse a Joule-törvényt!. dja meg a villamos munka mértékegységeit! 3. Hogyan határozhatjuk meg egy ellenállás munkáját? 4. dja meg a villamos teljesítmény definícióját és mértékegységét! 5. Hogyan határozhatjuk meg a fogyasztó teljesítményét? 6. Hogyan és milyen műszerrel mérhetjük a villamos teljesítményt? 7. Hogyan és milyen műszerrel mérhetjük a villamos munkát (fogyasztást)? 8. Mi a hatásfok, és hogyan határozhatjuk meg? 7 MF-KVK-VE

4. Kirchhoff-törvények hálózatok vizsgálata során alapvető jelentőséggel bírnak a Kirchhoff-törvények. Mint később látni fogjuk, a hálózatok számítását megkönnyítő, elősegítő összefüggések, képletek döntő többsége az Ohm-törvény illetve a Kirchhoff-törvények alkalmazásával származtatható, illetve a hálózatok számítása során ezeket közvetlenül is használjuk. Kirchhoff. törvénye, a csomóponti törvény szerint: a csomópontban találkozó áramok algebrai összege nulla. n i i 1 ahol n a csomópontban találkozó ágak száma. z algebrai összeg előjelhelyes összegzést jelent. Tekintsük a csomópontba befolyó áramokat pozitív előjelűnek, a csomópontból kifolyó áramokat pedig negatív előjelűnek. 11. ábra alapján felírhatjuk: 1 3 + 4 0 1 Tehát a törvény helyes felírásához az áramoknak felvett iránnyal kell rendelkezniük, amit a felírásnál figyelembe kell venni. 4 törvény másik közismert megfogalmazása: a csomópontba befolyó áramok összege egyenlő a 3 csomópontból elfolyó áramok összegével (azaz a csomópontban töltés nem halmozódhat fel): 11. ábra be ki 11. ábra alapján felírva: 1 + 4 + 3 Könnyen belátható, hogy ez azonos az előbb felírt összefüggéssel. Határozzuk meg az 1 áram nagyságát és irányát, ha, 3-5 és 4 6. z 3 áram esetén a -5 azt jelenti, hogy az ág áramának tényleges iránya a 11. ábrán bejelölt iránnyal ellentétes! z utóbb felírt egyenletből az 1 áramot kifejezve: 1 + 3 4 + ( 5 ) 6 9 kapott eredmény azt jelenti, hogy az adott ágban - a bejelölttel ellentétes irányban - a csomópontból kifolyik 9. Tehát ha a számítások során a keresett áramra negatív előjelű mennyiséget kapunk, akkor ez fizikailag azt jelenti, hogy az áram tényleges iránya a törvény felírásakor feltételezettel ellentétes. Kirchhoff. törvénye, a huroktörvény szerint: egy zárt hurok feszültségeinek algebrai összege nulla. n ahol n a zárt hurokban található i 0 elemek száma. i 1 feszültségek összegzésének két feltétele van: 1./ a hurokban egy körüljárási irányt (pozitív irány) kell kijelölni (1. ábra)../ be kell jelölni az egyes elemek (ágak) áramának feltételezett irányát. 0 8 MF-KVK-VE

1 hurok körüljárási irányát tetszőlegesen kijelölhetjük. körüljárási iránnyal megegyező irányú feszültségeket pozitív, az azzal 1 13 1 ellentétes irányú feszültségeket negatív előjellel g. 3. 4 kell figyelembe venni. Felíráskor a hurok valamelyik pontjából (pl. csomópont) kiindulva célszerű körbehaladni. z. jelű hurokra felírva a huroktörvényt (pl. 1. ábra az csomópontból kiindulva): 1 1 + g 3 3 0 z. jelű hurokra felírva a huroktörvényt (szintén az csomópontból kiindulva): 3 3 4 0 Természetes még egy hurok (a. jelű) is kijelölhető az ábrán látható kapcsolásban. Erre is felírhatjuk a huroktörvényt: 1 1 + 0 4 0 Megállapíthatjuk, hogy az előbbi két egyenlet összeadásával is (a két hurokban a felvett körüljárási irányai azonosak) megkaphattuk volna a fenti összefüggést. Ellenőrző kérdések: 1. smertesse Kirchhoff csomóponti törvényét!. Hogyan kell megválasztani az áramok előjelét a törvény felírásakor? 3. Hogyan értelmezhetjük az áram negatív előjelét? 4. smertesse Kirchhoff huroktörvényét! 5. Miért kell kijelölni a hurokban a körüljárási irányt? 6. Hogyan kell a feszültségek összegzését elvégeznünk? 5. Passzív villamos hálózatok villamos hálózatok vizsgálata során az egyik leggyakrabban előforduló és legalapvetőbb feladat egy adott hálózat vagy hálózatrész - mint passzív kétpólus - eredő ellenállásának meghatározása. z eredő ellenállás az az egy ellenállás, amely kettő vagy több ellenállást helyettesít úgy, hogy ugyanazon feszültség hatására ugyanazon áram jön létre. z eredő ellenálláshoz az áramkör lépésenkénti egyszerűsítésével juthatunk el, ami sorba illetve párhuzamosan kapcsolt ellenállások összegzését jelenti. 5.1. Ellenállások soros kapcsolása Két vagy több ellenállás sorba van kapcsolva, ha az ellenállásokon átfolyó áram azonos. 13a ábrán látható ellenállások eredője a b ábrán látható e ellenállás, mivel ugyanazon g feszültség hatására ugyanazon áram alakul ki. Írjuk fel Kirchhoff huroktörvényét mindkét áramkörre az ábrán bejelölt körüljárási irányban: g 3 1 0 illetve g e 0 Mindkét egyenletből g-t kifejezve, és a két oldalt egyenlővé téve: 1+ + 3 e z árammal történő egyszerűsítés után: e 1 + + 3 9 MF-KVK-VE

Általános alakban, tetszőleges számú (n darab) ellenállás sorbakapcsolása esetén: e Tehát a sorbakapcsolt ellenállások eredője: az egyes ellenállások értékének összege. n i 1 i 1 3 e g g a) b) Vizsgáljuk meg, hogyan alakul két sorbakapcsolt ellenállás feszültsége, ha az ellenállásokra kapcsolt - eredő - feszültséget ismerjük (14. ábra). g z ellenállások árama az Ohm törvény alapján: 1 + z Ohm törvényt az 1 ellenállásra is felírva: g 1 z előző összefüggésből az áramot behelyettesítve, és rendezve: 1 1 g 1 + 13. ábra 14. ábra kifejezést kapjuk, amit feszültségosztó képletnek nevezünk, és két sorbakapcsolt ellenállás feszültségeinek meghatározására alkalmas, ha az eredő ( g ) feszültséget ismerjük. feszültségosztó olyan négypólusnak tekinthető, amelynél a kimenet és bemenet feszültségének aránya - csak terheletlen állapotban! - az ellenállások értéke által meghatározott a fentiek alapján (15a ábra): ki be 1+ g 1 1 1 -r be be ki r ki be -r r ki t a) b) c) 15..ábra Ha potenciométert vagy tolóellenállást használunk (b ábra), akkor a feszültségek aránya a csúszka helyzetétől függ. Így folyamatos szabályozású feszültségosztóhoz jutunk. 10 MF-KVK-VE

Terheletlen állapotban: ki r be ahol a potenciométer teljes ellenállása és r a potenciométer kimeneti kapcsokkal párhuzamos részének ellenállása. Ha a feszültségosztó kimenetére véges értékű t terhelőellenállás csatlakozik (c ábra - terhelt feszültségosztó), akkor a kimeneten fellépő feszültség értéke t mindenkori értékétől is függ! feszültségosztó képlet r és t párhuzamos eredője és -r között írható fel: ki r t ( ) t be r t + r t + 1 z ki feszültség - t értékétől függően - mindig kisebb lesz a potenciométeren beállított aránynál, amit a gyakorlati alkalmazásoknál figyelembe kell venni. feszültségosztó képletet használjuk akkor is, ha a feszültségmérő méréshatárát akarjuk növelni. z ideális feszültségmérő olyan szerkezet (műszer), amelynek mutatója a kapcsain fellépő feszültséggel arányosan tér ki, és ellenállása ( b ún. belső ellenállás) végtelen nagy (16a ábra). Tehát rajta áram nem folyik, az áramkörben szakadásnak tekinthető (ld. a 3.pontban). V V i m e b i 0 i m V u m a) b b) c) 16..ábra valóságos feszültségmérő ellenállása véges ( b < ), tehát egy ideális voltmérő és egy ellenállás ( b ) párhuzamos eredőjéből áll (b ábra). mérőműszer kapcsain egy adott nagyságú (u m ) feszültség léphet fel, ezért ennél nagyobb feszültség () mérése esetén a műszerrel sorosan egy előtét ellenállást ( e ) kell beiktatni (c ábra). z előtét ellenállás értékét úgy kell megválasztani, hogy a műszerre ne jusson u m -nél nagyobb feszültség. Vezessük be az n u m jelölést, tehát az előtét beiktatásával a műszerrel mérhető értéket (méréshatárt) n-szeresére növeljük. z ellenállások árama azonos, ezért a feszültségosztó képletet alkalmazhatjuk: um b b + e mérendő feszültség () értékét behelyettesítve: um n u b m b + e z u m feszültséggel történő egyszerűsítés és a kifejezés átrendezése után az előtét ellenállás értéke: n 1 e ( ) b 11 MF-KVK-VE

5.. Ellenállások párhuzamos kapcsolása Két vagy több ellenállás párhuzamosan van kapcsolva, ha az ellenállásokon fellépő feszültség azonos. 17a ábrán látható ellenállások eredője a b ábrán látható e ellenállás, mivel ugyanazon g feszültség rákapcsolásakor a kialakuló áram azonos. 1 3 3 g 1 g e a) b) 17. ábra Írjuk fel Kirchhoff csomóponti törvényét a 17a ábra felső csomópontjára: 1 3 0 illetve + + 1 3 z Ohm törvény segítségével írjuk fel az egyes ellenállások áramát illetve az eredő áramot. Ezeket helyettesítsük vissza a csomóponti törvénybe: g g g g + + e 1 3 z g feszültséggel egyszerűsítve megkapjuk az eredő ellenállás reciprokát: 1 1 1 1 + + e 1 3 Általános alakban, tetszőleges számú (n darab) ellenállás párhuzamos kapcsolása esetén: 1 1 e Tehát az eredő ellenállás reciproka az egyes ellenállások reciprokainak összege. n i 1 Ebből következik, hogy a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredője mindig kisebb mint bármelyik párhuzamosan kapcsolt ellenállás értéke! 1 1 1 Két ellenállás esetén: 1 + +, e 1 1 amiből az eredő ellenállás értéke: e 1 1 1+ Tehát a két ellenállás szorzatát osztjuk a két ellenállás összegével, amit "replusz" műveletnek neveznek a matematikában (kiejtve: " 1 replusz "). Vizsgáljuk meg, hogyan határozható meg két párhuzamosan kapcsolt ellenálláson átfolyó áramok értéke, ha az ellenállások eredő áramát ismerjük (18. ábra). rendelkezésre álló adatok segítségével írjuk fel az 1 jelű ellenálláson átfolyó 1 áram értékét: g 1 1. i 1 MF-KVK-VE

két ellenállást eredőjével ( e ) helyettesítve - az egyenértékű átalakítás miatt - ugyanakkora g feszültség rákapcsolásakor ugyanakkora e áram alakul ki: 1 g e e e 1 e 1 + két összefüggés bal oldala ( g ) azonos, amiből a jobb oldalak egyenlősége is következik: 1 1 1 e 1 + 1 z egyenlet mindkét oldalát 1 -gyel osztva g 1 kapjuk azt a kifejezést, amit áramosztó képletnek nevezünk: 1 e 1 + 18. ábra Ez két párhuzamosan kapcsolt ellenállás részáramainak meghatározására alkalmas, ha az eredő áramot ismerjük. z ellenállásokat tartalmazó törtet vizsgálva megállapíthatjuk, hogy mindig a nagyobb értékű ellenálláson fog a kisebb értékű áram folyni. z áramosztó képletet kell használnunk, ha árammérő méréshatárát növelni akarjuk. z ideális árammérő (ampermérő) olyan műszer (szerkezet), amelynek mutatója a rajta átfolyó árammal arányosan tér ki, és ellenállása ( b ún. belső ellenállás) nulla (1.19a ábra). Ezért kapcsai között nem lép fel feszültség ( k 0 b 0!), tehát az áramkörben rövidzárnak tekinthető (ld. az 1.3.pontot). b i m - i m s b a) b) c) 19. ábra valóságos árammérő ellenállása nem nulla ( b >0), tehát egy ideális árammérő és egy ellenállás ( b ) soros kapcsolásából áll (b ábra). mérőműszer tekercsén egy adott nagyságú (i m ) áram folyhat át, ezért ennél nagyobb áram mérése esetén a műszerrel párhuzamosan kapcsolt ellenállást (söntellenállás) kell beiktatni (c ábra). söntellenállás értékét úgy kell megválasztani, hogy a műszeren i m -nél nagyobb áram ne folyhasson. Vezessük be az n i m jelölést, tehát a sönt beiktatásával a műszer által mérhető értéket (a méréshatárt) n-szeresére növeljük. két párhuzamos ág feszültsége azonos: im b ( im) s mérendő áram értékét az előző összefüggésből behelyettesítve: im b ( n im im) s z i m árammal történő egyszerűsítés után a söntellenállás értéke: s b n 1 13 MF-KVK-VE

Ellenőrző kérdések: 1. Mit tekintünk egy hálózat eredő ellenállásának?. Hogyan határozhatjuk meg egy hálózat eredő ellenállását? 3. Mi az ellenállások soros kapcsolásának villamos feltétele? 4. Hogyan határozhatjuk meg a sorba kapcsolt ellenállások eredőjét? 5. Hogyan oszlik meg a feszültség két sorba kapcsolt ellenálláson! 6. Mikor használhatjuk a feszültségosztó képletet? 7. Hogyan növelhetjük a feszültségmérő méréshatárát? 8. Mi az ellenállások párhuzamos kapcsolásának villamos feltétele? 9. Hogyan határozhatjuk meg a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjét? 10. Hogyan határozhatjuk meg két párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredőjét? 11. Hogyan oszlik meg az áram két párhuzamosan kapcsolt ellenálláson? 1. Mikor használhatjuk az áramosztó képletet? 13. Hogyan növelhetjük az árammérő méréshatárát? 5.3. Ellenállások vegyes kapcsolása Vegyes kapcsolásról beszélünk, ha az áramkörben sorosan és párhuzamosan kapcsolódó ellenállások vegyesen fordulnak elő (0a ábra). lyenkor az eredő ellenállás meghatározását lépésről-lépésre tudjuk elvégezni. Ennek a módszernek lényege, hogy mindig keresünk kettő (vagy több) sorba illetve párhuzamosan kapcsolt ellenállást, mert ezek összegzését tudjuk elvégezni. 1 Ω Ω 1 Ω 1 Ω 5 Ω 3 Ω 4 Ω 5 Ω 3 Ω 6 Ω 5 Ω Ω a) b) c) 0. ábra 0a ábrán látható kapcsolásban a Ω-os és 4 Ω-os ellenállások sorba vannak kapcsolva, eredőjük 6 Ω (b.ábra). következő lépésben a két párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredőjét (3 Ω és 6 Ω) határozhatjuk meg, ami Ω (c.ábra). z így kialakult áramkör három ellenállása már sorba kapcsolódik, tehát a megadott kapcsolás eredő ellenállása ezek összege azaz 8 Ω. gyakorlatban sokszor előfordul, hogy a fentiekhez hasonlóan ránézésre - nem tudjuk megállapítani az ellenállások villamos kapcsolatát; nem találjuk azt a pontot, ahonnan kiindulva az összevonásokat elvégezhetjük. Ekkor úgy rajzoljuk át az áramkört, hogy az ellenállások kapcsolódása áttekinthetőbb legyen, de az eredeti kapcsolással villamosan egyenértékű legyen. tóbbi azt jelenti, hogy az ellenállások villamos kapcsolata mindkét rajzon azonos. módszert a 1. ábrán látható kapcsoláson keresztül ismertetjük. z ábrán látható vegyes körben az ellenállások viszonya - látszólag - hasonló az előző példában látottakhoz, de a felső áthidaló ág (rövidzár) megváltoztatja az ellenállások villamos kapcsolódását. módszer lényege: az egyik pontból () kiindulva el kell jutnunk a másikba () úgy, hogy közben valamennyi ellenállást számításba vegyük (b ábra). 14 MF-KVK-VE

3 Ω 1 Ω Ω Ha az átrajzolás során kellő körültekintéssel járunk el, akkor az átrajzolt kapcsolás valóban villamosan egyenértékű az eredetivel! Ezzel a módszerrel pl. viszonylag egyszerűen megtalálhatjuk azokat az ellenállásokat, amelyeket nem kell figyelembe vennünk az eredő ellenállás meghatározásánál. gyanis azokat nem kell figyelembe venni, amelyeken nem folyhat áram, ha az - pontokra feszültségforrást kapcsolunk. vizsgált áramkör eredő ellenállása a 1b ábra alapján az összevonás lépéseit tömörített matematikai alakban felírva: ( 3 Ω 6 Ω + Ω) 4 Ω + 1Ω 3 Ω z eddig megismert módszerek szerint az eredő ellenállás meghatározását a sorosan és párhuzamosan kapcsolódó ellenállások lépésenkénti összevonásával végezhetjük el.. ábrán látható elrendezés eredő ellenállása nem határozható meg a fenti módon, mert nem találunk két sorba kapcsolt (áramuk azonos) vagy párhuzamosan 6 Ω 6 Ω kapcsolt (feszültségük azonos) ellenállást. probléma megoldásához a kapcsolást úgy kell átalakítani, hogy az eddig megtanultakat alkalmazhassuk. e? C 10 Ω D. ábra 6 Ω 4 Ω Ehhez mindhárom esetre írjuk fel az egyenértékűség feltételét: - ellenállás az - pontok között: ( C + C ) + + C + C C - ellenállás a -C pontok között: C C ( + ) 6 Ω 4 Ω a) b) 1. ábra Ehhez ún. háromszög-csillag átalakítást fogunk végezni (3. ábra). z ellenállásokat háromszögbe kapcsoljuk, ha az egyik ellenállás végét, a másik ellenállás kezdetével kötjük össze (a ábra). csillagba kapcsolt ellenállások egyik vége közös (b ábra). két elrendezés egyenértékű, ha bármely két kapcsa között ugyanakkora ellenállás mérhető. C C + C + C + C - ellenállás a C- pontok között: a) b) C ( + C ) C + 1.3. ábra + C + C Így egy háromismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer adódik, ami már megoldható. Mivel az ismeretlen mennyiségek csak a jobb oldalon szerepelnek, ezért célszerű két egyenletet összeadni, a harmadikat pedig kivonni a kettő összegéből. 3 Ω 6 Ω 4 Ω Ω 1 Ω C C 15 MF-KVK-VE

C C C C megoldás: C ahol + C + C, tehát a háromszögbe kapcsolt ellenállások értékeinek összege. háromszög-csillag átalakítás általános szabálya ezek alapján: z adott ponthoz csatlakozó két ellenállás értékének szorzatát osztanunk kell a háromszögbe kapcsolt ellenállások értékeinek összegével, ami megadja a csillag kapcsolás ellenállásának értékét. C z átalakítás azonos értékű ellenállások esetén (4. ábra) egyszerűen elvégezhető, mert a csillagba C Y kapcsolt ellenállások értéke a deltába kapcsoltak értékének pontosan a Y Y harmadrésze lesz: Y 3. Ezután térjünk vissza a. a) b) ábrán látható elrendezés eredő ellenállásának meghatározására. z átala- 4. ábra kítás a felső háromszögre azonnal elvégezhető, mert az ellenállások értéke a harmadára csökken csillag kapcsolásban (5a ábra). Így az eredő ellenállás értéke: e + ( + 10 ) ( + 4 ) 6 Ω. Ω 6 Ω 6 Ω b ábrán látható hídkapcsolásban az alsó háromszögre elvégezve C Ω Ω az átalakítást az eredő ellenállás 3 Ω 1, Ω e? e? értéke: C e + ( 3 + 6 ) ( 1, + 6 ) 6 Ω, 10 Ω 4 Ω Ω ami nyilvánvalóan megegyezik az előző átalakítás során kapott eredménnyel. D D a.) b) ) 5.ábra Mikor nincs szükség a háromszög-csillag átalakításra? z előző pontban már láttuk, hogy az eredő ellenállás számításánál csak azokat az ellenállásokat kell figyelembe vennünk, amelyeken áram folyik, ha a kapcsokra generátor csatlakozik. Ha a hídkapcsolás (6. ábra) 5 jelű ellenállásán nem folyik áram, akkor elhagyható, és az eredő ellenállás számítása már egyszerűen elvégezhető. Mi a feltétele annak, hogy az 5 ellenálláson ne folyjon áram? Ha 5 0, akkor 5 5 0 is teljesül, tehát és 4 ellenállások feszültsége azonos: 4. z 5 0 feltétel azt is jelenti, hogy az 1 és illetve 3 és 4 ellenállások árama azonos, tehát sorba kapcsolódnak. Írjuk fel az és 4 ellenállások feszültségét a feszültségosztó képlet alkalmazásával: 1 3 5 g 4 6. ábra 16 MF-KVK-VE

g illetve 1 + 4 4 g. 3 + 4 4 Ezeket az előző egyenlőségbe behelyettesítve: g g 1 + 3 + z g -vel egyszerűsítve, majd rendezés után 4 -el is egyszerűsítve kapjuk: Tehát a híd kiegyenlített, ha a szemközti ágak ellenállásainak szorzata megegyezik. Ellenőrző kérdések: 1. Mikor beszélhetünk az ellenállások vegyes kapcsolásáról?. Hogyan számolhatjuk az eredő ellenállást vegyes kapcsolás esetén? 3. Mikor célszerű egy áramkör egyenértékű átrajzolását elvégezni? 4. Mi a hídkapcsolás? 5. Hogyan végezhetjük el a háromszög-csillag átalakítást? 6. Hogyan végezhetjük el a háromszög-csillag átalakítást azonos ellenállások esetén? 7. Mikor nem szükséges a háromszög-csillag átalakítást elvégeznünk? 8. Mi a kiegyenlített hídkapcsolás villamos feltétele? 6. ktív villamos hálózatok 3 1 4 Egy villamos hálózat alapvetően két részből áll, termelőből és fogyasztóból (1a ábra). termelő képezi az aktív hálózatrészt, a fogyasztó pedig a hálózat passzív részét. Összetett hálózatok több termelőt és fogyasztót is tartalmazhatnak. z eddig vizsgált áramkörökben a termelőt egy olyan hálózati elemmel modelleztük, mely potenciál-különbséget hoz létre a hálózat két pontja között, azaz feszültséget kényszerít az áramkör két kapcsára. Ezt az aktív hálózati elemet feszültséggenerátornak nevezzük. z egyenáramú feszültséggenerátort egy adattal, az állandó g feszültségével jellemezzük, tehát a feszültsége állandó, független az áramkör többi elemétől. Ezt a feszültséggenerátort nevezzük ideális feszültséggenerátornak. 4 k b t g t b k t g k t z a) b) 7. ábra gyakorlatban azt tapasztaljuk, hogy a feszültségforrások kapcsain mérhető feszültség függ a terheléstől. Ha a generátort terhelő áram függvényében ábrázoljuk a generátor kapcsain mérhető feszültséget a generátor külső jelleggörbéjét kapjuk meg (7a ábra). feszültségforrás kapcsain mérhető feszültséget kapocsfeszültségnek hívjuk. terhelőáram és a kapocsfeszültség közti kapcsolat lineáris. kapocsfeszültség csökkenését a generátoron belüli ellenállás okozza. Egy valóságos generátornak két kivezetése van, tehát aktív kétpólus. Thevenin tétele szerint egy aktív kétpólus helyettesíthető egy ideális feszültséggenerátor és egy ellenállás soros kapcsolásával. (7b ábra) z ideális helyettesítő generátor g feszültségét forrásfeszültségnek vagy belső feszültségnek hívjuk, b pedig a generátor belső ellenállása. Tehát a 17 MF-KVK-VE

valóságos generátor helyettesíthető egy ideális feszültséggenerátor és egy ellenállás soros kapcsolásával (1.7b ábra). rjuk fel a helyettesítő kapcsolásra a huroktörvényt! g b t k 0 amiből a kapocsfeszültség: k g b t z k kapocsfeszültség lineáris függvénye az t terhelőáramnak a felírt egyenletben, és az egyenes meredekségét az b értéke határozza meg. terhelőáram értékét meghatározhatjuk, ha ismerjük a terhelőellenállás értékét: t b g + Tehát a feszültséggenerátor terhelőárama (terhelése) kisebb értékű terhelőellenállás esetén lesz nagyobb. Így a generátor teljesítménye: Pg g t. termelt teljesítmény mindig negatív előjelű, mert a generátor feszültségének és áramának iránya ellentétes (ún. termelői irányok l. az 1.7b ábrán). terhelő ellenálláson (fogyasztón) fellépő ún. hasznos teljesítmény a fogyasztó ellenállásának ( t ) függvényében: g Ph k t t t t ( t + b ). Ha az t értéke nulla, akkor a fenti teljesítmény is nulla. Ha az t értéke végtelen nagy, akkor a körben nem folyik áram, ezért a teljesítmény most is nulla. Nyilvánvaló, hogy közben van egy olyan érték, ahol a teljesítménynek maximuma van. szélsőérték vizsgálat eredményeként kapjuk, hogy maximális lesz P h értéke t b esetén. Ekkor lép fel a fogyasztón a legnagyobb teljesítmény. Ezt az esetet nevezzük illesztésnek. g z előző összefüggésbe behelyettesítve és rendezve: Ph max. 4 b Tehát a hasznos teljesítmény maximális értéke csak a valóságos generátor jellemzőitől függ. llesztés esetén a belső ellenálláson és a terhelésen fellépő teljesítmény azonos, a hatásfok 50 %. Villamos energia termeléskor mindig a minél jobb hatásfok elérésére törekszünk. Ha a terhelő ellenállás értéke nagy a belső ellenálláshoz képest, akkor a hatásfok közelíti a 100 %- ot,. gazdaságosság szempontjából a jó hatásfok a cél, tehát nem törekszünk a legnagyobb teljesítmény elérésére. zt a termelőt, amely adott áramot kényszerít az áramkör egy ágára, áramgenerátornak nevezzük. Ha az áramgenerátor által szolgáltatott áram az áramkör többi elemétől függetlenül is állandó, akkor az egy ideális áramgenerátor, amely egy adattal, az g forrásáramával jellemezhető (8a ábra). Ha az áramgenerátor árama csökken a fogyasztó ellenállásának függvényében, akkor valóságos áramgenerátorról beszélünk (8b ábra) t t 0 k t g b b b g k t a) b) c) 8. ábra 18 MF-KVK-VE

valóságos áramgenerátornál a kimenetre jutó áram csökkenését az okozza, hogy a generátor áramának egy része a generátoron belüli ellenálláson záródik. Ezért azt a generátor belső ellenállásának nevezzük, és b -vel jelöljük. Norton tétele szerint egy aktív kétpólus helyettesíthető egy ideális áramgenerátor és egy ellenállás párhuzamos kapcsolásával. Tehát a valóságos áramgenerátor helyettesíthető egy ideális áramgenerátor és a valóságos generátor belső ellenállásának párhuzamos kapcsolásával (b ábra). terhelőellenállás t áramát az ellenállások értékének ismeretében pl. az áramosztó képlet alkalmazásával határozhatjuk meg (c ábra). 6.1. Kirchhoff egyenletrendszer alkalmazása Csak egy generátort tartalmazó áramkörökben az egyes ellenállások áramát egyszerűen meghatározhatjuk. Ehhez az eredő ellenállást kell meghatározni a generátor kapcsai felől, majd Ohm törvényével a generátor áramát számolhatjuk. z egyes ellenállások árama az áramosztó képlet segítségével meghatározható. Ez a módszer nem használható több generátort tartalmazó áramkörök (9. ábra) esetén. Ennél a feladatnál az a probléma, hogy egyik ellenállás feszültségét sem ismerjük, tehát nem tudunk Ohm-törvénnyel áramot számolni. De minden áramkör-számítási feladat megoldható a Kirchhoff egyenletek segítségével! nnyi Kirchhoff-egyenletet kell felírni, hogy a csomóponti és a hurokegyenletek száma összesen megegyezzen az ismeretlenek számával. megoldás menete a következő: 1.) z ismeretlenek az egyes ágak áramai, tehát annyi ismeretlen lesz, ahány ág van az áramkörben. ly módon az ismeretlenek: 1, és 3. z áramok irányát tetszőlegesen vehetjük fel, mivel a megoldás során az áramokra előjeles mennyiségeket kapunk. feszültségforrást is tartalmazó ágakban célszerű az áram irányát úgy kijelölni, hogy termelői üzemállapotot tételezünk fel. z 1 és áramok irányát ennek megfelelően jelöltük ki..) Írjuk fel a hurokegyenletet valamennyi független hurokra! Független az a hurok, amely legalább egy olyan ágat tartalmaz, amelyet az eddigi hurokegyenletek felírásánál még nem vettünk figyelembe! Ügyeljünk arra, hogy a hurokegyenletekben az áramkör valamennyi ága szerepeljen. 9. ábrán bejelöltük az összes lehetséges hurkot. elátható, hogy a. és. jelű hurkok lefedik a hálózat valamennyi ágát. felírható hurokegyenletek. g + 1 1 g1 0,. 3 3 + g 0 3.) független csomóponti egyenletek száma a csomópontok számánál mindig eggyel kevesebb. Jelen feladatunkban a csomópontok száma kettő, így a felírandó csomóponti egyenletek száma: egy. Például írjuk fel a felső csomópontra:. 1 + 3 0 5.) fenti módon felírt csomóponti és hurokegyenletek egyenletrendszert alkotnak. z egyenletrendszert meg kell oldani az ismeretlenekre, a matematikában már megismert módszerek segítségével. 6.) z utolsó lépés a megoldás értelmezése. z áramok előjelhelyes értéke adódik Ha az áram előjele pozitív, az áram tényleges iránya megegyezik az előre felvett ún. referencia 1 g1 9.ábra g.. 1 3 3 19 MF-KVK-VE

iránnyal. z áram negatív előjele azt jelenti, hogy az áram tényleges iránya a felvett iránnyal ellentétes. Határozzuk meg a 30a ábrán látható áramkörben a feszültségforrások teljesítményét, ha az ideális feszültségforrások feszültsége: 1 4 V; 1 V; 3 4 V; az ellenállások értéke: 1 3 Ω; 6 Ω. Valamennyi ágban van feszültségforrás, ezért minden ágban a termelői irányt feltételezve jelöljük ki az ágáramot (b ábra). Ezzel a feltételezéssel az alsó csomópontból csak kifolynak, a felsőbe csak befolynak áramok, tehát összegük csak akkor lehet nulla, ha valamelyik előjele negatív (iránya a feltételezettel ellentétes). Két független hurok jelölhető ki. Írjuk fel ezekre a huroktörvényt!. + 1 1 1 0, amiből 1 4 V 1 V 1 4 1 3 Ω 3 4 V 1 V. 3 3 0, amiből 3 6 Ω 1 3 1 3.. 1 1 1 3 a) b) 30. ábra Mivel a középső ágban nincs ellenállás (ideális feszültségforrás), ezért a két ágáram közvetlenül számítható volt. Így a két feszültségforrás teljesítménye: P g 1 1 1 4 V 4 96 W illetve P g 3 3 3 4 V 48 W. középső ág áramát a felső csomópontra felírt csomóponti törvényből határozhatjuk meg:. 1 + + 3 0 amiből 1 3 4 6. áramok tényleges irányát és értékét feltüntettük a 31. ábrán. Így a feszültségforrás teljesítménye: P g 1 V ( 6 ) + 7 W. teljesítmény előjele pozitív, tehát ez a feszültségforrás fogyasztói üzemállapotú! Egy áramkörben a termelt és fogyasztott teljesítmények egyensúlyban vannak, azaz P termelt P fogyasztot t illetve az előjelek figyelembe vételével: P i 0. i z ellenállásokon fellépő teljesítmények: P 1 1 1 4 3 Ω 48 W illetve P 3 6 Ω 4 W. Tehát a teljesítmények összege: 5 Pi Pg1 + P1 + Pg + Pg 3 + P 96 W + 48 W + 7 W 48 W + 4 W 0. 1 1 V 31. ábra 6 V 1 3 1 1 V 0 MF-KVK-VE

6.. szuperpozíció elvének alkalmazása szuperpozició elve általános fizikai elv, amely minden lineáris fizikai rendszerre alkalmazható. Kimondja, hogy minden több gerjesztést tartalmazó lineáris fizikai rendszerben a gerjesztések hatása egyenlő az egyes gerjesztések hatásainak összegével. Villamos áramkörökben a gerjesztés az ideális feszültséggenerátor forrásfeszültsége, illetve az ideális áramgenerátor forrásárama. hatás az áramkör valamely ágának árama vagy valamely elemének feszültsége. Tehát ha az áramkör több generátort tartalmaz, akkor mindegyik generátor az áramkör bármely ágában a többi generátortól függetlenül hozza létre a maga részáramát. Egy-egy ilyen részáram úgy számolható, hogy a többi generátort dezaktivizáljuk (aktivitásától megfosztjuk), azaz a feszültséggenerátort rövidzárral (0), az áramgenerátort szakadással (0) helyettesítjük. z illető ágban folyó tényleges áramot ezen részáramok előjelhelyes (algebrai) összege adja meg. Ezzel a módszerrel a több generátort tartalmazó körök számítását vissza tudjuk vezetni egygenerátoros körök számítására. 1 g1 1 3 3 + 1 g 1 3 3 a) b) 3. ábra módszer alkalmazását szemléltessük a 9. ábrán látható áramkör esetén. megoldás menete a következő: 1.) z eredeti többgenerátoros - körben felvesszük a tényleges ágáramok tetszőleges referenciairányát (l. a 9. ábrán), mert a részáramokat majd ehhez viszonyítjuk..) többgenerátoros áramkörből annyi egygenerátoros áramkört hozunk létre, amennyi a körben lévő generátorok száma (3. ábra). z g1 feszültségű generátor hatásának számításakor az g feszültségű generátort rövidzárral helyettesítjük (a ábra), míg az g feszültségű generátor hatásának számításakor az g1 feszültségű generátort helyettesítjük rövidzárral (b ábra). részáramok megkülönböztetésére a kitevőben vesszőzést (l. az ábrán), esetleg kettőnél több generátor esetén római vagy arab számozású kitevőt használunk. 3.) z egygenerátoros áramkörökben a korábban megismertek szerint elvégezzük a számításokat, így megkapjuk az egyes ágak részáramait. Ezek előjeles mennyiségek (pl. az ' '' és az 1 részáramok nyilvánvalóan negatív előjelűek lesznek, mert a tényleges irányuk a bejelölttel ellentétes). 4.) z ugyanazon ágban folyó részáramokat előjelhelyesen összeadjuk, így az ágáramok előjelhelyes értékét kapjuk meg. (pl. 1 1 ' + 1 '', ' + '' stb.) Vigyázat! szuperpozició teljesítményekre nem igaz! teljesítményeket csak az eredeti - többgenerátoros - kör eredő áramaiból lehet számolni! 1 MF-KVK-VE

Határozzuk meg a 30a ábrán látható áramkörben az feszültségű generátor teljesítményét a szuperpozíció elvének alkalmazásával! 1 3 + + 1 1 1 1 3 a) b) 33. ábra c) z áramkörben három generátor van, ezért a generátor árama három részáramból tevődik össze (33. ábra). z egyes részáramok az ábra alapján: ' z a ábra alapján: 1 4 V ' ' 1 8, tehát 1 8. 1 3 Ω '' 1 V b ábra alapján: 6. 1 3 6 Ω ''' 3 4 V ''' ''' c ábra alapján: 3 4, tehát 3 4. 6 Ω ' '' ''' generátor árama: + + 8 + 6 4 6. Így a feszültségforrás teljesítménye: 6.3. Millmann-tétel P g 1 V ( 6 ) + 7 W. Ha több párhuzamosan kapcsolt feszültségforrás táplál egy fogyasztót, akkor a fogyasztó áramának, illetve a kapcsain fellépő feszültségnek a meghatározása az előző két pontban ismertetett módszerek bármelyikével elvégezhető, de kettőnél több feszültségforrás esetén a számítás már nehézkessé, hosszúvá válik. z alább ismertetendő módszer a közös kapocsfeszültség egyszerű, gyors meghatározását teszi lehetővé több feszültségforrás esetén is (34. ábra). Határozzuk meg az terhelőellenállás kapcsain fellépő 00 feszültség értékét! 0 1 3 00 1 1 3 0 34. ábra Írjuk fel a csomóponti törvényt a felső csomópontra: 1 + + 3 0. Írjuk fel a huroktörvényt mindhárom független hurokra úgy, hogy a hurkok közös ága az ellenállást tartalmazó ág legyen: MF-KVK-VE

1 00'. 1 1 1 00' 0 amiből 1 1 G1 00' G1 1 00'. 00' 0 amiből G 00' G 3 00'. 3 3 3 00' 0 amiből 3 3 G3 00' G3 3 00' z ellenállás árama az Ohm-törvény alapján: 00' G z áramokat helyettesítsük be a csomóponti törvénybe: 1 G1 00' G1 + G 00' G + 3 G3 00' G3 00' G 0 Ebből az 00 feszültséget kifejezve: 1 G1 + G + 3 G3 00' G1 + G + G3 + G Tehát Millmann tétele szerint a két csomópont közé párhuzamosan kapcsolt független ágak (sorba kapcsolt generátort és ellenállásokat tartalmaznak) esetén a két csomópont közötti feszültség közvetlenül számolható az áramkör jellemzőinek ismeretében. Tetszőleges számú ( n db) ág esetén: n i Gi i 1 00' n Gi i 1 n i i 1 i n 1 i 1 1 Vigyázat! Ha az ágban feszültségforrás nincs ( i 0), akkor ez a tag a számlálóból hiányzik, de a nevezőben az ág vezetése, illetve ellenállásának reciproka ekkor is szerepel! Ellenőrző kérdések: 1. Hány ismeretlen adódik a Kirchhoff egyenlet-rendszerrel történő számolás esetén?. Hány független egyenletet kell felírni? 3. Milyen szabályt kell figyelembe venni a hurokegyenletek felírásakor? 4. Hány csomópontra kell felírni a csomóponti törvényt? 5. Hogyan kell értelmezni a kapott mennyiségek előjelét? 6. smertesse a szuperpozíció elvét! 7. Hogyan kell számolnunk a szuperpozíció elve alapján? 8. Hogyan kell a teljesítményeket meghatározni a szuperpozícióval történő számolásnál? 9. smertesse a Millmann-tételt! 10. Mikor használhatjuk a Millmann-tételt? 11. Hogyan határozhatjuk meg a csomópontok közötti feszültséget a Millmann-tétel alapján? 3 MF-KVK-VE