9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y < x (E) y < z < x BME 015. szeptember (16A) Ha az e egységvektor irányszöge α, akkor az e vektor első koordinátája cos α, második koordinátája sin α. Az ábrán látható az egység sugarú k kör és a megfelelő egységvektorok. A tg α = sin α cos α definícióval adható meg. A harmadik ábra a tg α szemléletes jelentését mutatja: az (1; 0) pontban rajzolt érintőből kimetszett szakasz hossza. 1
A szögfüggvények értékét kifejezzük hegyesszögek szögfüggvényével. Pontos értékekkel számolunk: x = cos 150 = cos(180 150 ) = cos 0 = 0,87 y = sin 5 = sin(5 150 ) = sin 5 = 0,71 z = tg ( 60 ) = [tg( 60 )] = [ tg(60 )] = ( ) =. Vagyis: x < y < z. Tehát a jó válasz a (B).. Mennyivel egyenlő a sin(75 ) cos(75 ) szorzat? (A) (B) (C) (D) 1 (E) 1 BME 010. szeptember 1. (16A) Alkalmazzuk a következő azonosságot: sin α = sin α cos α. Szorozzuk be a kifejezést -vel: sin 75 cos 75, majd alkalmazva az azonosságot: sin75 cos75 = sin( 75 ) = sin 150 = sin 0 = 1. Mivel -vel szoroztunk, így ezzel el is kell osztanunk. Tehát a végeredmény: A jó válasz a (D). 1 : = 1.. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! tg x + sin x = 0 ELTE 015. szeptember (fizika BSc) Először vizsgáljuk meg az egyenlet értelmezési tartományát! sin x tgx = azonosság miatt: cos x 0 vagyis x π + k π, (k Z) cos x Alkalmazzuk ezt az azonosságot: Beszorzunk a nevezővel: sin x cos x + sin x = 0.
sin x + sin x cos x cos x = 0. Alkalmazzuk a sin x = 1 cos x azonosságot: 1 cos x + (1 cos x) cos x cos x = 0. Zárójel felbontás és az összevonás elvégzése után a következő egyenletet kapjuk: 1 cos x = 0 cos x = 1 cos x = 1 vagy cos x = 1. Az egyenlet megoldása tehát x = π + k π, k Z, és ez eleme az értelmezési tartománynak.. Egy háromszög oldalainak mérőszámai egymást követő -nál nagyobb egész számok. Bizonyítsa be, hogy a háromszög hegyesszögű! ELTE 01. szeptember (matematika BSc) Legyenek a háromszög oldalai: a, a + 1, a + hosszúságúak, ahol a > teljesül. A leghosszabb oldallal (a + ) szemközti szög legyen: γ. Írjuk fel a koszinusz tételt a leghosszabb oldalra: (a + ) = (a + 1) + a (a + 1) a cos γ. Végezzük el a négyzetre emelést és a zárójelbontást: a + a + = a + a + 1 + a (a + 1) a cos γ. Összevonás és rendezés után: a a = a (a + 1) cos γ. A bal oldalt felírjuk szorzatalakban: a a = (a + 1)(a ). Mindkét oldalt osztjuk (a+1)-gyel: (a ) = a cos γ vagyis a = cos γ. a Mivel a >, ezért cos γ > 0, amiből következik, hogy γ < 90. Tehát a háromszög hegyesszögű.
II. Ismételjünk! 1. Szögfüggvények értelmezése https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/1.pdf https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/1.pdf 1-. oldal -. oldal. Összefüggések a szögfüggvények között https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/1.pdf. oldal. Trigonometrikus egyenletek https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/1.pdf 7-10. oldal. Szinusz és koszinusz tételek alkalmazása https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/1.pdf 5. oldal
III. Gyakorló feladatok 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! a) cos 15 + sin 5 = b) tg 00 + ctg 150 = c) cos 165 + sin 75 = d) cos 7π = 6 e) (tg 00π ) = f) sin ( π ) cos ( π ) =. Egyszerűsítse a következő kifejezést! cos( α) cos(180 + α) sin( α) sin(90 + α) =. Írja egyszerűbb alakba a következő kifejezéseket! a) cos(x) + cos(π x) b) cos ( π+x ) c) sin (π x). Állítsa növekvő sorrendbe a x = tg1; y = tg; z = tg mennyiségeket! A szögeket radiánban mérjük. (A) x < y < z (B)y < z < x (C)x < z < y (D) z < y < x (E) y < x < z BME 01. szeptember 7. (15A) 5. Legyen sin α = 0,6. Számítsa ki tgα értékét, ha α [ π ; π]! (A) (B) (C) 0 (D) (E) BME 01. szeptember 1. (15A) 6. Legyen cos α = 5. Mennyi lehet ekkor a sin α, ha α [ π ; 0]? 7. Határozza meg a következő kifejezések legbővebb értelmezési tartományát! a) 1 1 tgx b) sin x 0,5 8. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) cos x = 1 b) sin (10x + π ) = 9. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin x = sin (x + π ) b) cos (5x π ) = cos (x + π ) c) tgx = tg x 10. Mely valós x értékekre teljesül az egyenlet? 5
a) cos x + sin x = 0 b) sin x = tgx c) sin x + 5 cos x = 0 d) sin x cos x = e) sin x + cos x = 11. Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán! cos x + sin x cos x + sin x + sin x = 1 cos x 1. Hány megoldása van a következő egyenletnek a [ π ; π] intervallumon? cos x 1 sin x = 0 ELTE 007. szeptember (földtudományi szak) (A) (B) (C) (D) 1 (E) 0 1. Hány megoldása van sin x 0 egyenlőtlenségnek a [ 10; 10] zárt intervallumon? (A) 1 (B) 7 (C) 6 (D) 0 (E) nincs megoldása 1. Egy torony árnyéka a vízszintes talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága. Hány fokos szöget zár be ekkor a nap a vízszintes talajjal? Középszintű érettségi 009. október 15. Egy háromszög két oldalának arány :, az általuk bezárt szög 10, a harmadik oldala c = 8 cm. Mekkorák az ismeretlen oldalak és szögek? 16. Tegyük fel, hogy egy háromszög szögeire fennáll, hogy tgβ sin γ = tgγ sin β. Igazolja, hogy ekkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű. 6
IV. Megoldások 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! a) cos 15 + sin 5 = b) tg 00 + ctg150 = c) cos 165 + sin 75 = d) cos 7π = 6 e) (tg 00π ) = f) sin ( π ) cos ( π ) a) cos 15 + sin 5 = cos 5 + sin 5 = 0 b) tg 00 + ctg 150 = tg 60 ctg 0 = = c) cos 165 + sin 75 = = cos 15 + sin 75 = sin 75 + sin 75 = 0 d) cos 7π 6 = cos (π + π 6 ) = cos (π 6 ) = e) mivel tg 00π = tg ( π + 500π) = tg (π ) = 1, tehát ( ( 1)) = 8 f) sin ( π ) cos ( π ) = ( ) ( 1 ) = 1 = 1 = 1. Egyszerűsítse a következő kifejezést! cos( α) cos(180 + α) sin( α) sin(90 + α) = A szögfüggvények következő tulajdonságait alkalmazzuk: cos( α) = cos α ; sin ( α) = sin α ; cos (180 + α) = cos α ; sin (90 + α) = cos α ; cos α = ctg α. sin α. Írja egyszerűbb alakba a következő kifejezéseket! cos α ( cos α) sin α cos α = ctg α. a) cos x + cos (π x) b) cos ( π+x ) c) sin (π x) a) cos x + cos (π x) = cos x, mivel cos (π x) = cos x b) cos ( π+x ) = cos (π + x) = sin x, az alábbi ábra jól mutatja a (cos x)-nek a ( π )-vel való eltolása, éppen a ( sin x) lesz. 7
c) Alkalmazhatjuk a sin(α β) = sin α cos β cos α sin β addíciós tételt: sin ( π x) = sin π cos x cos π sin x = ( 1) cos x 0 sin x = cos x.. Állítsa növekvő sorrendbe a x = tg1; y = tg; z = tg mennyiségeket! A szögeket radiánban mérjük. (A) x < y < z (B) y < z < x (C)x < z < y (D) z < y < x (E) y < x < z BME 01. szeptember 7. (15A) 1 < π < < < π, ezért a tg1 az első negyedben van, tg és tg pedig a második negyedben van. Ebből következik, hogy tg1 > 0; tg < 0; tg < 0. A tg függvény a ] π ; π] intervallumon szigorú monoton nő tg < tg. Tehát: tg < tg < tg1. A helyes válasz a (B). 5. Legyen sin α = 0,6. Számítsa ki tgα értékét, ha α [ π ; π]! (A) (B) (C) 0 (D) (E) BME 01. szeptember 1. (15A) 8
Használjuk fel a következő azonosságokat: tg α = sin α cos α ; cos α = 1 sin α! cos α = 1 0,6 = 0,6 cosα = 0,8 mert α [ π ; π]. tgα = 0,6 0,8 =. A helyes válasz: a (D). 6. Legyen cosα = 5. Mennyi lehet ekkor a sin α, ha α [ π ; 0]? sin α = sin α cos α és sin α = 1 cos α, ezért: sin α = 1 ( 5 ) = 16 5 sin α = 5, mert α [ π ; 0] sin α = ( 5 ) 5 = 5 7. Határozza meg a következő kifejezések legbővebb értelmezési tartományát! a) 1 1 tgx b) sinx 0,5 a) A tangens értelmezési tartománya miatt: x π + kπ; k Z. A nevező miatt: 1 tgx 0 tgx 1 x π + kπ; k Z. A kifejezés értelmezési tartománya: x R\ {x = π + kπ; x = π + kπ} ahol k Z. b) A négyzetgyök miatt: sin x 0,5 0 sin x 0,5 Az értelmezési tartomány: {x R π + kπ x 5π + kπ; k Z}. 6 6 9
8. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) cos x = 1 b) sin (10x + π ) = a) cos x = 1 cos x = 1 cos x = ± 1 ; cos x = 1 megoldásai: x 1 = π + kπ; x = π + kπ k Z. cos x = 1 megoldásai: x = π + kπ; x = π + kπ k Z. b) A sin (10x + π ) = a szinusz függvény π és 5π nél lesz : I. 10x 1 + π = π + kπ II. 10x + π = 5π + kπ Rendezzük az egyenleteket x-re: 10x 1 = π π + kπ 10x = 5π π + kπ 10x 1 = 7π + kπ 10x 1 = 11π + kπ (10-zel osztva) 1 x 1 = 7π 10 + kπ 5, k Z x = 11π 10 + kπ 5, k Z 10
9. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin x = sin (x + π ) b) cos (5x π ) = cos (x + π ) c) tgx = tg x A megoldás során felhasználjuk, hogy ha sin α = sin β akkor α = β + kπ vagy α = π β + kπ, ha cos α = cos β akkor α = β + kπ vagy α = β + kπ, ha tgα = tg β akkor α = β + kπ. a) sin x = sin (x + π ) x = x + π + kπ, rendezve az egyenletet azt kapjuk, hogy x 1 = π + kπ, k Z vagy x = π (x + π ) + kπ. Rendezzük az egyenletet x-re: Tehát az egyenlet megoldásai: x 1 = π + kπ; b) cos (5x π ) x = cos (x + π ) x = π π + kπ x = π + kπ x = π 1 + kπ, k Z. x = π 1 + kπ, k Z. 5x π = x + π + kπ Rendezzük az egyenletet! vagy 5x π = (x + π ) + kπ x = π + π + kπ x = 17π 1 + kπ x 1 = 17π 8 + kπ, k Z 11
5x π = x π + kπ 6x = π π + kπ 6x = π 1 + kπ x = π 7 + kπ, k Z. Tehát az egyenlet megoldásai: x 1 = 17π 8 + kπ ; x = π 7 + kπ, k Z. c) tgx = tg x x = x + kπ x = kπ, k Z. Meg kell vizsgálni a két tangens értelmezési tartományát, hogy minden megoldás jó e. Elég megnézni, hogy a cos x és a cos x hol lenne nulla. cos x = 0 x = π + kπ cosx = 0 x = π + kπ Az ábrán jól látható, hogy a pirossal jelzett megoldásoknál ( x = kπ ) egyik koszinusz sem lesz nulla. 10. Mely valós x értékekre teljesül az egyenlet? a) cos x + sin x = 0 b) sin x = tg x c) sin x + 5 cos x = 0 d) sin x cos x = e) sin x + cos x = a) cos x + sin x = 0 Első megoldás: Rendezzük át az egyenletet: sin x = cos x. Oszthatunk cos x-el, mivel cos x = 0 nem megoldása az egyenletünknek, így nem vesztünk gyököt. 1
A megoldás: x = π + kπ, k Z. sin x cos x = tgx = Második megoldás: Emeljük az átrendezett egyenletet négyzetre: sin x = cos x Helyettesítsük be a sin x = 1 cos x összefüggést:. 1 cos x = cos x Rendezzük az egyenletet: cos x = 1. A 8.a feladatnál láttuk ennek az egyenletnek a megoldásait: cos x = 1 megoldásai: x 1 = π + kπ; x = π + kπ k Z cos x = 1 megoldásai: x = π + kπ; x = π + kπ k Z. Mivel négyzetre emeltünk és ez nem ekvivalens átalakítás, ezért az eredményt mindenképpen ellenőriznünk kell. Látszik, hogy a megoldás csak azokban a negyedekben lehet, ahol a szinusz és a koszinusz ellentétes előjelű, vagyis a második és a negyedik negyedben. Tehát itt csak az x és az x jó megoldás. Harmadik megoldás: Osszuk el az egyenletet -vel: Észrevehetjük, hogy = sin π Ezeket behelyettesítve: cos x + 1 sin x = 0. 1 és = cos π. sin π cos x + cos π sin x = 0 egyenlethez jutunk. Felhasználva a sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, addíciós tételt: sin π cosx + cos π sinx = sin ( π + x) = 0. Ennek megoldása: π + x = kπ x = π + kπ, k Z. b) sin x = tgx A tangens miatt az egyenlet értelmezési tartománya: x R; és x π + kπ; k Z Felhasználva az azonosságokat: sin x sin x cos x = cos x. Szorozzunk be cos x-el és rendezzük 0-ra az egyenletet! sin x cos x sin x = 0 Emeljük ki a sin x-et! sin x (cos x 1) = 0 Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, így sin x = 0 vagy cos x 1 = 0. 1
Ha sin x = 0, akkor x 1 = kπ, ha cos x 1 = 0, akkor cos x = ± 1. Ekkor x = π + kπ; x = π + kπ; x = π + kπ; x 5 = π + kπ, k Z Megjegyzés: Gyakori hiba a sin x-el való leosztás, ami gyökvesztéshez vezet. c) sin x + 5 cos x = 0 Használjuk a sin x = 1 cos x azonosságot! (1 cos x) + 5 cos x = 0 cos x + 5 cos x = 0 cos x + 5 cos x = 0 cos x 5 cos x + = 0 Másodfokú egyenletet kapunk cosx-re nézve. A másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével megkapjuk a két gyököt: 5 ± 5 16 cos x 1, = ahonnan cos x 1 = és cos x = 1. = 5 ±, Mivel 1 cosx 1, ezért a cos x 1 = -nek nincs megoldása. A cos x = 1 megoldásai: x 1 = π + kπ; x = π + kπ, k Z. d) A sin x cos x = egyenletet szorozzuk be -vel: sin x cos x =. Helyettesítsük be a sin x-re vonatkozó azonosságot: sin x =, < 1 és 1 sin x 1, ezért a sin x = -nak nincs megoldása. e) sin x + cos x = Osszuk el az egyenletet -vel! 1 sin x + 1 cos x = 1 Vegyük észre, hogy 1 = cos π ; 1 = sin π. Ezeket behelyettesítve az egyenletbe: cos π sinx + sin π cosx = 1 Tehát az egyenlet megoldása: x = π + kπ, k Z. 11. Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán! cos x + sin x cos x sin (x + π ) = 1 x + π = π + kπ. + sin x + sin x = 1 cos x ELTE 007. szeptember (földtudományi szak) 1
Értelmezési tartomány: cos x 0 x R és x π + kπ; k Z cos x + sin x cos x Szorozzuk be az egyenletet cos x-el: + sin x + sin x = 1 cos x cos x + sin x + sin x cos x + sin x cos x = 1. Alkalmazzuk az következő összefüggéseket: cos x + sin x = 1 és sin x = sin x cos x: Emeljük ki a sin x cos x -et: 1 + sin x cos x + sinx cos x = 1 sin x cos x + sin x cos x = 0. sin x cos x(1 + cos x ) = 0. Ez akkor teljesül, ha sin x = 0 vagy (1 + cos x) = 0 vagy cos x = 0, de ez utóbbi nem megoldás az értelmezési tartomány miatt. Ha sin x = 0 x 1 = kπ, ha (1 + cos x) = 0 cos x = 1 x = π + kπ; x = π + kπ, k Z. 1. Hány megoldása van a következő egyenletnek a [ π ; π] intervallumon? cos x 1 sin x = 0 (A) (B) (C) (D) 1 (E) 0 Először vizsgáljuk meg az értelmezési tartományt: sin x 0 sin x sin x ± x 1 π + kπ és x π + kπ, k Z. Egy tört értéke akkor nulla, ha a számlálója nulla és a nevezője nem nulla. Ennek a megoldásai: cos x 1 = 0 cos x = 1. x 1 = π + kπ és x = π + kπ, k Z 15
Összevetve az értelmezési tartománnyal megállapíthatjuk, hogy nincs megoldása ennek az egyenletnek. Tehát a helyes válasz az (E). 1. Hány megoldása van sin x 0 egyenlőtlenségnek a [ 10; 10] zárt intervallumon? (A) 1 (B) 7 (C) 6 (D) 0 (E) nincs megoldása A négyzetre emelés miatt sin x 0. A két feltételből következik, hogy sin x = 0 sin x = 0 x = kπ Azt kell még megvizsgálni, hogy ezek a gyökök közül mennyi esik a megadott intervallumba. Mivel π < 10 < π és π < 10 < π, a következő ábrán jól látható, hogy 7 megoldása ( π; π; π; 0; π; π; π) van az egyenlőtlenségnek ezen az intervallumon. Tehát a helyes válasz a (B). 1. Egy torony árnyéka a vízszintes talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága. Hány fokos szöget zár be ekkor a nap a vízszintes talajjal? A hosszabb befogó legyen: x, a rövidebb x. A derékszögű háromszögre felírhatjuk, hogy tgα = x x, és x-el egyszerűsítve kapjuk, hogy tgα = 1, ahonnan az α = 6,57. Középszintű érettségi 009. október 16
15. Egy háromszög két oldalának arány :, az általuk bezárt szög 10, a harmadik oldala c=8 cm. Mekkorák az ismeretlen oldalak és szögek? Legyenek az oldalak a, b és c. Ekkor a = x és b = x és γ = 10. A két oldal és a közbezárt szög segítségével felírhatjuk a koszinusz tételt: Helyettesítsünk be: Végezzük el a műveleteket: c = a + b abcosγ. 8 = (x) + (x) (x) (x) cos 10. 1 = 9x + x 1x ( 1 ) 1 = 9x + x + 6x 1 = 19x 76 = x x = 76, (x > 0). Tehát az a = 76 6,15 (cm) és a b = 76 17,(cm). A hiányzó szöget kiszámolhatjuk a szinusztétel segítségével (α biztos, hogy hegyesszög, mert γ tompaszög): sin α sin 10 = 76 8 sin α = 0,6 α = 6,6. A háromszög szögeinek összege 180, így β = 180 10 6,6 =,. Tehát a háromszög hiányzó adatai: a = 76 cm 6,15 cm; b = 76 cm 17,; α = 6,6 ; β =,. 16. Tegyük fel, hogy egy háromszög szögeire fennáll, hogy tgβ sin γ = tgγ sin β. Igazolja, hogy ekkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű. Mivel létezik a tgβ és tgγ, ezért sem β, sem γ nem lehet 90. A szögfüggvények közötti összefüggéseket használva, felírhatjuk: sin β cos β sin γ sin γ = cos γ sin β. Oszthatunk sinβ-val és sin γ-val, mivel ezek nem lehetnek nullák: Szorozzunk be a nevezőkkel: Szorozzuk meg mindkét oldalt -vel: sin γ sin β = cos β cos γ. sin γ cos γ = sin β cos β. sin γ cos γ = sin β cos β. 17
sin γ cos γ = sin γ és sin β cos β = sin β ezért: sin γ = sin β. Ez akkor teljesül, ha γ = β, amiből következik, hogy γ = β vagyis a háromszög egyenlő szárú, VAGY, ha γ = 180 β Rendezzük ezt az egyenletet: γ + β = 180 (γ + β) = 180 γ + β = 90 α = 90, tehát a háromszög ebben az esetben derékszögű. 18