Számrendszerek: 10-es számrendszer, 2-es számrendszer, 8-as számrendszer, 16-os számr. Számjegyek, alapműveletek. ritmetikai műveletek egész számokkal 1. Összeadás, kivonás (egész számokkal) 2. Negatív számok ábrázolása 1. Előjelbites ábrázolása 2. kettes komplemens ábrázolás 3. Átváltás a számrendszerek között (10 <-> többi; 2 <-> 8; 2<->16) Logikai műveletek 1. ÉS (ND): dott két (vagy több) állítás: és. z eredmény akkor és csak akkor igaz, ha igaz és is igaz. Példa: akkor veszek fagyit, ha kapható fagylalt és van rá pénzem. állítás: kapható fagylalt, állítás: van fagylaltra pénzem. 2. VGY (OR): dott két (vagy több) állítás: és. z eredmény akkor igaz, ha legalábbaz igaz vagy legalább a igaz. Példa: akkor veszek fagyit, ha van rá pénzem, vagy a barátomnak van rá pénze. állítás: van fagylaltra pénzem, állítás: a barátomnak van a fagylalomra pénze. 3. NEM (NOT): dott egy állítás. Ha igaz, akkor a NEM hamis. Ha hamis, akkor a NEM igaz. Példa: akkor veszek fagyit, ha nem felejtettem otthon a pénztárcámat. állítás: otthon felejtettem a pénztárcát. 4. Kizáró VGY (Exclusive OR) rövidítve: XOR (vagy EOR): dott két állítás: és. z eredmény igaz, ha és közül pontosan az egyik, és csak az egyik igaz. Példa: Vagy süteményt, vagy fagylaltot veszek. állítás: süteményt veszek, állítás: fagylaltot veszek. z állítás akkor igaz, ha az egyiket veszem meg. Ha egyiket sem vagy mindkettőt, akkor az XOR állítás hamis. Feladattípusok Átváltás: 10 2 8 16 11 177 0011 1001 1001 0101 632 541-25 912 7 3-1101 0100 1101 0111-777 275 - FF 3E lapműveletek: Művelet 10 2 8 16 Összeadás 009 172 387 + 193 463 466 0001 1111 0101 0101 + 0010 0101 1001 1001 007 172 357 + 123 463 466 0F9 72 3C7 + 1D3 4E3 466
Művelet 10 2 8 16 Összeadás (2- es komplemens) 999 172 387 + 193 463 466 Kivonás 709 172 387-093 463 456 1111 1111 0101 0101 + 0101 1001 1001-0010 0101 1101 1011 777 172 357 + 463 466-023 463 456 FFF 72 3C7 + 4E3 466-0D3 4E3 436 Kivonás 2-es komplemens 709 127 387-093 463 466-0010 0101 1101 1011-023 463 466-0D3 4E3 466 Logikai ÉS 100 111 102 ND 010 601 001 ND 0010 0101 1101 1011 ND 023 463 466 ND 0D3 4E3 466 Logikai VGY 100 111 102 OR 010 261 001 OR 0010 0101 1101 1011 OR 023 463 466 OR 0D3 4E3 466 Kizáró VGY 100 121 102 0101 1111 0111 0101 XOR 010 631 001 XOR 0010 0101 1001 1011 XOR 023 463 466 XOR 0D3 4E3 466 Logikai NEM NOT 010 601 001 NOT 0110 0111 1101 1011 NOT 023 463 466 NOT 0D3 4E3 466 Hiányzó számjegy kitalálás: ( végeredmény még nem jó, csak a feladat-stílust mutatja) Művelet 10 2 8 16 Összeadás 009 17? 387 +?93 4?3 4?6 19? 463 466 Összeadás (2- es komplemens) 9?9 172 387 + 193 4?3 4?6 9?9 172?87 Kivonás 709?72 387-093 4?3 456 709 172?87 Kivonás 2-es komplemens 709 1?7 387-093 463 4?6 0001 1?11 010? 0101 + 0010 0101?001 1??1??01 11?1 0101 010? 1?1? 1111 01?1 0101 + 010? 100? 1?01 111? 1?11 0?01 0?01 010? 1011 011? 0?01-0?10 0??1 11?1 10?1 0101 1011??11 0101 0??1 1011 01?? 0101-0010 0??1 1101 10?1 010? 1011 011? 0?01 Logikai ÉS 0101 1011 0111 0?01 ND 0010 0?01 1101 1011 0101 1011 0??1 0101 Logikai VGY 0101 1011 0111 0?01 OR 0010 01?1 1101 1011 0101 1?11 01?1 010? Kizáró VGY 0?01 1111 011??1?? XOR 001? 0?0? 1?01 1011 Logikai NEM NOT 0110 0??1 1??1 1011 01?? 1011 011? 0??1 0?7 1?2 357 + 12? 463?66 0?7 172 3?7 777 172??7 + 4?3 466 7?7 17? 357 3?7 17? 3?7-023 4?3 45? 307??2 357-023 463 466 307 1?2 357 ND 023 463 4?6 307 1?2 357 OR 023 463 466 3?7 172 3?7??7 1?? 357 XOR 023 463??6 307??2 357 NOT 023 4?? 466 307 172 3?7 0F9 72 3?7 + 1D3 4E? 466 0?9?2 3C? FFF 72 3?? + 4?3 466 F?F?2?C7 1F9?2 3C7-0?3 4E? 4?? 1F9?72 3C7-0D3 4E3 466 1F9 7? 3C7 ND 0D3 4E3 466 1?9 72 3?7 1F9 72 3?7 OR 0D3 4E? 466 1F9?2 3C7 1?9 72?C7 XOR 0D? 4?3 4?? 1F9?72 3C7 NOT 0D3 4?3 466
FIGYELEM! logikai műveleteket mindig bitenként végezzük, tehát csak kettes számrendszerben. z csak beugratás, hogy más számrendszerben van megadva a szám! (Ez így valójában 3 feladat: számok átváltása 2-es számrendszerbe, az eredeti feladat megoldása, az eredmény visszaváltása.) Szöveges feladatok: Tetszőleges X számon milyen műveleteket kell elvégezni, hogy a 11. és 6. bit 0 legyen, a 10.-8. bitek 1-ek legyenek, a 3. bit pedig az ellenkezője. ( bitek számozása jobbról balra történik, a jobb szélső bit a 0. sorszámú.) Megoldás: X ND (1111 0111 1011 1111) OR (0000 0111 0000 0000) XOR (0000 0000 0000 1000) z X-et ÉS-eljük egy olyan számmal, ahol csak a 11. és 6. bit 0, majd VGY-oljuk egy olyan számmal, ahol csak a 10.-8. bit 1 értékű, majd XOR-oljuk egy olyan számmal, amelyben csak a 3. bit 1 értékű. (Ki lehet próbálni tetszőleges X bináris szám behelyettesítésével, a műveletek elvégzése után az eredmény a feladatban megadott szabály szerinti lesz.) Van két olyan művelet, amellyel egy tetszőleges 16 bites szám összes bitjét az ellenkezőjére válthatjuk. Melyik ez a két művelet? Logikai műveletek elektronikai/elektromechanikai megvalósítása Relé: Elektromosan irányított mechanikus kapcsoló. Működése: egy kapcsoló, amit nem egy ember, hanem egy elektromágnes kapcsol ki vagy be, aszerint, hogy adunk-e áramot az elektromágnesre vagy nem. Két fajtája van: zárórelé: ha az elektromágnes működik, akkor zárja a kapcsolót (különben a kapcsoló nyitva van); nyitó relé: ha az elektromágnes működik, akkor kinyitja a kapcsolót (különben a kapcsoló zárva van); Záró relé Nyitó relé Tranzisztor: félvezetőből 1 készülő elektronikai eszköz. lényege, hogy elektromos úton szabályozható 2, hogy mennyi áramot engedjen keresztül magán. Egy reléhez hasonlóan kapcsolóként is működtethető: vezérelhetjük, hogy átengedi az áramot, vagy nem. Előnye, hogy sokkal kisebb, gyorsabb, kevesebbet fogyaszt, és sokkal ritkábban hibásodik meg mint egy relé. könnyebb érthetőség kedvéért a következő fejezetekben a relét fogjuk felhozni példának, de a valóságban már szinte mindent tranzisztorokkal építenek meg. 1 Többnyire szilíciumból, néha germániumból 2 a középső lábára kapcsolt megfelelő áramerősséggel
logikai műveletek megvalósítása relével ÉS művelet: két darab sorba kötött vezérelhető kapcsoló (relé). VGY művelet: két darab párhuzamosan bekötött vezérelhető kapcsoló (relé). NEM művelet: Egy darab nyitó relé. Kizáró-VGY művelet: Egy VGY, két ÉS és egy NEM művelet megfelelő összekapcsolásával kialakítható. Implikáció művelet (jele --> ): Ez a Ha igaz, akkor állítás eldöntésének műveletét jelenti. Például vegyük a következő állítást: Ha holnap Sárváron leszek, akkor bemegyek a sárvári gyógyfürdőbe. Itt az állítás: Holnap Sárváron leszek, a állítás: bemegyek a sárvári gyógyfürdőbe. z állításom csak akkor hamis, ha Sárváron leszek, de nem megyek be a gyógyfürdőbe. (Ha honap nem leszek Sárváron, akkor az állítás igaz, hiszen azt mondtam, hogy Ha Sárváron leszek.) Igazságtábla Egy olyan táblázat, ami felsorolásszerűen leírja, hogy a különböző bemeneti adatok esetén mi lesz a művelet eredménye. Például: NOT OR XOR ND x 0 1 1 0 16 darab bináris két változós függvény lehetséges: Hamis ÉS NEM -> NEM -> XOR VGY NEM-VGY NEM-XOR NEM- -> NEM- -> NEM-ÉS Igaz Egybites félösszeadó Két bit összeadásának lehetséges variációi:
: : Eredmény: 0 + 0 0, átvitel=0 0 + 1 1, átvitel=0 1 + 0 1, átvitel=0 1 + 1 0, átvitel=1 z erdmény és az átvitel kiszámításának igazságtáblája: Két bit összeadásának eredménye (1 bit) Két bit összeadásakor keletkez ő átvitel ki- számítása: Mint láthatjuk, ez nem más, mint egy Kizáró-VGY művelet és egy ÉS művelet. Egybites összeadógép készítése: ND & XOR =1 Átvitel Eredmény Egybites teljes összeadó Zsilipkapu vezérlés