1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei

1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei Az ábrázoló geometria sokrétű feladatköréből egyetlenegyet emelünk ki: szemléletes 1 kép készítése a síkon (képernyőn) valamely térbeli modellről. A tér síkra történő R 3 R 2 leképezésére nagyon sokféle klasszikus ábrázoló geometriai módszer ismert, jelen előadás keretei között csak a lineáris és a törtlineáris leképezésekkel foglalkozunk, amelyeket itt összefoglaló névvel egyszerűen csak vetítéseknek (projekcióknak) nevezünk. A lineáris leképezések mátrixszorzásként hatnak: R 3 R 2,x Ax, A M 2 3, ranga = 2, míg a törtlineáris leképezések a projektív tér P 3 P 2,[x] [Ax], x R 4, A M 3 4, ranga = 3 leképezései. (Ezeket a transzformációkat homogén koordinátákról Descartes koordinátákra átírva törtlineáris transzformációkat kapunk.) A szemléletes kép készítés problémájának lényege az, hogy a modellről könnyen előállítható kép a modell valamely egyszerű vetülete, amely egyáltalán nem szemléletes. Az 1. ábrán látható kép a fejezetben szereplő modellről egy egyszerű vetület, amelyet egyáltalán nem érzünk szemléletesnek. (Lásd a további képeket ugyanerről a modellről a későbbiekben.) y 1. ábra. A modell egyszerű vetülete. Két egyszerű stratégiával juthatunk el a szemléletes képhez. Képzeljük el, hogy egy kisméretű tárgyat kell alaposan szemügyre vennünk, például egy autómodellt: kezünkbe vesszük és körbeforgatjuk. Ha az eredeti autót tanulmányozzuk, akkor viszont körbejárjuk. Az első stratégia a szemléletes képhez a modell transzformációjával jut el, a második stratégia a nézőpontot változtatja. Ebben az előadásban főként az első stratégiát alkalmazzuk. A modell transzformációjaként izometriákat illetve (az előzőektől csak skálázásban különböző) hasonlóságokat engedjük meg. 1 A szemléletes szót itt nem kívánom különösebben elemezni. Csak egy példa: A kockáról szemléletes a kép, ha három lapját látom, nem szemléletes, ha egyet vagy kettőt. 1

1.1. Informális bevezetés Írjunk le analitikusan egy síkra történő centrális vetítést a térben! Az S képsík az egyszerűség kedvéért illeszkedjen az origóra, normálvektora legyen n, egyenlete tehát n,x = 0. A vetítés centruma legyen c / S, legyen továbbá a c-re illeszkedő, S-el párhuzamos sík S. A P: R 3 \ S S centrális vetítés a p R 3 \ S ponthoz hozzárendeli azt a p pontot, amelyre p S és (p, p,c) kollineárisak. A feltétel szerint: (1.1) p = c +t(p c) valamely t-re, továbbá Ez utóbbi egyenletből t meghatározható: (1.1)-be behelyettesítve: (1.2) p = n,c +t(p c) = 0. t = n,c n, p c. n, p c n,c p n, p n,c. A fenti összefüggés törtlineáris transzformáció. Koordinátákkal kiírva, legyen p = (x,y,z), p = (,y,z ), n = (n 1,n 2,n 3 ), c = (c 1,c 2,c 3 ) továbbá n,c = q R. A kapott (1.2) összefüggés: = n 1xc 1 + n 2 yc 1 + n 3 zc 1 qx n 1 x + n 2 y + n 3 z q y = n 1xc 2 + n 2 yc 2 + n 3 zc 2 qy n 1 x + n 2 y + n 3 z q z = n 1xc 3 + n 2 yc 3 + n 3 zc 3 qz. n 1 x + n 2 y + n 3 z q Homogén koordinátákkal fölírva: 1 n 1 c 1 q n 2 c 1 n 3 c 1 0 x 1 x 2 x 3 = n 1 c 2 n 2 c 2 q n 3 c 2 0 x 2 n 1 c 3 n 2 c 3 n 3 c 3 q 0 x 3. x 4 n 1 n 2 n 3 q x 4 Írjunk most (1.1)-ben c helyére λc-t, ahol λ R: p = λ n, p c λ n,c p n, p λ n,c 2 = n, p c n,c p n/λ, p n,c.

Ha λ-val végtelenhez tartunk, akkor n, p (1.3) lim λ p = p n,c c, ami c irányú párhuzamos vetítésnek felel meg, s már lineáris transzformációt ad euklideszi térben is. Az előzőekből kitűnik, hogy a párhuzamos vetítés minden gond nélkül tárgyalható az euklideszi térben is, míg a centrális vetítés kényelmesebb színtere a projektív tér. A részletes tárgyalást a legegyszerűbb vetítéssel, a koordinátasíkra történő merőleges vetítéssel kezdjük. 1.2. Ortogonális axonometria A párhuzamos vetítés speciális esete, ha a vetítés iránya és a vetítés síkja egymásra merőlegesek. Az xy síkra történő merőleges vetítés (melyet standard merőleges vetítésnek is nevezünk): melynek mátrixa R 3 R 2, (x,y,z) t (x,y) t, P = ( 1 0 0 0 1 0 Ez az egyszerű vetítés szemléletes kép készítésére általában nem alkalmas, (ld. pl. az 1. ábrát), ehhez a modell transzformációjára lehet szükség. 1.1. Definíció. A tér egy hasonlósági transzformációjának és egy síkra történő merőleges vetítésnek a szorzatát ortogonális axonometriának nevezzük. A továbbiakban feltételezzük, hogy a hasonlóságnak az origó fixpontja, továbbá a merőleges vetítés a standard merőleges vetítés, így az axonometria lineáris leképezés lesz. Példa. (Ld. a 2. ábrát!) Forgassuk el a modellt az y tengely körül φ szöggel, majd az x tengely körül ψ szöggel, ezután vetítsük merőlegesen az xy síkra. Az így kapott axonometria mátrixa: ( ) cosφ 0 sinφ V = P R x (ψ) R y (φ) =, sinψ sinφ cosψ sinψ cosφ azaz az axonometria R 3 = M 3 1 x V x. ). 3

y z 2. ábra. Ortogonális axonometria: merőleges vetítés a koordinátasíkra a modell ortogonális transzformációjával. Az előző példával lényegében minden axonometriát leírtunk, mert a modellre alkalmazott z tengely körüli elforgatást illetve origó középpontú centrális hasonlóságot elérhetjük a kép hasonlósági transzformációjával is. Az axonometria megadása tehát lényegében a φ és ψ szögek megadását jelenti. Jóllehet ez nagyon egyszerű, mégis sok esetben intuitívabb lehet, ha R 3 kanonikus bázisának a képét adjuk meg, amely persze rögtön megadja az axonometria kanonikus bázispárra vonatkozó V mátrixát. A három képvektor azonban nem vehető föl tetszőlegesen, a következőekben erre adunk feltételt. 1.2. Tétel (Gauss-tétel). Legyen V M 2 3. V akkor és csakis akkor áll elő V = P U alakban, ahol U M 3 3 ortogonális mátrix, P pedig a standard merőleges vetítés, ha V V t = I 2. Bizonyítás. U legyen ortogonális mátrix: U U t = I 3. Legyen először V = P U. Ekkor V V t = P U U t P t = P P t = I 2. Megfordítva, ha V V t = I 2 teljesül, akkor ez azt jelenti, hogy V sorai egymásra merőleges egységvektorok. Egészítsük ki a sorvektorokat R 3 ortonormált bázisává. A kiegészített mátrix legyen U. Mivel U sorai egymásra merőleges egységvektorok, ezért oszlopai is azok, és V = P U nyilvánvalóan teljesül. 1.3. Következmény. Az (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ), (x 3,y 3 ) vektorok akkor és csakis akkor alkotják R 3 egy ortonormált bázisának standard merőleges vetületét, ha (x 1,x 2,x 3 ) és (y 1,y 2,y 3 ) egymásra merőleges egységvektorok, azaz (1.4) x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 1 y 2 1 + y 2 2 + y 2 3 = 1 x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = 0. 4

Bizonyítás. Alkalmazzuk a Gauss-tételt: ( ) x x1 x 2 x 1 y 1 3 x y 1 y 2 y 2 y 2 = 3 x 3 y 3 ami a három megadott egyenlettel ekvivalens. ( ) 1 0, 0 1 Az R 2 halmazt a szokásos módon azonosítjuk C-vel: (x,y) x + iy, így a standard projeció: P: (x 1,x 2,x 3 ) x 1 + ix 2. Gauss tételét átfogalmazhatjuk: 1.4. Tétel (Gauss-tétel, komplex írásmód). (α,β,γ) C 3 akkor és csakis akkor R 3 egy ortonormált bázisának - standard merőleges vetülete, ha (1.5) α 2 + β 2 + γ 2 = 0 és α 2 + β 2 + γ 2 = 2. - ortogonális axonometriával nyert képe, ha (1.6) α 2 + β 2 + γ 2 = 0 teljesül nem triviálisan. Bizonyítás. Legyen α = x 1 + iy 1, β = x 2 + iy 2, γ = x 3 + iy 3. Az (1.5) relációknak képzetes és valós részét véve: x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = y 2 1 + y 2 2 + y 2 3, x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = 0, x 2 1 + y 2 1 + x 2 2 + y 2 2 + x 2 3 + y 2 3 = 2 adódik, ami (1.4)-el ekvivalens. Ugyanakkor előbbi első két egyenlet azt fejezi ki, hogy (x 1,x 2,x 3 ) és (y 1,y 2,y 3 ) azonos hosszúságú egymásra merőleges vektorok, ami a második állítást jelenti. Összefoglalva, ortogonális axonometria ( ) x1 x V = 2 x 3 y 1 y 2 y 3 mátrixát úgy kell megadni, hogy a sorvektorok azonos (de nem zérus) hosszúságú egymásra merőleges vektorok legyenek (ez nem intuitív megadás); vagy ezzel 5

y z 3. ábra. Párhuzamos vetítés. A modellt nem transzformáltuk. ekvivalens módon úgy, hogy az oszlopok közül fölveszünk tetszőlegesen kettőt, pl. az (x 1,y 1 ) és (x 2,y 2 ) oszlopokat, és a harmadik oszlopot kiszámítjuk úgy, hogy (x 1 + iy 1 ) 2 + (x 2 + iy 2 ) 2 + (x 3 + iy 3 ) 2 = 0 teljesüljön. Ez utóbbi egyenletnek az x 3 + iy 3 komplex számra két megoldása is van. A harmadik oszlop kiszámítása nagyon egyszerű számítógéppel, ha komplex aritmetikával dolgozunk: γ = α 2 β 2, a korábbi jelöléssel. Megjegyezzük, hogy ez utóbbi formula alapján γ-t nagyon könnyű körzőzel-vonalzóval is megszerkezteni α-ból és β-ból. 1.3. Axonometria Vetítsük a teret a v = (v 1,v 2, ) ( 0) vektorral párhuzamosan az xy síkra. A vetítés mátrixa a kanonikus bázispárra vonatkozóan az (1.3)-ba történő behelyettesítéssel kapható meg: 1 0 v 1 3 0 1 v 2. 0 0 0 Ha az xy síkot az (x,y,0) (x,y) lineáris izomorfizmussal beazonosítjuk R 2 -el, akkor a vetítés mátrixa: ( ) 1 0 v 1 V = 3 0 1 v 2. Ez az egyszerű leképezés már önmagában is szemléletes képet ad, (legalábbis abban az értelemben ahogyan azt az 1. oldal lábjegyzetében írtuk), bár a képet torznak érezzük ld. 3. ábra. A modell transzformációját itt is alkalmazhatjuk. (4. ábra.) Az y tengely körüli φ szögű, majd az x tengely körüli ψ szögű elforgatás 6

y z 4. ábra. Párhuzamos vetítés. A modellt elforgattuk az y tengely körül. után végrehajtva az előző párhuzamos vetítést, a következő mátrixot kapjuk: V R x (ψ) R y (φ) = cosφ+v 1 cosψ sinφ ( sinψ+v 2 cosψ)sinφ v 1 sinψ cosψ+v 2 sinψ sinφ+v 1 cosψ cosφ (sinψ+v 2 cosψ)cosφ. A vetítés intuitív megadása itt is azt jelenti, hogy a tér kanonikus bázisának a képét adjuk meg. A továbbiakban belátjuk, hogy az ortogonális axonometriától eltérően (ahol csak két képvektort vehettünk föl tetszőlegesen), mind a három képvektort fölvehetjük tetszőlegesen egyetlen megkötés, hogy a fölvett vektorrendszer rangja 2 legyen. 1.5. Definíció. Egy P: R 3 R 2 szürjektív lineáris (azaz kettő rangú) leképezést axonometrikus leképezésnek vagy axonometriának nevezünk. A továbbiakban az előbbi leképezés R 3 ill. R 2 kanonikus bázisaira vonatkozó mátrixát is P-vel jelöljük, így az axonometria: P: R 3 R 2, R 3 x Px, P M 2 3, rangp = 2. 1.6. Tétel (Az axonometria alaptétele I). Minden axonometrikus leképezés előáll egy R 3 R 2 párhuzamos vetítés és egy R 2 R 2 lineáris izomorfizmus szorzataként, azaz az axonometrikus kép affin kapcsolatban van az alakzat egy párhuzamos vetületével. Bizonyítás. Legyen ( ) a11 a P = 12 a 13, rangp = 2. a 21 a 22 a 23 7

Az általánosság megszorítása nélkül föltehetjük, hogy az első két oszlop lineárisan független, azaz ( ) a11 a (1.7) deta 0, A = 12. a 21 a 22 P egy dimenziós magterét generálja a v = (v 1,v 2, ) 0 vektor: kerp = L(v). Azt állítjuk, hogy P az xy síkra v-vel párhuzamos vetítés és az A-val történő balszorzás (mint lineáris izomorfizmus) szorzata. Megjegyezzük, hogy = 0 azt jelentené, hogy az xy sík nem zéró vektora A magterében lenne, így ez ellentmondana (1.7)-nek. ( a11 a A V = 12 a 21 a 22 Azonban v kerp: tehát P = A V. ) ( ) 1 0 v 1 3 0 1 v 2 = ( ) v a11 a 12 a 1 v 11 3 a 2 12 3 v a 21 a 22 a 1 v 21 a 2. 22 a 11 v 1 + a 12 v 2 + a 13 = 0 = a 11 v 1 a 12 v 2 = a 13 a 21 v 1 + a 22 v 2 + a 23 = 0 = a 21 v 1 a 22 v 2 = a 23, 1.7. Tétel (Az axonometria alaptétele II). Minden axonometrikus leképezés előáll egy R 3 S merőleges vetítés és egy S R 2 lineáris izomorfizmus szorzataként, ahol S a tér egy alkalmas két dimenziós altere. Bizonyítás. Az előző tétel bizonyításának jelöléseivel. S legyen P magterének ortogonális komplementere, azaz az L(v) egyenesre merőleges, origóra illeszkedő sík. 1.8. Tétel (Pohlke). Minden axonometria egy párhuzamos vetítés és egy hasonlóság szorzata, azaz egy alakzat axonometrikus képe hasonló az alakzat valamely síkra vonatkozó párhuzamos vetületéhez. Bizonyítás. A bizonyításhoz egy elemi segédtételre van szükségünk: Minden ellipszis alapú hengernek van körmetszete. Az alaptétel első változatának bizonyításakor már bevezetett jelöléseket használjuk, tehát az axonometria A V alakban írható föl, ahol V párhuzamos vetítés, A pedig lineáris izomorfizmus. Vegyünk föl az xy síkban egy tetszőleges, origó középpontú k kört. Legyen A 1 (k) = ˆk. S legyen olyan origóra illeszkedő sík, hogy ebben fölvett alkalmas, origó középpontú k kör v-vel párhuzamos vetülete éppen ˆk legyen. (Ilyen sík 8

létezését a lemma garantálja.) Az xy síkra történő, v-vel párhuzamos vetítést, azaz V -t, bontsuk föl az S síkra történő v-vel párhuzamos V 1 vetítés és az S sík xy síkra történő, szintén v-vel párhuzamos V 2 vetítés szorzatára: V = V 2 V 1. Ezt azért tehetjük meg, mert S nem lehet v-vel párhuzamos. Most P = A V 2 V 1. Az A V 2 lineáris izomorfizmus azonban a k körhöz a k kört rendeli, azaz ez a leképezés hasonlóság, ami a bizonyítandó állítást jelenti. A bizonyítást az alábbi diagrammon követhetjük: R 3 V 1 S ( k ) V 2 R 2 A ( ˆk) R 2 ( k). A Pohlke-tétel szerint egy tetszőleges 2 rangú síkbeli B vektorhármas valamely térbeli ortonormált bázis axonometrikus képe. A gyakorlati alkalmazásokban sok speciális axonometriát használnak. Gyakran B vektorait azonos hosszúságúnak vesszük föl, ilyenkor izometrikus axonometriáról beszélünk. 1.4. Centrális pojekció és centrál-axonometria 1.9. Definíció. Legyen S a projektív tér egy rögzített síkja, C egy síkra nem illeszkedő pont. A C centrumú S síkra történő (centrális) vetítésen azt a leképezést értjük, amely a tér egy tetszőleges, C-től különböző X pontjához hozzárendeli a CX egyenes és az S sík metszéspontját. 1.10. Tétel. Legyen c R 4, az S sík egyenlete n,x = 0, ahol n R 4. Az S síkra történő, C = [c] centrumú vetítés X = [x]-hez X = [ ]-t rendeli, ahol: R 4 \ {c} x = (c n t n t c I 4 ) x. A c n t n t c I 4 mátrixot a vetítés mátrixának mondjuk. Bizonyítás. Először azt ellenőrizzük, hogy X = [ ] valóban a CX egyenesen van: x = c }{{} n t x n }{{} t c x = αc + βx L(c,x), α β tehát rang(x,,c) = 2. Másodjára azt ellenőrizzük, hogy X az S síkon van: n,x = n t (cṅ t x n t c x) = (n t c)(n t x) (n t c)(n t x) = 0. A vetítés V mátrixa, a mátrixelemeket kiírva: n 1 c 1 + q n 2 c 1 n 3 c 1 0 n 1 c 2 n 2 c 2 + q n 3 c 2 0 n 1 c 3 n 2 c 3 n 3 c 3 + q 0, n 1 n 2 n 3 q 9

y 5. ábra. 1 iránypontos perspektíva. A vetítés centruma a z tengelyen van, a modellt nem transzformáltuk. ahol n = (n 1,n 2,n 3,1), c = (c 1,c 2,c 3,c 4 ), q = n t c. Ábrázolásra (a képernyő síkján történő rajzolásra) valamely koordinátasíkra történő projekciót lehet kényelmesen alkalmazni. Ennek legegyszerűbb esete, amikor a vetítés centrumát azon a tengelyen vesszük föl, amely a képsíkra merőleges. Ezt a vetítést egy iránypontos perspektívának nevezzük. Példa. Határozzuk meg a centrális vetítés mátrixát, ha a z = 0 síkra vetítünk a (0,0, 1/r), (r > 0) középpontból. Legyen n = (0,0,r) ekkor q = 1, tehát a vetítés mátrixa: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0. 0 0 r 1 A harmadik sort elhagyva kapjuk a P 3 P 2 vetítés mátrixát: 1 0 0 0 V z (r) = 0 1 0 0. 0 0 r 1 Descartes koordinátákra áttérve: ( ) x (x,y,z) rz + 1, y, z 1 rz + 1 r. Az 5. ábrán találjuk a modellünk ábráját az előbbi vetítésnél. Szemléletes képhez a modell transzformációjával juthatunk. Az előbbi vetítésnél (amikor a z tengely egy pontjából vetítettünk az xy síkra) alkalmazhatjuk a modell x vagy y tengely körüli forgatását, tetszőleges eltolást illetve ezek kompo- 10

y z U x U z 6. ábra. 2 iránypontos perspektíva a modell elforgatásával. A vetítés centruma a z tengelyen van, a modellt az y tengely körül forgattuk. zícióját: R 4 x V z (r) T (l,m,n) R x (ψ) R y (φ) x = = cosφ 0 sinφ l sinψ sinφ cosψ sinψ cosφ m r cosψ sinφ r sinψ r cosψ cosφ 1 + rn x Az előbbi mátrix oszlopainak a geometriai jelentése egyszerű. Jelölje a mátrix oszlopait rendre a 1,a 2,a 3,a 4. x helyére speciálisan a koordinátatengelyek végtelen távoli illetve egységpontjait írva kapjuk, hogy [a 1 ] = U x, [a 2 ] = U y, [a 3 ] = U z a koordinátatengelyek végtelen távoli pontjainak a képe, [a 4 ] = O az origó képe, míg [a 1 + a 4 ] = E x, [a 2 + a 4 ] = E y, [a 3 + a 4 ] = E z a tengelyek egységpontjainak a képe. (U x,u y,u z ) illetve (E x,e y,e z ) Désargues-féle háromszögpárt alkotnak, a megfelelő csúcsokat összekötő egyenesek metszéspontja O. Az (O,U x,u y,u z,e x,e y,e z ) ponthetest a centrális projekció bázisalakzatának nevezzük. Aszerint, hogy U x,u y,u z közül hány végtelen távoli pont van, szokás egy, két vagy három iránypontos perspektíváról beszélni. A centrális projekció intuitív megadása azt jelenti, hogy a bázisalakzat fölvételével adjuk meg a centrális projekciót. Ez azonban korántsem történhet tetszőlegesen. A továbbiakban ezt a problémát elemezzük. 1.11. Definíció. Legyen A M 3 4 három rangú mátrix, melynek egyetlen oszlopa sem zéró vektor. A P 3 P 2, [x] [Ax] leképezést A mátrixú centrálaxonometriának nevezzük. A centrális projekció példa centrál-axonometriára. 11

y U x U z z 7. ábra. 2 iránypontos perspektíva a modell elforgatásával és eltolásával. A vetítés centruma a z tengelyen van, a modellt az y tengely körül forgattuk, majd ugyanezen tengely irányában eltoltuk. y U x U z z U y 8. ábra. 3 iránypontos perspektíva a modell elforgatásával. A vetítés centruma a z tengelyen van, a modellt az y, majd az x tengely körül forgattuk. 12

Mivel [A (tx)] = [ta x] = [A x], (t R), ezért a definíció független a pont reprezentánsának választásától. Továbbá A és ta ugyanazt a leképezést adja meg. Legyen A = (a 1,a 2,a 3,a 4 ), ahol a i az A mátrix i-edik oszlopát jelöli. Ahogyan azt az előbb a centrális projekció esetében is beláttuk, [a 1 ] = U x, [a 2 ] = U y, [a 3 ] = U z rendre az x, y, z tengelyek végtelen távoli pontjának a képe, [a 4 ] = O pedig az origó képe. A tengelyek egységpontjainak képe rendre: [a 1 + a 4 ] = E x, [a 2 + a 4 ] = E y, [a 3 + a 4 ] = E z. Az (O,U x,u y,u z,e x,e y,e z ) ponthetest a centrál-axonometria bázisalakzata. Megjegyezzük, hogy (O,U x,u y,u z ) még nem határozza meg a centrál-axonometriát, hiszen a pontok különböző számnégyes-reprezentánsai általában nem adnak egymáshoz arányos mátrixokat: (α 1 a 1,α 2 a 2,α 3 a 3,α 4 a 4 ) α(a 1,a 2,a 3,a 4 ). A következő, geometriai jellegű elemzéshez, a speciális esetek elkerülése végett, tegyük föl, hogy a bázisalakzat pontjai különböző pontok. Az (E x,e y,e z ) és (U x,u y,u z ) háromszögpár Désargues-féle háromszögpár, azaz csúcsaira ( = oldalaira) nézve perspektív háromszögpár. (A pontok között lehetnek végtelen távoli pontok is.) 1.12. Tétel (A bázisalakzat fölvételének szabadsága). Tetszőleges Désarguesféle háromszögpár a perspektivitás centrumával egy centrál-axonometria bázisalakzatát adja meg. Bizonyítás. Legyen A = ([a 1 ],[a 2 ],[a 3 ]), B = ([b 1 ],[b 2 ],[b 3 ]) a két perspektivikus háromszög, a perspektivitás centruma [a 4 ]. (a i,b i,a 4 R 3,i = 1,2,3.) Az összes olyan centrál-axonometria mátrixa, melynél az origó képe [a 4 ] és az egyes tengelyek végtelen távoli pontjának képe pedig A, megadható valamely nem zéró α 1,α 2,α 3 skalárokkal a következő alakban: (α 1 a 1,α 2 a 2,α 3 a 3,a 4 ). (A negyedik oszlop arányossági tényezőjével lehet osztani.) A kérdés az, hogy vannak-e olyan α 1,α 2,α 3 nem zéró skalárok, hogy [α i a i + a 4 ] = [b i ]. Mivel (A,B) Désargues-féle háromszögpár, ezért rang(a i,b i,a 4 ) = 2. Legyen i = 1, i = 2,3-ra analóg. A zérusvektort lineárisan kombinálva: ta 1 + rb 1 + sa 4 = 0, valamely nem triviális (t, r, s) együtthatórendszerre. Sőt, a geometriai föltevés szerint (a bázisalakzat pontjai különbözőek) azt is tudjuk, hogy s 0, ellenkező esetben ugyanis (a 1,b 1 ) lineárisan függő rendszer, azaz [a 1 ] = [b 1 ] lenne. Tehát t s a 1 + a 4 = r s b 1, 13

azaz α 1 = t/s mellett [α 1 a 1 + a 4 ] = [b 1 ]. 1.13. Tétel (A centrál-axonometria főtétele). Minden centrál-axonometria egy centrális projekció és egy projektív transzformáció szorzata, azaz a centrálaxonometrikus kép projektív az alakzat valamely centrális vetületéhez. Bizonyítás. A bizonyítás analóg az 1.6. tétel bizonyításához. A centrál-axonometriára Pohlke tételét nem lehet általánosítani, nem igaz az, hogy tetszőleges centrál-axonometria centrális vetítés és hasonlóság szorzata: 1.14. Tétel (Szabó Stachel Vogel). Legyen (O,U x,u y,u z,e x,e y,e z ) egy centrál-axonometria bázisalakzata, továbbá a bázisalakzat egyetlen pontja se legyen végtelen távoli pont. (9). A bázisalakzat által meghatározott centrálaxonometria akkor és csakis akkor centrális projekció és hasonlóság szorzata, ha ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 OEx OEy OEz : : = tgα : tgβ : tgγ, ahol E x U x E y U y E z U z α = U y U x U z, β = U z U y U x, γ = U y U z U x. U x y U z E y z E z U y E x 9. ábra. Bizonyítás. 14