Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Zankó Istvánné tanár

Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Zankó Istvánné tanár Matematika 5. PROGRAM általános iskola 5. osztály nyolcosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST

Alkotó szerkesztô: DR. HAJDU SÁNDOR Az 1. kiadást bírálta: DR. MAROSVÁRI MIKLÓSNÉ vezetôtanár DR. SÜMEGI LÁSZLÓ egyetemi adjunktus Dr. Czeglédy István, Dr. Czeglédy Istvánné, Dr. Hajdu Sándor, Novák Lászlóné, Zankó Istvánné, 1994, 2006 Mûszaki Könyvkiadó Kft., 2006 ISBN 963 16 4142 2 Azonosító szám: CAE 039M Kiadja a Mûszaki Könyvkiadó Kft. Felelôs kiadó: Bérczi Sándor ügyvezetô igazgató Felelôs szerkesztô: Bosznai Gábor Mûszaki vezetô: Orgován Katalin Borítóterv: Bogdán Hajnal Mûszaki szerkesztô: Trencséni Ágnes Tördelôszerkesztés és számítógépes grafika: Köves Gabriella Terjedelem: 7,87 (A/5) ív 6., 1. átdolgozott kiadás E-mail: vevoszolg@muszakikiado.hu Honlap: www.muszakikiado.hu www.hajdumatek.hu Nyomta és kötötte a Borsodi Nyomda Kft. Felelôs vezetô: Ducsai György ügyvezetô igazgató

Tartalom BEVEZET ISMERTET S........ 5 RATERV, TANMENET... 7 raterv... 7 Tanmenet... 10 1. Sz mok, mennyis gek.... 10 2. Algebrai m veletek........ 12 3. sszef gg sek, nyitott mondatok.... 14 4. Geometriai alakzatok.... 15 5. A t rtek... 17 6. Geometriai vizsg latok, szerkeszt sek.... 19 7. Az eg sz sz mok... 21 8. sszefoglal... 22 A TANANYAG FELDOLGOZ SA... 23 1. Sz mok, mennyis gek.... 23 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai.... 24 Kapcsol d si lehet s gek... 25 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 25 2. Algebrai m veletek... 33 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai.... 34 Kapcsol d si lehet s gek... 34 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 35 3. sszef gg sek, nyitott mondatok... 43 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai.... 43 Kapcsol d si lehet s gek... 43 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 44 4. Geometriai alakzatok..... 46 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai.... 46 Kapcsol d si lehet s gek... 47 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 49 5. A t rtek... 59 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai.... 60 Kapcsol d si lehet s gek... 60 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 61 6. Geometriai vizsg latok, szerkeszt sek.... 68 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai.... 68 Kapcsol d si lehet s gek... 69 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 70 3

7. Az eg sz sz mok... 80 Atananyag-feldolgoz s csom pontjai... 81 Kapcsol d si lehet s gek....... 81 Javasolt eszk z k s modellek... 82 Atananyag-feldolgoz s ttekint se....... 84 8. sszefoglal... 88 ltal nos m dszertani javaslatok.... 89 Atanul si folyamatr l... 90 Atananyag-feldolgoz s ltal nos szerkezete... 93 A tud spr b k feladata... 94 Szeml ltet s, eszk zhaszn lat.... 95 A tananyag s a k vetelm nyek rtelmez s r l... 98 Halmazok, logika, kombinatorika... 99 Sz mtan, algebra... 101 Rel ci k, f ggv nyek, sorozatok... 102 M r s, geometria...... 104 Val sz n s g, statisztika... 106 4

BEVEZET ISMERTET S A tank nyvcsal d tdolgoz s nak koncepci ja A tank nyv els kiad sa 1985-ben jelent meg. Az ta k tszer ker lt tdolgoz sra, 1993- ban s 2000-ben. 2006-ban jra sz ks gess v lt a tank nyvcsal d tdolgoz sa. Egyr szt 2000 ta jelent sen v ltoztak a matematikatan t s tantervi felt telei. Drasztikusan cs kkent amatematika r k sz ma az als s a fels tagozatban egyar nt. Ez rt a tanul k alacsonyabb tud sszinttel, bizonytalanabb k szs gekkel rendelkeznek, lassabban s t bb hib val dolgoznak, mint a kor bbi vekben. M sr szt a nemzetk zi s a hazai felm r sek hat s ra hangs lyeltol d st gyelhet nk meg a matematika k vetelm nyek ter n gy, hogy a k vetelm nyek sszess g ben nem cs kkentek. Az tdolgoz s egyar nt rinti a tank nyv tartalm t, szerkezet t, m dszertani megold sait s tipogr j t. 1. Az alacsonyabb tud sszinthez igazodva az als tagozatos tananyagot alaposabban, tartalmilag s m dszertanilag tgondoltabban tekintj k t (lehet s get adva az esetleges hi nyoss gok p tl s ra). A tananyag feldolgoz sa sor n sz nes" mintap ld kkal ismertetj k fel az j fogalmakat, sszef gg seket. A fel p t sben alkalmazzuk a kis l p sek" elv t. 2. A tanul k terhel s nek cs kkent se rdek ben kevesebbet kell tan tanunk, de azt j lbekellgyakoroltatnunk. Az alapszinten a lehet s gekhez k pest cs kkentj k az egyes anyagr szek ismeretanyag t, hogy p tolhassuk az als tagozatb l r k lt hi nyoss gokat, s legyen elegend id az j" anyagr szek, feladatt pusok alaposabb feldolgoz s ra. 3. jragondoljuk az anyagr szek sorrendj t gy, hogy id takar kosabb, intenz vebb, komplexebb feldolgoz st tegy nk lehet v. Elegend id t kell biztos tanunk a legfontosabb ismereteknek (p ld ul 5. oszt lyban a tizedest rtekkel val m veleteknek, a sz veges feladatok megold s nak, a m rt kegys gek tv lt s nak) begyakoroltat s ra, min l sokoldal bb alkalmaz s ra. 4. Figyelembe vessz k a hangs lyeltol d sokat. A tananyag esetlegesen dedukt v fel- p t s t felv ltjuk az ismeretek szeml letess gen alapul, gyakorlatorient lt" megk zel t s vel. N velj k a mindennapi lettel kapcsolatos sz veges feladatok sz m t. Nagyobb s lyt fektet nk a t bl zatok, diagramok elemz s re. 5. Tartalmilag s m dszertanilag jragondoljuk a tipogr t. A sz veg funkci j t, illetve az ismeretek meg rt s t t mogat sz nez st alkalmazunk. N velj k a tartalommal adekv t, a meg rt st, illetve a motiv ci t el seg t, de a gyelmet el nem terel grak k, fot k, sz nes, szeml ltet br k sz m t. 5

A tank nyvcsal d ismertet se Matematika 5. Program Ezt a kiadv nyt minden iskola sz m ra t r t smentesen biztos tja a kiad. A k nyv alakhoz k pest az elektronikus v ltozat b vebb. A kiad honlapj n doc form tumban is megtal lhat az raterv s a tanmenet. Matematika 5. A (alapszint), illetve Matematika 5. B (b v tett v ltozat) tank nyv Az alapszint k nyv minden olyan anyagr szt tartalmaz, amely a tov bbtanul shoz n lk l zhetetlen. A b v tett tank nyvben a tehets ges tanul k sz m ra, az alapszint tank nyv tananyag n t l kieg sz t anyagr szeket, fejt r feladatokat tal lhatunk. Matematika 5. tank nyv feladatainak megold sa Atanul k otthoni munk j nak nellen rz s t seg t kiadv ny. Matematika 5. Gyakorl B s ges feladatanyaga els sorban a tanultak gyakorl s t, az esetleges hi nyoss gok p tl s t szolg lja. A tank nyvben jel lj k, hogy az egyes alfejezetekhez a gyakorl feladatsorok hogyan kapcsol dnak. Matematika 5{6. Feladatgy jtem ny Ezzel a feladatgy jtem nnyel a tehets ggondoz st k v nj k seg teni a szerz k. A j k pess g tanul kt l fokozatosan v rjuk el az intenz vebb, magasabb szint munk t. Ez az ltal nos iskolai tagozaton az rt fontos, hogy atanul k a gimn ziumi tagozatra j r t rsaikkal azonos sz nvonalra juthassanak. A tank nyvben jel lj k azt is, hogy az egyes feladatok h nyadik oszt lyban, mely anyagr szhez kapcsol dva oldhat k meg. Matematika 3{5. Eszk zt r T bbs g ben kartonpap rb l k sz lt eszk z ket tartalmaz a 3{5. oszt lyos tank nyvek anyag nak tanul s hoz. Seg ts g kkel (az Eszk zt rban tal lhat tmutat aj nl sait k vetve) megszervezhet a t rgyi tev kenys gb l kiindul ir ny tott felfedeztet tanul s, az elvont fogalmak szeml leti megalapoz sa. 5. oszt lyban f leg a t rtek tan t sa sor n vehetj k haszn t ezeknek az eszk z knek. Felm r feladatsorok, matematika 5. oszt ly (A, B, C, D v ltozat) A felm r feladatsorok c lja, hogy a k l nb z helyi tantervek k vetelm nyei sszem rhet k legyenek a Program k vetelm nyeivel s egym ssal. A f zetekhez k sz tett tan ri p ld nyok tartalmazz k a jav t si tmutat kat s az rt kel si norm kat. AC s a D v ltozat k l n f zetben, olcs bb kivitelben ker lt kiad sra. Ezeketaf zeteket csak hivatalos megrendel sre, az iskol knak k ldi meg a M szaki Kiad, ezek kereskedelmi forgalomban nem kaphat k. 6

RATERV, TANMENET raterv Az iskol k t bbs g ben a helyi tanterv 5. oszt lyban heti 4, vi 144 matematika r t r el. Ezen iskol k sz m ra javasolt rasz mokat (az ratervben s a tanmenetben is) res keretbe rtuk. P ld ul: 01{22. ra Megjegyezz k, hogy ha ezekben az iskol kban az als tagozatban reduk lt rasz mban tan tott k a matematik t, akkor t dik oszt lyban is meg kell el gedn nk a kerettantervi minimum feldolgoz s val. Sok olyan iskola van, ahol felismert k, hogy az als tagozatos rasz mok drasztikus cs kkent se miatt a tanul k a kor bbiakhoz k pest hi nyosabb ismeretekkel, fejletlenebb k szs gekkel s k pess gekkel l pnek a fels tagozatba. Ez rt 5. oszt lyban legal bb heti 4,5, vi 162 r t biztos tanak a matematikaoktat s sz m ra. Ebben az esetben a javasolt rasz mokat sz rk re sz nezett keretbe rtuk: 01{24. ra Ha heti 4 r n l kevesebb rasz mot biztos t a helyi tanterv az t dik oszt ly sz m ra, akkorakerettantervi k vetelm nyeket m r csak a jobb k pess g tanul k k pesek teljes teni. A nehezebben halad tanul knak nemcsak az j anyag elsaj t t sa, hanem az als tagozatos hi nyoss gok p tl sa is komoly gondokat jelenthet. Ebben az esetben a nehezebben halad tanul k sz m ra heti rendszeress ggel korrepet l st kell szervezn nk. 1. Sz mok, mennyis gek 01{22. ra 01{24. ra A term szetes sz mok { T j koz d s a sz megyenesen { Kisebb, nem kisebb nagyobb, nem nagyobb {Szorz s s oszt s 10-zel, 100-zal 1000-rel,... { Hossz s gm r s { T megm r s { Eur val zet nk Atanultak gyakorlati alkalmaz sa hossz s gok, t megek becsl se, m r se. Atized, sz zad, ezred fogalm nak tudatos t sa az als tagozatban tanultak tism tl s vel. Atizedest rtek fogalm nak el k sz t se. A tizedest rtek rtelmez se { Tizedest rtek br zol sa sz megyenesen {Tizedest rtek egyszer s t se, b v t se, sszehasonl t sa { Pontos rt k, k zel t rt k, kerek t s (A term szetes sz mok kerek t se { A tizedest rtek kerek t se { A m r s pontoss g nak jelz se) { Gyakorl s { 1. dolgozat, diagnosztikus, t maz r felm r s A fogalomrendszert a szeml letre, gyakorlati alkalmaz sokra alapozva p tj k fel. A fogalmak megszil rdul sa a legt bb tanul n l csak a k vetkez anyagr szek feldolgoz sa sor n v rhat el. 7

2. Algebrai m veletek 23{52. ra 25{58. ra A term szetes sz mok sszead sa. sszead sa, A term szetes sz mok kivon sa { Tizedest rtek kivon sa { Az sszead s s a kivon s tulajdons gai { A term szetes sz mok szorz sa { Tizedest rtek szorz sa, oszt sa 10-zel, 100-zal, 1000-rel { Tizedest rtek szorz sa term szetes sz mmal { Oszt, t bbsz r s (csak az als tagozatban tanultak feleleven t se) { 2. dolgozat, t j koz d felm r s { A term szetes sz mok oszt sa (Oszt s egyjegy oszt val { Oszt s t bbjegy oszt val) { Tizedest rtek oszt sa term szetes sz mmal { A m veletek sorrendje { Az tlag kisz m t sa { Gyakorl s Kieg sz t anyagk nt: Nem t zes alap sz mrendszerek A tizedest rtek gyakorlati p ld kon (m rt kv lt s, p nzv lt s) t rt n bevezet se lehet v teszi, hogy az r sbeli m veletekr l tanultakat tism telj k, majd (gyakorlati p ld kra t maszkodva) kiterjessz k a tizedest rtekre. gy a tanul k szinte az eg sz tan v folyam n gyakorolhatj k s alkalmazhatj k a tizedest rtekr l tanultakat. Ez a fel p t s mintegy 10 tan r val cs kkentheti az j tananyag feldolgoz s nak id ig ny t. gy r szben kompenz lhat az az id vesztes g, amely az als tagozatos tananyag r szletesebb ttekint s b l s az esetleges hi nyoss gok p tl s b l, tov bb a fels tagozatba l p tanul k lass bb munkatemp j b l s alacsonyabb tud sszintj b l ad dik. 3. sszef gg sek, nyitott mondatok 53{66. ra 59{74. ra T bl zatok, grakonok { sszef gg sek, sorozatok { Ar nyos k vetkeztet sek { Gyakorl s { 3. dolgozat, az els f l vet z r felm r s Kieg sz t anyag: Egyenlet, egyenl tlens g A t mak r hangs lyoss v l sa, a gyakorlati alkalmaz sok el t rbe ker l se, valamint a tizedest rtekr l tanultak integr l sa miatt n ll fejezeteket alak tottunk ki. Akor bbiakhoz k pest m dszertanilag kidolgozottabb lett a t mak r feldolgoz sa. j feladatt pusok" a sz veg rtelmez s a t bl zat-, illetve grakonelemz k pess g fejleszt s re. Az el z fejezetekben tal lkoztak a tanul k az alapszint k vetelm nyeknek megfelel, egy l p ssel megoldhat egyenletekkel, egyenl tlens gekkel. Az Egyenlet, egyenl tlens g c. fejezetet a helyi tanterv el r sainak, illetve a csoport sz nvonal nak megfelel szinten c lszer feldolgozni, nehezebben halad csoportban ez az alfejezet elhagyhat. 4. Geometriai alakzatok 67{86. ra 75{94. ra Ismerked s testekkel, fel letekkel, vonalakkal { Egyenesek k lcs n s helyzete { S kidomok, soksz gek { Egybev g s kidomok { T glalap, n gyzet (tulajdons gaik, ker let k) { A ter let m r se, m rt kegys gei { A t glalap ter lete { T glatest, kocka (tulajdons gaik vizsg lata) { Kieg sz t anyag: S kok s egyenesek, s kok s s kok k lcs n s helyzete a t rben (a t glatest tulajdons gainak vizsg lat b l kiindulva) { A t glatest h l ja, felsz ne { A t glatest t rfogata { Az rtartalom m r se { Gyakorl s { 4. dolgozat, t maz r felm r s Az j fejezetek (t glalap, n gyzet, t glatest, kocka)nem janyagr szt tartalmaznak. Az als tagozatos tananyag apr l kos tism tl se, illetve az tgondoltabb m dszertani kidolgoz s indokolta ezen anyagr szek n ll fejezetk nt t rt n feldolgoz s t. Atanul k sz m ra j, hogy a tizedest rtekr l tanultakat alkalmazniuk kell a geometriai sz m t sokban. 8

5. A t rtek 87{106. ra 95{116. ra A t rtek rtelmez se { T rtek b v t se, egyszer s t se { T rtek sszehasonl t sa { Egyenl nevez j t rtek sszead sa, kivon sa { K l nb z nevez j t rtek sszead sa, kivon sa { T rtek szorz sa term szetes sz mmal { T rtek oszt sa term szetes sz mmal { Kieg sz t anyag: T rtalakban rt sz m tizedest rt alakja { Gyakorl s { 5. dolgozat, t maz r felm r s A fogalmak kialak t sakor ne absztrakt" feladatokb l, hanem szeml letes, gyakorlati jelleg sz veges feladatokb l induljunk ki. A fejezetben mindig visszautalunk a tizedest rtekkel kapcsolatos ismeretekre. Megmutatjuk, hogy amit ott a szeml letre t maszkodva felismerhett nk, az most a t rtekr l tanultakkal is igazolhat. gy jra gyakoroltathatjuk a tizedest rtekr l tanultakat is. 6. Geometriai vizsg latok, szerkeszt sek 107{118. ra 117{134. ra Ponthalmazok, a k r s a g mb { H romsz g szerkeszt se (h rom oldalb l) { Szakaszfelez mer leges { A sz gtartom ny { A sz gek m r se sz gm r vel { A sz gek fajt i { T j koz d s a terepen s a t rk pen (helymeghat roz s, t vols gm r s, sz gm r s) {Gyakorl s Kieg sz t anyag: T glalap szerkeszt se { Testek br zol sa { T j koz d s ir nyt vel, t jol val Az j anyag t rgyal s t kapcsoljuk ssze ageometriai sz m t sok gyakorl s val. A gyakorlatorient lt megk zel t s koncepci j nak megfelel en hangs lyosan kell szerepeltetn nk a t rk phaszn lattal kapcsolatos ismereteket. 7. Az eg sz sz mok 119{130. ra 135{148. ra Nem el g a term szetes sz m { Az eg sz sz mok abszol t rt ke { Az eg sz sz mok sszead sa, kivon sa { A der ksz g koordin ta-rendszer { Gyakorl s { 6. dolgozat, a 6. s a 7. t mak r z r sa Ezt a fejezetet a megfelel 6. oszt lyos tananyag el k sz t s nek, szeml leti megalapoz s nak kell tekinten nk. Az anyagr sz t rgyal sa sor n fontosnak tartjuk a k s rletez st, tapasztalatszerz st. A bemagoltatott szab lyok alkalmaz sa nem felel meg sem a tanul k letkori saj toss gainak, sem a gyakorlatorient lt", k pess gfejleszt koncepci nak. Ez rt n velt k a szeml letes, s cs kkentett k az absztrakt", illetve sszetett feladatok sz m t. 8. sszefoglal 131{144. ra 149{162. ra Sz mok s m veletek { M r sek, m rt kegys gek, geometria { 7. dolgozat, sszegz tan vz r rt kel s A megv ltozott k vetelm nyekhez igaz tva tekintj k t az t dik oszt lyos tananyagnak a tov bbtanul shoz n lk l zhetetlen t mak reit. Kislexikon [A tank nyv b v tett v ltozat ban] Az n ll ismeretszerz s k pess g nek egyik fontos t nyez je a kislexikon haszn lat nak megtanul sa. 9

Tanmenet 1. Sz mok, mennyis gek 1{3. ra 1{3. ra A term szetes sz mok A term szetes sz mok rtelmez se 100 000-ig. A term szetes sz mokr l az als tagozatban tanultak tism tl se, majd kiterjeszt se 100 000- ig a szeml letre (j t k p nz haszn lat ra) t maszkodva. Helyi rt kes r sm d a t zes sz mrendszerben, a helyi rt k-t bl zat haszn lata, az alaki rt k, helyi rt k, t nyleges rt k rtelmez se. P nzhaszn lat. Egyszer sz veges feladatok megold sa. R mai sz m r s (a csoport k pess geinek megfelel szinten). Tk. 1.01{1.16. Mgy. 1.01{1.02., 1.15{1.18., 9.01{9.10. 4{5. ra 4{5. ra A term szetes sz mok r sa, olvas sa 1 000 000-ig. At zes sz mrendszer helyi rt kes r sm dj r l tanultak kiterjeszt se. Egyszer sz veges feladatok megold sa, t bl zatba foglalt adatok rtelmez se. A term szetes sz mok helyes r sa. Tk. 1.17{1.27. Mgy. 1.06{1.14., 1.35{1.36., 9.11{9.14. 6{7. ra 6{8. ra T j koz d s a sz megyenesen Kisebb, nem kisebb nagyobb, nem nagyobb Term szetes sz mok hely nek (k zel t hely nek) meghat roz sa (els sorban) egyes, t zes, sz zas, ezres beoszt s sz megyeneseken. Megfelel rakeret eset n: egyszer egyenl tlens gek rtelmez se, igazs ghalmazuk meg llap t sa, br zol sa a sz megyenesen. Legal bb", legfeljebb", nem nagyobb", nem kisebb" stb. kifejez sek rtelmez se. Kijelent sek tagad sa. Halmaz kieg sz t halmaza (komplementere). Logikai s", logikai vagy" m veletek. Tk. 1.28{1.32. 1.33{1.37. Mgy. 1.19{1.26., 9.25{9.30. 1.27{1.29., 9.31{9.32. 8. ra 9. ra Szorz s s oszt s 10-zel, 100-zal, 1000-rel,... Az als tagozatban tanultak tism tl se, majd alkalmaz sa a kib v tett sz mk rben. A szorz s s az oszt s k zti kapcsolat tudatos t sa. Oszthat s g. R szhalmaz. A sz mok r s nak, olvas s nak gyakorl sa. Kombinatorika. Tk. 1.38{1.42. Mgy. 1.03{1.05., 2.39., 9.15{9.18. 10

9{11. ra 10{13. ra Hossz s gm r s. T megm r s A hossz s g, a t meg m r se, a m r eszk z k haszn lata. Becsl s, sszehasonl t s, megm r s, kim r s. M rt kegys gek tv lt sa, a tized, a sz zad s az ezred fogalm nak tudatos t sa. Atizedest rtek fogalm nak el k sz t se. Az als tagozatban tanultak tism tl se, majd alkalmaz sa a kib v tett sz mk rben. A sz mok r sa, olvas sa, illetve a 10-zel, 100-zal, 1000-rel val szorz s gyakorl sa. Tk. 1.43{1.50., 1.51{1.57. Mgy. 7.01{7.08., 7.18{7.20., 9.19{9.20., 9.71{9.72. 12. ra 14. ra Eur val zet nk Ismerked s az Eur pai Uni zet eszk z vel. A v lt p nz haszn lat nak gyakorl sa. Atizedest rtek fogalm nak el k sz t se. Tk. 1.58{1.64. 13{15. ra 15{17. ra A tizedest rtek rtelmez se Tizedest rtek br zol sa sz megyenesen A t zes sz mrendszer helyi rt k-t bl zat nak kib v t se. A helyi rt k s a t nyleges rt k fogalm nak ltal nos t sa. Atizedest rtek r sa, olvas sa. Mennyis gek, illetve eur ban adott rt kek kifejez se tizedest rt m r sz mmal. Atized, a sz zad, az ezred fogalm nak meger s t se. A hossz s g, illetve a t meg m rt kegys gei. Eur, cent, a v lt p nz haszn lat nak gyakorl sa. Tk. 1.65{1.77., 1.78{1.79. Mgy. 5.48{5.56., 5.59., 7.29{7.39., 9.75., 9.78. Fgy. 4.1.01{04. 16. ra 18. ra Tizedest rtek egyszer s t se, b v t se, nagys g szerinti sszehasonl t suk M rt kegys gek tv lt s val szeml ltetj k a fogalmat. Tizedest rtek r sa, olvas sa, br zol suk sz megyenesen. A hossz s g, illetve a t meg m rt kegys geinek tv lt sa. Egyszer egyenl tlens gek rtelmez se. Tk. 1.80{1.85. Mgy. 5.56{5.58., 5.60{5.62. 17{19. ra 19{21. ra Pontos rt k, k zel t rt k, kerek t s A m r s pontoss g nak jelz se A term szetes sz mok kerek t se, az als tagozatban tanultak feleleven t se, kiterjeszt se az egymilli s sz mk rre. Tizedest rtek kerek t se. Tized, sz zad, ezred szomsz dok. Akerek tett sz mok helye a sz megyenesen. A csoport k pess geinek megfelel szinten foglalkozzunk a m r s pontoss g nak jelz s vel. Sz mok r sa, olvas sa, br zol suk sz megyenesen. Hossz s g-, illetve t megm r s. Tk. 1.86{1.89., 1.90{1.99., 1.100{1.104. Mgy. 1.30{1.34., 5.63{5.67., 9.63{9.65. Fgy. 1.1.25{26. 11

20{22. ra 22{24. ra Rendszerez sszefoglal s, gyakorl s 1. dolgozat, diagnosztikus, t maz r felm r s A hi nyoss gok p tl s nak megszervez se. Tk. 1.105{1.112., 1.113. 2. Algebrai m veletek 23{24. ra 25{26. ra A term szetes sz mok sszead sa, kivon sa Az als tagozatban tanultak ism tl se, majd kiterjeszt se az egymilli s sz mk rre. A term szetes sz mok sz beli s r sbeli sszead sa, kivon sa. Az sszeg s a k l nbs g v ltoz sai (als tagozatban tanultak ltal nos t sa). (ez a sz mk r b v t se miatt neh zs get okozhat a tanul knak). A m veleti eredm nyek becsl se Egyszer ( sszead ssal, illetve kivon ssal megoldhat ) sz veges feladatok. Term szetes sz mok r sa, olvas sa, kerek t se. Egy l p ssel (k vetkeztet ssel) megoldhat egyenletek, egyenl tlens gek. Tk. 2.01{2.08., 2.09{2.18. Mgy. 2.01{2.37. 9.33{9.34 Fgy. 1.2.01{21. 25{27. ra 27{30. ra A tizedest rtek sszead sa, kivon sa Az sszead s s a kivon s tulajdons gai A hossz s gm r shez, a t megm r shez, illetve a p nzhaszn lathoz (eur, cent) kapcsol d szeml letes feladatokb l kiindulva. A m veleti eredm ny becsl se. Egyszer ( sszead ssal, illetve kivon ssal megoldhat ) sz veges feladatok. A csoport k pess geinek megfelel szinten: Az sszead s s a kivon s tulajdons gainak vizsg lata, a z r jel haszn lata. Tizedest rtek r sa, olvas sa, kerek t se. M rt kegys gek tv lt sa. Egy l p ssel (k vetkeztet ssel) megoldhat egyenletek, egyenl tlens gek. Tk. 2.19{2.38., 2.39{2.44. Mgy. 5.68{5.79., 3.01{3.04., 3.15{3.16., 3.21{3.24. Fgy. 1.2.27., 4.2.06. 28{30. ra 31{33. ra A term szetes sz mok szorz sa Az als tagozatban tanultak ism tl se, majd kiterjeszt se az egymilli s sz mk rre: A term szetes sz mok sz beli s r sbeli szorz sa. A m veleti eredm ny becsl se. Egyszer (szorz ssal megoldhat ) sz veges feladatok. K vetkeztet s egyr l t bbre. A csoport k pess geinek megfelel szinten: Aszorz s m veleti tulajdons gai. A szorzat v ltoz sai. sszeg, k l nbs g szorz sa. Sz mok r sa, olvas sa, kerek t se. Sz mol s kerek sz mokkal. Kombinatorika. Tk. 2.45{2.54. Mgy. 2.38., 2.41{2.53., 3.05{3.06., 3.17., 9.35. Fgy. 1.2.30{31., 1.2.33{42. 12

31{33. ra 34{36. ra Tizedest rtek szorz sa 10-zel, 100-zal, 1000-rel Tizedest rtek szorz sa term szetes sz mmal A szorz sr l tanultak kiterjeszt se a tizedest rtekre. A szorzat becsl se. Sz veges feladatok aszorz sra k vetkeztet s. Tizedest rtek r sa, olvas sa, kerek t se. M rt kegys gek tv lt sa. Sorozatok: n h ny elem vel adott sorozathoz szab ly keres se, majd a felismert szab ly alapj n tov bbi tagok megad sa. Tk. 2.55{2.59., 2.60{2.66. Mgy. 5.82{5.83., 5.84{5.88., 9.66{9.68. 34. ra 37. ra Az id m r se Az id m r sr l, az id m r s m rt kegys geir l az als tagozatban tanultak feleleven t se. Az id m r ssel kapcsolatos egyszer sz veges feladatok. Szorz s, k vetkeztet s egyr l t bbre. Tk. 2.67{2.70. Mgy. 7.24{7.28., 9.36{9.37. 35{36. ra 38{39. ra Oszt, t bbsz r s Ismerked s az oszthat s g probl mak r vel a csoport k pess geinek megfelel m lys gben. (Nehezen halad csoport eset n reduk lhat.) Sz beli szorz s, rel ci k, halmazok, sorozatok. Tk. 2.71{2.78. Mgy. 6.46{6.49. Fgy. 1.3.02. 37{38. ra 40{41. ra 2. dolgozat, t j koz d felm r s, fejleszt rt kel s 39{40. ra 42{43. ra A term szetes sz mok oszt sa Oszt s egyjegy oszt val Az als tagozatban tanultak ism tl se, rendszerez se. Nulla az oszt sban. A h nyados v ltoz sai. r sbeli oszt s egyjegy oszt val. Ah nyados nagys grendj nek becsl se az oszt s els l p se ut n. Az eredm ny ellen rz se. Egyszer sz veges feladatok. K vetkeztet ssel megoldhat egyenletek. A m veletek k zti kapcsolatok tudatos t sa. Tk. 2.79{2.82., 2.83{2.84. Mgy. 2.40., 2.55., 2.70. Fgy. 1.3.07{08. 41{44. ra 44{47. ra Az sszeg s a k l nbs g oszt sa Oszt s t bbjegy oszt val At bbjegy oszt val val oszt s el k sz t se, az algoritmus megismer se s gyakorl sa. A h nyados becsl se, a marad kos oszt s ellen rz se. Sz veges feladatok. Term szetes sz mok r sbeli szorz sa. A hossz s g, a t meg s az id m rt kegys geinek haszn lata a mindennapi lettel kapcsolatos feladatokban. Tk. 2.85{2.88., 2.89{2.94. Fgy. 1.2.32., 1.2.43{46., 1.2.48{49., 1.2.59. Mgy. 3.25{3.27., 2.54., 2.56{2.73. 13

45{46. ra 48{50. ra Tizedest rtek oszt sa term szetes sz mmal A term szetes sz mok oszt s r l tanultak ltal nos t sa. A h nyados eg szr sze nagys grendj nek becsl se, a marad kos oszt s ellen rz se. Sz veges feladatok. P nzhaszn lat (eur, cent). Tizedest rtek szorz sa term szetes sz mmal. sszeg, k l nbs g oszt sa. A hossz s g, t meg, id m rt kegys gei. Tk. 2.95{2.99. Mgy. 5.89{5.91., 5.93{5.96., 6.53., 9.69. Fgy. 4.2.16. 47{49. ra 51{53. ra A m veletek sorrendje. Az tlag kisz m t sa Az als tagozatban tanultak rendszerez se, majd alkalmaz sa a tizedest rtek k r ben. sszetett sz m-, illetve sz veges feladatok megold smenet nek megtervez se, a terv v grehajt sa. A (sz mtani) tlag kisz m t si m dja konkr t feladatokban. A sz beli, illetve az r sbeli m veletek gyakorl sa, z r jelhaszn lat a term szetes sz mok, illetve a tizedest rtek k r ben. T bb l p sben megoldhat egyenletek. Tk. 2.100{2.105., 2.106{2.108. Fgy. 1.2.56., 1.2.58. Mgy. 3.09{3.14., 5.98{5.99., 9.40{9.42. 50{52. ra 54{56. ra Rendszerez sszefoglal s, gyakorl s Az sszead s, kivon s, szorz s s oszt s gyakorl sa a term szetes sz mok s a tizedest rtek k r ben. Atanultak alkalmaz sa gyakorlati jelleg feladatokban. A 2. felm r s alapj n tapasztalt hi nyoss gok p tl s nak megszervez se. Halmazok, logika. M rt kegys gek tv lt sa. sszetett sz m-, illetve sz veges feladatok. Tk. 2.109{2.125., B2.06{B2.33., 2.126. Mgy. 9.70{9.75., 9.78., 9.83. 57{58. ra Nem t zes alap sz mrendszerek Jobb k pess g csoportban, ha a tanul k biztos sz m- s m veletfogalommal s megfelel k szs gekkel rendelkeznek, tov bb ha elegend id ll a rendelkez s nkre, akkor foglalkozzunk ezzel a t mak rrel. Tk. B2.01{B2.05. Fgy. 1.4.01{12. 3. sszef gg sek, nyitott mondatok 53{55. ra 59{61. ra T bl zatok, grakonok Adatok rendez se t bl zatok seg ts g vel. T bl zatba foglalt adatok rtelmez se, sszehasonl t sa. Oszlopdiagramok, pontdiagramok, t r ttvonal-diagramok k sz t se gy jt tt adatokb l, illetve t bl zat alapj n. K sz diagramok elemz se. Term szetes sz mok, illetve tizedest rtek br zol sa sz megyenesen. H m rs kletm r s, hossz s gm r s, t megm r s. Egyszer sz vegek rtelmez se. Tk. 3.01{3.09. Mgy. 6.01{6.06., 6.35{6.40. Fgy. 5.1.03., 5.1.05{06. 14

56{57. ra 62{63. ra sszef gg sek, sorozatok T bl zat kit lt se, sorozat folytat sa adott szab ly alapj n, T bl zatban adott adatp rokhoz, illetve n h ny elemmel adott sorozathoz szab ly(ok) keres se. Algebrai m veletek gyakorl sa. M veleti tulajdons gok, m veleti sorrend, z r jelek haszn lata. P nzhaszn lat (eur, cent). Tk. 3.10{3.18. Mgy. 6.07{6.19., 6.22., 6.41{43. Fgy. 5.1.01{04., 5.1.07., 5.1.19{20., 5.3.01{03., 5.3.16{18. 58{60. ra 64{66. ra Ar nyos k vetkeztet sek Egyenes ar nyoss gi k vetkeztet sek egyr l t bbre, t bbr l egyre, t bbr l t bbre. A mindennapi lettel kapcsolatos sz veges feladatok megold sa. Szorz s, oszt s. M rt kegys gek alkalmaz sa, p nzhaszn lat. Grakonok vizsg lata. Jobb k pess g csoportban: Ismerked s ford tott ar nyoss gi feladatokkal. Tk. 3.19{3.22. Mgy. 2.74{2.85., 2.86{2.94. 67{68. ra Egyenlet, egyenl tlens g A fejezet feldolgoz s t jobb k pess g csoportban javasoljuk. Az egyes m veletek gyakorl s n l tal lkoztak a tanul k k vetkeztet ssel egy, esetleg k t-h rom l p sben megoldhat egyenletekkel. Ebben a r szben az ott szerzett tapasztalatokat tudatos tjuk. M veletek k zti sszef gg sek. Tk. B3.01{B3.14. Mgy. 9.45{9.50. Fgy. 1.2.47., 1.2.57., 1.2.60{63., 1.2.65. 61{66. ra 69{74. ra Gyakorl s, rendszerez s 3. dolgozat, az els f l vet z r felm r s Gyakorl s, rt kel s. A hi nyoss gok p tl sa, a folyamatos ism tl s megtervez se. Tk. 3.23{3.35., B3.15{B3.21., 3.36. Mgy. 9.43{9.47. Fgy. 5.2.05{07. 4. Geometriai alakzatok 67{69. ra 75{77. ra Ismerked s testekkel, fel letekkel, vonalakkal Egyenesek k lcs n s helyzete a s kon Testek, fel letek, vonalak szakasz, egyenes, f legyenes szakaszm sol s. A k rz s a vonalz haszn lata. Egyenesek mer legess ge, egyenesek p rhuzamoss ga. Mer leges, illetve p rhuzamos egyenesek szerkeszt se" der ksz g vonalz seg ts g vel. t dik oszt lyban a der ksz g vonalz haszn lat t szerkeszt snek tekintj k. Tk. 4.01.{4.04., 4.05{4.09. Mgy. 8.01{8.06., 8.89., 8.92{8.94. Fgy. 6.2.01. 15

70{71. ra 78{79. ra S kidomok, soksz gek. Egybev g s kidomok S kidomok, soksz gek csoportos t sa k l nb z szempontok szerint. Az als tagozatban tanultak feleleven t se: H romsz g, n gysz g fogalma. A soksz g mint a h romsz g, n gysz g, tsz g,... fogalm nak ltal nos t sa. Az elnevez sek (cs cs, oldal, tl ) tudatos t sa. Az egybev g mint azonos alak s azonos m ret " s kidomok keres se. Halmazok. ll t sok logikai rt k nek eld nt se. Aker let fogalm nak el k sz t se. Tk. 4.10{4.12., 4.13{4.15. Mgy. 8.07{8.08., 8.95{8.97., 8.116{8.119. 72{73. ra 80{81. ra T glalap, n gyzet (tulajdons gaik, ker let k) Az als tagozatban tanultak feleleven t se: A t glalap, n gyzet fogalma, tulajdons gaik meggyel se oldalaik egym shoz val viszonya, a tengelyes t kr ss g vizsg lata pap rb l kiv gott t glalap (n gyzet) hajtogat s val. A t glalap ker let nek meghat roz sa konkr t esetekben. sszead s, szorz s, m veleti sorrend, z r jelek haszn lata a term szetes sz mok s a pozit v tizedest rtek k r ben. Tk. 4.16{4.20. Mgy. 8.09{8.17. Fgy. 6.3.11. 74{76. ra 82{84. ra A ter let m r se, m rt kegys gei A t glalap ter lete A ter let szeml letes fogalma. N gysz gr csra, h romsz gr csra rajzolt soksz gek ter let nek meghat roz sa k l nb z en v lasztott ter letegys gek eset n. A t glalap ter lete, a ter letm r s szabv nyos egys gei. A ter let-m rt kegys gek tv lt sa. A mindennapi lethez kapcsol d m r sek, sz m t sok sz veges feladatok. A szorz s s oszt s gyakorl sa a term szetes sz mok s a pozit v tizedest rtek k r ben. Egyenes ar nyoss gi k vetkeztet sek. Hossz s gm r s. A ker letsz m t s gyakorl sa. Tk. 4.21{4.26., 4.27{4.32. Mgy. 8.18{8.29., 8.30{8.37., 6.20{6.21. 77{79. ra 85{87. ra T glatest, kocka (tulajdons gaik vizsg lata) S kok s egyenesek, s kok s s kok k lcs n s helyzete a t rben A t glatest h l ja, felsz ne Az als tagozatban tanultak feleleven t se: A t glatest (kocka) fogalma, elnevez sek. A t glatest modell vizsg lat hoz kapcsol dva a s kok, illetve s kok s egyenesek p rhuzamoss g nak, mer legess g nek meggyel se. A kit r egyenesek. T glatestek h l j nak megrajzol sa, a t glatest felsz ne, a felsz n kisz m t sa. Az sszead s s a szorz s gyakorl sa, z r jelek haszn lata, m veleti sorrend. Tk. 4.33., B4.01{B4.03., 4.34{4.41. Fgy. 6.5.01{02., 6.5.04{06., 6.5.11. Mgy. 8.38{8.61., 8.120. 16

80{81. ra 88{89. ra A t glatest t rfogata T glatestek p t se, t rfogat nak rtelmez se. A t rfogatm r s m rt kegys gei. Oszthat s g. A szorzat csoportos that s ga. A felsz nsz m t s. M rt kegys gek tv lt sa. Tk. 4.42{4.49. Mgy. 8.62{8.71. Fgy. 6.5.09{10. 82. ra 90. ra Az rtartalom m r se Az als tagozatban tanultak feleleven t se: Az rtartalom m r se, m rt kegys gei. Kapcsolat az rtartalom-, illetve a t rfogatm r s egys gei k z tt. A t rfogatsz m t s, illetve a t rfogategys gek tv lt s nak gyakorl sa. Tk. 4.50{4.52. Mgy. 7.12{7.17., 7.40{7.41. 83{86. ra 91{94. ra Gyakorl s 4. dolgozat, t maz r felm r s Vegyes gyakorl - s fejt r feladatok. A hi nyoss gok p tl s nak megszervez se. M veletek a term szetes sz mok s a pozit v tizedest rtek k r ben. Tk. 4.53{4.67., B4.04{B4.31. 4.68. 5. A t rtek 87{89. ra 95{97. ra A t rtek rtelmez se A t rt rtelmez se mint az egys g valah nyad r sz nek t bbsz r se. Az egyn l nagyobb, az egyn l kisebb, illetve az eggyel egyenl t rtek. Eg szek t rtalakjai. Vegyes sz mok. Mennyis gek t rtr sze. A t rt rtelmez se mint t bb eg sz egyenl r szekre oszt sa. A k tf le rtelmez s ekvivalenci ja (a szeml letre t maszkodva). Az oszt s rtelmez se. Hossz s gm r s. Ter letsz m t s. Tk. 5.01{5.12. Mgy. 5.01{5.03., 6.34., 5.11{5.12. Fgy. 3.1.01{05., 3.1.10. 90{93. ra 98{101. ra T rtek b v t se, egyszer s t se T rtek sszehasonl t sa T rtek b v t se, egyszer s t se: a t rtek v gtelen sokf le alakban rhat k fel. Egyenl nevez j, illetve egyenl sz ml l j (pozit v) t rtek sszehasonl t sa. K l nb z nevez j s sz ml l j (pozit v) t rtek sszehasonl t sa k z s nevez re hoz ssal, k z s sz ml l j t rtekk alak t ssal, sz megyenesen t rt n br zol ssal. Ah nyados v ltoz sai. T rtek br zol sa sz megyenesen. A tizedest rtek b v t se, egyszer s t se, nagys g szerinti sszehasonl t sa s rendez se. A hossz s g s a t meg m rt kegys gei. Ter letsz m t s. Tk. 5.13{5.27. Mgy. 5.08{5.10., 5.13{5.21., 9.56{9.57. Fgy. 3.2.01{03. 17

94{96. ra 102{104. ra Egyenl nevez j t rtek sszead sa, kivon sa K l nb z nevez j t rtek sszead sa, kivon sa Azonos nevez j, illetve k nnyen azonos nevez j v alak that t rtek sszead sa s kivon sa eszk z k, rajzos modellek, szeml letes feladatok seg ts g vel. A t rtek sszegalakja. T rtek egyszer s t se, b v t se. Sz megyenes. Hossz s gm r s. A t glalap ter lete. Tizedest rtek sszead sa s kivon sa. Tk. 5.28{5.34. Mgy. 5.24{5.30., 5.32{5.34., 9.58{9.60. Fgy. 3.3.01{02. 97{98. ra 105{106. ra T rtek sszead sa, kivon sa { gyakorl s A t rtek sszead s r l, kivon s r l tanultak alkalmaz sa a matematika k l nb z ter letein. Egyszer sz veges feladatok megold sa. Egyenletek, egyenl tlens gek megold sa. Sorozatok folytat sa. Hossz s gm r s, t megm r s, rtartalomm r s, ter letsz m t s. Tk. 5.35{5.40. Mgy. 5.35{5.38. Fgy. 3.3.11., 3.3.13{15., 3.3.22. 99{100. ra 107{108. ra A t rtek szorz sa term szetes sz mmal At rtekszorz sa term szetes sz mmal (eszk z k, rajzos modellek, szeml letes feladatok seg ts g vel). sszeg, k l nbs g szorz sa. Egyszer sz veges feladatok. Aszorz s m veleti tulajdons gai. Tizedest rtek szorz sa term szetes sz mmal. Tk. 5.41{5.51. Mgy. 5.39{5.40., 5.44{5.45. Fgy. 3.3.26. 101{102. ra 109{110. ra A t rtek oszt sa term szetes sz mmal A t rtek oszt sa term szetes sz mmal (eszk z k, rajzos modellek, szeml letes feladatok seg ts g vel). sszeg, k l nbs g oszt sa. Egyszer, majd sszetett sz veges feladatok. A m veletek sorrendje, z r jelek haszn lata. Az oszt s a szorz s ford tott m velete. Egyenletek, egyenl tlens gek. Sorozatok. M r sek, m rt kegys gek. Ker let-, ter let-, felsz n-, t rfogatsz m t s. Tk. 5.52{5.57. Mgy. 5.41{5.43., 5.46., 6.52. 103. ra 111{112. ra Mi a val sz n bb? Val sz n s gi k s rletek, j t kos feladatok. Az adatok r gz t se. Az elemi esem nyek (lehets ges kimenetelek) sszesz ml l sa. Biztos", lehets ges, de nem biztos", lehetetlen" esem nyek. A relat v gyakoris g s a val sz n s g fogalm nak el k sz t se. A nagy sz mok t rv ny nek megsejt se. Mennyis gek t rtr sze. Tk. 5.58{5.59. 18

113. ra T rtalakban rt sz m tizedest rt alakja Csak j l halad csoportban c lszer feldolgozni ezt az anyagr szt. Tk. B5.01{B5.02. 104{106. ra 114{116. ra Gyakorl s Vegyes gyakorl - s fejt r feladatok. 5. dolgozat, t maz r felm r s Az 5. felm r s alapj n tapasztalt hi nyoss gok p tl s nak megszervez se. M veletek a term szetes sz mok s a pozit v tizedest rtek k r ben. M r sek, m rt kegys gek. Sz veges feladatok. Egyenletek, egyenl tlens gek. F ggv nyek, sorozatok. Tk. 5.60{5.80., B5.03{B5.31., 5.81. Mgy. 5.47., 7.42{7.44. 6. Geometriai vizsg latok, szerkeszt sek 107{108. ra 117{118. ra Ponthalmazok, a k r s a g mb K t pont t vols ga. Ponthalmazok t vols g nak szeml letes fogalma. A k rvonal, a k rlap, a g mbfel let, a g mbtest mint adott tulajdons g ponthalmaz. A k rz s az egy l vonalz haszn lata. Szakaszm sol s. Hossz s gm r s, m rt kegys gek tv lt sa Term szetes sz mok s tizedest rtek szorz sa 10-zel, 100-zal, 1000-rel. K rnyezetismeret: T vols gm r s t rk pen. Tk. 6.01{6.09., 6.10. Mgy. 8.74{8.79., 8.80{81. Fgy. 6.2.09{10., 6.2.20. 109{111. ra 119{122. ra H romsz g szerkeszt se Szakaszfelez mer leges T glalap szerkeszt se H romsz g szerkeszt se h rom adott oldalb l, a k rvonal rtelmez s r l, illetve a szakaszm sol sr l tanultak alkalmaz sak nt (a szakaszfelez mer leges szerkeszt s nek el k sz t se). A szerkeszt s" fogalma. Aszerkeszt ses feladatok megold s nak l p sei. A h romsz g-egyenl tlens g felismertet se. A szakaszfelez mer leges fogalma, szerkeszt se. Szakaszfelez s. A helyi tanterv alapj n d nts k el, hogy 5. vagy 6. oszt lyban tan tjuk ezt az anyagr szt! Hossz s gm r s. A hossz s g m rt kegys geinek tv lt sa. A h romsz g ker let nek meghat roz sa. Jobb csoportban: Egyenes adott pontj ra mer leges egyenes szerkeszt se. szerkeszt se. A t glalap ker let nek s ter let nek meghat roz sa. T glalap Tk. 6.11{6.12., 6.13{6.16. B6.01{B6.02. Mgy. 8.82{8.88. Fgy. 6.4.27. 19

123{124. ra Testek br zol sa Testek fel ln zeti, el ln zeti s oldaln zeti k p nek rtelmez se, megrajzol sa. T relemek p rhuzamoss ga, mer legess ge. T glatest br zol sa, h l ja, felsz ne, t rfogata. Hossz s gm r s. Tk. B6.03{B6.08. Mgy. 8.100{8.102. Fgy. 6.5.07{08. 112{113. ra 125{126. ra A sz gtartom ny Sz gek m r se sz gm r vel Sz gtartom ny. Elnevez sek (a sz g cs csa, sz ra), jel l sek. Az egyenessz g s a der ksz g fogalma. Sz gek m r se sz gm r vel. A fok, a sz gperc s a sz gm sodperc fogalma. Adott nagys g sz g megrajzol sa. T rtek sszehasonl t sa, m veletek t rtekkel. Tk. 6.17., 6.18{6.23. 114{115. ra 127{128. ra A sz gek fajt i Elnevez sek. A n gysz gek sz geinek vizsg lata. Sz gek m r se sz gm r vel. Adott nagys g sz g megrajzol sa. Id m r s. Tk. 6.24{6.32. Mgy. 8.103{8.109., 8.113{8.115. 116. ra 129{130. ra T j koz d s a terepen s a t rk pen Helymeghat roz s, t vols gm r s, ir nymeghat roz s. T j koz d s ir nyt vel, t jol val Jobb csoportban: Ismerked s az ir nyt vagy a t jol haszn lat val. Megjegyz s: A foglalkoz st, term szetismeret- r val sszevonva, c lszer terepgyakorlat vagy kir ndul s keret ben megszervezni. Sz gek m r se sz gm r vel. Adott nagys g sz g megrajzol sa. gt jak. Tk. 6.33{6.34., B6.09. Mgy. 8.06., 8.72{8.73., 8.110{8.112. 117{118. ra 131{134. ra Ism tl s, rendszerez s, T j koz d, fejleszt rt kel s A geometriai ismeretek rendszerez se, gyakorl sa, alkalmaz sa. Soksz gek vizsg lata a tanult geometriai ismeretek alkalmaz sak nt. Fejleszt rt kel s, a felz rk ztat s megszervez se. Megjegyz s: A gyakorl - s a fejt r feladatok egy r sz t c lszer a folyamatos ism tl sre tartal kolnunk. Tk. 6.35{6.44., B6.10{B6.30., 6.45. 20

7. Az eg sz sz mok 119{121. ra 135{137. ra Nem el g a term szetes sz m Az eg sz sz mok sszehasonl t sa Az eg sz sz m fogalm nak kialak t sa aszeml letre t maszkodva (a h m r modell, a kis aut s modell s a k szp nz-ad ss gc dula modell alkalmaz sa). Ellent tes mennyis gek az eg sz, a term szetes, a pozit v, a negat v sz m fogalomrendszere. Elnevez sek, jel l sek. Az eg sz sz mok br zol sa sz megyenesen, nagys g szerinti sszehasonl t suk. Term szetismeret tant rgy: A h m rs klet m r se, tengerszint feletti magass g. Rel ci k, halmazok. Tk. 7.01{7.05., 7.06{7.09. Mgy. 4.01{4.02., 4.03{4.07. Fgy. 2.1.04{05., 2.1.07{09. 122. ra 138. ra Az eg sz sz mok abszol t rt ke Az eg sz sz mokr l tanultak gyakorl sa. br zol suk sz megyenesen. Tk. 7.10{7.11. Mgy. 4.08{4.13. Fgy. 2.1.01{03. 123{126. ra 139{141. ra Az eg sz sz mok sszead sa, kivon sa Az eg sz sz mok sszead sa, kivon sa, a m veletek szeml ltet se modellekkel (h m r modell, kis aut s modell, k szp nz-ad ss gc dula modell), illetve vektorokkal. Az sszead s s a kivon s k zti sszef gg sek meggyeltet se. Az elmozdul s mint vektor. Tk. 7.12{7.23. Mgy. 4.14{4.30. Fgy. 2.2.01{11. 142{143. ra Az sszead s, kivon s gyakorl sa Jobb csoportban: Egyszer egyenletek, egyenl tlens gek megold shalmaz nak meghat roz sa k vetkeztet ssel, a megold sok br zol sa sz megyenesen. Sorozatok, f ggv nyek szab ly nak fel r sa, a hi nyz elemek megad sa a szab ly alapj n. Tk. 7.32{7.35., B7.06{B7.11. Mgy 6.31., 6.50. 127{128. ra 144{146. ra A der ksz g koordin ta-rendszer A der ksz g koordin ta-rendszer rtelmez se. Elnevez sek, jel l sek. T j koz d s a koordin ta-rendszer n gy s knegyed ben. Eg sz sz mok. Ponthalmazok. Rel ci k, f ggv nyek. Geometriai transzform ci k. Tk. 7.24{7.27., B7.01{B7.05. Mgy. 6.25{6.30. 129{130. ra 147{148. ra Ism tl s, rendszerez s, gyakorl s 6. dolgozat, a 6. s a 7. t mak r z r sa 21

8. sszefoglal 131{133. ra 149{151. ra Sz mok s m veletek I. At zes sz mrendszer: term szetes sz mok s tizedest rtek r sa, olvas sa, kerek t se. Szorz s, oszt s 10-zel, 100-zal, 1000-rel,.... sszetett sz m- s sz veges feladatok megold sa. M veleti sorrend, z r jelek haszn lata. Az sszeg, a k l nbs g, illetve a szorzat s a h nyados v ltoz sai. Ah nyados v ltoz sai. Tk. 8.01{8.14. Mgy. 1.01{1.34., 3.01{3.27., 5.48{5.67., 5.94{5.96. 134{135. ra 152{153. ra Sz mok s m veletek II. A t rtek rtelmez se, b v t se, egyszer s t se. M veletek t rtekkel: t rtek sszead sa, kivon sa, szorz sa, illetve oszt sa term szetes sz mmal..... Az eg sz sz mok rtelmez se, sszead sa, kivon sa. Grakonok vizsg lata. Ah nyados v ltoz sai. Tk. 8.15{8.22. Mgy. 3.02{3.03., 4.14{4.30., 5.01{5.47. 136{138. ra 154{156. ra M r sek, m rt kegys gek, geometria M r sek: a hossz s g, az rtartalom, a t meg, az id s a sz g m r se, am rt kegys gek tv lt sa. A t glalap fogalma, tulajdons gai, ker lete, ter lete. A t glatest fogalma, tulajdons gai, h l ja, felsz ne, t rfogata. Alakzatok tulajdons gainak vizsg lata. Szorz s, oszt s 10-zel, 100-zal, 1000-rel,.... Halmazok. Der ksz g koordin ta-rendszer. Tk. 8.23{8.36. Mgy. 7.01{7.44., 8.01{8.112. 139{144. ra 157{162. ra 7. dolgozat, sszegz tan vz r rt kel s Az esetleges hi nyoss gok p tl sa. Speci lis pedag giai feladatok megold sa. 22

A TANANYAG FELDOLGOZ SA 1. Sz mok, mennyis gek A fejezet els fel ben k zvetlen l kapcsol dunk, az als tagozatos tananyaghoz. Az als tagozatban drasztikusan cs kkentek az rasz mok, ez rt a k vetkez ter leteken kimutathat an cs kkent a tanul k tud sszintje: sz m- s m veletfogalom, sz veges feladatok rtelmez se, megold sa, m r eszk z k alkalmaz sa, m rt kegys gek tv lt sa, a legegyszer bb geometriai fogalmak ismerete. A PISA-felm r sek hat s ra hangs lyeltol d s tapasztalhat a matematika k vetelm nyek ter n, gy, hogy a k vetelm nyek sszess g ben nem cs kkentek. A PISA-vizsg latban a magyar tanul k nem tudt k alkalmazni a tanultakat" a gyakorlati jelleg feladatokban. Ez rt t rekedn nk kell a mindennapi let probl m ib l kiindul gyakorlatorient lt" tananyag-feldolgoz sra. A tanul k jelent s h nyad b l hi nyzik a hajland s g s a k pess g a probl m k n ll megold s ra. A magyar tanul k (minden felm r sben) gyenge teljes tm nyt ny jtottak a sz veges feladatok megold s ban. El nytelen l v ltozott meg a fels tagozatba l p tanul k matematik hoz val viszonya, munkatemp ja, probl mamegold k pess ge. (Lassabban s kev sb sikeresen dolgoznak.) A fentiek alapj n f lt tlen l m rj k fel, mennyire biztos a tanul k sz mfogalma, k pesek-e egyszer (ismereteikt l nem idegen, r vid mondatokat tartalmaz ) sz veg elemi inform ci tartalm t n ll n ma olvas ssal rtelmezni, ismerik-e a m r eszk z k haszn lat t s a legalapvet bb m rt kegys geket, tudj k-e a tanultakat a mindennapi gyakorlatban alkalmazni. A fejezet m sodik r sz ben szeml letes gyakorlati p ld kra (m rt kegys gek tv lt s ra, illetve az eur s a cent fogalm ra) t maszkodva bevezetj k a tizedest rtek fogalm t. 23

Atananyag-feldolgoz snak ezt a m dj t a k vetkez kkel indokolhatjuk: Atizedest rtek fogalma sokkal ink bb kapcsol dik akor bban kialakult sz mfogalomhoz, mint a t rtekhez. Az letkori saj toss goknak megfelel en a t rgyi tev kenys gb l (m r sekb l, p nzv lt sb l) indulunk ki. A konkr tt l haladunk az absztrakt fel, illetve a speci list l az ltal nos fel. Ezzel eleget tesz nk a gyakorlatorient lt megk zel t s koncepci j nak is. Eg sz vben gyakoroltathatjuk a tizedest rtekr l tanultakat. Ezzel a feldolgoz si sorrenddel a nehezebben halad csoportokban ak r 10{12 r t is megtakar thatunk, amely r szben kompenz lja atanul k hi nyos felk sz lts g b l s lass munkatemp j b l ered id vesztes get. Az 5. fejezetben, a t rtek t rgyal sa sor n visszat r nk a tizedest rtek fogalm nak pontos t s hoz, meger s t s hez. A tananyag-feldolgoz s csom pontjai 1. A term szetes sz mk r b v t se els l p sben sz zezerig, majd egymilli ig. (Jobb csoportban: Bar tkoz s a r mai sz m r ssal.) P nzhaszn lat. A term szetes sz mok br zol sa k l nb z beoszt s sz megyenesen, nagys g szerinti sszehasonl t suk. Egyszer egyenl tlens gek igazs ghalmaz nak meghat roz sa, az igazs ghalmaz szeml ltet se sz megyenesen. Szorz s, oszt s 10-zel, 100-zal, 1000-rel (a kor bban tanultak feleleven t se a m rt kegys gek tv lt s nak el k sz t se). 2. Hossz s gm r s, t megm r s. Becsl s, sszehasonl t s, megm r s, kim r s. A m r eszk z k haszn lat nak megismer se, gyakorl sa. A m rt kegys gekr l tanultak feleleven t se, kieg sz t se. Tudatos tjuk s meger s tj k a (kor bban m r tanult) tized, sz zad s ezred fogalm t. Ezzel el k sz tj k a tizedest rtek tan t s t. A m rt kegys gek tv lt sa sor n a 10-zel, 100-zal, 1000-rel val szorz s, oszt s gyakorl sa. Atanultak alkalmaz sa a mindennapi lettel kapcsolatos gyakorlati jelleg feladatokban. 3. Az eur s a cent fogalma, haszn lata gyakorlati jelleg feladatokban. A tizedest rtek el k sz t se. 4. A tizedest rtek rtelmez se szeml letre (eur {cent, m rt kegys gek tv lt sa) alapozva. Tizedest rtek br zol sa sz megyenesen. Tizedest rtek egyszer s t se, b v t se. 5. Pontos rt k, k zel t rt k. A term szetes sz mok kerek t s r l tanultak feleleven t se, tudatos t sa. A tizedest rtek eg sz, tized, sz zad, ezred szomsz dai. Tizedest rtek kerek t se. A m r s pontoss g nak jelz se. 24

Kapcsol d si lehet s gek A fejezet gerince a term szetes sz mokr l kor bban tanultak tism tl se s kiterjeszt se magasabb sz mk rre, majd a tizedest rt alakban rt pozit v racion lis sz mokra. Ehhez kapcsolva minden egy b t mak r tism telhet. Halmazok, logika A kisebb", nem kisebb", nagyobb", nem nagyobb" fogalma, ehhez kapcsol d an egyszer nyitott mondatok megold shalmaza. A 10-zel, 100-zal, 1000-rel oszthat sz mok halmaz nak egym shoz val viszonya. ll t sok logikai rt k nek eld nt se, tagad s, halmaz komplementere, logikai s", k t halmaz metszete, (konkr t feladatokhoz kapcsol dva). A kisebb vagy egyenl " stb. rel ci rtelmez sekor a logikai vagy" fogalma. Rel ci k A term szetes sz mok, majd a pozit v tizedest rtek nagys g szerinti sszehasonl t sa. M r sek, p nzhaszn lat A hossz s g- s a t megm rt kegys gek, valamint a forint s az eur haszn lata, tv lt sa k zponti szerepet kap a term szetes sz mokr l kor bban tanultak gyakorl s ban, a sz mfogalom kiterjeszt s ben magasabb sz mk rre, majd a tizedest rtek fogalm nak kialak t s ban. T bl zatok elemz se (pl. 1.26. feladat). Az adatok pontoss g nak, illetve hib j nak a k rd se. Kombinatorika statisztika Adott tulajdons g sz mok kirak sa sz mk rty kkal (pl. 1.19{1.21. feladat). A tananyag-feldolgoz s ttekint se A t zes sz mrendszer A v ges halmazok sz moss g t nevezz k term szetes sz moknak. Van olyan halmaz, az res halmaz (ilyen p ld ul a 4-gyel oszthat p ratlan sz mok halmaza), amelynek nincs eleme, vagyis a halmaz sz moss ga 0. Teh t ebben az rtelmez sben a 0is term szetes sz m. Megjegyezz k, hogy kor bban a 0-t az als tagozatban nem sz mnak, hanem helyp tl jelnek" tekintett k. Sajnos ez az rtelmez s m g ma is k s rt! Sokszor tapasztaljuk, hogy agyermekek k vetkezetesen kihagyj k a 0-t a vizsg latokb l. Az ebb l ered t pushib k k z l n h ny: Ha az alaphalmaz a term szetes sz mok halmaza, akkor a gyerek nem sorolja fel az x 5 5 egyenl tlens g megold sai k zt a 0-t. 25

A gyerek gy v li, hogy a 0 olyan sz m, amelyik se nem p ros, se nem p ratlan". A gyerek kihagyja a 0-t a sz mok t bbsz r sei k z l. Mivel a term szetes sz m v ges halmaz sz moss ga, ez rt a term szetes sz mokat haszn ljuk fel a t rgyak megsz ml l sakor (amikor a halmazhoz sz mot rendel nk), s a t rgyak lesz ml l sakor (amikor adott sz mhoz halmazt rendel nk hozz ). Ha sok t rgyat vagy jelet kell megsz ml lnunk, akkor csoportos t ssal seg t nk magunkon. gy jutunk el a sz mrendszer, speci lisan a t zes sz mrendszer, a helyi rt kes r sm d fogalm hoz. Ha als tagozatban csak 10 000-es sz mk rben dolgoztak a tanul k, akkor el sz r 100 000-ig, majd innen 1 000 000-ig l pj nk tov bb a sz mfogalom kialak t s ban. T j koz d s a sz megyenesen A sz megyenessel als tagozatban sokszor tal lkoztak a gyerekek, s 5. oszt lyban valamennyi t mak r t rgyal sakor eszk zk nt haszn lhatjuk. ppen ez rt most az v elej n gy jts k ssze azokat a matematikai s m dszertani gondolatokat, amelyek eg sz tan vben seg thetik a munk nkat. A sz mfogalom, a sz mk r b v t se, kerek t s, m veletek v gz se, becsl s, sz msorozatok, a der ksz g koordin ta-rendszer, grakon b rmelyik nek t rgyal s hoz, az alaphalmaz s az igazs ghalmaz szeml ltet s hez n lk l zhetetlen a sz megyenes. N h ny m dszertani javaslat, feladatf les g: Igaz, hogy als tagozatban sokszor tal lkoztak a sz megyenessel a gyerekek, de lehet, hogy n melyik k p ld ul az 5hely tnem egy pontnak, hanem a 0 s 5 k z tti szakasznak l tja. Ne csak olyan sz megyenest l ssanak, amelyen a 0 s az egys g j l leolvashat, hanem k t b rmilyen sz m hely vel adottat is. Jel ltess nk meg t bbf le sz msorozatot ugyanazon a sz megyenesen, ezzel el k sz thetj k p ld ul a k z s oszt, a k z s t bbsz r s fogalm t. L pegessenek a tanul k adott sz mmal el re, h tra a sz megyenesen. Ez egyr szt el seg ti a sz mfogalom megszil rdul s t, m sr szt el k sz ti az eg sz sz mok sszead s t s kivon s t. Ne csak v zszintes helyzet " sz megyenest l ssanak. Gondoljunk p ld ul a koordin tatengelyek helyzet re, amir l majd k s bb tanulnak. Jel ltess nk sz mk zt is. Ilyenkor ne feledkezz nk meg az alaphalmaz szerep r l, meghat roz volt r l. Ha az alaphalmaz a term szetes sz mok halmaza, akkor az 5-n l nagyobb s 10-n l kisebb sz mok helye a sz megyenesen n gy pont: 0 5 10 Ha az alaphalmaz a racion lis sz mok halmaza, akkor minden tt s r n helyezkednek el a sz mok. Ezt a s r s get m r szakasszal szoktuk jel lni: 0 5 10 26

Kisebb, nem kisebb nagyobb, nem nagyobb A matematikai pontoss g miatt tiszt znunk kell, hogy a kisebb" ( < ) tagad sa nem a nagyobb", hanem a nagyobb vagy egyenl ", m s sz val nem kisebb" ( = ). Hasonl an a nagyobb" tagad sa a nem nagyobb". Ezeket a kapcsolatokat c lszer konkr t halmazokon megjelen ten nk. A tagad snak (neg ci nak) mint logikai m veletnek a halmaz kieg sz t halmaza (komplementere) felel meg. Tiszt znunk kell, hogy ha (nyitott mondattal) megadunk egy halmazt, az azt jelenti, hogy az alaphalmaz minden elem r l eld nthetj k, hogy beletartozik-e a halmazba, vagy sem. Az alaphalmaznak azok az elemei, amelyek nem tartoznak az adott halmazba, alkotj k a halmaz kieg sz t halmaz t. Halmaz br n ezt gy jelen thetj k meg, hogy minden halmazkarik hoz" k t c mke tartozik, a bels " a halmazt, a k ls " a halmaz kieg sz t halmaz t jel li. Fontos, hogy sz megyenesen is szeml ltess k a sz mok egym shoz val viszony t s az egyszer egyenl tlens gek megold shalmaz t. Ha egy-egy beoszt s p ld ul ezret jelent, akkor m r tiszt zhatjuk az res", illetve nem res karika" szerep t is a szeml ltet sben. P ld ul: 1000 <x5 4000 1000 5 x<4000 0 5000 0 5000 Szorz s s oszt s 10-zel, 100-zal, 1000-rel, A c mben foglalt ismeretrendszer r sze az als tagozatos k vetelm nyeknek. Ennek ellen re { a felm r sek tapasztalata szerint { n h ny feladat megold s val nem int zhetj k el ennek a t mak rnek a feleleven t s t. A tanul k tud sa az oszt lyok egy r sz ben meglehet sen bizonytalan s sajnos mechanikus. Esetleg tudj k, hogy hogyan kell, de nem rtik, hogy mi rt gy kell szorozni, illetve osztani a 10 hatv nyaival. Mivel az r sbeli szorz s s oszt s, majd k s bb a tizedest rtek 10-zel, 100-zal, 1000- rel, val szorz s nak elsaj t t s hoz n lk l zhetetlen a most tanultak meg rt se, ez rt s lyos hib nak kell tekinten nk a szab lyok" meg rt s n lk li beszajk ztat s t, m g ha els pillanatra egyszer bbnek t nik is ez a megold s". A mechanikusan betanult, ez rt l nyeg ben alkalmazhatatlan ismeretek kedvez tlen k vetkezm nyeit (a felm r sek szerint) m g 8. oszt lyban is tapasztaljuk. Atanul k a szeml lethez j l kapcsol d feladatok megold s val gy jtsenek min l t bb tapasztalatot annak az sszef gg snek felismer s hez, hogy ha p ld ul 10-zel szorzunk, akkor az egyesekb l t zesek, a t zesekb l sz zasok stb. lesznek a szorzatban. Vagyis ha 10-zel, 100-zal, 1000-rel szorzunk, akkor a szorzand minden sz mjegye eggyel, kett vel, h rommal nagyobb helyi rt k helyre ker l, ez rt kell a szorzatban a szorzand ut n null t, illetve null kat rnunk. t dik oszt lyban elegend, ha az sszef gg st a konkr t szorz ra (p ld ul 1000-re) fogalmazza meg a tanul. A10-zel, 100-zal, 1000-rel val oszt s megtan t sakor t maszkodhatunk annak a felismertet s re, hogy az oszt s a szorz s ford tott m velete. A szab lyok megfogalmaz sa helyett (a tizedest rtekr l tan tand k miatt) jobb, ha a tanul k k pesek felismerni, hogy mely sz mok oszthat k (marad k n lk l) 10-zel, 100-zal, 1000-rel. 27