2011 sz
A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció
A grakus szállítószalag: koncepció
A grakus szállítószalag: modell x 2 + y 2 + z 2 = R 2, x 2 + y 2 = r 2
A grakus szállítószalag: kép
An transzformáció A GL(N), b R N F : R N R N, X F (X ) = AX + b, X R N (N = 2, 3) x y y x GL(N): N N-típusú, nem zéró determinánsú valós mátrixok csoportja
Az an transzformáció tulajdonságai egyenestartás osztóviszonytartás (pl. felez pont képe felez pont) paralelogramma képe paralelogramma P, Q R N egyenes: {tq + (1 t)p t R} szakasz: [P, Q] = {tq + (1 t)p t [0, 1]} osztóviszony: ha X = tq + (1 t)q, akkor (PQX ) = t 1 t
Egybevágósági (távolságtartó) transzformáció A O(N), b R N F : R N R N, X F (X ) = AX + b Ortogonális csoport: O(N) = {A GL(N) A 1 = A t } O(2) O(2) = {( ) } cos α ± sin α α R sin α cos α
Forgatás origó körül α szöggel ( x y ) = ( cos α sin α sin α cos α ) ( x y ) y y x x
Tengelyes tükrözés origón átmen α/2 irányszög egyenesre ( ) x = y ( cos α sin α sin α cos α ) ( ) x y y x x y
Forgatás nem origó körül: TFT középpont: C = (c 1, c 2 ), a forgatás szöge: α P tol (P C) forgat rot(α)(p C) tol rot(α)(p C) + C y C y x x
Tükrözés nem origóra illeszked tengelyre: TTT a tengely egy pontja: C = (c 1, c 2 ), a tengely irányszöge: α P tol (P C) tükröz ref(α)(p C) tol ref(α)(p C) + C y y x x
O(3) geometriailag: O(3) minden eleme tengely körüli elforgatás vagy tengely körüli elforgatás és síkra vonatkozó tükrözés szorzata (forgatva tükrözés) algebrailag: R 3 R 3, X X X = cos α X (cos α 1) n, X n + sin α (n X ). ahol n a tengely irányvektora, n = 1, α az elforgatás szöge.
Forgatás koordinátatengelyek körül 1 0 0 cos α sin α 0 R x (α) = 0 cos α sin α, Rz (α) = sin α cos α 0 0 sin α cos α 0 0 1 R y (α) = cos α 0 sin α 0 1 0 (+ irány a jobbkéz szabály szerint) sin α 0 cos α cos α 0 sin α R y (α) = 0 1 0 (+ irány a balkéz szabály szerint) sin α 0 cos α
k-arányú (k 0)skálázás ( ) k 0 síkban: 0 k térben: k 0 0 0 k 0 0 0 k Hasonlóság Egybevágóság és skálázás egymásutánja.
Homogén koordináták alkalmazása N = 2: P = (x, y) = [x 1, x 2, x 3 ], ahol x = x 1 /x 3, y = x 2 /x 3 N = 3: P = (x, y, z) = [x 1, x 2, x 3, x 4 ], ahol x = x 1 /x 4, y = x 2 /x 4, z = x 3 /x 4 An transzformáció homogén reprezentációja Ha F (X ) = AX + b, (A GL(N), b R N ) akkor ( ) ( ) ( ) F (X ) A b X = 1 0 1 1 An csoport: A(N) = {( ) } A b A GL(N), b R N 0 1
Eltolás síkban x y = 1 0 a 0 1 b x y 1 0 0 1 1 Eltolás térben x 1 0 0 a x y z = 0 1 0 b y 0 0 1 c z 1 0 0 0 1 1
Elforgatás origó körül, tengelyes tükrözés origón áthaladó egyenesre síkban x cos φ sin φ 0 x y = sin φ ± cos φ 0 y 1 0 0 1 1 Elforgatás (forgatva tükrözés) az x tengely körül térben... x ±1 0 0 0 x y z = 0 cos φ sin φ 0 y 0 sin φ cos φ 0 z 1 0 0 0 1 1
Síkbeli hasonlóságok a c m c ±a n 0 0 1
Transzformációk szorzata els transzformáció: P 1 második transzformáció: P 2... n-edik transzformáció: P n az eredmény: P n P 2 P 1 (sorrend!)
Projektív transzformációk n-dimenzióban P GL(N + 1), X R N+1 P N P N, [X ] [PX ]
Projektív transzformáció lineáris tört transzformáció = x 1 = p 11 x 1 + p 12 x 2 + p 13 x 3 x 2 = p 21 x 1 + p 22 x 2 + p 23 x 3 x 3 = p 31 x 1 + p 32 x 2 + p 33 x 3 x = p 11x + p 12 y + p 13 p 31 x + p 32 y + p 33 y = p 21x + p 22 y + p 23 p 31 x + p 32 y + p 33 Elt nési egyenes: p 31 x + p 32 y + p 33 = 0
Projektív transzformációk meghatározása síkban Négyszög és képe a projektív transzformációt egyértelm en meghatározza. (Négyszög: négy olyan pont, hogy nincs köztük 3 egy egyenesre illeszked.) M : [x i, y i, w i ] [X i, Y i, W i ], i = 1, 2, 3, 4. M = QP 1, ahol P : E i [x i, y i, w i ], i = 1, 2, 3, 4. Q : E i [X i, Y i, W i ], i = 1, 2, 3, 4. és E 1 = [1, 0, 0], E 2 = [0, 1, 0], E 3 = [0, 0, 1], E 4 = [1, 1, 1].
Folytatás 1. lépés: 2. lépés k 1 x 1 x 2 x 3 k 2 = y 1 y 2 y 3 k 3 w 1 w 2 w 3 1 x 4 y 4 w 4 k 1 x 1 k 2 x 2 k 3 x 3 P = k 1 y 1 k 2 y 2 k 3 y 3 k 1 w 1 k 2 w 2 k 3 w 3