KÖZÚTI ÁRUSZÁLLÍTÓ JÁRMŰVEK ÜZEMANYAG ELLÁ- TÁSÁNAK KÖLTSÉGEI ÉS OPTIMÁLIS JÁRATAINAK TERVEZÉSE Miklós GUBÁN 1 György KOVÁCS 2 ABSTRACT Determination of optimal petrol station selection and the optimal quantity of the amount of refilled fuel during long international transport loops is not defined by a central decision making process at forwarding companies, but it depends on the individual decision of the camion driver. Therefore the total cost of the burned fuel is not optimal. The main goal of this study was to elaborate a precise and reliable mathematical model for the determination of optimal fuel refill points and the amount of fuel during the execution of international transportation tasks. The main parameters were given for the determination of the optimal refill conditions. The model is a mixed integer value, non-linear programming model, which can be handled by optimization processes. KEYWORDS cost reduction, costs of transport loop, mathematical model, optimal fuel supply, optimal loops, transport loops BEVEZETŐ Az áruszállítás mindig is rendkívül fontos szerepet játszott a termelési és a kereskedelmi igények kielégítésében. Az áruszállításnak számtalan módja közül az egyik legfontosabb a közúti szállítás. Nagy távolságok esetén, nemzetközi áruszállítás során a járművek üzemanyaggal való ellátását a közutakon található töltőállomások biztosítják. A legtöbb áruszállító vállalat nemzetközi körjáratai során a tankolási helyek megválasztása és a tankolt üzemanyag mennyiségének meghatározása nem központilag irányított, hanem a járművezető egyéni döntésén alapul, így a járatok teljesítéséhez felhasznált üzemanyag költsége nem optimális. A tanulmány célja a jelenlegi üzemanyagár kompenzálására szolgáló optimális üzemanyag ellátás tervezésére és végrehajtására egy olyan módszer kidolgozása, amely segítségével a járművezetők a megfelelő helyen a megfelelő mennyiségű üzemanyagot tankolhatnak. Első lépésben megvizsgáljuk milyen költségnövelő tényezők játszanak szerepet a problémában. A második lépésben vázoljuk a feladat modelljét. A modell részletes ismertetésétől eltekintünk, ezt korábbi publikációkban megtettük, a szükséges matematikai levezetésekkel együtt. A feladat megoldási módszere két eljárást mutat be: az első az ideális tankolási helyek kiválasztása. Ebben a fázisban azokat a helyeket határozzuk meg az összes hely közül, amelyek reálisan szóba jöhetnek a tankolás szempontjából. A következő fázisban megkeressük az ideális tankolási helyek közül azokat az üzemanyag kutakat, melyek az optimális tankolási helyek lesznek. 1 Dr. GUBÁN Miklós PhD főiskolai tanár, Budapesti Gazdasági Egyetem Gazdaságinformatika és Menedzsment Tanszéki Osztály 8900 Zalaegerszeg, Gasparich u. 18/A tel: 36/92 509-950, fax: 36/92 509-930, e-mail: guban.miklos@uni-bge.hu 2 Dr. KOVÁCS György PhD egyetemi docens, Miskolci Egyetem, Logisztikai Intézet, 3515 Miskolc- Egyetemváros tel: 36/46 565-111, fax: 36/46 563-399, e-mail: altkovac@uni-miskolc.hu 122
Egyúttal előállítjuk azt az útvonalat, amelyik a legkisebb költséggel és üzemanyagfelhasználás mellett a legrövidebb utat adja. A probléma egy matematikai programozási feladatként jelenik meg, amelyek megoldására több algoritmus és számtalan szoftver áll rendelkezésre. A feladatot egy mintapéldán keresztül kipróbáltuk és az eredmények megegyeztek a kézi számítások eredményével. A nemzetközi áruszállítási körjáratok bemutatása Az áruszállítási feladatok több közlekedési ágazat segítségével is megvalósíthatók. A szállítás történhet közúton, vasúton, vízen, levegőben, csővezetéken keresztül, illetve az előzőek kombinációjával. Európában az áruszállítási teljesítmény közel 50 %-át a közúti szállítási mód képviseli, mely rövid távolságú, elsősorban helyi-, regionális viszonylatban gazdaságos, de számos előnye miatt távolsági forgalomban is alkalmazzák. Előnyei: a legsűrűbb vonalhálózattal rendelkezik (nincs szükség az áruk átrakására), viszonylag rövid az áruk célba jutási ideje a nagy sebességből adódóan, szinte miden árufajta szállítását lehetővé teszi, nagymértékű alkalmazkodó képesség a fuvaroztatók igényeihez, viszonylag kicsi a szállítás közbeni áru-igénybevétel, és az ebből származó károk. A nemzetközi áruszállító járatok szervezésénél a gyakorlatban megkülönböztetésre kerülnek az egyszerű járatok, az ingajáratok (egyszerű ingajárat, bővített ingajárat), valamint a körjáratok (terítő körjárat, gyűjtő körjárat, vegyes körjárat). Az áruszállító járatok szervezésének fő célja a gazdaságosság, vagyis az egységnyi árumennyiségre eső szállítási költség minimálása. Egy körjárat minden esetben a vállalat telephelyéről indul az első áru feladóhelyig, ahonnan a jármű az első leadóhelyre megy, majd onnan egy újabb feladóig, illetve leadóig (1. ábra). Az utolsó leadóhely után a jármű az útját a telephelyen fejezi be. A körjáratban a fel- és leadóhelyek száma tetszőleges számú lehet, sőt egy leadóhely egyben feladóhely is lehet [1]. Telephely i. leadóhely 1. feladóhely i. feladóhely 1. leadóhely 1. ábra: Körjáratok felépítése A teljes ellátási lánc költségének kb. 30 %-a az áruszállításból származik, ezért valamennyi szállítmányozó és fuvarozó vállalat nagy hangsúlyt fektet a szállítási tevékenység optimalizálására. Az optimalizálás elsősorban az áruszállító körjáratok kihasználtságának javítását, valamint a felhasznált üzemanyag mennyiségének csökkentését jelenti. A DHL egyik elemzése szerint a nemzetközi áruszállító járművek 30 %-a a körjárat utolsó áru leadó állomása után üresen folytatja útját. Ez évente hozzávetőlegesen 33,5 milliárd euro fölösleges üzemanyag költséggel, valamint 20-30 tonna CO2 kibocsátással jár. 123
A nemzetközi áruszállító járatok kihasználtságának javítása, valamint a károsanyag kibocsátásának csökkentése a következő módokon lehetséges: a jármű flotta modernizálása, alacsonyabb fogyasztású, kisebb károsanyag kibocsátású motorok alkalmazása, a járművezetők vezetési technikájának javítása, multimodális szállítási módok alkalmazása, mely során a szállítási láncban a közúti-, vasúti- és vízi szállítási módok is alkalmazásra kerülnek, a szállítási feladat végrehajtásának optimalizálása: o több szállítási feladat egy körjáratba való integrálása, o az üresjáratok kiküszöbölése, o a járműkapacitás kihasználtságának maximálása, o az optimális szállítási útvonal kiválasztása, o az ideális tankolási helyeken a megfelelő mennyiségű üzemanyag Az áruszállításban figyelembe veendő költségtényezők A költségcsökkentés lehetőségének meghatározásához az elsődleges feladat a járatok teljesítése során felmerülő teljes önköltség meghatározása. A számítás során célszerű a járatokat szakaszokra bontani, mely útszakasz alatt az egy feladó és egy leadó állomás közötti utat értünk. Ez azért szükséges, mivel az egyes szakaszok teljesítése során az egyes költségösszetevők értéke különbözik, az eltérő hasznos szállított tehertől, a különféle útviszonyoktól, stb. függően. A feladat megoldása során eltekintünk attól, hogy az adott szakasz végpontja feladó vagy leadóhelyek. Ez a modellben majd egyértelmű lesz a szakaszon a gépjármű által hordozott teherből. Tekintsünk egy járatot! Az áruszállítás során a következő költségtényezők fognak majd a szerepet játszani: A rakottan megtett szállítás költsége. Az egyes szakaszokon ez a költség változik, azonban egy szakaszon ez az összeg állandó lesz és csak a járműtől, a szállított menynyiségtől és a megtett távolságtól és az útviszonyoktól függ. A járat teljesítése során rakottan megtett út költsége az alábbi módon számítható: ahol: - az -adik járat során a járművel rakottan megtett úthossz, - az -adik járatot teljesítő rakott járműnél adódó fajlagos költség. A hisztorikus adatok elemzése eredményeként megállapítottuk, hogy a jármű üzemanyag felhasználása alapvetően a jármű terheletlen állapotban való fogyasztásától (motor karakterisztika), a szállított hasznos teher nagyságától, valamint a domborzati viszonyoktól függ. (1) (2) ahol: - az üzemanyag egységár, 124
- a fajlagos fogyasztás üres jármű esetén, - a domborzati viszonyoktól függő korrekciós tényező (részletesen később ismertetjük), - a terheléstől függő korrekciós tényező, ami azt jelenti, hogy a jármű minden egyes többlet tonnányi terhelés esetén kb. 0,5 literrel többet fogyaszt, - a jármű hasznos terhelése. Az üresjárat költsége. A fuvar teljesítése során a jármű által üresen, rakomány nélkül megtett szakaszokra adódó költségek. Ilyen eset ideális járatszervezés esetén ez minimális, illetve csak abban a szakaszban fordul elő, amikor a jármű a telephelyről az első felrakó helyre megy. Üres futás továbbá az is, amikor a külföldi lerakóhelyről a következő felrakó helyre át kell állnia a fuvareszköznek. Ez a járműtől és a megtett úttól és az útviszonyoktól függ. Az üresen megtett járatszakaszok esetén adódó költségek a következők: (3) ahol: ahol: - üresjárati úthossz az -adik járatnál [km], - üresjárat fajlagos költsége az -adik járatnál, (4) A jármű állásidejének a költsége. A fuvar teljesítése során különböző okok miatti állásidők összegeként előálló költségkomponens. A gyakorlatban az állásidőre eső költségek igen komoly részét teszik ki a költségeknek, mivel egyrészt az álló jármű fenntartási költségei így is jelentkeznek, másrészt az álló jármű nem termel hasznot. További állásidő is figyelembe vehetőek, azonban ezek nem játszanak jelentős szerepet az optimális útvonal szempontjából. Nem függ az üzemanyag felhasználástól. (5) ahol: - fel- és lerakodási idő, - fel- és lerakodásra várakozási idő, - a határátkelésnél várakozási idő, - a kötelező pihenőidő miatti állásidő, - a kamionstop miatti állásidő, - fajlagos állásidő költsége. A járulékos költségek. A járulékos költségek közé sorolhatók például az autópálya használati díjak, a parkolási díjak, stb.) Nem függ az üzemanyag felhasználástól. 125
ahol: - autópálya használati díjak, - fizetendő parkolási díjak. Általában elmondható, hogy bár az autópálya használata költséges, azonban gyors és folyamatos haladást biztosít. Ennek érdekében a járművek, ahol tehetik igénybe veszik. Az egyes országokban az autópálya díjak jelentősen különböznek, így törekedni kell a pontos megadásukra az önköltség számítása során. A járatra eső gépjárművezetők átlagos bére. Itt a járművezetők átlagos bérköltségét fogjuk tekinteni az általános megoldás érdekében. Bár az látszik, hogy az optimum szempontjából ez a tényező nem játszik szerepet, de a költség meghatározása érdekében célszerű figyelembe venni. A szállítási feladatot rövidebb távon egy gépjárművezető, hosszabb szállítási távolság esetén két sofőr teljesíti. Egy sofőr bére a következő képlettel számítható: (6) (7) ahol: - a járat teljes üzemi ideje, vagyis a járat teljesítéséhez szükséges idő, amely kiszámítható az üresjáratnál fellépő időszükséglet ( ), a rakott járatnál fellépő időszükséglet ( ), illetve a különböző okok miatti állásidők, fel- és lerakodási idő, fel- és lerakodásra várakozási idő, a határátkelésnél várakozási idő, a kötelező pihenőidő miatti állásidő és a kamionstop miatti állásidő összegeként. - gépjárművezetők átlagos bére járulékokkal. Két gépjárművezető esetén a járatra eső bérköltség értelemszerűen növekszik. Vizsgálataink alapján nem függ az üzemanyag felhasználástól. Saját járművek fenntartási költsége. Az adott járművel kapcsolatos fenntartási költségek közé sorolhatóak a használattól függetlenül jelentkező költségek, melyeket akkor is fizetni kell, ha az adott szállítóeszköz egy fuvart sem bonyolít le. Ilyen költségek például a karbantartási és a lízing költségek, továbbá a biztosítási díjak, illetve a járművek amortizációs költségei. Az egy járatra jutó jármű fenntartási költsége az alábbi módon számítható: (8) (9) ahol: - az -adik járat végrehajtásához szükséges idő, - 1 napra eső járműfenntartási költség (biztosítás, lízing, karbantartás, amortizáció, illetve egyéb esetlegesen fellépő költségek) euro, nap - a saját járművek fajlagos fenntartási költségének korrekciós tényezője. 126
Ez szintén fontos költségelem, azonban vizsgálataink alapján nem függ az üzemanyag felhasználástól, így az optimum szempontjából nem játszik szerepet. Megjegyzés A később bemutatandó modellen azonban nem kell változtatni, ha figyelembe akarunk venni további tényezőket. Saját járművek használata esetén egy járat teljes önköltségének számítására a (10) egyenlet szerinti tapasztalati költségfüggvény került kidolgozásra egy fuvarozó vállalat által biztosított hisztorikus szállítási adatbázis elemzését és kiértékelését követően [2,3,4]: Mivel az optimalizálás célja a minimális költségű üzemanyag felhasználás, ezért a teljes önköltség függvény komponensei közül csupán a rakott- és üres járat költségeivel kell foglalkozni, a többi költségösszetevő ebből a szempontból elhanyagolható. A megtett útszakasz költségét befolyásoló paraméterek: Az egyik legfontosabb befolyásoló tényező az üzemanyag egységára. Az üzemanyag egységára kutanként változik, így ezt a jellemzőt a kutakhoz fogjuk rendelni, mint jellemzőt. A továbbiakban az -val jelöljük az i-edik útszakasz k-adik üzemanyag kútjának az egységárát. Tapasztalatok azt mutatják, hogy az autópályákhoz, illetve a főközlekedési útvonalakhoz közelebb eső kutaknál az üzemanyag drágább, mint a tőlük távolabb eső kutaknál. Domborzati viszonyoktól függő korrekciós tényező. A domborzati viszonyok korrekciós tényezőit útszakaszonként, és azon belül is a kezdő csomóponttól a kútig és a kúttól a következő csomópontig tartó részszakaszokra értelmezzük. Három korrekciós tényezőt fogunk figyelembe venni: o 0 az értéke egy szakaszon, ha normál síkságon halad a gépjármű, o 0,3 az értéke, ha középnehéz terepen (azaz dombságon) halad a gépjármű, o 0,6 lesz az értéke nehéz, hegymenet esetén. (10) 2. ábra: Domborzati viszonyoktól függő korrekciós tényező 127
3. ábra: Példa domborzati viszonyoknak megfelelő értékekre Természetesen további korrekciós tényezők is figyelembe vehetők, esetleg negatív értékkel, ha lejtőn halad a jármű. A kidolgozott modellt nem befolyásolja a kategóriák száma, hiszen a kategória az értékével jelenik meg. Terhelési tényező. Ez a terheléstől függő korrekciós tényező, ami azt jelenti, hogy a jármű minden egyes többlet tonnányi terhelés esetén 0,5 literrel többet fogyaszt. Ebből következik, hogy a terheléstől lineárisan függ a költségtényezője. A jármű hasznos terhelése. 4. ábra: A jármű hasznos terhelése A fenti paraméterek alapján meghatározható a jármű adott szakaszon a jármű üzemanyag fogyasztásából eredő költség. Az üzemanyag felhasználás alapvetően a jármű terheletlen állapotban való fogyasztásától, a szállított hasznos teher nagyságától, valamint a domborzati viszonyoktól függ. (11) 128
Az körjáratok üzemanyag-felvételének modellezése A megoldáshoz mint azt fentebb írtuk két lépésben fogunk eljutni. Az első lépésben kiválasztjuk azokat az ideális üzemanyag-felvevő helyeket, amelyek reálisan számításba jöhetnek a számtalan tankolási hely közül, a második lépésben ezek közül fogjuk kiválasztani az optimális tankolási helyeket. Valójában a második lépés nem igényli az első lépést, azonban a megoldás során jelentősen egyszerűsödik a modell, ha beiktatjuk az első lépést, hiszen a modell ismeretlenjeinek a száma, és a megoldáshoz kapcsolódó együttható mátrix mérete is jelentősen csökken. A számításaink szerint a modellhez kapcsolódó együttható mátrix oszlopainak a száma kettővel nő minden egyes lehetséges benzinkúttal. a sorok száma pedig minden kúttal 3 sorral lesz nagyobb. Ideális üzemanyag-felvételi helyek kiválasztása A legtöbb áruszállító vállalat esetében a nemzetközi körjáratok során a tankolási helyek megválasztása és a tankolt üzemanyag mennyiségének meghatározása nem központilag irányított, hanem a járművezető egyéni döntésén alapul. Így sok esetben nem az ideális helyen történik a tankolás, nem a megfelelő mennyiségű üzemanyag felvétele történik meg, sőt az is előfordul, hogy fölöslegesen tankol a sofőr. Ezen rossz döntések eredménye, hogy a járatok teljesítéséhez felhasznált üzemanyag költsége nem optimális. A tanulmány célja egy olyan matematikai modell kidolgozása és egy olyan módszer megadása, mellyel ezen hibákból adódó veszteségeket teszi kiküszöbölhetővé. A feladat tehát az x,y koordinátákkal definiált A célállomásból B célállomásba történő szállítás esetén a járművezetők számára előírni a vállalat által preferált üzemanyagtöltő állomások közül ( ) a leggazdaságosabb helyet, valamint meghatározni a tankolandó üzemanyag mennyiségét ismert indulási üzemanyagszint mellett. Ds 1 Ds 1 s 2max s 1max t k Telep/L i F i+1 s min t L i+1 i s 1valós s 2 valós Q üa Q ind Q(L i,f i+1) Q(F i+1,t i) Q T Q(T i,l i+1) 5. ábra: Lehetséges üzemanyag-felvételi helyek meghatározása, és az üzemanyagszint alakulása az út során A járat indításakor ismert az indulási pont - mely a telephely (Telep), vagy az i-edik leadási hely ( lehet -, illetve az árufeladó pont ( ), valamint a célállomás leadóhelye ( ) (5. ábra). 129 Q B Q B s
A feladat tehát meghatározni, hogy ismert indulási üzemanyagszint mellett a jármű tudja-e teljesíteni a teljes szállítási feladatot, vagy az árufeladási- és leadási pontok között tankolnia kell. Amennyiben szükséges üzemanyag felvétele, meg kell határozni az ideális tankolási pontot és az üzemanyag felvétel mennyiségét. A szállító vállalatok többsége a nagy mennyiségű üzemanyag felhasználásnak köszönhetően valamely szerződéses üzemanyag forgalmazó partner kútjainál kedvezményes áron tankolhat. Az üzemanyag forgalmazó kiválasztásánál azokat preferálják, amelyeknek Európára kiterjedő üzemanyagtöltő állomás hálózata van. Az üzemanyag forgalmazótól megkérhetők GPS koordinátákkal megadva a lehetséges üzemanyagtöltő állomások, valamint az egyes kutaknál az aktuális üzemanyagár. Ezek alapján mindig megadható a kutak x,y koordinátája. A digitális útvonal-térképek az úthálózatokat rövid egyenes szakaszokra bontják [6]. Ezek segítségével bármely kiválasztott két pont (például egy telephely és egy kút, feladóhely és lerakóhely) segítségével meghatározhatjuk a pontok közti legrövidebb útvonal hosszát. A pontok és az őket összekötő szakaszokból egy irányított gráf képezhető, melynek súlyai a két pont közti szakasz hossza. Az így megalkotott gráfból már meghatározható a csomópont és a kút közti legrövidebb út például egy A* algoritmus használatával [5,9,10], de útvonal táblázatok (adattáblák) segítségével is megoldhatjuk [7]. Emellett a domborzati viszonyokra is kapunk információt, ami szintén fontos, hiszen a fogyasztás eltérő hegymenetben, illetve síkmenetben. A következőkben az összes lehetséges üzemanyag felvételi helyek közül kiválasztjuk azokat a lehetséges üzemanyag felvételi helyeket melyek a feladat megoldása szempontjából szóba jöhetnek. Ez jelentősen csökkentheti a végső modellben szereplő változók számát. A járatszakaszok megtétele esetén adódó költség a következők szerint számítható: (12) ahol: - az -adik járat -adik szakaszának úthossza [km]; - a járat fajlagos költsége az euro -adik járat -adik szakaszánál km ; - az egyes szakaszok azonosítója. Az üzemanyag felhasználás alapvetően a jármű terheletlen állapotban való fogyasztásától, a szállított hasznos teher nagyságától, valamint a domborzati viszonyoktól függ. A értékét (2) felhasználásával már meghatározhatjuk: A járat indulásakor ismert a jármű indulási üzemanyagszintje ( ), valamint folyamatosan számítható a jármű üzemanyag felhasználása az egyes feladási és leadási pontok között (5. ábra). Az ideális tankolási hely meghatározásánál feltétel, hogy egy biztonsági üzemanyag mennyiséggel még rendelkezzen a jármű, mely ahhoz lehet szükséges, hogy az és pontok közötti esetleges útelterelésből vagy a sofőr eltévedéséből adódó többletfogyasztás ne veszélyeztesse az útszakasz teljesítését. A biztonsági üzemanyag szint megadása egy konkrét üzemanyag mennyiségben, vagy a szállítási távolság százalékos arányában történhet meg. (13) 130
A fenti összefüggések ismeretében, valamint figyelembe véve a biztonsági készletszintre ( ) vonatkozó előírásokat, számítható ki az első tankolási pontig megtehető távolság ( ) (5. ábra). (14) Ez a sugár ív ( ) definiálja a számításba jöhető ti tankoló állomások koordinátáját, melyek közül kell az ideális helyet megtalálni. mértéke tetszőlegesen megadható, mely azt a távolságot jelenti, hogy milyen távolsággal kell már az üzemanyag elfogyása előtt üzemanyagtöltő állomást keresni. Az optimális üzemanyagtöltő állomás(ok) helyének és a tankolás mennyiségének a meghatározása Az optimális töltőállomásokat a korábban kiválasztott ideális töltőállomások közül fogjuk kiválasztani. Bár a modell számára nem szükséges ez az előzetes szelekció, azonban a gyakorlati feladatok megoldásakor jelentősen egyszerűsíthető a megoldás, illetve a modell mérete is jelentősen csökken. A továbbiakban a modellt a megfogalmazott gyakorlati problémához képest általánosabb értelemben fogjuk definiálni a későbbi továbbfejleszthetőség érdekében. A matematikai modell felírásához a korában meghatározott adatokat, változókat a modellhez igazítva fogjuk megadni, ezért az alábbiakban pontosítjuk a jelöléseket. Az ismert adatok jelölése Egy konkrét fuvarterv rögzíti azokat a helyeket (feladó helyek, leadó helyek) amelyeket az árurakodás szempontjából figyelembe kell venni. Ezeknek a sorrendje előre adott. Ezt a sorrendet használjuk a fel- és lerakóhelyek azonosítására. Jelölje N a felrakó és lerakó helyek számát, beleértve a kezdő és vég telephelypontot (ez lehet ugyanaz is körjárat esetén, de ebben az esetben két különböző indexszel jelöljük). Az egyes fel- és lerakóhelyeket egy 1 és N közti természetes számmal jelöljük. A továbbiakban a fel- és lerakóhelyeket nem különböztetjük meg (általában csomópontoknak fogjuk hívni őket). Azt, hogy fel- vagy lerakóhely lesz-e egy csomópont, azt majd a csomópontból kiinduló útszakaszhoz rendelt rakodási súly fogja eldönteni (0 esetén lerakóhely, ha nagyobb mint 0 akkor feladóhely). További definíciók Útszakasz. A továbbiakban útszakasznak nevezzük egy fel- vagy lerakóhely és a fuvarterv szerinti következő le- illetve felrakó hely között vezető utak halmazát. A gyakorlatban több út is vezethet két csomópont között, ezeket a kutaknál fogjuk definiálni. Az útszakaszt az i indexszel fogjuk jelölni. Ebből következik, hogy a továbbiakban az járat azonosítót és azon belül az gyakorlatban létező útszakaszt a továbbiakban egyszerűen azonosíthatjuk a járat csomópontjaival és a csomópontokhoz tartozó útszakasz azonosítóival (az útszakaszokat a k-val fogjuk jelölni). Ez a jelölés a számítógépes megoldás miatt kényelmesebb. Kutak halmaza, lehetséges útszakasz. Jelölje az i-edik indulási hely és a -edik végpont közti kutak halmazát. Ekkor jelöli az i-edik útszakaszon a kutak számát. A kutakhoz tartozó útszakasz egy útját lehetséges útszakasznak fogjuk hívni. A lehetséges útszakaszt az i,k indexekkel jelöljük. Egy lehetséges útszakaszon legfeljebb csak egy kút lehet. Ha 131
több van, akkor a modell mindig átalakítható olyan modellé ahol minden útszakaszon legfeljebb egy kút van (lásd a 4. megjegyzés állítását). Kutak jelölése. Jelölje a k-adik kutat, (azaz a k-adik útszakaszhoz tartozó kutat) az i- edik útszakaszon. Útszakaszon található kutak maximális száma. Jelölje egy útszakaszhoz tartozó kutak maximális számát M ( ). Amely i-edik útszakaszon a kutak száma kevesebb mint M, ott fiktív lehetséges útszakaszokat veszünk fel között. A lehetséges útszakasz hosszát elegendően nagy értékre választva biztosítható, hogy ezt a lehetséges útszakaszt nem választjuk az optimalizálás során. A 0-dik út (0 indexű) a tankolás nélküli útszakasz. Ezen a lehetséges útszakaszon a jármű nem áll meg, itt tankolás nem történik. Egységár mátrix. Jelölje a kútnál az üzemanyag egységárát ( ).. Távolság mátrixok A távolságadatokat is a tényezőkhöz hasonlóan két részre bontjuk: a lehetséges útszakasz kezdő pontjától kútig tartó szakasz hossza és a kúttól a lehetséges útszakasz végéig tartó szakasz hosszára. Jelölje az i-edik indulási helytől az -edik végpont között a k-adik kútig tartó útvonalának hosszát ( ). Jelölje az i-edik indulási helytől az -edik végpont között a k-adik kúttól a végpontig tartó útvonalának hosszát ( ). Használni fogjuk az i-edik útszakasz hosszát is: ( ). Az üzemanyagtank kapacitása. Jelölje az üzemanyag tank méretét. Megjegyzések 1. Az L, M, S, P mátrixok esetén számítástechnikai okok miatt az indexek 0-tól indulnak és M-ig fognak futni. 2. Praktikus okok miatt a 0-adik útnál a teljes úthossz l-hez tartozik, lesz (, ). 3. Ha az autópályán, azaz a 0-adik úton is lehet tankolni, akkor ezt az utat még egyszer fel kell venni, de már a kúthoz tartozó l-el és m-el. Ez a lehetséges útszakasz így kétszer jelenik meg, de a 0-tól különböző indexű olyan lehetséges útszakasz, ahol üzemanyag kerül felvételre. Amennyiben több kút is van a pályán, akkor az 1. Állítás szerint kell eljárni. 4. Egy csomópontból kétféleképpen mehetünk tovább a következő csomópontba: a) szabad választással, azaz egy csomópontból kiindulva a lehetséges útszakaszok között szabadon választhatunk. b) Kötelező továbbhaladással, azaz ha a k-adik lehetséges útszakaszról érkezünk, akkor a következő csomópontba is a k-adik szakaszon keresztül kell menni. Ennek jelentősége az alábbiak miatt van. Állítás. Az eredeti probléma mindig átalakítható olyan feladattá, ahol két csomópont között legfeljebb egy kút van. 132
Egy lehetséges útszakasz felbontása, ha több kút is esik ugyanarra a lehetséges szakaszra. Az eredeti problémában minden csomópont szabad választású. (3. ábra) 1. eset Bontsuk fel a lehetséges útszakaszt annyi lehetséges útszakaszra, amennyi kút van az előző megjegyzés 3. pontjához hasonlóan! Ha az egyes lehetséges útszakaszok mindegyikére teljesül, hogy az előző lehetséges legközelebbi tankolási hely (első útszakasz esetén az indulási ponttól) és a lehetséges útszakasz tankolási helye közti út megtehető teletankolt járművel, illetve a lehetséges útszakasz tankolási helyétől következő tankolási helyig (utolsó útszakasz esetén a végcél helyéig) szintén megtehető teli tankkal, akkor kész a felbontás. (7. ábra) Példa. Egy lehetséges útszakaszon két kút található az 1. eset feltételei alapján. k. kút k+1. kút i. i+1. 6. ábra: Az i-edik és -edik csomópont közti egyik lehetséges útszakaszon két kút van. Induló eset. i. k. kút k. lehetséges útszakasz k+1. lehetséges útszakasz k+1. kút i+1. 7. ábra: A megoldás. A lehetséges útszakaszt két lehetséges útszakasszal helyettesítjük az 1. esetnél leírtak alapján. 2. eset Ha nem tudjuk teljesíteni az 1. esetet, akkor az eredeti kiindulási állapotban az i-edik útszakaszhoz iktassunk be egy fiktív csomópontot az eredeti csomópontok közé úgy, hogy a lehetséges útvonal két kútja közé essen és teljesüljön az egyes lehetséges útszakaszok teljesítésének feltétele (5. ábra). Ekkor az i, reláció összes lehetséges útszakaszánál meg kell tenni a fiktív pont felvételét, a lehetséges útszakasz szétbontását. Ez bármelyik pont lehet a relációban, kivéve számítástechnikai okok miatt a lehetséges útszakasz kútjához tartozó pont. A megbontott útszakaszokat úgy indexeljük, hogy a fiktív csomópontba beérkező útszakasz k indexe megegyezzen a megbontott útszakasznak a fiktív csomópontból kimenő lehetséges útszakasz indexével. Ezután ezt a felvett csomópontot kötelező továbbhaladású csomópontként kell felvenni (9. ábra). Ha most sem teljesül, akkor ismételjük a 2. esetet addig amíg nem teljesül, vagy olyan útszakaszt nem kapunk amelyen nincs kút és a szakasz nem teljesíthető (ettől még a feladat megoldható lehet). 133
Példa. Egy lehetséges útszakaszon két kút található az 2. eset feltételei alapján. k. kút k+1. kút i. i+1. 8. ábra: Az i-edik és -edik csomópont közti egyik lehetséges útszakaszon két kút van. Induló eset. k. kút k+1. kút i. i. kötelező továbbhaladású csomópont i+1. 9. ábra: A megoldás. Egy csomópontot szúrunk be az i-edik és -edik csomópont közé a 2. esetben leírtak alapján. Ekkor kötelező továbbhaladású csomópont lesz. A modell ismeretlenjei Az alábbi mátrix a változó adatok első csoportját tartalmazza. Elemei jelentik, hogy az adott útszakaszon melyik kútnál mennyit tankolunk. Jelölje (15) az i-edik indulási helytől az -edik végpont között a k-adik kútnál tankolt üzemanyag mennyiségét. esetén az adott szakaszon nem történik tankolás. Ebben az esetben fiktív mennyiség lesz az értéke:. Ez nem jelent problémát, hiszen a költségben és az üzemanyag-fogyasztásban ez a 0. változó nem fog megjelenni. Az előzőekből következik, hogy (16) azaz valamelyik útvonalat választani kell. Ekkor 134
(17) jelenti az i, közötti útszakasz hosszát, hogyha a k-adik kútnál tankolunk. Ezek alapján a járat során a tankolási kitérőket is figyelembe véve a gépjármű által megtett út hossza: (18) Jelölje az i. csomópontnál a jármű üzemanyag mennyiségét. Ekkor a tankolást követő csomópont üzemanyag mennyiségét a következőképpen írhatjuk fel: (19) (20) azaz az előző csomópontnál rendelkezésre álló üzemanyag mennyiségéből levonva a megtett útszakasz fogyasztását a terheléstől és a súlytól függően és hozzáadva a tankolt mennyiséget. Feltétel, hogy minimális szint alá nem mehet az üzemanyagszint. A kútnál rendelkeznie kell a minimális üzemanyag mennyiséggel: (21) A tankolt mennyiség ( ) nem lehet több mint amennyi az üzemanyagtankba fér: (22) Jelölje O azon csomópontok indexeinek halmazát, melyek kötelező csomópontok. Ekkor a következő feltétel érvényes a kötelező csomópontokra: Jelölje az i, relációban tankolt mennyiség költségét (ha nem történt tankolás, akkor 0), valamint (23) (24) A tankolás költsége az adott kútnál: 135
(25) A feladathoz elkészített matematikai modell Az alábbi modell (részletes ismertetés nélkül) a feladat végleges matematikai modelljét: (26 ) Az optimalizálás során alkalmazott célfüggvény A célfüggvény az induló tank benzinköltségét jelenti (fix költség), valamint az útközben tankolt benzin mennyiségének a költségét csökkentve a maradék benzin költségével (változó költség), azaz (27 ) Az utóbbi feltétel azt jelenti, hogy azzal az egységárral kell csökkenteni a megmaradt üzemanyag költségét, amivel azt vásároltuk, azaz az utolsó tankoló hely költségével. A cél: A modellhez kapcsolódó feladat megoldási módszere A feladatot a későbbiekben egy általunk kifejlesztett alkalmazással szeretnénk megoldani, mely illeszkedik a fenti modellhez. A szoftver programozását a közeljövőben szeretnénk el- (28) 136
végezni. A végső alkalmazás adatbázisra épül [8,12], felhasználóbarát módon és az alábbiakhoz hasonlóan oldja majd meg a gyakorlati problémákat. A feladat megoldhatóságát és a modell alkalmazhatóságát az alábbi egyszerű mintafeladattal is ellenőriztük, melyet MS Excel Solverjével oldottunk meg. A mintafeladat gráfja az alábbiak szerint néz ki: 1. kút 1. lehetséges útszakasz 1. lehetséges útszakasz 1. kút 2 0. lehetséges útszakasz 1 2. lehetséges útszakasz 2. kút 3. lehetséges 3. kút útszakasz 2. kút 2. lehetséges útszakasz 0. lehetséges útszakasz 3. kút 1. kút 2. kút 0. lehetséges útszakasz 3. lehetséges útszakasz 1. lehetséges útszakasz 3. kút 10. ábra: A mintafeladat gráfja 2. lehetséges útszakasz 4 3. lehetséges útszakasz 0. lehetséges útszakasz nincs kút 3 BEFEJEZÉS A tanulmány elsődleges célja, hogy megmutassuk az egyes áruszállítási feladatok teljesítéséhez szükséges optimális üzemanyag-felvételi helyek és mennyiségek meghatározásához megadható egy megoldási módszer. A cikkben megadtuk azokat a fő paramétereket, melyek szükségesek az optimális üzemanyag felvétel meghatározásához. Az első lépésben kiválasztottuk azokat a lehetséges (ideális) kutakat, ahol érdemes tankolni. Megadtuk azt a módszert is amellyel meghatározhatjuk az egyes csomópontok, kutat közti útvonalak hosszát a pontok GPS koordinátái és a digitális térképadatok felhasználásával. Ezek alapján az eredeti problémára megadtunk egy matematikai modellt. A modell egy vegyes egészértékű nem lineáris programozási modell lesz, ami kezelhető optimalizáló eljárásokkal. A kidolgozott modell és a megadott eljárás alapján egy döntéstámogató szoftvert célszerű kidolgozni, amely segítségével az egyes áruszállítási szakaszok gazdaságos teljesítéséhez szükséges információk előállíthatók, illetve a járművezetőkhöz eljuttathatók. KÖSZÖNET A kutatómunka az Európai Unió 691942 számú Horizon 2020 kutatási és innovációs programja támogatásával valósult meg. IRODALOMJEGYZÉK [1] KOVÁCS, Gy., CSELÉNYI, J. Utilization of historic data evaluation obtained from computer database during the organization of international transport activity. Proceedings of 2 nd Conference with International Participation Management of Manufacturing Systems, Presov, 2006. Szeptember 28., pp. 1-8. [2] KOVÁCS, Gy., CSELÉNYI, J., SCHMIDT, Sz., IZSAI, Á. Software conceptions relating to utilization of historic data evaluation of international transport activity and 137
relating to cost calculation of transport loops, MicroCAD 2007. Miskolc, Konferenciakiadvány, University of Miskolc, Supplementary Volume, pp. 47-56. [3] TAMÁS, P., ILLÉS, B., BÁLINT, R. Mathematical models for outsourcing of delivery channels of paper industry company, Conversations at Miskolc, University of Miskolc, 2007., Conference proceedings, pp. 230-239., ISBN:978-963-661-790-5 [4] SKAPINYECZ, R., ILLÉS B. Optimalizálási lehetőségek vizsgálata egy E-piactérrel integrált virtuális szállítási vállalatnál, Doktoranduszok Fóruma: Gépészmérnöki és Informatikai Kar szekciókiadványa, pp. 90-95. [5] RUSSELL, S., NORVIG, P. Mesterséges intelligencia modern megközelítésben, TAMOP - 4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0026, Panem Kft., Budapest, 2005. [6] GUBÁN, M., GUBÁN, Á. Egy fuvarozási vállalat szállítmányozási feladatának matematikai modellje és tervezett megoldási algoritmusa, Globalitás és vállalkozás, Eszes István (szerk.), Budapest: Budapesti Gazdasági Főiskola, 2001. pp. 226-235. [7] GUBÁN, Á., GUBÁN, M., HUA, N. S. Információ, adat, intelligencia, Budapest, Gubán Ákos (szerk.) Informatikai témák a gazdaságban [I. kötet]: Saldo Pénzügyi Tanácsadó és Informatikai Rt., 2012., pp. 375-377., ISBN:978-963-638-437-1 [8] GUBÁN, Á., KÁSA, R. Conceptualization of fluid flows of logistificated processes, Advanced Logistic Systems: Theory and Practice 7:(2) 2014, University of Miskolc pp. 27-24. [9] BAZARAA, M. S. Nonlinear programming Theory and algorithm 2006., John Wiley & Son Inc Hoboken New Jersey, ISBN 978-0-471-48600-8 [10] ZHANG, Y., YAP, H.C. R. Making AC-3 an Optimal Algorithm Search, Satisfiability and Constraint Satisfaction Problems School of Computing, National University of Singapore, 2001 [11] GILBERT, J. C., NOCEDAL, J. Global Convergence Properties of Conjugate Gradient Methods for Optimization DOI:10.1137/0802003, 1992, SIAM J. Optim., 2(1), pp 21 42. [12] DEMETROVICS, J. H., SON, N., GUBÁN, Á. A Formal Representation for Structured Data, 2016., Acta Polytechnica Hungarica 13, pp. 59-76. 138