Szállítási feladat_. Bevezetés, a vállalkozás bemutatása A vállalkozás 992-ben alakult, mint egyszemélyes vállalkozás, majd évek során kinőtte magát, tevékenysége és vevőköre egyre kiszélesedett, így 2002-ben Kft-vé alakult át, de megmaradt családi vállalkozásnak, mivel tulajdonosai a család tagjai maradtak. Tevékenységük alapja az árusítás, mely során többfajta árucikk értékesítésével foglakoznak. Régóta foglalkoznak karórák, faliórák árusításával, de emellett nagy hozamot biztosító tevékenységük a törölközők és pólók géppel való hímzése is. A probléma meghatározása A cég a törölközők szerzést 3 raktárból (feladóhelyről) végzi: Szolnok (F ), Szeged (F 2 ), Budapest (F 3 ). A cég ezen raktárakból kívánja megrendelőit ellátni törölközőkkel, esetünkben Szolnok (R ), Szeged (R 2 ), Nyíregyháza (R 3 ), és Miskolc (R 4 ) megrendeléseit kívánja legalacsonyabb költséggel megoldani. A cég közúton furgonokkal hetente kétszer szállít. A megrendelései tehát: Gazdasági modell felírása Feladóhelyek Rendelkezésre álló (elszállítandó) mennyiség Rendeltetési hely Rendeltetési hely igényelt mennyisége (szükséglet) F Budapest 80 R Szolnok 20 F 2 Szolnok 70 R 2 Szeged 30 F 3 Szeged 50 R 3 Nyíregyháza 50 Összesen 200 R 4 Miskolc 00 Összesen 200 A szállítási feladat zárt, mivel a rendelkezésre álló mennyiség = szükséglet mennyisége ( f i = r j = 200). A költségek megállapítása a kilométerekkel arányosan történik. (A költség tartalmazza a fuvardíjat, és a benzinköltséget). Szolnok Szeged Nyíregyháza Miskolc Budapest 0 72 223 7 Szolnok 0 6 79 39 Szeged 6 5 264 258
Kilométerskála alapján a szállítás költsége 0-50-ig 50-20-ig 2 20-50-ig 3 50-200-ig 4 200-240-ig 5 240-300-ig 6 Rj Szolnok Szeged Nyíregyháza Miskolc Elszállítandó Fi mennyiség Budapest 2 6 5 4 80 Szolnok 4 3 70 Szeged 2 9 6 6 50 Szükséglet 20 30 50 00 200 A szállítási költséget az egyes feladóhelyek és rendeltetési helyek között az alábbi táblázat tartalmazza. Rj R R2 R3 R4 elszállítandó Fi mennyiség F 2 6 5 4 80 F 2 4 3 70 F 3 2 9 6 6 50 szükséglet 20 30 50 00 200 A táblázat belső részében költségmátrix van, amelynek az elemei azt mutatják meg, hogy az egyes telephelyről az egyes megrendelőhelyre mennyi pénzegységért szállítják el az áru egy egységét. A célfüggvény felírása K = 2x + 6x 2 + 5x 3 + 4x 4 + x 2 + x 22 + 4x 23 + 3x 24 + 2 x 3 + 9 x 32 + 6 x 33 + 6x 34 min Az egyenlet A célfüggvény a benne szereplő változóknak csak azon értékeire értelmezhető, amelyek eleget tesznek a következő feltételeknek: x + x 2 +x 3 + x 4 = 80 x 2 + x 22 + x 23 + x 24 = 70 U 2
x 3 + x 32 + x 33 + x 34 = 50 x + x 2 + x 3 = 20 x 2 + x 22 + x 32 = 30 x 3 + x 23 + x 33 = 50 V x 4 + x 24 + x 34 = 00 A szállítási költséget az egyes helyek között az alábbi táblázat tartalmazza ezer db törölközőre vonatkozóan, ezer Ft-ban, táblázatban, majd költségmátrixba. R R 2 R 3 R 4 r j F 2 6 5 4 80 F 2 4 3 70 F 3 2 9 6 6 50 f i 20 30 50 00 200 f i : szükséglet az áruból r j : elszállítandó árumennyiség 2 6 5 4 c = 4 3 2 9 6 6 Oszlopredukció Minden oszlopban ki kell vonni a legkisebb elemet az oszlop minden eleméből, így minden oszlopban van legalább egy nulla. R R 2 R 3 R 4 r j F 5 80 F 2 0 0 0 0 70 F 3 8 2 3 50 f i 20 30 50 00 200 Sorredukció nulla érték. Sorredukció szükséges az oszlopredukció elvégzése után, mivel nem minden sorban szerepel R R 2 R 3 R 4 r j F 0 4 0 0 80 F 2 0 0 0 0 70 F 3 0 7 2 50 f i 20 30 50 00 200 3
A probléma megoldása A probléma megoldása során Vogel-Korda módszert alkalmazunk, azaz soronként és oszloponként a két legkisebb elemet kivonjuk egymásból, vagyis differenciákat képzünk. Ezután a legnagyobb differencia sorába vagy oszlopába a legkisebb költséghelyre a lehető legnagyobb mennyiséget programozzuk. R R 2 R 3 R 4 r j diff diff 2 diff 3 diff 4 diff 5 F 0 4 0 0 80 80 0 0 F 2 0 0 30 0 20 0 20 70 40 20 0 0 0 0 F 3 0 20 7 30 2 50 20 f j 20 30 50 30 00 20 200 diff 0 4 2 diff 2 0 2 diff 3 0 2 diff 4 0 diff 5 0 A kapott eredménytáblázat Kötött ismeretlenek száma: m + n = 4 + 3 = 6 R R 2 R 3 R 4 r j F 0 4 0 0 80 80 F 2 0 0 30 0 20 0 20 70 F 3 0 20 7 30 2 50 f i 20 30 50 00 200 Szállítási költség K = Kr + Ko + Ks Kr = 0 20 + 0 30 + 0 20 + 30 + 0 80 + 0 20 = 30 eft Ko = 50 + 60 + 4 40 + 3 50 = 420 eft Ks = 00 + 40 = 40 eft K = 30 + 420 + 40 = 590 eft Optimális e a megoldás? Az ellenőrzés potenciálok módszerével történik: 4
a kötött elemek száma sor + oszlop - 6 3 + 4 - (Ha nem állna fel az egyenlet, akkor be kellene vinni egy szabad elemet 0 értékű szállítással) kötött elemnél: c ij = u j + v j szabad elemnél: c ij = c ij (u j + v j ) V j U i V 0 V 2 V 3 V 4 U - 0 4 0 0 80 U 2-0 0 30 0 20 0 20 U 3 0 0 20 7 30 2 kötött elemnél: ui + vj = c ij u + v4 = 0 u2 + v2 = 0 u2 + v3 = 0 u 2 + v 4 = 0 u 3 + v = 0 u 3 + v 3 = szabad elemnél: δij = cij - (ui+vj) δ = 0 (0-) = δ 2 = 4 (-) = 4 δ 3 = 0 (-) = 0 δ 4 = 0 (-) = 0 kötöttt elem δ 2 = 0 (0-) = δ 22 = 0 (-) = 0 kötött elem δ 23 = 0 (-) = 0 kötött elem δ 24 = 0 (-) = 0 kötött elem δ 3 = 0 (0+0) = 0 kötött elem δ 32 = 7 (0+) = 6 δ 33 = (0+) = 0 kötött elem δ 34 = 2 (0+) = Ha van negatív elem a táblában, a szállítást javítani kell hurok módszerrel: a javítás úgy történik, hogy ahol negatív volt, azt kötött elemmé kell tenni, tehát egy kört kell az új taggal és a régi kötött elemekkel alkotni, majd a kör legkisebb értékű szállításával a kör összes szállítását rendre csökkenteni, majd növelni. De mivel nem kaptam negatív elemet az ellenőrzés során, így a szállítási feladat megoldása optimális, vagyis a legkisebb költséggel való szállítást kaptam eredményül. 5
Eredmény gazdasági értékelése Optimális szállítás megvalósulása esetén a költség 590 ezer Ft. Az optimális szállítások Budapest Miskolc Szolnok Szeged Szolnok Nyíregyháza Szolnok Miskolc Szeged Szolnok Szeged Nyíregyháza 80.000 db törölköző 30.000 db törölköző 20.000 db törölköző 20.000 db törölköző 20.000 db törölköző 30.000 db törölköző 6