1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a 6 b 7 8a b a 7a b f) 5 a a a g) 5 h) 7 5 7 a a i) a j) 1 7 1 7 k) 7 7. Gyöktelenítsd a következő törtek nevezőjét! a) 5 5 5 b) 6 10 e) 5 7 7. Mely valós számokra értelmezhetők a következő kifejezések? a) b) 75 15 f) 7 a 7 Másodfokú egyenlet 1. Írd fel a gyöktényezős alakot! a) 5 + 6 b) + 8 +15 7 + - 8 8 + e) 1. Írd fel azt a másodfokú egyenletet, melynek gyökei: 1 a) és 5 b) -7 és 0 és és e) és f) - és 5. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! a) + 5 = 0 b) + 1 = 0 - + 5 = 0 56 + = 0. Határozd meg a p paraméter értékét, hogy az egyenletnek egy valós gyöke legyen! a) p + 5 = 0 b) -5 + p 1 = 0 16 + p = 0 p 1 = 0
5. Határozd meg a p paraméter értékét, hogy az egyenletnek az 5 legyen az egyik gyöke! a) p + 5 = 0 b) -5 + p 1 = 0 16 + p = 0 p 1 = 0 6. Oldd meg a következő egyenleteket! a) 10 + 5 = 0 b) + 7 + 6 = 0 8 1 + = 0 0 + 7 = 0 e) + 7 + 8 = f) ( +5)(8 ) = 7 g) ( + ) = 1 (1 + ) h) ( + ) (5 ) = 11( 1) i) ( ) 8 + ( 5) = 0 j) 6 7 1 1 1 1 k) l) m) n) 1 1 5 1 5 5 7 1( ) o) 1 p) q) 15 = 0 9 r) 9 + = 0 s) 6 + 7 = 0 t) ( + 1) = ( + 1) + u) 1 0 v) 1 1 1 w) 1 5 ) y) z) 9 5 7. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket! a) + > 0 b) 7 + 0 > 0 + < 0 +1 + 9 0 e) - + 5 + 0 f) 6 + < g) + 1 h) + 5 < 8 + 18 i) ( 1)(5 ) 0 j) ( + ) < 0 k) - + 8 8 < 0 l) ( 1) > 1 8. Oldd meg a következő egyenletrendszereket! a) I. + y = b) I. y = 1 I. y + = + I. + y = II. y = II. y = II. y = 1 II. ( 5) + y = 10 9. Két szám szorzata 91, összege 0. Melyik ez a két szám? 10. Két szám szorzata 56, összege 15. Melyik ez a két szám? 11. Hány olyan valós szám van, és melyek azok, amelyeknek a harmadát és az ötödét összeszorozva a szám tizenötszörösét kapjuk? 1. Két szomszédos pozitív egész számot összeszorozva, a szorzat 169-cel lesz nagyobb, mint a kisebbik szám. Melyik ez a két szám? 1. Két egymás után következő pozitív páratlan szám szorzata 608. Melyik ez a két szám? 1. Egy üzleti tárgyalás résztvevői kézfogással köszöntötték egymást. Összesen 16 kézfogástörtént. Mindenki mindenkivel pontosan egyszer fogott kezet. Hányan voltak a találkozón?
15. Karácsonykor az osztály tagjai úgy döntenek, hogy mindenki megajándékoz mindenkit egy jelképes ajándékkal. Hányan járnak az osztályba, ha összesen 756 kis ajándék került átadásra? 16. Egy négyzet egyik oldalát cm-rel megnöveljük, a másik oldalát ugyanennyivel csökkentjük. Az így kapott téglalap területe 5 cm. Mekkora volt a négyzet oldala? 17. Egy téglalap egyik oldala cm-rel hosszabb a másiknál. Átlója 7 cm. Mekkora a területe? 18. Egy téglalap kerülete 60 dm, területe 1dm. Mekkorák az oldalai? 19. Hány oldalú az a két sokszög, melyben az oldalak számának összege 0, az átlóké 79? 0. Egy konve sokszög átlóinak a száma 77. Hány oldalú a sokszög? 1. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) 5 5 7 b) 10 6 9 7 e) 7 5 6 1. Szöveges feladatok: 1 f) 1 6 5 7 1 9 a) Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 17 cm, átfogója 1 cm, mekkorák a befogói? b) Egy téglalap területe 96 cm, kerülete 8 cm. Milyen hosszúak az oldalai? Egy tört számlálója -mal nagyobb a nevezőjénél. Ha a törthöz hozzáadjuk a reciprokát,, 9 -et kapunk. Melyik ez a tört? 58 Egy tört számlálójának és nevezőjének az össze 10, ha a törthöz hozzáadjuk a reciprokát, -et 1 kapunk. Melyik ez a tört? e) Egy kétjegyű számban a tízesek helyén álló számjegy -vel nagyobb, mint az egyesek helyén álló. Ha a számjegyeket felcseréljük, és az eredeti számot megszorozzuk a felcserélttel, 755-öt kapunk.. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 5 b) 9. Egyszerűsítsd a következő törteket! a) 6 8 b) 7 7 10 5 1 7 5. Írj fel olyan egyenletet, amelynek gyökei: 6 1 5 9 e) 1 f) 11 6 5 1 a) és - b) 7 és és -6 és -5 5 e) 0 és 7 6. A p paraméter mely értékeire lesz az 5 p 0 ; 7 p 0; p 7 0 egyenleteknek a) Két különböző valós gyöke? b) Egy valós gyöke? 0 valós gyöke? két pozitív valós gyöke?
e) két negatív valós gyöke? f) két különböző előjelű valós gyöke? 7. Milyen p értékekre lesz a következő egyenlet egyik gyöke -? a) p 0 b) p 7 0 p 10 0 7 p 0 8. Oldd meg az alábbi magasabb fokú egyenleteket! a) 5 0 6 b) 8 7 1 0 8 1 8 0 9. Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenleteket! a) 1 b) 7 5 7 8 g) az egyik gyöke 0? e) p 5 0 10. Oldd meg az alábbi egyenlőtenségeket a valós számok halmazán, a megoldást ábrázold számegyenesen! a) 5 6 0 b) 1 7 5 6 6 10 Geometria 1. Egy kör adott ívén nyugvó kerületi és középponti szög nagyságának összege. Számítsd ki a kerületi és a középponti szög nagyságát!. Egy kör adott ívén nyugvó kerületi és középponti szög nagyságának különbsége. Számítsd ki a kerületi és a középponti szög nagyságát!. Mekkora kerületi szög tartozik a kör azon ívéhez, amelynek hossza a kör kerületének %-a?. Egy háromszög a oldala a köré írható kör középpontjából -os szög alatt látszik. Mekkora az A csúcsnál lévő szög? (a oldal az A csúccsal szemben van) 5. Egy húrnégyszög két szöge 1 és nagyságú. Hogyan helyezkednek el ezek a szögek? Mekkorák a négyszög hiányzó szögei? 6. Egy háromszög oldalai: a= 1 cm, b= 1 cm, c=16 cm. Egy ehhez hasonló háromszög leghosszabb oldala 15 cm. Mekkora a hasonlóság aránya, mekkora a háromszög legrövidebb oldala? 7. Egy háromszög oldalai: a= 1 cm, b= 1 cm, c=16 cm. Egy ehhez hasonló háromszög leghosszabb oldala 15 cm. Mekkora a hasonlóság aránya, mekkora a háromszög legrövidebb oldala? 8. Egy háromszög oldalai: a= 1 cm, b= 1 cm, c=16 cm. Egy ehhez hasonló háromszög leghosszabb kerülete 8 cm. Mekkora a hasonlóság aránya, mekkora a háromszög legrövidebb oldala? 9. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága cm és 8 cm hosszú szakaszokra osztja az átfogót. Milyen hosszú az átfogóhoz tartozó magasság? 10. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága cm és 8 cm hosszú szakaszokra osztja az átfogót. Számítsd ki a háromszög egyik befogójának hosszát! 11. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, átfogója 10 cm. Milyen hosszú szakaszokra osztja az átfogót a magasság? 1. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága 6 cm, az átfogót a magasság két szakaszra osztja, amelyek közül az egyik cm hosszú. Milyen hosszú a másik szakasz?
1. Egy háromszög oldalai: a= 1 cm, b= 1 cm, c=16 cm. Az A csúcsból induló szögfelező milyen hosszú szakaszokra osztja az a oldalt? 1. Egy adott körhöz egy külső P pontból húzott szelőnek a körrel vett metszéspontjai P-től cm és 16 cm távolságra vannak. Milyen hosszú érintőszakasz húzható P-ből. 15. Egy adott körhöz egy külső P pontból 6 cm hosszú érintőszakasz húzható. Egy P pontból húzott szelő egyik metszéspontja a körrel cm távolságra van a P ponttól. Milyen hosszú húrt metsz ki a szelőből a kör? 16. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogóhoz tartozó magasság cm. Mekkorák a háromszög hiányzó oldalai, Milyen hosszú szakaszokra osztja az átfogót a magasság? 17. Egy trapéz oldalai: a=10 cm, b= 5 cm, c=6 cm, d= cm. Mekkorák a trapézt háromszöggé kiegészítő trapéz oldalai? 18. Egy kör sugara r=6 cm, középpontja az O pont, ettől 10 cm-re van a P pont (OP=10 cm). A P pontból a körhöz húzott szelő A és B pontokban metszi a kört. Tudjuk, hogy PB=10 cm. Milyen hosszú az AB húr? 19. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogója 1 cm. Mekkora a háromszög másik befogója, az átfogóhoz tartozó magassága és milyen hosszú szakaszokra osztja az átfogót a magasság? 0. Egy paralelogramma oldalai AB=15 cm és DA=10 cm. A P pont a BC oldalt : arányban osztja két részre. A DP egyenes E pontban metszi az AB egyenesét. Milyen hosszú a BE szakasz? Szögfüggvények 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! a. sin0 cos 5 ctg 5 b. sin 60tg 60 tg5 c. 6 cos 5 sin 5 6 cos 60 tg 5 d. sin 60 cos 5 e. sin 5 cos 60 ctg 5 f. sin 60 tg 0 ctg 5 g. 6 cos0 tg60 6 tg 5 cos 60 h. sin 5 cos0. A derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítása a) Egy derékszögű háromszög átfogója 0 cm-es és az egyik szöge 0 -os. Számítsd ki a befogók hosszát! b) Egy derékszögű háromszögben ismert a 18 cm-es befogó és a mellette lévő 18 -os szög. Határozd meg a másik befogó és az átfogó hosszát! Egy derékszögű háromszög két befogójának hossza 1 cm és 0 cm. Mekkorák a háromszög szögei? Egy derékszögű háromszög 17 cm-es befogójával szemközti szöget keressük, ha tudjuk, hogy az átfogója 5 cm hosszú. Szöveges feladatok a. Egy hegyi út emelkedése 1%. Mekkora az út emelkedési szöge a vízszinteshez képest? b. Egy lejtő a vízszintessel 15 -os szöget zár be, és 0 m magasra visz. Milyen hosszú a lejtő? c. Egy téglalap átlója 15 cm, az egyik oldallal 15 szöget zár be. Mekkorák az oldalai?. Egyenlőszárú háromszögek, téglalapok, rombuszok, parallelogrammák a. Egy téglalap rövidebb oldala 8, m, átlóinak hajlásszöge 8. Mekkorák az oldalai? b. Egy rombusz egyik átlója cm. Ez az átló az 50 -os szögek csúcsait köti össze. Milyen hosszú a másik átló és a rombusz oldala? 5. Térelemek hajlásszöge a. Egy téglatest alapélei 1 cm és 0 cm hosszúak, magassága 10 cm. Mekkora szöget zár be az alaplap a testátlóval? Mekkora szöget zár be a testátló az alapélekkel? 6. Tornyok, hegycsúcsok és egyéb magasan lévő tárgyak a. Egy nyárfától 5 m távolságra áll egy ember, akinek a szemmagassága 170 cm, így a nyárfát 8 -os szögben látja. Milyen magas a nyárfa?
b. Egy épülettől 8 m távolságra az épület egyik ablakának felső széle 19 0, alsó széle 16 0 emelkedési szög alatt látszik. Milyen magas az ablak? c. Egy domb tetején lévő kápolnához 00 m hosszú egyenes út vezet. Az út emelkedési szöge 18. Az út elejéről a kápolna 7 -os szög alatt látszik. Milyen magas a kápolna? 7. Területszámítás a. Egy háromszög két oldala 1 cm és 16 cm, a közbezárt szög 0. Mekkora a háromszög területe? b. Egy háromszög területe 0 cm, két oldala 8 cm és 1 cm hosszú. Mekkora a közbezárt szög? c. Egy háromszög a oldala 8 cm, γ=0, területe 8 cm. Mekkora a b oldala? 8. Számítsd ki az hegyesszög többi szögfüggvényét, ha a. sin=0, b. cos=0.5 c. tg= d. ctg=,5! Szögfüggvények 1. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! a. f sin 1 i cos 60 b. g cos 1 e. j sin c. h sin 1 d. f. k 1 cos 1 Statisztika, kombinatorika, gráfok 1. Az 1,1,1,1,,,,,,, számjegyekből hány 1-gyel kezdődő 10 jegyű szám készíthető?. Hány páros hatjegyű szám készíthető a 0,,,5,6.7 számjegyek felhasználásával, ha minden számjegy csak egyszer szerepelhet?. Két kockával dobunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a dobott pontok összege 8?. Egy repülőgépen magyar 18 német és 1 francia utas utazik, más nem. Az utasok közül egy személyt véletlenszerűek kiválasztva mi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott személy a) magyar b) nem német orosz nem angol 5. Egy fagylaltárusnál hétféle fagylalt van. Valaki szeretne egy négygombócos fagylaltot venni. Hányféleképpen teheti meg, ha a a négy gombóc különböző, és a sorrend is számít, mert tölcsérbe kapja b a négy gombóc lehet egyforma is, és tölcsérbe kapja c a négy gombóc különböző, és a sorrend nem számít, mert kehelybe kéri 6. Egy öttagú társaságban a házigazda mindenkit ismer, minden egyes vendége pedig pontosan két embert ismer. (Az ismeretségek kölcsönösek.) Szemléltesse rajzzal az ismeretségeket! 7. A fizika órai tanulókísérlet egy tömegmérési feladat volt. A mérést 19 tanuló végezte el. A mért tömegre gramm pontossággal a következő adatokat kapták: 7,, 7, 6, 5, 6, 7, 0, 8,, 7, 6, 5, 5, 8, 7, 6, 5, 7. a) Készítse el a mért adatok gyakorisági táblázatát! b) Mennyi a mérési adatok átlaga gramm pontossággal? Mekkora a kapott eredmények mediánja, módusza? Készítsen oszlopdiagramot a mérési eredményekről!