. feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható körének sugara cm. a) Határozza meg a rombusz területét!... (9 pont) b) Határozza meg a rombusz hegyesszögeinek nagyságát!...() pont. a) Határozza meg annak a valós számok halmazán értelmezett másodfokú függvénynek a hozzárendelési szabályát, amely az helyen a 0, a helyen a, a - helyen a -9 értéket veszi fel!... () b) Határozza meg a fenti függvény és - abszcisszájú pontjain áthaladó szelő egyenletét!...() 4 pont 4. Egy országban a telefonszámok ötjegyű pozitív egész számok. Azokat a telefonszámokat, melyek csupa különböző számjegyből állnak, nem adják ki, állami célra tartják fenn őket. a) Hány állami telefonszám lehetséges?...(5 pont) b) Hány olyan telefonszám lehetséges, amelyben a számjegyek szorzata páros?...() c) Hány olyan telefonszám lehetséges, amelyben pontosan egy számjegy fordul elő pontosan kétszer?... ( pont) 4 pont 8
. feladatsor II. rész 5. Egy cég olyan tömör, csonka kúp alakú kutyatálakat készít, melyeket fölülről egy olyan félgömbbel mélyítettek ki, melynek főköre egybeesik a csonka kúp fedőkörével. A fedőkör sugara cm. A kutyatál magassága cm. Az alkotók az alaplap síkjával 70 -os szöget zárnak be. a) Határozza meg a kutyatál elkészítéséhez szükséges anyag térfogatát és a kutyatál felszínét!... () b) Nagy kutyák számára ugyanez a cég kétszer ekkora térfogatú (a kicsihez hasonló) tálat is készít. Mekkora a csonka kúp fedőkörének sugara a nagy kutyáknak készült tál esetén?...() pont. Egy szabályos pénzérmét -szer feldobtunk. Adja meg az alábbi események valószínűségét! a) A: Több fejet dobtunk, mint írást... (4 pont) b) B: Legalább annyi írást dobtunk, mint fejet...() c) C: A dobott fej-írás sorozat tengelyesen szimmetrikus (palindrom), azaz az első dobás eredménye ugyanaz, mint az utolsóé, a második dobás eredménye ugyanaz, mint az utolsó előtti dobásé és így tovább, az 5. dobás eredménye ugyanaz, mint a. dobásé....() d) D: A dobott fejek és írások száma is prímszám... ( pont) pont 7. Tekintsük a következő, a valós számok lehető legbővebb részhalmazán értelmezett függvényt! x + 4x + f ( x) = x + x + a) Ábrázolja az f(x) függvényt!... ( pont) b) A p valós paraméter értékétől függően hány valós megoldása van a következő egyenletnek? x + 4x+ p x + x+ =...( pont) pont 9
. Feladatsor. Mivel a három kifejezés mértani sorozatot alkot, ( sin x) = cos x tg x, π x + mπ, m. sin sin sinx x = cos x pont cos x x = sinx sinx( sinx )= 0 sinx = 0 vagy sinx = pont A sinx = 0-hoz nem tartozik megoldás, mert ekkor mind a három tagnak 0-nak kellene lennie, és cos x 0. pont sin x =, azaz x π + k π, k, 5π vagy x = + lπ, l. a) Helyes ábra készítése az adatok feltüntetésével, melyről kiderül, hogy a beírható kör sugara az OBC háromszög magassága és/vagy a beírható kör átérője a rombusz magassága. D C δ O T A B 44
Az OTC derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tétel szerint CT = = 8 ( ) cm. Az OBC derékszögű háromszögből a magasságtétel szerint = TB 8, 8 9 TB = = ( ) a BT TC cm, = + = 5 ( cm),.. megoldás Az OBC derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tétel szerint OB =, 5, OB = 75, ( cm ). ( ) BD AC 5 0 T = = cm. A rombusz területe: 50. megoldás T rombusz = 4 T OBC cm. BC OT T = OBC T =, 5 OBC = 7, 5 ( cm ) A rombusz területe: 50 cm. 9 pont b) Az OTC derékszögű háromszögben: sin δ =. δ, 87. 45
A keresett szög: 7, 74.. a) A másodfokú függvény hozzárendelési szabályának általános alakja: f( x)= ax + bx + c ( a 0, a, bc, ). A feladat szövegéből adódóan: f ()= 0; f ( )= ; f ( ) = 9. Az,, - értékeket a függvény hozzárendelési szabályába beírva, és a kapott kifejezéseket az adott helyen felvett értékkel egyenlővé téve az egyenletrendszert kapjuk. a+ b+ c = 0 9a + b + c = 4a b + c = 9 Innen a =, b = 5, c = 7. 5 pont A keresett függvény hozzárendelési szabálya: f( x)= x + 5x 7. ( ) és B( 9) az AB. AB ( 5 5) b) Az A ; ; pontokon átmenő egyenes egy irányvektora ;. A szelő egyenlete: 5x+ 5y = 5. 4. a) Az első számjegy nem lehet nulla, így csak 9 lehetőség közül választhatunk. A második helyre ismét kilenc lehetőség közül választhatunk. (A 0 már lehet, de az első helyre beírt szám nem.) 4
A harmadik helyre 8-, a negyedik helyre 7-, az ötödik helyre -féleképpen választhatunk számot, mivel a számjegyek nem ismétlődhetnek. Mivel az egyes választások egymástól függetlenek (például bármit is választottunk a második helyre, minden választásunk esetén 8-8 lehetőségünk van a harmadik számjegy megválasztására), a lehetőségek számát össze kell szorozni. Az állami telefonszámok száma: 9 9 8 7 = 7. 5 pont b) Egész számok szorzata pontosan akkor páros, ha legalább az egyik tényező páros. (A komplementer-leszámlálás módszerét használva) az összes lehetőség számából vonjuk ki azoknak az eseteknek a számát, amikor a számok szorzata páratlan. A lehetőségek száma: 9 5 5 5 5 5. A megfelelő telefonszámok száma: 8 875. c) Ha a két ismétlődő számjegy a 0, akkor a 0-k négy helyen állhatnak, a 4 két helyet -féleképpen választhatjuk ki. A maradék három helyen három különböző számjegy áll 987 -féleképpen. Így pontosan két nulla 04 esetben van. Ha nem a 0 ismétlődik, akkor az ismétlődő számjegy egyike állhat az első helyen, vagy lehet, hogy egyik ismétlődő számjegy sem áll az első helyen. E mentén két esetet különítünk el.. eset Az egyik ismétlődő számjegy (amely nem 0) az első helyen áll. Ekkor a másodikat 4-féleképpen helyezhetjük el, és ez a számjegy 9-féle lehet, míg a többi rendre 9-, 8-, illetve 7-féle. A lehetőségek száma: 4 9 987 = 844. 47
. eset Egyik ismétlődő számjegy sem az első helyen áll. Ekkor ezek helyét 4 -féleképpen jelölhetjük ki. Ez a számjegy 9-féle lehet (0 nem), és az első helyen sem állhat 0, így ott 8-féle számjegy állhat, míg a többi helyi értéken rendre 8-, illetve 7-féle számjegy állhat. Az ilyen típusú telefonszámok száma: 9887 49 4 =. A lehetőségek száma: 04 + 8 44+ 49 = 45 0. pont 5. a) Ábra az adatok feltüntetésével: A O B a r = P 70 o D C F R E A kutyatál térfogatát a csonka kúp és a félgömb térfogatának különbsége adja. V 4r π = = 5π 9, ). félgömb (cm A csonka kúp térfogatának kiszámításához szükségünk van a csonka kúp alapkörének sugarára. Ez az ábrán látható ADC derékszögű háromszög segítségével kapható meg. m tg α =, R r tg 70 =, V ( ) R = R + 7 ( cm) tg 70,. pont R + Rr + r mπ 8504, 75. pont = cm csonka kúp 48
A kutyatál térfogata: V kutyatál = 8504, 75 9, = 4885, 4 (cm ). A kutyatál felszíne a csonka kúp fedőkör nélküli felszínének és a félgömb felszínének összege. m A csonka kúp alkotója: a = = sinα sin70 ( ) + =, 8 cm. pont ( ) A = R π + R+ r aπ r π 0, 5 cm. kutyatá l b) Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlósági arány abszolút értékének köbe. (Jelen esetben számolhatunk pozitív arányú hasonlósággal.) V Így = = r τ, ahol τ a hasonlósági arány. Így = V r kutyatál fedőkörének sugara., ahol r a nagy A nagy kutyatál fedőkörének sugara: r = r = 5, 9 (cm).. a) Mivel az egyes dobások kimenetele egymástól független, és minden egyes dobásnak két lehetséges kimenetele van, ezért az összes esetek száma.. megoldás Mivel annak a valószínűsége, hogy fejből többet dobunk, mint írásból, ugyanannyi, mint hogy írásból dobunk többet, mint fejből, ezért elég annak valószínűségét meghatároznunk, hogy a dobott fejek és írások száma egyenlő. Ez azt jelenti, hogy 5 fejet és 5 írást dobunk, ez pedig! = 5 5! 5! = -féleképpen 5 0! = 5 5! = -féleképpen lehetséges. Annak valószínűsége, hogy a dobott fejek 5 5 és írások száma egyenlő: p = 04,. Így a keresett valószínűség: p 8 = 077,. 49
. megoldás A dobott fejek száma lehet, 9, 8, 7 vagy. Ezek rendre,, 9 8 7,, -féleképpen lehetségesek, hiszen ki kell választanunk a dobás közül melyik lesz az a, 9, stb. számú, amelyik fej lesz. (Más! megközelítéssel a kedvező dobássorozatok száma rendre,! 0!,! 9!!,! 8!!,! 7!!,!! 4!, mert ennyiféle módon lehet sorba rendezni F és 0 I, illetve 9 F és I stb. jelet.) A kedvező esetek száma: + 8 + 9 + 8 + 7 =. 8 A keresett valószínűség: p = 077,. 4 pont b) Ha az írások száma legalább annyi, mint a fejeké, akkor az lehet 5,, 7, 8, 9 vagy.! Így az a) részben kapott kedvező esetek kiegészülnek a, azaz a 5 5! 5! számú 5 fej, 5 írás dobásához tartozó kedvező esetekkel. A kedvező esetek száma: + + 9 + 8 + 7 + = 8. 5 Ez a pont akkor is jár, ha a vizsgázó az a) részt nem oldotta meg, de itt megadja a kedvező esetek számát. 8 A keresett valószínűség: p = 0,. c) Az első 5 dobás eredménye bármi lehet, ezek viszont egyértelműen meghatározzák azt, hogy a következő öt dobás eredményének minek kell lennie. Ezért a kedvező esetek száma: 5. 50
A keresett valószínűség: 5 = = 00, 5. 5 d) A -et kell két prímszám összegeként előállítani. Ez így lehetséges: + 7, 5+ 5 Dobhatunk fejet és 7 írást, vagy fordítva, illetve 5 fejet és 5 írást. pont A kedvező esetek száma: + 49 7 =. 5 pont A keresett valószínűség: 49 0480 pont 7. a) A számlálóban és a nevezőben található másodfokú kifejezéseket szorzattá alakítva: f ( x)= x + x x +, x ;. ( x + ) ( x + ) x pont ( )( + ) = + A hozzárendelési szabály egy lineáris törtfüggvény hozzárendelési szabálya, ami átalakítható így: f ( x x )= + x + = + x +. A függvény grafikonja: y y = x = 7 5 4 x f( x) = x + 4x + + x + pont 8 7 5 4 0 4 5 4 5 7 8 x pont 5
( x+ ) ( x+ ) x b) p = ( x+ )( x+ ) = + x+ x+ Ezt átrendezve: x =, p ( p = esetén nincs megoldás). p Az eredeti függvény nem veszi fel a értéket, így p = esetén sincs megoldás. Összefoglalva: ha p és p, akkor pontosan egy megoldás van: x =, ha p =, vagy, akkor nincs valós megoldás. p pont pont pont 8. a) A 05-ös árbevétel: 8, 58,, 095,, = 9409 59, 94 000 Ft. b) A 00-os árbevétel: 8 = 849 447, 8 849 000 Ft. 09509,,,, 4 pont 4 pont c) A nettó árbevétel-változás 00 és 05 között: 9409 59, 849 447, 8= 0, Ft. Ez 9 év alatt következett be, így az átlagos változás: 0, = 7 79, Ft. 9 pont d) A 0-es évhez képest az egyes évek nettó árbevétele a következő: 0:, ( = % ) 0: 5,, = 8, 5 ( = 8, 5%) 0:, 0, 05, 08=, 80 ( =, 80% ) 04: 5,, 8095,, = 9, ( =, 9% ) 05: 5,, 8095,,, = 7, ( =, 7% ) A 0-es kivételével -. Ha valahol rosszul számol, ott nem kap pontot, de a további helyesen számolt adatokra jár pont. 4 pont 5