A FÉMES KÖTÉS ÉRTELMEZÉSE A SZABADELEKTRON MODELL ALAPJÁN

A FÉMES KÖTÉS ÉRTELMEZÉSE A SZABADELEKTRON MODELL ALAPJÁN

Energia (W) és erőhatás (F) az anyagi rácsban Rácstípusok: ionrács, atomrács, molekularács. A részecskék azokat a helyeket foglalják el a rácsban, ahol az erők eredője zérus. Ahol az erők eredője zérus, ott az energiának lokális minimuma van.

1. Fémes kötés: Fémek kristályrács rácspontjaiban fémionok vannak közöttük szabaddá vált elektronok mozognak 2. A fémes kötés részletei a nátrium példáján: a) Nátriumgőz esete: Egymástól távol lévő nátrium atomokból áll Kötött elektron állapot Minden elektron kötött állapotban van az adott atomja közelében

Fémek b. Fémes nátrium esete: Szabad elektronállapot Kötött elektron állapot A 3s (1) elektron már nincs az atomhoz kötve. Szabadon elmozdulhat a kristályban. Szabadelektron modell A szabad elektronok termikus mozgást végeznek, mint a gázok részecskéi. Elektrongáz

A VEZETŐKÉPESSÉG ÉRTELMEZÉSE A SZABADELEKTRON MODELL ALAPJÁN

Definiáljuk a fajlagos ellenállást (ρ): Az egységnyi áramsűrűséget létrehozó elektromos térerősség nagysága vagy számártéke, azaz: ρ = E J Tudjuk, hogy a fajlagos vezetőképesség (γ) a fajlagos ellenállás reciproka. Tehát: Levezethető: γ = 1 ρ = J E γ 1 T A fajlagos vezetőképesség az abszolút hőmérséklet négyzetgyökével fordítottan arányos ebben a modellben. Azonban, ma már tudjuk, hogy a fajlagos ellenállás az abszolút hőmérséklet lineáris függvénye, a vezetőképesség pedig ezzel fordítottan arányos.

VEZETŐKÉPESSÉG ÉRTELMEZÉSE A HULLÁMMODELL ALAPJÁN

A hullámmodell szerint a fémes kristályrácsban szabadon mozgó elektronok hullámként reprezentálhatók. A fémekben az elektron hullámok a rácsrezgések által okozott sűrűségingadozások miatt, továbbá az esetleges szennyeződések miatt szóródnak a sűrűség-fuktuációkon vagy a szennyeződéseken. Sommerfeld-elméletéből megmutatható, hogy γ 1 T.

Szilárdtestek sávelmélete Sávelmélet a szabadelektron-modell alapján

A Fermi Dirac statisztika alapjai Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra érvényes klasszikus statisztika esetén is) Elektronok gázatomok Enrico Fermi (1901-1954) 1920-ban Rómában dolgozta ki a statisztikai modelljét Fermionokra érvényes (elektronok is ilyenek) Fermionok = feles spinű részecskék A Fermi Dirac statisztika feltétel-rendszere: Részecskék megkülönböztethetetlenek Érvényesek Bohr posztulátumai, azaz a fermionok energiája csak kvantált értékeket vehet fel Érvényes a Pauli-elv, azaz egy atomon vagy molekulán belül legfeljebb két részecske (elektron) lehet ugyanolyan energiájú állapotban Érvényesek a Heisenberg-féle határozatlansági relációk, azaz a fáziscella vagy impulzuscella nem lehet tetszőlegesen kicsi Értelmezés (fáziscella): A p x térfogatot, ill. szorzatot fáziscellának nevezzük.

Szilárdtestek sávelmélete A Fermi Dirac statisztikai modell alapján Sommerfeld (1928-ban), majd később teljes matematikai egzaktsággal Bloch (1930-ban) fejlesztette ki. Bloch Sommerfeld-elmélet alapján jött létre a szabadelektron modellre alapozott sávelmélet vagy a sávmodell.

(energia) Szilárdtestek sávelmélete a Na példáján 1. Egyetlen db. Na atom esete 11 elektronja van Elektron konfigurációja (Bohr posztulátumai és a Pauli-féle tilalmi elv alapján): első (K) héjon 2, a második (L) héjon 8, a harmadik (M) héjon 1 elektron van Elektron konfiguráció ábrázolva: Pauli-féle tilalmi elv egy adott nívón maximum 2 db elektron lehet (s = 1 2 vagy s = 1 2 spinkvantumszámú elektronok lehetnek 1 héjon) M héj, a rajta lévő maradék 1 elektronnal elektronok L héj, a lehetséges 4 alhéjjal, minden alhéjon 2 2 elektronnal. Max. Lehetséges 8 elektron Egy atomi nívó. K héj, rajta 2 db. elektronnal

Szilárdtestek sávelmélete a Na példáján 2. Több Na esete, mint Na kristály: Ha több egyedülálló Na-atomból építünk fel egy kristályt, mint szilárdtestet, akkor az egymás közelébe jutó atomok már befolyásolják egymást kölcsönhatnak egymással A kölcsonhatást az atomi nívók is megérzik. A nívók is hatnak egymásra. A kölcsönhatás eredményeképpen az atomi nívók felhasadnak (kimutatható, hogy a nívó annyi nívóra hasad fel, ahány atom van egymással kölcsönhatásban) A szilárdtest energianívóit tehát az egyes atomok energianívóinak az összessége adja meg: 2 nívóra hasadt M héj Pl.: 2 db Na esetén: 8 nívóra hasadt L héj 2 nívóra hasadt K héj

Szilárdtestek sávelmélete a Na példáján 3. Nagyszámú atomból álló rendszer esetén: Legalább 10 9 atom együttese esetén a felhasadt nívók sávokká szélesednek ki, ezért ebben az esetben energiasávokról, vagy röviden sávokról beszélünk. Mivel nagyon sok atom van egy kristályban, ezért a sávon belüli nívók összefolynak. A sávmodellben az elektronok csak olyan energiával rendelkezhetnek, amelyek a megengedett sávokba esnek. A megengedett sávokat tilos sávok vagy tilos zónák választják el egymástól. A tilos sávoknak megfelelő energiaállapotokban elektronok nem lehetnek. Tilos sávok

Szilárdtestek sávelmélete a Na példáján 3. Nagyszámú atomból álló rendszer esetén folytatás: 2.) A magasabb energiaértékek felé haladva a sávok kiszélesednek, mert a szomszédos atommagok hatása is befolyásolja ezeket az elektronokat: széthúzza a sávokat, kiszélesedés jön létre ATOMMAG 1.) Az atommaghoz közel eső elektronokat a mag jobban vonzza, erősebben köti, mint a külső elektronokat. A belső elektronok gyakorlatilag nem játszanak szerepet az atom energiájának a változásában. Alsó sávokhoz kisebb energiaértékek tartoznak és az energianívók teljesen betöltöttek elektronokkal.

Szilárdtestek sávelmélete a Na példáján 3. Nagyszámú atomból álló rendszer esetén folytatás: 4.) Értelmezés (vezetési sáv): A legfelső teljesen betöltött energiasáv felett lévő, részben betöltött, vagy teljesen üres sávot vezetési, vagy kondukciós sávnak (V) nevezzük. A vezetési sávot az alapsávtól egy tilos zóna (T) választja el. ATOMMAG 3.) Értelmezés (alapsáv): A legfelső teljesen betöltött energiasávot alapsávnak (A) nevezzük. Valenciasávnak, vagy vegyértékkötési sávnak is nevezik ezeket.

A vezetők fogalma A szilárdtestek elektromos tulajdonságait a legfelső sávok egymáshoz viszonyított helyzete szabja meg. E sávok helyzetének megfelelően a szilárdtestek lehetnek vezetők, szigetelők és félvezetők. 1. Ha a vezető páratlan vegyértékű fém: Minden atomja a fémben pozitív ionra és páratlan számú vegyérték-elektronra bomlik. Mivel a valencia-elektronok energianívónként párosával helyezkednek el, ezért a vezetési sávot elektronok csak részben töltik ki. Megengedett, de elektronokkal be nem töltött sáv. Elektronokkal betöltött sáv vagy sávrész a vezetési sávban. A vezetési sávban lévő elektronok az elektromos térből energiát vehetnek fel, és így az alacsonyabb nívóról a magasabbra mehetnek át. Az egyensúlyi állapot ilyen megbomlása elektromos áramként jelentkezik.

A vezetők fogalma 2. Ha a vezető páros vegyértékű (általában 2 vegyértékű) fém: Mindegyik atom pozitív ionra és páros számú elektronra bomlik fel Az elektronok párosával helyezkednek el az energianívókon és éppen betöltik az alapsávot. E fémek vezetési sávja teljesen üres és részben belenyúlik az alapsávba, vagyis az (A) és (V) sávok között nincsen tilos sáv. Az elektronok az elektromos térből könnyen vehetnek fel energiát és így nyílik mód az áramvezetésre.

3. Ha a teljesen betöltött alapsáv és a teljesen üres vezetési sáv között a tilos sáv szélessége nagy, azaz 2 10 ev energiaszélességű akkor a szilárdtest szigetelőként viselkedik. Az elektromos áramot nem vezeti A szigetelők fogalma Az alapsávban lévő elektronok az elektromos térből nem tudnak olyan nagy energiát felvenni, hogy átugorják a tilos sávot és a vezetési sávba jussanak. Ezt a nagy energiát az elektronok termikus úton sem képesek felvenni. A kristály előbb olvad meg mintsem hogy szilárd állapotban vezetővé váljon. Nagyon széles tilos sáv

A félvezetők fogalma 4. Ha a teljesen betöltött alapsáv és a teljesen üres vezetési sáv között a tilos sáv szélessége csak néhány tized ev, akkor alacsony hőmérsékleten a kristály szigetelő, de a hőmérséklet növelésével növekvő elektromos vezetőképességet mutat. Termikus gerjesztés hatására az alapsávban lévő elektronok az igen keskeny tilos sávon átugorva a vezetési sávba juthatnak illetve jutnak. Mivel a vezetési sávba átlépett elektronok száma kicsiny és erősen függ a hőmérséklettől, ezért a vezetési áram erőssége is kicsi és hőmérsékletfüggő lesz. Az ilyen tulajdonságú félvezetőket saját félvezetőknek nevezzük. Nagyon keskeny tilos sáv

Szilárdtestek sávelmélete Sávelmélet a hullámmodell alapján

Sávelmélet a hullámmodellel A kvantummechanika szerint az elektronok a fémben hullámként is reprezentálhatók. A vezetésben lévő elektronokat haladó hullámokként foghatjuk fel. A vezetésben részt vevő elektronok a fémrács belsejében a rácssíkokról visszaverődhetnek.

Interferencia következtében maximális erősítés van, ha: d sinα = n λ 2 Átszorozva 2-vel: 2d sinα = n λ Ha α = 90, akkor az interferencia feltétele: 2d = n λ, λ = 2d, n = 1, 2, 3, n Ekkor az interferencia jelentése: állóhullám létrejötte. Az állóhullámok létrejötte a vezetésben résztvevő elektronok számára tiltott azért, mert az állóhullám nem haladó hullám, márpedig a vezetési elektronokat haladó hullámokkal azonosítjuk. Tehát a tiltott hullámhosszak: λ t = 2d, n = 1, 2, 3, n Írjuk fel a de Broglie egyenletet ezekre a tiltott hullámhosszakra: A szabad elektronok kinetikus energiája: Tiltott impulzusok: p t = h λ t = nh 2d W kin = 1 2 mv2 = p2, mert p = mv 2m Ha most a kinetikus energiát a tiltott impulzusokkal írjuk fel: Tiltott energia: W kin tiltott = p t 2 = n2 h 2 = n2 h 2 2m 4d 2 2m 8md 2 A tiltott energiákból tiltott sávok vagy tilos sávok jönnek létre.

W kin = p2 2m Egy parabola egyenlete: Szabad sáv Tilos sáv Szabad sáv Tilos sáv Szabad sáv A vezetésben részt vevő elektronok (valenciaelektronok) nem rendelkezhetnek olyan ún. tilos energiákkal, amelyek a tilos energiasávokba esnek. Azaz tilos energiasávokban elektronok nem lehetnek.

A kristályok tulajdonságait a megengedett energiasávok betöltöttsége és a tilos sávok szélessége és ezek egymáshoz való viszonyultsága határozza meg. Vezetők, szigetelők és félvezetők definiálhatók az elektromos vezetés szempontjából a tilos sávok és a megengedett valencia- és vezetési sávok egymáshoz viszonyított elhelyezkedése alapján, mint a szabadelektron modellnél láttuk... a kétféle modell ugyanoda vezet

Fermi Dirac statisztika elemei

A Fermi Dirac statisztika lényege az energiaeloszlási függvény vizsgálata: Kérdés: Hány valenciaelektron tartózkodik egységnyi térfogatban, T hőmérsékleten, W energiaállapotban, egy dw széles energiaintervallumon belül? A kérdés megválaszolásához vezessük be először a Fermi-függvényt: Értelmezés (Fermi-függvény): Azt a függvényt, amely megadja, hogy milyen mértékben van betöltve egy adott W energiaszint elektronokkal Fermi-függvénynek nevezzük. A Fermi-függvény matematikai alakja a következő: 1 P W = e W W F kt ahol: W F : a később definiálásra kerülő Fermi-energia k: a Boltzmann-állandó W: az adott energiaszint T: az abszolút hőmérséklet + 1

P W = 1 e W W F kt + 1 Elemezzük ezt a függvényt: Ha T = 0 K, és W < W F, akkor P W = 1. Ha W > W F, akkor P W = 0. Ha T > 0 K, és W = W F, akkor P W = 1. 2 Ezek alapján a függvény ábrázolható: Értelmezés (Fermi-energia, W F0 ): Abszolút nulla fokon a vezetésben résztvevő elektronok számára a legmagasabb betöltött energiaszint, míg magasabb hőmérsékleten a félig betöltött energiaszint a Fermi-energia. Megjegyzés: Fémek esetében a Fermi-energia megegyezik a kémiai potenciállal, ami az egy részecskére jutó szabad entalpia értelmezése alapján éppen a rendszer részecskeszámának eggyel történő növeléséhez szükséges energiával egyenlő.

A kilépési munka

negatív pozitív Az atommag körül keringő elektron potenciális energiája negatív, illetve végtelen nagy sugarú elektronpálya esetén zérus. A fémen belül a szabad elektronok W 0 potenciális energiája negatív, és a fém felülete felé haladva növekszik, majd a fémen kívül pedig nulla értéket vesz fel. Értelmezés (Fermi-nívó): A W F Fermi-energiával rendelkező elektronoknak megfelelő energianívót Fermi-nívónak nevezzük.

Mivel a Fermi szinten maximális kinetikus energiájú elektronok vannak, ezért a Fermi-nívó alatti, mélyebb energiaszinteket az elektronok teljesen betöltik. A Fermi-nívó feletti energiaszintek pedig 0 K hőmérsékleten teljesen üresek: Értelmezés (Kilépési munka): Azt a W k energiát, amelyet a Fermi nívón lévő elektronnal közölni kell ahhoz, hogy az elektron a fémből kijusson, kilépési munkának nevezzük. Nagysága a W 0 potenciális energia abszolút értékének és a W F Fermi-energiának a különbsége. Azaz: W k = W 0 W F

Kontakt- vagy érintkezési feszültségek

A jelenség: Két különböző A felület mentén összeérintett 1. és 2. fém A és B pontjai között U k nagyságú ún. kontakt- vagy érintkezési feszültség lép fel. A kvalitatív kimutatás történhet pl. így: szétválasztás Az elektrométer feszültséget jelez. szétválasztás

Értelmezés (Volta-feszültség): A két különböző minőségű fém érintkezési felületéhez közeli külső pontok között fellépő feszültséget Volta-feszültségnek nevezzük. Értelmezés (Galvani-feszültség): Az érintkező fémek belsejében, a határfelülethez közeli belső pontok között fellépő feszültséget Galvani-feszültségnek nevezzük. Volta-feszültség Galvani-feszültség

Magyarázat a fémek sávelmélete alapján egyszerű: Összeérintés előtt a különböző így különböző kilépési munkájú fémek Fermi-nívói nem esnek egybe. Összeérintés után a magasabb Fermi-nívójú és kisebb kilépési munkájú 1. fémből elektronok mennek át a 2. fémbe. A negatív elektronok átlépésével az 1. fémben az eredeti semleges állapothoz képest elektron hiány (látszólagos pozitív többlet) keletkezik, ezért annak potenciálja pozitívabbá válik és az energiaszintjei köztük a Fermi-nívója is lesüllyednek. Eközben a 2. fém elektronokat kap, benne elektron többlet keletkezik, potenciálja negatívabbá válik, és a Fermi-szintje pedig megemelkedik. Az elektronátlépés addig tart, amíg a két fém között kialakuló elektromos kettősréteg U k = φ 1 φ 2 kontaktfeszültséggel jellemezhető elektromos tere a további elektronmozgást meg nem akadályozza.

Termoelektromos jelenségek Seebeck-effektus Peltier-effektus

Seebeck-effektus Az effektus felfedezője Thomas Johann Seebeck (1770-1831) tette közzé 1821- ben. Értelmezés (Seebeck-effektus ): Ha két különböző 1. és 2. fémből álló vezetőkör A és B érintkezési pontjai között hőmérsékletkülönbséget hozunk létre, akkor a körbe iktatott galvanométer áramot jelez, vagyis a vezetőkörben az A és B érintkezési pontok hőmérsékletkülönbsége hatására elektromos áram folyik. A keletkezett áramot termoáramnak, a két fémből álló zárt kört pedig termoelemnek vagy hőelemnek nevezzük. Ez a jelenség a Seebeck-effektus. A jelenség magyarázata a kontaktfeszültség hőmérséklet-függésével adható meg.

Seebeck-effektus magyarázata Legyen pl. t A > t B és W k1 < W k2. Ekkor az A ponthoz tartozó felületen a kisebb kilépési munkájú 1. fémből elektronok mennek át a 2. fémbe. Az A helyhez tartozó elektromos kettősréteg U ka kontaktfeszültsége nagyobb lesz, mint a hidegebb B helyhez tartozó U kb kontaktfeszültség. Mivel az A és a B helyekhez tartozó kontaktfeszültségek ellentétes irányúak, ezért megjelenik az U t = U ka U kb ún. termofeszültség. Ez a termofeszültség tartja fenn az R ellenállású körben az erősségű termoáramot. Itt: I t = U t = U ka U kb R R U t = α (t A t B ) Ahol α = V a Seebeck-együttható, t A és t B a kontaktpontok hőmérsékletei - ban.

Seebeck-effektus alkalmazásai 1. Termomágnes: 2. Termoelem: 3. Termokereszt:

Peltier-effektus A jelenséget Jean Charles Athanase Peltier (1785-1845) fedezte fel. Értelmezés (Peltier-effektus): Ha két különböző fém egymással érintkezik, és az érintési- vagy forrasztási ponton I erősségű egyenáram folyik át, akkor a Joule-hőn kívül az I áram irányától függően az érintkezési- vagy forrasztási pont felmelegszik, vagy lehül. A mérések szerint az érintkezési helyen τ idő alatt fellépő Peltier-hő: ahol a π = J As Kimutatható, hogy: Q = π I τ = V a Peltier-együttható. π = α t A Seebeck-effektus fordítottja!! Ahol α a Seebeck-együttható, t pedig a hőmérséklet -ban.

Peltier-effektus magyarázata A Peltier-effektus a kontaktfeszültséggel magyarázható: Álljon pl. a vezetőrendszer 1.-2.-1. fémekből, az ábra szerint. A fémek kontaktpotenciáljai legyenek φ 1, φ 2, φ 1, továbbá legyen φ 2 > φ 1. Ekkor az elektronok a B forrasztási helyhez tartozó U k kontaktfeszültségű elektromos térben felgyorsulnak és energiájuk megnő. Az így nyert energia többlet a fémrács ionjaival való ütközések révén a B hely felmelegedésében nyílvánul meg. Az A helyhez tartozó U k kontaktfeszültségű ellentérben viszont az elektronok lelassulnak, energiájuk kisebb lesz, és ennek következtében az A érintkezési hely lehül. A Peltier-effektus haszna óriási! A jelenséget hűtésre lehet felhasználni, pl. érzékeny elektronikák (CCD kamerák) chipjeinek hűtésére.