XII. előadás
Többszempontú döntések elmélete MAUT (Multi Attribute Utility Theory ) A többszempontú döntési feladatok megoldásának lépései: A döntési feladat felépítése: a) a cél megfogalmazása, b) az alternatívák kiválasztása, c) a szempontok meghatározása. A döntési feladat megoldása: a) minden alternatíva kiértékelése minden szempont szerint (döntési táblázat megadása), b) a szempontok súlyainak meghatározása, adatok számszerüsítése ( ha szükséges) c) az értékelések a választott módszerrel, a legjobb alternatíva(ák) kiválasztása.
Egyszerű döntési elvek: POLANO módszer (preferenciaazonos csoportokba sorolás) Dominancia vizsgálat (dominált és efficiens alternatívák domináltak elhagyása) MaxMin szabály (pesszimista döntéshozó az alternatívák leggyengébb értékei közül a legnagyobb értékkel rendelkező alternatívát választja) MaxMax szabály (optimista döntéshozó az alternatívák legjobb értékei közül a legnagyobb értékkel rendelkező alternatívát választja)
Egyszerű döntési elvek: Szűrési módszerek (I.,II.,III.) (Az alternatívákat két csoportra osztjuk: jó és rossz alternatívákra.) I. Konjunktív modell (Minden értékelési szemponthoz megadunk egy minimum feltételt, majd azokat az alternatívákat fogadjuk el jónak, amelyek minden szempont szerint teljesítik ezeket.) II. Diszjunktív modell (minden értékelési szemponthoz megadunk elegendő feltételeket, majd azokat az alternatívákat fogadjuk el jónak, amelyek legalább egy szempont esetén teljesítik az elégséges feltételt. )
Egyszerű döntési elvek: Szűrési módszerek (I.,II.,III.) III. szabály (Minden értékelési szemponthoz megadunk egy feltételt, majd összeszámoljuk, hogy az egyes alternatívák hány szempont esetén felelnek meg az alternatívákat osztályokba soroljuk.) Lexikografikus rendezés (értékelési szempontok fontosság szerint súlyozása, legfontosabbnak tartott értékelési szempont szerint sorba rendezzük az alternatívákat ha e szerint két vagy több alternatíva ugyanazt az értékelést kapta, akkor a fontossági sorrendben következő értékelési szempont szerinti folytatjuk a sorberendezést, és így tovább, míg az egyértelmű sorrend ki nem alakul.)
Eddig ismertetett módszerek közös jellemzői: Előny: Egyszerűek, könnyen kezelhetők, számítástechnikai héttér nem szükséges. Hátrány: Nem alkalmasak annak feltárására, hogy a döntés mennyire érzékenyek az egyes szempontok vagy értékelések változására. Általában nincsenek az alternatívák rangsorolva.
AHP eljárás Analytic Hierarchy Process A döntési feladatok megoldásának első lépése a döntési feladat felépítése: a cél megfogalmazása, az alternatívák kiválasztása, a szempontok meghatározása. Az AHP-ben az áttekinthetőség kedvéért a probléma egy többszintű fastruktúrában van ábrázolva. Legfelső szinten a cél, alatta levő szinteken a szempontok, majd a legalsó szinten az alternatívák helyezkednek el. Legalacsonyabb szinteken elhelyezkedő szempontok a levélszempontok.
Cél Szempontok Alszempontok Alternatívák AHP elvre épülő szoftver: Expert Choice (EC) (szakértői választás)
AHP eljárás Az AHP döntési modellekben a cél mindig az adott alternatívák rangsorának meghatározása. Értékelési szempontok fastruktúrába vannak rendezve szempontok közötti összefüggéseket is figyelembe lehet venni. A döntési feladat megoldásának lépései az AHP modellekben: -a szempontok súlyainak meghatározása, -az alternatívák kiértékelése a megadott szempontok szerint, -a súlyozás és az értékelés összegzése.
Páros összehasonlítás Az AHP eljárások egyik alapeszköze: alkalmas: szempontok súlyozására és az alternatívák egyes szempontok szerinti értékelésére egyaránt. A páros összehasonlítás eszköze: a páros összehasonlítás mátrix, melynek a sajátvektora segítségével értékelünk. Páros összehasonlítás mátrix: Jelölje A a páros összehasonlítás mátrixot, melynek legyen n sora és n oszlopa. Elemei legyenek a p R n (p i tetszőleges pozitív valós szám) vektor elemeiből képzettek i,j-dik elem legyen p i /p j.
Páros összehasonlítás mátrix: A 1 A 2... A n A 1 p 1 /p 1 p 1 /p 2... p 1 /p n A 2 p 2 /p 1 p 2 /p 2... p 2 /p n..................... A n p n /p 1 p n /p 2... p n /p n Alternatívák fontossága: meghatározzuk a legnagyobb sajátértékhez tartozó sajátvektort a komponensek adják a súlyokat. Be lehet látni: a páros összehasonlítás mátrixokra érvényes, hogy Ap=np.
Mért értékek esetén a páros összehasonlítás mátrix és a sajátvektor is természetesen adódik. Pl.: A 1 5 A 2 1 A 3 10 A 4 2 A 5 15 Összpontszám megoszlása: A 1 5/33=0.15 A 2 1/33=0.03 A 3 10/33=0.30 A 4 2/33=0.06 A 5 15/33=0.46 Páros összehasonlítás mátrix: i,j-dik elem legyen p i /p j. A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 1 1 5 1/2 5/2 1/3 A 2 1/5 1 1/10 1/2 1/15 A 3 2 10 1 5 2/3 A 4 2/5 2 1/5 1 2/15 A 5 3 15 3/2 15/2 1 A saját vektor:{0.15,0.03,0.3,0.06,0.46}
Páros összehasonlítás Sajátvektor módszer (EM-Eigenvalue Method) (Saaty 1980): Lényeg: A döntéshozó a döntési feladat szempont súlyainak meghatározására és az alternatívák minden egyes levélszempont szerinti kiértékelésére megadja a páros összehasonlítás mátrixokat. A páros összehasonlítás intervallum-skálája az AHP módszertanban a következő (p i /p j értékek megadása): 1 egyformán fontos/előnyös 3 mérsékelten fontosabb/előnyösebb 5 sokkal fontosabb/előnyösebb 7 nagyon sokkal fontosabb/előnyösebb 9 rendkívüli mértékben fontosabb/előnyösebb (ha kell fel lehet használni a 2,4,6,8 közbülső értékeket is)
Az összehasonlító mátrixokból a szempontok fontosságát, ill. az alternatívák egyes levélszempontokra vonatkoztatott prioritását a páros összehasonlítás mátrixok legnagyobb sajátértékéhez tartozó sajátvektorok komponensei adják. A módszer hasznossága: a gyakorlatban általában nem a p i, hanem a p i /p j értékek ismertek. Általában döntéshozó azt mérlegeli, hogy bármely két szempont, vagy alternatíva esetén az egyik hányszor fontosabb vagy kevésbé fontos, mint pl. a másik. Pl. A i sokkal előnyösebb A j -nél, akkor a skála szerint p i /p j =5. ( A páros összehasonlítás mátrixok segítségével más módszerrel is meghatározhatók a prioritások: pl. távolság minimalizáló módszerek.)
Disztributív AHP modell 1. A szempontok súlyainak meghatározása: A szempontok súlyait vagy közvetlenül adjuk meg, vagy sajátvektor módszerrel határozzuk meg. Ez utóbbi esetben megadjuk az azonos szinteken levő szempontok egymáshoz viszonyított fontosságát tartalmazó páros összehasonlítás mátrixokat ezek legnagyobb sajátértékeihez tartozó sajátvektorai adják az azonos szinteken levő szempontok súlyait. Ezen súlyok összege minden szinten 1.
Disztributív AHP modell 2. Az alternatívák értékelése az egyes szempontok szerint: Az alternatívákat csak a levélszempontok szerint értékeljük a többi szempontnál a levélszempontokra adott pontszámokból és a súlyokból számítható ki a pontérték. Az alternatívákat minden levélszemponton a sajátvektor módszerrel értékeljük (az adott szempont szerint az egyik alternatíva hányszor olyan jó, mint a másik). Az alternatívák pontszámainak összege ebben az esetben is egyenlő 1-gyel a levélszempontokon a pontszámok csak azt jelzik, hogy az adott szempont szerint melyik alternatívát mennyire tartjuk fontosnak.
Disztributív AHP modell 3. Az értékelések és a súlyozás összegzése döntési tábla esetén: Tekintsünk n alternatívát és m szempontot. ( Alternatívák: A 1,A 2,,A n, szempontok: C 1,C 2,,C m.) Tegyük fel, hogy ismert az alternatívák értékelése az egyes szempontok szerint, és a szempontok súlyozása is. Jelölje a i,j >0 i=1,2, m, j=1,2,,n a j-edik alternatíva i-edik szempont szerinti értékét, w i >0 i=1,2, m az i-edik szempont súlyát, x j >0 j=1,2,,n a keresett végső rangsort adó értéket.
Disztributív AHP modell x 1 x n A 1 A n w 1 C 1 a 11 a 1n........ Adjuk meg az x vektort (az alternatívák sorbarendezését) úgy, hogy jól illeszkedjen a táblázat soraihoz. w m C m a m1 a mn
Disztributív AHP modell Az x vektor számítása: x D j = w i /w*(a ij / a ik ) j=1,2,,n, ahol w= w i. A képlet: (szempont súlya * alternatíva pontszáma)/ (az adott szempont szerinti értékelések összege). Lényegében az 1értéke van szétosztva a levélszempontok és az alternatívák között a fontosságuknak megfelelően. Javasolt feladatok: pl. erőforrás szétosztása. x 1 x n A 1 A n w 1 C 1 a 11 a 1n........ w m C m a m1 a mn
Az x vektor számítása: ahol w= w i. Ideális AHP modell x j I = w i /w*(a ij /max a ik ) j=1,2,,n, A képlet: (szempont súlya * alternatíva pontszáma)/ (az adott szempont szerinti max pontszámú alternatíva pontszáma). Ez a módszer akkor hasznos, ha a cél a legjobb alternatíva kiválasztása, és a sejthetően legjobb alternatívák pontszáma több szempont szerint közel azonos. (Létezik még a minősítő AHP modell is.)
Fontos kérdések: 1. Súlyok és értékelések aggregálása oly módon, hogy kizárjuk a rangsorfordulást. Rangsorfordulás: az a jelenség, amikor megváltozik a korábban figyelembe vett alternatívák rangsora, ha új alternatívával, vagy alterrnatívákkal bővül,vagy szűkül a döntési feladat. 2. Alternatívák érzékenységi vizsgálata: a döntési folyamat során kialakult rangsor stabilitásának vizsgálata a döntési paraméterek ( a súlyok és minősítések ) függvényében. 3. Eredmények vizualitása és értékelése: ábrázolás 3 dimenziós térben nagy méretű feladat esetén a megoldás áttekintése és megértése nem könnyű dolog.
Példa a rangfordulásra: Értékeljük ki az alábbi döntési táblát! w i A 1 A 2 1/2 C 1 1 2 1/2 C 2 3 2 x j I = w i /w*(a ij /max a ik ) j=1,2,,n, Ideális modell alapján: x 1 =(1/2*1)/2+(1/2*3)/3=9/12 x 2 =(1/2*2)/2+(1/2*2)/3=10/12 Rangsor: A 2, A 1 w i A 1 A 2 A 3 1/2 C 1 1 2 4 1/2 C 2 3 2 1 Ideális modell alapján: x 1 =(1/2*1)/4+(1/2*3)/3=15/24 x 2 =(1/2*2)/4+(1/2*2)/3=14/24 Rangsor: A 1, A 2 rangsor változott!!
Az értékelések és a súlyozás összegzése fa struktúra esetén: A szempontok súlyozása úgy történik, hogy a döntéshozó először a cél alatti első szinten levő szempontokat súlyozza páros összehasonlítás módszerével, majd felülről lefelé haladva minden szinten az ott található szempontok alatti alszempontokat addig, amíg a már tovább nem osztott levélszempontok is súlyozásra kerülnek. Az AHP modellekben a döntéshozó csak a levélszempontok szerint értékeli az alternatívákat. A súlyozás és értékelés összegzése: levélszempontok szintje feletti szintről induló, minden egyszerű részfa esetén megalkotjuk a döntési táblát és kiértékeljük az alternatívákat a választott modell típus szerint. Ezt folytatjuk amíg el nem érünk a cél szintig, és megkapjuk az alternatívák végső rangsorát.
EC (Expert Choice) EC többszempontú döntési problémák megoldására szolgáló szoftver. Egyéni (egy döntéshozó) és csoportos (több döntéshozó esete) változata is van. Jelenlegi EC rendszerek Windows alatt futó, könnyen kezelhető, felhasználó-barát interaktív rendszerek. Az EC által kezelt fák 5 szint mélységűek és egy szempontnak legfeljebb 9 alszempontja lehet. (Elvileg 9+9 2 +9 3 +9 4 szempont kezelhető, ebből 6561 levélszempont) Tapasztalatok szerint a disztributív és ideális modell esetén nagy százalékban ugyanazt a rangsort kapjuk. Új fagylalt bolt helyének kiválasztása ebben a két módban EC-vel:
EC (Expert Choise) Az EC lehetővé teszi az érzékenységvizsgálatot és az eredmények vizualizálását. Háromféle érzékenységvizsgálatra van lehetőség, amikkel vizsgálhatók egy adott alternatíva sorrendnek a szempont súlyoktól való függése. Mindig egy szempont súlya változtatható ( ez maga után vonja a többi szempont súlyának változását is). A többi szempont súly egymás közötti aránya nem változik, és összegük változatlanul 1.
Erőforrás szétosztási feladat Gyakran fordul elő, hogy többszempontú döntési feladatot és optimalizálási feladatot kell kombinálni. Pl. feladat a legjobb kutatásfejlesztési pályázatok kiválasztása adott pénzügyi korlát mellett. Feladatot két részre bontjuk. Először megoldjuk a többszempontú feladatot, azaz a pályázatok rangsorolását így megkapjuk az egyes pályázatok súly- vagy prioritásértékeit. Ezután egy egészértékű optimalizálási feladatot kell megoldani: max x i z i c i z i K, z i {0,1}, i=1,2,..,n. ahol x i, i=1,2,,n prioritásérték az alternatívákra vonatkozóan, c i az egyes kutatásfejlesztési munkák tervezett költsége.
Feladat Közgazdász végzettségű ismerősünk három lehetőség közül választhat belép egy nagy könyvelő cégbe (A 1 ) saját tanácsadó céget alapít (A 2 ) vagy elfogadja az egyetem ajánlatát (A 3 ) négy tényezőt vesz figyelembe kereseti lehetőség (K) biztonság (B) előmenetel (E) munkakörülmények (M) Cél olyan munkahelyet választani, ahol elégedett lesz.
Feladat Elégedettség Kereset Biztonság Előmenetel Munkakörülmények Nagy vállalat Saját cég Egyetem
Feladat Legyen az egyes szempontok egymáshoz való értékelése a következő: (K:B)=(7:1), (K:E)=(1:1), (K:M)=(7:1), (B:E)=(1:3), (B:M)=(2:1), (E:M)=(5:1) Adjuk meg a páros összehasonlítás mátrixot: K B E M K 1 7 1 7 B 1/7 1 1/3 2 E 1 3 1 5 M 1/7 1/2 1/5 1 kereseti lehetőség (K) biztonság (B) előmenetel (E) munkakörülmények (M)
Ismerősünk most az alternatívákat az egyes tényezők szerint is értékeli ugyanezen a skálán, ugyanezen a módon: K 1 1/3 2 3 1 5 1 3 1/5 1/3 1 1/7 B 1/2 1/5 1 5 7 1 E 1 1/5 2 5 1 7 1 1/3 1/5 3 1 1/3 M 1/2 1/7 1 5 3 1
A saját érték feladatok megoldása: Elégedettség (1,00) K (0,48) B (0,10) E (0,36) M (0,06) A 1 (0,23) A 2 (0,65) A 3 (0,12) A 1 (0,19) A 2 (0,08) A 3 (0,73) A 1 (0,17) A 2 (0,74) A 3 (0,09) A 1 (0,10) A 2 (0,26) A 3 (0,64)
A végeredményt a súlyozott összegek adják: S(A 1 ) = 0,48*0,23+0,10*0,19+0,36*0,17+0,06*0,10 = 0,1966 S(A 2 ) = 0,6020 S(A 3 ) = 0,2014 Elégedettség (1,00) K (0,48) B (0,10) E (0,36) M (0,06) A 1 (0,23) A 2 (0,65) A 3 (0,12) A 1 (0,19) A 2 (0,08) A 3 (0,73) A 1 (0,17) A 2 (0,74) A 3 (0,09) A 1 (0,10) A 2 (0,26) A 3 (0,64)