Az egymáal érintkező felületek között fellépő, az érintkező tetek egymához vizoított mozgáát akadályozó hatát cúzái úrlódának nevezzük. A cúzái úrlódái erő nagyága a felületeket özeomó erőtől é a felületek minőégétől függ: F ~ F, F = m F. A cúzái úrlódái együttható jele m, a két érintkező felületre jellemző állandó, mértékegyég nélküli meniég. A cúzái úrlódái erő iráa mindig olyan, hogy akadályozza az érintkező felületek egymához képet történő mozgáát. Megjegyzé: az egymáal érintkező, egymához képet mozgó tetek között valójában egyetlen kézererő lép fel. Ennek van egy felületre merőlege (omó) komponene é egy felülettel párhuzamo (úrlódái) komponene. Ezeket a komponeneket az egyzerűbb tárgyalhatóág miatt kezeljük különálló erőként. Tapadái úrlódá Miért kell az autók kerekén a gumit az időjárának megfelelően téli, illetve ári gumira cerélni? A különböző évzakokban változnak az útvizook. Télen a vize, jege úton okkal könebben megcúznak az autók kerekei. A cúzó kerék nem forog, az autó iráíthatatlanná válik. Ahogy télen vatagabb, bordázott talpú cipőket váárolunk, a téli gumikon i má alakúak a futófelületen a bordák. A téli gumik má özetételű keverékből i kézülnek, mint a ári gumik. A ári gumik keméebbek, így kevébé kopnak. A téli gumik puhábbak, hogy az alacoabb hőmérékleten ne váljanak merevvé. A ári gumik bordái főleg a víz kerék alóli elvezetéét, kizorítáát zolgálják. A téli gumikon a bordák zerepe inkább az, hogy kiíljanak, amikor az úttethez érnek. A zétílt bordák, mint ok ki karom, kapazkodnak az út felületébe, ezért alapvetően jobb tapadát eredméeznek (9.40. ábra). A cipőt a rugó erőmérővel húzva azt tapaztalhatjuk, hogy cak bizoo nagyágú húzóerő hatáára mozdul el. Amikor pedig elindul, akkor egy kicit túllendül. Az egyenlete húzához kiebb erőhatára van tehát zükég, mint az elindítához. Az érintkező felületek között nemcak akkor lép fel mozgát akadályozó hatá, amikor a két felület már mozog egymához képet, hanem akkor i, amikor még ugalomban van. Az egymáal érintkező felületek között fellépő, a tetek egymához képet történő elmozduláát akadályozó hatá 9.39. A gyufa fejében a kémiai folyamat a úrlódá hatáára indul el 9.40. Nyári é téli gumi futófelülete 111
Erôtan Érintkezô felületek µ µ 0 Autógumi záraz azfalton 0,6 0,7 Autógumi nedve azfalton 0,3 0,4 Autógumi záraz betonon 0,4 0,5 Fa jégen 0,01 0,035 Fa vaon 0,4 0,6 Fa olajozott vaon 0,1 0,11 Va jégen 0,014 0,08 Va havon 0,04 0,1 Va olajozott vaon 0,01 0,11 9.41. Cúzái é tapadái úrlódái együtthatók 9.4. Az egymába hajtogatott kövek 9.43. Próbáld ki, mekkora erővel lehet a két követ zéthúzni! 9.44. A bogánc felülete alapján tervezték az elő tépőzárakat a tapadái úrlódá*, jellemzője a tapadái úrlódái erő. A tapadái úrlódái erő mindig akkora nagyágú, hogy megakadályozza az elmozdulát. Egyre nagyobb húzóerő hatáára egyre nagyobb akadályozó erő lép fel. A tapadái úrlódái erőnek van egy maximáli értéke, amelynél nagyobb erőt nem tud ellenúlyozni. Ha a húzóerő meghaladja a tapadái erő maximumát, a két felület elmozdul egymához képet. Rugó erőmérő vagy gumizál egítégével megvizgálhatjuk, hogy mely téezőktől függ a tapadái úrlódái erő maximáli nagyága. Azt tapaztalhatjuk, hogy a tapadái úrlódái erő maximuma annál nagyobb, minél nagyobb omóerő zorítja a cipőt a padlóra, illetve minél érdeebb vagy tapadóabb a két érintkező felület. A tapadái úrlódái erő nagyága egyene arában változik a omóerő függvéében: F F. Ezért háadouk állandó: tmax. F tmax. F = állandó =m 0. Ez az állandó a tapadái úrlódái együttható, amely mértékegyég nélküli meniég. Jele: µ 0. Értéke annál nagyobb, minél érdeebb a két érintkező felület. F = m 0 F. tmax. A cipő húzáakor tapaztalhattuk, hogy a tapadái úrlódái erő maximuma nagyobb, mint a úrlódái erő: Ftmax. > F. Ez azt jelenti, hogy adott tetek, felületek eetén a tapadái úrlódái együttható nagyobb, mint a cúzái úrlódái együttható: m0 > m (9.41. ábra). Két követ laponként fűzzünk egymába a 9.4. ábrán látható módon! Ha megpróbáljuk a két követ kihúzni egymából, azt tapaztalhatjuk, hogy zinte lehetetlen ezt megtenni. A kövek ok-ok lapja között fellépő tapadái úrlódái erő olyan nagy, hogy még több diák együtt em tudja a két követ zéthúzni (9.43. ábra). A tapadái úrlódái erő miatt tudunk járni é tudnak a járművek mozogni. Ha nem tapad az autó kereke, hanem cúzik, akkor nem tud elindulni, illetve nem lehet kormáozni. Ezért ma már zinte minden új autóba beépítenek zámítógép által vezérelt blokkolágátlót (ABS) é menettabilizátort. A tapadái úrlódái erőt zükég eetén megnövelhetjük. Télen a jege útra azért zórunk homokot, hogy jobban tapadjon a kerék. A teher autók rakodóterének felületét rendzereen portalanítják, zírtalanítják, hogy a zállított rakomá jobban tapadjon a felülethez é fékezékor lehetőleg ne cúzon meg. A téli cipők talpa azért érdeebb a ári cipők talpánál, hogy a nagyobb tapadái úrlódái együttható miatt biztonágoabban tudjunk bennük járni. A termézetben a bogánc felülete azért tartalmaz ok apró kampót, hogy könedén beleakadjon az állatok zőrébe, é így nagy távolágokban zétterjedheen (9.44. ábra). A tépőzár feltalálója, egy vájci mérnök i egy bogánc felületéből merítette a tépőzár ötletét. 11
Az egymáal érintkező felületek között fellépő, a tetek egymához képet történő elmozduláát megakadályozó hatá a tapadái úrlódá, jellemzője a tapadái úrlódái erő. A tapadái úrlódái erő mindig akkora nagyágú, hogy megakadályozza az elmozdulát. A tapadái úrlódái erő maximuma a felületeket özeomó erőtől é a felületek minőégétől függ: Ftmax. ~ F, Ftmax. = m 0 F. A tapadái úrlódái együttható jele µ 0, a két érintkező felületre jellemző állandó, mértékegyég nélküli meniég. A tapadái úrlódái erő iráa mindig olyan, hogy akadályozza az érintkező felületek egymához képet történő elmozduláát. Gördüléi ellenállá Tegyünk a cipő alá fogpizkálókat vagy hengere ceruzákat (görgőket) a 9.46. ábrán látható módon! A rugó erőmérő egyenlete húzánál okkal kiebb erőt jelez, mint görgők nélkül. A féképen jól látható, hogy a gördülékor fellépő úrlódái erő, a gördüléi úrlódái erő ugyanazon a felületen jóval kiebb, mint a cúzái úrlódái erő. Kíérletekkel bizoítható, hogy a gördüléi úrlódái erő a két felületet özeomó erő nagyágától, illetve a két érintkező felület minőégétől függ. Fgörd. = m g F, ahol m g a gördüléi úrlódái együttható, mely mindig kiebb, mint a cúzái úrlódái együttható. Ugyanazon a felületen a gördüléi úrlódái együttható nagyága körülbelül az ötvenedréze a cúzái úrlódái együttható nagyágának. Ez azt jelenti, hogy ötvenzer könebb egy tárgyat elgörgetni, mint elcúztatni! Ezért okozott a kerék feltaláláa gyökere változát a civilizációban: forradalmaította a közlekedét, az emberek é a tárgyak mozgatáát. A kerék egyik alkalmazáa a mindennapokban a golyócapágy (9.47. ábra), melynek alapgondolata Leonardo da Vinci jegyzeteiben található meg előzör a történelem folyamán. Azóta az alapötletet továbbfejleztették é az élet zámo területén alkalmazzák a görkorcolyáktól az épületek földrengébiztoá tételéig. 9.48. A görgők megkönítik a nehéz tetek mozgatáát! 9.45. Kőkereket tartó őember 9.46. A fogpizkálók gördüléi ellenálláa jóval kiebb, mint a cúzái úrlódái erő 9.47. A golyócapágy belejében egy ki ínen ki golyók kapcolják öze a külő é belő gyűrűt A gördülékor fellépő úrlódái erő, a gördüléi úrlódái erő a két felületet özeomó erő nagyágától, illetve a két érintkező felület minőégétől függ: Fgörd. = m g F, ahol m g a gördüléi úrlódái együttható, mely mindig jelentően kiebb, mint a cúzái úrlódái együttható. 113
Erôtan 9.50. Az ábrán látható tetek közül a zöglete lapra hat a legnagyobb, az áramvonala, cepp for májú tetekre a legkiebb közeg ellenállái erő. Ezért cepp ke rezt metzetű a repülőgépek zára Közegellenállá* Egyforma magaágból elejtett labda é papírlap közül a labda ér le hamarabb az aztalra (9.49. ábra). A nehézégi erő a labdára é a papírlapra i ugyanakkora hatát fejt ki. Azonban a papírlapra ható közegellenállái erő jóval nagyobb, mint a labdára ható, ezért a labda nagyobb gyoruláal mozog, így hamarabb tezi meg ugyanazt a távolágot. A papírlapot a labda méretére özegyűrve azt tapaztaljuk, hogy mindkét tet egyzerre ér az aztalra. 9.49. Egyforma magaágból elejtett papírlap é labda közül a labda ér rövidebb idő alatt az aztalra. A papírlapot a labda méretére özegyűrve, mindkét tet egyzerre ér az aztalra A körezet (pl. a víz, a levegő) olyan erőhatát fejt ki a hozzá képet mozgó tetre, amely cökkenteni igyekzik a tet é a közeg egymához vizoított ebeégét. Ezt az akadályozó hatát közegellenállának nevezzük é a közegellenállái erővel jellemezzük. Egy hajzárító egítégével vizgáljuk meg, hogy milyen téezőktől függ a közegellenállái erő nagyága! Haználhatjuk a kezünket erőmérőként, de rugó erőmérővel könebb megejteni a közegellenállái erőt befolyáoló téezőket. Kapcoljuk be a hajzárítót é tegyünk a hajzárító útjába egy papírlapot! A kifújt levegő magával odorná a papírt, ha nem tartanánk ellent a kezünkkel. Gyűrjük öze a papírt, é tegyük imét a légáramba! Azt tapaztaljuk, hogy amikor nagyobb volt a papír felülete, nehezebb volt a papírlapot a légáramban tartani. Pontoabb vizgálatok alapján megállapítható, hogy a közegellenállái erő nagyága függ a tet homlokfelületétől (vagyi a tet mozgára merőlege legnagyobb kereztmetzetének nagyágától): Fköz. A. A közegellenállái erő nagyága függ a mozgó tet alakjától i (9.50. ábra). A közegellenállái erőnek a tet alakjától való függéét az alak-téezővel jellemezzük, mely egy mértékegyég nélküli vizozám, jele c vagy k. Ekkor: Fköz. c. Állítuk nagyobb fokozatra a hajzárítót, amivel a két közeg egymához vizoított, vagyi relatív ebeégét növeljük meg. Minél nagyobb a relatív ebeég, annál nehezebb a légáramban tartani a papírt, 114
vagyi annál nagyobb a közegellenállái erő. Ponto méréek alapján a legtöbb egyzerű eetben a közegellenállái erő a ebeég négyzetével aráoan változik, vagyi kétzer akkora ebeégnél négyzer akkorára nő: Fköz. v. A közegellenállái erő ezenkívül még a közeg űrűégétől i függ. Minél űrűbb a közeg, annál jobban akadályozza a benne elmozduló tetek mozgáát: F köz. r. Méréek é tapaztalatok alapján tehát a közegellenállái erő nagyá- 1 ga a következő özefüggéel zámolható: Fköz. = c A r v. A közeg- ellenállái erő kifejezhető a tet é a közeg jellemzőitől függő közegellenállái téező é a ebeég négyzetének a zorzatával i: Fköz. = C v.. A közegellenállái erő zándéko cökkentée miatt egyre áramvonalaabb autók, repülőgépek, vonatok jelennek meg a közlekedében. A vereúzók ruháit i nagyon gondoan megtervezik, hogy a lehető legkiebb legyen a rájuk ható közegellenállá. Van olyan úzódrez, mely a cápa bőrének tanulmáozáa alapján kézül. A cápa bőre mikrozkopiku nagyágú, a közegellenállát cökkentő fogazatot rejt, mely könebbé é gyorabbá tezi a ragadozó mozgáát a vízben. A tor pe dók peciáli bevonatát pedig a delfinek bőrének alapoabb vizgálatával fejleztették a tudóok tovább. A mindennapokban a közegellenállái erő zándéko növeléére i találhatunk példát. Az ejtőerőök a közegellenállái erő nagyágát növelik meg a hatalma felületű ejtőerővel (9.53. ábra). A közegellenállái erő egítheti i a mozgát. Például a vitorláhajókon a vitorlába fújó zél mozgatja a hajót előre (9.54. ábra). 9.54. A vitorlába fújó zél mozgatja a hajót előre a vízen 9.51. A verekerékpárook bukóiakja különlege, cepp formájú 9.5. A kínai mágnevaút 430 km ebeéggel záguld pályájának egy h rézén Körezetünk (pl. a víz, a levegő) olyan erőhatát fejt ki a hozzá képet mozgó tetekre, mely cökkenteni igyekzik a tet é a közeg egymához vizoított ebeégét. Ezt az akadályozó hatát közegellenállának nevezzük é a közegellenállái erővel jellemezzük. Tapaztalatok alapján a közegellenállái erő nagyága függ a közeg űrűégétől, a tet alakjától é homlokfelületétől, valamint a közeg é a tet egymához vizoított ebeégétől. F 9.53. A grafikon alapján vizgáld t meg a zuhanó ejtőerő ebeégének változáát! 115
Erôtan 9.55. Márti korcolyázik F F F h 9.56. A vízzinteen húzott tetre ható erők 1. Mekkora úrlódái erő hat Mártira korcolyázá közben, amikor állandó ebeéggel iklik a jégen (9.55. ábra)? Márti úlya 500 N, a korcolya éle é a jég közötti cúzái úrlódái együttható értéke 0,01. Megoldá: Adatok: m = 001,, F = 500 N. F =? F = m F = 001, 500 N= 5 N. Mártira 6 N nagyágú úrlódái erő hat.. Az 50 N úlyú zánkót vízzinte irában 0 N nagyágú erővel mozgatjuk állandó 1 m nagyágú gyoruláal. Mekkora a talaj é a zánkó talpa közötti cúzái úrlódái együttható? Megoldá: Adatok: m a = 1, Fúly = 50 N, Fh = 0 N. m =? F = neh. m g, amiből m = = 5 kg. g Rajzoljuk be a tetre ható erőket (9.56. ábra)! A zánkóra függőlege irában a nehézégi erő é a vele ellentéte iráú tartóerő hat. Ez a két erő kiegyenlíti egymát, mert függőlege irában a tet nem mozog. F - F =0, amiből F = F. neh. neh. A zánkóra vízzinte irában a húzóerő é a vele ellentéte iráú úrlódái erő hat. A dinamika alapegyenlete zerint: å F = m a, F - F = ma. h Mivel m F neh = = 5 kg, ezért g 116
m F = Fh - ma = 0 N- 5kg 1 = 15 N. F 15 N F = m F, amiből m = = = 03,. F 50 N A talaj é a zánkó közötti cúzái úrlódái együttható 0,3. (Ez a nagy úrlódái együttható azt i jelenti, hogy nem igazán jó a pálya!) 3. Az oztályteremben álló, 60 kg tömegű zekrét zeretné az oztály elmozdítani (9.57. ábra). A zekré é a padló közötti tapadái úrlódái együttható 0,6, a cúzái úrlódái együttható pedig 0,4. Mekkora lez a zekré gyoruláa, ha Marci egyedül próbálja meg eltolni? Marci átlagoan 00 N nagyágú erőt tud kifejteni a zekrére. Mekkora lez a zekré gyoruláa, ha Levente i beegít, aki zintén átlagoan 00 N nagyágú erőt fejt ki? Megoldá: Adatok: m = 04,, m0 = 06,, m = 60 kg, Ftoló = 00 N. a =? Rajzoljuk be a zekrére ható erőket (9.58. ábra)! Függőlege irában a zekré nem gyorul, vagyi a nehézégi erő é a omóerő kiegyenlíti egymát. m F = Fneh. = m g = 60 kg 10 = 600 N. Vízzinte irában a tolóerőt a úrlódái erő ellenúlyozza. Határozzuk meg a tapadái erő maximumát! Ha a tolóerő kiebb ennél az értéknél, akkor a zekré nem mozdul el, ha pedig nagyobb, akkor a zekré elindul é a talajon cúzik. Ft.max. = m 0 F = 06600, N= 360 N. Mivel Marci cak 00 N erővel omja a zekrét, a tapadái erő képe ellenúlyozni ezt a hatát. A zekré tehát nem mozdul el, így gyoruláa 0. Máodik eetben a két fiú együtt 400 N nagyágú erőt fejt ki, melyet a tapadái erő már nem tud ellenúlyozni. Ezért a zekré elmozdul é cúzik a padlón. Mozgáában a cúzái úrlódái erő akadályozza. A dinamika alapegyenletét vízzinte iráú mozgára felírva: F - F = ma. toló Ftoló - F 400 N-40 N 160 N m a = = = = 67,. m 60 kg 60 kg 9.57. Há diák tudja megmozdítani a zekrét? F F t F toló 9.58. A zekrére ható erők 117
Erôtan F y F F x 30 9.59. A dobozra cak a nehézégi é a omóerő hat F y m g coa a F x m g ina 9.60. Bontuk fel a nehézégi erőt F t F y F F x 30 9.61. A dobozra már három erő hat (, F, F t ) 4. Egy 5 kg tömegű dobozt egy 30 hajlázögű lejtőre helyezünk. a) Mekkora gyoruláal cúzik le a lejtőn, ha a úrlódától eltekintünk? b) Legalább mekkora legyen a tapadái úrlódái együttható, hogy a doboz ne induljon meg a lejtőn? Megoldá: Adatok: m = 5 kg, a = 30 o. a) A doboz a nehézégi erő hatáára kezd el mozogni. Rajzoljuk be a dobozra ható erőket (9.59. ábra)! A nehézégi erőt bontuk fel egy lejtővel párhuzamo F x é egy lejtőre merőlege F y özetevőre (9.60. ábra)! Írjuk fel a dinamika alapegyenletét a lejtővel párhuzamo é arra merőlege iráokra! A doboz a lejtőre merőlege irában nem gyorul. A lejtő által kifejtett kézererő ellenúlyozza a nehézégi erőt: F - F y =0, amiből F = F = y mg co30. A doboz a lejtővel párhuzamoan a nehézégi erő hatáára gyoruló mozgát fog végezni. F = x m a. mg in30 = ma. m 1 m a= gin30 = 10 = 5. b) A doboz akkor nem cúzik meg a lejtőn, ha a tapadái úrlódái erő ellenúlyozza a nehézégi erő hatáát. Rajzoljuk be a dobozra ható erőket (9.61. ábra)! Írjuk fel a dinamika alapegyenletét a lejtővel párhuzamo é arra merőlege iráokra! A doboz a lejtőre merőlege é párhuzamo irában em mozog. y irában: F - F y =0, amiből F = F = y mg co30. x irában: F - x F = t.max. 0, amiből F = x F. t.max. Mivel F = m F = m mg co, a dinamika alapegyenletét felhaználva: t.max. 0 0 30 mg in30 = mg co30, amiből m 0 in 30 3 m 0 = 30 058 30 = tg co = 3»,. Általánoítuk a feladatot! 30 o hajlázögű lejtő helyett α zögű lejtő eetében kereük a tapadái úrlódái erő minimáli értékét ahhoz, hogy a lejtőre helyezett doboz ne cúzon meg. Az előbbi gondolatmenetet felhaználva: mg ina= m 0 mg coa, amiből m = tg 0 a. 118
Megjegyzé: a feladatot a zögfüggvéek imerete nélkül i megoldhatjuk. Egézítük ki az ábrát zabályo háromzöggé (9.6. ábra). Tud- 3 juk, hogy a zabályo háromzög magaága az oldal -zeree, a belő zögek zögfelezői pedig felezik a zemközti oldalakat. F = 3 y mg. F mg F = neh. = x. 5. Egy 40 kg tömegű zákra kötelet kötünk é egy dezkán mint lejtőn óvatoan leengedjük a pincébe. A dezka a talajjal 30 o -o zöget zár be. Mekkora erővel tartuk a kötelet ahhoz, hogy a zák egyenleteen cúzzon, ha a lejtő é a zák között a cúzái úrlódái együttható 0,? Megoldá: Adatok: m = 40 kg, a = 30 o, m = 0,. Rajzoljuk be a zákra ható erőket (9.63. ábra)! A zákra a nehézégi erő ( ), a lejtő által kifejtett kézererő (F ), a úrlódái erő (F ) é a tartóerő (F t ) hat. Bontuk fel a nehézégi erőt a lejtővel párhuzamo é arra merőlege özetevőkre! Írjuk fel a dinamika alapegyenletét x é y iráú komponenekre! A zák egyenleteen mozog, tehát nincen gyoruláa. Az előző feladat alapján: y irában: F - F y =0, amiből F = F = y mg co30. x irában: F - x F - F = t 0, amiből Ft = Fx - F. Mivel F = mf = mmg co 30, F = F - F = mgin30 - mmg co 30. t x Az adatokat behelyetteítve: F t m 1 m 3 = 40 kg 10-040, kg 10» 130, 7 N. 1. Hogyan működik a kerékpár fékrendzere?. A hétköznapi életben mikor hazno é mikor káro a úrlódá? 3. Hogyan növelhető, illetve cökkenthető a úrlódá? 4. Milyen hazno é káro hatáai vannak a közegellenállának? 5. Hogyan növelhető, illetve cökkenthető a közegellenállá? 6. Miért nem lehet zíro táblára krétával írni? 7. Miért eünk el, ha banánhéjra lépünk? zabályo háromzög F y F x 30 F x 9.6. A nehézégi erő felbontáa zögfüggvéek nélkül F F t F y F F x 30 9.63. A zákra négy erő hat (, F, F t, F ) 119
Erôtan 9.64. Oly jól cúzik ez a banánhéj 9.65. Mérjük a lejtőn mozgó tetre ható erőket! 1. A tapadái úrlódái együttható az autó kerekei é az úttet között záraz időben 0,6. Mi az a maximáli gyorulá, amellyel az autó el tud indulni?. Mekkora a cúzái úrlódái együttható, ha az adott felületen egy 50 kg tömegű ládát 500 N nagyágú erővel lehet vízzinte talajon egyenleteen tolni? 3. Egy 1700 kg tömegű autó 7 km ebeéggel halad. A forgalom h miatt hirtelen fékez, é megcúznak a kerekei. Mekkora a fékútja, vagyi az a távolág, amelyet a fékezétől a megálláig megtez, ha a cúzái úrlódái együttható 0,5? 4. Két ejtőerő, egy apa é a fia teljeen egyforma erővel egyzerre indulva ugranak. Melyikük ér hamarabb földet, ha az apa tömege 80 kg, a fiú tömege 50 kg? 5. Egy kikötői rakodómunká megfigyelte, hogy egy 0 kg tömegű dobozt, mely a hajó vízzinte padlóján ugalomban van, 75 N nagyágú vízzinte iráú erővel tud megmozdítani. Miután a láda mozog, már cak 60 N nagyágú erő zükége a mozgában tartáához. Mekkora a padló é a láda közötti tapadái é cúzái úrlódái együttható? 6. Egy 5 kg tömegű táka cúzik a padlón, miközben a úrlódái erő laítja mozgáát. A táka é a padló között a cúzái úrlódái együttható 0,1. Határozd meg a nehézégi erőt, a omóerőt, a úrlódái erőt, az eredő erőt é a gyorulát! 7. Egy 4 tonná, 7 km ebeéggel haladó teherautó cúzámente h fékezékor 50 m hozú út megtétele után áll meg. Mekkora a tapadái úrlódái együttható a felület é a kerekek között? 8. Egy 60 kg tömegű robogó 4 alatt 10 m ebeéget ér el. Mekkora a húzóerő, ha a úrlódái erő 40 N? 9. Mekkora ebeéggel halad az az autó, melynek homlokfelülete 1,4 m, közegellenállái téezője c = 0,4, a rá ható közegellenállái erő pedig 70 N? A levegő űrűége 1,9 kg. m 3 10. 30 -o lejtőn egy 0 kg tömegű ládát húzunk felfelé egyenleteen a lejtő íkjával párhuzamo erővel. Mekkora ez az erő, ha a láda é a lejtő között 0, a úrlódái együttható? 11. Egy 30 -o hajlázögű lejtőn 1 alatt cúzik le egy tet, ha nincen úrlódá. Meni idő alatt cúzik le akkor, ha a cúzái úrlódái együttható 0,4? 10
9.5. Általáno vonzódá Newton gravitáció erőtörvée (Kiegézítő aag) Egy anekdota zerint Newton a kertjében gondolkodott azon, hogy vajon mi tartja a Holdat a Föld körüli pályáján, amikor egy alma leeett a fáról (9.66. ábra). Newton az alma eéét látva ekkor döbbent rá, hogy ugyanaz a hatá vonzza az almát a Föld felé, ami miatt a Hold a Föld körüli pályáján ke ring. Ez a kijelenté ma nagyon egyzerűen hangzik, de akkoriban nem volt még ilyen egyértelmű, hogy a Földtől olyan távol i érződik a Föld gravitáció mezeje. Newton akkor még nem tudta zámítáokkal igazolni az általa megejtett gravitáció erőtörvét. A Föld ugarát é a Hold Földtől való távolágát akkor még nem tudták pontoan, ezért nem egyezett a zámítá az elmélettel. Húz évvel kéőbb Newton a Londoni Tudomáo Táraág egyik üléén előadát hallott arról, hogy egy francia földmérő, Picard pontoabban mérte meg a Föld ugarát. Ezzel az új adattal már ikerült igazolnia az égitetek közötti tömegvonzát. Minden tömeggel rendelkező tetnek van gravitáció mezeje, így bármely két tet között fellép a gravitáció kölcönhatá. Pontzerűnek tekinthető tetek eetén a gravitáció erő nagyága egyeneen aráo a tetek tömegével é fordítottan aráo a közöttük levő távolág négyzetével. F = m m g f 1. r Ez az özefüggé a Newton-féle gravitáció erőtörvé, ahol f a gravitáció állandó, m 1 é m a két tet tömege, r pedig a közöttük levő távolág. A gravitáció állandó értéke: - Nm f = 66710, 11. kg M F r mh 9.68. Mekkora a gravitáció vonzóerő a Föld é a Hold között? (A Föld tömege 610 4 kg, a Hold tömege 7510, kg, távoláguk 384 000 km.) Ha bármely két tet között gravitáció vonzá van, akkor miért nem érzem, hogy a tetvérem é közöttem létezik ez a vonzá? 9.66. Newton é az alma 9.67. Földfelkelte a Holdon 9.69. Egyeek olykor erő vonzát éreznek, de ez nem a gravitáció 11
Erôtan F 1 F 1 4 F r r 4r h Számoljuk ki, hogy mekkora erővel jellemezhetjük a közöttetek fellépő erő nagyágát, ha 1 méter távolágban álltok egymától! Körülbelül 40 kg é 60 kg a tömegetek. Ezért a gravitáció erőre vonatkozó özefüggét haználva azt -11 Nm 40 kg 60 kg -7 kapjuk, hogy F g = 6710, = 1610, N = kg ( 1 m) = 0, 000 00016 N. Ez egy 0,016 mg tömegű tet úlya a Földön. Egy mákzem átlago tömege 10-6 kg, vagyi 1 mg. A közöttetek fellépő gravitáció erő nagyága tehát a mákzem úlyának hatvanad réze! Ez egy nagyon kici érték, ezért nem érezhető a mindennapjainkban. 9.70. A gravitáció erő nagyága a távolág négyzetével fordított arában cökken. A Föld középpontjától r távolágban (r a Föld ugara) a Föld felzínén tapaztalható gravitáció erő nagyága a negyedére cökken. Mekkora a gravitáció erő a Föld középpontjától 4 r távolágban? Bármely két tet között gravitáció kölcönhatát tapaztalhatunk. A két pontzerű tet között ható gravitáció erő nagyága egyeneen aráo a tetek tömegével é fordítottan aráo a közöttük levő távolág négyzetével. Ez az özefüggé a Newton-féle gravitáció erőtörvé (má néven az általáno tömegvonzá erőtörvée), ahol f a gravitáció állandó, m 1 é m a két tet tömege, r pedig a közöttük levő távolág. F = m m g f 1. r - N m A gravitáció állandó értéke: f = 66710, 11. kg Ne cak nézd! Számold ki, hogy a padtárad é közted jelenleg mekkora a gravitáció vonzá! 9.71. Egy 40 kg é egy 60 kg tömegű diák közötti vonzóerő nagyága egy mákzem úlyának hatvanad réze 1. Számoljuk ki a Föld tömegét a nehézégi gyorulá felhaználáával, ha a Föld átlago ugara 6370 km! Megoldá: A Földön a tetekre ható nehézégi gyorulá nagyága körülbelül 9,81 m. A Földön bármely tetre hat a nehézégi erő, amelynek nagyága egyeneen aráo a tet tömegével: Fneh. = mtet g. A Newton-féle gravitáció törvé általánoágban bármely két tet közötti gravitáció erő nagyágának kizámoláára alkalma. A Föld é az adott tet között mtet MFöld fellépő gravitáció vonzá tehát Fg = f, ahol r a Föld ugarának é az adott tet földfelzín feletti magaágának özege. Mivel r azonban a Föld ugara jóval nagyobb, mint a tetek Föld feletti magaága, elegendő cak a Föld ugarával zámolni. 1