Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Honlap: www.cs.elte.hu/~vargal4 E-mail: vargal4@cs.elte.hu 2015. szeptember 17. Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás és statisztika 2015. szeptember 17. 1 / 11
Tudnivalók a tantárgyról Kötelező irodalom: az előadásokon elhangzottak Ajánlott irodalom: Csiszár Villő honlapján elérhető két jegyzet: Valószínűségszámítás (http://www.cs.elte.hu/~villo/esti/valszam.pdf), Statisztika (http://www.cs.elte.hu/~villo/esti/stat.pdf) kimondottan az estis prog.inf. szakosoknak készültek Baróti, Bognárné,...: Valószínűségszámítás prog.mat.-os jegyzet Denkinger: Valószínűségszámítás közgazdászoknak készült könyv Baron: Probability and statistics for computer scientists informatikus hallgatóknak készült angol nyelvű könyv Vizsga: Írásbeli, 120 perces, 100 pont a maximum Számológépen kívül semmit se lehet használni (papírt is adok) 1 0-29,99 2 30-49,99 Osztályozás: 3 50-64,99 4 65-79,99 5 80-100 Lesz feladatmegoldás is. Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás és statisztika 2015. szeptember 17. 2 / 11
Tudnivalók a tantárgyról Kötelező irodalom: az előadásokon elhangzottak Ajánlott irodalom: Csiszár Villő honlapján elérhető két jegyzet: Valószínűségszámítás (http://www.cs.elte.hu/~villo/esti/valszam.pdf), Statisztika (http://www.cs.elte.hu/~villo/esti/stat.pdf) kimondottan az estis prog.inf. szakosoknak készültek Baróti, Bognárné,...: Valószínűségszámítás prog.mat.-os jegyzet Denkinger: Valószínűségszámítás közgazdászoknak készült könyv Baron: Probability and statistics for computer scientists informatikus hallgatóknak készült angol nyelvű könyv Vizsga: Írásbeli, 120 perces, 100 pont a maximum Számológépen kívül semmit se lehet használni (papírt is adok) 1 0-29,99 2 30-49,99 Osztályozás: 3 50-64,99 4 65-79,99 5 80-100 Lesz feladatmegoldás is. Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás és statisztika 2015. szeptember 17. 2 / 11
Tudnivalók a tantárgyról A tananyag az idő függvényében exponenciálisan nehezedik. A tananyag teljes mértékben egymásra épül ha valaki lemarad, utána szinte egy mukkot se fog érteni A félév menete (terv): 1-8. előadás: valószínűségszámítás ( 60%) 9-13. előadás: statisztika ( 40%) Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás és statisztika 2015. szeptember 17. 3 / 11
A valószínűségszámítás Matematikai tudomány Kezdete: 1654 De Méré lovag kockajáték 100 évvel később Pascal oldja meg Axiomatikus felépítés: 1933, A.N. Kolmogorov A 20. században számos új terület fejlődött belőle: matematikai statisztika (Fisher), játékelmélet (Neumann János), információelmélet (Shannon), sztochasztikus folyamatok, véletlen gráfok elmélete Magyar vonatkozások: Jordán Károly, Pólya György, Rényi Alfréd Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás és statisztika 2015. szeptember 17. 4 / 11
E1.) Egy szabályos kockával egyszer dobunk. a.) Mik lesznek a kísérletet leíró eseménytér pontjai? b.) Határozzuk meg az elemi események valószínűségét! c.) Mennyi a valószínűsége, hogy páros számot dobunk? d.) 100-szor feldobtuk a kockát, a kapott eredményeket (gyakoriságokat) a következő táblázat tartalmazza: 1 2 3 4 5 6 Összesen 15 18 17 19 15 16 100 Határozd meg annak a relatív gyakoriságát, hogy páros számot dobtunk! e.) Szimulációval becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy páros számot kaptunk! Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás és statisztika 2015. szeptember 17. 5 / 11
A szimuláció eredménye Relatív gyakoriság 0.0 0.2 0.4 0.6 0 2000 4000 6000 8000 10000 Független kísérletek száma E2.) Legyen A,B,C három esemény. Írjuk fel formálisan annak az eseménynek a valószínűségét, hogy közülük a.) pontosan k b.) legfeljebb k esemény következik be (k = 1, 2, 3). Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás és statisztika 2015. szeptember 17. 6 / 11
E3.) [Középszintű matematika érettségi, 2015.] Két különböző színű szabályos dobókockával egyszerre dobunk. Adja meg annak a valószínűségét, hogy a dobott számok szorzata prímszám lesz! Egy "remek" megoldás élő adásban: Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás és statisztika 2015. szeptember 17. 7 / 11
E4.) Mintavétel: Adott N különböző termék, amik között van M selejtes. Veszünk n elemű mintát a.) visszatevés nélkül; b.) visszatevéssel. Mennyi a valószínűsége, hogy az n termékből pontosan k selejtest sikerült kiválasztanunk, amennyiben számít a kihúzás sorrendje? Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás és statisztika 2015. szeptember 17. 8 / 11
E5.) Névjegy probléma. Tegyük fel, hogy n ember véletlenszerűen összekeveri a névjegyét (esernyőjét)! Számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy senki sem a sajátját kapja! Hova tart ez a valószínűség n esetén? Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás és statisztika 2015. szeptember 17. 9 / 11
E6.) Monty Hall probléma. 3 ajtó közül kell a játékosnak választania. Egy mögött nyeremény (autó) van, a másik kettő mögött kecske. Először kiválasztunk egy ajtót magunknak, de nem nyitjuk ki, majd a műsorvezető kinyit egy másik, kecskés ajtót. Ezek után dönthetünk: kitartunk az eredeti választásunk mellett, vagy a harmadik, még bezárt ajtót választjuk inkább. Mi a jobb stratégia a kettő közül? Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás és statisztika 2015. szeptember 17. 10 / 11
E7.) Egy tesztes vizsgánál minden kérdésre 5 válaszlehetőség közül kell a helyeset kiválasztani. A vizsgázó 0,6 valószínűséggel tudja az egyes kérdésekre a helyes választ, ekkor biztosan helyes választ fog bejelölni. Ha nem tudja a választ, akkor tippel. Ha a vizsgázó egy kérdésre helyes választ adott, akkor mi a valószínűsége, hogy tényleg tudta is a helyes választ? E8.) Mutass példát olyan (Ω, A, P) valószínűségi mezőre és ezekben olyan A, B, C eseményekre, amelyekre a.) A, B és C páronként függetlenek, azonban nem teljesen függetlenek; b.) P(A B C) = P(A)P(B)P(C) teljesül, azonban az A, B, C események nem teljesen függetlenek! Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás és statisztika 2015. szeptember 17. 11 / 11