4 Kamatlábak 1
Típusok Jegybanki alapkamat LIBOR (London Interbank Offered Rate, naponta, AA minősítésű partnereknek kölcsön) BUBOR (Budapest Interbank Offered Rate) Repo kamatláb (repurchase, értékpapír eladás X összegért, visszavásárlás később X+ε - ért)
Kockázatmentes kamatláb Gyakorlat szerint: LIBOR Jegybanki alapkamat általában mesterségesen alacsony 3
Mérési eljárások Alapegység: jóváírási gyakoriság m-szer évente, kamatláb R: X 0 (1+R/m) m egy évben Jóváírási gyakoriság US$100 értéke 10% kamatlábnál éves (m=1) 110.00 féléves (m=) 110.5 negyedéves (m=4) 110.38 havi (m=1) 110.47 heti (m=5) 110.51 napi (m=365) 110.5 4
Folyamatos jóváírás US$100 növekszik: $100e RT ha R kamatlábbal T ideig történt a lekötés 5 m m R n R mn m m m R e e X m R X c c + = = + 1 1 lim 0 0
Konverziós Formulák R c : folyamatosan jóváírt kamatláb R m : ugyanez a kamatláb évente m darabjóváírással R c = m ln 1 + R m m R m ( R / m 1) c = m e 6
Számpéldák 10% féléves jóváírású kamat megfelel ln(1.05) = 9.758% folytonos kamatnak 8% folytonos jóváírású kamat megfelel 4(e 0.08/4-1) = 8.08% negyedéves kamatnak Opciók: szinte mindig folytonos kamatozással összevetve 7
Azonnali kamatláb Egy ma rögzített és ma nyújtott n-éves kölcsönre vonatkozó egyperiódusú kamatláb. Pl. kincstári ajánlat: Lejárati idő (években) Azonnali kamatláb (folytonos jóváírással számítva) 0.5 5.0 1.0 5.8 1.5 6.4.0 6.8 8
Kötvények árazása Pl.: éves államkötvény, névértéke $100 (lejáratkor esedékes), évente $6 kupon, évi kétszeri kifizetéssel Féléves diszkontálás az azonnali kamatláb alapján: 0. 05 0. 5 0. 058 1. 0 0. 064 1. 5 3e + 3e + 3e 0. 068. 0 + 103e = 98. 39 9
Kötvény hozam Egyszeri leszámítolási kamatláb, amelynél a kötvény ár megegyezik a piaci árral Esetünkben: $ 98.39 A hozam (folytonos jóváírással számolva): 3e y 0.5 + 3e y 1.0 + 3e y 1.5 + 103e y.0 = 98,39 azaz y = 0.0676 vagy 6.76%. 10
Névértékre számított hozam Éves kuponérték, melynél a vételár megegyezik a lejártakor fizetendő névértékkel. Megoldandó: c 0.05 0.5 e + + 100+ azaz c = 6.87 c 0.058 1.0 c 0.064 1.5 e + e c 0.068.0 e = 100 (féléveskifizetésekkel) 11
Névértékre számított hozam Általában, ha m a kuponfizetések száma évente, d a jelenértéke $1 lejáratkor számított bevételnek, és A a jelenértéke minden kuponfizetéskor kapott $1 bevételnek 100 c = A + 100 d m (példánkban: m =, d = 0.8784, and A = 3.7007) c = ( 100 100 A d ) m 1
Hogyan lehet meghatározni az azonnali (spot) kamatlábakat? Kiindulás: öt azonos névértékű kötvény piaci ára Kötvény névérték ($) Lejárat (év) Kupon érték ($) * Kötvény ár ($) 100 0.5 0 97.5 100 0.50 0 94.9 100 1.00 0 90.0 100 1.50 8 96.0 100.00 1 101.6 * Félévente a kifizetés ennek fele 13
A Bootstrap módszer Kupon nélküli kötvények: (1) $.5 a bevétel a $97.5 árú 3 hónapos kötvénynél Jelenérték számítás: 100 = 97.5e 0.1017 0.5 azaz az éves azonnali kamatláb 10.17% folytonos jóváírással számítva ()-(3) Hasonlóan, a 6 hónapos és 1 éves kötvény árakból 10.469% és 10.536% adódik 14
A Bootstrap módszer (4) 1,5 éves lejáratú kötvény: 4e 0.10469 0.5 + 4e 0.10536 1.0 + 104e R 1.5 = 96 R = 0,10681 vagy 10,681% (itt a 6 hónapos és 1 éves előző értékek állnak!!!) (5) Hasonlóan, évre: 10.808% 15
A számítások eredménye: 1 Azonnali (spot) kamatláb (%) 11 10 10.17 10.469 10.536 10.681 10.808 Lejárati idő (év) 9 0 0.5 1 1.5.5 16
Forward kamatlábak Jövőbeli spot kamat a mai spot kamatokból számítva Tegyük fel, hogy jelenleg a T 1 és T időtartamokra adott spot kamatok R 1 és R (folytonos jóváírás) A forward kamatláb T 1 and T időtartamok között: R F = R Nem folytonos jóváírásnál csak közelítés! T T R1T T 1 1 17
Alkalmazás 100 Év (n) e 100 e Spot kamatláb n-éves befektetésnél (% per év) 1 3.0 Forward kamatláb n évre (% per év) 4.0 5.0 3 4.6 5.8 4 5.0 6. 5 5.5 6.5 0.03 1 0.04 e e 0.05 1 0.058 1 = 108.33 = e = 114.78 = e 0.04 0.046 3 18
Pillanatnyi forward kamatok T lejáratnál nagyon rövid periódusra (T -nél kezdődik) R F RT = T R1 T T 1 1 = ( R R ) ahol R a T-éves kamatszint R + 1 T1 T T 1 R + T R T 19
Felfelé illetve lefelé hajló hozamgörbék Felfelé hajlik: Fwd kamat > Spot kamat > Névértékre számolt hozam Lefelé hajlik: Névértékre számolt hozam > Spot kamat > Fwd kamat 0
Forward Rate Agreement OTC megállapodás értékpapírok vagy készpénz kölcsönzéséről Feltevés: alapesetben a LIBOR kamatlábat fizetnék FRA: egy előre meghatározott kamatszint (R K ) egy jövőbeli időszakra alkalmazva FRA mögött: a forward LIBOR kamatszint (R F ) kockázatmentesen realizálható FRA értéke: R F és R K alapú kifizetés különbsége Aktuális LIBOR kamatszint az időszak elején: R M 1
Értékelési formulák FRA periódus: T 1 és T között R F és R K az adott időtartamra vonatkozó (nem folytonos) jóváírási gyakorisággal adott R K kamatszint esetén a kamatbevétel R K (T T 1 ) T időpontban R F kamatszint esetén a kamatbevétel R F (T T 1 ) T időpontban
Értékelési formulák Ha R K kamatszint mellett L értékű kölcsön után történik kamatfizetés, az FRA alapján kapott extra: T időpontban L( RK RM )( T T1 ) Ennek megfelően, a másik partner extra bevétele : L( RM RK )( T T1 ) T időpontban Diszkontált jelenérték: L( RK RM )( T T1 ) e R T 3
Példa FRA: egy vállalat 4% előre rögzített kamatot kap $100 milliós kölcsönzésért, 1 év múlva kezdődő 6 hónapos időszakra Forward LIBOR kamatszint az adott periódusra: 5% 1.5 éves kamatszint: 4.5% (folytonos jóváírásnál) Az FRA jelenlegi értéke (millió $ egységekben) 100 ( 0. 04 0. 05) 0. 5 e 0. 045 1. 5 = 0. 467 4
Példa Ha a valóban bekövetkező LIBOR kamatszint 1 év múlva 5.5%, akkor a cash flow: 100 ( 0. 04 0. 055) 0. 5 = 0. 75 1.5 év múlva Ekvivalens cash flow az intervallum elején: 1+ 0.75 = 0.730 0.045 0.5 5