1. konferencia: Egyenáramú hálózatok számítása

1. konferencia: Egyenáramú hálózatok számítása 1.feladat: 20 1 kω Határozzuk meg az R jelű ellenállás értékét! 10 5 kω R z ellenállás értéke meghatározható az Ohm-törvény alapján. Ehhez ismernünk kell az ellenállás kapcsain fellépő feszültség értékét, valamint az ellenálláson átfolyó áramot. z R ellenállás párhuzamosan kapcsolódik az 5 kω-os ellenállással, melyek közös feszültségét mutatja a -mérő, tehát U R 10. z ellenállás árama a kör eredő áramának és az 5 kω-os ellenállás áramának a különbsége. z 5 kw-os ellenállás árama az Ohm-törvénnyel közvetlenül meghatározható: U 10 5 2 m k Ω R 5 kω 20 e 10 10 5 kω -os és az 1 kω-os ellenállások sorba kapcsolódnak, melyek eredő feszültsége Kirchhoff huroktörvénye alapján: 20 10 10. Így áramuk, amely egyúttal a kör eredő árama is: 10 10 e m. (2 + 1) kω 3 z 1 kω-os és az 5 kω-os ellenállások közös pontjára Kirchhoff csomóponti törvényét felírva: e 5 kω R 0. 10 4 Ebből az R ellenállás áramát kifejezve: R e 5 kω m 2 m m. 3 3 Tehát a keresett ellenállás-érték: 1 kω R 5kΩ R 10 R 7,5 kω. 4 m 3 1

2.feladat: U g Határozzuk meg a feszültségosztó bemenetére kapcsolt feszültség értékét, ha az ideális -mérő 20 -ot mutat! U g? -mérő a 10 Ω-os ellenállás kapcsain fellépő feszültséget méri. U 20 z ellenállás árama az Ohm-törvény alapján: 10 Ω 2. R 10 Ω z ideális -mérőn áram nem folyik (belső ellenállása végtelen nagy), ezért a 10 Ω-os és a 20 Ω-os ellenállások árama azonos (sorba vannak kapcsolva!). Így a -os ellenálláson fellépő feszültség az Ohm-törvény alapján: U R 2 40. 40 U g 2 2 20 20 10 Ω jobb oldali hurokra Kirchhoff huroktörvényét felírva megkapjuk a harmadik elem, a - os ellenállás feszültségének értékét: U 40 + 20 60. 120 40 U g 4 2 20 2 2 20 60 z ellenállás árama az Ohm-törvény alapján: U 60 2. R 2

Kirchhoff csomóponti törvénye alapján a másik vízszintesen ábrázolt - -os ellenállás árama a két áram összege: 2 + 2 4. z -os ellenálláson fellépő feszültség az Ohm-törvény alapján: U R 30Ω 4 120. középső hurokra Kirchhoff huroktörvényét felírva megkapjuk a -os ellenállás feszültségének értékét: U 120 + 60 180. 140 120 40 U g 7 3 4 2 180 2 2 60 z -os ellenállás árama az Ohm-törvény alapján: U 180 3. R Kirchhoff csomóponti törvénye alapján az eredő áram (a -os ellenállás árama) a két áram összege: 4 + 3 7. -os ellenálláson fellépő feszültség az Ohm-törvény alkalmazásával: U R 7 140. 20 20 140 120 40 U g 7 3 4 2 180 2 2 60 20 20 bal oldali hurokra Kirchhoff huroktörvényét felírva megkapjuk a keresett generátorfeszültség értékét: U 140 + 180 320. g Tehát a feszültségosztó kimenetén megjelenő és a bemenetére kapcsolt feszültségek közötti U 20 1 arány:. U 320 16 g Mivel az áramkör lineáris, ezért ez a feszültség-arány tetszőleges feszültség rákapcsolása esetén fennáll. Pl. U g 240 feszültség rákapcsolása esetén a -mérő által mutatott érték ismeretében közvetlenül is számolható: 1 U U g 240 15. 16 3

3.feladat: 4 Ω 4 Ω Határozzuk meg a megadott áramkör eredő ellenállását az kapocspár felől! 5 Ω 3 Ω 1 Ω R? Ha a felrajzolt ábra alapján az ellenállások soros-párhuzamos kapcsolódását nem tudjuk egyértelműen megállapítani, akkor célszerű a kapcsolást úgy átrajzolni, hogy a ezek a kapcsolódások egyértelműen tisztázhatók legyenek. Ehhez végig kell követnünk, hogy az pontból a pontba milyen áramutakon juthatunk el. Ügyeljünk arra, hogy az eredeti ábra és az átrajzolt ábra villamosan egyenértékű legyen! z átrajzolt ábra alapján a soros-párhuzamos összevonások már elvégezhetők. 5 Ω 4 Ω 4 Ω Először a két 4 Ω-os ellenállást vonhatjuk össze (párhuzamos kapcsolás), majd ezek eredője (2 Ω) sorba kapcsolódik a 3 Ω-os ellenállással. z így adódó 5 Ω kapcsolódik párhuzamosan az 5 Ω-os ellenállással, majd ezekkel sorba az 1 Ω-os ellenállás. 3 Ω z elvégzendő műveleteket tömör matematikai formában is megadhatjuk: 1 Ω [( 4 + 4) + 3] 5 + 1 3,5 Ω R. Tehát a megadott ellenállás-hálózat egyetlen egy 3,5 Ω-os ellenállással helyettesíthető. 4.feladat: 6 8 Ω? Határozzuk meg a megadott kétgenerátoros áramkörben a generátorok teljesítményét, valamint a bejelölt ágáram értékét! feladatot kétféle módon is megoldjuk: 6 Ω 4 Ω 12 Ω 1. szuperpozíció elvének alkalmazásával 2. Egyenértékű átalakítások alkalmazásával 60 4

1. szuperpozíció elvének alkalmazásakor a feladat megoldását egygenerátoros áramkörök számítására vezetjük vissza. két generátor hatását külön-külön megvizsgáljuk, majd az eredő hatást a részmennyiségek szuperponálásával (előjeles összegzésével) kapjuk meg. 6, U G,,,,, 8 Ω 8 Ω U G + 4 Ω 4 Ω 6 Ω 12 Ω 6 Ω 12 Ω, GU,, GU 60 feszültség-generátor hatására kialakuló részmennyiségek meghatározásához az áramkör erdő ellenállását kell ismerni. generátor kapcsai felől az eredő ellenállás: R 4 + 8 + 6 12 4 + 8 + 4 16 Ω ' 60 feszültségforrás hatására kialakuló részmennyiségek: GU 3,75 16 Ω ' ' 6 Ω U G U8Ω 3,75 8 Ω 30 illetve 12Ω 3,75 1,25. 6 Ω + 12 Ω 6 3,75 1,25 3 5 3,75 1,25 + 3 2 60 z áramgenerátor hatására kialakuló részmennyiségek meghatározásakor vegyük észre, hogy az alsó három ellenállás eredője (4+6 128 Ω) párhuzamosan kapcsolódik a 8 Ω-os ellenállással. Tehát az eredő ellenállás az áramforrás kapcsai felől: 8 84 Ω. z áramforrás hatására kialakuló részmennyiségek: '' '' 8 Ω U G G Re 6 4 Ω 24 illetve GU 6 3. 8 Ω + 8 Ω Utóbbi esetben a negatív előjel oka, hogy a részáram tényleges iránya a bejelölttel ellentétes! 5

rövidzár ág áramának meghatározásához a 8 Ω-os és a 6 Ω-os ellenállások áramát kell '' 8 Ω '' 12 Ω ismerni: 8 Ω 6 3 illetve 6 Ω 3 2. 8 Ω + 8 Ω 6 Ω + 12 Ω '' '' '' Tehát 8Ω + 6Ω 3 + 2 5. tényleges mennyiségek az így meghatározott részmennyiségek szuperponálásával (előjeles összegzésével) kaphatók meg: ' '' feszültségforrás árama: GU GU + GU 3,75-3 0,75, így a teljesítménye: P GU U G GU -60 0,75-45 W. (termelő) ' '' z áramforrás kapocsfeszültsége: U G UG + UG 30 + 24 54, így a teljesítménye: P G U G G -54 6-324 W. (termelő) ' '' keresett ágáram: + 1,25 + 5 6,75. 2. feladat a szuperpozíció alkalmazása nélkül is megoldható, ha a párhuzamosan kapcsolt 6 és 12 Ω-os ellenállásokat összevonjuk (4 Ω), és az áramforrást feszültségforrással helyettesítjük: 6 8 Ω 48 8 Ω 8 Ω 48 fentiek figyelembe vételével egy egyszerű soros áramkör adódik. 4 Ω GU 4 Ω Mivel ezek egyenértékű átalakítások, ezért a feszültségforrás árama ( GU ) nem változik meg, a helyettesítő áramkörben egy Kirchhoff huroktörvény felírásával közvetlenül meghatározható. z óramutató járásával megegyező körüljárási irányt feltételezve: 60 Ebből a keresett áram: 48 + 4Ω GU 60 + 4Ω GU + 8Ω GU 0 60 48 GU 0,75, 4 Ω + 4 Ω + 8Ω ami az előző számítások során kapott értékkel nyilvánvalóan megegyezik. további számítások a fenti érték ismeretében már az eredeti kapcsolás alapján végezhetők el. 6

z jelű csomópontra a csomóponti törvényt felírva: 0,75 + 6 8 Ω 0 amiből 8 Ω 6,75 z áramforrás kapocsfeszültsége megegyezik a 8 Ω-os ellenálláson fellépő feszültséggel: U G 8 Ω 8Ω 8 Ω 6,75 54. 6 8Ω 8 Ω U G C 4 Ω 6 Ω 0,75 12 Ω 12Ω 12 Ω-os ellenállás áramát a feszültségforrás áramából meghatározhatjuk egy áramosztó képlettel: 6 Ω 12 Ω 0,75 0,25. 6 Ω + 12 Ω Ugyanezt megkapjuk, ha a huroktörvényt felírjuk a külső körre: amiből a keresett áram: 60 54 12Ω 12 60 + 4Ω 0,75 0, + Ω 60 54-3 12 Ω 0,25. 12 Ω 12 Ω-os ellenállás áramának ismeretében a C jelű csomópontra a csomóponti törvényt felírva: 6 12 0 amiből 6,25 Ω Ezek az eredmények nyilvánvalóan megegyeznek az előző módszerrel meghatározott eredményekkel! 7

5.feladat: 10 Ω Határozzuk meg az 5 Ω-os ellenálláson fellépő teljesítmény értékét! 3 85 5 Ω feladatot a helyettesítő feszültségforrás tételének (Thevenin-tétel) alkalmazásával oldjuk meg. Ehhez az 5 Ω-os ellenállást kiemeljük a hálózatból, és a helyén fellépő üresjárási feszültség lesz a helyettesítő feszültségforrás belső feszültsége. z 5 Ω-os ellenállás kiemelését követően a -os és a -os ellenállások árama azonos lesz, tehát sorba kapcsolódnak. z áramkör áramát a 3 -es áramgenerátor határozza meg. Így a fenti ellenállások árama az áram-osztó képlet alkalmazásával közvetlenül számolható: 10 Ω 3 0,5 10 Ω + (20 + 30) Ω igyázat! z áramosztó képletet mindig a két párhuzamosan kapcsolódó ág eredő ellenállásaira kell felírni! jobboldali hurokra a huroktörvényt felírva megkapjuk a keresett feszültség értékét: U b 85-30Ω 0,5 0 amiből U b 85 + 15 100. helyettesítő generátor belső ellenállása a dezaktivizált hálózat eredő ellenállása az 5 Ω-os ellenállás kapcsai felől számolva. dezaktivizálásnál az áramforrást szakadással (0), míg a feszültségforrást rövidzárral (U0) kell helyettesíteni. Most a 10 W-os és a 20 W-os ellenállások kapcsolódnak sorba, így az eredő ellenállás az adott kapcsok felől: R b (10 Ω + ) 15 Ω. 3 0,5 10 Ω 85 10 Ω 0,5 U b 8 R b

Ezek ismeretében a helyettesítő kapcsolás már felrajzolható, ami alapján a számítás elvégezhető. 15 Ω 100 5 Ω z 5 Ω-os ellenállás árama: 100 5. 15 Ω + 5 Ω z ellenállás teljesítménye: 2 2 2 P 5 Ω R 5 5 Ω 125 W. Gyakorlásképpen oldjuk meg a feladatot a szuperpozíció elvének alkalmazásával is! 6.feladat: 180 Határozzuk meg az ideális -mérő által mért feszültség értékét! -mérő a -os ellenállás feszültségét méri, ezért a -os ellenállást kiemeljük a hálózatból, a megmaradó részre pedig alkalmazzuk Thevenin tételét. 180 U b R b helyettesítő feszültségforrás belső feszültsége: 120 U b 180 120. + helyettesítő feszültségforrás belső ellenállása: R b 10 Ω + 30Ω 60Ω. helyettesítő kép alapján az ellenállás feszültsége a feszültségosztó képlettel egyszerűen meghatározható: U 120 48. + 9

7.feladat: Határozzuk meg a megadott áramkörben a feszültségforrások teljesítményét, valamint a bejelölt ágáram értékét!? C U 1 80 U 2 100 U 1 U 2 együk észre, hogy az C pontok közötti háromszög-kapcsolást csillagkapcsolássá átalakítva olyan (két csomóponttal rendelkező) hálózatot kapunk, amelyre a Millmann-tétel alkalmazható. Mivel a háromszög-kapcsolásban szereplő ellenállások értéke azonos (60 Ω), a csillag-kapcsolást alkotó ellenállások értéke is azonos lesz és harmadrésze az előbbinek (). 0 g1 U1 C U 00 U 2 g2 0 Millmann-tételt felírva: U1 U + 2 U1 80 + U 100 ( 20 20) 20 2 + + Ω Ω U 2 2 00 ' 70 1 1 1 1 1 2 + + + + 1 (20 + 20) Ω (20 + 20) Ω 2 2 feszültségforrások áramait Kirchhoff huroktörvényének alkalmazásával határozhatjuk meg. huroktörvényt a bal oldali hurokra felírva: U U1 + g 1 + 20Ω g1 + U00' 1 U00' 80 70 0 amiből g 1 0,25. 40 Ω 40 Ω generátor teljesítménye: P U -80 0,25-20 W (termelő). G1 1 g1 10

huroktörvényt a jobb oldali hurokra felírva: U 2 U00' 100 70 U 00 ' 20Ω g 2 + U 2 0 amiből g 2 1,5. generátor teljesítménye: P U -100 1,5-15 W (termelő). G2 2 g2 bejelölt áram meghatározását a feszültségforrások áramainak ismeretében az eredeti kapcsolás alapján határozhatjuk meg:? C g1 g2 U 1 U 2 Írjuk fel Kirchhoff huroktörvényét a külső hurokra: U1 + 20Ω g 1 + 60Ω U 2 0, amiből U1 U 2 20Ω g 1 kapott eredmény értelmezése: 80 100-20Ω 0,25 25 0,417. 60Ω bejelölt ágban folyó áram nagysága 0,417, míg a negatív előjel azt jelenti, hogy az áram tényleges iránya az ábrán bejelölttel ellentétes. Gyakorlásképpen oldjuk meg a feladatot a szuperpozíció elvének alkalmazásával is. megoldás során ügyeljünk arra, hogy az U 2 feszültségforrás részáramainak meghatározásakor hídkapcsolás adódik, de a háromszög-csillag átalakításra nincs szükség, mivel a híd kiegyenlített. 11

8.feladat: Határozzuk meg a megadott áramkörben a -os ellenálláson két nap alatt keletkező veszteség értékét! 80 W 2kΩ? 120 6 kω Mivel csak a -os ellenállás jellemzőinek meghatározását kell elvégezni, ezért célszerű ennek az ellenállásnak a kapcsaira a hálózat Thevenin-generátoros helyettesítő képét meghatározni. 80 -os ellenállás kiemelése után a hálózat nagyon egyszerűen számolható, mert a középső ágban illetve az alsó ágban található ellenállások sorba kapcsolódnak, és a rákapcsolt feszültség a generátorok feszültségéből közvetlenül meghatározható. 40 40 120 U b középső ágban található két -os ellenállásra közvetlenül jut a 80 -os generátor feszültsége, így azok feszültsége 80 120 ennek fele-fele, tehát 40. külső hurokban a két generátor 6 kω feszültsége összeadódik, és ez jut az alsó ágban található ellenállásokra. feszültségosztó képlet alkalmazásával: 6 kω U 6 Ω 200 120, + 6 kω míg a -os ellenállásra jutó feszültség: U 4 Ω 200 120 80. helyettesítő feszültségforrás belső feszültsége meghatározható a jobb oldali hurokra felírt huroktörvényből: 120 U b 40 0, amiből U b 120 40 80. 12

helyettesítő generátor belső ellenállásának meghatározásához rajzoljuk át az áramkört: R b 6 kω 6 kω z eredő ellenállás: R R b 4k Ω 4kΩ + 4kΩ 6kΩ + 2, 4, helyettesítő kapcsolás alapján a -os ellenállás feszültsége: 4, U 80 25. 4, + z ellenállás teljesítménye: 2 2 2 80 U 2kΩ 25 P 312,5 mw z ellenálláson két nap alatt keletkező veszteség: W 2 k Ω P2 kω t 0,3125 W 48 h 15 Wh. 13