Színes feladatok Kombinatorika 5. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 13 18 év testháló szimmetria, forgásszimmetria szabályos testek logikai megfontolások szisztematikus összeszámlálás z első feladatsor a kocka síkba terített hálóinak felrajzolásától azok adott szabály szerinti színezéséig terjed. Sokat segíthet a gyerekek térszemléletének fejlődésében. z első feladatsor feladatai helyet kaphatnának a térgeometria-feladatok között is. zért szerepelnek most mégis itt, hogy előkészítsék a 2. és a 3. feladatsor példáit, amelyek az elemi leszámlálási feladatoktól a nehezebben átgondolható, kombinatorikus térszemléletet is igénylő feladatokig terjednek. feladatsor végén kitekintést adunk általánosabb problémák felé is. feladatok listája 1. Színezzünk kockahálókat! (kombinativitás, logikus gondolkodás, térlátás) 2. Színezzünk kockákat! (kombinativitás, logikus gondolkodás, térlátás) 3. Színezzünk egyéb testeket! (kombinativitás, logikus gondolkodás, térlátás) Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 1
Módszertani tanácsok z első feladatlap egyszerű síkbeli problémái, illetve ahhoz nagyon hasonló feladatok már előkerültek a D 1.1 jelű feladatcsomagban is. Ezek után igen hasznos lehet, ha bekészítünk néhány kockát a terembe, amit a gyerekek a kezükbe foghatnak, egy nagyobb méretű kockán pedig mi magunk magyarázhatjuk az egyes eseteket. Jól bevált a gyakorlatban a kartonpapírból készített és egy egyenes nyárssal, esetleg kötőtűvel vagy hosszú ceruzával átszúrt és forgatható test. közkézen forgó testeket akár a gyerekek is elkészíthetik valamelyik korábbi órán. Mielőtt azt gondolhatnák, hogy ez nagyon komoly és nehéz dolog, feladhatjuk ajánlott olvasmánynak Móra Ferenc közel 100 éves, de ma is élvezetes stílusú Tetrakontaoktaéderek című novelláját. Egyéb testeket is hajtogathatnak a tanulók, megtapasztalhatják, hogyan és hol kell lemetszeni az ikozaéder csúcsait. Célszerű és biztos siker a fiúk között egy valódi focilabda használata is. Lehet, hogy van olyan gyerek, aki első olvasásra nem érti meg a feladat minden apró részletét. Ezért némelyik feladat értelmezése, a feladat megfogalmazásának megvitatása, annak egyértelművé tétele is közös feladat lehet. színezéses feladatok messzire vezethetnek, tág tere nyílik a magasabb szintű általánosításnak. Megoldások, megjegyzések 1. Színezzünk kockahálókat! 1. kockának 11 olyan hálózata létezik, amelyek nem vihetők át egymásba forgatással vagy a kivágott alakzat megfordításával, azaz tükrözéssel. szisztematikus próbálkozás vezet célhoz. Öt darab négyzetlap nyilván nem lehet egy sorban egymás mellett, hiszen akkor összehajtás után két lap fedné egymást. Négy lap éppen lehet egymás után, ilyen az első 6 ábra. Ekkor a maradék két lapnak a négy, egy sorban elhe- 2 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)
lyezkedő lap két különböző (hosszabb) oldalán kell lennie. lehetséges pozíciókat felsorolva éppen az 1 6. hálózatokat kapjuk. Ha csak 3 négyzet csatlakozik sorban egymáshoz, akkor csatlakoztassunk ezekhez további lapokat. Balról jobbra és fentről lefelé haladva az első lehetséges helyzet az a) ábrán látható. Ha felfelé akarnánk tovább haladni, akkor a b) ábrán látható elrendezéshez jutnánk, de itt a két megjelölt lap fedné egymást. Ezek szerint csak balra haladhatunk a felső sorban, amikor a c) elrendezéshez jutunk. Ezt az elrendezést alul folytatva kapjuk a 7., 8. és 9. ábrát, a felső sorban balra folytatva pedig a 10. ábrát. Más irányban nem lehet bővíteni a lapok hálózatát. Ha a negyedik lapot az a) ábrán látható elhelyezés helyett középen illesztenénk a három egy sorban levőhöz, akkor az esetek számbavétele után azt láthatnánk, hogy nem kapunk újabb hálózatot. Egyetlen eset maradt hátra, ha legfeljebb 2 lap van egymás mellett egy sorban. Ebből az esetek áttekintése után a 11. ábrához jutunk. Összefoglalva, a kockának megadtuk mind a 11 lehetséges, egymástól különböző hálózatát. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 3
2. szemközti lapokat ugyanolyanra színezve egy lehetséges megoldást a következő ábrán láthatunk. Természetesen a gyerekek szebb ábrákat készíthetnek például a piros fehér zöld színeket használva. 4 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)
3. kocka egy csúcsban találkozó lapjainak közös csúcsait egyformán jelölve (színezve) például az alábbi ábrán látható elrendezést kapjuk. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 5
2. Színezzünk kockákat! 1. kocka lapjait pontosan két különböző színnel 8-féle módon lehet megszínezni. Ha megengedjük az egyszínű kockákat, akkor ehhez jön még a két darab egyszínű kocka, azaz 10 különböző, legfeljebb két színnel színezett kocka van. Nézzük meg az eseteket részletesen, és foglaljuk eredményeinket táblázatba. Nyilván 1 darab olyan kocka létezik, amelynek 0, 1, 5 vagy 6 lapja piros. Ha két lap piros, akkor az a két lap lehet szomszédos, vagy elhelyezkedhetnek egymással szemben. Ez összesen két lehetőség, és természetesen ugyanez a helyzet 4 piros és 2 kék lap esetén is. Három piros lap esetén egészítsük ki az előző esetben vizsgált két piros lapot! Ha a két lap szemben volt egymással, akkor csak három, egymáshoz egy-egy élben csatlakozó piros lapot kaphatunk. Ha a két piros lap szomszédos volt, akkor a harmadik lehet olyan is, amely mindkettőhöz kétkét élben csatlakozik. Ez most is két lehetőség. Piros lapok száma: 0 1 2 3 4 5 6 Kék lapok száma: 6 5 4 3 2 1 0 Kockák száma: 1 1 2 2 2 1 1 6 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)
2. Pontosan hat színnel csak úgy lehet színezni, ha minden színt pontosan egy laphoz használunk fel. Színezzük ki a kocka egyik lapját pirosra, és állítsuk a kockát erre a lapjára. Nyilván minden kiszínezett kockát el lehet így forgatni. z ezzel szemben levő lap 5-féle színű lehet, a maradék négy oldallap pedig 4$ 3$ 2$ 1 = 6 módon színezhető. Ez 4 összesen 5 6 = 30-féle lehetőség. Másik megoldás: Vegyük sorra a kocka forgásszimmetriáit! 1 db 0c-os forgatás (helybenhagyás vagy idegen szóval identitás). 3 + 3 db! 90c-os forgatás a két szemközti lap középpontján átmenő tengely körül. 3 db 180c-os forgatás a két szemközti lap középpontján átmenő tengely körül. 4 + 4 db! 120c-os forgatás a két szemközti csúcson átmenő tengely (testátló) körül. 6 db 180c-os forgatás a két szemközti él felezőpontján átmenő tengely körül. Ez összesen 24 mozgás a térben, ezek alkotják a kocka öszszes lehetséges forgatását. Ez más szavakkal megfogalmazva azt jelenti, hogy bármely színezés esetén 24 olyan színes kocka van, amelyek egymástól csak elforgatásokban különböznek. Ha rögzítenénk a kockát a térben, akkor nyilván 6! = 720 különböző színezése lehetne pontosan 6 színnel. z előbb láttuk, hogy ezek 24-féle módon forgathatók el, azaz a különböző színezések száma 720 = 30. 24 3. Pontosan 5 színnel úgy lehet színezni, ha egy színt két laphoz használunk fel, a maradék 4 színt pedig egy-egy laphoz. zt a színt, amivel két lapot színezünk, ötféleképpen választhatjuk ki a színek közül. Ha a megegyező színnel két szemközti lapot színezünk, akkor a maradék 4 lapot 4! = 6 különböző módon színezhetjük meg, ha a két szemközti lapot rögzítjük, 4 hi- Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 7
szen 4! az összes lehetőség, de ezt 4 különböző módon elforgathatjuk. Ha még azt is figyelembe vesszük, hogy most az alapot is megcserélhetjük a szemközti lappal, akkor már csak 6 = 3-féle különböző színezést kapunk. 2 Ha a két megegyező színű lapnak van közös éle, akkor a maradék 4 lapot 4! = 24-féle módon színezhetjük meg, de ezek kettesével azonosak, hiszen a két egyszínű lap közös élének és a vele szemközti élnek a felezőpontján átmenő tengely körül 180c-kal elforgatva ugyanazt a kockát kapjuk. Ez 24 = 12 lehetőség, ami összesen 3 + 12 = 15 lehetőség. 2 Ne feledjük szorozni ezt a számot az első bekezdés értelmében 5-tel, azaz 15 5 = 75 különböző módon színezhető egy kocka pontosan 5 különböző színnel. 4*. Pontosan 3 színnel 30-féle kockát lehet megszínezni. leszámlálás több esetet ölel fel, és ezeken belül néhány térbeli szimmetria átgondolását igényli. három szín legyen például piros, fehér és zöld. z egyszínű lapok számai (4, 1, 1), (3, 2, 1) vagy (2, 2, 2). Nézzük először a (4, 1, 1) esetet! Nyilván háromféleképpen választhatjuk meg azt a színt, amelyikkel 4 lapot színezünk, legyen ez például a piros. Ekkor a fehér és a zöld lapok vagy szomszédosak, vagy szemköztiek. különböző kockák száma ebben az esetben tehát 3 2 = 6. Vegyük sorra a második, azaz a (3, 2, 1) esetet! Ekkor 3 2 = 6-féleképpen tudjuk a színeket megválasztani. Legyen mondjuk 3 piros, 2 fehér és 1 zöld. Színezzük a kocka alsó lapját zöldre. Ekkor a két fehér lap három különböző helyzetben lehet a zöldhöz képest. Lehet az egyik fehér szemben a zöld lappal (a másik fehér ekkor oldallap, és bárhol lehet, az esetek egymásba forgathatók). Lehet a két fehér egymással szomszédos oldallap, illetve egymással szemközti oldallap. Ez összesen 6 3 = 18 eset. Vizsgáljuk meg az utolsó, azaz a (2, 2, 2) esetet. Ekkor a színek választása semmit sem befolyásol, hiszen mind- 8 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)
egyikből kettő van. Ha két egyszínű lap szemközti, a másik kettő pedig szomszédos, akkor ez 3 lehetőség, mert a szemközti lapok színe 3-féleképpen választható. Ha van még egy szemközti azonos színű lappár, akkor a harmadik lap is ilyen, és ebből csak egy eset van, mert bármely két ilyen kocka egymásba forgatható. fennmaradó eset az, ha nincsenek szemközti egyszínű lapok, azaz bármely két egyszínű lap szomszédos. Ekkor az alábbi ábrán látható két lehetőség van. Ha a két látható függőleges lap piros, akkor a fedőlap és a bal oldali vagy a fedőlap és a hátsó lap lehet zöld. Egy megszínezett dobókockán ellenőrizhető, hogy más eset nincs, mert ha a fehér és zöld lapokat felcseréljük, és a két piros lapot egymásba forgatjuk az élfelező pontokon átmenő tengely körül, akkor az előbb megadott kockákat kapjuk. Ez még 3 + 1 + 2 = 6 eset. három lehetőség alapján 6 + 18 + 6 = 30 különböző színezés létezik pontosan 3 színnel. 5* kocka lehetséges színezéseinek száma legfeljebb n színnel: 1 6 4 3 2 $ ^n + 3$ n + 12$ n + 8$ n h 24 Ellenőrizzük a kapott eredményt a be nem látott, de helyes képlet segítségével. z n = 3 esetre a képlet által szolgáltatott szám 57. Legfeljebb 3 színt használva 3 darab egyszínű kockát készíthetünk, két színt pedig háromféleképpen választha- Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 9
tunk ki, tehát ez még 3 8 = 24 eset. Ha pontosan három színt használva a lehetséges színezések száma p 3, akkor a 3$ 1+ 3$ 8+ p3 = 57 egyenletből megkapjuk a p3 = 30 eredményt. Ez szerencsére ugyanaz, mint amit a 4.* feladatban kaptunk. képletet még egyszer alkalmazva, az n = 4 esetre, 4-féleképpen választhatunk egy színt, 6-féleképpen két színt és 4-féleképpen 3 színt, amiből 4$ 1+ 6$ 8+ 4$ 30+ p4 = 240 a pontosan 4 színnel színezett különböző kockák számára a p4 = 68 adódik. 3. Színezzünk egyéb testeket! 1. Kétféleképpen is átgondoljuk a feladatot. a) Legyen a 4 szín a piros, fehér, zöld, lila, és színezzük meg az egyik lapot pirosra! Válasszuk ezt alaplapnak! maradék 3 lapot 3! = 2 különböző módon színezhetjük ki. 3 b) Gondoljuk úgy, mintha rögzített lenne a térben a tetraéder. Ekkor persze 4! = 24 különböző színezése lenne. tetraédernek forgástengelye a csúcson és a szemközti lap középpontján átmenő tengely. Négy forgástengely körül 3-3 db 120c-os forgatás viszi önmagába a tetra - édert, ami összesen 12 mozgás, tehát 24 = 2 különböző 12 színezése létezik a tetraédernek. 10 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)
2. Ezt a feladatot is kétféleképpen oldjuk meg. a) Először is színezzük meg az egyik színnel az alaplapot. Ekkor a szemközti lap 7 színnel színezhető. z alaplaphoz élben csatlakozó 3 lap 6$ 5$ 4 különböző módon színezhető, mert 3-féle módon elforgatható. 3 Ezek a színezett lapok már rögzítik az oktaéder helyzetét, a maradék 3 lap pedig 3! = 6 különböző módon színezhető. z összes lehetőség száma: 7 $ 6 $ 5 $ 4 $ 3 $ 2 $ 1 = 1680 3 b) hhoz, hogy kényelmesen tekintsük át az oktaéder szimmetriáit, gondoljunk arra, hogyan kaphatunk kockából oktaédert. Vegyük a kocka lapközéppontjait és a szomszédos lapokhoz tartozókat kössük össze. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 11
konstrukcióból és a hozzá tartozó ábráról is látszik, hogy az oktaéder és a kocka szimmetriái megegyeznek. Ezért a lehetséges színezések száma 8! = 1680. 24 3. Kezdjük azzal, hogy megvizsgáljuk, hány és milyen lapja van a focilabdának (csonkított ikozaédernek). z ikozaéder csúcsainak levágása után a csúcsok helyén 12 darab szabályos ötszög keletkezik. 20 darab háromszöglap helyén pedig 20 darab szabályos hatszög marad. Ez összesen 32 lap. lapokat 32! módon tudjuk színezni, de ezt osztani kell a lehetséges forgatások számával. z ötszögek körül 5-féle módon lehet forgatni, és bármely ötszög bármely ötszögbe átforgatható, ami összesen 5 12 = 60 mozgás. lehetséges színezések száma 32!. 43855, $ 10 33, ami hatalmas 60 szám. ki mélyebben érdeklődik a téma iránt, az kutakodhat az interneten a Pólya-féle leszámlálás, illetve a Burnside-lemma címszavak beírása után. 12 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)
Kombinatorika Kombinativitás 5.5 1. Színezzünk kockahálókat! 1. dd meg a kocka lapjainak síkba kiterített összes lehetséges összefüggő (azaz egymáshoz közös élekkel csatlakozó) hálózatát, amelyek sem forgatással, sem tükrözéssel nem vihetők egymásba. Példaként az alábbi ábra mutat egy lehetőséget. 13 18. év Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 13
Kombinatorika Kombinativitás 5.5 13 18. év 2. Színezd ki az előző feladatban kapott kockahálókat piros, fehér és zöld színnel úgy, hogy a szemközti lapok azonos színűek legyenek! (Ha nincs színesed, használhatsz színek helyett számokat, betűket, illetve tetszőleges jeleket ) Példaként az alábbi ábra mutat egy lehetőséget. 14 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)
Kombinatorika Kombinativitás 5.5 3. Színezd ki az első feladatban kapott kockahálókat úgy, hogy az egy helyre záródó lapok csúcsai egyforma színűek legyenek! Példaként az alábbi ábra mutat egy lehetőséget. 13 18. év Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 15
Kombinatorika Kombinativitás 5.5 2. Színezzünk kockákat! 13 18. év 1. Egy kocka lapjait egy-egy színnel megszínezzük. Két kiszínezett kockát egyformának tekintünk, ha van olyan mozgás a térben, amely az egyiket a másikba viszi. Hány különböző kockát készíthetünk, ha minden lapot pirossal vagy kékkel színezünk ki? 2. Egy kocka lapjait 6 színnel megszíneztük. Minden lapot egy-egy színnel, azaz mind a hat színt pontosan egyszer felhasználtuk. Hány különbözően színezett kockát készíthetünk? 3. Egy kocka lapjait 5 színnel megszíneztük. Minden lapot egy-egy színnel, és mind az öt színt felhasználtuk. Ekkor persze az egyik színnel két lapot is színeztünk. Hány különbözően színezett kockát készíthetünk? 4.* Egy kocka lapjait 3 színnel megszíneztük. Minden lapot egy-egy színnel, és mind a három színt felhasználtuk. Hány különbözően színezett kockát készíthetünk? 5.* Tudjuk, hogy a szabályos kocka lapjait legfeljebb n színnel színezve a különbözően színezett kockák száma: 1 24 6 4 3 2 $ ^n + 3$ n + 12$ n + 8$ n h Számítsuk ki ennek segítségével a pontosan 3 színnel, illetve a pontosan 4 színnel színezett kockák számát! 16 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)
Kombinatorika Kombinativitás 5.5 3. Színezzünk egyéb testeket! 1. Színezzük meg a szabályos tetraéder lapjait pontosan négy színnel! Két kiszínezett tetraédert egyformának tekintünk, ha van olyan mozgás a térben, amely az egyiket a másikba viszi. Hány különbözően színezett tetraédert készíthetünk? 13 18. év 2. Színezzük meg a szabályos oktaéder lapjait pontosan nyolc színnel! Hány különbözően színezett oktaédert készíthetünk? 3. Színezzük ki a csonkított ikozaéder (közismert nevén a focilabda) lapjait különböző színekkel! Hány különbözően színezett testet készíthetünk? Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 17
z Ön jegyzetei, kérdései*: * Kérdéseit juttassa el a RBE Kiadóhoz! 18 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)