2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással az adott pontban z azimutot a meridián északi ágától kiindulva az óramutató járásával megegyező irányban számítjuk 0 tól 360 -ig (3 ábra bal oldali része) 1 ábra: zimutok és egy paralelkör sugara meridiánok sugara azonos a gömb R sugarával φ földrajzi szélességű paralelkör sugara (3 ábra jobb oldali része): r R cos φ R sin β Forgásfelületen a legrövidebb vonalat általánosan geodéziai vonalnak, más szóval ortodromának nevezzük gömb két pontja közötti legrövidebb vonal a két ponton átmenő gömbi főkörnek a két pont által határolt rövidebb íve Így tehát a gömbön a geodéziai vonal, az ortodroma és a gömbi főkör elnevezés ugyanazt a fogalmat jelöli geodéziai vonal - minden forgásfelületen érvényes általános egyenlete: r sin α k (konstans),) ahol r a ponton átmenő paralelkör sugara, α pedig a geodéziai vonal azimutja a pontban (Ez Clairaut tétele) Mivel gömbön az egyenlítő a legnagyobb paralelkör r max R, és r max (sin α) min k, ebből k k ( ) min r R max 2-1
Óravázlat a Vetülettan előadásaihoz Ez a hányados határozza meg azt az azimutot, amely alatt az ortodroma az egyenlítőt metszi, tehát az α-nak az egyenlítőn van a minimuma z ortodromán a pólusok felé haladva a paralelkör sugarának csökkenésével az azimut egyre jobban nő, egészen 90 -ig, amikor is: és ( ) r min k max 1 k r min, bban a pontban, amelyben az azimut 90 -ot ér el, a gömbi főkör érinti a ponton átmenő paralelkört, de át már nem metszi k konstans annak a legrövidebb határparalelkörnek a sugarát jelenti, amelyet a gömbi főkör elérhet, és ahonnan a határparalelkör érintéséig megtett úttal szimmetrikus alakú vonalon növekvő azimuttal tér vissza az egyenlítőn levő kiindulási pontjával átellenes pontjába z egyenlítőt most dél felé elhagyva a déli félgömbön halad tovább az északi félgömbön megtett útjával szimmetrikus vonalon egészen az egyenlítőn levő kiindulási pontig meridiánok és az egyenlítő is mint tudjuk gömbi főkörök meridián azimutja minden pontjában 0 vagy 180, határparalelkörének sugara zérus, tehát határparalelkörei a pólusok z egyenlítő olyan ortodroma (és egyben paralelkör), amelynek azimutja minden pontjában 90 vagy 270, határparalelkörének sugara: R k, vagyis az egyenlítő önmagának a határparalelköre (nem lép ki önmagából) paralelkörök síkja (az egyenlítő kivételével) nem megy át a gömb középpontján, ezért a paralelkörök nem ortodromák forgásfelületek másik nevezetes vonala a loxodroma loxodroma olyan folytonos görbe vonal, amely minden pontjában azonos szöget zár be a meridián irányával, tehát azimutja állandó: α k (konstans) loxodroma a gömbön a meridián (α 0 vagy 180 ), valamint az egyenlítő mentén (α 90 vagy 270 ) gömbi főkör, a paralelkörök mentén (α 90 vagy 270 ) gömbi kis kör, más irányban pedig olyan csavarvonal, amely aszimptotikusan közeledik a pólushoz loxodromának különösen a tengeri hajózásban van jelentősége Régebben általában loxodromán hajóztak, mert így csak állandó azimutot kellett tartani Hosszú útvonalon a loxodroma lényegesen hosszabb lehet a legrövidebb vonalnál, ezért újabban az ortodromán hajóznak z ortodroma azimutja viszont pontról pontra változik, ami sok földrajzi helymeghatározást igényel, hogy az azimut folytonos változását követhessék z ortodromát ezért ilyenkor szakaszokra bontották, és a szakaszokon belül loxodromával helyettesítették repülésben is hasonló gyakorlatot követtek Két pontot összekötő ortodromának a két pontnál jelentkező azimutja - a meridiánok pólus felé konvergálása miatt - általában nem 180 -kal különbözik egymástól, hanem 180 + γ -val, ahol γ a két pont között fellépő valódi gömbi meridiánkonvergencia valódi gömbi meridiánkonvergencia, a földrajzi hosszúságkülönbség és annak a poláris gömbháromszögnek a gömbi szögfeleslege között, amelynek egyik oldala a két vizsgált pontot összekötő ortodroma, összefüggés van valódi gömbi meridiánkonvergencia az 2-2
2 előadás: További gömbi fogalmak előbbi meghatározás szerint, és figyelembe véve, hogy a gömbháromszög belső szögeinek összege: α + (360 - α ) + λ 180 + ε, α - α + λ 180 + ε, α α ± 180 + λ - ε, Végezzük el a γ λ - ε helyettesítést! α α ± 180 + γ Ezek szerint a gömbi szögfelesleg, illetve a valódi gömbi meridiánkonvergencia: ε λ γ γ λ - ε Két pont között tehát a valódi gömbi meridiánkonvergencia egyenlő a pontokat összekötő gömbi főkör és a két pont meridiánja által meghatározott poláris gömbháromszögben a pólusnál levő szög (a földrajzi hosszúságkülönbség) és a gömbi szögfelesleg különbségével Geodéziai alapfeladatok a gömbön Első geodéziai alapfeladat a gömbön Ha ismerjük valamely pont (ϕ, λ ) gömbi földrajzi koordinátáit, az és a pontok közötti s gömbi ív hosszát, valamint ennek az ívnek az pontbeli α azimutját, akkor a pont (ϕ, λ ) földrajzi koordinátái és a pontbeli (α ) ellenazimut a gömbháromszög alapösszefüggéseiből számíthatók z ívhez tartozó középponti szög: 2 ábra: lapfeladatok a gömbön 2-3
Óravázlat a Vetülettan előadásaihoz s υ ρ, ahol ρ 180 R π pont gömbi földrajzi koordinátái: sin ϕ cosυ + cosα sin λ z ellenazimut szinusza: sin λ Második geodéziai alapfeladat a gömbön Két gömbfelületi (, ) pont távolsága, vagyis a két ponton átmenő gömbi főkör és közötti rövidebb ívének s hossza, valamint ennek az ívnek az azimutja az és pontban (α, α ) a két pont gömbi földrajzi koordinátáiból a gömbháromszögtan összefüggéseiből számítható (az előbbi ábra): cos υ + cos λ, ahol: λ λ λ z és pontbeli azimutok szinuszai: sin cos sin λ ϕ α sin(360 α ) gömbi ívhossz: R s ρ υ kiszámított szinusz értékekből csak szemlélet alapján tudjuk eldönteni, hogy az azimutok melyik szögnegyedben vannak Egyértelművé akkor válik a feladat, ha a cosα-t is kiszámítjuk: cos α cosυ Gömbfelületi derékszögű koordináta-rendszer gömbfelületi derékszögű (ortogonális) koordináta-rendszer kezdőpontja általában egy tetszőlegesen választott gömbi főkör (ortodroma) K pontja kérdéses felületi pontból a kiválasztott gömbi főkörre merőlegesen gömbi főkört bocsátunk körök metszéspontja az pont alapkörön levő T talppontja 2-4
2 előadás: További gömbi fogalmak 3 ábra: Soldner-féle gömbi koordináták Ebben az esetben az pont gömbfelületi derékszögű koordinátái: x KT ívhossz, y T ívhossz bszcisszatengelynek rendszerint meridiánt vesznek fel Ilyen a Soldner-féle koordináta-rendszer Poláris gömbháromszög alapján összefüggés írható fel a Soldner-féle és a földrajzi koordináták között Gömbfelületi poláris koordináta-rendszer Valamely pont gömbfelületi poláris koordinátáit az pontot egy tetszőleges K kezdőponttal összekötő gömbi főkörön mért R υ ívdarab hossza és az ívdarab K pontbeli α azimutja határozza meg φ-vel az pont, φ o -lal a K pont földrajzi szélességét jelöltük z pont K-ra vonatkozó földrajzi hosszúsága: λ poláris- és a földrajzi koordináták közötti összefüggéseket a K P poláris gömbháromszögből a gömbháromszög oldalkoszinusz és szinusz tételéből határozzuk meg Ha a poláris rendszerbeli koordináták adottak, akkor a földrajzi koordináták a következő képletekből számíthatók: cosυ + sin λ cosα, Ha pedig a földrajzi koordinátákat ismerjük, akkor szintén az oldalkoszinusz és a szinusz tétel alapján: cosυ + sin λ cos λ, 2-5
Óravázlat a Vetülettan előadásaihoz Térbeli derékszögű koordináta-rendszer gömbhöz rendelt térbeli derékszögű koordináta-rendszer kezdőpontját a gömb középpontjában jelöljük ki, z tengelyül a pólusokat összekötő átmérőjét, x tengelyül az egyenlítő és egy tetszőlegesen választott kezdőmeridián síkjának metszésvonalát, y tengelyül pedig az egyenlítő síkjában fekvő - a gömb középpontján átmenő - és az x tengelyre merőleges átmérőt választjuk (ábra) Gömbi térbeli derékszögű koordináta-rendszer gömbfelületi pont térbeli derékszögű koordinátái (a gömb Gauss-féle paraméteres egyenletei) az ábráról leolvashatóan: x R cos φ cos λ, y R sin φ sin λ z R sin φ derékszögű koordinátákból a földrajzi koordinátákat az alábbi inverz képletekből számíthatjuk: z y, tg λ R x 2-6