EGY T BBV LTOZ S HASZNOSS GI F GGV NY NAGY GERGELY S PR KOPA ANDR S Budapest Kivonat Egy u(z) asznoss gi f ggv nyt l ltal ban azt szokt k megk vetelni, ogy teljes ljenek az u 0 (z) 0, u 00 (z) 0 felt telek, vagyis ogy u(z) n vekv s konk v legyen. Egyes szerz k azonban azt is megk v nj k, ogy az egym s ut ni deriv ltak altern lva pozit vak illetve negat vak legyenek: u 0 (z) 0; u 00 (z) 0; u 000 (z) 0; u (4) (z) 0; : : :. Egy u(z ; : : : ; z s ) t bbv ltoz s asznoss gi f ggv nnyel kapcsolatban, a fentieknek megfelel en megk v natjuk azt, ogy mindegyik v ltoz j ban n vekv s az sszes v ltoz ban egy ttesen konk v legyen, illetve megk v natjuk m g azt is, ogy a f ggv ny valamennyi p ratlan (p ros) rend vegyes parci lis deriv ltja pozit v (negat v) legyen. A dolgozat c lja kett s. Egyfel l konstru lunk egy, az er sebb felt telnek eleget tev, u(z ; : : : ; z s ) asznoss gi f ggv nyt. M sfel l, a v letlen X ; : : : ; X s vagyon rt kekkel vett u(x ; : : : ; X s ) val sz n s gi v ltoz v rat rt k re szoros als s fels korl tot adunk, mid n val sz n s gi v ltoz ink diszkr tek, egy ttes eloszl suk ismeretlen, viszont ismertek azok bizonyos t bbdimenzi s momentumai.. A t bbv ltoz s asznoss gi f ggv ny Egy u(z) egyv ltoz s asznoss gi f ggv nnyel kapcsolatban megk vetelj k, ogy teljes lj n az al bbi Felt tel H u 0 (z) 0; u 00 (z) 0. A legt bb asznoss gi f ggv ny eset ben ezek az egyenl tlens gek szigor rtelemben teljes lnek. Egyes szerz k a fentin l er sebb felt tel teljes l s t k v nj k meg, nevezetesen az al bbit. Felt tel H 2 u 0 (z) 0; u 00 (z) 0; u 000 (z) 0; u (4) (z) 0; : : :, te t a p ratlan (p ros) rend deriv ltak nemnegat vak (nempozit vak). Az u(z ; : : : ; z s ) t bbv ltoz s asznoss gi f ggv nyek eset ben a H felt telnek az al bbi feleltetet meg: Felt tel H 3 Az u(z ; : : : ; z s ) f ggv ny n vekv mindegyik v ltoz j ban s konk v, mint s-v ltoz s f ggv ny. Enn l szigor bb az al bbi
Felt tel H 4 Az u(z ; : : : ; z s ) f ggv ny n vekv minden v ltoz j ban, konk v, mint s-v ltoz s f ggv ny, tov bb az sszes (tiszta vagy vegyes) p ratlan rend deriv ltak nemnegat vak, a p ros rend deriv ltak pedig nempozit vak. Ebben a szakaszban analitikus form ban megadunk egy a H4 Felt telnek eleget tev f ggv nyt. Ez a k vetkez : u(z ; : : : ; z s ) = log k(e z +a ) (e szs+as ) ; (.) aol k ; ; : : : ; s pozit v, a ; : : : ; a s pedig nemnegat v lland k, a f ggv ny rtelmez si tartom nya pedig a (z ; : : : ; z s )je iz i +a i > 2; i = ; : : : ; s (.2) almaz. Az (.) f ggv ny megat roz s oz az tletet az gynevezett Frank-f le f ggv ny adta pl. Bowers Jr. et al. [], melyet azonban l nyegesen talak tottunk. Nyilv nval, ogy az u(z ; : : : ; z s ) f ggv ny az rtelmez si tartom ny ban mindegyik v ltoz ja szerint (mint egyv ltoz s f ggv ny) szigor an n vekv. Nem nyilv nval, de igaz az az ll t s is, ogy az (.) f ggv ny az rtelmez si tartom ny ban konk v. Ennek bizony t s oz sz ks g nk lesz a logaritmikusan konk v (logkonk v) f ggv ny fogalm ra s egyszer tulajdons gaira. Den ci. Tegy k fel, ogy D IR s konvex almaz s f a D almazon rtelmezett nemnegat v rt k f ggv ny. Az f f ggv nyt logkonk vnak nevezz k, a b rmely x; y 2 D s 0 < < eset n fenn ll az f (x + ( )y) [f (x)] [f (y)] (.3) egyenl tlens g. Ha az (.3) rel ci ban a ford tott ir ny egyenl tlens g rv nyes, akkor az f f ggv nyt logkonvexnek nevezz k. Ha f (z) pozit v rt k a D almazon, akkor a logkonk vit s egyen rt k azzal, ogy logf (z) konk v a D almazon. K t logkonk v f ggv ny szorzata nyilv nval an logkonk v, sszeg k azonban nem felt tlen l. Az sszegre a logkonvex tulajdons g r kl dik, amint az a H lder egyenl tlens g seg ts g vel k nnyen bel tat. Igaz viszont az al bbi T tel. (Pr kopa [3] p.324, Lemma.2.2). Ha az f f ggv ny logkonk v a D konvex almazon s p > 0 lland, akkor az f (z) p f ggv ny logkonk v az almazon. fzjf (z) pg A t telt nem bizony tjuk, de megjegyezz k, ogy az egyszer en bizony tat a sz mtani tlag - m rtani tlag egyenl tlens g felaszn l s val. Az. t telb l k vetkezik a T tel.2 Az (.) f ggv ny konk v az (.2) almazon. 2
Bizony t s Jel lje D az (.2) almazt. Minden i eset n az e iz i +a i f ggv ny logkonk v a D almazon, te t az. t tel szerint ugyanez ll az f ggv nyre is. Ebb l k vetkezik, ogy a e iz i +a i k(e z +a ) (e szs+as ) szorzatf ggv ny is logkonk v ugyanott. Mivel pedig (.2) szerint ennek rt ke nagyobb mint, az. t tel ism telt alkalmaz s val k vetkezik, ogy az (.) f ggv ny konk v az (.2) almazon. 2 K vetkez t tel nk az (.) f ggv ny tov bbi fontos tulajdons g t mondja ki. T tel.3 Minden z 2 D eset n fenn ll, ogy illetve @ i ++i s u @z i @zis s @ i ++i s u @z i @zis s > 0; a i + + i s p ratlan, < 0; a i + + i s p ros. Bizony t s Egyszer s g kedv rt feltessz k, ogy k = = = s = ; a = = a s = = 0. Ez nyilv n nem jelent megszor t st, tov bb az is igaz, ogy ennek a felt telnek a gyelembe v tel vel sz m tott parci lis deriv ltak k plet b l az ltal nos esetre vonatkoz k pletek k nnyen sz rmaztatat k. Sz ks g nk lesz az al bbi lemm ra. Lemma.4 Tekints k az f (z) = log (k(e z ) ) ; f ggv nyt, aol k lland s z > log2. Azt ll tjuk, ogy df dz = + k + ke z (k + ) d i f ix dz i = ( )i a (i) k + ke z ; i = 2; 3; : : : ; (k + ) aol az a (i) sz mok az al bbiak: = (.4) a (i) = ; i = 2; 3; : : : a (2) = a (2) 2 = a (i) a (i) i = a(i ) = a (i ) i ( ) + a(i ) ; = 2; : : : ; i (i ): (.5) 3
A Lemma bizony t sa Az els rend deriv ltra vonatkoz ll t s trivi lis, s az i = 2 esetre vonatkoz formula rv nyess ge is k nnyen ellen rizet. Teljes indukci s bizony t st alkalmazva, tegy k fel, ogy (.4) m sodik sora igaz valamely i 2 eset n. Az (.4) egyenletek k z l az als t tov bb deriv lva az ad dik, ogy d (i+) f ix = ( ) i a (i) dz i+ k + (k + )ke z ke z (k + ) (ke z (k + )) = 2 = ix = ( ) i a (i) k + k + ke z (k + ) ke z (k + ) + k + 2! ke z = (k + ) =" X i = ( ) i a (i) k + ix + a (i) k + + # = ke z (k + ) = ix = ( ) a i (i) + a(i) = +( ) i a (i) i i X = ( ) i i+ = = ( ) a (i+) k + ke z (k + ) k + ke z (k + ) ke z (k + ) k + ke z + (k + ) i+ = Ezzel a Lemm t bebizony tottuk. A Lemm b l k vetkezik, ogy az f (z) f ggv ny p ratlan rend deriv ltjai pozit vak, p ros rend deriv ltjai negat vak. rdemes megjegyezni, ogy az (.4) k pletek k z l a m sodikat az i = esetre alkalmazva, az els z k pest csak az a k l nbs g, ogy nem ad dik ozz az. Visszat rve a.3 t tel bizony t s ra, vezess k be a k = k(e z2 ) (e zs ) jel l st, s r gz ts k a z 2 ; : : : ; z s v ltoz k rt keit. Ekkor az u(z ; : : : ; z s ) f ggv ny egyed l a z v ltoz t l f gg, s alakja a k vetkez : A Lemma szerint @ i u @z i = ( ) i : u(z ; : : : ; z s ) = log (k (e z ) ) : (.6) @u = + @z i X = a (i ) k + k e z (k + ) k + k e z (k + ) ; i 2: Hasonl formula rat fel a z ; : : : ; z s v ltoz k ak rmelyike szerint vett deriv lt eset re. Ebb l pedig k vetkezik a t tel ll t sa arra az esetre, amiez csak egy v ltoz szerint vett deriv ltat vesz nk. A vegyes deriv ltak eset vel oly m don foglalkozunk, ogy az (.7) k pleteket talak tjuk, majd z 2 szerint deriv ljuk i 2 rendben, s.i.t. 4 (.7)
Vezess k be a k 2 = k(e z )(e z3 ) (e zs ) jel l st. E jel l ssel az al bbi egyenl s g rat fel: k e z (k + ) = k (e z ) = = k(e z )(e z2 ) (e zs ) = = k 2 (e z2 ) = k 2 e z2 (k 2 + ): Ezt gyelembe v ve, (.7) fel rat a k vetkez m don: @ i u @z i @u = + k + k 2 + @z k 2 + k 2 e z 2 (k 2 + ) Xi = ( ) i a (i ) k + k 2 + k 2 + k 2 e k ; i 2: 2 (k 2 + ) = (.8) Most r gz ts k z ; z 3 ; : : : ; z s rt k t, s tekints k az (.8) formul kkal adott f ggv nyeket a z 2 v ltoz egyv ltoz s f ggv nyeinek. Ha vessz k a z 2 szerinti els deriv ltat, akkor a indexez tartoz tagban azt kapjuk, ogy = k 2 + k 2 e z = 2 (k 2 + ) k 2 + (k 2 + )k 2 e z 2 = k 2 e z 2 (k 2 + ) (k 2 e z 2 (k 2 + )) = 2 k 2 + k 2 + k 2 + k 2 e z 2 (k 2 + ) = " @ @z 2 k 2 + k 2 e z 2 (k 2 + ) k 2 e z 2 (k 2 + ) + + k 2 + k 2 e z 2 (k 2 + ) k 2 e z 2 (k 2 + ) + # Ezt minden tagban elv gezve, majd tov bb deriv lva z 2 szerint addig, am g i 2 rend deriv ltakat kapunk, l tat, ogy @ i +i 2 u = ( ) i +i 2 (pozit v rt k): @z i @zi 2 2 Tov bb aladva a z 3 ; : : : ; z s szerinti deriv ltakban, a t tel ll t sa k vetkezik. 2 : 2! = 2. Numerikus p ld k az E [u(x ; : : : ; X s )] v rat rt kre s = 3 eset n Nagy s Pr kopa a [2] dolgozatban ltal nos s at kony m dszert adott diszkr t val sz n sgi v ltoz k magasabb rend konvex vagy konk v f ggv nye v rat rt ke als s fels korl tjai konstru l s ra. Az. szakaszban rtelmezett asznoss gi f ggv ny eleget tesz a [2] dolgozatban megfogalmazott k vetelm nyeknek. Ebben a szakaszban az ottani becsl si m dszereket alkalmazzuk az u(x ; X 2 ; X 3 ) 5
val sz n s gi v ltoz v rat rt k re, aol X ; X 2 ; X 3 diszkr t val sz n s gi v ltoz k. Teljess g kedv rt jb l fel rjuk a f ggv nyt: aol u(z ; z 2 ; z 3 ) = log (e z +a )(e 2z 2 +a 2 )(e 3z 3 +a 3 ) (z ; z 2 ; z 3 ) 2 Z; Z = (0; ; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) (0; ; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) (0; ; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9): Tegy k fel, ogy e j z j +a j > 2; j = ; 2; 3; (z ; z 2 ; z 3 ) 2 Z eset n. Becsl seink alapja egy t bbv ltoz s diszkr t momentum probl ma (TDMP), melyet az (X ; : : : ; X s ) val sz n s gi vektorv ltoz ra fogalmazunk meg az al bbi m don. Feltessz k, ogy X j rtelmez si tartom nya egy ismert v ges almaz: Z j = fz j0 ; : : : ; z jnj g, j = = ; : : : ; s. Vezess k be a k vetkez jel l st: p i :::i s = P (X = z i ; : : : ; X s = z sis ); 0 i j n j ; j = ; : : : ; s ::: s = Xn i =0 Xn s i s=0 z i z s si s p i :::i s ; aol ; : : : ; s nemnegat v eg sz sz mok. A ::: s sz mot az (X ; : : : ; X s ) val sz n s gi vektorv ltoz ( ; : : : ; s ) rend (atv ny)momentum nak nevezz k. Az + + s sszeg a momentum teljes rendje. Tekints nk egy f (z), z 2 Z, Z = Z Z s f ggv nyt s vezess k be a k vetkez jel l st: f i :::i s = f (z i ; : : : ; z sis ). A t bbv ltoz s diszkr t momentum probl m t az al bbi LP feladat rja le: min(max) felt ve, ogy Xn i =0 Xn s i s=0 Xn i =0 Xn s i s=0 f i :::i s p i :::i s z i z s si s p i :::i s = ::: s j 0; j = ; : : : ; s; + s m s j = 0; j = ; : : : ; k ; k + ; : : : ; s; m k m k ; k = ; : : : ; s; p i :::i s 0; minden i ; : : : ; i s eset n: A p i :::i s szimb lumok a v ltoz k, m g a t bbi rt k adott. Ismeretes, ogy egy line ris programoz si minimum (maximum) feladat tetsz leges du l megengedett b zis oz tartoz c lf ggv ny rt k mindig kisebb (nagyobb) vagy egyenl, mint az optimum rt k. Ezt felaszn lva korl tokat nyeret nk az v rat rt kre. A legjobb korl tokat az optim lis b zis szolg ltatja. (2.) (2.2) E[f (X ; : : : ; X s )] (2.3) 6
Az optimum rt ket egy tetsz leges du l megengedett b zisb l kiindulva a du l m dszer v greajt s val at rozatjuk meg. Indul b zist pedig adott esetben k nnyen megat rozatunk Nagy s Pr kopa [2] cikke alapj n, aol a szerz k el gs ges felt teleket adnak arra vonatkoz lag, ogy egy b zis du l megengedett legyen. Ezeket du l megengedetts gi strukt ra t teleknek nevezz k. A fel rand t telekez sz ks g nk lesz a k vetkez indexalmazra: aol s I = I 0 [ [ s j= I j ; (2.4) I 0 = f(i ; : : : ; i s )j 0 i j m ; eg szek, j = ; : : : ; s; i + : : : + i s mg (2.5) I j = f(i ; : : : ; i s )j i j 2 K j ; i l = 0 l 6= jg Legyenek adottak a k vetkez strukt r k: K j = fk () j ; : : : ; k (jk j j) j g fm; m + ; : : : ; n j g; j = ; : : : ; s: (2.6) jk j j p ros min u (j) ; u (j) + ; : : : ; v (j) ; v (j) + max m; u (j) ; u (j) + ; : : : ; v (j) ; v (j) + ; n j jk j j p ratlan min m; u (j) ; u (j) + ; : : : ; v (j) ; v (j) + max u (j) ; u (j) + ; : : : ; v (j) ; v (j) + ; n j : (2.7) Ekkor, megfelel en rendezve a Z ; : : : ; Z s almazok elemeit, igazak lesznek a k vetkez k. T tel 2. Legyen z j0 < z j < < z jnj ; j = ; : : : ; s. Tegy k fel, ogy az f (z); z 2 Z f ggv ny m + rend osztott dierenc i nemnegat vak, tov bb, ogy a z j v ltoz ja szerinti m + jk j j rend osztott dierenci i is nemnegat vak, aol K j (2.7) valamelyik min strukt r j t k veti, j = ; : : : ; s. Ekkor a (2.2) minimum feladat m trix nak I indexalmazoz tartoz oszlopaib l ll B b b zis du l megengedett. Ha a fent eml tett osztott dierenci k mindegyike nempozit v, akkor ugyanez igaz a minimum elyett a maximum feladatra. T tel 2.2 Legyen z j0 > z j > > z jnj ; j = ; : : : ; s. Tegy k fel, ogy az f (z); z 2 Z f ggv ny m + rend osztott dierenc i nemnegat vak, tov bb, ogy a z j v ltoz ja szerinti m + jk j j rend osztott dierenci i ugyancsak nemnegat vak, aol K j (2.7) valamelyik, az al bbiakban jelzett, strukt r j t k veti, j = ; : : : ; s. Ekkor igazak a k vetkez k: (a) Ha m+ p ros, jk j j p ros s K j (2.7) megfelel max strukt r j t k veti vagy a m+ p ros, jk j j p ratlan s K j (2.7) megfelel min strukt r j t k veti, akkor a (2.2) minimum feladat m trix nak I indexalmazoz tartoz oszlopaib l ll b B b zis du l megengedett. 7
(b) Ha m + p ratlan, jk j j p ros s K j (2.7) megfelel max strukt r j t k veti vagy a m + p ratlan, jk j j p ratlan s K j (2.7) megfelel min strukt r j t k veti, akkor a (2.2) minimum feladat m trix nak I indexalmazoz tartoz oszlopaib l ll B b b zis du l megengedett. Ismeretes s k nnyen bel tat, ogy a az IR s t r egy ny lt konvex almaz n rtelmezett f ggv ny adott rend (tiszta vagy vegyes) parci lis deriv ltja folytonos s nemnegat v f ggv ny, akkor az ugyanabb l a almazb l vett, tetsz leges alappontokoz tartoz, megfelel rend osztott dierenci i is nemnegat vak. Tekintve fentieket, adott m, m j, j = ; 2; 3, p ros sz mok eset n a (2.2) f ggv nnyel vett TDMP probl m k k z l mind a maximum mind a minimum feladatoz tal lat ak du l megengedett b zisok. Ezt kiaszn lva, a k vetkez konkr t p ld k megold s ban, az al bbi kiindul b zisokkal dolgozunk. Minimum feladat eset n az f(i ; i 2 ; i 3 )ji + i 2 + i 3 m vagy i k = 0; k 6= j; m i j m j ; j = ; : : : ; sg (2.8) v ltoz koz tartoz oszlopokkal, m g maximum feladat eset n az f(i ; i 2 ; i 3 )ji + i 2 + i 3 27 m vagy i k = 9; k 6= j; 9 m i j 9 m j ; j = ; : : : ; sg (2.9) v ltoz koz tartoz oszlopokkal. P lda 2. Tekints k a (2.) f ggv nyt az = 2 = 3 = a = a 2 = a 3 = esetre. Korl toz felt teleink jobb oldal n pedig lljanak a Z I tart j egyenletes eloszl s megfelel momentumai. Ha a vegyes momentumok k z l csak a kovarianci kat vessz k gyelembe, akkor a tiszta momentumok maxim lis rendj t l f gg en a k vetkez eredm nyeket kapjuk:. t bl zat: m m m 2 m 3 Minimum L p s Maximum L p s 2 2 2 2 6:083862403 93 6:43940058 69 2 4 4 4 6:236742070 24 6:337970820 28 2 6 6 6 6:265375750 2 6:29783892 23 2 8 8 8 6:272378408 309 6:294804990 294 Tekintve a fentieket, l tat, ogy a f ggv ny v rat rt k re kapott als illetve fels korl tok, a peremeloszl sok egyre t bb momentum nak gyelembe v tel vel, egyre k zelebb ker lnek egym soz, az utols k t esetben m r rom jegy pontoss ggal becs lve a c lf ggv nyt. Kicsit pontosabban vizsg lva az eredm nyeket az is kider l, ogy az utols esetben a minimum s maximum rt kek relat v elt r se kisebb mint 2 ezrel k. Ha a megfelel tiszta momentumok mellet az sszes legfeljebb 4 rend vegyes momentumot szerepeltetj k a korl toz felt telek k z tt, akkor a 2. t bl zat eredm nyeit kapjuk. 8
2. t bl zat: m m m 2 m 3 Minimum L p s Maximum L p s 4 4 4 4 6:256237098 33 6:337929898 364 4 6 6 6 6:28487889 466 6:29785868 686 4 8 8 8 6:28836597 802 6:294784936 669 sszeasonl tva a k t t bl zatot a k vetkez tanuls gokat sz retj k le. Egyr szt, mint az v rat volt, a m sodik esetben pontosabb eredm nyeket kaptunk. Az utols sor eset n a relat v elt r s kevesebb mint 4 t zezrel k. M sr szt viszont ennek a pontoss gnak nagy ra van. A t bl zatokban az eredm nyek mellet szerepel, ogy a CPLEX program ny l p sben jut el az optim lis megold sig. L tatjuk, ogy asonl pontoss g (pl. rom sz mjegy) el r s ez az. t bl zatban j val kevesebb l p sre volt sz ks g. Ha emellett m g azt is gyelembe vessz k, ogy a 2. t bl zat eset n j val t bb sorral ( s gy persze nagyobb m trixszal) sz molunk, akkor m ris vonz bbnak t nik jabb tiszta momentumok gyelembe v tele a becsl s jav t s ra, mintsem a momentumok teljes rendj nek n vel se. Term szetesen, bizonyos at ron t l, mikor m r a pontoss g tiszta momentumok gyelembe v tel vel m r nem, vagy csak elanyagolat m rt kben jav tat, sz ks g leet magasabb rend momentumok gyelembe v tel re. ltal noss gban annyit mondatunk, ogy aj nlott el sz r a tiszta momentumokban rejl leet s geket kiakn zni, s csak ut na ugrani egy nagys grendet a vegyes momentumok teljes rendj vel. A fenti p ld ban mind az u f ggv ny, mind a momentumok gener l s ra aszn lt eloszl s szimmetrikus volt. rdemes egy ltal nosabb p ld t is megvizsg lni, egyr szt abb l a szempontb l ogy a kapott becsl sek lesznek-e olyan pontosak mint a 2. p ld ban, m sr szt ogy az eddig le rt k vetkeztet seket m s p ld val is al t masztassuk. A k vetkez feladat korl toz momentumait el ll t eloszl s egyr szt aszimmetrikus lesz, m sr szt, az el z p ld t l elt r en, peremeloszl sai sem lesznek f ggetlenek egym st l. Az (2.) f ggv ny param tereinek is j rt ket adunk, ezzel is ltal nosabb t ve a p ld t. Megjegyezz k, ogy ezen param terek v ltoztat sa l nyeg ben ekvivalens az 2. p ld ban szerepl u f ggv ny Z rtelmez si tartom ny nak eltol s val (a az a j tagokat tekintj k) illetve ny jt s val (a az j t nyez ket vessz k gyelembe). P lda 2.2 Tekints k a k vetkez, Poisson eloszl s, val sz n s gi v ltoz kat, X; Y ; Y 2 ; Y 3, rendre a k vetkez param terekkel, ; 2; 2:5; 3. Korl toz felt teleink jobb oldal ra az al bbi val sz n s gi vektorv ltoz megfelel momentumai ker lnek: (min (X + Y ; 9) ; min (X + Y 2 ; 9) ; min (X + Y 3 ; 9)) : Az u f ggv ny, melynek v rat rt k t becs lni fogjuk, legyen a (2.) f ggv ny az al bbi param terekkel: = :75; 2 = :25; 3 = 0:75; a = 3; a 2 = 2; a = : 9
Ha a vegyes momentumok k z l csak a kovarianci kat vessz k gyelembe, akkor a 3. eredm nyeit kapjuk, m g az m = 4 esetez tartoz becsl seket a 4. t bl zat tartalmazza. t bl zat 3. t bl zat: m m m 2 m 3 Minimum L p s Maximum L p s 2 2 2 2 8:466954935 62 8:57292479 46 2 4 4 4 8:532630264 8:550298509 26 2 6 6 6 8:54879509 78 8:54439959 48 2 8 8 8 8:54336443 263 8:5433440 9 4. t bl zat: m m m 2 m 3 Minimum L p s Maximum L p s 4 4 4 4 8:532852070 254 8:550297658 325 4 6 6 6 8:54926465 742 8:54439052 658 4 8 8 8 8:54348260 542 8:543343503 736 Megvizsg lva a fenti adatokat, az sszes legfeljebb 8 rend tiszta momentumot tekintve, az als illetve fels becsl s k zti relat v elt r s mind kovariancia, mind a legfeljebb negyedrend vegyes momentumok eset n kisebb mint 2 0 5, ami a 2.. p ld n l jobb eredm ny. A most kapott l p ssz mok s pontoss gok sszevet se pedig al t masztja az el z p lda k vetkeztet seit. Irodalom [] N. L. Bowers Jr., H.U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, C. J. Nesbitt Actuarial Matematics, 2nd edition, Te Society of Actuaries, Itaca, Ill. (997). [2] G. Nagy and A. Pr kopa, On Multivariate Discrete Moment Problems and teir Applications to Bounding Expectations and Probabilities, RUTCOR Researc Report (2000), 4-2000. [3] A. Pr kopa, Stocastic Programming, Akad mia Kiad (Budapest, 995). NAGY GERGELY BUDAPESTI M SZAKI S GAZDAS GTUDOM NYI EGYETEM MATEMATIKA INT ZET DIFFERENCI LEGYENLETEK TANSZ K BUDAPEST, M EGYETEM RAKPART -3. E-MAIL: GNAGY@MATH.BME.HU PR KOPA ANDR S ELTE TERM SZETTUDOM NYI KAR 0
OPER CI KUTAT SI TANSZ K 053 BUDAPEST, KECSKEM TI U. 0-2. E-MAIL: PREKOPA@CS.ELTE.HU RUTCOR, RUTGERS CENTER FOR OPERATIONS RESEARCH RUTGERS UNIVERSITY 640 BARTHOLOMEW ROAD, PISCATAWAY, NJ 08854-8003 E-MAIL: PREKOPA@RUTCOR.RUTGERS.EDU A MULTIVARIATE UTILITY FUNCTION Gergely Nagy and Andr s Pr kopa Kivonat A univariate utility function u(z) is usually required to satisfy te conditions: u 0 (z) 0; u 00 (z) 0, i.e. te function sould be nondecreasing and concave. Some autors, owever, require tat te more restrictive conditions: u 0 (z) 0; u 00 (z) 0; u 000 (z) 0; u (4) 0; : : : sould be satised. Given a multivariate utility function u(z ; : : : ; z s ), we may require, in agreement wit te above weaker conditions, tat it be nondecreasing in eac variable and concave in all variables. On te oter and, maintaining tese conditions, we may impose on it te additional requirement tat all of its partial derivatives of odd (even) order sould be nonnegative (nonpositive). In tis paper our objective is twofold. First, we construct a multivariate utility function tat satises te abovementioned stronger conditions. Secondly, given te random wealts X ; : : : ; X s, we give lower and upper bounds for te expectation of u(x ; : : : ; X s ) wen te random variables are discrete wit nite supports, teir joint distribution is unknown but known are some of teir multivariate moments.