Oktatási Hivatal A 8/9. tanévi FIZIKA Országos Közéiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható. Megoldandó az első három feladat és a./a és./b sorszámú feladatok közül egy szabadon választott. Csak feladat megoldására adható ont. Ha valaki feladat megoldását küld be, a./a és./b feladat közül a több ontot elérő megoldást vesszük figyelembe. Minden feladat teljes megoldása ontot ér. Részletes, egységes ontozás nem adható meg a feladatok természetéből következően, ugyanis egyegy helyes megoldáshoz több különböző, egyenértékű helyes út vezethet. A feladat numerikus végeredményével megközelítően azonos eredményt kihozó megoldó erre a részfeladatra ontot ka, amennyiben elvileg helytelen úton jut el. Fizikailag értelmes gondolatmenet estén a kis numerikus hiba elkövetése miatt (a részfeladat terjedelmétől függően) ont vonható le.. Vízszintesen elhajított test sebessége másoderc múlva m/s. Hol tartózkodott ekkor? Mekkora volt a kezdősebessége? Mekkora és milyen irányú volt az elmozdulása? Megoldás. Adatok: t s; v m/s; Először meghatározzuk a kezdősebességet. A függőleges vetület mozgása szabadesés, tehát a s múlva a illanatnyi sebesség y irányú komonense m vy gt s s m. s A megadott sebesség a keresett vízszintes és a most kiszámított függőleges összetevőből adódik, tehát Pitagorasz tételét alkalmazva a kezdősebességre a következőt kajuk: Ezzel a vízszintes elmozdulás: m m v v vy 9. s s m x vt s m. s A függőleges elmozdulás edig: y gt m 9 s s m,
(vagy vy m y t s m.) s O v m/s x m y m v y m/s v x m/s v m/s Így a teljes elmozdulás nagysága Δ r + m 8, m, Iránya a vízszintessel y ϕ arctg arctg, szöget zár be. x. Függőleges, henger alakú tartályban kétatomos ideális gázt m tömegű dugattyú zár el. Kezdetben a dugattyút fonállal h magasságban tartjuk, ekkor a gáz nyomása megegyezik a külső légnyomással. A dugattyút igen lassan ereszteni kezdjük a fonállal, közben biztosítjuk, hogy a gáz hőmérséklete állandó maradjon. Amikor a fonál meglazul, a gázt melegíteni kezdjük. Mennyi hőt kell a gázzal közölni a melegítés során, hogy a dugattyú visszakerüljön eredeti magasságába? Megoldás: Jelölések: -a gáz szabadsági fokainak száma: f -a külső légnyomás: -a dugattyú keresztmetszete: A -a gáz kezdeti (és végállaotbeli) térfogata: V Ah -a gáz térfogata a fonál meglazulásának állaotában: V -a gáz nyomása a fonál meglazulásának állaotában, és melegítés során: A fonal meglazulásakor a dugattyúra ható három erő eredője zérus. A külső légnyomásból származó erő lefelé, a nehézségi erő lefelé, a bezárt gáz nyomásából származó erő felfelé hat. Az egyensúlyi feltétel a nyomásokkal megfogalmazva: mg +. A Boyle-Mariotte törvényt felírva az izotermikus folyamatra (dugattyú lassú eresztése): V V.
A melegítési szakaszban a gáz belső energiájának megváltozása az izobár folyamat során: f Δ E ( V V ). A gáz által végzett munka az izobár melegítés során: A gázzal közölt hő az első főtétel értelmében: Az fenti egyenletekből g ( ) W V V. Q Δ E+ W g. adódik. Q f + mgh mgh. Vékony, egyszer meghajlított üvegcsőben higany helyezkedik el az ábrán látható módon függőleges síkban. A cső baloldali vége zárt. A higanyszál nem szakad el. (Az üvegcső tetején lévő védő-borító fedél azt a célt szolgálja, hogy a higanyoszlo felett ne alakuljon ki torló nyomás a mozgás miatt.) a) Hányszorosa a csőbe zárt levegő nyomása a külső légnyomásnak amikor a cső állandó v m s sebességgel mozog felfelé? b) Mekkora a csőbe zárt levegő nyomása, amikor a cső a m s gyorsulással mozog felfelé? Mennyit változik a higanyoszlo helyzete a csőhöz viszonyítva az előző esethez kéest? c) Mekkora a csőbe zárt levegő nyomása, amikor a cső a m s gyorsulással mozog lefelé? Legalább milyen hosszú legyen a cső függőleges része, hogy a higany benne maradjon? A külső légnyomás cm magas higanyoszloal tart egyensúlyt. A nehézségi gyorsulás értéke g m s. Megoldás: Adatok: l 8 cm, m m v, a, ρ l g s s
m a) Amikor a meghajlított cső és benne a higanyoszlo sebessége v állandó, a higanyra ható s erők eredője nulla:. A belső és külső nyomás különbségéből származó erő egyenlő a F _ higanyra ható nehézségi erővel: ( ) A ρ A l g. Egyszerűsítsünk a cső A keresztmetszetével, és használjuk fel, hogy a megadott adatok mellett ρ l g. Így A csőbe zárt levegő nyomása a külső légnyomás másfélszerese,. b) Alkalmazzuk a higanyszálra a dinamika alaegyenletét: F m a. Innen ( ) A m g m a Használjuk fel, hogy a megadott adatok mellett g a, valamint, hogy m ρ A l. Így ( ) A m g m g ( ) A ρ A l g Ismét egyszerűsítsünk a cső A keresztmetszetével, és használjuk fel, hogy ρ l g ( ). Ekkor Tehát a csőbe zárt levegő nyomása a külső légnyomás /-szerese,. Az elzárt gáz mennyisége és hőmérséklete nem változik, ezért alkalmazhatjuk rá a Boyle-Mariotte törvényt: V V. A l A l l l l ( cm + 8 cm) ( cm + 8 cm) 9, cm cm, cm + Így a higanyoszlo a csőhöz kéest 8 cm-, cm, cm-t süllyed.
c) Ismét alkalmazzuk a higanyszálra a dinamika alaegyenletét: F m a. Így ( ) A m a m g Használjuk fel, hogy a megadott adatok mellett g a és, hogy m ρ A l. Innen ( ) A m g m g ( ) A ρ A l g Ismét egyszerűsítsünk a cső A keresztmetszetével, és használjuk fel, hogy ρ l g ( ). Ekkor adódik. Tehát a csőbe zárt levegő nyomása a külső légnyomás /-szerese,. Ismét alkalmazva a Boyle-Mariotte törvényt: V V kajuk, hogy l A l A l l l ( cm + 8 cm) ( cm + 8 cm),8 cm cm,8 cm + Tehát a higany,8 cm - cm - 8cm.8 cm-t emelkedik. Így a cső függőleges részének legalább,8cm+ cm 98,8 cm-nek kell lennie, hogy a higany ne folyjon ki belőle../a. Viszonylag jelentős fajlagos ellenállású huzalokból állítsunk össze egy kockát úgy, hogy a kocka minden egyes oldaléle l Ω ellenállású legyen, és az éleket alkotó huzalokat a kocka csúcsontjaiban forrasszuk össze. a) Mekkora eredő ellenállás mérhető a kocka egyik testátlójának két végontja között? Ezután készítsünk el egy kétszer ekkora méretű kockát ugyanilyen fajlagos ellenállású huzalokból, amivel borítsuk be az eredetit. Elhanyagolható ellenállású vezetékekkel kössük össze a kis és a nagy kocka egymáshoz legközelebb lévő csúcsait. b) Mekkora eredő ellenállás mérhető a nagyobbik kocka egyik testátlójának két végontja között? Folytassuk tovább az eljárást, és a két kockát borítsuk be a kiskockánál háromszor akkora kockával, amely szintén ugyanolyan fajlagos ellenállású huzalból készült, mint a többi. A legnagyobb kocka csúcsontjait most is elhanyagolható ellenállású vezetékekkel kössük össze a közéső kocka megfelelő csúcsontjaival.
c) Mekkora eredő ellenállás mérhető a legnagyobb kocka egyik testátlójának két végontja között? d) Ha a fenti eljárást vég nélkül tovább folytatjuk, milyen értékhez tart a legkülső kocka testátlójának két végontja között mérhető eredő ellenállás? Megoldás: a) Ismert módon ekviotenciális ontokat találhatunk a kockán (hármat-hármat), ami arra vezet, hogy a kacsolás átrajzolható árhuzamosan kacsolt három-hat-három ellenállás soros hálózatára. Vagyis az eredő ellenállás: + + Ω. b) A nagy kocka mindegyik oldaléle árhuzamosan van kötve a kis kocka megfelelő oldalélével. Tehát egyetlen él Ω-os ellenállása lecsökken Ω -ra + és ugyanígy a testátló mentén mérhető ellenállás is / részére csökken: Ω Ω. 9 c) Az előző ontban leírtaknak megfelelően most egyetlen szuerél három árhuzamosan kacsolt ellenállásból áll. Egy szuerél ellenállása: + + Ω. Tehát a kérdéses testátló két végontja között mérhető eredő ellenállás: Ω d) Mivel egyre több ellenállást kötünk árhuzamosan a szuerélbe, így az eredő ellenállás nullához tart. Ω../B. Mindkét végén síkkal zárt, evakuált üvegcsőben két r, m sugarú, m,9kg tömegű szigetelő golyó van. Éen illeszkednek a csőbe úgy, hogy kotyogás és súrlódás nélkül mozoghatnak benne. A cső egyik végéhez a cső hossztengelyére merőleges, függőleges állású vékony forgástengely kacsolódik. A két golyó mindegyikének közeébe ugyanakkora Q C elektromos töltést teszünk. Így a cső vízszintes, álló helyzetében a golyók a cső két végében tartózkodnak. A cső teljes belső hossza R+r a rajz szerint. R, m. A csövet tengelye körül forgásba hozzuk egyre növekvő fordulatszámmal. Ekkor a belső golyó egyre közelebb kerül a külsőhöz.
Mekkora erőt fejt ki a külső golyó a cső külső, lezáró üvegfalára akkor, amikor a két golyó legközelebbi ontjának távolsága cm? Mekkora ekkor a fordulatszám? n R Megoldás: Adatok: m.9kg, r,m, R,m, d,m, Q C. Legyen x a belső golyó tömegközéontjának a forgástengelytől mért távolsága ω szögsebességű forgás közben. Mivel erre a golyóra a centrietális erőt a két töltés között felléő Coulomb erő adja: kq ( R x) mxω. Jelöljük d vel a két golyó legközelebbi ontjának távolságát. Ekkor x R r d,m. Az adatok behelyettesítése után a szögsebességre 9 9 ω s,9s,,9, ( ) s adódik. Így a cső fordulatszáma n. A külső golyóra ható erők eredőjének a most kaott szögsebességű keringéshez szükséges centrietális erőnek kell lennie. A csövet lezáró fal a forgástengely felé irányuló T erőt fejt ki erre a vele érintkező külső golyóra, a belső golyó edig a kifelé mutató elektromos taszítóerőt fejti ki rá. A külső golyónak szükséges centrietális erő mrω,9,,88n,9 N. A belső golyó által kifejtett elektromos taszítóerő, amely kifelé mutat, 9 k Q 9 N, 8N. (r + d) (,) (Ez természetesen a belső golyó számára aktuális m x ω -tel is egyenlő.) A falnak a külső golyóra tehát T,8N +,N, N tartóerőt kell kifejtenie.
Oktatási Hivatal Pontozási útmutató I. kategória:. feladat A test a vizsgált időontbeli végsebessége függőleges komonensének helyes meghatározása ont. A keresett kezdősebesség meghatározása: ont A test vizsgált időontbeli helye x koordinátájának meghatározása: ont y koordinátájának kiszámítása: ont Az elmozdulás helyes meghatározása: ont Az elmozdulás irányának helyes meghatározása: ont (Természetesen elfogadható a test helyének olárkoordinátás megadása is, vagyis a helyvektor nagyságának és irányszögének meghatározása.). feladat A dugattyú egyensúlyának megfogalmazása: ont Boyle-Mariotte törvény alkalmazása: ont A belső-energiaváltozás meghatározása: ont Az izobár munka helyes felírása (a megfelelő nyomással!) ont Termodinamika első főtételének alkalmazása: ont Az összefüggések rendezése, a helyes végeredmény megadása: ont. feladat a) A higany egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. A dinamikai feltétel megfogalmazása: ont. A csőbe zárt levegő nyomásának és a külső légnyomás arányának megadása: ont b) A dinamika alaegyenletének alkalmazása a gyorsuló mozgást végző higanyra: ont A csőbe zárt levegő nyomásának és a külső légnyomás arányának megadása: ont A higanyoszlo csőhöz viszonyított helyzetének megadása az előző esethez viszonyítva a Boyle-Mariotte törvény segítségével: ont c) A dinamika alaegyenletének alkalmazása a gyorsuló mozgást végző higanyra: ont A csőbe zárt levegő nyomásának és a külső légnyomás arányának megadása: ont A függőleges csőrész legkisebb hosszának megadása a Boyle-Mariotte törvény segítségével: ont
/A feladat Minden egyes alkérdésre teljesen helyes válasz esetén ont jár. A részontszámok részben helyes megoldások esetén bonthatók. /B feladat A két töltés közötti elektromos erő meghatározása: ont A szögsebességet meghatározó egyenlet felírása: ont A külső golyónak szükséges centrietális erő meghatározása: ont A falra ható nyomóerő meghatározása: ont