Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található
Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3
Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar Könyvkadók és Könyvterjesztõk Egyesülésének tagja 7 Budapest, Prelle Kornéla u. 9. www.akkrt.hu www.szakkonyv.hu Elsõ magyar nyelvû kadás: 005 Benedek Gábor, 005 Mnden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nylvános elõadás, a rádó- és televízóadás, valamnt a fordítás jogát, az egyes fejezeteket lletõen s. 4
Zolának 5
6
TARTALOM. Bevezetés.... Az értekezés felépítése..... Saját eredmények....3. Köszönetnylvánítás.... A szmulácós módszertan..... Defnícó, alapfogalmak..... A probléma és a rendszer defnálása....3. A formáls modell....4. Az elsõdleges kísérletek megtervezése....5. Inputanalízs és nputadatok generálása....6. A modell elkészítése (programozás)....7. Verfkácó, valdácó és modellkalbrálás....8. Kísérletezés....9. Outputanalízs....0. Összefoglalás... 3. Az evolúcós módszertan... 3.. Evolúcós elméletek... 3.. A numerkus optmalzálás... 3.3. A genetkus algortmus... 3.4. A neuráls háló... 3.5. Összefoglalás... 4. Az ACE-módszertan... 5. A Kyotak Wrght-modell... 5.. A modell... 5.. Analtkus eredmények... 5.3. Szmulácós eredmények... 5.4. A Kyotak Wrght-modell kterjesztése... 6. A sokszereplõs modellek kommunkácóstruktúrá... 6.. Az elmélet... 6.. A gráfstruktúrák kmutatása... 6.3. Gyakorlat alkalmazás... 6.4. Kommunkácós struktúrák és az egyensúlyelmélet... 6.5. Összefoglalás... 7. A ksvlágok pénzmodellje... 7.. A modell... 7.. Ksvlágstruktúra-alkotás... 7.3. Kísérletek és következtetések... 8. Összefoglalás... Irodalom... 9 0 3 3 8 9 3 34 36 36 40 4 4 46 5 58 66 67 7 7 75 79 93 97 97 0 08 0 0 3 6 9 7
8
. BEVEZETÉS A tudomány nem próbál végsõ magyarázatot adn, fogalmakat értelmezn s alg. A természettudomány modelleket alkot. Modell alatt egy olyan matematka struktúra értendõ, amelyk bzonyos szóbel nterpretácó hozzáfûzésével leírja a jelenséget. Egy lyen matematka struktúra létjogosultságát egyedül az adja, hogy skeresen elõrelátja a jelenségeket, tehát mûködk. (Neumann János) A modern gazdaságelméletben alkalmazott módszerek és gazdaság elemzések eszköztára a 0. század végére rendkívül módon kszélesedett. Legnkább a matematka és statsztka módszerek terjedtek el és fejlõdtek tovább, közgazdaság modelleken keresztül. Így napjankban kevés olyan elmélet publkácó jelenk meg, amely ne alkalmazná a játékelmélet, a varácószámítás, a sztochasztkus folyamatok vagy más bonyolult területek módszeret. Az egzakt módszerek bonyolultságának növekedése azonban sajátos ellentmondást szült az elmélet és a gyakorlat alkalmazások között. A modern matematka és statsztka módszerek ugyans pontosan azt a célt hvatottak szolgáln, hogy a gazdaság folyamatat jobban és pontosabban magyarázzák meg, és mnd a gazdaság egészét rányító (makroszntû), mnd a vállalat (mkroszntû) döntéshozók számára olyan apparátust bztosítsanak, amelynek segítségével megalapozottabb és bztosabb döntéseket hozhatnak. A valóságban azonban a folyamatosan bõvülõ szakma háttérsmereteket génylõ módszereket és a nehezen nterpretálható modelleket a gazdaság gyakorlat szakembere egyre nehezebben képesek adaptáln. Az elmélet lehetõség és a gyakorlat oldal egymástól erõsen eltávolodott. Kvételként a pénzügy területen érezhetjük azt, hogy a modern matematka módszereket nap mnt nap alkalmazzák (többek között a Wall Street matematkus- és fzkus-közgazdász tanácsadó), a valóságban azonban a legtöbb nap szntû elemzés és döntés (pl. kockázatkezelés) 30 éves módszerekre épül. A közgazdaságtan másk módszertan lehetõsége a számítástechnka alkalmazása. A számítógép megjelenése a legtöbb tudományágat döntõ mértékben befolyásolta, pedg tulajdonképpen csak két funkcót valósít meg; egyrészt rendkívül nagy méretû adatbázst képes hatékonyan tároln és kezeln, másrészt órás sebességgel képes számoln. E tulajdonságok matt lehetõvé vált, hogy a nagy mennységû nformácó brtokában más modellek épüljenek, lletve az elméleteket és az elõrejelzéseket úgy változtassák, hogy azok a megfgyelt és rögzített adatok tükrében jobban és pontosabban írják le a valóságot. A számítógépes modellezés folytán lehetõség nyílt olyan korlátozó feltételezések elhagyására, amelyek egy-egy korább modellt rreálssá tettek. (Ezek közül az egyk legsúlyosabb feltételezés a lneartás.) Így az analtkus megoldások mellett megjelentek a numerkus megoldások. A számítógépes modellezés megjelenésével ugyanakkor azt várhatnánk, hogy a közgazdaság elmélet, lletve gyakorlat területén dolgozó szakemberek között távolság csökken, hszen az elmélet szakemberek jóval komplexebb modelleket s k tudnak értékeln, a gazdaság döntéshozók pedg jobban mûködõ modellek eredményere alapozva hozhatják meg döntéseket. Sajnos a közgazdaság-tudomány területén ez a közeledés még csak kezdet stádumban van. A számítógép töretlen fejlõdésének és egyre népszerûbbé válásának következtében azonban könnyen lehet, hogy a közel jövõben a számítástechnka fogja betölten a híd szerepét az elmélet és a gyakorlat oldal között. Analtkusan meg nem határozható vagy nehezen meghatározható problémák kezelésére számtalan esetben alkalmaznak numerkus módszereket a közgazdászok. Ilyen pél- 9
dául a numerkus ntegrálás, a numerkus egyenlet/egyenlõtlenség megoldás, a dfferencálegyenletek numerkus megoldása vagy az operácókutatás. Sõt, sokszor bzonyos problémák analtkus megoldására s numerkus módszereket vesznek génybe, mnt például a szmbolkus programozás (ntegrálás, algebra egyenlet megoldása, dfferencálegyenlet megoldása stb.) esetén. A jelen értekezés azonban nem általánosságban a numerkus módszerekkel, lletve ezek közgazdaság alkalmazásával, hanem ennek egy részterületével, a szmulácóval foglalkozk. A vzsgálódás középpontjában mnden esetben valamlyen gazdaság modell áll, amelynek vzsgálatára nagyon sok esetben az analtkus módszerek mellett numerkus módszereket használunk. Tekntsük ezt a közgazdaság modellt egy olyan leképzésnek, amely a valóságban megfgyelhetõ változók halmazához rendel egy halmazt. Ilyen értelemben a szmulácó nem más, mnt ezen leképzések (bzonyos esetben akár függvények) analízse. Így a szmulácó legfontosabb feladata gyakorlatlag megegyeznek az analízsben meghatározott feladatokkal, úgymnt függvénykértékelés (leszámolás), egyenletmegoldás (célértékkeresés) vagy szélsõérték-keresés. Knduló esetben a gazdaság modell elegendõen egyszerû kell legyen ahhoz, hogy analtkusan tanulmányozn lehessen. A szmulácóra abban az esetben van szükség, amkor az egyes feltételezések feloldása, lletve a modell dmenzójának növelése annyra megnehezít a feladatot, hogy annak kéz kszámolása lehetetlenné válk. Még lyen esetekben s jellemzõ az, hogy az analtkusan kszámolható eredményeket összehasonlítás végett numerkusan s elõállítják. Az értekezésben azt a célt tûztük k, hogy bemutassuk, hogyan lehet a szmulácós módszertant hatékonyan alkalmazn azokban az esetekben, amkor átléptük az analtkus módszerek határat. Maga a szmulácós módszertan s rendkívül fatal, kevesebb mnt ötvenéves. Az elmélet közgazdaságtanban való elterjedéséhez azonban az gaz lökést a mesterségesntellgenca-kutatások elsõsorban 990-es évenek eredménye adták. A társadalomtudományok számára felhasználható, mesterséges ntellgencát s alkalmazó, szmulácós módszertan csak 00-ben a Journal of Economc Dynamcs and Control különszámában kapta meg az azt meglletõ publctást és önálló nevet Agent-based computatonal economcs (ACE) 3, amelyet sokszereplõs szmulácós közgazdaságtannak fordítunk a továbbakban. Az értekezés az általánosan alkalmazható szmulácós megoldásokon túlmenõen erre a fatal és rendkívül ígéretesnek látszó módszertan területre kíván összpontosítan... Az értekezés felépítése Az értekezés két jól elkülöníthetõ részbõl áll. Az elsõ rész a 4. fejezet a módszertan smertetést tartalmazza, és az a célja, hogy bevezesse azokat a fogalmakat és eljárásokat, amelyeket a gyakorlat szmulácós modellek esetében alkalmazn lehet. Ezek a fejezetek erõsen épülnek a szmulácós szakrodalomra, valamnt a szerzõ által látoga- Szmbolkus programozáson olyan matematka mûveletek számítógépes megoldását értjük, ahol a matematka kfejezésben paraméterek s szerepelnek (lásd Maple vagy Matlab). A szakrodalom ezt a technkát benchmarkngnak nevez. 3 Tesfatson 00. 0
tott manchester és lmerck egyetemeken oktatott szmulácós kurzusok jegyzetere. A fejezetek strukturálása szempontjából a szerzõ által a Budapest Közgazdaságtudomány és Államgazgatás Egyetemen oktatott Szmulácó címû tárgy jelentett nagy segítséget. A módszertan fejezet során számos példa llusztrálja a fogalmakat, amelyeket a szakrodalomban fellelhetõ modellek mellett a szerzõ társszerzõs és saját publkácó, valamnt haza vállalatoknál végzett kutatás eredménye képeznek. A másodk rész az 5 7. fejezet a szmulácós módszertan konkrét alkalmazását tartalmazza. Ezek a modellek, bár látszólag elkülönülnek, a másodk rész végére egy új kutatás rányt határoznak meg, amely mnd az elmélet, mnd a gyakorlat közgazdászok számára alkalmazható. A fejezetekben szereplõ modellek részben a szerzõ publkácó, lletve konferencaelõadása, részben pedg tovább kutatás eredménye. Az értekezés elsõ része a szmulácós módszertan bemutatásával kezdõdk (. fejezet). A szakrodalomban számos olyan könyv található, amely a szmulácós módszerek alkalmazását írja le. A probléma azonban az, hogy ezek elsõsorban a mûszak tudományok területére koncentrálnak, és az tt szereplõ közgazdaság modellek sznte kzárólag vállalatgazdaság kérdésekkel foglalkoznak. (Például kszolgálás rendszerek szmulácójával, készletgazdálkodás problémával stb.) A. fejezetben ezekre az rodalmakra építünk, de az elmélet közgazdaságtan és pénzügy alkalmazásokra fókuszálunk. A 3. fejezetben a mesterséges ntellgenca módszeret mutatjuk be. Ez a fejezet erõsen épít Benedek (000, 00) publkácóra, de azokat kegészít a lényeges algortmkus részekkel és tételekkel. A. és 3. fejezet elõkészít a 4. fejezetben bemutatásra kerülõ sokszereplõs szmulácós közgazdaságtan módszerét, továbbakban ACE-t. Ez a fejezet kapcsolja össze a szmulácós és a mesterséges ntellgenca módszere lehetõséget, és alkalmazza azt olyan közgazdaság modellekben, ahol elkülönült szereplõk vselkedése határoz meg valamlyen gazdaság reakcót vagy jelenséget. A másodk fejezet modellje erre a módszertanra épülnek. A fejezet elsõsorban a Journal of Economc Dynamcs and Control ACE-módszertannal foglalkozó ckkere és a Legh Tesfatson által szerkesztett ACE hvatalos honlapjáról letölthetõ anyagokra épít. 4 Az 5. fejezetben a Kyotak Wrght-modellel foglalkozunk (Kyotak Wrght 989). Az eredet modell smertetése után olyan kbõvítéseket elemzünk, amelynek analtkus megoldása smeretlen, vagy az analtkus megoldást csak jóval késõbb, a numerkus eredmények nsprálására skerült meghatározn. A 6. fejezetben egy látszólag új témakört érntünk, a társadalm hálózatok problémáját. A modellt az nformácó telekommunkácós eszközökön keresztül terjedésének a kutatása és szmulácója alapozta meg. A kutatás eredményenek smertetése mellett a fejezetben elsõsorban Watts (999) munkája segítségével bevezetünk néhány alapvetõ gráfelmélet fogalmat. A 7. fejezetben megmutatjuk azt, hogy hogyan lleszkedk bele a Kyotak Wrght-féle modell vlágába a társadalm hálózatok problémaköre. Sõt továbbmegyünk, és felvllantunk néhány olyan elmélet modellt, ahol az ACE-módszertan és a hálózat szemlélet alkalmazásával új eredmények érhetõk el. A 8. fejezetben összefoglaljuk az eredményeket. 4 http://www.econ.astate.edu/tesfats/ace
.. Saját eredmények A magyar közgazdaság szakrodalomban rendkívül kevés szmulácóval foglalkozó tanulmány található. Ezek többsége valamlyen mûszak vagy vállalatgazdaság problémához kapcsolódk. A kfejezetten elmélet kutatásokban a szmulácó alkalmazását kzárólag statsztka/ökonometra, lletve pénzügy kutatásokban tapasztalhatjuk. Így a módszertan elmélet kutatásokba történõ bevezetése a szerzõ önálló munkája. Különösen gaz ez az ACE-módszertanra, amely annyra fatal terület, hogy haza publkácók még nem születtek ebben a témában. Az 5. fejezetben bemutatásra kerülõ Kyotak Wrght-modell kbõvítése lleszkedk a nemzetköz szakrodalomhoz. Az tt megfogalmazott eredmények újdonsága elsõsorban az új módszerek bevezetésének és alkalmazhatóságának vzsgálatában rejlk. A szakrodalomban szereplõ eredmények numerkus módszerekkel történõ reprodukálása bztosítja a komplexebb kterjesztések vzsgálatának lehetõségét. A 6. fejezet modellje és az ott alkalmazott módszerek kfejlesztése a szerzõ munkája. (Természetesen a vállalat kutatás kvtelezésén egy egész csapat dolgozott.) A 7. fejezet modellje szorosan kapcsolódnak az elõzõ fejezetekhez és szntén saját eredménynek teknthetõk. A dsszertácóhoz szervesen kapcsolódk a Budapest Közgazdaságtudomány Egyetem Matematka Közgazdaságtan és Gazdaságelemzés Tanszékének honlapján található melléklet (http://www.bke.hu/matkg/szmulaco.htm), amelyrõl a késõbbekben bemutatásra kerülõ programok nagy részének forráskódja, lletve futtatható verzója letölthetõ..3. Köszönetnylvánítás Ezúton s szeretném megköszönn Molnár Istvánnak, Tóth Nándornak és Zala Ernõnek azt a segítséget és motvácót, amely az egyetem évem alatt arra ösztönzött, hogy a sokak által vtatott hangsúlyú szmulácós területen kutathassak. Támogatásuknak köszönhetõen már 997-ben a legkorszerûbb szoftverek és hardverek váltak számomra elérhetõvé, továbbá a szmulácó számos külföld és haza szakértõjével dolgozhattam együtt, és tanulhattam tõlük. Köszönettel tartozom témavezetõmnek, Smonovts Andrásnak, opponensemnek Deák Istvánnak, Gáspár Bencénének, Móczár Józsefnek, Tarlós Bélának, továbbá Lpovszk Györgynek a rengeteg hasznos tanácsért, amelyek jobbá és teljesebbé tették dolgozatomat, érthetõbbé és alkalmazhatóbbá gondolatamat. Szeretnék köszönetet mondan Makara Tamásnak, Megyer Krsztnának és Patak Attlának, akk tudásukat és kutatás témájukat megosztották velem, így nspráló közgazdaság problémákkal tehettem szemléletesebbé és kézzel foghatóbbá a szmulácós módszertant. Végül köszönöm szülemnek megértésüket, támogatásukat és bátorításukat.
. A SZIMULÁCIÓS MÓDSZERTAN Ahhoz, hogy a szmulácós módszerek magas szntû alkalmazása elterjedjen a társadalomtudományok területén, el kell fogadtatn, hogy az nduktív és a deduktív módszerekkel szemben a tudomány mûvelésének harmadk útja a szmulácós kísérletezés. Az dézet Axelrod (997a) ckkébõl származk, amelyben a társadalomtudományokban alkalmazott szmulácós módszerek jelenét és jövõjét vzsgálta. A ckkbõl három gondolatot emelünk k. Az elsõ, hogy a szmulácós modellek publkálása során nem elegendõ az eredmények és a modell smertetése. Természetesen helykorlátok matt nncs lehetõség a forráskód publkálására, azonban a CD-k és az nternet segítségével lehetõséget kell bztosítan arra, hogy mnden érdeklõdõ személyesen végrehajthassa (futtathassa) a kísérleteket. A másodk fontos gondolat, hogy a területen tevékenykedõ szakemberek a korábban publkált szmulácókat újra végrehajtsák, kezdve a modell építésétõl, a programozáson átmenve, a futtatásokg. Erre azért van nagy szükség, mert a numerkus módszerek sok esetben nem bzonyító erejûek. Ahhoz, hogy a hbákat és az gaz khívásokat megtaláljuk, sokszor szükséges mások kutatás eredményet a legelsõ lépéstõl kezdve felépíten. Végezetül Axelrod azt hangsúlyozza, hogy a szmulácós módszertan elfogadtatásához arra s szükség van, hogy az elõzõek nyomán megalakuljon a társadalomtudósok olyan társasága, amely szmulácós módszerek segítségével végz kutatásat. Az értekezés során ezekre a gondolatokra külön nem hívjuk fel a fgyelmet. Mvel azonban a módszertan önállósodása szempontjából rendkívül fontosnak tartjuk, tt a bevezetõben hangsúlyoztuk... Defnícó, alapfogalmak A szmulácót nehéz defnáln. Az egyk lehetséges defnícó szernt a szmulácó egy rendszer modelljének a megfelelõ bemenetekkel (nputokkal) történõ ellátása, mûködtetése (drvng) és a kmenetek (outputok) megfgyelése (Bratley et al. 987). A szmulácós módszertan közgazdaság alkalmazása tehát a következõképpen képzelhetõ el. Megfgyeljük a valós rendszert, majd azt megkíséreljük legfontosabb tulajdonsága alapján formálsan leírn. Ezt nevezzük modellezõ tevékenységnek. Ha a modellt beprogramozzuk, úgy a valós rendszer egy vrtuáls reprodukcóját kapjuk. Ebben azután bzonyos paramétereket megváltoztatva a valós rendszer vselkedésére vonatkozó megfgyelések érdekében kísérleteket hajthatunk végre. A programozás és kísérletezés tevékenységet nevezzük szmulácós tevékenységnek (.. ábra). 3
Valós rendszer Modellezés Modell Szmulácó.. ábra. A szmulácó defnícója Számítógép Felmerül a kérdés, hogy mkor érdemes szmulácót alkalmazn és mlyen célokat lehet ezzel elérn. A mkor kérdésre vszonylag egyszerû a válasz. Akkor kell szmulácót alkalmazn, amkor mnden más lehetõség költségesebb. A más lehetõségen általában két alternatívát szoktak érten. Az elsõ az analtkus megoldás, a másk a valós rendszeren végzett kísérletezés. Mndegyk esetben a költség s gen összetett fogalom. Költségként jelenk meg az dõráfordítás, az ember erõforrás, az anyag ráfordítás és a kockázat tényezõ. A valós kísérletezéssel szemben a modellezés legfõbb elõnyének azt szokták megemlíten, hogy valós beavatkozás esetén rendkívül sok dõ telk el addg, amíg az adott beavatkozás hatása mérhetõvé válnak. Továbbá, nagy volumenû befektetéseket génylõ döntés esetében nem lehet próbálgatn. A modellezésnek ezzel szemben az a hátránya, hogy mvel a valóság egy leegyszerûsített mását valósítja meg elképzelhetõ a kszámított értékek és a tényleges realzácó (valós rendszer eredményenek) különbözõsége. Természetesnek tûnk az s, hogy abban az esetben, amkor analtkus megoldás áll rendelkezésre, felesleges a szmulácó. Sok esetben azonban az analtkus megoldáshoz vezetõ út nem egyszerû. Ilyen esetekben rendkívül nagy segítséget nyújthat a szmulácó, elsõsorban azért, hogy pontosabb képet alkothassunk a feladatról. Elõfordulhat az s, hogy egy problémának elvleg meg lehetne határozn az egzakt, analtkus megoldását, ennek ellenére szmulácós módszert használunk, mvel a probléma analtkus megoldása annyra bonyolult és mechankus, hogy egyszerûbb a numerkus vzsgálat eredményet használn (például leszámlálás). A szmulácós módszerek felhasználás területe a következõk: 5 elõrejelzés, feladatmegoldás, gyakorlatszerzés, szórakozás, oktatás, bzonyítás és kutatás.. Elõrejelzés. Ezt a célt szolgálja a vállalatgazdaság alkalmazások nagy része. Például egy vállalat arra kíváncs, hogy különbözõ árazás mellett várhatóan mekkora értékesítésre számíthat a jövõben.. Feladatmegoldás. A szmulácó arra s alkalmas, hogy különbözõ más módon nem meghatározható feladatokat oldjunk meg a segítségével. Ez a terület tpkusan a mesterségesntellgenca-kutatások kapcsolódás pontja. Olyan feladatokat lehet megoldan, mnt például az automatkus orvos dagnózskészítés (adatbányászattal), beszédfelsmerés (neuráls hálózatokkal) vagy függvényoptmalzálás (genetkus algortmussal). 3. Gyakorlatszerzés. Az elsõ szmulácók elsõsorban azt a célt szolgálják, hogy a szmulácót felhasználó emberek képességét javítsák egy, a valóságot kellõ pontossággal leíró, nteraktív környezetben. Klasszkus példá ennek az autó- és repülõszmulátorok. 5 Többek között Axelrod (997) alapján. 4
4. Szórakozás. Csak egy lépés az elõzõ ponttól és márs ktalált környezetek sokaságát teremthetjük meg erre a célra. 5. Oktatás. Az oktatásban használt szmulácós modellek legfontosabb célja, hogy lehetõvé tegyék a hallgatók számára a valóságban meghúzódó törvényszerûségek és összefüggések megsmerését. Jó példa a Közgazdaság Egyetemen s oktatott LUDUS vállalat szmulácós tantárgy. 6. Bzonyítás. Ez a legnkább vtatott terület, annak ellenére, hogy egy klasszkus és népszerû matematka problémát, a négyszín-tételt, számítógépes (szmulácós) lépések segítségével oldották meg. A szmulácós eszközök segítségével történõ bzonyítás olyan esetekben a leggyakorbb, amkor véges számú varácós lehetõséget kell átvzsgáln (pl. szmbolkus derválás). 6 A mesterséges ntellgenca kutató olyan programokat s készítettek, amelyek egyszerû matematka alapelemekbõl (pl. halmazok) komoly felfedezéseket tudtak tenn (pl. Goldbach-sejtés) (Hofstadter 998). 7. Kutatás. Utolsónak maradt az a cél, amelyet a legnkább fontosnak tartunk. A szmulácós módszerek ugyans a kutatásban, az új összefüggések felfedezésében s gaz segítséget nyújthatnak. Az értekezés másodk részében elsõsorban ennek bemutatására törekszünk. A szmulácós módszertan segítségével vzsgált modelleket (rövden: szmulácós modelleket) több szempontból kategorzálhatjuk annak alapján, hogy a háttérben meghúzódó matematka modell mlyen tulajdonságú. Az elsõ kérdés, hogy az dõ a modellben folytonos vagy dszkrét változó-e. A legtöbb közgazdaság modellben az dõ folytonos változóként szerepel. Nem mndegy azonban, hogy mlyen gyakran van lehetõség a szmulácó állapotváltozót megfgyeln és beavatkozásokat végezn. Abban az esetben, ha ez csak dszkrét dõpllanatokban történhet amnt az általában egy közgazdaság modellben tapasztalható, akkor dszkrétesemény-szmulácóról beszélünk. Ha bármely pllanatban lehetõségünk van a beavatkozásra és a megfgyelésre, akkor folytonos szmulácóról beszélünk. A szmulácóban szereplõ állapotváltozókat általában folytonosnak tekntjük, de vannak olyan modellek s, amelyekben kfejezetten szmbolkus (pl. mesterséges ntellgenca) vagy csak dszkrét numerkus (pl. dgtáls áramkörök) értéket vehetnek fel. Építhetünk természetesen olyan modelleket s, amelyekben az dõ nem szerepel. Ezek a statkus modellek. A statkus modellek szmulácója leggyakrabban a statsztka, ökonometra alkalmazások esetében játszk fontos szerepet, például a p-értékek numerkus elõállításánál vagy egy erõfüggvény alakjának meghatározásánál (Patak 00). A harmadk legfontosabb krtérum, am alapján a szmulácós modelleket megkülönböztetjük, hogy az sztochasztkus vagy determnsztkus. Az utóbbra jó példa a determnsztkus dfferencálegyenletek numerkus megoldásánál használt szmulácó. M a továbbakban olyan sztochasztkus, dnamkus szmulácós modellekkel foglalkozunk, amelyekben a megfgyelés és a beavatkozás dõpontok dszkrétek, azaz dszkrét események szmulácójával. Az állapotváltozók tekntetében nem teszünk megkötéseket. 6 A véges szó sajnos nagyon s meghatározott korlátokat jelent. A Ramsey-féle R(5,5) szám megtalálásához 0 400 esetet kellene megvzsgáln, am több számításdõt venne génybe, mnt az unverzum életkora, még akkor s, ha a Föld összes számítógépe a nap 4 órájában ezt a problémát számolná (Leader 00). 5
Az lyen rendszerek szmulácós modelljét formálsan s meg lehet határozn. 7 A formáls leírásnak két szntje van: az atom (atomc) sznt és az összetett (coupled) sznt. δ con (s,x) δ nt (s) δ ext (s,e,x) S t(s) λ(s).. ábra. Az atom szmulácós modell reprezentácója Az atom sznt a következõ: M = X, S, Y, δ, δ, δ, λ, t, nt ext con (.) ahol X: a külsõ események halmaza, S: a szekvencáls állapotok halmaza, Y: az outputok halmaza, δ nt : S S : belsõ átmenet leképzés, δ ext : Q X S : külsõ átmenet leképzés, δ con : S X S : torlódás átmenet leképzés, λ: S S : output leképzés, t: S R : dõzítés függvény, és Q ( s, e) s S,0 e t( s) { } =, ahol e az utolsó állapotváltozás óta eltelt dõ. A.. ábrán láthatjuk az atom sznt modelljének felépítését. A formáls modell szemléltetésére példaképpen vegyünk egy kszolgálás feladatot. 8 Tegyük fel, hogy egy csomag beérkezk egy sorbanállás rendszerbe. Ennek következtében a rendszer s állapotváltozója, jelen példánkban a várakozás sor hossza egységgel növekszk. Ezt a δ ext függvény valósítja meg. Ezután a t függvény által megadott dõ elteltével a modell megvzsgálja a sor hosszát. Néhány csomagot eltávolít, és ennyvel csökkent az állapotváltozó értékét, amelyet formálsan a δ nt függvény valósít meg. A δ con függvény eldönt, hogy m történjen abban az esetben, ha egyszerre jelentkezk a külsõ és belsõ esemény (például meghatározza δ ext és δ nt sorrendjét). A λ függvény végül elõállítja a kmenet változót, jelen esetben például a várakozás sor átlagos hosszát. Az összetett modell formálsan két alapvetõ objektumból áll. Komponensekbõl (amelyek lehetnek atom szntû vagy összetett modellek) és az ezeket összekapcsoló struktúrából. A struktúra formálsan a következõ: 7 Cho Cho (997) munkájára támaszkodunk. 8 Kszolgálás folyamatok szmulácójával kapcsolatban ld. például Benedek Molnár 996. 6
{ } { } { j} DN = D, M, I, Z, (.) ahol D jelöl a komponensek egyed azonosítóját, M az atom vagy magasabb szntû modelleket, I az egyes komponenseknek az összetett modellre vonatkozó hatását, Z j pedg a komponensek egymásra vonatkozó hatását, herarcháját. A.3. ábrán egy olyan sémát láthatunk, amely egy sorba kötött kszolgálás rendszer erõforrásat optmalzálja. Az A modul dönt arról, hogy az erõforrások hány százalékát kapja a B és hány százalékát a C kszolgálás egység. Az A modul vsszacsatolásként megkapja a BC modul outputját és a belsõ függvények segítségével eldönt, hogy elérkezett-e az optmumba, vagy tovább futtatásra van szükség. Ha újabb futtatás kell, akkor új erõforrás-allokácót határoz meg. A B C.3. ábra. Az összetett modell reprezentácója A.3. ábra jól jellemz egy determnsztkus rendszer szmulácóját, de sztochasztkus modell esetén az egyes kmenetek mndg csak egy lehetséges megvalósulást (replkácót vagy lefutást) jelentenek. A sztochasztkus modellek kmenet változója s nylvánvalóan sztochasztkus, ezért több smétlésre (replkácóra) van ahhoz szükség, hogy ennek a változónak az eloszlását megsmerjük. Így a.3. ábra úgy módosul, hogy a BC rész n-szer valósul meg. Az A modul feladata lesz az, hogy eldöntse, mlyen vsszacsatolást generál a BC kmenetekbõl, például egyszerû átlagot (várható érték becslését). Egy sztochasztkus összetett modell reprezentácója látható a.4. ábrán. A B C B C B n C n.4. ábra. A sztochasztkus összetett modell reprezentácója 7
Nézzük, mlyen alapvetõ lépésekbõl áll a szmulácós modellezés: probléma és rendszer defnálása, modellkoncepcó kdolgozása (formáls modell), elsõdleges kísérletek megtervezése, nputanalízs és nputadatok generálása, modell elkészítése (programozás), verfkácó, valdácó és modellkalbrálás, kísérletezés, outputanalízs és nterpretálás. A következõ alpontokban részletesen mutatjuk be ezeket a lépéseket. Az smertetést Benedek (999) modellje segítségével végezzük, mvel ebben a publkácóban mnden fontos lépés megtalálható. 9.. A probléma és a rendszer defnálása Mnden szmulácós modellezés elsõ lépése, hogy defnáljuk azt a problémát és a probléma keretrendszerét, amely a kutatás középpontjában áll. Tegyük fel például, hogy azt a feladatot tûzzük k, hogy egy részvényre vonatkozó vétel opcó (call opton) árát kívánjuk meghatározn. 0 Ebben az esetben a értéket kell meghatározn, ahol C( S C: az opcó értéke, S t : a t dõpontbel részvényárfolyam, E: a kötés árfolyam, R: a pac kamatláb, T-t: pedg a hátralévõ futamdõ. T { S E,0} r( T t), t) = e max (.3) A probléma analtkus kezeléséhez gen erõs és a valóságban nem teljesülõ feltételezésekkel kell éln. Elõször s a részvényárfolyamtól megköveteljük, hogy általánosított Brown-mozgást kövessen, konstans dõben állandó drfttel (µ) és volatltással (σ), azaz ds = µ Sdt + σsdz (.4) dz = ε dt, ε ~ N(0,). Megköveteljük továbbá a pac kamatláb állandóságát, a részvény tökéletes oszthatóságát és zéró osztalékfzetését, a pac kamatlábon történõ kölcsönvétel és kölcsönadás lehetõségét, T 9 Szeretnénk hangsúlyozn, hogy tt a Benedek (999) ckkben smertetett opcóárazás modell csak llusztrácóként szerepel, a részletekre és az eredmények bemutatására nem térünk k. 0 Igen részletesen tárgyalja ezt a problémát Hull 993. 8
részvényeladást jövõbel teljesítéssel (short sellng), a folytonos kereskedés lehetõséget, az adók és a tranzakcós költségek hányát. Feltételezzük továbbá, hogy európa típusú opcóról van szó és a pacon nncs lehetõség arbtrázsra. Ilyen megszorító feltételezések mellett meg lehet határozn a C értékét T, t, r, E, σ és µ függvényében (Black Scholes 973). Az egyes feltételek feloldására számos kutató adott analtkus, lletve numerkus megoldást. (Ezek közül a leglényegesebbek Cox Ross 976, Hull Whte 987, Merton 973 és Cox et al. 979.) A Benedek (999) ckkben szmulácó segítségével határoztuk meg az opcó értékét abban az esetben, ha a részvény árával arányos tranzakcós költséget kell fzetn a kereskedés pllanatában. A fentek segítségével defnáltuk a közgazdaság (jelen esetben pénzügy) problémát, a megoldáshoz szükséges rendszer pedg egy sztochasztkus dszkrét esemény szmulátor. A késõbbekben látn fogjuk, hogy a rendszert k kellett egészíten egy numerkus optmalzáló rendszerrel, amely a genetkus algortmusra épül..3. A formáls modell A formáls modell elkészítése során olyan leírást kell készíten, amely segítségével bárk képes a meghatározott szmulácós feladat programját elkészíten. A programozáshoz gen hasznos segítség a folyamatábra. Az elõzõ példát folytatva a szmulácóhoz szükséges paraméterek a következõk voltak: E: az opcó kötés árfolyama, r: a kockázatmentes kamatláb, Q: a tranzakcós költség nagysága százalékban, S 0 : a részvény kezdet árfolyama (az opcó értékelésének pllanatában), µ és σ: a részvény drftje és volatltása és T: az opcó lejáratának dõpontja. A szmulácó során három állapotváltozót használtunk: P t : a szmulált befektetõ egyenlege t dõpontban, P 0 = 0, S t : a részvény árfolyama t dõpontban, t : az opcó fedezet aránya t dõpontban. Ez a Black-Scholes formula: rt ( t) CSt (, ) = SNd ( ) Ee Nd ( ), ln( SE) + ( r+ σ )( T t) d =, σ T t ln( SE) + ( r σ )( T t) d. = = d σ T t σ T t ahol N(.) a standard normáls eloszlás eloszlásfüggvénye. Azaz Q = 0,0 esetén két darab 00 Ft értékû részvény eladása, lletve vásárlása - Ft extra költséget jelent. 9
Szmulácós modellünkben egy képzeletbel befektetõ t = 0 dõpontban elad egy darab vétel opcót, és vásárol 0 darab részvényt. A vásárlást kockázatmentes kamatlábon adott htel segítségével valósítja meg. Ezután mnden dõpllanatban megfgyel a részvény aktuáls árfolyamát (S t ), és megváltoztatja a portfólójában szereplõ részvények számát t mennységre. Amennyben ez smételten vásárlást jelent, akkor tovább htelt vesz fel, ha eladást, akkor törleszt. Ezt a technkát dnamkus fedezés stratégának (dynamc hedgng) nevezk. Az opcó lejártakor (t = T) helyt kell állna az opcónál, am max{s T E, 0} tovább kadást jelent. (Ha ugyans a részvény ára magasabb a kötés árfolyamnál, akkor az opcót lehívják, így a teljesítésekor a részvényár és a kötés árfolyam különbségét kell kfzetne az opcó eladójának. Ha azonban a részvényárfolyam nem ér el a kötés árfolyamot, akkor az opcót nem fogják lehívn, így az eladó nem szenved veszteséget.) Végül a befektetõ eladja portfólójában szereplõ T- részvényt s. A maradék összeg dszkontált értéke adja meg azt az opcóárat (C), amely kfzetése esetén a befektetõ pontosan zéró nyereséget/veszteséget realzál (arbtrázs-mentesség). A szmulácó futtatásához tsztázn kell a részvényárfolyamok generálásának képletét, amely a következõ: 3 ( µ σ )( Y) + σε Y S = + Se, ε ~ N(0,). (.5) Vegyük észre, hogy az dõpont-beosztások fnomítása az Y paraméter segítségével történk. Mvel a részvény paraméteret éves sznten adtuk meg, ezért Y azt jelent, hogy hány részntervallumra osszuk fel egyenletesen az egy évet. (Ha például naponta adunk lehetõséget a portfóló fedezésére, akkor Y = 360, ha naponta tízszer, akkor Y = 3600. Természetesen T-t s ebben a mértékegységben kell mérnünk, azaz ha az opcó futamdeje egy hónap, akkor az elõbb esetben T = 30, míg az utóbbban T = 300.) Nem nehéz belátn, hogy az dõ végtelen fnomításával a (.5) formula pontosan a (.4) sztochasztkus folyamatot eredményez. 4 A (.5) formulából jól látható, hogy mnden újabb részvényár szmulálásánál egy standard normáls eloszlású értéket kell generálnunk. Ennek módszerét a következõ alpontban mutatjuk be. Végül meg kell határoznunk azt az eljárást, amnek segítségével a dnamkus fedezést megvalósítjuk. Ez a következõ: ( ln ( ) ( t + + σ )( )) C N S E r T t t = = S σ T t, (.6) ahol N(.) a standard normáls eloszlás eloszlásfüggvénye. Mután az output változó (C) a sztochasztkus szmulácó matt valószínûség változó, ezért nem elegendõ egy értéket vzsgáln. A szmulácót független véletlen számok segítségével többször le kell futtatn. (Ezeket nevez a szakrodalom replkácóknak vagy mntának. A replkácók számát mntaméretnek s hívjuk.) Készítsük el a szmulácó folyamatábráját! 3 Ennek levezetését lásd Benedek 999. 4 Lásd például Benedek 998. 0
Összes replkácó kész? Nem Hányadk kereskedés pllanat? Igen C eloszlásának meghatározása t-t növeld eggyel t =0 Induló portfóló kalakítása: P 0 = S 0 0 (+Q) 0<t<T Kamatfzetés: P t = P t- e -r/y t=t Kamatfzetés: P T = P T- e -r/y S t generálása t meghatározása S T generálása t t- t < t Részvényeladás: P t = P t- + + S t ( t- t )( Q) különben Részvényvásárlás: P t = P t- + S t ( t t- ) (+Q) Részvényeladás: P T = P T- + + S T t- ( Q) Opcó teljesítése: P T = P T- max{ S T E,0} következõ replkácó Opcó értéke: C = P T e -rt/y.5. ábra. A szmulácó folyamatábrája.4. Az elsõdleges kísérletek megtervezése A szmulácó futtatásához természetesen meg kell határozn bzonyos paramétereket. Az elsõdleges kísérleteket érdemes úgy megtervezn, hogy a kmenetelét könnyû legyen valamlyen már meglévõ értékhez vszonyítan. Ilyen érték lehet a szakrodalomban szereplõ számítás eredmény, lletve bzonyos esetekben az analtkus eredmény. Ilyenkor olyan egyszerûsítéseket feltételezünk, amelyeket a késõbb kísérletek során fel lehet oldan, azonban az ellenõrzéshez és a hbakereséshez jól lehet alkalmazn. Az opcóár szmulácóban a következõ feltételezésekkel éltünk az elsõdleges kísérletek megtervezése során:
E = 00 r = 0,05 S 0 = 00 µ = 0, σ = 0,3 T/Y = 30 nap A mntaméretet 5000 replkácónak választottuk, és a szmulácó kmenet változójának a kapott opcóárak átlagát és szórását választottuk. A tranzakcós költség (Q) rátáját elõször zérusra, majd %-ra állítottuk. A zérus tranzakcós költség szmulácójának vssza kell adna a Black Scholes-formula értékét, hszen ebben az esetben analtkus eredmények állnak a rendelkezésünkre..5. Inputanalízs és nputadatok generálása A valóságos rendszer mûködésének pontos számítógépen belül elõállításához a valóságban lezajló folyamatokat részleteben kell megfgyeln. Fel kell tárn az összefüggéseket, és jellemezn kell a véletlen jelenségeket. Ez a feladat az nputanalízs, vagys azon adatok elemzése, amelyek a rendszerbe beérkeznek. Az elemzéshez elsõsorban statsztka módszereket alkalmaznak, különösen nagy fgyelmet szentelve az eloszlások becslésének. Az utóbb dõben elterjedt másk vzsgálat módszer az adatbányászat, amelyet akkor érdemes alkalmazn, ha a megfgyelés adathalmaz rendkívül nagy, és valószínûsíthetõ, hogy vszonylag bonyolult, nemlneárs összefüggések húzódnak meg bennük, amelyeket célszerû felhasználn a szmulácóban. 5 Az adatbányászat elemzések bemutatása sajnos meghaladja az értekezés keretet, érdemes azonban annyt megjegyezn róla, hogy a módszertan szntén a mesterséges ntellgenca algortmusat használja; olyan algortmusokat, mnt amelyeket a 3. fejezetben mutatunk be. Az opcóár-szmulácóhoz szükséges nputanalízs elsõsorban a részvényárfolyam eloszlásának vzsgálatát jelent. A Benedek (999) publkácóban lyen típusú vzsgálatot nem végeztünk, mvel a szakrodalomban alkalmazott normaltás feltételt elfogadtuk, az alkalmazott µ és σ paraméter értékeket a szakrodalomból vettük (Hull 993). Most azonban bemutatjuk, hogy hogyan kellene eljárnunk ezek smerete hányában. Vegyük például a Matáv-részvényt a Budapest Értéktõzsdérõl. A.6. ábrán ábrázoljuk a részvényárfolyamokat (S t ) 998. január 7-tõl 000. december 7-g. A.7. ábrán pedg megvzsgáljuk a részvényárfolyam-növekmények (ln(s t / S t- )) eloszlását. 3000 500 000 500 000 500 0 998-0-07 998-05-07 998-09-07 999-0-07 999-05-07 999-09-07 000-0-07 000-05-07 000-09-07.6. ábra. A Matáv árfolyama.7. ábra. Az árfolyamnövekmények eloszlása 5 Az adatbányászat alkalmazásáról számos könyv áll rendelkezésre, pl.: Bgus 996, Berry Lnoff 000. Magyar nyelven lásd Benedek 999b bevezetõ jellegû ckkét.
Elsõ feladat az, hogy megvzsgáljuk, vajon tényleg normáls eloszlást követnek-e az árfolyamnövekmények. Az adatokra egy 0,0000475 várható értékû és 0,08 szórású Gauss-görbét llesztettünk, így a teljes négyzetes hba 0,00850 volt. Sajnos azonban mnden teszt (χ -teszt, Kolgomorov Szmrnov-teszt, Jarque Bera-teszt) elutasítja az adatsor normaltását. Ennek ellenére ebben a példában fogadjuk el a normáls eloszlás feltételezését, mvel a szmulácós problémát nem a Matáv-részvényre vonatkozó opcó kszámítása céljából vzsgáljuk, hanem elmélet szempontból a tranzakcós költség vzsgálata érdekében. 6 Természetesen tovább fontos teszteknek kellene még alávetn az adatokat (pl. függetlenség, homoszkedasztctás), amelyektõl eltekntünk, de még egyszer felhívjuk a fgyelmet ezek fontosságára, hszen hbás feltevések mellett hbás következtetésekre jutunk a szmulácó során. 7 Az llesztett eloszlás és a (.5) formula segítségével megállapíthatjuk µ és σ paramétereket, amelyek rendre 0,094 és 0,406. Az nputanalízs elvégzése után következõ feladat az, hogy hogyan lehet ezeket a véletlen sorozatokat újra elõállítan, azaz hogyan történk a véletlenszám-generálás. Ez a terület a szmulácós modellezés egyk legnkább kutatott témaköre, és gyakorlatlag mnden szmulácóval foglalkozó tankönyv részletesen foglalkozk vele. A továbbakban a véletlen számok smertetésénél Káta (98) és Knuth (987) munkára hvatkozunk. (A módszertan eredmények mellett kváló történet és alkalmazás áttekntés található Knuth (987) másodk kötetében, a Szemnumerkus algortmusokban.) Véletlenszám-generálásra két módszer áll rendelkezésre. Az egyk módszer az analóg generátor, amkor valamlyen perféra véletlen vselkedése határozza meg a sorban következõ számot. Ilyen lehet például egy számítógépbe épített nga, amely állandó ktérése véletlen sorozatokat hozhatnak létre. Az lyen generátorokkal a legnagyobb probléma az, hogy lehetetlen rekonstruáln egy korább folyamatot. Sok esetben ugyans szükséges lehet arra, hogy ugyanazokkal a véletlen számokkal megsmételjünk egy-egy kísérletet. A másk módszer számelmélet alapokon nyugszk. Matematka módszer segítségével egyenletes eloszlású változókat generálunk, majd ezután ezek transzformálása segítségével juthatunk a legkülönbözõbb eloszlásokhoz. Nézzük például a Neumann János által javasolt négyzetközép-módszert! A véletlen sorozat úgy épül fel, hogy az utolsó számot négyzetre kell emeln, és ennek a középsõ jegye alkotják a következõ számot. Például négyjegyû számok generálása esetén: V 0 = 5784 V 0 = 33454656 V = 4546 V = 06666 V = 666 V = 443689 Felmerül azonban a kérdés, hogy egy algortmus által elõre meghatározott képlet szernt kszámított számok lehetnek-e véletlenszerûek. Valójában nem azok, vszont úgy vselkednek, mntha tényleg egyenletes eloszlásúak lennének. (Ezért ezeket a sorozatokat 6 Amennyben ezt a részvényt kívánjuk felhasználn, úgy tovább eloszlásokat kell megpróbáln lleszten, esetleg meg lehet tartan az emprkus eloszlás feltételezését s. Ebben az esetben magából a hsztogramból kell mntavételezn. A Matáv-adatsorra végül alacsony szabadságfokú t-eloszlás llesztése bzonyult hatékonynak (Benedek et. al. 00). 7 Statsztka vzsgálatokhoz lásd pl. Hunyad Vta 99, Móry Székely 986. 3
a szakrodalom pszeudovéletlennek vagy kvázvéletlennek nevez.) A pszeudovéletlen sorozatokkal két gond lehet. Az egyk, hogy cklusba kerül, azaz egy meghatározott sorozat után újból ugyanazokat a számokat generálja ugyanabban a sorrendben. (Például a négyzetközép-módszer esetén nduljunk a 379-bõl!) Belátható, hogy a négyzetközépmódszer tetszõleges ndulóérték esetén hamar cklusba torkollk. A másk probléma, hogy a módszer nem ad olyan számsorozatot, amely valóban független egyenletes eloszlású. A véletlenszám-generáló eljárásokat tehát ebbõl a két aspektusból kell megvzsgáln. Napjankban a leggyakrabban használt egyenletes eloszlást adó numerkus véletlenszámgenerátor a lneárs kongruenca módszere, amelyet Lehmer (95) vezetett be. Vegyük a következõ sorozatot: V = ( ) (.7) av + + c mod m, ahol mnden paraméter nem-negatív egész, mégpedg: m: a modulus (maradékos osztó): m > 0, a: az együttható: m > a 0, c: a növekmény: m > c 0, V 0 : a kezdõérték (seed): m > V 0 0. Ezt nevezzük lneárs kongruenca-sorozatnak. Az elõállított szám mndg az m-mel történõ osztás maradéka. Például, ha m = 0 és V 0 = a = c = 7, akkor a sorozat a következõképpen fest: 7, 6, 9, 0, 7, 6, 9, 0, Jól látható, hogy az lyen típusú megválasztás esetén a sorozat egy négy elembõl álló cklust hoz létre. A lneárs kongruenca-sorozatban kalakuló cklus elemszámát peródushossznak nevezzük. A következõkben kmondunk néhány fontos tételt:.. Tétel: Mnden V + = f(v ) eljárással megadott korlátos sorozatnál elõbb vagy utóbb cklus jelentkezk. Így nylvánvaló, hogy a (.7) esetében s bztosan fellép az smétlõdés. Kérdés azonban az, hogy lehet-e kellõen nagyra választan a peródushosszt annak érdekében, hogy ez ne okozzon gondot a véletlen sorozat generálásánál. Könnyû belátn a következõ tételt:.. Tétel: A (.7) lneárs kongruenca-sorozat maxmáls peródushossza pontosan m. Ha egy lyen sorozat peródushossza m, akkor teljes peródusú (full perod) lneárs kongruenca-sorozatnak nevezzük. Ezek szernt számunkra olyan paraméterek szükségesek, ahol m értéke nagy. Sok algortmus esetében ezért m-et olyan nagynak szokták választan, mnt amekkora a számítógép processzorának számábrázolás kapactása. (3 btes processzor esetén például m = 3 ). A nagy m mellett olyan egyéb paraméterválasztás a célszerû, hogy a sorozat teljes peródusú legyen. Így khasználjuk a maxmáls peródus lehetõséget, továbbá bztosítjuk, hogy mnden egyes szám pontosan egyszer fog elõforduln 0 és m között 4
egy ckluson belül. A paraméterek helyes megválasztásához a következõ nehéz számelmélet tételt kell felhasználn..3. Tétel: A (.7) lneárs kongruenca-sorozat peródushossza pontosan akkor m, ha:. c relatív prím m-hez,. b = a többszöröse p-nek m mnden p prímosztójára, 3. b többszöröse 4-nek, ha m többszöröse 4-nek. A tételek bzonyítása megtalálható Knuth (987) munkájában (II / 4 35). Bzonyítás helyett nézzünk egy példát, ahol m = 8, ezért p =, tehát b legyen 4, így a = 5, c = 3, és nduljunk az -bõl. Ekkor a következõ sorozatot kapjuk:, 0, 3,, 5, 4, 7, 6,, 0, 3,, 5, 4, 7, 6, A sorozat tényleg teljes peródusú, a független egyenletes eloszlás próbáját azonban algha állná k. Ezért rendkívül fontos az, hogy statsztka próbákkal megvzsgáljuk a generált sorozatot. A leggyakrabban a következõ teszteket szokták elvégezn: χ -próba, Kolgomorov Szmrnov-próba, gyakorságpróba, sorozatpróba, hézagpróba, partícópróba (pókerpróba), sorozatkorrelácópróba, spektrálpróba. A legtöbb teszt smertetése megtalálható általános statsztka könyvekben, azonban a korábban többször s dézett Knuth (987) könyvben ezeket megvalósító, erõforrástakarékos algortmusok s szerepelnek. A ma legnkább megbízható algortmusok megtalálhatók Press et al. (99) mûvében, ahonnan a 0 8 peródushosszú ran és a 0 6 peródushosszú ran algortmusokat alkalmaztuk a pénzügy szmulácó esetében. Bzonyos szmulácók esetén elképzelhetõ, hogy még a ran vagy a ran algortmusoknál s hosszabb peródusú vagy gyorsabb eljárásra van szükség. A ma legfrssebb kutatások számos lyen algortmust ajánlanak, amelyek általában már nem kzárólag a lneárskongruenca-módszerre épülnek. Eddg közgazdaság szmulácónk során azonban ezekre a módszerekre még nem volt szükségünk, így bemutatásuktól eltekntünk. Skerült tehát független egyenletes eloszlású számsorozatokat generáln számelmélet módszerek alkalmazásával. A szmulácós alkalmazásokhoz azonban különbözõ eloszlású változókra lehet szükség. Ezeket az eloszlásokat egyenletes eloszlású változókból transzformálva készíthetjük el, leggyakrabban a következõ módszereket alkalmazva: drekt módszer, kzárás módszere (acceptance-rejecton method), konvolúcós módszer és specáls módszerek. Drekt módszer. Tetszõleges θ folytonos valószínûség változó esetén jelölje F θ θ eloszlásfüggvényét, f θ pedg θ sûrûségfüggvényét. A következõ tételek vszonylag egyszerûek, bzonyításuk a legtöbb valószínûségszámítással foglalkozó tankönyvben megtalálható (Rény 973). 5
.4. Tétel: Legyen ξ folytonos valószínûség változó, g pedg egy folytonos, valós, monoton növekvõ függvény. Legyen továbbá η = g(ξ). Ekkor: Ebbõl következk az alább tétel. ( ) ( ) ( ) F x = F g x. (.8) η ξ.5. Tétel: Legyen ξ folytonos valószínûség változó egyenletes eloszlású a [0,] ntervallumon, F(x) pedg egy tetszõleges folytonos eloszlásfüggvény. Ekkor η = F - (ξ) olyan valószínûség változó, amelynek eloszlásfüggvénye F. A tétel alapján már látjuk, mért volt fontos az egyenletes eloszlású valószínûség változó generálása. Ennek segítségével bármlyen más eloszlást készíthetünk, feltéve, hogy smerjük az eloszlás eloszlásfüggvényének nverzét. Nézzünk egy példát, az exponencáls eloszlást, 8 amelynek az eloszlásfüggvénye a következõ: xb e, ha x 0, F( x) = 0, különben (.9) Ezért könnyû elõállítan F nverzét: x= F () u= bln( u). Sajnos a legtöbb esetben nem lyen egyszerû a helyzet, például a számunkra gen fontos normáls eloszlás esetén nem adható meg analtkus formában az eloszlásfüggvény. 9 A folytonos valószínûség változó esetét megvzsgáltuk, nézzük mlyen lehetõségek vannak a dszkrét véletlen változók elõállítására!.6. Tétel: Legyen ξ dszkrét valószínûség változó, mégpedg: Legyen továbbá Ezért S ( = x ), = 0,,,... pm = P ξ m m (.0) m m = pk, Ik = k k k = 0 p [ S, S ), k 0, S = 0. ( S u < S ) = P( u I ). m = P m m m (.) (.) Ekkor a következõ eljárással egy u egyenletes eloszlású változó segítségével pontosan a ξ dszkrét eloszlású valószínûség változót generáljuk: x0, ha u I0, ξ = x, ha u I,... (.3) 8 Az exponencáls eloszlás a sorbanállás és készletgazdálkodás modellek tekntélyes részénél szerepel, ezért gen fontos eloszlás. 9 Több program s közelítõ függvény segítségével, drekt módszerrel generál normáls eloszlást. Ezek megbízhatósága különös tekntettel az eloszlás szélere gen különbözõ. 6
Például egy dobókocka dobásat rendkívül egyszerûen szmulálhatjuk, ha az egyenletes eloszlású u < / 6, akkor a kockadobás -es, ha / 6 < u < / 6, akkor -es stb. A drekt módszer utolsó tétele megmutatja, hogy tetszõleges eloszlás generálható egyenletes eloszlás segítségével:.7. Tétel: Legyen ξ eloszlásfüggvénye F, ξ -é pedg F. Tegyük fel továbbá, hogy: ( ) ( ) ( ) F x = pf (.4) x + qf x, p+ q=, p, q 0. Tegyük fel, hogy ξ lehetséges értéke és, rendre p és q valószínûséggel, továbbá ξ független ξ és ξ változóktól. Defnáljuk η-t: ξ, haξ =, η = (.5) ξ, haξ =. Ekkor η eloszlásfüggvénye F, továbbá mvel mnden monoton növekvõ függvény felbontható két monoton növekvõ függvény összegére úgy, hogy az egyk folytonos, a másk pedg dszkrét (tszta ugró), ezért mnden eloszlásfüggvény felírható (.4) alakban, ahol F folytonos, F pedg dszkrét eloszlásfüggvény. Kzárás módszere. A módszert nevezk még Monte-Carlo-módszernek s, bár ezt a nevet általában a hasonló elven mûködõ numerkus ntegrálásra szokták használn. Az eljárás lényege a következõ. Legyen adott u, v egyenletes eloszlású független valószínûség változó a [0,] ntervallumon. Szeretnénk elkészíten ξ véletlen változót, ahol ξ [a, b], sûrûségfüggvénye g, és g maxmumértéke pedg c <. Transzformáljuk elõször u-t u -be, v-t v -be, ahol ezek rendre egyenletes eloszlásúak az [a, b] és a [0, c] ntervallumon. Ezután vzsgáljuk meg, hogy gaz-e a v < g(u ) egyenlõtlenség. (Grafkusan elképzelve vajon a generált (u v ) pont a sûrûségfüggvény alatt vagy felett helyezkedk el.) Ha gaz (alatta), akkor fogadjuk el ξ = u -t, ha nem, akkor generáljunk újabb u, v párost..8. Tétel: Az így kapott ξ valószínûség változó pontosan olyan eloszlást követ, amelynek sûrûségfüggvénye g, továbbá mnden egyes ξ változó elõállításához (b-a) c számú független egyenletes eloszlású változóra van szükség. Ezzel a módszerrel két probléma van. A megvalósításhoz egyrészt smern kell g sûrûségfüggvényt, másrészt csak korlátos valószínûség változót tudunk generáln. Ha például standard normáls eloszlású valószínûség változót szeretnénk készíten, akkor meg kell határozn azt a tartományt, amelynél ksebb, lletve nagyobb számokat 0 valószínûséggel generálunk. Mvel a sûrûségfüggvény széle nagyon gyorsan konvergálnak nullához, ezért már a [ 3, 3] választással elég kcs hbát vétünk 0 (3σ szabály). A.8. ábra segítségével könnyen megérthetõ a.8. tétel. Az ábrán háromszöggel jelöltük az elfogadott, négyzettel az elutasított számpárokat. Az elfogadott számpárok elsõ koordnátá adják a normáls eloszlású valószínûség változókat. 0 Természetesen mnél több független véletlen változóra van szükségünk, annál nagyobb az így elkövetett hba valószínûsége. A pénzügy szmulácó során a [, ] ntervallummal próbálkoztunk. 7
v' -3 - - 0 3 u'.8. ábra. Normáls eloszlás generálása a kzárás módszerével Konvolúcós módszer. Sok eloszlást tudunk más eloszlások összegeként generáln. Így készíthetünk például Erlangen-eloszlást azonos várható értékû exponencáls eloszlásokat összegezve. Az egyk legegyszerûbb a központ határeloszlás segítségével a normáls eloszlás készítése. Ezt mutatjuk most be:.9. Tétel: Adott egy y ~ U(0, ), azaz egy egyenletes eloszlású mnta a [0,] ntervallumon. Transzformáljuk y ~ U( α,α)-ra, azaz y = αy α. Ezután n-esével összeadjuk és standardzáljuk õket, azaz: z ( y + y +... + y ) n n =, ahol σ n α. 3 σ = (.6) Természetesen tt z s ndexelt, azaz mnta, pontosan anny elemû, ahány n-es csoportot létre lehet hozn a független egyenletes eloszlású mntából. Ekkor () y független, egyenletes eloszlású a [ α,α] ntervallumon, várható értéke 0 és szórása σ, () z normáls eloszlást követ, ha n tart a végtelenhez, továbbá () z már egészen kcs n értékekre s gen jól közelít a standard normáls eloszlást, különös tekntettel az eloszlás közepére. A tétel () része trváls, a () pedg a központ határeloszlás tételének következménye. A () azonban nem trváls, és nem található meg a szakrodalomban, ezért ezt a bzonyítást részletezzük: Bzonyítás: A bzonyítás során azt mutatjuk meg, hogy z karaktersztkus függvénye gyorsan konvergál a standard normáls eloszlás karaktersztkus függvényéhez. Elõször állítsuk elõ y karaktersztkus függvényét: α tx tx tx tα -tα ky () t = E( e ) = e dx= e ( e e ) α α = = t α αt α sn ( tα) = ( cos( tα) + sn ( tα) cos( tα) sn ( tα) ) =. αt tα α (.7) Ekkor a karaktersztkus függvények tulajdonsága matt könnyen kszámíthatjuk z karaktersztkus függvényét. 8