Alkalmazott Matematikai Lapok 1 IRÁNYÍTOTT GRÁFOK FOKHALMAZAI, MATUSZKA TAMÁS, NÉMETH ZSOLT (MÁJUS 14) Legyenek a, b és n egész számok, (0 a b és 1 n). Az (a, b, n)-gráfok olyan hurokmentes irányított gráfok, amelyekben bármely két csúcsot legalább a és legfeljebb b él köt össze. Ezen gráfok kifokainak nemcsökkenő sorozatát foksorozatnak, a különböző kifokaiból alkotott halmazokat pedig fokhalmaznak nevezzük. A cikkben különböző (a, b, n)-gráfok mint a szimmetrikus, antiszimmetrikus gráfok, versenyek és multiversenyek, páros és többrészes gráfok foksorozatait és fokhalmazait jellemezzük (teszteljük a potenciális sorozatokat és halmazokat, helyreállítjuk és leszámláljuk a helyreállítható sorozatokat és halmazokat). 1. Bevezetés A gyakorlatban különböző területeken szükség van objektumok rangsorolására. Ennek egyik elterjedt módszere, hogy az objektumokat páronként összehasonlítjuk, és az összehasonlítás eredményeképpen pontokat adunk az objektumoknak, végül pedig a kapott pontszámok alapján rangsoroljuk őket. Például Landau biológiai [48], Newman és Barabási [58] hálózati, Bozóki, Fülöp, Kéri és Rónyai gazdasági [5, 46], Liljeros et al. emberi kapcsolatokra vonatkozó [50], Iványi et al. pedig sportbeli [31, 32, 37, 40, 62, 66] alkalmazásokra hivatkoztak. Legyenek a, b és n egészek (n 1, b a 0). Az (a, b, n)-gráfok olyan hurokmentes irányított gráfok, melyek csúcshalmaza V = {v 1,..., v n } és a különböző v i és v j csúcsok legalább a és legfeljebb b éllel vannak összekötve. Ha adott vonatkozásban n nem lényeges, akkor elhagyjuk, azaz a rövidebb (a, b)-gráf elnevezést használjuk. A cikkben többnyire a sportbeli alkalmazások terminológiáját használjuk: a gráfokat versenyeknek, a csúcsokat játékosoknak vagy csapatoknak, a kifokok számát pontszámnak, a befokok számát vesztett pontok számának, két csúcs összehasonlítását meccsnek, csapatok számát a verseny rendjének, a meccsek számát pedig a verseny méretének nevezzük. Az élek száma és iránya a meccseken dől el: a P i játékos által a P j játékos ellen szerzett s ij pontnak s ij darab, a P i csúcsból a P j csúcsba mutató él felel meg [36]. Az (a, b)-versenyek lehetnek teljesek vagy hiányosak. Ha a c b, akkor a teljes verseny meccsein kiosztott c pont tetszés szerint bontható k (0 c c) és c k egész részekre, míg a hiányos versenyeken bizonyos elosztások nem megengedettek. Például a régi labdarúgás ahol 2:0, 1:1 és 0:2 volt megengedve teljes (2, 2) sport, a modern labdarúgás [18, 37, 42] ahol 3:0, 1:1 és 0:3 van megengedve hiányos (2,3)-sport, hiszen például a 2:0 és 2:1 elosztás nincs megengedve.
2 Míg teljes versenyek esetén a sorozatok tesztelése az operációkutatás folyamos módszereivel [18] kényelmesen megoldható (bár gyakran vannak gyorsabb algoritmusok is), hiányos versenyek esetén ezek a módszerek nem alkalmazhatóak. A cikkben első sorban teljes versenyekkel foglalkozunk. Legyenek l, m és u egész számok, továbbá 1 m és l u. Egész számok f = f 1,..., f m sorozatát és h = {h 1,... h n } halmazát (l, u, m)-korlátosnak nevezzük, ha l f i u, illetve l h i u minden 1 i m indexre. Ha egy mononoton nemcsökkenő, egészekből álló f sorozat (l, u, m)-korlátos, akkor (l, u, m)- szabályosnak mondjuk [13]. Ha A h (l, u, m)-korlátos halmazt (l, u, m)-szabályosnak mondjuk, ha szigorúan monoton nő. A vizsgálatok során kitüntetett szerepet játszanak az (a(n 1), b(n 1), n)-szabályos és a (0, n 1, n)-szabályos sorozatok. Ezeket a sorozatokat (a, b, n)-jónak (röviden jónak) nevezzük, ha létezik olyan (a, b, n)-verseny, melynek foksorozata/fokhalmaza az adott sorozat/halmaz. A továbbiakban főleg szabályos sorozatokkal foglalkozunk. A definíciókban az alsó és felső korlátok azért szerepelnek, hogy ellenőrző algoritmusainkat megkíméljük a nyilvánvalóan nem jó sorozatok ellenőrzésétől, ezért ezek a megszorítások nem jelentik az általánosság korlátozását. Kutatásaink melléktermékként bővítettük a The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences adatbázist [38]. Megjegyezzük, hogy Avery 1991-es [2], valamint Mubay et al. 2001-es cikkét [56] követően jelennek meg olyan cikkek is (például [40, 41, 66, 74]), amelyek a játékosok pontszámának és vesztett pontjaik számának különbségét, és az ilyen különbségekből alkotott sorozatokat és halmazokat vizsgálják. Mivel a fokkülönbségekre vonatkozó tételek többsége a foksorozatokra és fokhalmazokra vonatkozó tételek következménye, ezekkel a kérdésekkel csak érintőlegesen foglalkozunk. A cikk felépítése a következő. A bevezető első rész után a 2. részben az aszimmetrikus, a 3. részben a szimmetrikus, majd a 4. részben az (a, b)-versenyek pontsorozataival, ezt követően a 5. részben (a, b)-versenyek ponthalmazaival foglalkozunk. A 6. és 7. részekben scheveningeni versenyek, a 8. részben pedig a szimmetrikus scheveningeni versenyek pontsorozatait és ponthalmazait elemezzük. Végül a 9. részben a többrészes versenyekre vonatkozó eredményeket foglaljuk össze. 2. Aszimmetrikus versenyek pontsorozatai és ponthalmazai Először a (0, 1)-versenyekkel foglalkozunk, amelyek a szimmetrikus gráfoknak felelnek meg. Ezeknél a versenyeknék a P i és P j játékos vagy játszik meccset egymással (ekkor a győztes egy pontot kap, a vesztes pedig nulla pontot),vagy nem játszik (ekkor mindkét játékos nulla pontot kap). Chartrand, Lesniak, Roberts [9]
Alkalmazott Matematikai Lapok 3 3. Szimmetrikus versenyek pontsorozatai és ponthalmazai versenyek ponthalmazai A szimmetrikus versenyek olyan (0, 2)-versenyek, amelyekben a 0:0 és az 1:1 a megengedett eredmény, a 2:0 és 0:2 viszont nem az, tehát ez hiányos verseny. Chartrand, Lesniak, Roberts [9] 4. Teljes (a, b)-versenyek pontsorozatai A hagyományos versenyek pontsorozatainak gyors ellenőrzését teszi lehetővé Landau következő tétele. 1. Tétel. (Landau [48]) Egész számok f = f 1,..., f n nemcsökkenő sorozata akkor és csak akkor pontsorozata egy (1, 1, n)-versenynek, ha k f i k=1 ( ) k 2 (1) minden 1 k < n indexre, továbbá a k = n esetben egyenlőség teljesül. Bizonyítás. Lásd [48]. Megjegyezzük, hogy irányítatlan gráfok potenciális foksorozatainak tesztelésére először egymástól függetlenül Havel [28] és Hakimi [25], továbbá Erdős és Gallai [13] javasoltak legrosszabb esetben négyzetes futási idejű algoritmust. A Havel-Hakimi algoritmus lineáris idejű változata a [33], míg az Erdős-Gallai algoritmus lineáris futási idejű változata Takahashi [76] disszertációjában, majd a [29, 37] cikkekben jelent meg. Landau tételéből közvetlenül adódik az (1, 1)-versenyek potenciális különbségsorozatainak gyors tesztelését lehetővé tevő állítás. 2. Következmény. (Avery [2], Mubayi, Will, West, [56]). Egész számok f = f 1,..., f n nemcsökkenő sorozata akkor és csak akkor pontsorozata egy (1, 1, n)-versenynek, ha k ( ) k f i (2) 2 k=1 minden 1 k < n indexre, továbbá a k = n esetben egyenlőség teljesül. Bizonyítás. Legyen??? Landau tételét Moon a következőképpen általánosította 1963-ban.
4 3. Tétel. (Moon [55]) Ha b 1, akkor egész számok f = f 1,..., f n nemcsökkenő sorozata akkor és csak akkor pontsorozata egy (b, n)-versenynek, ha k ( ) k f i b 2 k=1 (3) minden 1 k < n indexre, továbbá a k = n esetben egyenlőség teljesül. Bizonyítás. Lásd [55]. Landau tételének következő általánosítása 2009-ben jelent meg. 4. Tétel. (Iványi [31]) Ha b a 0, akkor egész számok f = f 1,..., f n nemcsökkenő sorozata akkor és csak akkor pontsorozata egy (a, b, n)-versenynek, ha ab k k f i bb n L k (n k)f i (4) i=1 minden 1 ( ) k n indexre, ahol L 0 = 0 és ha 1 k n 1, akkorl k = max(l k 1, k 2 ) k i=1 f i. Bizonyítás. Lásd [31]. A szakirodalomban több algoritmus is ismert pontsorozatok előállítására: például Ryser [73] 1964-ben, Kleitman és Wang [47] 1973-ban, Gervacio [20] 1988-ban, Ruskey et al. [72] 1995-ben, Hemasinha [30] 2003-ban javasoltak algoritmust (1, 1, n)- versenyek összes pontsorozatának előállítására. A 4. tétel alapján tetszőleges (a, b)-verseny összes pontsorozata előállítható. A következőkben a tételen alapuló Pontsorozatok algoritmust ismertetjük, amely adott b és n bemenetekhez előállítja a (b, b, n)-versenyek legfeljebb n hosszúságú pontsorozatait. Azért elégszünk meg ezzel a speciális esettel, mert a későbbiekben csak erre van szükségünk a ponthalmazok leszámlálásához. Az (1, 1)-versenyek pontsorozatainak számát T (n)-nel, a (b, b, n)-versenyek pontsorozatainak számát pedig T (b, n)-nel jelöljük. A Pontsorozatok algoritmus a lexikografikusan legkisebb 0, b,..., b(n 1) sorozattal kezd. Rendre megkeresi az utoljára előállított pontsorozat legnagyobb indexű olyan elemét (s k ), amelyik legalább kettővel kisebb az utolsó elemnél (ha ilyen nincs, azaz az utolsó és az első elem különbsége legfeljebb egy, akkor az algoritmus már előállította a lexikografikusan legnagyobb elemet is). Végül az s 1,..., s k sorozatot úgy egészíti ki, hogy a meglévő részt rendre a megengedett legkisebb elemmel folytatja (ennek az elemnek egyrészt elég nagynak kell lennie a monotonitás biztosításához, másrészt elég kicsinek a sorozat összegére vonatkozó bb n felső korlát betartásához). A cikk programjai a [11] tankönyv konvencióit követik.
Alkalmazott Matematikai Lapok 5 Bemenet. n: a pontsorozatok maximális hossza; b: az egy meccsen kiosztható pontszám legnagyobb megengedett értéke. Kimenet. M = (M 1,..., M n ): M i T (i) i méretű mátrix, melynek j-edik sora az i hosszú pontsorozatok közül lexikografikusan j-edik pontsorozatot tartalmazza; k: az aktuális M mátrixban tárolt foksorozatok száma. Munkaváltozók. S = S 1,..., S n : S i az( aktuális pontsorozat első i elemének összege; B = B 1,..., B n : B i (i = 1,..., n): i 2) binomiális együttható; m, i, j: ciklus változók. Pontsorozatok(b, n) 01 for m = 1 to n 01 01. sor: n változtatása 02 S 1 = 0 02. sor: elemek összegének kezdeti értéke 03 for i = 1 to m 03 05. sor: legkisebb pontsorozat beállítása 04 M 1,i = (i 1)b 05 S i = S i + (i 1)b 06 k = 2 06 17. sor: M k-adik sorának számítása 07 while M k 1,m M k 1,1 > 1 08 j = 1 09 while M k 1,m M k 1,j 2 10 j = j + 1 11 j = j 1 12 for i = 1 to j 1 13 M k,i = M k 1,i 14 M k,j = M k 1,j + 1 15 S j = S j + 1 16 for i = j + 1 to m 17 M k,i = max(m k,i 1, bb m S i 1 ) 18 S i = S i 1 + M k,i 19 k = k + 1 20 k = k 1 21 return m, b, k, M k 21. sor: eredmény nyomtatása Ha célunk csak az T (n) meghatározása, akkor használhatjuk Narayana és Bent [57] rekurzív képleteit. 5. Tétel. (Narayana, Bent [57]) Ha n 1, akkor { 1, ha n = 1, T (n) = n 1 E=r f n (B n, E), ahol r = n/2, ha n > 1, továbbá f 1 (T, E) = { 1, ha T = E 0, 0, egyébként, (5) (6)
6 és ha n 2, akkor ( ) E n 1 k=0 f n (T, E) = f n 1(T E, k) ha T E, 2 0, egyébként. (7) Bizonyítás. A tételben f n (T, E) az n > 1 esetben azoknak a q 1,..., q n nemcsökkenő egész sorozatoknak a számát jelenti, amelyekre n q i = T, q n = E és i=1 k ( ) n 1 q i 2 i=1 (k = 1,..., n 1). (8) A bizonyítás további részét lásd [57]. A Pontsorozatok algoritmust azért ismertettük, mert majd felhasználjuk a potenciális ponthalmazok ellenőrzésére és a ponthalmazok leszámlálására. T (n) aszimptotikus jellemzése megtalálható Winston és Kleitman [99] cikkében. 6. Tétel. (Winston, Kleitman [99]) Léteznek olyan C 1 és C 2 pozitív konstansok, hogy C 1 4 n Bizonyítás. Lásd [99]. 4 n n 5/2 < T (n) < C 2 n 2 minden n 1 egészre. (9) Winston és Kleitman cikkükben azt írják, hogy ha a q-catalan számokra [98] vonatkozó sejtésük igaz, akkor van olyan C 3 konstans, amelyre fennáll, hogy T (n) < C 3 4 n n 2, (10) ahonnan T (n) = Θ(4 n /n 5/2 ) következne. Vizsgáljuk meg, hogy milyen C 1 (n), illetve C 2 (n) függvényt kapunk, ha feltesszük, hogy T (n) egyenlő az alsó, illetve felső korláttal, azaz számoljuk ki a C 1 (n) = T (n)n5/2 4 n, illetve C 2 (n) = T (n)n2 4 n (11) értékeket. Az 1. táblázat az n, T (n), C 1 (n) és C 2 (n) értékeket tartalmazza n = 1,..., 36 esetén. A 2. táblázat az n, T (n), C 1 (n) és C 2 (n) értékeket tartalmazza n = 37,..., 72 esetén. A 3. táblázat az n, T (n), C 1 (n) és C 2 (n) értékeket tartalmazza n = 73,..., 108 esetén.
Alkalmazott Matematikai Lapok 7 n T (n) C 1 (n) C 2 (n) 1 1 0.250000 0.250000 2 1 0.353553 0.250000 3 2 0.487139 0.281250 4 4 0.500000 0.250000 5 9 0.491324 0.219727 6 22 0.473632 0.193359 7 59 0.466850 0.176453 8 167 0.461277 0.163086 9 490 0.454216 0.151405 10 1486 0.448145 0.141716 11 4639 0.443860 0.133829 12 14805 0.440191 0.127072 13 48107 0.436804 0.121148 14 158808 0.433863 0.115955 15 531469 0.431327 0.111368 16 1799659 0.429072 0.107268 17 6157068 0.427048 0.103574 18 21258104 0.425232 0.100228 19 73996100 0.423597 0.097180 20 259451116 0.422115 0.094388 21 915695102 0.420765 0.091818 22 3251073303 0.419531 0.089444 23 11605141649 0.418399 0.087242 24 41631194766 0.417357 0.085193 25 150021775417 0.416394 0.083279 26 542875459724 0.415503 0.081487 27 1972050156181 0.414675 0.079804 28 7189259574618 0.413904 0.078220 29 26295934251565 0.413184 0.076726 30 96478910768821 0.412511 0.075314 31 354998461378719 0.411880 0.073976 32 1309755903513481 0.411288 0.072706 33 4844523965710167 0.410730 0.071499 34 17961489379744400 0.410204 0.070349 35 66742666423989519 0.409708 0.069253 36 248530319605591021 0.409238 0.068206 1. táblázat. n, T (n), C 1 (n), C 2 (n) n = 1,..., 36 esetén.
8 n T (n) C 1 (n) C 2 (n) 37 927297456751923377 0.408793 0.067205 38 3466378445023720199 0.408371 0.066247 39 12980969332932119778 0.407971 0.065328 40 48693706951772723123 0.407590 0.064446 41 182951683639142320254 0.407227 0.063598 42 688436386968282126956 0.406881 0.062783 43 2594319483534497986303 0.406551 0.061998 44 9790073097214315110394 0.406236 0.061242 45 36993366257584733305018 0.405934 0.060513 46 139962483136558760534054 0.405645 0.059809 47 530182499644044531562003 0.405369 0.059129 48 2010678894150647416589420 0.405104 0.058472 49 7633832869803168393735512 0.404849 0.057836 50 29013857469177856494086824 0.404605 0.057220 51 110385664744296681747634783 0.404370 0.056623 52 420384630416392929944251674 0.404144 0.056045 53 1602475891909775006353909758 0.403926 0.055483 54 6114081262492315080540467047 0.403716 0.054939 55 23348086859596584479452724954 0.403514 0.054410 56 89235558925617624688896395448 0.403319 0.053896 57 341332824113771512071601705021 0.403131 0.053396 58 1306649812956432636609195264599 0.402949 0.052910 59 5005755722218279248855015681385 0.402773 0.052437 60 19191026813501734984846870271942 0.402603 0.051976 61 73626521189880151040478011933379 0.402438 0.051527 62 282662223474394039435736161153046 0.402279 0.051090 63 1085898124957003619847159188160600 0.402125 0.050663 64 4174352074885128631693099364115810 0.401975 0.050247 65 16056801362773701884358924621739438 0.401831 0.049841 66 61800309358360090245770429466113361 0.401690 0.049445 67 237999467318989660946140243401804370 0.401554 0.049058 68 917080511263772067279867849453394178 0.401421 0.048679 69 3535719822577209364159249340422863921 0.401293 0.048310 70 13638926625469526670613756719562043008 0.401168 0.047949 71 52639030445818981821299148439175775706 0.401046 0.047595 72 203261233688402847959608378700129467999 0.400928 0.047250 2. táblázat. n, T (n), C 1 (n), C 2 (n) n = 37,..., 72 esetén.
Alkalmazott Matematikai Lapok 9 n T (n) C 1 (n) C 2 (n) 73 785261189157159956691022822588254865187 0.400813 0.046912 74 3035154291956718652028087129621627725236 0.400701 0.046581 75 11736777650832516144465490774831581831866 0.400592 0.046256 76 45405981600939551412130632465064232079026 0.400486 0.045939 77 175739013780501441377871278405268075175986 0.400383 0.045628 78 680470438304392246139604399180441455515789 0.400282 0.045323 79 2635915788283537200914909708705137860979047 0.400184 0.045024 80 10214812522323652405948241845150748014271915 0.400088 0.044731 81 39600571301212260640964844773414156199583585 0.399995 0.044444 82 153582039499815616054206684170535413620438027 0.399904 0.044162 83 595858637364949114893435300764458859137122534 0.399815 0.043885 84 2312628783798412867540834554085922280583373489 0.399728 0.043614 85 8978932032416066665640516514984091640715228125 0.399643 0.043347 86 34873524086006597549595650495046494508847225049 0.399561 0.043086 87 135492681353904901803973006284090612285360742380 0.399480 0.042829 88 526600494552334249119631038876550743826249839958 0.399401 0.042576 89 2047334499789354081577659853393943372896485725699 0.399323 0.042328 90 7962240074303515784126998700580108887644118321346 0.399248 0.042084 91 30975445641132629457046444494828399439132209901755 0.399174 0.041845 92 120540420689579641596678810708473302694409831831408 0.399101 0.041609 93 469221384854977126383581041458247820686964350532531 0.399030 0.041378 94 1827048385776335441878848707273535578705971543389101 0.398961 0.041150 95 7116177159463821825200873079532169179099088588310921 0.398893 0.040926 96 27724599592230197288587000457914782536514970663984738 0.398827 0.040705 97 108044609126056273162206577814012970571915838189320753 0.398762 0.040488 98 421170311832428242128326753930829790734372180621838652 0.398698 0.040275 99 1642202994170751744225974063932390241813837560487153962 0.398635 0.040064 100 6404836638217682340296774719875903131282975361837935991 0.398574 0.039857 3. táblázat. n, T (n), C 1 (n), C 2 (n) n = 73,..., 108 esetén. A 4. táblázat a C 1 (n + 1)/C 1 (n) hányadosokat tartalmazza n = 1,..., 100 estén. Ennek alapján próbálunk a C 1 (n) sorozat konvergenciájára következtetni a hányados kritérium [97] alapján. (11) szerint C 1 (n) = nc 2 (n). Mit jelentene az, ha mindkét sorozat nullához tartana? Nem azt, hogy mindkét érték NAGYOBB, mint T (n), azaz hibás a tétel? És mit jelentene, ha C 2 (n) határértéke pozitív, azaz a felső korlát nagyságrendje pontos, míg ennek a konstansnak a n-szerese természetesen végtelenhez tartana összhangban azzal, hogy az alsó korlát nagyságrendje kisebb, mint T (n) nagyságrendje. Kemnitz és Dulff cikke [45] T (b, n) jellemzésével foglalkozik. 7. Tétel. (Kemnitz, Dulff [45]) Ha b 1, akkor léteznek olyan K 1 és K 2 pozitív
10 C 1 (n+1) C 1 (n+1) C 1 (n+1) C ( n) n C 1 (n) C ( n) n C 1 (n) C ( n) n C 1 (n) 1 0.250000 1.414212 37 0.408793 0.998968 73 0.400813 0.999721 2 0.353553 1.377839 38 0.408371 0.999020 74 0.400701 0.999728 3 0.487139 1.026401 39 0.407971 0.999066 75 0.400592 0.999735 4 0.500000 0.982648 40 0.407580 0.998612 76 0.400486 0.999743 5 0.491324 0.963991 41 0.407227 0.999150 77 0.400383 0.999748 6 0.473632 0.985681 42 0.406881 0.998340 78 0.400282 0.999755 7 0.466850 0.988063 43 0.406551 0.998968 79 0.400184 0.999760 8 0.461277 0.984692 44 0.406236 0.999225 80 0.400088 0.999768 9 0.454216 0.986634 45 0.405934 0.998968 81 0.399995 0.999772 10 0.448145 0.990438 46 0.405645 0.999288 82 0.399904 0.999777 11 0.443860 0.991734 47 0.405369 0.999346 83 0.399815 0.999782 12 0.440191 0.992306 48 0.405104 0.999371 84 0.399728 0.999787 13 0.436804 0.993267 49 0.404849 0.999397 85 0.399643 0.999795 14 0.433863 0.994155 50 0.404605 0.999419 86 0.399561 0.999797 15 0.431327 0.994772 51 0.404370 0.999441 87 0.399480 0.999802 16 0.429072 0.995283 52 0.404144 0.999461 88 0.399401 0.999805 17 0.427048 0.995748 53 0.403926 0.999480 89 0.399323 0.999812 18 0.425232 0.996155 54 0.403716 0.999500 90 0.399248 0.999815 19 0.423597 0.996501 55 0.403514 0.999517 91 0.399174 0.999817 20 0.422115 0.996802 56 0.403319 0.999534 92 0.399101 0.999822 21 0.420765 0.997067 57 0.403131 0.999548 93 0.399030 0.999827 22 0.419531 0.997302 58 0.402949 0.999563 94 0.398961 0.999830 23 0.418399 0.997510 59 0.402773 0.999578 95 0.398893 0.999835 24 0.417357 0.997693 60 0.402603 0.999590 96 0.398827 0.999837 25 0.416394 0.997860 61 0.402438 0.999605 97 0.398762 0.999840 26 0.415503 0.998007 62 0.402279 0.999617 98 0.398698 0.999842 27 0.414675 0.998141 63 0.402125 0.999627 99 0.398635 0.999847 28 0.413904 0.998260 64 0.401975 0.999642 100 29 0.413184 0.998371 65 0.401831 0.999649 101 30 0.412511 0.998470 66 0.401690 0.999661 102 31 0.411880 0.998563 67 0.401554 0.999669 103 32 0.411288 0.998643 68 0.401421 0.999681 104 33 0.410730 0.998719 69 0.401293 0.999689 105 34 0.410204 0.998791 70 0.401168 0.999696 106 35 0.409708 0.998853 71 0.401046 0.999706 107 36 0.409238 0.998913 72 0.400928 0.999713 108 4. táblázat. n, T (n), C 1 (n), C 2 (n) n = 37,..., 72 esetén.
Alkalmazott Matematikai Lapok 11 konstansok, hogy K 1 4 n Bizonyítás. Lásd [45]. n 5/2 < T (b, n) < K 2 (b + 1) b+1 b b 1 n 3/2 minden n 1 egészre. (12) Megjegyezzük, hogy a b = 1 esetben az alsó korlát megegyezik Kleitman és Wang [47] alsó korlátjával, míg a felső korlát egy n tényezővel gyengébb. Táblázat??? 5. Teljes (a, b)-versenyek ponthalmazai K. B. Reid 1978-ban publikálta a következő sejtést. 8. Sejtés. (Reid [69]) Ha m 1, D = d 1,..., d m } nemnegatív egészek növekvően rendezett halmaza, akkor van olyan (1, 1)-verseny, amelynek ponthalmaza D. 1989-ben Yao [100] bebizonyította ezt az állítást. 9. Tétel. (Yao [100]) Ha m 1, D = {d 1,..., d m } nemnegatív egészek növekvően rendezett halmaza, akkor van olyan S = s 1,..., s n (1, 1, n)-verseny, amelynek ponthalmaza D. Bizonyítás. Lásd [100]. Yahoo bizonyítása aritmetikai eszközöket használ és csak a ponthalmazok létezését bizonyítja, de nem ad megoldást a ponthalmazok előállítására. Mi konstruktív bizonyítást adunk egy ennél erősebb tételre, amelyet néhány segédállítással készítünk elő. 10. Lemma. A D = {d 1 } ponthalmazt egyetlen pontsorozat, az S = d 2d 1+1 1 állítja elő. Ez a pontsorozat (2d 1 )! különböző versennyel valósítható meg. Bizonyítás. Legyen????????????????? 11. Lemma. Ha az S = s 1,..., s n pontsorozat előállítja a D = {d 1,..., d m } ponthalmazt, akkor n d m + 1. Bizonyítás. d m győzelemhez d m ellenfélre van szükség, ehhez pedig legalább d m + 1 játékosra. 12. Lemma. Ha m 2 és az S = s 1,..., s n pontsorozat előállítja a D = {d 1,..., d m } ponthalmazt, akkor 2d 1 + 2 n 2d m, (13) és mind az alsó, mind a felső korlát éles.
12 Bizonyítás. Az S sorozatban D minden elemének legalább egyszer elő kell fordulnia. Ezért a pontszámok számtani közepének d 1 és d m közé kell esnie. Másrészt n játékos B n meccset játszik, ezért az átlagos pontszám B n /n = (n 1)/2, így d 1 < n 1 2 < d m, (14) ahonnan következik (14). Ha például k 0 és D = {k, k + 1}, akkor (14) szerint n = 2k + 2 bizonyítja a felső korlát élességét. Ha pedig k > 1, akkor a D = {0, k}??? Landau tétele miatt s legfeljebb (2d 1 + 1)-szer tartalmazhatja d 1 -et, mert S első 2d 1 + 1 elemének összege legalább ( 2d1 +1 2 ).?????????? Ezen lemmákon alapul Reid tételének következő kiterjesztése. 13. Tétel. (Iványi [34, 35]) Ha m 1, D = {d 1,..., d m } nemnegatív egészek növekvően rendezett halmaza, akkor 1. létezik olyan T (1, 1, n)-verseny, melynek ponthalmaza D és pontsorozata S = s 1,..., s n ; 2. ha m = 1, akkor n = 1 és S = s 1 = 0; 3. ha m 2, akkor max(d m + 1, 2d 1 + 2) n 2d m ), (15) 4. a (15) egyenlőtlenségben szereplő korlátok élesek. Bizonyítás. Az állítás 1) részének bizonyítását az m = 2 és m = 3 esetben lásd [69].??? Még az (1, 1)-versenyek ponthalmazainak tesztelésére, helyreállítására és leszámlálására vonatkozó eredmény is alig van. Megjegyezzük, hogy egyszerű irányítatlan gráfokra Kapoor, Polimeni és Wall [44] 1977-ben bizonyította a következő tételt. Adott G egyszerű gráf különböző fokainak halmazát jelöljük D G -vel, pozitív egészek D = {d 1,..., d n } (n 1) növekvő halmazára pedig jelöljük µ(d)-vel és µ(d 1,..., d n )-nel a csúcsszámát tekintve legkisebb olyan gráf csúcsszámát, amelynek fokhalmaza D. 14. Tétel. (Kapoor, Polimeni, Wall [44]) Ha n 1 és D = {d 1,..., a k } pozitív egészek növekvő halmaza, akkor µ(d = d k + 1. Bizonyítás. See [44, 77]. A tételre 2003-ban Tripathi és Viyai egyszerű bizonyítást adott. Ugyanebben a cikkben az f(d, n) függvényt is vizsgálták, melynek definíciója: a legkisebb olyan
Alkalmazott Matematikai Lapok 13 egyszerű gráf csúcsszáma, amelynek fokhalmaza D és a gráfban lévő legkisebb kör hossza n. 2006-ban Ahuja és Tripathi [1] adott D fokhalmazhoz minden olyan gráf rendjét meghatározták, amelynek ponthalmaz D. Most ismertetjük a 13 tételen alapuló Reid algoritmust, amely nemnegatív egészek tetszőleges D = {d 1,... d m } halmazához hozzárendel egy olyan foksorozatot, amelynek megfelelő ponthalmaz D. Bevezető megjegyzések a Reid algoritmushoz 1. Ha m = 1, akkor az S = d 2d 1+1 1 foksorozatnak megfelelő fokhalmaz D. Ezért a legalább két elemet tartalmazó D halmazt addig rövidítjük, amíg a halmaz ki nem ürül, vagy pedig pozitív lesz az első eleme. 2. Az m 2 és d 1 = 0 esetben D akkor és csak akkor fokhalmaz, ha D = {d 2 1,..., d m 1} fokhalmaz. Ezért a legalább két elemet tartalmazó D halmazt addig rövidítjük, amíg a halmaz ki nem ürül, vagy pedig pozitív lesz az első eleme. 3. Legyen a rövidített sorozat E = {e 1,..., e q }, ahol q 2. Azokat a játékosokat, akiknek több pontja van, mint n/2, győzteseknek nevezzük. Akiknek kevesebb pontja van, mint n/2, azok a vesztesek, míg azok, akiknek n/2 pontja van, a kiegyensúlyozott játékosok. A győztes játékosok kifoka és befoka különbségét többletnek nevezzük, míg a vesztes játékosok befoka és kifoka különbségét hiánynak. A verseny kezdetekor minden többlet és hiány nulla, ezért ezek összege is nulla. Minden meccs egy győzelemmel és egy vereséggel jár, ezért az összeg a verseny végén is nulla lesz. Ha 0 E, akkor a kiegyensúlyozott játékos annyi meccset nyert, mint ahányat elvesztett, ezért a meccseinek száma páros, és ezért a többletek és hiányok is párosak. Ilyenkor átmenetileg hagyjuk el a halmazból a nulla elemet,és csökkentsük a többiek többletét, illetve hiányát eggyel (Ugyanannyian vannak?). Az így kapott halmaz F = {e 1, e 2,..., e (k 1)/2, e (k 1)/2 1,..., e k 1}. A (12) által megengedett n értékekre (ezek száma legfeljebb m 1) rendre legyen az F halmaz többleteinek összege t, míg hiányainak összege h, továbbá legyen lnko(t, h) = l. Ezt követően mindegyik vizsgált n-re rendeljük E-hez azt a sorozatot, amelyben a vesztes játékosok pontszámát t/l-szer, míg a győztes játékosok pontszámát h/l-szer ismételjük. Ha az így kapott sorozat z hossza kisebb az éppen feltételezett n-nél, akkor az előbbi multiplicitásokat szorozzuk meg n/z-vel. Most ellenőrizzük példák segítségével a javasolt konstrukciót. Tegyük fel, hogy a vizsgált halmaz elemei rendre a d m = 0, 1,..., 6 intervallumból vett egész számok. Ha d m = 0, akkor D eleme csak nulla lehet, akkor az S = 0 foksorozat (és csak az) megfelel.
14 Amint a [0, d m 1] intervallumból származó elemekből álló halmazokat ellenőrizzük egyre nagyobb d m -re, elég csak azokat azokat a halmazokat vizsgálni, amelyek addig nem fordultak elő, azaz amelyek tartalmazzák az d m 1 elemet. Ha d m = 1, akkor a [0 : 1] intervallum elemeiből a {0}, {1} és a {0, 1} nemüres halmazok származnak, és ezek közül csak az utóbbi kettőt kell vizsgálnunk. Az {1} halmaznak csak egy eleme van, ezért a módszerünk 1) pontja szerint az S = 1 3 sorozat megfelel. A {0, 1} halmaz pedig kétszeri rövidítéssel kiürül a rövidítő lépés inverzét alkalmazva az S = 0, 1 sorozatot kapjuk. Ha d m = 2, akkor a {2}, {0, 2}, {1, 2} és a {0, 1, 2} halmazokat vizsgáljuk. A {2} halmaznak egyetlen eleme van, így az S = 2 5 az egyértelmű megoldás. {0, 2} esetén a 12. lemma szerint 3 n 4. A többletekre vonatkozó lemma szerint n = 3 esetén az S = 0, 2,, míg n = 4 esetén az S = 0, 2, 2, 2 sorozatot kapjuk utóbbi Landau tétele szerint pontsorozata egy olyan (1, 1, 4)-versenynek, melynek ponthalmaza D = {0, 2}. Ha d m = 3, akkor a [0, 3] intervallum egész értékeiből álló halmaz hármast is tartalmazó 8 nemüres részhalmazát vizsgáljuk. Ezek közül a {3} egyelemű, a {0, 3}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3} és a {0, 1, 2, 3} nullával kezdődik, így csak a következő 3 sorozatot kell megvizsgálni: {1, 3}, {2, 3} és {1, 2, 3}. Az első esetben 4 n 6 és ha n = 4, akkor a jó 1 3, 3 sorozatot kapjuk. A második esetben 6 n 6 és az ugyancsak jó 2 3, 3 3 sorozat adódik. Végül a harmadik esetben 4 n 6. Ha n = 5, akkor S = 1 2, 2, 3 2 jó, a másik két sorozat rossz Ha d m = 4, akkor a {4}, {0, 4}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 4}, {0, 1, 4}, {0, 2, 4}, {0, 3, 4}, 1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} és a {0, 1, 2, 3, 4} halmazokkal kell foglalkoznunk. {4} egyelemű, a nullával kezdődő halmazok rövidítés után korábban vizsgált halmazokra vezetnek. {1, 4} esetén (14) szerint 5 n 8. Ekkor a 3. megjegyzés szerint n = 5 esetén az S = 1 4, 4 3, n = 6 esetén az S = 1 3, 4 3, n = 7 esetén az S = 1 2, 4 4, míg n = 8 esetén az S = 1 1, 4 6 sorozatot kapjuk, amelyek közül az 1 3, 4 3 olyan foksorozat, amelyhez az előírt fokhalmaz tartozik. {2, 4} esetén 6 n 8}, és az S = 2 3, 4 1, a 2 4, 4 4 és a 2 2, 4 6 sorozatokat kapjuk, amelyek közül a harmadik jó. {3, 4} esetén 8 n 8 és az S = 3 4, 4 4 sorozatot kapjuk, amely jó. {1, 2, 4} esetén 5 n 8 és az n = 5 esetben a 2 pontos játékos kiegyensúlyozott, ezért átmenetileg töröljük, majd a megmaradó {1, 2} halmazhoz hozzárendeljük az S = 1 2, 2 2 sorozatot, ezt követően pedig beszúrjuk a kiegyensúlyozott játékost úgy, hogy a vesztesek pontszámait változatlanul hagyjuk, a győztesek között pedig kaszálva elosztjuk a kiegyensúlyozott játékos két vereségét, és így a jó S = 1, 1, 2, 3, 3 sorozatot kapjuk. A többi n-re rossz sorozatokat kapunk. Az {1, 3, 4} esetben is 5 n 8. Most a hiányok összege 2, míg a többleteké 6, ezért a legnagyobb közös osztójuk 2, amivel egyszerűsítünk és így az 1 3, 3 1, 4 1 jó sorozatot kapjuk. Ez az első eset, amikor két jó megoldást kapunk: ugyanis az n = 8 esetben kapott S = 1 1, 3 1, 4 6 sorozat is jó. A {2, 3, 4} esetben 6 n 8. Az n = 6 esetben a jó {2 4, 3, 4}, az n = 7 esetben a jó 2 3, 3, 4 3 sorozatot kapjuk. Az {1, 2, 3, 4} esetben a korlátok 5 n 8. Ha
Alkalmazott Matematikai Lapok 15 n = 7, akkor a kiegyensúlyozott hármat átmenetileg töröljük, a maradékra kapjuk a S = 1, 2, 4 3 sorozatot, amelyet két kiegyensúlyozott elemmel egészítünk ki a megoldást jelentő S = 1, 2, 3 2, 4 3 sorozatra. Itt érdemes megjegyezni, hogy ebben az esetben a S = 1 2, 2, 3, 4 2 és a 1, 2 2, 3 2, 4 is megoldások ezeket azonban a Reid nem találja meg. Ha d m = 5, akkor a [0 : 5] intervallum egész számaiból 32 olyan halmazt tudunk előállítani, amelyek tartalmazzák az 5-öt. Ezek között van egy egyelemű és 16 olyan, amelyik nullával kezdődik. A fennmaradó 15 halmazt elemezzük. Ha D = {1, 5}, akkor 6 n 10. Ekkor egyedül az n = 8 esetben kapunk jó sorozatot, mégpedig az S = 1 3, 5 5 sorozatot. A {2, 5} esetben 6 n 10 a korlátok, és az n = 6 esetben átmenetileg elhagyva a maximális 5 értéket, a jó {2 5, 5} sorozatot kapjuk. Az n = 8 esetben is jó sorozatot kapunk, mégpedig a 2 4, 5 4 -t, míg az n = 9 esetben a 2 3, 5 6 a jó megoldás.a A további két esetben rossz megoldást kapunk. Ez az első eset, hogy algoritmusunk 3 jó megoldást is talál. A{3, 5} esetben 8 n 10. n = 8 esetén 3 6, 5 2 jó sorozat, a másik két n érték esetén rossz sorozatot kapunk. Az {1, 2, 5} esetben 6 n 10 a korlátok. Az n = 7 esetben a 1 2, 2 2, 5 3 jó sorozatot kapjuk, a többi esetben rossz az eredmény. Az {1, 3, 5} esetben a korlátok 6 n 10. Az n = 7 esetben 1 3, 3, 5 3 jó, a többi rossz. Az {1, 4, 5} esetén a korlátok 6 n 10. n = 7 esetén 1 3, 4 2, 5 2 jó, Ha d m = 6, akkor a [0 : 6] intervallum egész számaiból 64 olyan halmazt tudunk előállítani, amelyek tartalmazzák a 6-ot. Ezek között van 32 olyan, amelyik nullával kezdődik. A fennmaradó 32 halmazt elemezzük Ha D = {6}, akkor egy pontsorozathoz ez a 6 13 sorozat tartozik az adott D. Ha d m = 6, akkor n 2d m = 12 a pontos felső korlát, ezért ezt nem ismételjük. Ha D = {5, 6}, akkor az alsó korlát n 12 és az egyetlen jó sorozat az S = 5 6, 6 6. Ha D = {4, 6}, akkor n 10 és a S = 4 5, 6u jó sorozat. Ha D = {3, 5, 6}, akkor n 8 és az S = 3 3, 5, 6 6 } jó sorozat. a többi sorozat viszont nem jó.??????????????????????????????????????????????????? Ezt az algoritmust valósítja meg a Reid program. A 04. sorban meghívott Bináris eljárás feladata, hogy a bemenetként kapott j decimális szám b bináris alakját (mint i 1 bites rektort) előállítsa. LNKO a legnagyobb közös osztót határozza meg, Landau pedig ellenőrzi, hogy az előállított S sorozat pontsorozat-e. Bemenet. l 2: a legnagyobb pontszám. Kimenet. 2 i 1 nullamentes, l-re végződő ponthalmaz és az őket előállító pontsorozatok i = 2,..., l esetén. Munkaváltozók. b = b 1,..., b l 1 : aktuális potenciális ponthalmazt leíró bináris vektor; L: aktuális halmazt megvalósító sorozat elemeinek alsó korlátja; U: aktuális halmazt megvalósító sorozat elemeinek felső korlátja; x: adott sorozathoz talált megoldások száma; V : vesztesek hiánya; V : redukált többlet;v: vesztesek száma; G: győztesek többlete; G : redukált többlet; g: győztesek száma; Z: kiegyensúlyozott elem jelenlétét jelző változó (ha van nulla elem, akkor Z = 1, egyébként Z = 0; O: többlet és hiány legnagyobb közös osztója; M: megoldások száma adott bemenetre;
16 Y : Landau kimenete: ha a tesztelt sorozat jó, akkor Y = 1, egyébként Y = 0; p: halmaz elemeinek száma i, j, k, n, q: ciklusváltozók. N??? x??? Reid(l) 01 for i = 2 to l 01 93. előírt legnagyobb elemek vizsgálata 02 print newline Legnagyobb pontszám: l 02. sor: első cím kivitele 03 for j = 0 to 2 i 1 1 03 92. sor: 04 Bináris(j) 04. sor: j előállítása binárisan 05 p = 1 06 for k = i 1 downto 1 06 11. sor: aktuális D halmaz előállítása 07 if b k == 1 08 d p = i + 1 k 09 p = p + 1 10 d p = i 11 if p == 1 11 13. sor: egyelemű halmaz helyreállítása 12 s 1 = d 2d 1+1 1 13 print newline j + 1. D= d 1 quad S= d 2d 1+1 1 14 go to 92 15 else L = max(d p + 1, 2d 1 + 2) 15. sor: alsó korlát 16 U = 2d p 15. sor: felső korlát 17 for n = L to U 17??. sor: aktuális D halmaz helyreállítása 18 x = 0 19 V = 0 19. sor: hiányok összege 20 v = 0 20. sor: vesztesek száma 21 G = 0 21. sor: többletek összegek 22 g = 0 22. sor: győztesek száma 23 N = 0 24 M = 0 24. sor: megoldások száma 25 Z = 0 25. sor: nulla elem jelzése 26 for q = 1 to p 27 if d q == 0 27 28. sor: d q kiegyensúlyozott? 28 Z = 1 29 if d q < n/2 29 30. sor: hiányok összegzése 30 V = V + (n 1 d q ) d q 31 v = v + 1 31. sor: vesztesek leszámlálása 32 if d q > n/2 32 33. sor: többletek összegzése 33 G = G + d q + (n 1 d q ) 34 g = g + 1 34. sor: győztesek leszámlálása 35 if V G == 0 35 36. sor: van-e győztes és vesztes is? 36 go to 92 35 37. sor: rossz a sorozat 37 O = LNKO(G, V ) 38 G = G/O
Alkalmazott Matematikai Lapok 17 39 V = V/O 40 h = v U + g V 40 42. sor: hossz ellenőrzése 41 if Z = 0 41. sor: ha nincs nulla elem 42 if h > n 43 go to??? 43. sor: túl hoszú 44 f = n/h 44 46. sor: hossz ellenőrzése 45 if fh n 46 go to??? 46. sor: sor nem többszörözhető 47 else G = G f 47 48. sor: kitevők beállítása 48 V = V f 49 u = 1 49. sor: sorindex beállítása 50 for q = 1 to v 50-53. sor: vesztesek másolása 51 for r = 1 to G 52 s u = d q 53 u = u + 1 54 for q = 1 to g 54 57. sor: győztesek másolása 55 for r = 1 to V 56 s u = d r+q 57 u = u + 1 58 Landau(S) 58??. sor: sorozat ellenőrzése 59 if Y == 0 60 go to??? 60. sor: nem pontsorozat 61 else print newline M.S 61. sor: jó sorozat kivitele 62 M = M + 1 62. sor: egy új megoldás 63 go to 92 63. sor: következő n-hez 64 if Z == 1 64. sor: ha van nulla elem 65 for q = 1 to v 65 69. sor: rövidített halmaz 66 d q = d q 67 for q = v + 2 to p 68 d q = d q+1 69 if h n 70 go to 92 70. sor: túl hoszú 71 f = n/h 71 73. sor: hossz ellenőrzése 72 G = G f 73 V = V f 74 u = 1 74. sor: sorindex beállítása 75 for q = 1 to v 75-77. sor: vesztesek másolása 76 for r = 1 to G 77 s u = d q 78 u = u + 1 79 w = n (vg + gg ) 80 for q = 1 to n w 80-82. sor: kiegyensúlyozottak beszúrása
18 81 s u = n/2 82 u = u + 1 83 for q = 1 to g 83 85. sor: győztesek másolása 84 for r = 1 to V 85 s u = d v+1+r 86 u = u + 1 87 Landau(S) 87 89. sor: sorozat ellenőrzése 88 if Y == 0 89 go to 92 89. sor: nem pontsorozat 90 else print newline M.S 90 91. sor: jó sorozat kivitele 91 M = M + 1 91. sor: egy új megoldás 92 VÉGE a j ciklusnak 93 VÉGE az i ciklusnak Az eredmények így összegezhetőek (i = 6)-ig kézzel is számoltunk, a nagyobb értékeket a program adta. Legnagyobb pontszám i = 0: 2 i = 1 új, összesen 2 i+1 1 ponthalmaz 1. D = {0}, S = 0. Legnagyobb pontszám i = 1: 2 i = 2 új, összesen 2 i+1 1 = 3 ponthalmaz 1. D = {1}, S = 1 3 2. D = {0, 1}, S = 0, 1 A továbbiakban csak a nullamentes ponthalmazokat soroljuk fel. Legnagyobb pontszám i = 2: 2 i = 4 új, összesen 2 i+1 1 = 7 ponthalmaz 1. D = {2}, S = 2 5 2. D = {1, 2}, S = 1 2, 2 2 Legnagyobb pontszám i = 3: 2 i 1 = 4 új, összesen 2 i 1 = 7 ponthalmaz 1. D = {3}, S = 3 7 2. D = {2, 3}, S = 2 3, 3 3 3. D = {1, 3}, S = 1 3, 3 4. D = {1, 2, 3}, S = 1 2, 2, 3 2 Legnagyobb pontszám i = 4: 2 i 1 = 8 új, összesen 2 i 1 = 15 ponthalmaz 1. D = {4}, S = 4 9
Alkalmazott Matematikai Lapok 19 2. D = {3, 4}, S = 3 4, 4 4 3. D = {2, 4}, S = 2 2, 4 6 4. D = {2, 3, 4}, S = 2 4, 3, 4, S = 2 3, 3, 4 3 5. D = {1, 4}, S = 1 3, 4 3 6. D = {1, 3, 4}, S = 1 3, 3, 4 7. D = {1, 2, 4}, S = 2 3, 3 3 8. D = {1, 2, 3, 4}, S = 1, 2, 3 2, 4 3 Legnagyobb pontszám i = 5: 2 i 1 = 16 új, összesen 2 i 1 = 31 ponthalmaz 1. D = {5}, S = 5 11 2. D = {4, 5}, S = 4 5, 5 4 3. D = {3, 5}, S = 3 6, 5 2 4. D = {3, 4, 5}, S = 3 4, 4, 5 4 5. D = {2, 5}, S = 2 5, 5, 2 4, 5 4, 2 3, 5 6 6. D = {2, 4, 5}, S = 2, 4 4, 5 4 7. D = {2, 3, 5}, S = 2 4, 3, 5 2 8. D = {2, 3, 4, 5}, S = 2 3, 3 2, 4, 5 9. D = {1, 5}, S = 1 3, 5 5 10. D = {1, 4, 5}, S = 1 3, 4 2, 5 2 11. D = {1, 3, 5}, 1 3, 3, 5 3 12. D = {1, 3, 4, 5}, S = 1 3, 3, 4, 5 13. D = {1, 2, 5}, S = 1 2, 2 2, 5 3 14. D = {1, 2, 4, 5}, S = 1 2, 2 2, 4, 5 15. D = {1, 2, 3, 5}, S = 1, 2, 3, 5 6 16. D = {1, 2, 3, 4, 5}, S = 1, 2, 3 3, 4, 5 Legnagyobb pontszám i = 6: 2 i 1 = 32 új, összesen 2 i 1 = 63 ponthalmaz 1. D = {6}, S = 6 13
20 2. D = {5, 6}, S = 5 6, 6 6 3. D = {4, 6}, S = 4 3, 6 9 4. D = {4, 5, 6}, S4 5, 5, 6 6 5. D = {3, 5, 6}, 3 3, 5 2, 6 6 6. D = {3, 4, 6}, 3 6, 4, 6 7. D = {3, 4, 5, 6}, S = 3456 8. D = {2, 6}, S = 2 4, 6 4 9. D = {2, 5, 6}, S = 2 5, 5, 6 10. D = {2, 4, 6}, S = 2 4, 4, 6 4 11. D = {2, 4, 5, 6}, 2 3, 4 1, 5 2, 6 2, 2 3, 4 2, 5 2, 6 2 2 3, 4 3, 5 2, 6 2 2, 4, 5 5, 6 4 12. D = {2, 3, 6}, S = 2 3, 3 3, 6 1 13. D = {2, 3, 5, 6}, S = 14. D = {2, 3, 4, 6}, S = 15. D = {2, 3, 4, 5, 6}, S = 16. D = {1, 6}, S = 17. D = {1, 5, 6}, S = 18. D = {1, 4, 6}, S = 19. D = {1, 4, 5, 6}, S = 20. D = {1, 3, 6}, S = 21. D = {1, 3, 5, 6}, S = 22. D = {1, 3, 4, 6}, S = 23. D = {1, 3, 4, 5, 6}, S = 24. D = {1, 3, 5, 6}, S = 25. D = {1, 2, 6}, = 26. D = {1, 2, 5, 6}, S = 27. D = {1, 2, 4, 6}, S =
28. D = {1, 2, 4, 5, 6}, S = 29. D = {1, 2, 3, 6}, S = 30. D = {1, 2, 3, 5, 6}, S = 31. D = {1, 2, 3, 4, 6}, S = 32. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, S = Alkalmazott Matematikai Lapok 21 Eredeti cikkében Reid az n = 1, 2 és 3 esetre adott polinomiális idejű konstrukciós módszert, majd Hager [24] az n = 4 és n = 5 esetben javasolt gyors konstrukciós algoritmust. Iványi és Phong [39] 2006-ban megmutatták, hogy a tétel a b 2 esetekre nem vihető át. Speciális esetekre adtak konstrukciós algoritmust, és megmutatták, hogy bizonyos halmazokhoz nem léteznek megfelelő (b, n)-versenyek. A további elemzés előtt nézzünk néhány konkrét példát (1, 1)-versenyekkel kapcsolatban. Ha p és q nemnegatív egészek, akkor a továbbiakban p q olyan sorozatot jelent, amelyben q-szor ismételjük meg a p számot. Azt mondjuk, hogy egy s = s 1,..., s n pontsorozat előállítja a h = {h 1,..., h m } ponthalmazt, ha s különböző elemeinek halmaza h. Adott h ponthalmaz optimális előállításának nevezzük az olyan minimális hosszúságú pontsorozatot, amely előállítja h-t és az ilyen sorozatok között a lexikografikusan legkisebb.. h optimális előállításának hosszát e(h)-val jelöljük. A fő cél a ponthalmazok leszámlálása. n csapat esetén n lehetséges pontszám van, ezért a megfelelő ponthalmazokat egy n elemű halmaz J(n) = 2 n 1 nem üres részhalmaza között keressük a köztük lévő ponthalmazok számát H(n) adja meg. Az n hosszúságú pontsorozatokhoz tartozó ponthalmazok száma Q(n). Végül a H(n) ponthalmaz optimális megvalósításához szükséges pontsorozatok hosszainak maximumát M(n)-nel jelöljük. Ezen függvényekre csak a J(n) = 2 n 1 (16) képletet ismerjük. Legyen n = 1. Akkor P (1) = 1 n-szabályos sorozat van a 0 és az pontsorozat, és a neki megfelelő halmaz ponthalmaz, ezért H(1) = 1 pontsorozat van, a 0, és R(1) = 1 n-szabályos sorozat, ennek megfelelően Q(1) = 1 ponthalmaz, a {0}. Mivel ehhez a ponthalmazhoz nulla meccs tartozik, ezért az adott ponthalmaz csak az egy elemből álló 0 sorozathoz tartozik, ezért R(1) = 1. Ha n = 2, akkor is csak T (2) = 1 pontsorozat, és ennek megfelelően Q(2) = 1 ponthalmaz van, a {0, 1}. Az (1, 1)-versenyek pontsorozataiban Landau tétele szerint legfeljebb egy 0 elem lehet, és ha van bennük 0 elem, akkor legfeljebb egy 1, ezért ez a ponthalmaz is csak egyetlen pontsorozatnak felel meg, ezért a (0, 2)-szabályos sorozatok között R(2) = 2 ponthalmaz van
22 Ha n = 3, akkor a J(4) = 15 halmazjelölt között ott vannak a korábban megtalált {0}, {0, 1}, {0, 1, 2} és {1} halmazok, valamint ezekhez jön még a következő 4: {2, 3}, {0, 1, 2, 3}, {1, 3}, {0, 2}. Az utóbbi 3 tartozik 4 hosszúságú pontsorozathoz, ezért Q(3) = 3, míg {3} optimális megvalósítása a 2 3, 3 3 sorozat, így Q(4) = 3 és M(4) = 6. A h halmazok legnagyobb elemét tekintve a {3} halmaz a legkisebb olyan halmaz, amelyre e(h) > h m + 1. Az 5. táblázat az n, J(n), H(n) és M(n) értékeket tartalmazza n = 1,..., 20 esetén. A J(n) értékeket (16) segítségével számoltuk, míg a H(n), Q(n) és M(n) értékeket a következő két programmal. n J(n) H(n) Q(n) M(n) 1 1 1 1 1 2 3 2 2 2 3 7 4 2 3 4 15 8 3 6 5 31??? 9??? 6 63????????? 7 125????????? 8 255 6435 167 0 9 511 24310 490 0 10 1023 92378 1486 32 11 2047 352716 4639 93 12 4095 1352078 14805 496 13??? 5200300 48107 1879 14 23206929840 20058300 158808 7327 15 151532656696 77558760 531469 28855 16 991493848554 300540195 1799659 119780 17 1 1 1 0 18 6 3 1 0 19 35 10 2 0 20 210 35 4 0 5. táblázat. n, J(n), H(n), Q(n) és M(n) n = 1,..., 20 esetén. A Ponthalmazok algoritmus feladata az, hogy adott n-ig előállítsa és leszámlálja az (1, 1, n)-versenyek pontsorozataihoz tartozó ponthalmazokat és azokat a legkisebb és legnagyobb elemeik szerint csoportosítva tárolja. Ez az algoritmus a korábban bemutatott Pontsorozatok algoritmus bővített változata. A Ponthalmazok algoritmus előállítja a legfeljebb n hosszúságú pontsorozatokat, közben pedig meghatározza a T (1),..., T (n) értékeket. Az előállított pontsorozatokból rendre meghatározza a hozzájuk tartozó ponthalmazokat, és a megfelelő V i vektorban tárolja ezeket, hosszukkal és a nekik megfelelő pontsorozat M i -beli
Alkalmazott Matematikai Lapok 23 sorszámával együtt. A lexikografikusan legkisebb 0, 1,..., (n 1) sorozattal kezd. Rendre megkeresi az utoljára előállított pontsorozat legnagyobb indexű olyan elemét (s k ), amelyik legalább kettővel kisebb az utolsó elemnél (ha ilyen nincs, azaz az utolsó és az első elem különbsége legfeljebb egy, akkor az algoritmus már előállította a lexikografikusan legnagyobb elemet is). Végül az s 1,..., s k sorozatot úgy egészíti ki, hogy a meglévő részt rendre a megengedett legkisebb elemmel folytatja (ennek az elemnek egyrészt elég nagynak kell lennie a monotonitás biztosításához, másrészt elég kicsinek a sorozat összegére vonatkozó B n felső korlát betartásához). Bemenet. n: az előállítandó pontsorozatok maximális hossza. Kimenet. M = (M 1,..., M n ): M i T (i) i méretű mátrix, melynek j-edik sora az i hosszú pontsorozatok közül lexikografikusan j-edik pontsorozatot tartalmazza; T = (T 1,..., T n ): T i : az i hosszúságú pontvektorok száma; H = (H 1,..., H n ): H i H(i) (i + 2) méretű mátrix, melynek H i,i+1 eleme a H i sor kezdő elemeiben tárolt ponthalmaz elemszámát, míg a H i,i+2 eleme az adott ponthalmaznak megfelelő pontsorozat sorszáma az M i mátrixban. Munkaváltozók: S = S 1,..., S n : S i az ( aktuális pontsorozat első i elemének összege; B = B 1,..., B n : B i (i = 1,..., n): i 2) binomiális együttható; k: az aktuális M mátrixban tárolt foksorozatok száma; m, i, j: ciklus változók. Ponthalmazok(n) 01 for m = 1 to n 01 01. sor: n változtatása... 21 return m, b, k, M k 21. sor: eredmény nyomtatása A Ponthalmazok algoritmus futási ideje legrosszabb esetben O(2 dm h 1 log d m ). A Helyreállít algoritmus feladata, hogy adott n-ig megvizsgálja a potenciális ponthalmazokat. Ehhez felhasználja a Ponthalmazok algoritmus által előállított M és V mátrixokat, amelyek adott m-ig tartalmazzák a pontsorozatokat és a nekik megfelelő ponthalmazokat. A Ponthalmazok algoritmus 1. vagy megtalálja az adott halmazt optimálisan (azaz a lehető legrövidebb pontsorozattal) előállító pontsorozatot; 2. vagy megállapítja, hogy a vizsgált halmaz nem ponthalmaz; 3. vagy megállapítja, hogy az V mátrixok alapján nem tud dönteni. Helyreállít(n) 01 for m = 1 to n 01 01. sor: n változtatása... 21 return m, b, k, M k 21. sor: eredmény nyomtatása
24 Keressünk olyand halmazokat, amelyeket közvetlenül helyre tudunk állítani. 15. Lemma. Ha D = {0, 1,..., m}, akkor az S = 0, 1,..., m 1 pontsorozathoz tartozó ponthalmaz H. Bizonyítás.??? 16. Lemma. A D = {d 1,..., d m } halmaz akkor és csak akkor Bizonyítás.??? 6. Scheveningeni versenyek pontsorozatai 7. Scheveningeni versenyek ponthalmazai Az optimális [60] 8. Szimmetrikus páros versenyek pontsorozatai és ponthalmazai Az optimális 9. Többcsapatos versenyek pontsorozatai és ponthalmazai A Hivatkozások [1] Ahuja, T. S. and A. Tripathi: On the order of a graph with a given degree set. J. Comb. Math. Comb. Comp., 57 (2006), 157 162. 13 [2] Avery, P.: Score sequence of oriented graph, J. Graph Theory, 15(3) (1991), 251 257. 2, 3 [3] Barrus, M. D., Hartke, S. G., Jao, K. F., and D. B. West: Length thresholds for graphic lists given fixed largest and smallest entries and bounded gaps. Discrete Math., 312(9) (2012), 1494 1501. [4] Behzad, M. and G. Chartrand: No graph is perfect. Amer. Math. Monthly, 74 (1967), 962 963.
Alkalmazott Matematikai Lapok 25 [5] Bozóki S., J. Fülöp and L. Rónyai: On optimal completion of incomplete pairwise comparison matrices. Math. Comput. Modelling, 52 (2010), 318 333. 1 [6] Brualdi, A. R. and K. Kiernan: Landau s and Rado s theorems and partial tournaments, Electron. J. Combin., 16 # N2 (2009), 6 pages. [7] Brualdi, A. R. and J. Shen: Landau s inequalities for tournament scores and a short proof of a theorem on transitive sub-tournaments, J. Graph Theory 38(4) (2001), 244 254. [8] Chartrand, G., Gould, R. J., and S. F. Kapoor: Graphs with prescribed degree sets and girths, Periodica Math. Hung., 12(4) (1981), 261 266. [9] Chartrand, G., Lesniak, L., and J. Roberts: Degree sets for digraphs, Periodica Math. Hung., 7(1) (1976), 77 85. 2, 3 [10] Chartrand, G., Lesniak, L., and P. Zhang: Graphs and Digraphs. CRC Press, Boca Raton, FL, 2011. [11] Cormen, T. H., Leiserson, Ch. E., Rivest, R. L., and C. Stein: Introduction to Algorithms Third edition, The MIT Press/McGraw Hill, Cambridge/New York, 2009. 4 [12] Dahl, G. and T. Flatberg: A remark concerning graphical sequences. Discrete Math. 304(1-3) (2005), 62 64. [13] Erdős, P. and T. Gallai: Gráfok előírt fokú pontokkal. Mat. Lapok, 11 (1960), 264 274. 2, 3 [14] Erdős, P. and H. Saschs: Reguläre Graphen gegebener Taillenweite mit minimaler Knotenzahl, Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle Wittenberg, Math.-Natur Reihe, 12 (1973), 251 258. [15] Ferrara, M.: Some problems on graphic sequences, Graph Theory Notes New York, 64 (2013), 19 25. [16] Frank, A.: Összefüggések a kombinatorikus optimalizálásban. I. Optimalizálás gráfokon. Mat. Lapok, 14(1) (2008), 20 76. [17] Frank, A.: Összefüggések a kombinatorikus optimalizálásban. II. Szubmoduláris optimalizálás és poliéderes kombinatorika. Mat. Lapok, 14(2) (2008), 14 75. [18] Frank, A.: Connections in Combinatorial Optimization. Oxford University Press, Oxford, 2011. 1, 2 [19] Garg, A., Goel, A. and A. Tripathi: Constructive extensions of two results on graphic sequences. Discrete Appl. Math., 159(17) (2011), 2170 2174. [20] Gervacio, S. V.: Score sequences: lexicographic enumeration and tournament reconstruction, Discrete Math., 72 (1988), 151 155. 4 [21] Gervacio, S. V.: Construction of tournaments with a given score sequence. Southeast Asian Bull. Math., 17(2) (1993), 151 155. [22] Griggs, R. and K. B. Reid: Landau s theorem revisited. Australas. J. Comb., 20 (1999), 19 24.
26 [23] Guiduli, B., Gyárfás, A., Thomassé, S., and P. Weidl: 2-partition-transitive tournaments, J. Combin. Theory, Ser. B, 72 (1998), 181 196. [24] Hager, M.: On score sets for tournaments. Discrete Math., 58 (1986), 25 34. 21 [25] Hakimi, S. L.: On the realizability of a set of integers as degrees of the vertices of a simple graph. J. SIAM Appl. Math., 10 (1962), 496 506. 3 [26] Hakimi, S. L.: On the degrees of the vertices of a directed graph. J. Franklin Inst., 279 (1965), 290 308. [27] Hartke, S. and T. Seacrest: Graphic sequences have realizations containing bisections of large degree. J. Graph Theory, 71(4) (2012), 386 401. [28] Havel, V.: A remark on the existence of finite graphs (cseh). Casopis Pĕst. Mat., 80 (1955), 477 480. 3 [29] Hell, P. and D. Kirkpatrick: Linear-time certifying algorithms for near-graphical sequences. Discrete Math., 309(18) (2009), 5703 5713. 3 [30] Hemasinha, R.: An algorithm to generate tournament score sequences, Math. Comp. Modell., 37(3 4) (2003), 377 382. 4 [31] Iványi, A.: Reconstruction of complete interval tournaments, Acta Univ. Sapientiae, Inform., 1(1) (2009), 71 88. 1, 4 [32] Iványi, A.: Reconstruction of complete interval tournaments. II. Acta Univ. Sapientiae, Math., 2(1) (2010), 47 71. 1 [33] Iványi, A.: Degree sequences of multigraphs. Annales Univ. Budapest., Comput., 37 (2012), 195 214. 3 [34] Iványi, A.: Score sets in multitournaments, I. Mathematical results, Annales Univ. Sci. Budapest., Comput., benyújtva. 12 [35] Iványi, A.: Score sets in multitournaments, II. Algorithmic results, Acta Univ. Sapientiae, Inform., benyújtva. 12 [36] Iványi, A. and L. Lucz: Multigráfok foksorozatai, Alk. Mat. Lapok, 29 (2012), 1 53. 1 [37] Iványi, A., Lucz, L., Móri, F. T., and P. Sótér: On the Erdős-Gallai and Havel- Hakimi algorithms. Acta Univ. Sapientiae, Inform., 3(2) (2011), 230 268. 1, 3 [38] Iványi, A., Lucz, L., Móri F. T., and P. Sótér: Number of graphical partitions (degree-vectors for simple graphs with n vertices. Elérhető: http://oeis.org/a004251. 2 [39] Iványi, A. and B. M. Phong: On the unicity of the score sets of multitournaments, in: Fifth Conference on Mathematics and Computer Science (Debrecen, June 9 12, 2004), University of Debrecen, 2006, 10 pages. 21 [40] Iványi, A. and S. Pirzada: Comparison based ranking. In (ed. A. Iványi): Algorithms of Informatics, Vol. 3. AnTonCom, Budapest 2011, 1262 1311. 1, 2 [41] Iványi, A., Pirzada, S. and N. A. Shah: Imbalances of bipartite multitournaments, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comput., 37 (2012), 215 228. 2