Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1
Table of Contents 1. Vektorok 7 2. Vektorok összeadása 12 3. Vektorok kivonása 17 4. Vektor szorzása skalárral 18 5. Vektorok felbontása 21 6. Vektorok lineáris függetlensége és össze-
Table of Contents (cont.) 3 függősége 25 7. Bázis, vektorok koordinátái 28 8. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal 34 8.1. Két vektor egyenlősége........ 35 8.2. Két vektor összege és különbsége.. 35 8.3. Vektor szorzása skalárral....... 38 8.4. Vektorok lineáris kombinációja.... 39
Table of Contents (cont.) 4 9. Két vektor skaláris szorzata 40 9.1. A skaláris szorzat tulajdonságai... 42 9.2. Koordinátákkal adott vektorok skaláris szorzata............... 43 9.3. Alkalmazások............. 45. Vektor abszolút értéke...... 45. Adott vektor irányába mutató egységvektor............. 46. Két vektor hajlásszöge...... 47. Egy vektornak egy másik vektorra eső merőleges vetülete...... 48
Table of Contents (cont.) 5 9.4. Az egyenes paraméteres vektoregyenlete.................. 50 9.5. A sík egyenletei........... 54. A sík vektoregyenlete....... 54. A sík egyenletének általános alakja 55. A Hesse-féle normálegyenlet... 56. A sík tengelymetszetes egyenlete. 57 10.Két vektor vektoriális szorzata 58 10.1. A vektoriális szorzat geometriai jelentése................ 60
Table of Contents (cont.) 6 10.2. A vektoriális szorzat tulajdonságai.. 61 10.3. Koordinátákkal adott vektorok vektoriális szorzata........... 63 11.Három vektor vegyes szorzata 66
Section 1: Vektorok 7 1. Vektorok Definíció. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük. Egy vektort adottnak tekintünk, ha ismerjük hosszát, irányát, irányítását.
Section 1: Vektorok 8 Vektorok jelölése: a, r, v, AB. Definíció. A v vektor hosszát a v vektor abszolút értékének nevezzük, és így jelöljük: v. Definíció. Azt a vektort, amelynek abszolút értéke nulla, nullvektornak vagy zérusvektornak nevezzük, és 0-val jelöljük. A nullvektor iránya megállapodás szerint tetszőleges.
Section 1: Vektorok 9 Definíció. Bármely olyan vektort, amelynek hossza egységnyi, egységvektornak nevezünk. Egy adott v vektorral azonos irányú és irányítású egységvektort e v -vel vagy v 0 -val jelölünk. Definíció. Az AB és a DC vektorokat akkor tekintjük egyenlőnek, ha van olyan eltolás, amely az A pontot D-be, a B pontot pedig C-be viszi át.
Section 1: Vektorok 10 Az AB és a DC vektorok egyenlők.
Section 1: Vektorok 11 A sík pontjai és a síkbeli vektorok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Mindkettőre az R 2 jelölést használjuk. Hasonló okok miatt a térbeli vektorok, illetve a tér pontjainak összességét R 3 jelöli. Egy egyenesen lévő vektorokat, valamint az egyenes pontjait pedig R.
Section 2: Vektorok összeadása 12 2. Vektorok összeadása Természeti jelenségeket másolunk:
Section 2: Vektorok összeadása 13 Definíció. Az a, b R 3 vektorok összegén azt az a + b-vel jelölt vektort értjük, amelyet a következő módon kapunk: toljuk el a b vektort úgy, hogy b kezdőpontja az a végpontjába kerüljön; az a kezdőpontjából a b végpontjába mutató vektor a + b.
Section 2: Vektorok összeadása 14 Mivel a két vektor szerepét felcserélve az a + b vektorral egyenlő vektorhoz jutunk, ezért két vektor összege a paralelogramma-szabállyal is meghatározható:
Section 2: Vektorok összeadása 15 Vektorok összeadásának tulajdonságai: 1. Az összeadás kommutatív: a + b = b + a tetszőleges a, b R 3 esetén. 2. Az összeadás asszociatív: tetszőleges a, b, c R 3 esetén (a + b) + c = a + (b + c). 3. Az összeadásnak létezik egységeleme: a + 0 = a minden a R 3 esetén. 4. Minden vektornak van ellentettje: tetszőleges a R 3 esetén az a a-val jelölt vektor, amelyre a + ( a) = 0.
Section 2: Vektorok összeadása 16 Például az asszociativitás:
Section 3: Vektorok kivonása 17 3. Vektorok kivonása Definíció. Az a, b R 3 vektorok különbségén azt az a b-vel jelölt vektort értjük, amelyet b-hez hozzáadva az a vektort kapjuk.
Section 4: Vektor szorzása skalárral 18 4. Vektor szorzása skalárral Definíció. Egy λ R valós szám és egy a R 3 vektor λa szorzatán azt a vektort értjük, amelynek hossza λ a, iránya megegyezik a irányával, irányítása pedig λ előjelétől függ: azonos a irányításával, ha λ 0; ellentétes a irányításával, ha λ < 0.
Section 4: Vektor szorzása skalárral 19 Álĺıtás. (1) Bármely a R 3 vektor előáll a = a e a alakban, ahol e a az a-val egyirányú egységvektor. (2) Az a, b R 3 vektorok akkor és csak akkor párhuzamosak, ha van olyan λ valós szám, amelyre a = λb.
Section 4: Vektor szorzása skalárral 20 A vektor skalárral történő szorzásának tulajsonságai: Álĺıtás. Legyen a, b R 3 és λ, µ R. Ekkor 1. λ(µa) = (λµ)a; 2. λ(a + b) = λa + λb; 3. (λ + µ)a = λa + µa.
Section 5: Vektorok felbontása 21 A 2. tulajdonság λ = 2 esetén: 5. Vektorok felbontása Legyen a, b R 2 és λ, µ R. Ekkor a c = λa+µb vektor könnyen megszerkeszthető.
Section 5: Vektorok felbontása 22 Fordított probléma: adott egy c R 2, és a nem párhuzamos a, b R 2 vektorok. Fel tudjuk-e bontani a c vektort a ás b irányú összetevőkre? Ha igen, milyen feltételek mellett?
Section 5: Vektorok felbontása 23 Tétel. (Vektorok felbontása síkban) Ha a, b, c R 2 és a nem párhuzamos b-vel, akkor mindig találhatók olyan α, β valós számok, amelyekkel c = αa + βb. Ez az előálĺıtás egyértelmű.
Section 5: Vektorok felbontása 24 Tétel. (Vektorok felbontása térben) Ha a, b, c, v R 3 és a, b, c nincsenek egy síkban, akkor mindig találhatók olyan α, β, γ valós számok, amelyekkel v = αa + βb + γc. Ez az előálĺıtás egyértelmű.
Section 6: Vektorok lineáris függetlensége és összefüggősége 25 6. Vektorok lineáris függetlensége és összefüggősége Definíció. Az a, b R 2 vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük, ha az αa + βb = 0 egyenlőség csak akkor teljesül, ha α = 0 és β = 0. Ellenkező esetben az a, b vektorokat lineárisan összefüggőeknek hívjuk.
Section 6: Vektorok lineáris függetlensége és összefüggősége 26 Álĺıtás. Két síkbeli vektor pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha párhuzamosak. Az előzőekhez hasonló megállapításokat tehetünk térbeli vektorokról is. Definíció. Az a, b, c R 3 vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük, ha az αa + βb + γc = 0 egyenlőség csak akkor teljesül, ha α = β = γ = 0. Ellenkező esetben az a, bc vektorokat lineárisan összefüggőeknek hívjuk.
Section 6: Vektorok lineáris függetlensége és összefüggősége 27 Ellenkező eset az α, β, γ számok közül legalább az egyik nem nulla. Álĺıtás. Három térbeli vektor pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha egy síkban fekszenek. Definíció. Az a, b, c R 3 vektorok lineáris kombinációjának nevezzük az αa + βb + γc kifejezést. Itt α, β, γ valós számok.
Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 28 7. Bázis, vektorok koordinátái Láttuk: bármely d R 3 vektor egyértelműen felbontható a nem egy síkban fekvő a, b, c R 3 vektorok irányába eső összetevőkre. Ugyenez másképp: d egyértelműen feĺırható a lineárisan független a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként. Definíció. Térbeli vektorok egy lineárisan független vektorhármasát bázisnak nevezzük.
Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 29 Speciális bázisok: ortogonális bázis: az alapvektorok páronként merőlegesek egymásra; normált bázis: az alapvektorai egységvektorok; ortonormált bázis: az alapvektorok egymásra páronként merőleges egységvektorok. Tekintsünk három, egy pontból kiinduló, páronként egymásra merőleges egységvektort. Jelölje őket i, j, k, és alkossanak ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert. Válasszuk az i, j, k vektorokat bázisunk alap-
Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 30 vektorainak. Ez tehát egy ortonormált bázis. Illesszünk az alapvektorokra egy-egy egyenest; ezek lesznek koordináta-rendszerünk x, y, z tengelyei, metszéspontjuk az O origó.
Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 31 A tér bármely a vektora egyértelműen felbontható a bázis alapkvektorai irányába eső összetevőkre. Legyen a felbontás az alábbi: a = a 1 i + a 2 j + a 3 k.
Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 32 Definíció. Ebben a felbontásban az a 1, a 2, a 3 valós számok az a vektor koordinátái, az a 1 i, a 2 j, a 3 k vektorok az a vektor komponensei. Az a vektor koordinátáit egy rendezett számhármassal, az a(a 1 ; a 2 ; a 3 ) alakban szokás kifejezni (sorvektoros írásmód). Más jelölés: v = xi + yj + zk, v(x; y; z).
Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 33 Sokszor célszerű az oszlopvektoros alakot használni: a 1 a = a 2 a 3 A térbeli vektorok és a tér pontjai között fennálló kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés miatt az a vektor A végpontjának Descartes-koordinátái azonosak az a vektor i, j, k bázisra vonatkozó koordinátáival. Az a vektort az A pont helyvektorának is szokták nevezni.
Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal 34 8. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Megnézzük, hogy a korábban megismert fogalmakat hogyan lehet értelmezni, illetve a műveleteket elvégezni koordinátákkal adott vektorokkal. Tekintsük az a(a 1 ; a 2 ; a 3 ) és b(b 1 ; b 2 ; b 3 ) vektorokat (a i, b i R, i = 1, 2, 3).
Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal 35 8.1. Két vektor egyenlősége Álĺıtás. a = b akkor és csak akkor, ha a 1 = b 1, a 2 = b 2, a 3 = b 3. 8.2. Két vektor összege és különbsége A megadott koordinátákkal a = a 1 i + a 2 j + a 3 k és b = b 1 i + b 2 j + b 3 k. Ekkor a vektor skalárral való szorzásának tulajdon-
Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal 36 ságaiból: a + b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) + (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = (a 1 + b 1 )i + (a 2 + b 2 )j + (a 3 + b 3 )k, és hasonlóan a b = (a 1 b 1 )i + (a 2 b 2 )j + (a 3 b 3 )k.
Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal 37 Álĺıtás. Két vektor összegének (különbségének) a koordinátái a két vektor megfelelő koordinátáinak az összegével (különbségével) egyenlők.
Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal 38 8.3. Vektor szorzása skalárral Tekintsük az a(a 1 ; a 2 ; a 3 ) vektort és a λ valós számot. Ekkor a vektor skalárral való szorzásának korábban tárgyalt tulajdonságaiból: λa = λ(a 1 i + a 2 j + a 3 k) = (λa 1 )i + (λa 2 )j + (λa 3 )k. Álĺıtás. Egy vektort úgy szorzunk meg egy valós számmal, hogy a vektor valamennyi koordinátáját megszorozzuk ezzel a számmal.
Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal 39 8.4. Vektorok lineáris kombinációja Tekintsük az a(a 1 ; a 2 ; a 3 ), b(b 1 ; b 2 ; b 3 ), és c(c 1 ; c 2 ; c 3 ) vektorokat, valamint az α, β, γ valós számokat. Az előző bekezdésekben leírtak alapján a v = αa + βb + γc vektor koordinátái: v(αa 1 + βb 1 + γc 1 ; αa 2 + βb 2 + γc 2 ; αa 3 + βb 3 + γc 3 ).
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 40 9. Két vektor skaláris szorzata Ha egy anyagi pont az állandó F erő hatására egy egyenes mentén elmozdul, akkor az F erő által végzett munka nagysága: F r cos α, ahol r az elmozdulást megadó vektor, α pedig az F és r vektorok hajlásszöge. Két vektorhoz egy számot (skaláris mennyiséget) rendeltünk hozzá.
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 41 Definíció. Két tetszőleges a, b R 3 vektor skaláris szorzatán (vagy skalárszorzatán) az ab = a b cos ϕ ab számot értjük, ahol ϕ ab az a és b vektorok hajlásszögét jelöli. (Két vektor hajlásszögén a két irány által bezárt szögek közül a nem nagyobbikat értjük.)
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 42 9.1. A skaláris szorzat tulajdonságai Legyen a, b, c R 3 és λ R. 1. ab = ba; 2. a(b + c) = ab + ac; 3. (λa)b = λ(ab) = a(λb); 4. Ha az a, b vektorok ϕ ab hajlásszöge hegyesszög, akkor ab > 0; tompaszög, akkor ab < 0.
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 43 Álĺıtás. Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor nulla, ha a két vektor merőleges egymásra. 9.2. Koordinátákkal adott vektorok skaláris szorzata Az i, j, k alapvektorok skaláris szorzata, mivel ortonormáltak: ii = jj = kk = 1, ij = jk = ki = 0. Legyen a = a 1 i + a 2 j + a 3 k és b = b 1 i + b 2 j + b 3 k.
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 44 Ekkor ab = (a 1 i + a 2 j + a 3 k)(b 1 i + b 2 j + b 3 k) = a 1 b 1 ii + a 1 b 2 ij + a 1 b 3 ik + a 2 b 1 ji + a 2 b 2 jj + a 2 b 3 jk + a 3 b 1 ki + a 3 b 2 kj + a 3 b 3 kk. Mivel csak a sorok elején álló három tag nem nulla, ezért végül: ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3.
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 45 9.3. Alkalmazások Vektor abszolút értéke Szorozzunk meg önmagával skalárisan egy a(a 1 ; a 2 ; a 3 ) vektort. Ekkor egyrészt a 2 = aa = a a cos 0 = a 2, másrészt a 2 = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3. Tehát a 2 = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3, amiből a abszolút értéke (hossza): a = a 2 1 + a2 2 + a2 3.
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 46 Adott vektor irányába mutató egységvektor Legyen a adott vektor. Az a irányába mutató e a egységvektort megkapjuk, ha az a vektort megszorozzuk a hosszának reciprokával: e a = a a. Az e a vektor koordinátái tehát: ( a1 e a a ; a 2 a ; a ) 3. a
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 47 E koordinátákat az a vektor iránykoszinuszának nevezik. (Miért?) Két vektor hajlásszöge Átrendezve az ab = a b cos ϕ ab egyenlőséget, azt kapjuk, hogy cos ϕ ab = ab a b.
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 48 Egy vektornak egy másik vektorra eső merőleges vetülete Legyen adott az a és b vektor; keressük a- nak b-re eső merőleges vetületének hosszát. Az a b vetületvektor hossza: a b = a cos α. Ha e b a b vektor irányába eső egységvektor, akkor ae b = a 1 cos α = a b. Vagyis az a-nak b-re eső merőleges vetületének hossza
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 49 a b = ae b. Az a b vetületvektort úgy kapjuk, hogy a vetület hosszával megszorozzuk az irányába mutató e b egységvektorral: a b = (ae b )e b.
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 50 9.4. Az egyenes paraméteres vektoregyenlete Adott egy r 0 = OP 0 R 3 helyvektor és egy v R 3 (v 0) vektor. Tekintsük a P 0 ponton áthaladó, v irányvektorú e egyenest. Egy r helyvektorú P pont akkor és csak akkor van rajta az e egyenesen, ha az r r 0 vektor a v irányvektorral egy egyenesen fekszik. Azaz, akkor és csak
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 51 akkor, ha van olyan t valós szám, amellyel r r 0 = tv. Definíció. Az r(t) = r 0 + tv egyenlőséget az egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezzük. Ebben t R a paraméter. Ha ezt az egyenletet a benne szereplő vektorok koordinátáira írjuk fel, akkor az egyenes paraméteres egyenletrendszerét kapjuk. Az r(x; y; z), r 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ), v(v 1 ; v 2 ; v 3 ) jelölést hasz-
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 52 nálva kapjuk: x = x 0 + v 1 t, y = y 0 + v 2 t, z = z 0 + v 3 t. Ha a v 1, v 2, v 3 egyike sem nulla, akkor az egyenletekből kiküszöbölhető t, és az egyenes így kapott egyenletrendszere: x x 0 v 1 = y y 0 v 2 = z z 0 v 3.
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 53 Megjegyzések: 1. Ha v valamelyik (pl. első) koordinátája 0, akkor az egyenes valamelyik (esetünkben az yz) síkkal párhuzamos. 2. Ha v két koordinátája 0, akkor az egyenes valamelyik koordinátatengellyel párhuzamos. 3. Ha v egységvektor, akkor koordinátái az iránykoszinuszok.
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 54 9.5. A sík egyenletei A sík vektoregyenlete Tekintsük azt a síkot, amely illeszkedik a rögzített O pontból kiinduló r 0 helyvektorú P 0 pontra, és merőleges az n R 3 (n 0) vektorra, a sík normálvektorára. Egy r helyvektorú P pont akkor és csak akkor van rajta a síkon, ha az r r 0 vektor merőleges az n normálvektorra, vagyis ha
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 55 Ez a sík vektoregyenlete. n(r r 0 ) = 0. A sík egyenletének általános alakja Az n(a; B; C), r(x; y; z), r 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) jelölésekkel az előző egyenlet az A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 alakra hozható. Elvégezve a kijelölt szorzásokat, és a D = Ax 0 By 0 Cz 0 jelöléssel a sík egyenletének
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 56 Ax + By + Cz + D = 0 alakú, ún. általános alakját kapjuk. A Hesse-féle normálegyenlet Ha a sík vektoregyenletében szereplő n normálvektor egységvektor, akkor koordinátái iránykoszinuszok, és az x cos α + y cos β + z cos γ + ρ = 0 alakú egyenletben, az ún. Hesse-féle normálegyenletben szereplő ρ állandó anszolút értéke a síknak az origótól mért távolságát adja meg.
Section 9: Két vektor skaláris szorzata 57 A sík tengelymetszetes egyenlete Ha a sík a koordinátatengelyeket az origótól mérve rendre a nem nulla a, b, c távolságra metszi, akkor a sík tengelymetszetes egyenlete az alábbi: x a + y b + z c = 1.
Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 58 10. Két vektor vektoriális szorzata Tetszőleges a, b R 3 vektorhoz egy új vektort rendelünk hozzá a vektoriális szorzás segítségével. Az új vektor jelölése: a b (olv.: kereszt b ). a
Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 59 Definíció. Az a, b R 3 vektorok a b- vel jelölt vektoriális szorzatának azt a vektort nevezzük, amelynek 1. hossza a b = a b sin ϕ ab, 2. iránya az a és b vektorok síkjára merőleges, és 3. irányítása olyan, hogy az a, b és a b vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak.
Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 60 10.1. A vektoriális szorzat geometriai jelentése Az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe a két vektor vektoriális szorzatának abszolút értékével egyenlő: t = am = a b sin α = a b. Ezért az a és b vektorok által kifeszített háromszög területe t = 1 2 a b.
Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 61 10.2. A vektoriális szorzat tulajdonságai a b = (b a), A vektoriális szorzat nem kommutatív, vagyis a b b a. De az alábbi tulajdonságok következnek a definícióból: λ(a b) = (λa) b = a (λb), a (b + c) = a b + a c, (b + c) a = b a + c a,
Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 62 i i = j j = k k = 0, i j = k, i k = j, j k = i, j i = k, k i = j, k j = i. Tétel. Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor zérusvektor, ha a két vektor párhuzamos egymással.
Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 63 10.3. Koordinátákkal adott vektorok vektoriális szorzata Legyen a = a 1 i + a 2 j + a 3 k és b = b 1 i + b 2 j + b 3 k. Ekkor a b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = = a 1 b 1 (i i) + a 2 b 1 (j i) + a 3 b 1 (k i) + + a 1 b 2 (i j) + a 2 b 2 (j j) + a 3 b 2 (k j) + + a 1 b 3 (i k) + a 2 b 3 (j k) + a 3 b 3 (k k). Az előző tulajdonságokat felhasználva kapjuk, hogy a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 )i (a 1 b 3 a 3 b 1 )j + (a 1 b 2 a 2 b 1 )k.
Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 64 Ez a kifejezés a determináns segítségével így írható (e harmadrendű determináns első sora szerinti kifejtése): a b = i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3.
Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 65 i j k a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 = i b 1 b 2 b 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 a 3 b 2 ) j(a 1 b 3 a 3 b 1 ) + k(a 1 b 2 a 2 b 1 ).
Section 11: Három vektor vegyes szorzata 66 11. Három vektor vegyes szorzata Definíció. Az a, b, c R 3 nem egysíkú vektorokból képzett abc = (a b)c szorzatot az a, b, c vektorok vegyes szorzatának nevezzük. Vegyes, mert vektoriális és skaláris szorzás is szerepel benne. Mi lesz az eredmény? Vektor vagy skalár?
Section 11: Három vektor vegyes szorzata 67 Nyilván skalár: a b c cos α, ahol α az a b és a c vektorok hajlásszöge. Mivel a b az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe, a c cos α pedig az ábrán látható paralelepipedon m magassága, ezért érvényes az alábbi álĺıtás.
Section 11: Három vektor vegyes szorzata 68 Álĺıtás. Az a, b, c vektorok vegyes szorzata az e vektorok által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogatát adja. Az előjel a paralelepipedon elhelyezkedését adja meg (attól függően pozitív vagy negatív, hogy a c vektor ugyanabba a térfélbe mutat-e, mint az a b), a szám pedig a térfogat mérőszámát. Az abc jelölésben nem látszik, hogy hol van a vektoriális és hol a skaláris szorzás jele. Ez nem is szükséges, mert érvényes az alábbi tétel.
Section 11: Három vektor vegyes szorzata 69 Tétel. (Felcserélési tétel) (a b)c = a(b c). Geometriai jelentése: egy paralelepipedon térfogatának kiszámításakor mindegy, hogy melyik oldallapjának a területét és az ehhez tartozó magasságot szorozzuk össze. Ha az a, b, c vektorok koordinátáikkal adottak, vagyis a = a 1 i + a 2 j + a 3 k, b = b 1 i + b 2 j + b 3 k és c = c 1 i + c 2 j + c 3 k, akkor a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 )i (a 1 b 3 a 3 b 1 )j+(a 1 b 2 a 2 b 1 )k, és így
Section 11: Három vektor vegyes szorzata 70 (a b)c = (a 2 b 3 a 3 b 2 )c 1 (a 1 b 3 a 3 b 1 )c 2 + (a 1 b 2 a 2 b 1 )c 3 = a 1 (b 2 c 3 b 3 c 2 ) a 2 (b 1 c 3 b 3 c 1 ) + a 3 (b 1 c 2 b 2 c 1 ). A jobb oldal itt is egy harmadrendű determináns értéke: a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3.
Section 11: Három vektor vegyes szorzata 71 Tétel. Három vektor vegyes szorzata akkor és csak akkor nulla, ha a három vektor egysíkú.