Mindig érvényes (akkor is, ha vannak nem konzervatív erők súrlódási, közegellenállási is)

9. hét Munkatétel. Konzervatív erőtér. Mechanikai energia megmaradás. (+ impulzus-megmaradásos feladatok a 6. hétről) Munkatétel: Mindig érvényes (akkor is, ha vannak nem konzervatív erők súrlódási, közegellenállási is) W össz = E kin W össz : a testre ható összes erő munkájának összege (vigyázni kell az előjelekkel!) E kin = E kin, vég E kin, kezdő Nagyon hasznos olyan esetekben, amikor nem érdekes tudni időben a test sebességét és helyét (a v(t) és r(t) függvényeket), hanem elég, ha a test helye és sebessége között kapunk összefüggést. Konzervatív erőterek potenciális energiák nehézségi erőtér: F = mg k erőtérhez E pot = mgz lineáris rugalmas erő: F = kx i erőtérhez E pot = ½ kx 2 az E pot =0, azaz z=0 pont célszerűen választható az E pot =0 az x=0-nál van, vagyis a rugó nyugalmi hosszánál általános tömegvonzási erő: F = γm 1 m 2 /r 2 e r erőtérhez E pot = γm 1 m 2 /r az E pot =0 a végtelen távoli pont Munka számolása potenciális energiából: W AB = E pot = E pot, kezdő E pot, vég (Ekkora munkát végez az adott erő. Ha mi végezzük a munkát az adott erő ellenében, akkor ennek ellentettjét kell venni.) Mechanikai energia megmaradás Mechanikai energia: E mech = E kin + E pot (E pot a megfelelő tagokat tartalmazza) Konzervatív erőtérben érvényes: E mech a mozgás során állandó 10 m magas, 45 hajlásszögű lejtő tetejéről 2 kg tömegű golyó gurul le. A lejtőn való mozgás közben a súrlódás elhanyagolható. A lejtő kis görbülettel vízszintes, érdes síkba megy át, amelynek súrlódási tényezője µ = 0,2. A lejtő lábától milyen messzire jut el a golyó? Megoldhatnánk a feladatot úgy, hogy kiszámoljuk a test gyorsulását a lejtőn ill. a vízszintes súrlódásos felületen, majd a v = v 0 +at és s = v 0 t+½at 2 képletekből az időt kiküszöbölve megkaphatjuk az összefüggést a sebesség és az út között: t = (v v 0 )/a, s = v 0 (v v 0 )/a + ½a[(v v 0 )/a] 2 = = (v 2 v 0 2 ) / 2a. Ezzel a lejtő alján a test sebessége: =2 ő + =2 a vízszintes felületen megtett út, amíg megáll: =!í# = $% = % $% = $. +0=2h, és De most nem ezt csináljuk, hanem rövidebb utat válaszunk. A lejtőn a súrlódás elhanyagolható, így energia-megmaradással számolhatunk: mgh = ½ mv 2 v 2 = 2gh ; a vízszintes síkon való csúszásnál meg a munkatételt használhatjuk: E kin = W: 0 ½ mv 2 = µmg s s = v 2 /(2µg) = (2gh)/ /(2µg) = h/µ = 50 m. 9 / 1

Asztallaphoz rögzített rugó nyugalmi állapotban éppen az asztal széléig ér. 10 cm-rel összenyomjuk, majd cérnával összekötjük (megfeszített állapotban). A rugó ilyen megfeszítéséhez 2,5 N erő szükséges. A végéhez egy 10 g-os golyót teszünk, majd elégetjük a cérnát. Az asztal 1,25 m magas. Mekkora sebességgel és a vízszinteshez viszonyítva milyen szögben csapódik a padlóra a golyó? A súrlódást hanyagoljuk el! A rugóállandó, ha 10 cm-rel való összenyomáshoz F = 2,5 N erő kell: k = F / l = 2,5/0,1 = 25 N/m.,, A rugó 10 cm-rel való összenyomásához &=' ()*) =-, ().,, =, 25 0,1 =0,125 1 munkát végeztünk, tehát ekkora energiát tárol a rugó. A cérna elégetése után ekkora munkát tud végezni a rugó a golyón, így a golyó sebessége az asztal széléhez érve (amikor a rugó a nyugalmi állapotába kerül) a kinetikus energiájából számolható a munkatétel alapján: W = ½kx 2 = ½ mv 2 0, amiből a golyó sebessége = 2,,4 =2 3,, =53. Az asztal szélétől a golyó mozgása egy v x = 5 m/s vízszintes kezdősebességű ferde hajítás. A közegellenállást elhanyagolva a golyó vízszintes sebessége nem változik; függőlegesen pedig h =1,25 m magasról indulva gyorsul. Az energiamegmaradást felírva mgh = ½ mv 2 z, tehát földet éréskor a függőleges sebességkomponense 6 =2h= 2 10 1,25=5 7/ (lefelé) A golyó sebessége tehát becsapódáskor = 9 + 6 =5 2 7,07 7/, a sebességének a vízszintessel bezárt szöge arc tg (v z /v x ) = arc tg 1 = 45. Milyen magasra emelkedik a Hold felszínéről v 0 sebességgel függőlegesen kilőtt test? Mennyi legyen v 0, hogy a test elhagyja a Hold vonzókörét? A Hold sugara 1888 km, a Hold felszínén a gravitációs gyorsulás 1,6 m/s 2. Számítsuk ki a szökési sebesség értékét a Földre is! A testre a Hold gravitációs ereje hat: ==? 3 @ ABCD az általa végzett munka F & EG E =' = HF='? 3 @ ABCD F I F K E I E E F E (ez fogja lassítani); *J=-? 3 @ E ABCD 3 @. E =? ABCD? 3 @ ABCD EG E E G (negatív) Ha a test a Hold felszínéről indul, r 1 = R Hold és r 2 = R Hold +h. Az emelkedés h magasságát kifejezhetjük a munkatételt alkalmazva: h magasságban a test sebessége zérus: W = E kin :? 3 @ ABCD?3 @ ABCD =0, 7 M h= N@ ABCD OP ABCD R S T UVW Q ABCD Ahhoz, hogy a test elhagyja a Hold vonzókörét, az kell, hogy végtelen távolra jusson, azaz h,? 3 @ ABCD 0 ; az M ehhez szükséges kezdősebesség (azaz a szökési sebesség) v 0 : 0? 3 @ ABCD =0, 7 = N@ ABCD R Hold = 1888 km és UVW =? @ ABCD =1,6 3, azaz?@ ABCD =g Hold R Hold 3,02 10 6 m 2 s 2, amivel =2 UVW T UVW, behelyettesítve v 0 2,46 km/s. A szökési sebesség a Földre pedig =2 ZöW T ZöW 2 9,8 6,4 10 _ 11,2 km/s. VAGY: A gravitációs erőtér konzervatív. A potenciális energiát egy adott pontban megkapjuk, ha kiszámoljuk azt a munkát, ami az erőtér végez, ha a testet az adott pontból a zérus potenciálú pontba viszi. Válasszuk a potenciális energiát zérusnak a végtelen távoli pontban, azaz a fent felírt képletben az erőtér által végzett munkára E pot (r 2 ) = E pot ( ) = 0, így `av bj, c=& EG E =? 3 @ ABCD E? 3 @ ABCD E G =? 3 @ ABCD E G. Ezt felhasználva energia-megmaradással is megoldhatjuk a feladatot (a test mechanikai a Hold felszínén egyenlő a test mechanikai energiájával a végtelen távolban): E pot (R Hold ) + ½ mv 0 2 = 0 + 0 = d ebfb c 3 = N@ ABCD =2 UVW T UVW (a minimális szökési sebességet akarjuk kiszámolni, ehhez elég, ha a végtelen távolba zérus sebességgel érkezik a test) 9 / 2

Egy útkereszteződésben a STOP táblánál álló autóba hátulról beleütközik egy másik autó (a tömegük megegyezik). Az összetapadt roncs az ütközés helyétől 18 m-re áll meg a 8 m széles főút túlsó oldalán. A hátulról jövő kocsi 11,4 m-es féknyomot hagyott az ütközés előtt. Mekkora sebességgel haladt, mielőtt fékezni kezdett? A súrlódási együttható az aszfalton 0,4, a füvön 0,5. [A] A kocsi v 0 kezdősebességről indul, s 1 = 11,4 m-es úton fékezi a súrlódási erő, ezután a sebessége v 1 lesz. [B] Ezután tökéletesen rugalmatlanul ütközik (ld. a következő anyagrészt!) az álló kocsival, az ütközés utáni közös sebességük v 2. [C] A két kocsiból álló roncs az aszfalton s 2 = 8 m-t fékeződik, ami után a sebessége v 3, [D] majd még a füvön s 3 = 10 m-t fékeződik, ami után megáll, v 4 = 0. A számolás munkatétellel a leggyorsabb, a végső állapottól számolunk visszafelé a kiinduló sebességig. [D] ½ (m+m) v 2 4 ½ (m+m) v 2 3 = µ fű (m+m)g s 3 v 2 3 = 2µ fű g s 3 v 3 = 10 m/s [C] ½ (m+m) v 2 3 ½ (m+m) v 2 2 = µ aszfalt (m+m)g s 2 v 2 2 = 2g(µ aszfalt s 2 +µ fű s 3 ) v 2 12,8 m/s [B] az ütközésre az impulzus-megmaradást felírva: mv 1 = (m+m)v 2 v 1 = 2v 2 25,6 m/s [A] ½ m v 2 1 ½ m v 2 0 = µ aszfalt mg s 1 v 2 2 0 = 2µ aszfalt g s 1 + v 1 v 1 27,3 m/s = 98,4 km/h Mennyivel nyúlt meg a rugós erőmérő rugója, ha a mutató a 40 N-os skálaponton áll és a nyújtás közben 1,6 J munkát végeztünk? 2011 pótzh2 4. A rablók nem bírták kinyitni a páncélszekrényt, ezért magukkal viszik az egészet. Menekülés közben felmásztak vele a 2,3 m magas kerítés tetejére és onnan bedobják a kerítésen kívül várakozó kocsijukba. A páncélszekrényt 12 m/s kezdősebességgel vízszintesen dobják el. Amikor a páncélszekrény beleesik a kocsiba, sebességének függőleges komponensét elnyeli a kocsijukon levő gumimatrac, és a kocsi rajta a páncélszekrénnyel elkezd csúszni az aszfalton. A páncélszekrény tömege m = 200 kg, a kocsié M = 800 kg, a súrlódási együttható µ = 0,432, g = 10 m/s 2. a/ Milyen messze csúszik a kocsi a páncélszekrénnyel? b/ Mennyi a páncélszekrény + kocsi rendszer mechanikai - a páncélszekrény eldobásakor, - a páncélszekrény kocsihoz érkezésekor, - a páncélszekrény + kocsi elindulásakor, - amikor a páncélszekrény + kocsi 0,5 m-t tett meg? A kocsi vízszintes sík terepen van, az legyen a helyzeti energia zérus szintje. a/ Elhajításkor a páncélszekrény sebességének vízszintes komponense v x = 12 m/s, ami nem változik a hajítás során, tehát ekkora vízszintes sebességgel érkezik a páncélszekrény a kocsihoz, amivel rugalmatlanul ütközik. Az impulzus-megmaradást felírva a vízszintes komponensre m páncél v x = (m páncél +m kocsi ) u (a függőleges nem érdekes, mert úgyis elnyelődik), tehát a kocsi a páncélszekrénnyel u = 2,4 m/s kezdősebességgel indul meg. Ezt a sebességét elveszíti a súrlódás miatt. Munkatétellel 0 ½(m páncél +m kocsi ) u 2 = µ(m páncél +m kocsi ) g s s = u 2 /(2µg) = 2/3 m b/ - a páncélszekrény eldobásakor: a kocsié zérus, a páncélszekrényé E mech = E pot +E kin = m páncél g h + ½m páncél v 0 2 = 200 10 2,3 + ½ 200 12 2 = 19000 J - a páncélszekrény kocsihoz érkezésekor: ugyanennyi - a páncélszekrény + kocsi elindulásakor: itt már nem marad meg az energia, mert a rugalmatlan ütközéskor egy része elnyelődik (deformációs munka), tehát a kocsi+páncélszekrény ütközés utáni sebességével kell számolni a mozgási energiát: E mech = ½(m páncél +m kocsi ) u 2 = 2880 J - amikor a páncélszekrény + kocsi 0,5 m-t tett meg: a súrlódási munka csökkentette az előzőleg kiszámolt energiát, tehát E mech = 2880 µ(m páncél +m kocsi ) g s = 2880 0,432 1000 10 0,5 = 720 J 9 / 3

2012 zh2 4. Egy 30 hajlásszögű egyenes lejtőn van egy m = 0,5 kg tömegű test a lejtő aljától 0,5 m távolságra (a lejtőn mérve a távolságot). A testnek v 0 = 2 m/s kezdősebességet adunk lefelé. A lejtő (egy sima kis ívvel) vízszintes síkban folytatódik. A lejtőn a súrlódás elhanyagolható, a vízszintes terepen a súrlódási együttható µ = 0,2. a./ Hol áll meg a test, ha a testet csak a súrlódás fékezi? (nincs akadály, rugó a síkon) b./ A vízszintes síkon elhelyezünk egy k = 8 N/m rugóállandójú, l 0 = 1,5 m hosszú rugót a lejtő aljától 1,25 m-re, aminek a túlsó 0,5 m vége rögzítve van. Ahol a rugó elkezdődik, a sík súrlódása már µ = 0 1,5 m 1,25 m elhanyagolható. Mennyi a rugó maximális összenyomódása, µ = 0,2 µ = 0 amikor a test nekimegy? c./ Hogyan változnak az eredmények, ha a testet a lejtőn kezdetben nem lefelé, hanem felfelé indítjuk el? a./ A lejtőn mivel a súrlódás elhanyagolható érvényes az energia-megmaradás, abból számolhatjuk a test v 1 sebességét a lejtő aljában. A 30 -os lejtőn h=0,5 sin30 =0,25 m magasról indul a test. Ha a potenciális energia zéruspontját a lejtő aljába rakjuk, akkor ½ m v 2 2 0 + mgh = ½ m v 1 azaz ½ 0,5 2 2 2 + 0,5 10 0,25 = ½ 0,5 v 1 v 1 = 3 m/s A vízszintes síkon munkatételt alkalmazhatunk: E kin = W: 0 ½ m v 1 2 = µmg s s = v 1 2 /(2µg) = 3 2 /4 = 2,25 m b./ v 1 = 3 m/s most is a rugóig s 1 =1,25 m-en a test a súrlódás miatt v 2 sebességre lassul, ami munkatétellel ½ m v 2 2 ½ m v 1 2 = µmg s 1 v 2 = v, 2μgs, = 2 m/s A rugó maximális összenyomódását energia-megmaradással számolhatjuk a test+rugó rendszer mechanikai energiájából: ½ m v 2 2 + 0 = + ½ k x 2 vagy munkatétellel a rugó által a testen végzett munkából: 0 ½ m v 2 2 = ½ k x 2 x = mv /k = 0,5 2 /8 = 0,5 m c./ sehogy, mert energia-megmaradásból látszik, hogy a kezdeti állapotban a test mozgási független attól, hogy a test felfelé vagy lefelé mozog 2012 iv 5. Asztallaphoz rögzített rugó nyugalmi állapotban éppen az asztal széléig ér. 14 cm-rel összenyomjuk, majd cérnával összekötjük (megfeszített állapotban). A rugó ilyen megfeszítéséhez 4,2 N erő szükséges. A végéhez egy 20 g-os golyót teszünk, majd elégetjük a cérnát. Az asztal 1,0 m magas. A súrlódás elhanyagolható. Töltsük ki az alábbi táblázatot: a rugó összenyomott állapotában a golyó asztal szélére való érkezésekor a golyó földre érkezésekor (a becsapódás előtt) a golyó mozgási a golyó+rugó rendszer potenciális a golyó+rugó rendszer összes mechanikai 2011 7. házi feladat Hosszú függőleges csőben rugó van elhelyezve, amelynek a cső falával való súrlódása elhanyagolható. A rugóra 10 g tömegű golyót helyezve 1 cm-rel összenyomódik. Mennyivel nyomódik össze a rugó, ha a golyót a rugó tetejétől számított 1 m magasságból ejtjük rá? 9 / 4

A rugóállandó k = mg / l 1 = 0,01 10 / 0,01 = 10 N/m. Írjuk fel az energia-megmaradást úgy, hogy a nehézségi erőtér potenciális energiájának zérus szintje a rugó tetejénél legyen (azaz amikor a rugó nincs összenyomva): mg H = mg ( l 2 ) + ½ k l 2 2, behelyettesítve 0,01 10 1 = 0,01 10 l 2 + ½ 10 l 2 2, azaz 5 l 2 2 0,1 l 2 0,1 = 0 aminek megoldása l 2 15,2 cm. 2013 7. házi feladat Egy l 0 = 30 cm hosszú, k = 20 N/m rugóállandójú rugó végére 35 dkg tömegű testet rögzítünk. A rugót függőlegesen lógatjuk fel és úgy engedjük el a testet, hogy az a rugó felfüggesztési pontjától 38 cm-re van. Töltsük ki az alábbi táblázatot! A nehézségi erő potenciális abban a magasságban legyen zérus, ami a rezgés egyensúlyi helyzete. A rezgés egyensúlyi helyzete x es = mg/k = 0,35 10/20 = 0,175 m, ami a rugó felfüggesztési pontjától 30+17,5 = 47,5 cm-re van; az amplitúdó A = 47,5 38 = 9,5 cm = 0,095 m, azaz a test 38 cm és 47,5+9,5 = 57 cm között rezeg. v max = Aω = A (/7 = 0,095 7,56 = 0,718 m/s. E kin, max = ½ 0,35 0,718 2 = 0,09025 J az egyensúlyi helyzetben; fent ill. lent E kin = 0. E pot = mgh : fent 0,35 10 0,095 = 0,3325 J, lent 0,3325 J, egyensúlyinál 0. A rugó megnyúlása fent 8 cm, az egyensúlyi helyzetben 8+9,5=17,5 cm, lent 8+2 9,5=27 cm, E pot,rugó = ½ kx 2 : fent ½ 20 0,08 2 = 0,064 J, lent ½ 20 0,27 2 = 0,729 J, az egyensúlyi helyzetnél ½ 20 0,175 2 = 0,30625 J A rugó + test rendszer mechanikai az eddigiek összege és állandó. a rezgés legfelső pontja a rezgés egyensúlyi helyzete a rezgés legalsó pontja a test mozgási a test helyzeti a rugó potenciális 0 0,3325 J 0,064 J 0,3965 J 0,09025 J 0 0,30625 J 0,3965 J 0 0,3325 J 0,729 J 0,3965 J a rugó+test rendszer mechanikai Egy harmonikus rezgőmozgást végző test összes E 0. Mekkora a potenciális energia az amplitúdó felének megfelelő kitérésnél? Hogy egy test a Földet elhagyhassa, kb. 11 km/s kezdeti sebességre van szüksége. Ha egy bolygóközi szondát 13 km/s sebességgel indítanak el, mekkora lesz a Földhöz viszonyított sebessége, amikor a Földtől már igen távol van? 2011 zh2 4.b) Vízszintes súrlódásmentes asztalon egyik végén rögzített, k = 10 N/m rugóállandójú, l = 24 cm hosszú rugó fekszik, és a végéhez van rögzítve egy m 1 = 40 dkg tömegű test. Az asztalon a rugó tengelyében nekilökünk egy m 2 = 20 dkg tömegű testet v = 1,2 m/s sebességgel. (A testek nem gurulnak, hanem súrlódásmentesen csúsznak az asztalon.) A két test tökéletesen rugalmasan ütközik. b) Mekkora lesz a rugó maximális összenyomódása? 9 / 5

Impulzusmegmaradás Impulzus: I = mv (vektor!) Impulzustétel: m n =op, F k a külső erők eredője. Zárt rendszer (ahol F k =0) impulzusa (időben) állandó. Az impulzustétel, -megmaradás alkalmazásának előnye, hogy nem kell ismernünk a belső erőket. Ütközések: - Tökéletesen rugalmatlan ütközés: a több testből egy test lesz, aminek a sebessége az ütközés előtti sebességekből az impulzus-megmaradást felírva számolható. Az energia nem marad meg, mivel a két test egybegyűrődésekor az energia egy része deformációs munka végzésére fordítódik. - Tökéletesen rugalmas ütközés: a több test az ütközés után külön-külön testként mozog, a sebességük meghatározásához az impulzus-megmaradáson kívül a mozgási energia megmaradását is felírhatjuk. Az impulzus-megmaradást az egyes irányokra külön-külön írjuk fel, a pozitív irányt megválasztva az azzal egyező irányú sebességeket pozitívnak, az ellentéteseket negatívnak véve. Több komponens (pl. szöget bezáró ütközés) esetén az energia-megmaradást nem kell komponensenként írni. 4 m hosszú, 40 kg tömegű csónak egyik végéből megy át a másikba egy 80 kg tömegű ember. Mennyit mozdul el a csónak a vízparthoz viszonyítva, ha mozgása a vízben jó közelítéssel közegellenállás-mentesnek tekinthető? MO: ld. a 6. hétnél 30 kg tömegű súrlódásmentes kiskocsin 40 kg tömegű gyerek ül, és van még a kocsin 2 db 5 kg tömegű tégla. A kocsi sebessége 2 m/s. A gyerek eldobja először az egyik téglát menetirányba, majd a másikat ellenkező irányba. A téglákat a kocsihoz képest 5 m/s sebességgel dobja el. Mekkora lesz a kocsi sebessége a második tégla eldobása után? És mekkora lesz a kocsi sebessége akkor, ha az első téglát dobja hátrafelé és a másodikat előrefelé? : ld. a 6. hétnél Rugalmas ütközés egy egyenes mentén: m tömegű testet u sebességgel nekilövünk egy álló M tömegű testnek. Határozzuk meg a két test ütközés utáni sebességét, és vizsgáljuk meg azokat a speciális eseteket, amikor a/ m = M; b/ m M; c/ m M. Mivel az ütközés tökéletesen rugalmas, a két testből álló rendszer össz-impulzusa és mozgási állandó: mu = mv + MV ½ mu 2 = ½ mv 2 + ½ MV 2 Az első egyenletből kifejezve v-t v = u (M/m)V, ennek négyzetét írjuk be a másodikba: mu 2 = m(u 2 (2M/m)uV+(M 2 /m 2 )V 2 ) + MV 2, amiből 2m V = u és m M v = u. m + M m + M Nézzünk meg speciális eseteket: 1. m = M (a két golyó egyforma tömegű) v = 0, V = u sebességet cserélnek 2. m<<m (nagy tömegű álló golyónak v -u, V 0 a kis golyó visszapattan, ütközik elhanyagolható tömegű golyó) 3. m>>m (elhanyagolható tömegű golyónak ütközik nagy tömegű golyó) v u, V 2u 9 / 6 a nagy meg se mozdul a nagy golyó változatlan sebességgel megy tovább, a kis golyó kétszer akkora sebességgel indul Ballisztikus inga (rugalmatlan ütközés): l hosszú fonálon lógó M tömegű zsákba vízszintes u sebességgel belelövünk egy m tömegű testet, ami benne ragad a zsákban, és azzal együtt ϕ szöggel kilendül. Mekkora volt az u sebesség? Az ütközés tökéletesen rugalmatlan, és az ütközés során külső erő nem hat a zsák + lövedék rendszerre, tehát össz-impulzusuk állandó: mu = (M+m) v v = u m/(m+m) Innen energiamegmaradással az emelkedés magassága ½ (M+m) v 2 = (M+m) gh h = v 2 / 2g = u 2 m 2 /[2g(M+m) 2 ] és az ehhez tartozó szög h = l (1 cosϕ) cosϕ = (l-h)/l = 1 h/l = 1 u 2 m 2 /[2gl(M+m) 2 ]

2011 zh2 4.a) Vízszintes súrlódásmentes asztalon egyik végén rögzített, k = 10 N/m rugóállandójú, l = 24 cm hosszú rugó fekszik, és a végéhez van rögzítve egy m 1 = 40 dkg tömegű test. Az asztalon a rugó tengelyében nekilökünk egy m 2 = 20 dkg tömegű testet v = 1,2 m/s sebességgel. (A testek nem gurulnak, hanem súrlódásmentesen csúsznak az asztalon.) A két test tökéletesen rugalmasan ütközik. a) Mekkora lesz az m 1 tömegű test sebessége az ütközés után? a) Az ütközés tökéletesen rugalmas, tehát megmarad az impulzus és az energia is. Impulzus-megmaradás: m 2 v = m 1 v 1 + m 2 v 2. Energia-megmaradás: m 2 v 2 /2 = m 1 v 2 1 /2 + m 2 v 2 2 /2. Ezt az egyenletrendszert megoldva v 1 -re és v 2 -re: v = s s G s G M s v= 0,4 m/s és v, = s s G M s v=0,8 m/s. 2011 pótzh2 2. Jancsi ül egy kis kocsiban két téglával, és úgy akarja elindítani a kocsit, hogy a téglákat kidobja a kocsiból. Jancsi tömege 48 kg, a kocsié 12 kg, egy tégláé 4 kg. Jancsi a kocsihoz képest 3 m/s-os sebességgel tudja eldobni a téglákat. A kocsi súrlódásmentesen mozoghat. Mekkora lesz a sebessége a két tégla kidobása után, ha azokat a/ egyszerre, b/ egymás után dobja ki? impulzus-megmaradást felírva, a tégla sebességét véve pozitív iránynak a/ (48+12+2 4) 0 = 2 4 3 + (48+12) v v = 24/60 = 0,4 m/s b/ (48+12+2 4) 0 = 4 3 + (48+12+4) v 1 v 1 = 12/64 = 0,1875 m/s (48+12+4) v 1 = 4 (v 1 +3) + (48+12) v 2 v 2 = ( 12 11,25)/60 = 0,3875 m/s. 2012 pótzh2 2. a)b) mint a 2011 pótzh2 2. c/ Ha egymás után dobja ki a téglákat, mennyi Jancsi mozgási energiájának változása az első és a második tégla kidobása utáni állapotokat összehasonlítva? c/ E kin = ½ m J (v 2 2 v 1 2 ) = 0,5 48 (0,3875 2 0,1875 2 ) = 2,76 J 2012 iv 4. Jancsi ül egy kis kocsin. A kocsi állandó 4 m/s sebességgel megy. Jancsinak van egy téglája a kocsin. Kipróbálja, mennyit tud változtatni a kocsi sebességén azzal, ha kidobja a téglát a kocsiból. Jancsi tömege 48 kg, a kocsié 12 kg, a tégláé 4 kg. Jancsi a kocsihoz képest 5 m/s-os sebességgel tudja eldobni a téglát. A kocsi súrlódásmentesen mozoghat. Mekkora lesz a kocsi sebessége a tégla kidobása után, ha azt a/ menetirányban előrefelé b/ hátrafelé dobja ki Jancsi? c/ Mennyi Jancsi mozgási energiájának változása az a/ ill. b/ esetben, a tégla kidobása előtti ill. utáni állapotokat összehasonlítva? 2012 zh2 1. Hókuszpók maga nem síel, de kiment leskelődni a síelő törpök után. A hegy aljában sétálgat a vízszintes mezőn, amikor egy lavina megindul a hegyről. Meglátja, hogy egy óriási, 110 kg tömegű hógömb tart feléje 12 m/s sebességgel. Megpróbál elfutni előle. 8 m/s sebességgel fut, merthogy annál gyorsabban nem tud, - így aztán a lavina utoléri őt. 9 / 7

A lavina elragadja Hókuszpókot; ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy Hókuszpók a hógömbbel tökéletesen rugalmatlanul ütközik. Hókuszpók tömege 50 kg. a./ Mennyi lesz a hógömb sebessége, miután bekebelezte Hókuszpókot? Az alábbi kérdésekre a válaszokat előjellel együtt adjuk meg: b./ Mennyi Hókuszpók impulzusának változása a lavinával való találkozásakor? Mennyi a hógömb impulzusának változása? Mennyi a Hókuszpók+lavina rendszer impulzusának változása? c./ Mennyi Hókuszpók mozgási energiájának változása a lavinával való találkozásakor? Mennyi a hógömb mozgási energiájának változása? Mennyi a Hókuszpók+lavina rendszer mozgási energiájának változása? a./ m hg v hg + M HP V HP = (m hg +M HP )U U = (m hg v hg +M HP V HP )/(m hg +M HP ) = (110 12+50 8)/(110+50) = 10,75 m/s b./ I HP = M HP (U V HP ) = 50 (10,75 8) = +137,5 kgm/s I hg = m hg (U v hg ) = 110 (10,75 12) = 137,5 kgm/s és I össz = 0 c./ E kin,hp = ½ M HP (U 2 V HP 2 ) = ½ 50 (10,75 2 8 2 ) = +1289,0625 J E kin,hg = ½ m hg (U 2 v hg 2 ) = ½ 110 (10,75 2 12 2 ) = 1564,0625 J E kin,össz = E kin,hp + E kin,hg = 1289,0625 15674,0625 = 275 J Miért nehezebb egy kisebb tömegű csónakból kiugrani a partra, mint egy nagyobb tömegű hajóból? A kérdés az, hogy mekkora munkával tudjuk magunkat és a csónakot felgyorsítani az álló helyzetből az ugrás sebességére. A munkatételt használva W = E kin = E kin ugráskor 0 M a csónak tömege, V lesz a csónak sebessége, m az ember tömege, v lesz a csónak sebessége, ezzel W = ½ MV 2 + ½ mv 2 Másrészt, mivel csak belső erő fog hatni (amikor elrugaszkodunk a csónakról), ezért az ember+csónak rendszer impulzusa állandó marad, méghozzá zérus, mert kezdetben nyugalomban voltak: MV + mv = 0 Innen V = m/m v és W = ½ M ( m/m v) 2 + ½ mv 2 = = ½ m ( 1 + m/m) v 2, vagyis minél nagyobb az m/m hányados, annál nagyobb munkát kell befektetni ahhoz, hogy egy bizonyos v sebességre felgyorsítsuk magunkat. A 6. heti anyagban volt: Egy 7 kg-os lövedék pályájának legfelső pontján, a kilövés után 3 s-mal két darabra robban szét. A robbanás egy, a kilövési ponttól 1200 m távolságban tartózkodó őrmester feje fölött történt, majd a robbanás után 1 s-mal egy 2 kg- os repeszdarab az őrmester lába elé esett. A kilövés helyétől milyen távolságban keressék a másik repeszdarabot? MO A 8-as úton 108 km/h sebességgel megy egy 8 tonnás kamion, mögötte 18 m-rel szintén 108 km/h sebességgel egy 1 tonnás személyautó. A kamionos meglát egy őzet és elkezd fékezni. Az út nedves, a kamion csúszni kezd és µ = 0,9 - es súrlódási együtthatóval fékeződik. Az autó vezetője elbóbiskolt, nem fékez. a) Mennyi idő alatt éri utol az autó a kamiont? b) Mekkora ekkor a kamion sebessége? Az autó a kamionnal tökéletesen rugalmatlanul ütközik. c) Mennyi lesz az összetapadt roncs sebessége az ütközés után? d) Mennyi az autó impulzusának változása az ütközés során? Mennyi a kamioné? Mennyi az autó + kamion rendszer teljes impulzusának változása? e) Mennyi az autó mozgási energiájának változása az ütközés során? Mennyi a kamioné? Mennyi az autó + kamion rendszer teljes mozgási energiájának változása? 9 / 8

2011 iv zh 5. Jancsi és Juliska állnak a jégen egymástól 12 m-re, fogják egy kötél két végét. Jancsi 35 kg, Juliska 25 kg tömegű. ((Hol van a tömegközéppontjuk az őket összekötő egyenes mentén, ha Jancsi 35 kg, Juliska 25 kg tömegű?)) Jancsi hirtelen elkezdi húzni a kötelet. Egy pillanat alatt felgyorsulva mindketten súrlódásmentesen csúszni kezdenek egymás felé állandó sebességgel. Jancsi sebessége 1,5 m/s. a/ Mennyi Juliska sebessége? b/ Milyen távol lesznek egymástól, amikor Jancsi 3 m-t csúszott? c/ Mekkora munkát végzett Jancsi, amikor a kötél meghúzásával mozgásba hozta saját magát és Juliskát? Amikor összeütköznek, az ütközésük tökéletesen rugalmatlan ütközésnek tekinthető (összekapaszkodnak, nem eresztik el egymást). d/ Mennyi lesz a közös sebességük ütközés után? e/ Mennyi Juliska impulzusának változása az ütközés során? Az ütközésük 0,05 s-ig tartott. f/ Mekkora erő hatott Juliskára, ha feltesszük, hogy ütközéskor a köztük ható erő állandó volt? g/ Hány g gyorsulást jelentett ez Jancsinak? a/ impulzus-megmaradással (mivel csak belső erő hat) m Jancsi v Jancsi = m Juliska v Juliska v Juliska = 2,1 m/s ( ha Jancsi sebessége pozitív ) b/ s Juliska / s Jancsi = v Juliska / v Jancsi, amíg Jancsi s Jancsi = 3 m-t tesz meg, addig Juliska s Juliska = 4,2 m-t, tehát a távolság köztük d = 12 (3+4,2) = 4,8 m c/ munkatétellel W = E kin = (½ m Jancsi v Jancsi 2 0 ) + (½ m Juliska v Juliska 2 0) = 94,5 J d/ impulzus-megmaradással (mivel csak belső erő hat) m Jancsi v Jancsi + m Juliska v Juliska = 35 1,5 + 25 ( 2,1) = 0 e/ I = 25 ( 0 ( 2,1) ) = 52,5 kgm/s (vagy negatív, ha a sebességek előjele fordított volt) f/ F = I / t = 52,5/0,05 = 1050 N a köztük ható erő nagysága. g/ a Jancsi = F / m Jancsi = 1050 / 35 = 30 m/s 2, ami 3g! 9 / 9