Modern irányzatok a bonyolultságelméletben: éles korlátok és dichotómia tételek

Hasonló dokumentumok
Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.

Logika és számításelmélet. 11. előadás

Algoritmusok bonyolultsága

definiálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként.

Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése

Gráf csúcsainak színezése. The Four-Color Theorem 4 szín tétel Appel és Haken bebizonyították, hogy minden térkép legfeljebb 4 színnel kiszínezhető.

Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3

Deníciók és tételek a beugró vizsgára

Bonyolultságelmélet. Monday 10 th October, 2016, 17:44

Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:50

Számítógép és programozás 2

Bonyolultságelmélet gyakorlat 06 Gráfos visszavezetések II.

Diszkrét matematika 2.

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:28

Algoritmuselmélet 18. előadás

Gráfelméleti feladatok programozóknak

Approximációs algoritmusok

Gráfszínezési problémák és ütemezési alkalmazásaik

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Algoritmusok Tervezése. 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás

Ramsey-féle problémák

Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei

Bonyolultságelmélet. Thursday 1 st December, 2016, 22:21

Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:27. Bonyolultságelmélet

Algoritmuselmélet. Hashelés. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

SzA X/XI. gyakorlat, november 14/19.

Kvantum-számítógépek, univerzalitás és véges csoportok

Bevezetés a bonyolultságelméletbe gyakorlatok I. A(0, y) := y + 1 y 0 A(x, 0) := A(x 1, 1) x 1 A(x, y) := A(x 1, A(x, y 1)) x, y 1

1. Alapfogalmak Algoritmus Számítási probléma Specifikáció Algoritmusok futási ideje

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János

Algoritmuselmélet 11. előadás

Algoritmusok bonyolultsága

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2.

Algoritmusok bonyolultsága

Az informatika elméleti alapjai 2 elővizsga december 19.

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Hasonlósági keresés molekulagráfokon: legnagyobb közös részgráf keresése

ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára

Általános algoritmustervezési módszerek

A Számítástudomány alapjai

NP-teljesség röviden

Síkbarajzolható gráfok Április 26.

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára. Ramsey-gráfok

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

Diszkrét matematika II. gyakorlat

Diszkrét matematika 2.

Logika és számításelmélet. 12. előadás

Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra:

10. Előadás P[M E ] = H

Logika és számításelmélet

Nagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.

Diszkrét matematika 2.

Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y.

Gráfalgoritmusok ismétlés ősz

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)

ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára

Dijkstra algoritmusa

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus

Közösségek keresése nagy gráfokban

Tesztkérdések az ALGORITMUSELMÉLET tárgyból, 2001/ félév

Diszkrét matematika 2.C szakirány

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 10. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

A Condorcet-paradoxon egy valószínűségi modellje

HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör. Forrás: (

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Bonyolultságelmélet feladatok

Síkbarajzolható gráfok, duális gráf

Diszkrét matematika II. feladatok

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból

Online migrációs ütemezési modellek

KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára. Klikkek gráfokban-1. Definíció. Egy G gráfban egy K V(G) csúcshalmazt klikknek nevezünk, ha K

Turing-gépek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz VIII. Friedl Katalin BME SZIT március 18.

Teljesítmény Mérés. Tóth Zsolt. Miskolci Egyetem. Tóth Zsolt (Miskolci Egyetem) Teljesítmény Mérés / 20

HAMILTON ÚT: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó út

Gépi tanulás. Hány tanítómintára van szükség? VKH. Pataki Béla (Bolgár Bence)

Gráfelméleti alapfogalmak

Megerősítéses tanulás 7. előadás

Számításelmélet. Második előadás

Boros Endre. Rutgers University. XXXII. MOK Június 14.

Számításelmélet. Will június 13. A kiszámíthatóság fogalma és a Church-Turing tézis

A számítástudomány alapjai

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 11. Előadás. Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor november 29.

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Átírás:

Modern irányzatok a bonyolultságelméletben: éles korlátok és dichotómia tételek Marx Dániel Paraméteres Algoritmusok és Bonyolultság Kutatócsoport Informatikai Kutatólaboratórium SZTAKI 05. június 5.

Kombinatorikus keresési problémák A feladat az adott bemenethez tartozó exponenciálisan nagy megoldástérből a legjobb megoldás kiválasztása. Input Algoritmus Output Legrövidebb út Utazóügynök-probléma Logikai formulák kielégíthetősége Korlátkielégítési problémák Ütemezési problémák Mintaillesztési problémák Hálózattervezés...

Kombinatorikus keresési problémák A feladat az adott bemenethez tartozó exponenciálisan nagy megoldástérből a legjobb megoldás kiválasztása. Input Algoritmus Output Ez a terület nem foglalkozik olyan problémákkal ahol pl. folyamatosan érkező bemenetekre folyamatosan válaszolni kell, a bemenethez való hozzáférés költséges, a bemenet nem teljesen ismert, véletlen változókat tartalmaz.

Hatékony algoritmusok Legrosszabbeset-analízis: a maximális futási idő meghatározása n hosszú bemeneten. Szeretjük: lineáris idő, O(n). Nem szeretjük: exponenciális idő, O(n). Elméleti szempontból rendkívül fontosak a polinom időben n O() megoldható problémák. Legrosszabbeset-analízis helyett lehetne vizsgálni átlagos futási időt véletlenszerű bemeneteken, futási időt gyakorlatban előforduló bemeneteken.

P? = NP Az NP-teljesség elmélete erős bizonyítékot nyújt arra, hogy bizonyos problémákra nem létezik polinom idejű algoritmus. [NP = Nemdeterminisztikus Polinomidő] Több ezer problémáról mutatták meg, hogy NP-teljes. Pl. leghosszabb út keresése, utazóügynök-probléma gráfszínezés logikai formulák kielégíthetősége

P? = NP Az NP-teljesség elmélete erős bizonyítékot nyújt arra, hogy bizonyos problémákra nem létezik polinom idejű algoritmus. [NP = Nemdeterminisztikus Polinomidő] Több ezer problémáról mutatták meg, hogy NP-teljes. Pl. leghosszabb út keresése, utazóügynök-probléma gráfszínezés logikai formulák kielégíthetősége Ha bármelyik NP-teljes problémára létezik polinom idejű algoritmus, akkor az összesre is létezik! P = NP: összes ilyen problémára létezik polinom idejű algoritmus és sok másra is! P NP: NP-teljes problémákra nem létezik polinom idejű algoritmus.

5 Az NP-teljesség csak azt mondja, hogy (valószínűleg) nem létezik polinom idejű algoritmus a problémára! Nem derül ki, hogy Létezik-e a O(n) idejű nyers erő módszer helyett pl. O( n) idejű algoritmus? Esetleg n O(log n) vagy n O(log log n) idejű? Létezik-e olyan polinom idejű algoritmus, amely az optimálisnál 0,%-al rosszabb eredményt ad? Létezik-e olyan algoritmus a Klikk problémára, amelynek a futási ideje polinomiális a gráf méretében, de exponenciális a keresett klikk méretében? Ezen kérdések megválaszolására a P NP sejtésnél erősebb hipotézisek szükségesek!

6 Exponential-Time Hypothesis (ETH) Sat probléma: adott egy n változós CNF Boole formula pl. (x x x ) ( x x x 5 ) (x x x 5 ), adjunk változóknak értékeket úgy, hogy a formula igaz legyen. Triviális algoritmus: n próbálkozás Legjobb felső korlát: O(,070 n ) [Hertli 0]. [Impagliazzo, Paturi, Zane 00] fogalmazta meg a következő sejtést és vizsgálta következményeit: Exponential-Time Hypothesis (ETH): az n változós Sat problémára nem létezik o(n) idejű algoritmus.

Utazóügynök-probléma Utazóügynök-probléma (TSP): adottak a távolságok n város között, keressük az összes várost meglátogató legrövidebb körutat. Nyers erő: O(n!) lépés. Dinamikus programozás: O(n n ) lépés [Bellman 96]. Ha ETH igaz, nincs o(n) idejű algoritmus. http://xkcd.com/99/ 7

8 Utazóügynök-probléma síkgráfokon Úthálózatok többé-kevésbé tekinthetők síkbarajzolható gráfoknak. Síkgráfokon a probléma megoldható O( n) időben. Ha ETH igaz, nincs o( n) idejű algoritmus. Az algoritmus jelentős mértékben kihasználja a síkgráfok szerkezetét.

8 Utazóügynök-probléma síkgráfokon Úthálózatok többé-kevésbé tekinthetők síkbarajzolható gráfoknak. Síkgráfokon a probléma megoldható O( n) időben. Ha ETH igaz, nincs o( n) idejű algoritmus. Az algoritmus jelentős mértékben kihasználja a síkgráfok szerkezetét. Klasszikus tény: Minden n csúcsú síkgráfnak van O( n) méretű kiegyensúlyozott szeparátora. n/ n n/

8 Utazóügynök-probléma síkgráfokon Úthálózatok többé-kevésbé tekinthetők síkbarajzolható gráfoknak. Síkgráfokon a probléma megoldható O( n) időben. Ha ETH igaz, nincs o( n) idejű algoritmus. Az algoritmus jelentős mértékben kihasználja a síkgráfok szerkezetét. Klasszikus tény: Minden n csúcsú síkgráfnak van O( n) méretű kiegyensúlyozott szeparátora. Modern nyelven: Minden n csúcsú síkgráfnak O( n) a favastagsága (treewidth). n c, d, f n/ n n/ b, c, f d, f, g a, b, c b, e, f g, h

Utazóügynök-probléma síkgráfokon Ha az úthálózat síkgráf lenne, valójában akkor sem akarnánk az összes kereszteződést meglátogatni. Pontosabb kérdés: egy n csúcsú síkgráfban k kijelölt csúcsot kell meglátogatni a lehető legrövidebb körúton (k n) 9

0 Paraméteres bonyolultság Alapgondolat: A futási időt az input mérete n és az input valamilyen fontos k paraméterének a függvényében elemezzük. A cél a kombinatorikus robbanást k-ra korlátozni. Példák a paraméterre: a kívánt megoldás mérete bizonyos objektumok száma a tér dimenziója... Definíció Egy probléma fixed-parameter tractable (FPT), ha megoldható f (k) n O() időben, ahol f egy tetszőleges (csak k-tól függő) függvény.

Paraméteres bonyolultság Az alábbi összes probléma megoldható nyers erővel n O(k) időben, de valójában FPT és megoldható O(k) n O() időben is: k hosszú út keresése k hosszú kör keresése összes él lefogása k csúccsal k diszjunkt elemű halmaz kiválasztása legrövidebb Steiner fa k pont összekötésére...... és ETH mellett ezekre a problémákra nem létezik o(k) n O() idejű algoritmus!

Paraméteres bonyolultság Az alábbi összes probléma megoldható nyers erővel n O(k) időben, de valójában FPT és megoldható O(k) n O() időben is: k hosszú út keresése k hosszú kör keresése összes él lefogása k csúccsal k diszjunkt elemű halmaz kiválasztása legrövidebb Steiner fa k pont összekötésére...... és ETH mellett ezekre a problémákra nem létezik o(k) n O() idejű algoritmus! n k idő: reménytelen nagy n és pl. k = 60 esetén., k n: akár lehet hatékony nagy n és k = 60 esetén is (, 60 7.000.000).

Paraméteres bonyolultság Az alábbi összes probléma megoldható nyers erővel n O(k) időben és ha ETH igaz, akkor ezekre a problémákra nem létezik n o(k) idejű algoritmus: k méretű klikk keresése k diszjunkt halmaz keresése egy halmazrendszerben k darab egymástól d távolságra lévő csúcs kiválasztása k központ kiválasztása, amitől a gráf összes csúcsa d távolságra van...

Technikák Gráfminorok Kernelizálás Algebrai módszerek Színkódolás Favastagság Iterált tömörítés

Színkódolás (Color Coding) k-út Bemenet: Kimenet: G gráf, k egész. egy k hosszú út a gráfban. A probléma NP-nehéz, mivel tartalmazza Hamilton Út problémát speciális esetként. Tétel [Alon, Yuster, Zwick 99] A k-út probléma megoldható O(k) n O() idõben.

5 Színkódolás (Color Coding) Tekintsük a gráf csúcsainak egy véletlenszerű színezését k színnel.

5 Színkódolás (Color Coding) Tekintsük a gráf csúcsainak egy véletlenszerű színezését k színnel. 5

5 Színkódolás (Color Coding) Tekintsük a gráf csúcsainak egy véletlenszerű színezését k színnel. 5 Keressünk k színezésű utat; a válasz IGEN vagy NEM. Ha nincs k hosszú út: nincs k színezésű út NEM. Van legalább egy k hosszú út: k k valószínűséggel k lesz a színezése IGEN.

6 Hibavalószínűség Hasznos tény Ha a siker valószínűsége legalább p, akkor annak a valószínűsége, hogy /p ismétlés után sem lesz IGEN a válasz legfeljebb ( p) /p < ( e p) /p = /e 0,8

6 Hibavalószínűség Hasznos tény Ha a siker valószínűsége legalább p, akkor annak a valószínűsége, hogy /p ismétlés után sem lesz IGEN a válasz legfeljebb ( p) /p < ( e p) /p = /e 0,8 Vagyis ha p > k k, akkor a hiba valószínűsége k k ismétlés után legfeljebb /e. Az egész algoritmust konstans sokszor megismételve a hiba valószínűsége levihető tetszőlegesen kicsi konstansra. Pl. 00 k k véletlen színezés után a hibás válasz valószínűsége legfeljebb /e 00.

7 k színezésű út keresése 5 5 5 5 Nemszomszédos színeket összekötő élek feleslegesek. A maradék éleket irányítsuk a nagyobb szín felé. A feladat annak ellenőrzése, hogy van-e irányított út az -es színosztálytól a k-as színosztályig.

7 k színezésű út keresése 5 5 5 5 Nemszomszédos színeket összekötő élek feleslegesek. A maradék éleket irányítsuk a nagyobb szín felé. A feladat annak ellenőrzése, hogy van-e irányított út az -es színosztálytól a k-as színosztályig.

7 k színezésű út keresése 5 5 5 5 Nemszomszédos színeket összekötő élek feleslegesek. A maradék éleket irányítsuk a nagyobb szín felé. A feladat annak ellenőrzése, hogy van-e irányított út az -es színosztálytól a k-as színosztályig.

7 k színezésű út keresése 5 5 5 5 Nemszomszédos színeket összekötő élek feleslegesek. A maradék éleket irányítsuk a nagyobb szín felé. A feladat annak ellenőrzése, hogy van-e irányított út az -es színosztálytól a k-as színosztályig.

7 k színezésű út keresése 5 5 5 5 Nemszomszédos színeket összekötő élek feleslegesek. A maradék éleket irányítsuk a nagyobb szín felé. A feladat annak ellenőrzése, hogy van-e irányított út az -es színosztálytól a k-as színosztályig.

8 Color Coding k-út Színkódolás siker valószínűsége: k k k színezésű út keresése polinom időben megoldható

9 Négyzetgyök-jelenség síkgráfokon Síkgráfokon gyakran sokkal hatékonyabb algoritmusokat tudunk találni és legtöbbször k szerepel a futási időben. O( k) n O() idő n O( k) idő k hosszú út k független csúcs k független háromszög összes él lefogása k csúccsal... k csúcs egymástól d távolságra k csúcs akiktől minden csúcs d távolságra van k terminál elválasztása minimális számú él törlésével... és ETH mellett ezekre a problémákra nem létezik o( k) n O() ill. n o( k) algoritmus!

0 Utazóügynök-probléma síkgráfokon Nyers erő: k! n O() lépés. Dinamikus programozás: k n O() lépés [Bellman 96]. Síkgráfokra: O( k) n O() [Klein M. 0] Ha ETH igaz, nincs o( k) n O() idejű algoritmus síkgráfokon.

Dichotómia tételek Minden problémának vannak könnyű és nehéz speciális esetei. Cél: a speciális esetek szisztematikus vizsgálata, az összes könnyű és az összes nehéz speciális eset felderítése. Dichotómia tétel: egy végtelen problémacsalád összes tagjáról megállapítjuk, hogy könnyű (pl. polinom időben megoldható) vagy nehéz (pl. NP-teljes). Két fő terület, ahol ilyen vizsgálatok történtek: Logikai (Satisfiability) és korlátkielégítési (CSP) problámák: milyen típusú feltételek teszik nehézzé a problémát? Gráfproblémák: milyen gráfok/gráfosztályok teszik nehézzé a problémát?

Logikai formulák Feladat: 0- változókon adottak logikai feltételek, úgy kell értékeket adni a változókat, hogy az összes feltétel teljesüljön. Ez lehet könnyű vagy nehéz, attól függően, hogy milyen formájúak a feltételek. x x : polinom időben megoldható (két színnel színezés) x x, x x, x x : polinom időben megoldható. (x x x ) x : polinom időben megoldható (Horn Sat). x x x, x x x : NP-teljes (Sat) x x x = : polinom időben megoldható (lineáris egyenletrendszer).

Logikai formulák Feladat: 0- változókon adottak logikai feltételek, úgy kell értékeket adni a változókat, hogy az összes feltétel teljesüljön. Ez lehet könnyű vagy nehéz, attól függően, hogy milyen formájúak a feltételek. x x : polinom időben megoldható (két színnel színezés) x x, x x, x x : polinom időben megoldható. (x x x ) x : polinom időben megoldható (Horn Sat). x x x, x x x : NP-teljes (Sat) x x x = : polinom időben megoldható (lineáris egyenletrendszer). Schaefer Dichotómia Tétele [Schaefer 978] Pontosan karakterizálja azokat a logikai feltételeket, amelyek mellett a probléma polinom időben megoldható és azokat, amelyek mellett a probléma NP-teljes.

Részgráf keresés Részgráf keresés Bemenet: H, G gráfok. Kimenet: G-nek egy H-val izomorf részgráfja. H G Ha H valamilyen gráfosztály, H-Részgráf Keresés probléma az a speciális eset, ahol a H mintagráf a H osztályba tartozik.

Részgráf Keresés speciális esetei Számos speciális esetről tudjuk, hogy NP-teljes: Klikk NP-teljes Teljes Páros Gráf NP-teljes k-út NP-teljes Háromszög Pakolás NP-teljes. P -Pakolás NP-teljes.

5 Párosítás probléma Párosítás keresése páros gráfban: polinom időben megoldható ( magyar módszer ) [Kőnig, Egerváry] A B Párosítás keresése általános gráfban: polinom időben megoldható [Edmonds 965]

6 Polinom időben megoldható esetek Néhány gráfosztály, amelyre a H-Részgráf Keresés polinom időben megoldható: H csak független éleket tartalmaz (párosítás) H csak csillagokat tartalmaz H csak szélmalmokat tartalmaz H csak hosszú csillagokat tartalmaz független élek csillag szélmalom hosszú csillag

Részgráf keresés Definíció Az H gráf osztály matching splittable ha létezik olyan c 0 konstans, hogy minden H H gráfból lehet törölni c csúcsot úgy, hogy utána minden összefüggő komponensnek csúcsa legyen. S Tétel [Jansen, M. 05] Legyen H egy csúcstörlésre nézve zárt gráfosztály. Ha H matching splittable, akkor a H-Részgráf Keresés probléma randomizált polinom időben megoldható, és minden más esetben NP-teljes. 7

8 Algoritmus Tétel [Jansen, M. 05] Legyen H egy csúcstörlésre nézve zárt gráfosztály. Ha H matching splittable, akkor a H-Részgráf Keresés probléma randomizált polinom időben megoldható. S S H G

Algoritmus Tétel [Jansen, M. 05] Legyen H egy csúcstörlésre nézve zárt gráfosztály. Ha H matching splittable, akkor a H-Részgráf Keresés probléma randomizált polinom időben megoldható. S S H G Theorem [Mulmuley, Vazirani, Vazirani 987] Legyen G egy gráf ahol az élek c színnel vannak színezve legyenek k,..., k c egészek. Létezik egy n O(c) idejű randomizált algoritmus annak eldöntésére, hogy van-e olyan párosítás, amely pontosan k i darab i színű élet tartalmaz. 8

9 NP-teljesség Lemma Legyen H egy csúcstörlésre nézve zárt gráfosztály amely nem matching splittable. Az alábbiak közül legalább az egyik igaz: H tartalmazza az összes klikket. H tartalmazza az összes teljes páros gráfot. H tartalmazza az n háromszögből álló gráfot minden n -re. H tartalmazza az n kétélű útból álló gráfot minden n -re. H-Részgráf Keresés mind a négy esetben NP-teljes! Bizonyítás a Ramsey-tételen alapszik (minden kellően nagy gráf tartalmaz vagy nagy klikket vagy nagy független halmazt).

Részgráfok számlálása Részgráf Számlálás Bemenet: Kimenet: H, G gráfok. G-nek a H-val izomorf részgráfjainak a száma. Párosítások keresése könnyű, de az adott méretű párosítások megszámlálása NP-nehéz! [Valiant 979] Ha a H osztály csak csillagokat tartalmaz, akkor a H-Részgráf Számlálás polinom időben megoldható: végigpróbáljuk a középpont összes lehetséges elhelyezését (egy d fokú csúcson egy s fokú csillag pontosan ( d s) -szer jelenik meg). H G 0

Részgráfok számlálása Definíció Az H gráf osztálynak korlátos a csúcslefogási száma, ha létezik olyan c 0 konstans, hogy minden H H gráfban az összes élet le lehet fogni c csúcs törlésével. S Tétel Legyen H egy csúcstörlésre nézve zárt gráfosztály. Ha H-nek korlátos a csúcslefogási száma, akkor a H-Részgráf Számlálás probléma polinom időben megoldható [korábbi munkák], és minden más esetben NP-teljes [Curticapean, M. 0].

Részgráfok számlálása Ramsey-tétel újabb alkalmazása: Lemma Ha H egy csúcstörlésre zárt gráfosztály és nem korlátos a csúcslefogási száma, akkor legalább az egyik teljesül: H tartalmazza az összes klikket. H tartalmazza az összes teljes páros gráfot. H tartalmazza a független éleket tartalmazó gráfokat. H-Részgráf Számlálás NP-nehéz mindhárom esetben! Megjegyzés: az eredmény kiterjeszthető olyan osztályokra, amelyek nem zártak a csúcstörlésre nézve, de ez sokkal bonyolultabb eszközöket igényel.

Összefoglaló A polinom időben megoldható/np-teljes felosztásnál finomabb, kvantitatívabb kérdéseket is meg tudunk válaszolni. A P NP sejtés helyett erősebb hipotézisre van szükségünk: Exponential-Time Hypothesis (ETH) Paraméteres bonyolultság azt vizsgálja, hogy a bemenetnek pontosan melyik paramétere idézi elő az exponenciális robbanást. Dichotómia tételek pontosan feltérképeznek egy problémacsaládot, megtalálják az összes könnyű speciális esetet és az összes algoritmikus ötletet a területen.

Összefoglaló A polinom időben megoldható/np-teljes felosztásnál finomabb, kvantitatívabb kérdéseket is meg tudunk válaszolni. A P NP sejtés helyett erősebb hipotézisre van szükségünk: Exponential-Time Hypothesis (ETH) Paraméteres bonyolultság azt vizsgálja, hogy a bemenetnek pontosan melyik paramétere idézi elő az exponenciális robbanást. Dichotómia tételek pontosan feltérképeznek egy problémacsaládot, megtalálják az összes könnyű speciális esetet és az összes algoritmikus ötletet a területen. Köszönöm a figyelmet!