1 A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről Előző dolgozatunkban melynek címe: Megint a két csavarfelületről levezettük a cím - beli körös felület - család paraméteres egyenletrendszerét, majd ezt két esetre specializál - tuk is: az archimédeszi csőfelületre és a meridiánkör - felületre. Közben [ 1 ] - ből meg - tudtuk, hogy van egy harmadik fontos speciális eset is, melynek neve rétegkör ~ csavar - felület. Először ezekről lesz szó. Emlékeztetőül: a címbeli körös felület - család paraméteres egyenletrendszere, az 1. ábrá - ról azonosítható jelölésekkel: 1. ábra
2 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 1. Speciális eset: az Arkhimédész - féle csőfelület paraméteres egyenletrendszere Az ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) egyenletekben elvégezve a ( 4 ) helyettesítést, ahol α a csavarvonal menetemelkedési szöge, melyet a kifejtett csavarvonal egyenes képe alapján az alábbi egyenlettel írhatunk le 2. ábra : 2. ábra ( 5 ) és amelyben h a csavarvonal menetemelkedése / menetmagassága, R pedig az alapkör sugara: ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) 2. Speciális eset: a meridiánkör - csőfelület paraméteres egyenletrendszere Az ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) egyenletekben elvégezve a ( 9 ) helyettesítést, kapjuk, hogy
3 ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) 3. Speciális eset: a rétegkör - csavarfelület paraméteres egyenletrendszere Az ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) egyenletekben elvégezve a ( 13 ) helyettesítést, kapjuk, hogy ( 14 ) ( 15 ) ( 16 ) Másodszor: a felírt képletek könnyen átvihetők arra az esetre is, amikor az alkotó síkidom nem kör, hanem vízszintes nagytengelyű ellipszis. Ekkor r = konst. helyett egy vál - tozó rádiuszvektorral dolgozva ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) így íródik át, ha a és b az ellipszis fél nagy - és kistengelyének hossza: ( 17 ) ( 18) ( 19 ) ( 20 ) Az ellipszis ( 20 ) polárkoordinátás egyenletét már többször levezettük korábbi dolgozata - inkban; ld. pl.: Általános helyzetű ellipszis paraméteres egyenletrendszere c. írásunkat! A fenti három specializáció elvégzését az érdeklődő Olvasóra bízzuk. Megjegyzések: M1. A szakirodalomban láttuk a mondott csőfelület nevének többféle írásmódját; ~ [ 1 ] - ben ARKHIMÉDÉSZ - féle csőfelület, ~ [ 2 ] - ben archimedési csőfelület a használt elnevezés. M2. A 3. ábrán a 2. és a 3. speciális eset rajzi ábrázolása látható.
4 M3. A 4. ábrán csavart faoszlopok láthatók két jobb - és egy balmenetű. A rétegkör - csavarfelületekhez tartozó csavart oszlopról ezt olvashatjuk [ 4 ] - ben: Ha a felület tengelye a felületet leíró körön belül eső pontban metszi a kör síkját, akkor a keletkező felületet csavart oszlopnak nevezzük. forrás: [ 3 ], 286. o. forrás: [ 3 ], 291. o. 3. ábra 4. ábra forrása: http://www.ebay.de/itm/3-barock-korkenzieher-saulen-in-eiche-mit-kapitell- 170cm-Neo-Renaissance-ca-1900-/270975142162
5 Folytatva: most tekintsük az 5. ábrát! 5. ábra Ezen egy az előbbi vízszintes nagytengelyű ellipszishez képest Ψ szöggel elforgatott helyzetű ellipszist ábrázoltunk. Itt az x 1 tengely pozitív iránya megfelel az 1. ábrán az n csavarvonal - főnormális irányának. Az ellipszis egyenletei a ( Cx 1 y 1 ) k. r. - ben: ( 21 ) ahol itt is a ( 20 ) képlet szerinti mennyiség, C a csavarvonal egy pontja. Most a ( 17 ), ( 18 ), ( 19 ) egyenletek a rádiuszvektor x 1 és y 1 tengelyekre vett vetületeire vonatkozó cserével így változnak: ( 22 ) ( 23 ) ( 24 ) ( 20 ) A ( 20 ), ( 22 ), ( 23 ), ( 24 ) egyenletek írják le az általánosabb helyzetű ellipszis csavar - mozgása során előállított csavarfelületet.
6 Megemlítjük, hogy az 1. ábrán, ami az 1. speciális esetnek felel meg. Általában az x 1 tengely a csavarvonal egy C pontjához rendelt n főnormális - vektor irányú, az y 1 ten - gely azonban nem b ( binormális ) - irányú, csak az 1. speciális esetben. A ( 22 ), ( 23 ), ( 24 ) egyenletekbe Ψ = 0 - t helyettesítve előállnak a ( 17 ), ( 18 ), ( 19 ) egyenletek. Természetesen a ( 22 ), ( 23 ), ( 24 ) egyenletekben is elvégezhetjük a ( 4 ), ( 9 ) és ( 13 ) szerinti specializációkat. Ezt ismét rábízzuk az érdeklődő Olvasóra. Készítettünk egy saját axonometrikus képet is 6. ábra, egy az internetről kölcsönvett ábrázoló programmal, melynek forrása: http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/paramrec/psjun4finr.html 6. ábra Itt alkalmaztuk a ( 14 ), ( 15 ), ( 16 ) egyenleteket és az R = 2,5 ( cm ), r = 4,5 ( cm ), h = 2 ( cm ) adatokat. ( A mértékegység igazából lényegtelen itt. ) Érdekes megfigyelni, hogy a felületre rajzolt csavarvonalak menetemelkedési szöge válto - zó nagyságú. A menetemelkedési szög helyfüggését az alábbi képlet adja meg: ( 25 ) Ennek igazolására tekintsük a 7. ábrát!
7 7. ábra Itt az xy síkkal párhuzamos alkotókör kezdeti ( φ = 0 ) és egy közbenső ( φ > 0 ) helyzetét ábrázoltuk, a csavartengely irányából nézve, felülnézetben, és megjelöltük a kör egy ψ szögparaméterrel adott P pontjának kezdeti és közbenső helyzetét. Feltüntettük az OP = ρ P távolságot is, mert a P pont ekkora sugárral végzi a z - tengely körüli forgó mozgását. A ρ P távolság koszinusz - tétellel: ( 26 ) A P pont keringési sebességének v P ω nagysága: A P pont z - tengely menti haladó mozgása sebességének v z nagysága: ( 27 ) ( 28 ) A menetemelkedési szögre a P pontban: ( 29 ) most ( 26 ) és ( 29 ) - cel: ( 30 )
8 innen pedig ( 25 ) adódik. A ( 30 ) kifejezés legnagyobb értéke: innen: ( 31 ) Hasonlóan ( 30 ) legkisebb értéke: innen: ( 32 ) A ( 31 ) és ( 32 ) összefüggések jellege megfigyelhető a 6. ábra legfelső ábrázolt alkotó - körén, ahol a leghátsó csavarvonal érintője a legmeredekebb, a legelöl levőé pedig a leglaposabb. Számszerűen: ( a ) ( b ) A 6. ábra torzít; inkább a minőségi, mint a mennyiségi viszonyokról tájékoztat. A jobb áttekintést szolgálja a 8. ábra két, majdnem oldal - és felülnézeti képe. 8. ábra
9 Most még ábrázoljuk a ( 25 ) és a ( 26 ) összefüggéseket. A 9. ábra a ( 26 ) rádiusz - összefüggés polárkoordinátás rajzát mutatja. 9. ábra A 10. ábra a ( 25 ) menetemelkedési szög - összefüggés rajzi megjelenítése. 10. ábra
10 Leolvashatók róla az ( a ) és ( b ) eredmények is. Továbbá az is, hogy általában két körpontból induló csavarvonalnak ugyanaz a menetemelkedési szöge: az egyik ilyen körpont a P( ψ ), a másik a P ( ψ ) pont. Ez érthető, ha arra gondolunk, hogy a ( 25 ) és a ( 26 ) egyenletekben ekkor miatt ugyanaz az érték áll elő a megfelelő függvényeknél. Ezt a sajátosságot tükrözik a 9. és 10. ábrák egy tengelyre szimmetrikus függvény - képei is. Szakirodalom: [ 1 ] Hajdu Endre ~ H. Temesvári Ágota: Konstruktív geometria Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1995., 245 ~ 247. o. [2 ] Hoffmann Pál: Kábelipari kézikönyv I / 1. Prodinform Műszaki Tanácsadó Vállalat, Budapest, 1983., 280. o. [ 3 ] Gino Loria: Vorlesungen über Darstellende Geometrie 2.Teil, B. G. Teubner, Leipzig und Berlin, 1913. vagy: https://ia902205.us.archive.org/8/items/vorlesungenberd01schgoog/vorlesungenberd0 1schgoog.pdf [ 4 ] Strommer Gyula: Ábrázoló geometria 2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974., 536. o. Sződliget, 2016. 08. 13. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár