METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk. A mérés eredményt egy számmal (a mértékszámmal) és a mértékegységgel adjuk meg. A mérés történhet mérőeszközzel vagy műszerrel. A mérőeszközzel való mérésnél az objektum valamlyen tulajdonságát közvetlen összehasonlítással kapjuk meg (pl. ha hosszúságot méterrúddal vagy tömeget mérleggel mérünk). A műszerrel való mérés vszont közvetett, az objektum és a műszer valamlyen kölcsönhatásából kalbrálással adja meg a mérn kívánt mennység értékét. (Pl. az elektromos áram erősségét mérő Deprez-rendszerű ampermérőben a szögelfordulás az áram, a mágneses tér és a rugó kölcsönhatásának az eredménye, de a műszer skálája már áramerősségre van kalbrálva.) Sok esetben azonban nem s tudjuk a jellemezn kívánt mennységet közvetlenül mérn, hanem csak más, vele kapcsolatban álló mennységet, lletve mennységeket, és az ezekre kapott mérés eredményekből számítással kapjuk a kívánt adatot. Ekkor s mérésről - közvetett, lletve összetett mérésről beszélünk. A mérést megsmételve általában nem kapunk azonos mérés eredményeket. Egyrészt, mert a mérendő mennység változhat az dővel. De ha a mérendő mennység állandó s, a mérés eredményt a műszer állapota és a megfgyelést végző ember s befolyásolja. Jelöljük a mérn kívánt mennység valóságos értékét x-szel, a mérés eredményt x m -mel. A mérés hbája a mért érték és a valóságos érték különbsége: x = x m - x és a relatív hba: x = x / x A mérés megbízhatóságát elsősorban a műszer jellemző határozzák meg. A műszerek jellemző a./ Érzékenység: Meghatározza, hogy a mérendő mennység egységny változásához a műszerről közvetlenül leolvasható érték mlyen változása tartozk. Ez a műszerről leolvasható legksebb egységnek (skálarésznek) megfelelő mérendő mennység recproka. (Pl. ha egy mutatós ma-mérő végktérése 50 ma, skálája lneárs és 50 beosztású, a műszer érzékenysége 50 skr / 50 ma = 0, skr/ma, és a mutató egy skálarészny ktérése 5 ma áramnak felel meg.) Ha a skála nem lneárs, akkor az érzékenység függ attól, hogy mlyen érték közelében mérünk. b./ Pontosság: A mért és valód érték maxmáls lehetséges eltérése, a hba abszolút értékének maxmuma. c./ Reprodukálhatóság: A műszerrel történő smételt mérésekkel kapható mérés eredmények lehetséges maxmáls eltérése egymástól. 3

A mérések törvény szabályozása: A fzka mérések szabályat törvény szabályozza:1991: XLV. tv. A mérésügyrôl. Ez tartalmazza a hvatalosan elfogadott (többségében SI) mértékegységeket s. A mérés módszerek csoportosítása: A mérés során a mért mennységet jellemzõ számérték meghatározása a célunk. Ehhez elõzetesen rögzítenünk kell a számérték kfejezéséhez alapul vett mértékegységet. Az SI mértékegységrendszer használata 1976 óta hazánkban kötelezõ. A mérést mérõeszközökkel végezzük. A mérõeszközök a mértékek (pl. méterrúd, domszerek) és a mérõmûszerek (pl. ampermérõ). Mndegyk eszközrõl a mérés során a mért mennység számértékét valamlyen módon le tudjuk olvasn. A számérték és a mértékegység szorzata adja a mért mennységet: A mérendõ mennységhez tartozó számérték meghatározásának módja szernt analóg és dgtáls mérés módszerrõl beszélhetünk. Analóg mérés módszer: A mérendõ mennységekhez folytonosan változó mennységeket rendelünk hozzá (pl. egy mutató szögelfordulása). Teljes szgorúsággal ez csak deáls esetben teljesül. Dgtáls mérés módszer: A módszer a mérendõ mennységekhez egymástól adott lépésnagyságokkal különbözõ - kvantált - mennységeket rendel ( pl. egy számkjelzõ által mutatott számérték). Az analóg ll. a dgtáls mérés módra a súlymérés területérõl vegyünk egy példát. A háztartás személymérlegeken ( ez lényegében rugós mérleg) egy folytonosan elforduló tárcsáról olvashatjuk le a súlyt jellemzõ számértéket, analóg mérés módról van szó. A patkamérleg ( emelõkaros, egyenlõkarú mérleg) dgtáls mérés módot valósít meg, a lépésnagyságot a kegyensúlyozáshoz használt súlysorozat legksebb súlyú tagja szabja meg. Hbatípusok 4

Véletlen hba: A mérés eredmények a valóságos értéktől mndkét rányban azonos valószínűséggel, véletlenszerűen térnek el. Nagy számú mérés átlagát véve a véletlen hba tetszőlegesen csökkenthető. Rendszeres hba: A mérés eredmények a valóságos értéktől eltérő érték körül ngadoznak. Oka a hbás vagy rosszul beállított műszer, de rendszeres hbát okoz az s, ha elhanyagolunk vagy rosszul veszünk fgyelembe valamlyen, a mérést befolyásoló külső tényezőt (pl. hőmérsékletet vagy nyomást). A hbaszámítás alapja A hbaszámítás a valószínűségszámítás és matematka statsztka felhasználásával a mérés során fellépő véletlen hbák becslésére ad módot. Valószínűségszámítás alapfogalmak; a valószínűség sűrűség- és eloszlásfüggvény Méréssel nemcsak egyetlen objektum valamlyen állandó értékű sajátosságára kaphatunk számszerű értéket, hanem jellemezhetjük egy objektum olyan sajátosságát s, mely dőben vagy helyleg változk. Vagy jellemezhetünk egy olyan egyedekből álló sokaságot, melyekre nézve a mérendő tulajdonság különböző mértékű. Beszélhetünk a terem hőmérsékletéről, akkor s, ha a hőmérséklet a radátor mellett más mnt az ajtó mellett, éjszaka más mnt nappal. Vagy megadhatjuk az évfolyamon a hallgató lányok átlagos magasságát. Egy sokaság esetén az egyed mérések valamlyen átlaga lesz az egész sokaság jellemzője, de tsztáznunk kell, hogy értjük ezt az átlagot. A sokaságot jellemző számnak az egyedekre s jellemzőnek kell lenn valamlyen módon, a sokaságra vonatkozó adatból bzonyos mértékg meg kell tudnunk jósoln az egyed mérések eredményét, azaz a sokaság jellemzésénél azt s meg kell adnunk, hogy a megadott átlagérték körül adott valószínűséggel mlyen ntervallumban lesznek az egyes mérések eredménye. Hasonló a probléma a terem hőmérsékletének megadásánál s. Ha a terem hőmérséklete dőben változk, a termet különböző dőpontokban elképzelve teknthetjük sokaságnak, melynek eleme az egyes dőpontokban a terem pllanatny állapota, és ezekben az állapotokban mérhetjük az egyed hőmérséklet értékeket. De ha egy jól meghatározott, dőben állandó mennységet smételten mérünk, a műszer dőben különböző állapota, a műszer és a mért objektum, valamnt a környezet dőben változó kölcsönhatása matt az smételt mérés eredménye változn fognak. Ezek az elképzelt smételt mérések megnt egy sokaság elemenek teknthetők. Tételezzünk fel egy sokaságot, és egy, a sokaságon értelmezett mennységet. különböző értékeket vehet fel, de egyeseket nagyobb, másokat ksebb valószínűséggel. (Egy dáklány magasságát gyakran mérjük 160 és 170 cm között értéknek, és a terem hőmérséklete kevéssé valószínű, hogy -10 C alatt van.) Azt mondjuk, hogy valószínűség változó. Egy valószínűség változó lehet folytonos (mnt a magasság vagy hőmérséklet), és lehet dszkrét (mnt a kockadobálás eredménye). A sokaság lehet véges elemű (mnt a másodkos vegyészlányok sokasága), vagy végtelen elemű (mnt a terem állapota tetszőleges dőpontokban). Amkor mérünk, kválasztjuk egy egyedét a sokaságnak, és ezen végezzük el a mérést. Azt s mondhatjuk, hogy mntát veszünk a sokaságból és azon egy kísérletet végzünk. A kísérlet eredményes vagy skeres, ha azt kaptuk, amt vártunk, pl. 6-ost a kockadobálásnál. A skeres 5

kísérletet nevezzük eseménynek. Az esemény valószínűsége P: az összes lehetséges kedvező kmenetelű mntavétel, kísérlet száma (n k ) osztva az összes lehetséges kísérlet számával (N Ö ): P = n k / N Ö A valószínűséget pontos értékét meghatározhatjuk, ha van nformácónk az egész sokaságról, különben a sokaság több-kevesebb elemén végzett kísérlet alapján becsüljük P értékét. Legyen például a sokaság 100 skatulya gyufa, és a dszkrét valószínűség változó a gyufaszálak száma egy dobozban. Ha a 100-ból 10 dobozban van 40 szál gyufa, akkor annak az eseménynek a valószínűsége, hogy egy véletlenül kválasztott skatulyában pont 40 szál gyufát találjunk, P ( =40) = P (40) = 10 / 100 = 0,1. Ha a valószínűség változó folytonos, akkor csak azt kérdezhetjük, hogy egy bzonyos ntervallumba eső értéket mlyen valószínűséggel vehet fel. Pl. ha a valószínűség változó a lányok magassága, és az évfolyam 50 hallgatólányából 10-nek a magassága 160 és 170 cm közé esk, akkor annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kválasztott lány h magasságát 160 és 170 cm közöttnek találjuk: P (160<h<170) = 10 / 50 = 0,. Ismételjük meg a kísérletet N-szer, és tegyük fel, hogy n esetben kaptunk kedvező eredményt (pl. 40 szál gyufát a gyufaszámlálás kísérletben). Az esemény relatív gyakorsága: q = n / N Ha N nő, a relatív gyakorság a valószínűséghez tart: lm q N P Jelöljük a folytonos valószínűség változó aktuáls mért értékét x-szel. P (x < x < x + x) annak valószínűsége, hogy x értéke x és x + x közé essen. A P lm ( x x x x ) = f (x ) x x0 határérték a változó valószínűség sűrűsége x -nél, és f(x) eloszlásának valószínűség sűrűségfüggvénye vagy frekvenca függvénye. Annak valószínűsége, hogy x és x + x között értéket vegyen fel, közelítőleg P (x x x + x ) = f(x ) x, ha x elég kcs. Általában annak valószínűsége, hogy x 1 és x közé essen: P (x 1 x x ) = x x1 f( x) dx A valószínűség sűrűségfüggvény ntegrálja a valószínűség változó teljes értelmezés tartományára f( x' ) dx' P ( x ) 1. A valószínűség sűrűségfüggvény ntegrálfüggvényét valószínűség eloszlásfüggvénynek nevezzük és F(x)-szel jelöljük: 6

x F(x) = f( x' ) dx' F() = 1 F(x ) annak a valószínűsége, hogy a valószínűség változó értéke nem nagyobb, mnt egy adott x érték: P (x x ) = F(x ) Az eloszlásfüggvénnyel megadhatjuk annak a valószínűségét, hogy a valószínűség változó értéke x 1 és x közé esk: x x x1 P(x 1 x x )= f( x) dx f( x) dx f( x) dx F( x ) F( x ) x1 1 Összetett kísérlet eredményének valószínűsége Ha két mennységet, -t és -t mérünk egymás után, m a valószínűsége annak, hogy -re x-et, -ra y-t kapjunk eredményül? Ha N(y/x) azoknak az eseteknek a száma, amkor -ra y értéket kapunk, feltéve, hogy -re már x értéket kaptunk, akkor a valószínűség értelmezéséből N P(x,y) = lm ( y / x ) N lm ( y / x ) N( x) = P(y/x) P(x). N N N N( x) N P(y/x)-t feltételes valószínűségnek nevezzük. Ha az eredménye nem függ a változótól, akkor P(y/x) = P(y) és P(x,y) = P(x) P(y) változóra vonatkozó kísérlet Ebben az esetben a két esemény vagy kísérlet vagy valószínűség változó egymástól független. Független események valószínűsége szorzódnak, és ugyanez áll a valószínűség sűrűségfüggvényekre s. A mérést általában megsmételjük, hogy bztosabb eredményt kapjunk. Ilyenkor feltesszük, hogy az egyes méréseket egymástól függetlenül végeztük, hogy egy később mérés eredményét nem befolyásolja egy előző eredmény. Vgyázzunk, hogy ez tényleg teljesüljön! Nagyon gyakor a megsmételt mérés eredményének önkéntelen szubjektív torzítása! Az eloszlás paramétere, a mnta jellemző A valószínűség sűrűségfüggvényben szereplő konstansok és az azokból leszármaztatott mennységek az eloszlás paramétere. Amkor mntát veszünk a sokaságból és ezen a mntán mérést végzünk, a célunk az, hogy az eloszlásról kapjunk nformácót. Az eloszlásfüggvény alakja smert, vagy egy meghatározott függvénnyel közelítjük, a függvényben szereplő konstansokat vszont a mérésből akarjuk meghatározn, vagy megbecsüln. A mérés eredményekből az eloszlásparaméterekre kapott becsléseket nevezzük a mnta jellemzőnek. A mérés lehetséges kmenetele, a jövőbel mérés eredmény s valószínűség változó és így valamlyen valószínűség sűrűségfüggvény rendelhető hozzá. A mérésnél ténylegesen kapott 7

mérés eredmények vszont konkrét számok, melyekkel kapcsolatban már nncs értelme valószínűségről beszéln. A mntavételnél s beszélhetünk a majdan mntáról mnt sokaságról, melynek eleme -az elképzelt mérés eredmények- valószínűség változók. Ennek az elképzelt mntának mnt sokaságnak a jellemző szntén valószínűség változók lesznek. A következőkben az eloszlás paraméteret -melyek a sokaságra jellemzők- görög, a mnta jellemzőt pedg latn betűkkel fogjuk jelöln. A legfontosabb eloszlásparaméterek Legyen a sokaságon egy valószínűség változó (egy tulajdonsága a sokaság elemenek) értelmezve, melynek értékét x-szel jelöljük. a./ A várható érték Tételezzünk fel egy véges, N elemű sokaságot, melyen értelmezett valószínűség változó dszkrét értékeket vehet fel. Pl. legyen a sokaság 100 doboz gyufa és a valószínűség változó a gyufaszálak száma egy dobozban. Legyen értéke a sokaság n számú elemén x. Akkor x átlagértéke N x ( n x ) / N x P( x ), N 1 1 mvel P (x ) = n / N..13a-t általánosítva, tetszőleges eloszlásra defnálhatunk egy, az eloszlásra jellemző paramétert, az eloszlás várható értékét: Legyen az eloszlás dszkrét, de a sokaság nem feltétlenül véges; a valószínűség változó az x értéket P valószínűséggel vegye fel. Akkor a valószínűség változó várható értékén, E [x]-en a következő összeget értjük: E [x] = x P( x ) x, ahol az összegzés a sokaság összes elemére történk. Ha az eloszlás folytonos, és az eloszlás valószínűség sűrűségfüggvénye f(x), akkor a várható érték,.13 analógájára E [x] = x f(x) dx = x A valószínűség változó konstansszorosának várható értéke a várható érték konstansszorosa: E [cx] = cx f(x) dx = c x f(x) dx = c E [x] Két valószínűség változó, és összegének és szorzatának várható értékénél az összetett kísérlet valószínűségével kell számolnunk. Ha a valószínűség változók dszkrétek, annak valószínűsége, hogy a tulajdonságra x-et, az tulajdonságra y-t kapjunk mérés eredményül,.11 szernt P(x,y). Folytonos eloszlásnál a valószínűségeket a sűrűségfüggvénnyel határozzuk meg. Annak valószínűsége, hogy a tulajdonság mért értéke x és x + dx közé essen, és az tulajdonságé y és y + dy közé: 8

P (x x+dx, y y+dy) = h(x,y) dx dy és.1-nek megfelelően, ha a két valószínűség változó független, h(x,y) = f(x) g(y), vagys két, csak x-től, lletve csak y-tól függő sűrűségfüggvény szorzata. Két folytonos valószínűség változó összegének várható értéke a két várható érték összege: = E [x+y] = (x+y) h(x,y) dx dy = x ( h(x,y) dy) dx + y ( h(x,y) dx) dy = x f(x) dx + y g(y) dy = E [x] + E [y]. Két független valószínűség változó szorzatának várható értéke az egyes várható értékek szorzata: E [xy] = xy h(x,y) dx dy = xy f(x) g(y) dx dy = = x f(x) dx y f(y) dy = E [x] E [y] Ha a valószínűség sűrűségfüggvény szmmetrkus egy x 0 értékre, akkor y = x-x 0 várható értéke E [y] = 0, azaz az eredet várható érték éppen x 0 -lal egyenlő. (Bzonyítás: E [y] = y f(y) dy = 0 y f(y) dy + y f(y) dy, 0 és mvel a szmmetra matt f(y) = f(-y), így 0 y f(y) dy + y f(y) dy = - y f(-y) dy + y f(y) dy = 0. ) 0 b./ A medán és a módusz A eloszlás medánja ( e) a valószínűség változónak az az értéke, melynél ksebb és nagyobb érték s ugyanolyan valószínűségű, azaz ahol az eloszlásfüggvény értéke F( e) = 0,5. Az eloszlás módusza a sűrűségfüggvény maxmum helye. Szmmetrkus eloszlás várható értéke, medánja és módusza azonos. c./ A varanca A valószínűség változó értéke ksebb vagy nagyobb mértékben eltérhet a várható értéktől a sokaság elemen. A varanca ennek az eltérésnek a mértéke: Var [x] = (x- x) f(x) dx = E [(x- x) ] Változó konstansszorosának varancája a varanca szorozva a konstans négyzetével: Var [cx] = E [cx-c x ] = c E [x- x] = c Var [x] Két független valószínűség változó összegének varancája az egyes varancák összege: 0 0 9

Var [x+y] = E [(x+y- x- y) ] = = E [(x- x) ] + E [(y- y) ] + E [(x- x)(y- y)] = Var [x] + Var [y] Itt felhasználtuk az összeg várható értékére vonatkozó.17 összefüggést, és mvel függetlenek,.1 harmadk tagjánál fel tudtuk használn.18-at, mszernt E [(x- x)(y- y)] = E [x- x] E [y- y] = 0. Két független valószínűség változó szorzatának varancája nem egyezk meg vszont a varancák szorzatával! és A normáls (Gauss) eloszlás Normáls eloszlást mutatnak azok a valószínűség változók, melyek értékét sok ksmértékű véletlenszerű hatás befolyásolja. A normáls eloszlásnál a valószínűség sűrűségfüggvény az ún. Gauss-függvény: f ( x) 1 e 1 x, ahol az eloszlás várható értéke, pedg az úgynevezett szórás, a varanca négyzetgyöke. Az ún. normalzált Gauss-függvényt.-ből az u = (x- ) / transzformácóval kapjuk, és a következő alakú: f(u) = 1 1 e u A normalzált Gauss-eloszlás várható értéke 0, varancája 1. Bzonyítás: A várható érték.14 és a varanca.19 defnícójából: E [u] = u f(u) du = 1 u e mert az ntegrandus páratlan függvény. 1 u du = 0, Var [u] = u f(u) du = u e Felhasználva, hogy 1 u du = 1 u (u e 1 u ) du u e 1 u du = - e 1 u és parcálsan ntegrálva, kapjuk: 10

1 u 1 u 1 u u u e du u e e du. Az első tag kesk, a másodk pedg -vel egyenlő, így Var [u] = 1. A normalzált Gauss-eloszláshoz tartozó valószínűség eloszlásfüggvény: F(u) = u 1 1 t e dt ( u) (hbantegrál), F()=1. A normalzált Gauss-függvény, a (u) hbantegrál vagy az erf (u) = u t e dt hbafüggvény 0 értéket matematka kézkönyvekben táblázatosan megtaláljuk 1. A két függvény összefüggése (u) = 0,5 (1 + erf (u/ )). A Gauss-eloszlás alkalmazása Tételezzük fel, hogy smerjük egy adott sokaságban egy bzonyos valószínűség változó eloszlását, és ez normáls eloszlás, adott várható értékkel és szórással. Mlyen valószínűséggel esk a valószínűség változó értéke a várható érték körül, adott sugarú ntervallumba, tehát x 1 = - x és x = + x közé? Ilyen feladatoknál az aktuáls változót.3 alapján úgy transzformáljuk, hogy normalzált Gausseloszlást kapjunk. Az ntervallum végpontja: u 1 = - x/ és u = x/ = v..11-et alkalmazva P(u 1 u u ) = F(u ) - F(u 1 ) = (v) - (-v). A táblázatokban vszont csak poztív argumentumra találjuk meg a hbantegrált. Az ábrán a két pöttyözött terület a függvény szmmetrája matt egyenlő, azaz (-u) = 1 - (u) P(-vuv) = (v) - 1 11

Annak a valószínűsége pedg, hogy a változó értéke kessen az adott szmmetrkus ntervallumból, tehát egy adott tűrésnél jobban eltérjen a várható értéktől: P(u -v U u v) = 1- ( (v)-1) = (1- (v)). Példa Legyen a másodéves lányok magasságeloszlásának valószínűség sűrűségfüggvénye (a magasságot h-val jelölve és cm-ben mérve): f( u) 1 e 5 h165 0, 5 5 a/ M annak a valószínűsége, hogy egy véletlenül kválasztott lány magassága 160 és 170 cm között legyen? b/ Ha az évfolyamon 80 lány van, várhatóan hány magasabb 160 cm-nél, hánynak a magassága 160 cm és 170 cm között, lletve 170 és 175 cm között érték? c/ Van-e 175 cm-nél magasabb lány? És 150 cm-nél alacsonyabb? Megoldás: Térjünk át a normalzált eloszlásra (A) és keressük k az 1. Táblázatból a (u) függvény értéket (B). Az eloszlás várható értéke = 165 cm, szórása = 5 cm. A B h (cm) u v (v) (v)-1 150-3 0 0,5000 0 160-1 1 0,8413 0,686 170 1 0,977 0,9544 175 3 0,9986 0,997 a/ A 160-170 cm ntervallum a várható érték körül sugarú ntervallumnak felel meg (v=1), a táblázat szernt ebbe az ntervallumba 68,6% valószínűséggel esnek a magasságok. b/ A 160 cm a normalzált változóban u = -1-nek felel meg, annak valószínűsége, hogy u -1 legyen, P(u-1) = (-1) = 1- (1) = 15,7 %, 1-P = 84,13%. Enny annak a valószínűsége, hogy valaknek a magassága nagyobb legyen, mnt 160 cm. Mvel P = n kedvező /N összes, az évfolyamon 80 lány közül n = 800,8413 = 67 lánynak a magassága 160 cm-nél nagyobb. Hasonlóan, a 160 és 170 cm között magasságú lányok száma n = 800,686 = 54,6, azaz 54-55 lány magassága esk 160 és 170 cm közé. A [170 cm, 175 cm] ntervallum a normalzált változóban az [1,] ntervallumnak felel meg. P(1u)= ()- (1)=0,1359. Ez 11 személyt jelent. c/ A 175 cm-es magasság u = -nek felel meg. P(u>)=1-P(u)=1- ()=0,08. Ez azt jelent, hogy várhatóan két 175 cm-nél magasabb lány van. A 150 cm u = -3-nak felel meg, P(u<-3)= (-3)=1- (3)=0,0014. Ez 0,1 személynek felel meg, tehát az évfolyamon valószínűleg nncs 150 cm-nél alacsonyabb lány. Célszerű megjegyezn, hogy a normáls eloszlásnál a várható érték körül sugarú ntervallumba (v=1) a valószínűség változó értéke 68,3 % valószínűséggel esk, a sugarú ntervallumba pedg (v=) kb. 95,4 % valószínűséggel. A középérték eloszlásának tulajdonsága 1

Mérjük egy sokaságon a sajátosságot n-szer. Képzeljünk el egy n mérésből álló mntát, ahol az egyes mérések (egyelőre elképzelt) eredménye x 1,...,x n. Ezek valószínűség változók, még nem tudjuk, mlyen értéket kapnak a mérésnél. Az x 1,...,x n valószínűség változó számtan közepe n x x 1 n szntén valószínűség változó, tehát tartozk hozzá egy f(x 1,...,x n ) valószínűség sűrűségfüggvény, és kérdezhetjük, m ennek a várható értéke és varancája. Az egyes mérés eredmények függetlenek egymástól, tehát f(x 1,...,x n ) = f(x 1 )...f(x n ). Mvel ugyanazt a mérést smételjük, az egyes mérés eredmények várható értéke E[x ] = és varancája Var[x ] = azonos mnden egyes mérésre. Az összeg és konstansszoros várható értékére és varancájára kapott.15,.17,.0,.1 formulákat alkalmazva kapjuk, hogy E [ x] = 1/n n 1 Var [ x ] = 1/n E [x ] = n 1 Var [x ] = 1 n és Azaz a középérték várható értéke megegyezk az egyes mérések várható értékével, varancája vszont n-ed része az egyes mérésének. A centráls határeloszlás tétele szernt bármlyen eloszlású sokaság esetén az n elemű mnta számtan középértékének eloszlása a mnta elemszámának növekedésével egy olyan normáls eloszláshoz tart, melynek várható értéke megegyezk az eredet eloszlás várható értékével. Ez azt jelent, hogy ha már egyetlen mérés eredmény s átlagnak, pl. dőátlagnak teknthető, akkor várható, hogy az Gauss-eloszlású lesz. A mérés eredmények vszont nagyon gyakran lyen átlagértékek. A mutató tehetetlensége matt egy átlagértéknek megfelelő helyzetbe áll be. Ha elektronkusan gyűjtünk adatot, azt s egy bzonyos deg tesszük, és az átlagjelet dolgozzuk tovább fel. Így a gyakorlatban legtöbbször normáls eloszlású mérés eredményekkel találkozunk. Az eloszlásparaméterek becslése A mntavétel és mérés célja, hogy nformácót kapjunk a sokaságon az adott tulajdonság eloszlásáról, azaz meg tudjuk becsüln az eloszlásparamétereket a sokaság elemszámánál sokkal ksebb mnta alapján. A becsült paramétereket hullámvonallal fogjuk jelöln. Egy becslés torzítatlan a paraméterre nézve, ha a becsült és valóságos várható értékek megegyeznek, azaz E [ ~ ] = vagy E [ ~ - ] = 0, a hba várható értéke 0. A várható érték és a varanca becslése 13

A várható értéket úgy vezettük be véges elemű, dszkrét sokaságra, mnt a sokaságra vett átlagát az adott tulajdonságnak (.13). Ha most nem az egész sokaságot vesszük, csak egy mntát belőle, becsülhetjük úgy az egész sokaságra vonatkozó átlagot, hogy csak a mntára átlagolunk, azaz a várható értéket, -t a következőképp becsüljük: n ~ = 1/n x 1 Amíg a mérésről csak beszélünk, ~ valószínűség változó, az x valószínűség változók számtan közepe, melynek várható értéke megegyezk az egyes mérés várható értékével. Tehát ~ =, a becslés torzítatlan. Hasonlóan okoskodva, a varancát becsülhetjük az egyes mérések hbanégyzetének átlagával: n ~ = 1/n (x - x) 1 Meg akarjuk határozn ennek a becslésnek a várható értékét; de egyszerűbb, ha n ~ várható értékét számítjuk k. E [n ~ ] = E ( x x) E ( x ) ( x ) = E ( x ) x j n 1 j 1 E 1 n x 1 x j ( ) ( ) n j 1 1 E ( x 1 1 1 ) n n n E ( x )( x j ) n E ( x j ) j j Az első tag éppen az egyes mérések varancájának (1-1/n) -szerese. A másodk tagban a j= tag kmarad, így tehát az összeg egyes tagjaban a tényezők függetlenek, szorzatuk várható értéke a tényezők várható értékének szorzata, am vszont 0. A harmadk tagot kfejtve (x j - ) -es tagok fognak szerepeln és vegyes szorzatok. Az utóbbak várható értéke, az előző okfejtés értelmében 0. Így végül a fent összeg a következőképp alakítható: E [n ~ ] = 1 1 1 n E( x n j ) n j ( n 1) 1 n ( ) 1 n 1 n ( n 11) (n-1), n n n azaz a varanca n-szeresének becsült értéke a valóságos varanca (n-1)-szerese, ~ = (n-1) / n. Ez a becslés torzított, így célszerűbb a varancát a mérés eredményekből a következőképp becsüln: n ( x x) ~ = s 1 x = n 1 s x -et az egyes mérés eredmények korrgált tapasztalat szórásának nevezzük. Mvel.31 szernt a középérték varancája az egyes mérések varancájának n-ed része, s x sx, n a középérték korrgált tapasztalat szórása (standard devácója): 14

s x ( x x) ( x x) és s x = n 1 ( n 1) n A mérés eredményének megadása A mérés eredmények szórása; a tűrés Ha smerjük egy valószínűség változó eloszlását, azaz értékenek valószínűség sűrűségfüggvényét, akkor egy bzonyos valószínűséggel meg tudjuk jósoln, hogy a változó mérésénél az eredményeket mlyen ntervallumban kapjuk meg az eloszlás várható értéke körül. Láttuk a Gauss-eloszlásnál, hogy az egyes mérés eredmények a várható érték körül sugarú ntervallumba 68,3% valószínűséggel, a sugarú ntervallumba 95,4 % valószínűséggel esnek. Ha más P valószínűséggel - P konfdenca sznten - akarjuk megjósoln a mérés eredményeket, [ - K, + K ] lesz az a konfdenca ntervallum, melybe a mérés eredmények az adott P valószínűséggel beleesnek. Ha vásárolunk valamlyen előre csomagolt árut vagy alkatrészt, melyeknek valamlyen mennység jellemzője van (pl. tömeg lletve ellenállás), akkor az áru tömegén, vagy az ellenállás névleges értékén kívül sokszor feltüntetk a tűrést s, mely a névleges értéktől való megengedett eltérést jelent. Ez tulajdonképpen egy konfdenca ntervallum, és általában 95% konfdenca szntre van megállapítva. Ha egy 100 darabos szállítmányból 3 darab kesk a tűrésből, még nem llk reklamáln a szállítónál, de ha 10 kesk, akkor már lehet. A Student-féle t-eloszlás és t paraméter Mérésnél adottak a mérés eredmények, és azt akarjuk tudn, m közük van a mérendő mennység valóságos értékéhez. Hogyan értékeljük k a méréssorozatot, hogy a legmegbízhatóbb nformácót kapjuk a valóságos értékről (a valószínűség változó várható értékéről)? Ha legalább a mérés szórását smernénk, mondhatnánk, hogy a mérés eredmény ugyanolyan távol van a valóságos várható értéktől, mnt fordítva, azaz ha a valóságos érték K sugarú környezetébe esnek P valószínűséggel a mérés eredmények, akkor P valószínűséggel a mérés eredmény K sugarú környezetébe esk a mérendő mennység várható értéke. Ha pedg egy mérés sorozatunk van, akkor a sorozat számtan közepének a K / n sugarú környezetébe esk a valóságos érték. A baj ott van, hogy általában a szórást sem smerjük, ezt s csak becsüln tudjuk, az egyes mérés lletve a középérték korrgált tapasztalat szórásával. Mvel a szórás sem pontos, ugyanahhoz a valószínűséghez nagyobb számmal kell megszorozn a becsült szórást a 15

konfdenca ntervallum meghatározásánál, mnt ezt egy smert szórású Gauss-eloszlásnál tennénk. A jellemezn kívánt valószínűség változó várható értéke, x, valamnt a méréssorozatból számított középérték, x és a középérték korrgált tapasztalat szórása, s x között álljon fenn a következő egyenlőség: x = x + s x. Mvel x és s x a konkrét méréssorozattól függ, tehát véletlenszerűen változk, a = x x, s x paraméter mnt az x és s x valószínűség változók függvénye, szntén valószínűség változó, melynek eloszlása meghatározható x és s x eloszlásából. Az eredet x változóra Gauss-eloszlást feltételezve W.S. Gosset határozta meg a paraméter valószínűség sűrűség- és eloszlásfüggvényét, de mvel munkát Student (dák) névvel szgnálta, a paraméter eloszlását "Student-féle t-eloszlásnak" hívják. Az eloszlás- és sűrűségfüggvény függ a mérések számától, ezek számának csökkenésével az f( ) sűrűségfüggvény félértékszélessége nő. várható értéke 0, és f( ) szmmetrkus, tehát az F( ) eloszlásfüggvényre fennáll, éppúgy, mnt a normalzált Gauss-eloszlásnál: F (- ) = 1 - F ( ) és annak a valószínűsége, hogy P (-t t) = F(t) - 1. értéke egy [-t, t] ntervallumba essen: Vsszatérve a paraméter értelmezésére, az előző mondat így hangzk: "Annak valószínűsége, hogy x és x eltérése a [-t s x, t s x ] ntervallumba essen, P = F(t) - 1 - gyel egyenlő". Vagy: "P = F(t) - 1 valószínűséggel a meghatározandó x várható érték az x körül ts x sugarú ntervallumba esk". Az adott P valószínűséghez (konfdencasznthez) és a mérések számához tartozó t paraméterérték a II. táblázatból határozható meg. Méréssorozat kértékelése A fentek alapján egy n mérésből álló sorozat kértékelése a következőképp történk. a./ Meghatározzuk a mérés eredmények számtan közepét: x = 1/n n x 1 b./ Meghatározzuk a x devancákat, az egyes mérés eredmények eltérését a középértéktől: x = x - x c./ A devancákból meghatározzuk a középérték korrgált tapasztalat szórását: s x = x n( n 1) 16

d./ A mérések számához és a kívánt konfdencasznthez tartozó t paraméterértéket kkeressük a II. táblázatból. e./ Megadjuk a következő formában a mérés eredményt: (mért mennység) = ( x t s x ) [mértékegység] Ez azt jelent, hogy a mérendő mennység valóságos értéke a konfdencaszntnek megfelelő valószínűséggel az [ x - t s x, x + t s x ] ntervallumba esk. Megadhatjuk a relatív hbantervallumot s: (mért mennység) = x [mértékegység] 100 t s x / x % Közvetett mérés hbája (hbaterjedés) Láttuk, hogy a mérés hbáját a középérték varancájának becsült értékéből (s x ) határoztuk meg. Tegyük fel, hogy meg akarunk határozn egy mennységet, melyet nem tudunk közvetlenül mérn, de függ az x,y,z,... mennységektől és az utóbbak vszont megmérhetők, smerjük várható értéküket és varancájukat (lletve megbecsültük ezeket a paramétereket). Hogyan függ össze várható értéke és varancája az x,y,z... várható értékével és varancájával? Fejtsük sorba -t változónak várható értéke körül, és álljunk meg a lneárs tagoknál: (x,y,..) = ( x, y,...) + x (x- x) + y (y- y) +... A parcáls dfferencálhányadosok az x = x, y = y,... helyen értendők. A lneárs sorfejtés a várható értékektől való ks eltérések esetén jó közelítés. Most határozzuk meg varancáját, -t.40-nel közelítve. Alkalmazva az összeg és konstansszoros varancájára vonatkozó.0 és.1 formulát: Var [ ] = x Var [x] + y Var [y] +... Az x,y,... mért mennységek varancáját a korrgált tapasztalat szórásuk négyzetével közelítjük, várható értéküket pedg a méréssorozatok középértékével. A mennység korrgált tapasztalat szórásával közelítjük varancáját, melyet úgy kapunk, hogy.41-ben az x,y,... mennységek varancájának helyébe s x -et, s y -et helyettesítünk. Ugyanezt megtehetjük a középértékek korrgált tapasztalat szórásával s, és akkor középértékének korrgált tapasztalat szórását kapjuk: s sx x y s y... Az egyenlőség érvényes marad akkor s, ha a középértékek korrgált tapasztalat szórását beszorozzuk a t paraméterrel, azaz a hbantervallumokra s. Ha x-szel jelöljük x hbantervallumának sugarát, és y-nal y-ét, akkor a mennységre a hbantervallum sugara: 17

x y x y... 18

Regresszószámítás. A legksebb négyzetek módszere Sok esetben az a feladat, hogy két mennység között függvénykapcsolatot akarunk "kmérn", méréssel meghatározn. Ez azt jelent, hogy a függvény alakját smerjük, vagy smertnek tételezzük fel, és a függvény paraméteret akarjuk a méréssel megállapítan. Legyen y = f(,x),.44 ahol a meghatározandó paraméterek. Tegyük fel, hogy x-et pontosan tudjuk szabályozn lletve mérn, és N darab x értéknél meghatározzuk az y értékeket. Feltételezzük azt s, hogy y varancája független x értékétől, a mérés ntervallumban állandó. Hogyan határozzuk meg a függvény paraméteret? Az (x, y ) pontokra egy olyan görbét kell llesztenünk, mely ahhoz a "legközelebb" halad. A mérés pontoknak a görbétől való távolságát jellemezhetjük az y-bel eltérések négyzetösszegével: S(,...) = y f x N 1 Azt kívánjuk, hogy S mnmáls legyen. Ehhez vszont az szükséges, hogy S szernt parcáls derváltja zérussal legyenek egyenlők: S / = 0, S / = 0,... paraméterek Ez a paraméterek számával azonos számú algebra egyenletet jelent, melyekből a paraméterek értéke meghatározható. Ha a függvény n-ed rendű polnom, a feladat vszonylag egyszerűen megoldható, mert a paraméterekre egy lneárs egyenletrendszert kapunk. Mérjük meg y értékét N különböző x -nél és legyen f(x) = a 0 + a 1 x + a x +... = a x n k0 k k. N Az S = f x 1 y mennységnek mnmálsnak kell lenn, azaz S a j N f x y x 0, mnden 0 j n -re. 1 j Lneárs regresszó Ha f lneárs függvény, y = a x + b, akkor csak két llesztendő paraméter van. S a = (a+bx -y ) x = 0 a x + b x = x y 19

S b = (a+bx -y ) = 0 N a + b x = y Bevezetve (.46)-ban a következő jelöléseket: x = 1/N x, y = 1/N y, xy = 1/N (x y ), x = 1/N (x ) az egyenletrendszer megoldása: a = ( x y-xy) / ( x - x ), b = y - a x. Lneárs regresszó esetén az a,b paraméterek varancáját a következőképp becsülhetjük: y Var [ a] N N x y 1, Var [ b] ( x x) ( x x) ahol y az úgynevezett rezduáls szórásnégyzettel, s r -tel közelíthető: s r = ( y f ( x )) N. Mérőskála tervezés, szögmérő, tolómérő Sokszor van a kezünkben a tolómérce, ez az gazán egyszerű hosszmérő eszköz, amelyre szerelt mellék-skála-az úgynevezett nónusz skála-segítségével, a tolómérce fő skálájának mlméteres leolvasás pontossága a tzed, esetleg század mlméterek becslésével nagyságrendben fokozható. Hétköznap, mégs nagyszerű egyszerűségében ZSENIÁLIS eszköz a nónusz-skálás tolómérce!! A nónusz-skála nevét Pedro Nunez portugál matematkus után kapta, ak 149-ben született és 1577-ben halt meg (Mátyás krály halálát követő másodk évben született, pontosan Amerka felfedezésének évében, melyet Colombus Krstófnak NAGYSZERŰ portugál hajósnak köszönhetünk.) a combra egyetemen a matematka tanára volt és a nautka körül érdemeket szerzett. Műve Opera mathemaca cím alatt Baselban jelentek meg 1566-ban. 0

Érdekes, hogy a nónusz-skála leírása Perre Verner franca matematkus la constructon, l usage et les proprétés du quadrant de mathématque című munkájában található meg. Így van olyan vélemény, amely szernt ezt az eszközt helytelenül nevezzük nónusznak, például a francák vernernek hívják. Akármnt s volt, ez a mndmág fennmaradt mérőeszköz 4 évszázados, tehát abból az dőből való találmány, amkor kezdett kalakuln a mechanka vlágkép és a reneszánsz kor tudósa számára egyre fontosabbá vált a hosszmérés pontossága. A nónusz olyan skála, mely lehetővé tesz a leolvasás pontosságának növelését hosszmérő és szögmérő műszereknél. A nónusz az egyenletes alapbeosztás mellé helyezett eltolható segéd skála. Ez a skála az alapbeosztástól eltérő, de szntén egyenletes beosztással készül. Az ember szem felbontása nem tesz lehetővé egy bzonyos távolságnál (kb. 1 mm) ksebb távolság tovább beosztását, de két egymás mellé helyezett skála vonásanak egybeesését még ennél sokkal ksebb távolságon s bztonsággal meg tudja állapítan. Ezt a képességünket használja k a nónusz a leolvasás pontosság növelésére. Egyenes skálájú nónuszt lehet alkalmazn hosszmérő műszereknél és körskálájú nónuszt szögmérő eszközöknél. A nónuszt Perre Verner találta fel 1631-ben. Találmányát Pedro Nunez portugál tudós latnos névváltozatáról, Petrus Nonusról nevezte el, aknek először támadt az ötlete, hogy műszerek pontosságát ezen az elven növelje meg. (Egyes nyelveken, így angolul s, az eszköz neve Vernerskála. A nónusz skálát úgy szerkesztk, hogy beosztása kcst ksebb legyen a fő skáláénál, N osztás a nónuszon legyen egyenlő N-1 osztással a fő skálán, páldául a fő skála 9 osztása legyen egyenlő hosszú a nónusz skála 10 osztásával, vagys, ha a két skála 0 pontja egybeesk, a nónusz 10-k osztása essen egybe a fő skála 9-k osztásával. 1

Ha egy adott hosszúságot mérünk, a fő skálán a nónusz skála 0 pontja mutatja a mért értéket, de ez általában nem esk pontosan valamelyk osztáspontra, hanem kettő között van. A nónusz skálának az az osztáspontja mutatja a mért érték tört részet, amelyk egybeesk a fő skála egy osztásával. A fent ábrán a fő skála pros jelénél kell leolvasn az egész mllnmétert, (3 mm) és az alsó nónusz skála pros jelénél pedg a töredék mllmétert (0,58 mm), a kettő összege a mért érték: 3,58 mm. A nónusz skálát úgy szerkesztk, hogy osztása a rögzített fő skálának egy adott törtrészénél legyenek. Így tzedes nónusznál az osztás a fő skála osztásának klenc tzedét tesz k. Ha a mérőeszközt nullázzuk (a csúszkát olyan helyzetbe hozzuk, hogy a két skála 0 pontja egybeessen), a nónusz skála első osztása a fő skála 0,9-énél, a másodk jel a másodk klenc tzednél, vagys 1,8-nál, a harmadk jel,7-nél stb. fog álln. Ha kcst elmozdítjuk a nónusz skálát, mondjuk egy tzeddel, akkor az egyetlen osztáspár, amelyk egybeesk, ez első lesz, mvel tt a nónusz eredetleg egy tzed mllméterrel hátrább állt. Ha öt tzeddel mozdítjuk el a skálát, egybeesés csak az ötödk osztásnál lesz, és így tovább. Nagyobb pontosságú szögmérés feladatokra az egyetemes (vagy unverzáls) szögmérőt alkalmazzuk. Két, azonos tengely körül elforduló szára van. Az egyk szár a körosztással van összekötve, ennek középpontja egybe esk a forgástengellyel. A másk szár a leolvasás pontosságot növelő nónusszal áll szlárd kapcsolatban. A főskála négy, egyenként 90 -os szögtartományra van osztva. Erről az egész szögek olvashatók le. A 0 vonalaktól jobbra és balra egy nónusz skála helyezkedk el. A szögnónusz egy 3 -os ívdarab, amely 1 egyenlő részre van osztva. A szögnónusz egy osztása 1 55. A leolvasás pontossága: 5. Mérés az egyetemes szögmérővel: 1. A munkadarab szöget bezáró felületet a mozgó szárak közé kell befogn.. A kérdéses szöget a nónusz segítségével kell leolvasn:

3. A főskálán 0-tól kndulva a nónusz nulla vonalág meg kell számoln a fokokat, majd ugyanabban az rányban haladva kell a nónusz fedőosztását megkeresn. A fedőosztás adja meg, hogy hányszor 5 percet kell a fokokhoz hozzáadn. A mérés eredmény előállítása: Hegyesszögeknél (0-90 ) a mért érték közvetlenül a mérés eredményt adja. Tompaszögeknél (90-180 ) a mérés eredmény úgy áll elő, hogy a leolvasott értéket levonjuk 180 -ból. Esztergálásnál, gépalkatrészek megmunkálásakor szükség van a mllméteresnél s nagyobb pontosságra. A mllméter tzedét s meghaladó pontosságú, gyakran használt mérőeszköz a tolómérő. A tolómérő két részből áll: egy "fejesvonalzóhoz" hasonlítható álló részből, és egy ezen hosszrányban elcsúsztatható mozgó részből. Ha egy tárgy méretét meg kívánjuk mérn, a tárgyat az álló és mozgó rész érntkező pofá közé kell fogn. A tolómérő álló részén egy mm beosztású skála található, a mozgó részen szntén van skála (ezt nevezzük mellékbeosztásnak (nónusznak). A képen bemutatott nónusz-skála teljes hossza 39 mm, amely 10x egyenlő részre van beosztva. Ha a tolómérő mozgó részének érntkező-pofáját nektoljuk az állórész érntkezőjének, akkor a két skála 0 pontja egybeesk, az összes több osztásvonal azonban eltér. Az eltérés az első vonal esetén a legksebb, majd egyre nagyobb. A nónusz utolsó osztásvonala az álló skála 39 mm-es vonalával esk egybe, azaz a két skála eltérése 1 mm. A nónusz mnden osztásvonala 1/0=0,05 mm-rel ksebb az 1 3

mm-nél. Ha a két pofa közé egy 0,05 mm vastag lapot csúsztatunk, akkor a nónusz-skála éppen 0,05 mm-rel eltolódk el a knduló helyzethez képest. Ekkor a nónusz skála első vonala éppen a főskála egy osztásvonalával kerül szembe. Ha x0.05 mm-es lapot fogunk a tolómérő pofá közé, akkora a nónusz-skála eltolódása pont akkora, hogy a másodk vonala (1-es jelzés) esk egy vonalba a főskála egyk osztásvonalával. Általában, ahányszor 0,05 mm a lap vastagsága, a nónusznak s "ugyanannyadk" osztásvonala esk egybe a főbeosztás valamelyk osztásvonalával. A leolvasás pontossága nagyrészben függ az ember tényezőtől, hogy mlyen szögben nézzük a leolvasandó mérőeszközt. A főskála osztásérétke A= a segédskála osztásértéke és az osztások száménak szorzatával a segédskálán. A segédskála osztásértéke megegyezk a föskála osztásértéke és az osztások számának hányadosával. Ebből következk, hogy az osztások száma a segédskálán a főskála osztásértéke és a segédskála osztásértékével egyenlő. A segédskála osztástávolsága (Is) megegyezk a segédskála nyújtás tényezőjének és a főskála lletve segédskála osztásérték különbségének szorzatával. A segédskála hosszát Ls jelöljük, melynek értéke pontosan megegyezk a segédskálán az osztások számának és a segédskála osztástávolságának szorzatával. Ebből az összefüggésből következk, hogy a segédskála osztástávolsága, amt Is-el jelölünk megegyezk a segédskála hosszának és a segédskálán az osztások számának hányadosával. 4

Lehet, hogy száz év múlva vagy még hamarabb a nónuszos tolómérce vagy legalábbs a nónusz skála épp olyan kurózum lesz, mnt amlyenné a közelmúltban gen gyorsan a logarléc, a 7 jegyű logartmus tábla, a brunnsvga és trumph rendszerű tekerős számológép vagy a kontnentál írógép vált. Kfogják szorítan a gyakorlatból a mérőórás és az elektromos kjelzésű vagy még azoknál s korszerűbb hosszmérő berendezések, és nyoma csak a múzeumokban, régség kereskedésekben marad meg. Mérőskálás mérésnél a mért jellemző űrmérték s lehet. Szögmérésre példa: Ha a segédskála nyújtás tényezője 1, a főskála osztásértéke 10 fok és segédskála osztásértéke 1 fok, a főskála osztástávolsága 5 mm akkor a segédskála osztástávolságát megkapjuk a segédskála nyújtás tényezőjánek és a főskála segédskála különbségének szorzatából. Is=9 fok. A segédskála hosszát megkapjuk az osztások számának és a segédskála osztástávolságának szorzatából, am jelen esetben 90 fok. 5

A mkrométer A mkrométer precízós hosszmérő műszer, mely elsősorban a gépparban használatos, leolvasás pontossága nagyobb, mnt a tolómércéé, általában 0,01 mm. Működés elve A mkrométer precízósan megmunkált csavarból és anyából áll, melynek menetemelkedése általában 0,5 mm. A csavarszár mllméteres beosztású skáláján leolvashatók az egész és fél mllméterek. A csavarszár kerületén, mely esetenként nónusz skálával van ellátva, 50 részre van osztva, ezen a mllméter tört részet lehet leolvasn, egy osztás 0,01 mm-nek felel meg. Angolszász mértékegységekre készült mkrométerek esetén a menetemelkedés 0,05 n (hüvelyk), azaz egy nchre 40 menet esk. Az orsó kerületének skálája 5 részre van osztva, egy osztás 0,001 nchnek felel meg. Ha a csavarszáron nónusz skála s van, úgy a leolvasás pontossága metrkus mkrométer esetén 0,001 mm, angolszász mértékegységek esetén pedg 0,0001 n. Újabban dgtáls leolvasású mkrométereket s gyártanak. 6

mkrométereket a tolómércékhez hasonlóan rögzítő szerkezettel s ellátják, hogy a beállított méret a leolvasásg ne változhasson. Mvel a csavar befeszítésével helytelen kezelés esetén gen nagy mérőerő s alkalmazható, egyes mkrométereket nyomaték-határoló szerkezettel látnak el. Ez tulajdonképpen egy súrlódó tengelykapcsoló, mely a beállítottnál nagyobb nyomaték esetén old. A mkrométerek fajtá Különböző célokra más más mkrométereket használnak. Külső mkrométer mérőpofá síkok. Több méretben készülnek, például a következő mérés tartományokra: o o 0-5 mm, 5-50 mm, 50-75 mm, 75-100 mm. a mérés leolvasását lehetővé tevő hengeres szerkezetet általában csak 0-5mm-es tartományban gyártják, és a méréstartományt a kengyel által meghatározott mérettel bővítk k, így alakulnak k a 5 mm-es mérés Pontmkrométer. Ez külső mkrométer kúpos mérőpofákkal Belső mkrométer Furatmélység-mkrométer A mkrométer története A mkrométer a görög mcros (kcs) és metron (mér) szavak újkor összetételéből származk. Elsőként az angol Wllam Gascogne alkalmazta a 17. században a nónusz továbbfejlesztéseként csllagászat teleszkópon, a csllagok szögtávolságának pontos mérése céljából. Hosszmérések céljára először a franca Jean Laurent Palmer készített mkrométert 1848-ban Párzsban. Angolszász országokban tömegtermelését először a Brown & Sharpe cég ndította be 1867-ben. 7

Mechankus mérőeszközök hosszmérésre "Csak az van, amt mérn lehet", tartják a műszak szakemberek. És valóban, a műszak és a tudományos kutatások, fejlesztések alapja a mérhető mennységek mnél pontosabb, mnél megbízhatóbb mérése. Sorozatunk első részében a hosszmérés hagyományos eszközet mutatjuk be. Egyenes szakaszok mérésének legegyszerűbb módja a vonalzóval való mérés. A mérés pontossága, adott hosszúságú vonalzó esetén független a vonal hosszától, értéke - megfelelően pontos 1 mm-es beosztású acélvonalzó esetén - ± 0.14 mm. Ez tulajdonképpen nem más, mnt a leolvasás rendszeres hbája. Ha a mérendő egyenes szakasz hosszabb, mnt az acélvonalzó, akkor a mérést csak több lépésben tudjuk elvégezn, s ez megtöbbszöröz a rendszeres hba nagyságát, sőt tovább hbaforrásként léphet fel az egyenes szakasz több részre osztásakor elkerülhetetlenül fellépő hba s. Fa-, vagy műanyagvonalzó a gyártás pontatlanságok, lletve a nem megfelelő mérettartás matt (vetemedés stb.) precíz mérésre nem alkalmas. Egyéb nem állítható mérőeszközök: lyenek a mérőhasábok, mérőlécek, mérőszalagok. Ezek az eszközök hosszméretek mérésére alkalmasak. Használatuk mérés pontossága a beosztásuktól függően mllméter nagyságrendű. Mérés hbalehetőségekről és okokról a következő ábra ad felvlágosítást. Az ábrázolt hbák gyakorlatlag mnden méréskor felléphetnek, elkerülésükkel a mérés htelessé válk. A mkrométer 8

Pontosabb mérés elvégzésére alkalmas a mkrométer (5). Méréstartománya kcs, általában 5 mm. Mérés pontossága 0,01 mm. Használata egyszerű, de célszerű a tévedések elkerülése matt először tolómérővel ellenőrzn az egész mllméterek nagyságát és csak a pontos századrész értékeket meghatározn vele. A mkrométer szerkezet felépítését mutatja be következő ábránk. A méretek leolvasására a henger palástfelületén elhelyezett leolvasó skála nyújt lehetőséget. Mérés a mkrométerrel A mérendő hosszúságot a kengyelben rögzített mérőtapntó, és a mérőhüvelyben forgatható mérőorsó mérőfelülete között mérjük. A mérőfelületek általában keményfém-lapkákkal készülnek. A mérőorsóval együtt forog a mérődob, melynek peremén körkörös mérőskálát alakítottak k a 1/100 mm-es értékek leolvasására. Az egész, és a 0,5 mm-es értékek a vezetőhüvelyen vízszntesen kképzett skálán olvashatók le. A kengyelben lévő orsórögzítővel lehet a menetes mérőorsót rögzíten. 9

A mérődob végében elhelyezett fnombeállító csavarral lehet megvéden a túlhúzástól a mkrométert. (Túlhúzáskor túl nagy a mérőnyomás, ekkor egy klncsmű elforog, a mérőnyomás állandó marad.) A mérődob egy teljes fordulata alatt a mérőorsó 0,5 mm-t fordul a tengely rányban, mközben a mérődob s vele fordul. A mérődob alatt vezetőhüvelyen lévő hosszrányú mllméteres skála és a mérődob peremén található 0,01 mm-es körskála vszonylagos helyzetéből a mért értékek közvetlenül leolvashatóak. A leolvasás 0,01 mm-es pontosságát az tesz lehetővé, hogy a menetes orsó 0,5 mm-es elmozdulására a mérődob egy teljes fordulatot, lletve a peremén lévő körskálán mérve 50 osztást fordul el. Amkor tehát a körskála egy osztást fordul, a mérőorsó a 0,5 mm-es emelkedésének 1/50 részével mozdul el, tehát 0,01 mm utat tesz meg. A legelterjedtebb mkrométertípus a kengyeles mkrométer, am a következő ábrán látható. Része: Kengyel, benne az álló és a mozgó tapntóval, a mechanka nagyítást végző csavarmenet, a száron a fél mllméter osztásértékű főskála, a dobon az 50 osztású mellékskála és a dob végén az erőhatárolást segítő kelep ( racsn ), és még egy, a mozgó tapntót rögzítő csavar. 30

A mkrométer a csavarmenettel vsz át a dob forgását a mozgó tapntó eltolódásába, az áttétel a menet emelkedésének felel meg, jelen esetben a menet 0,5 mm-es emelkedésű. A leolvasás elve, hogy az egész és fél mllmétereket a főskálán a dobg olvassuk le, majd a dobon olvassuk hozzá a századmllmétereket. Mvel a dob kerületének körülbelül 1 mm -es elmozdulása a mozgó tapntó 0,01 mm-es elmozdulását eredményez, ezért a mechanka áttétel kb. 100-szoros, ezért a mérőerő s lyen nagy mértékben nő. Ez ndokolja a dobon az erőhatároló alkalmazását, ezt használn s kell! Ha a racsn nélkül mértünk, akkor egy kcst (kb. fél fordulatnyt) vssza kell lazítan a forgódobot, majd a racsnval kell újra ráhajtan! A tört osztásértékek leolvasás szabálya az, hogy a mérőeszköz legksebb osztásértékég (mérőeszköz felbontása) le kell a skálá(k)ról olyan sorrendben olvasn, ahogy a tzedesjegyek következnek, majd a legksebb osztás tört osztásértéket egy tzedesg kell és szabad csak megbecsüln, tehát a mellékelt ábra szernt mkrométerekről leolvasható értékek: 7,995 mm, lletve 8,445. Az utolsó tzedes (5 ezred mllméter) becsült érték, tehát lehet 4 és 6, és közötte 5 s, nem lehet 1 3, vagy 7 8.9 (±1 becsült tzedest szabad tévedn!)! A tovább tzedesek megadása félrevezető, mert azt mutatja, mntha a tzedesek értékes jegyek lennének, ezért tlos a fent értékeket például 7,9959735 mm-nek leolvasn. Ha a mérés eredményből tovább számolunk, akkor kaphatunk eredményül akár végtelen tzedes törtet s, lyenkor vagy a hasznos tzedesg, vagy legfeljebb annál egy tzedessel többg kerekítve kell az eredményt megadn! Ha egy mérőeszközön több skála van (sok lyen mérőeszköz létezk), akkor a leolvasás szabálya az, hogy a nagyobb tzedesjegyeket mutató skála után olvassuk le a ksebb tzedesjegyűt (mkrométeren először a mm-es skálát, majd a 0,01 mm-t) úgy, hogy megkeressük azt az osztásértéket, amn a skálán legutoljára elhagytunk (7,5 vagy 8) ha egy osztásérték közelében vagyunk (mnt például ebben az esetben), akkor úgy tudjuk eldönten, hogy a következő osztásérték előtt, vagy után vagyunk, hogy leolvassuk a következő osztásértéket (49). Ha ez az osztásérték a következő skála vége előtt van (ebben az esetben gen, mert az 50. osztás a skála végét és újrakezdését jelöl), akkor a nagyobb osztásértékű skálán s még az osztás előtt vagyunk, ha pedg a skála elején (1. 10), akkor pedg az előző skálán az osztás után vagyunk. Ha tt úgy olvasnánk le, hoyg mvel a 8. mm-osztás már klátszk, ehhez adnánk hozzá a 49 századot, akkor 8,49 mm-et olvasnánk le, amvel 0,5 mm-t tévednénk, am durva hba! 31

megbecsüljük a következő tzedest (ezredeket). A 0-5 mm méréstartományú kengyeles mkrométereknél alaphelyzetben (ha a tapntókat a racsnval összetekerjük), akkor a fő és mellékskáláknak knduló helyzetben (0-án) kell lennük és a tapntófelületeknek légrés nélkül kell lleszkednük. 3