24. előadás: INTERTEMPORÁLIS DÖNTÉSEK

24. előadás: INTERTEMPORÁLIS DÖNTÉSEK Ketesi Gábo Vaian. fejezet eősen átdolgozva

24. Bevezető Ennek az előadásnak a soán visszatéünk a fogyasztói magatatás vizsgálatához, és a fogyasztó döntési oblémáját kibővítjük egy új dimenzióval: az idővel. Az időtényező bevonása az elemzésbe lehetővé teszi, hogy megvizsgáljuk milyen átcsootosításokat hajthatnak vége a fogyasztók a jelenbeli, illetve a jövőbeli fogyasztási lehetőségeik között. Az időtényező bevonása az elemzésbe lehetővé teszi, hogy a megtakaítások oblémáját összekacsoljuk a beuházások elemzésével. Az előadás második felében kibővítjük az elemzést a beuházási döntésekkel is. 24.2 Az intetemoális költségvetési kolát Kézeljünk el egy fogyasztót, aki abban a kédésben dönt, hogy mennyit fogyasszon egy bizonyos jószágból két időszakban. A két időszak legyen: t,. index jelölje a jelent vagy a mát, az -es index jelölje a jövőt vagy a holnaot. Az egyszeűség kedvéét legyen a fogyasztás tágyát kéező jószág az összetett jószág, azaz a fogyasztás. Ne bonyolítsuk az elemzést most azzal, hogy többfajta fogyasztási cikket feltételezünk! A fogyasztásnak mint összetett áunak az áa (ahogy megszoktuk). Induljunk ki abból, hogy a fogyasztónak a jelenben és a jövőben is van valamilyen jövedelme. Ha mondjuk a és indexek egy adott év decembe, illetve a következő év januá hónaját jelentik, akko m és m szimbólumok a fogyasztó idei decembei, illetve jövő januái fizetését jelölik. 24. fólia Ezt ábázolhatjuk egy koodinátaendszeben. A vízszintes tengelyen az e havi fogyasztásunkat, a függőlegesen a jövő havi fogyasztásunkat tüntettük fel. A kiindulóontunk temészetesen csak az lehet, amennyi jövedelemmel az egyes hónaokban endelkezünk. Ezt látjuk az M ( m, m ) készletontban. Ha az adott havi fogyasztásunkat egyedül az adott hónaban endelkezése álló jövedelemtől tesszük függővé, akko nincs intetemoális döntési obléma. Noha minden egymást követő hónaban van jövedelmünk és fogyasztásunk is, ezek között mégsincs semmiféle kaocs. Az időben zajló töténet szétesik t,,2,..., T daab egymástól független, jelenbeli (idődimenzió nélküli) döntése. Mi van azonban akko, ha azt gondoljuk, hogy a endelkezésünke álló m jövedelem nem elegendő ahhoz, hogy szeetteinknek megfelelő kaácsonyi ajándékot vegyünk Mivel jól tudjuk, hogy januában is lesz jövedelmünk, és azt is el tudjuk kézelni, hogy az ünneek után kéesek leszünk egy kicsit össszehúzni magunkat, iacionális lenne, ha nem gondolkod-nánk el azon a lehetőségen, hogy kölcsönt veszünk fel. Tegyük föl, hogy egy banktól veszünk fel egy övid távú egyhavi lejáatú kölcsönt. Hogyan ábázolhatnánk ezt a 24.. ábán? Igen egyszeűen: a kölcsön segítségével kimozdulhatunk az M ontból jobba lefelé. Az új feltételek mellett a kölcsön nagyságától függően többet is költhetünk decembeben nomál fogyasztása és kaácsonyi ajándéka decembei jövedelmünk-nél. A kölcsön évén megnövekedett fogyasztás legyen: c. Nyilván igaz, hogy: c > m. A kölcsönt azonban januában kamatostul vissza kell fizetni. Ha a hitelkamatláb H (%), akko jelenbeli 2

fogyasztásegységben méve ontosan ( H ) dc összeget ( dc c m ) kell fogyasztónknak a bank észée januában visszafizetni. Ennyivel lesz kevesebb a januában felhasználható jövedelme. A visszafizetés után má nem m összegből költhet januában, hanem csak az ( m dc) m ( H ) dc keetből. Mit is csinált a fogyasztónk? Kitágította a endelkezésée álló lehetőségek köét. Átcsootosított fogyasztási lehetőségeket a jövőből a jelenbe: lemondott dc mennyiségű januái fogyasztá-si lehetőségől annak édekében, hogy fogyasztása decembeben dc mennyiséggel nagyobb lehessen. A jelen- és jövőbeli fogyasztási lehetőségek közti átváltási aány éen dc / dc ( H ). Minden egy fointnyi kölcsöne ( H ) fointnyi visszafizetett összeg jut a jövőben. Ha a bank csak azt vizsgálja meg, hogy a fogyasztó endelkezik-e elég jövőbeli fedezettel, és annak megléte esetén a januái fizetés összeghatáától függően tetszőleges összeget kész kölcsönadni, akko könnyen belátható, hogy ilyen tanzakciókkal a fogyasztó az M ( m, m ) készletontból lefelé a ( H ) hajlásszögű egyenes mentén, egészen a vízszintes tengellyel való metszésontig bámilyen métékig kées kitágítani jelenbeli fogyasztási lehetőségeit jövőbeli fogyasztási lehetőségeinek ovásáa. Egy onta kolátozódó költségvetési kolátját ezzel, ha csak egy iányban, de végtelen számú lehetősége tágította ki. Most kézeljük el az altenatív lehetőséget. Fogyasztónk nem engedheti meg magának, hogy gazdag ajándékokat vegyen kaácsonya, met januában má nem halogathatja tovább a lakásában má égóa esedékes felújítási munkálatokat. Januái jövedelme edig ee nem ad kellő fedezetet. Mit tehet ilyenko? Féletesz valamennyi énzt decembeben a felújítás céljaia. Megtehetné azt is, hogy a ánában őzi megtakaított énzét, de mivel jól tudja, hogy a bankban kamatot fizetnek éte ( B a betéti kamatláb), acionális fogyasztóként inkább ott tatja januáig a énzét. Feltesszük, hogy a bank ontosan ugyanannyi kamatot fizet a betéteseknek, mint amennyi kamatot számít fel a kölcsönökét. A közgazdasági szakzsagon azt az esetet, amiko B H, tökéletes hiteliacnak nevezi. Az előző okfejtéssel analóg módon, könnyen belátható, hogy ilyenko a fogyasztó a jövőbeli fogyasztási lehetőségeit tágította ki jelenbeli fogyasztási lehetőségei tehée. S mivel a betéti és hitelkamatlábak egymással megegyeznek, most az M ( m, m ) készletontból kiindulva, felfelé mozdult el a ( H ) hajlásszögű egyenes mentén. Ezzel a tanzakcióval, egészen a függőleges tengellyel való metszésontig, bámilyen métékig kées kitágítani jövőbeli fogyasztási lehetőségeit jelenbeli fogyasztási lehetőségeinek tehée. Egyetlen onta kolátozódó költségvetési kolátját ezzel a másik iányban is végtelen számú lehetősége tágította ki. Az ily módon meghatáozott egyenest intetemoális költségvetési kolátnak nevezzük. 24.2 fólia Az intetemoális költségvetési kolát bonyolultabb fomát is ölthet, ha a betéti és hitelkamatlábak egymástól különböznek. Ha a hitelkamatláb magasabb, mint a betéti kamatláb ez a eális feltételezés, hiszen a bank működési költségeit valamiből 3

fedezni kell, akko egységnyi megtakaítás évén kevesebb jövőbeli fogyasztási lehetőséghez lehet jutni, mint amennyi jövőbeli fogyasztásól mondunk le akko, ha jelenbeli fogyasztásunkat egy egységgel szeetnénk növelni. Ezt az esetet a közgazdászok tökéletlen hiteliacnak szokták nevezni. Az elnevezés aa utal, hogy a bankok közti tökéletes veseny zéus működési költségek esetén kées kiegyenlíteni a betéti és hitelkamatlábak esetlegesen meglevő különbségeit. A tökéletes-tökéletlen kifejezés temészetesen nem túl szeencsés, de mivel ez a megszokott, mi is ezt használjuk. A továbbiakban kizáólag tökéletes hiteliacokat feltételezünk. Az intetemoális döntési obléma tágyalását nem teheljük meg a betéti és hitelkamatlábak különbözőségének oblémájával. 24.3 fólia Az intetemoális költségvetési kolátnak algebai fomát is adhatunk. Induljunk ki abból az iménti megállaításunkból, hogy a mai és a holnai fogyasztási lehetőségeink közti átváltási aányt az intetemoális költségvetési egyenes hajlásszöge fejezi ki! Hogyan lehetne ezt a statikus fogyasztási elméletből ismet áaány analógiájáa visszavezetni? Mit jelentenek itt egyáltalán az áak? Íjuk fel a költségvetési kolátot a jelen és jövő fogyasztási lehetőségeit étékelő, egyelőe ismeetlen jelentésű áak segítségével. Ezen a módon definiáltunk egy V összjövedelmet is: a két időontbeli jövedelmünk megfelelő időontbeli áakon étékelt összegét. Teljes diffeenciálással megkajuk, hogy a jelen és a jövő fogyasztási lehetőségei közti cseeaány a jelen és a jövő fogyasztási lehetőségeihez tatozó áaánnyal egyenlő (3 ). Ha a jelenbeli fogyasztás áát egységnyinek választjuk ( ), akko a két időontbeli fogyasztás közti cseeaányt alaul véve azt kajuk, hogy a jövőbeli fogyasztás áa : /( ). Ha összegezni akajuk jelen- és jövőbeli jövedelmünket ugyanúgy, ahogy az almáa és kötée fodított kiadásainkat is csak az áak segítségével vagyunk kéesek összegezni, akko jövőbeli jövedelmünket és fogyasztásunkat /( ) áon étékelve, voltakéen nem tettünk mást, minthogy minden jövőben megkeesett és kiadott fointot a jelenben megkeesett és kiadott fointétéken étékelünk. Az intetemoális költségvetési kolát így a (6)-os kéletnek megfelelően átíható. V nem más, mint az összes jelen- és jövőbeli jövedelmünknek jelenbeli fogyasztási lehetőségeinken számított étéke, öviden: jelenétéke. Teljesen analóg módon kiszámíthatjuk a különböző időontbeli jövedelmeink jövőétékét (V ) is. Ez esetben azonban a jövőbeli jövedelem áát kell egységnyinek választanunk. V nem más, mint az összes jelen- és jövőbeli jövedelmünknek jövőbeli fogyasztási lehetőségeinken számított étéke, öviden: jövőétéke. Miét is lenne az iaci tökéletlenség, hogy a bankoknak működési költségeik vannak? A tökéletes hiteliac ideája voltakéen mindenfajta iac tökéletes működésével analóg fogalom. Aa ímel, amit eddig is többszö felemlítettünk, hogy a tökéletes veseny modelljében eltekintünk a iacok (infomációs, tanzakciós és egyéb) működési költségeitől. Ami esze nem jelenti azt, hogy ilyen költségek nincsenek, hanem usztán csak azt, hogy a modellek egyszeűsítése édekében elvonatkoztatunk tőlük. 4

24.4 fólia Az intetemoális költségvetési kolát segítségével könnyen ábázolhatjuk jövedelmünk jelen-, illetve jövőétékét. A jelenéték nem más, mint a költségvetési egyenes vízszintes tengelymetszetéhez tatozó fogyasztás étéke. Ennyi jövedelmünk lenne ma abban az esetben, ha minden holnai jövedelmünket mai fogyasztási lehetősége váltanánk át, vagyis ha annyi kölcsönt vennénk fel ma, hogy csak az összes jövőbeli jövedelemünk lenne elegendő ahhoz, hogy azt visszafizessük. Analóg ételme van jövedelmeink jövőétékének (lásd a függőleges tengelymetszetet!). Ennyi fogyasztási lehetőséggel endelkeznénk a jövőben, ha minden mai jövedelmünket a jövőbeli fogyasztás céljából megtakaítanánk. 24.3 Fogyasztói efeenciák: intetemoális hasznossági függvény Tekintsük most a fogyasztó efeenciáit, ahogyan azt a fogyasztó közömbösségi göbéi eezentálják! 24.5 fólia A közömbösségi göbék alakja megmutatja, hogy a fogyasztó a jövő fogyasztását a jelen fogyasztásához kéest hogyan étékeli. Például, ha húznánk egy olyan közömbösségi göbét, amelynek a meedeksége minden ontban l lenne, akko ezzel egy olyan fogyasztó intetemoális efeenciáit jelenítenénk meg, akinek közömbös az, hogy amit fogyaszt, azt ma vagy holna fogyasztja el. 2 Jól viselkedő efeenciák esetén a fogyasztó hajlandó a mai fogyasztását bizonyos métékben a holnaival helyettesíteni, és sajátos ízlésétől függ az, hogy milyen métékben. Ebben az összefüggésben igen temészetes a efeenciák konvexitása, ami azt fejezi ki, hogy a fogyasztó előnyben észesíti azt az állaotot, ha ma és holna is endelkezik bizonyos métékű fogyasztási lehetőséggel, azzal az állaottal szemben, ha sokat fogyaszthat ma és semmit sem fogyaszt holna, vagy ha sokat fogyaszt holna és semmit sem fogyaszt ma. Az intetemoális efeenciákat is eezentálhatjuk a fogyasztói elméletben megismet hasznossági függvénnyel. A fogyasztó időefeenciáit a jelen és jövőbeli fogyasztási lehetőségek közti helyettesítési hatáátával íhatjuk le. 24.6 fólia A 24.6. ábán két különböző időefeenciájú fogyasztó közömbösségi göbéjét mutatjuk be. Az összehasonlítás céljából kiválasztott közös ontban mind az A, mind edig a B fogyasztó előnyben észesíti a mai fogyasztást a holnaival szemben, B fogyasztó azonban e tekintetben A-val szemben tüelmetlenebb. Temészetesen elkézelhetők olyan fogyasztók is, akik hatáozottan a jövő fogyasztási lehetőségeit efeálják a jelen lehetőségeivel szemben. Ilyenek éldául azok, aki valamie nagyon gyűjtenek. 2 A jelen és jövő fogyasztási lehetőségei között a ő számáa tökéletes a helyettesítés. 5

24.7 fólia A közgazdasági elemzésekben gyakan használják az intetemoális hasznossági függvény egy seciális fomáját: a diszkonttényezővel ellátott additív szeaábilis hasznossági függvényt. Ez a függvény az egyes időontbeli fogyasztási étékek hasznossági indexeit összegzi úgy, hogy a jövőbeli fogyasztás hasznosságát a jelenbeli fogyasztás hasznosságához kéest egy konstans tényezővel leétékeli. E függvényfoma használata kézenfekvő előnnyel já: mivel egyetlen aamétebe ez itt β sűíti a fogyasztói időefeencia métékét, ezzel az általánosabb függvényfomákhoz kéest technikailag kezelhe-tőbbé is teszi. 3 24.4 Intetemoális fogyasztói döntés A költségvetési kolát és a hasznossági függvény ismeetében meghatáozhatjuk a fogyasztó otimális döntését. Nem kell mást tennünk, mint ahogy azt az első félévben megtanultunk megoldanunk a oblémához tatozó feltételes otimalizálási feladatot. 24.8 fólia A feladat megoldása soán itt is egy éintőfeltételhez jutunk. Az otimumban a fogyasztó olyan jelen- és jövőbeli fogyasztási kosaat választ, amelynél intetemoális helyettesítési hatáátájának étéke é megegyezik a jelen és jövőbeli fogyasztási lehetőségek iaci cseeaányával. Magyaán azzal, ahogy a hiteliac közvetítésével kées a jelenbeli jövedelmét jövőbelie váltani (ha megtakaít, illetve kölcsönt nyújt, akko ezt teszi), vagy ahogy jövőbeli jövedelmét kées jelenbelie cseélni (ha kölcsönt vesz fel, akko ezt teszi). 4 24.9 fólia Vizsgáljuk meg a 24.9. ábán látható két fogyasztó döntését. A két fogyasztónak azonosak a jövedelmei 5, de jellegzetesen különböznek a efeenciái. Ha a kamatlábak mindekettőjük számáa azonosak, máskéen fognak viselkedni. A fogyasztó beteszi a bankba a énzét, megtakaít úgy is mondhatjuk, hogy kölcsönt nyújt 6, B fogyasztó edig kölcsönt vesz fel. Mindkettejüke nézve azonban évényes az első félévben megismet általános összefüggés: noha az otimumban a két személy efeenciái egymástól különböznek, a helyettesítési hatáaányok azonban mindegyikőjük számáa azonosak. 7 3 Vigyázat! Az, hogy az időefeencia méőszáma egyetlen konstans e hasznossági függvényben, nem feltétlenül jelenti azt, hogy az intetemoális helyettesítési hatááta a hasznossági függvény minden ontjában azonos. Miét nem jelenti azt? És milyen seciális esetben jelenti mégis azt? 4 Ételmezzük az éintőfeltételt a statikus fogyasztói döntésnél megszokott módon! Az első félévben megismet abitázs-évelés alkalmazásával (közgazdasági évvel és ne mechaniku-san) bizonyítsuk be, hogy nem lehet otimális az az intetemoális fogyasztói kosá, amelynél a helyettesítési hatááta nagyobb vagy kisebb ()-nél. Mit jelent ez? 5 Úgy is mondhatnánk, hogy azonosak az indulókészletei. 6 A bank közvetítésével mindenkéen kölcsönt nyújt valakinek. Az ő szemontjából mindegy, hogy kinek. 7 Mi a jelentése ennek? Itt is keessük meg a fogyasztáselméleti analógiát! 6

24. fólia A 24.. ábán egy olyan esetet mutatunk be, ahol két azonos efeenciájú fogyasztó indulókészleteit az intetemoális költségvetési egyenesen úgy helyeztük el, hogy a hiteliaci otimumban egyikük kölcsönadó, a másikuk edig kölcsönvevő legyen. 24.5 Komaatív statika Hogyan eagának a fogyasztók a kamatláb változásáa? Ez nyilvánvalóan ugyanolyan jellegű kédés, mint amiko a fogyasztói elméletben azt fitattuk, hogy hogyan eagálnak a fogyasztók a temékek áaányának megváltozásáa. Mint a statikus fogyasztói elméletben is láttuk emlékezzünk a Szluckij-tétele!, ez nem egyszeű kédés. Lássunk előszö egy egyszeűbb esetet! A kamatláb emelkedé-se megváltoztatja-e a fogyasztók eedeti hiteliaci helyzetét? Aki eedetileg kölcsönadó vagy kölcsönvevő volt, az megmaad-e annak a kamatemelés után is? Tekintsük a 24.. ábát! 24. fólia Fogassuk el a költségvetési egyenest egy adott készletontból (M) kétfélekéen. Előszö úgy, hogy a fogatással a kamatlábat megnöveljük (a költségvetési egyenes ekko meedekebb lesz), másodszo edig úgy, hogy a kamatlábat csökkentjük (a költségvetési egyenes ekko laosabb lesz). Az első esetben az ába baloldali aneljén a fogyasztó a kamatváltozás előtti helyzetben kölcsönadó volt. Könnyen igazolható, hogy a kamatemelés nem változtatja meg a fogyasztó hiteliaci helyzetét. Ha koábban kölcsönadó volt, akko az is maad. Miét? Induljunk ki abból: a kamatemelés előtti állaotban a költségvetési halmaz besatíozott ontjai koábban is mind eléhetők voltak a fogyasztó számáa, ő mégis az E ontot választotta, E-t tehát biztosan előnyben észesíti a satíozott halmaz ontjaival szemben. Mivel az eedeti otimális kosá (E) a kamatemelés utáni állaotban továbba is észe maad a fogyasztó költségvetési halmazának, új otimuma nem eshet az új költségvetési egyenes olyan ontjáa, amely indulókészletétől jobba helyezkedik el (vagyis észe a szükével jelölt halmaz-nak). Ez esetben ugyanis olyan ontot választana, amelyet má egysze, E oció jelenlétében elutasított. Az új otimum tehát szükségkéen csak az elfogatott költségvetési egyenes azon ontjaia eshet, amelyek a készletonttól bala helyezkednek el. Hasonló hatás mutatható ki a kölcsönvevők esetében: ha a fogyasztó a kiinduló helyzetben kölcsönvevő volt, akko az előbbivel analóg évelés segítségével beláthatjuk, hogy kamatcsökkentés esetén az is maad. Ezt az esetet látjuk a 24.. ába jobboldali aneljén. 24.2 fólia A két altenatív esetől nevezetesen, hogy mi töténik a kölcsönadóval kamatcsökkentés, illetve, hogy mi töténik a kölcsönvevővel kamatemelés esetén 7

előzetes megfontolások alaján semmi biztosat nem mondhatunk. A dolog kimenetele a fogyasztó sajátos efeenciáin is múlik. Téjünk most vissza az eedeti kédéshez: Hogyan eagálnak a fogyasztók a kamatláb változásáa? A fogyasztói eakciók itt is akácsak a statikus fogyasztói elméletben két komonensből: helyettesítési és jövedelemhatásból állnak. Vizsgáljuk meg őket alaosabban! A 24.3. ábán egy olyan személy esetében vizsgáljuk meg a kamatláb emelkedésének hatását, aki a kamatemelés előtt kölcsönadó volt. Mint az előző évelésből tudjuk, ő továbba is kölcsönadó maad. 24.3 fólia Alkalmazzuk a Szluckij-tételt! A kiinduló állaotban a fogyasztó otimális döntése az E ontban volt. A kamatláb emelkedésének hatásáa edig átkeült az E ontba. Folytassunk le egy gondolatkíséletet: Mi tötént volna akko, ha a kamatláb úgy emelkedett volna, hogy közben a fogyasztó nem mozdulhatott volna el eedeti otimumában elét hasznossági szintjéől? Mivel a jelenbeli fogyasztás a jövőbeli fogyasztáshoz kéest megdágult a kamatláb emelkedése ezt jelenti a fogyasztó csökkenti jelenbeli, és növeli jövőbeli fogyasztását. Ez a helyettesítési hatás. A kölcsönadó helyzete azonban a 24.2. ába alaján elvégzett elemzésből tudjuk kamatemelés következtében egyételműen javul is. Ez a javulás azon méhető le, hogy a kamatemelés évén a ögzített hasznossági szint E ~ ontjához húzott költségvetési egyenesől átkeült a (magasabb jelenétéket kéviselő) effektív költségvetési egyenese. V ~ jelenétékől elmozdult a magasabb V jelenétéke. Ez a jövedelemhatás. Mivel jó okunk van á, hogy mind a jelenbeli, mind a jövőbeli fogyasztást nomál jószágnak tekintsük, a jövedelemnövekedés mindkét időontbeli fogyasztás növelésée ösztönzi a fogyasztót. Mivel a jövőbeli jövedelem esetében a helyettesítési hatás és a jövedelemhatás egy iányba mutat, e tekintetben biztos előejelzést tehetünk: a kamatláb emelkedése azzal a következménnyel já, hogy a kölcsönadó bizonyosan növelni fogja jövőbeli fogyasztását. A jelenbeli fogyasztással kacsolatos előejelzésünk má nem egyételmű. Az, hogy ilyen helyzetben a jelenbeli fogyasztás étéke nő, csökken, vagy változatlan maad, az azon múlik, hogy az ellentétes előjelű helyettesítési és jövedelemhatás közül melyik dominálja a másikat. 24.4 fólia A 24.4. ába ugyanezt vizsgálja meg a kölcsönvevőe nézve abban az esetben, ha az a kamatemelés hatásáa továbba is kölcsönvevő maad. A most bemutatott éveléssel analóg módon belátható, hogy egy kölcsönvevő számáa a kamatláb emelkedése szükségkéen csökkenti a mai fogyasztását (az ő esetében a jövőbeli fogyasztással kacsolatos előejelzések a bizonytalanok). 8 24.6 Fishe-egyenlet Az intetemoális fogyasztói döntés modelljét felhasználva, fontos dolgokat tudhatunk meg az inflációól, a fogyasztási javak áának általános emelkedéséől. Ezt 8 Póbáljuk ki, meg tudjuk-e ismételni az előző évelést ebben az esetben! Ha igen akko az előző okfejtést is megétettük. 8

a szemontot egyszeűen beéíthetjük az elemzésbe. Elegendő azt megenged-nünk, hogy a fogyasztási javak átlagáa (az ászínvonal) a két időszakban különbözzék. Az alábbi eedménye jutottunk: 24.5 fólia N π R. Ez a híes Fishe 9 -egyenlet, amely kimondja: a nominális kamatláb megközelítően egyenlő a eálkamatláb és az inflációs áta összegével. Mivel a jövőbeli inflációs áta általában nem ismet, ezét az egyenlet átfogalmazható úgy, hogy a tényleges inflációs áta helyébe azt az inflációs átát íjuk be, amelye a gazdaság szeelői számítanak e ( π ): e N π. R Ezt a következményt így fogalmazhatjuk meg: Minél eősebbek az inflációs váakozások (vagyis minél nagyobb inflációa számítanak a gazdaság a szeelői), annál magasabb lesz a nominális kamatláb. 24.7 A modell kitejesztése kettőnél több időont esetée Az intetemoális döntés modellje kitejeszthető kettőnél több eiódusa is. Vegyük előszö ennek a legegyszeűbb esetét: a háomeiódusú modellt! 24.6 fólia Egy háomeiódusú modell összeakható két kéteiódusú modellből. Annyit kell csak megtennünk, hogy egy máa és holnaa, valamint egy holnaa és holnautána megfogalmazott modellt összekacsolunk egymással. Hogyan tudjuk a hamadik eiódusban megkeesett jövedelmet, illetve fogyasztási kiadást kifejezni az első időszak (a ma) fogyasztásának étékén? Hogyan hatáozható meg a kéteiódusú modell, két időszakot összekötő, övid távú kamatlábaiból a háomeiódusú modell, hoszabb időszak fogyasztási étékeit összekötő kamatlába? Ha ezt a kédést kéesek vagyunk megválaszolni, akko a tetszőleges hosszúságú időtávokat összekötő, ún. hosszú távú kamatlábat is meg tudjuk hatáozni. Induljunk ki abból, hogy egy tetszőleges t-edik időontbeli övid távú kamatláb nem tesz mást, mint beáazza a ( t ) -edik idő-ontbeli fogyasztást a t-edik időontbeli fogyasztáshoz viszonyítva. Ha éldául t, akko az kamatláb lehetővé teszi, hogy a /( ) fomula segítségével beáazzuk az első időszakbeli fogyasztásunkat, a áú, -dik időszakbeli fogyasztásunkhoz kéest. Ezeknek az áaknak 9 Iving Fishe (867-947), ameikai közgazdász tiszteletée nevezték el így. Fishe volt az első olyan közgazdász, aki a közgazdasági dinamikát valóban koszeű módon kezelte. Az ő munkássága nyomán vált általánossá az intetemoális döntési oblémák itt bemutatott tágyalási módja. Az eddigiekben alkalmazott diagamot is óla nevezték el Fishe-diagam-nak. 9

a segítségével tudjuk jelen- és jövőbeli jövedelmünk, illetve fogyasztásunk jelenétékét kiszámítani. 24.7 fólia Az ily módon meghatáozott áak felhasználásával tetszőleges éváa tudunk áaányokat számítani úgy, hogy minden esetben a bázisidőszaki fogyasztás áát vesszük egységnyinek. A 24.7. fólián jól látszik, hogy ha az így kaott, egymást követő övid távú kamatlábakat tatalmazó áaányokat összeszoozzuk egymással, akko megkajuk két egymástól időben tetszőleges messze levő fogyasztás áaányát is. A szóban fogó áaány temészetesen tatalmazza a megfelelő hosszú távú kamatlábat is. 24.8 fólia A háomeiódusú modellben a hamadik időszak fogyasztását és jövedelmét ennek a kamatlábnak a segítségével lehet az első időszak fogyasztási lehetőségeinek étékén meghatáozni. Ezen az áon étékelve adható hozzá a hamadik eiódus jövedelme és fogyasztása a háomeiódusú modell költségvetési kolátjához. Teljesen analóg módon konstuálhatjuk meg egy tetszőlegesen sok eiódust tatalmazó intetemoális modell költségvetési kolátját is. 24.8 Intetemoális fogyasztói döntés temelés mellett Az intetemoális fogyasztói döntési oblémát kiegészíthetjük a temeléssel. Induljunk ki egy önellátó búzatemelő fame végtelenségig leegyszeűsített, kétidőszakos döntési oblémájából! Vizsgáljuk meg előszö azt az esetet, amiko fameünk önellátó temelést folytat!. Autakia 24.9 fólia A fame döntési helyzetét attól a onttól kezdve követjük nyomon, hogy idei ( t ) temését ( m ) leaatta. Jövő évi temését úgy biztosíthatja, hogy az idei temés egy észét féle- teszi vetőmagnak (k). A obléma egyszeűsége édekében feltesszük, hogy a fame fogyasztása egyedül gabonából áll, továbbá hogy, amit megtemel, azt vagy elfogyasztja idén ( c ), vagy edig vetőmagként felhasználja jövőe. Temelési technológiáját a c f ( k) konkáv temelési függvény íja le: k mennyiségű vetőmag felhasználásával temeli meg a jövő évi búzáját ( c ). Az idei év esektívájából szemlélve a dolgot, ha nem tenne féle vetőmagot, vagyis nem uházna be a jövő évi temelésbe, akko a jövő évi fogyasztása zéus volna. Jövő évi indulókészlete tehát m. Mennyi búzát kell féletennie vetőmagnak, ha azt szeetné eléni, hogy idei és jövőbeli fogyasztását egyaánt magában foglaló fogyasztói kosaa otimális legyen? A 24.9. ábán az előző óán bevezetett temelési lehetőségek halmaza segítségével ábázoltuk a fame technológiai lehetőségeit. A temelési lehetőségek

hatáfelülete T ( c, c ) függvény az f (k) temelési függvény által kéviselt temelési lehetőségeket testesíti meg. A vetőmag mennyisége és a jövő évi temés nagysága közti függvényszeű összefüggést ugyanis e hatáfelületől is leolvashatjuk. 24.2 fólia A 24.2. fólián ezt algebailag is belátjuk: a temelési függvény és a temelési lehetőségek hatáfelülete ontosan ugyanazt az infomációtatalmat hodozza. A TLH hatáának bámely ( c,c ) ontjában hatáozzuk meg az idei és a jövő évi búza mennyisége közti tanszfomációs hatáaányt (MRT-t), az azonosan egyenlő lesz az idei búzából féletett vetőmag k m c ) ontban mét hatátemékével. ( 24.2 fólia 24.22 fólia Ennek a belátása után megoldjuk az önellátó fame beuházási oblémáját. Keessük meg a fame jólétét maximalizáló otimális vetőmagmennyiséget! Vagyis oldjuk meg a 24.2. fólián látható feltételes otimalizálási feladatot. Az otimum ott lesz, ahol az idei és jövő évi fogyasztás közti helyettesítési hatáaány megegyezik a tanszfomációs hatáaánnyal, vagyis azzal, ahogyan az idei fogyasztás ovásáa temelés évén növelni tudja jövő évi fogyasztását. Minden más megoldás hatékonyságveszteséggel jána. (Miét? Kézeljünk el egy olyan esetet, amiko a közömbösségi göbe két onton is metszi a TLH-ának hatáfelületét! Ezekben a ontokban nem teljesül az éintőfeltétel. Adjunk intuitív magyaázatot á, hogy ezekben a ontokban miét nem lehet otimális a féletett vetőmag mennyisége! Ha jó intuitív magyaázatot tudunk adni, akko étjük, miől van szó.) 2. Decentalizált megoldás Vizsgáljunk most meg egy altenatív esetet. Fameünk vállalkozó lesz. Mostantól fogva iaca temel. Az egyszeűség kedvéét feltesszük, hogy az idei és a jövő évi búza nominális áa megegyezik, és étéke. Ilyen köülmények között hogyan hatáozhatjuk meg a fame oblémáját? Mennyi vetőmagot tesz féle, és mi lesz a jólétét maximalizáló otimális jószágkosaa? Vegyük észe, hogy ez esetben a feladatot két léésben kell megoldania. Előszö is egy beuházási döntést kell hoznia. A fame gazdasága itt úgy működik, mint egy ofitmaximalizáló vállalat, amelynek meg kell oldania egy beuházási feladatot. Olyan beuházási volument kell választania (annyi vetőmagot kell féletennie), amelynél a gazdaság ofitja maximális lesz. 24.23 fólia Az az á, ami egy zsák búzáa a iacon ki van íva: m m, ahol az m felső index jelöli akácsak a Fishe-egyenletben a énzbeli (m monetay) áat.

Hatáozzuk meg mindenekelőtt a ofitját! Ha nem uházna be, akko jelen és jövőbeli m jövedelmeinek jelenétéke V m m m volna. A beuházás célja éen az, hogy jövedelmeinek jelenétékét növelje. (Egyébként mi ételme lenne az egésznek?) A beuházással é az a célja, hogy jövedelmeinek jelenétékét a ofit összegével megnövelje. A fame ofitját úgy kajuk meg, hogy a jövő évi bevételéből levonjuk idei kiadásait. Mivel a kiadás és a bevétel különböző időontokban meül fel, azonos nevezőe kell hoznunk őket. Mi itt jelenétéken összegeztünk. k π ( ) f ( k k ). Ezt a különbséget kell maximalizálnunk. 24.24 fólia Az elsőendű feltétel ( f ( k) ) ha első illantása nehéz is felismeni nem más, mint a temeléselméletből jól ismet MR MC feltétel. Mivel a búza énzbeli áa, az * f ( k) éték nem más, mint egységnyi vetőmag-felhasználás hatátemékének jövő évi étéke, vagyis az egységnyi vetőmagfelhasz-nálással jáó hatábevétel. ( ) edig nem más mint egységnyi vetőmag-felhasználás hatáköltsége, hiszen amiko a jövő évi búza előállítása édekében egy egységnyi búzát nem fogyasztunk el akko jövőétéken számolva, ontosan *( ) jövedelemől mondunk le. (Minden költség altenatív költség!) Az elsőendű feltételt megoldva, megkajuk az otimális vetőmag-felhasználás volumenét: k *-ot. Ezt viszahelyettesítve a ofitfüggvénybe, megkajuk a famegazdaság otimális ofitjának étékét ( π *). Ha az otimális ofit étékét temészetesen jelenétéke átszámítva hozzáadjuk a fame indulókészletének jelenétékéhez (V-hez), azzal az intetemoális költségvetési kolátot kitoltuk egészen a temelési lehetőségek hatááig, egészen addig, ahol a költségvetési kolát má a temelési lehetőségek hatáfelületének éintője lesz. Ebben a ontban teljesül a jól ismet éintőfeltétel. Most sot keíthetünk a fame második oblémájának a megoldásáa. A fame zsebében most indulókészletének jelenétékénél nagyobb jelenétékű jövedelem laul: V * V π *. Hogyan osztja fel ezt a jövedelmet a jelen- és a jövőbeli fogyasztás céljaia? Most meg kell hoznia fogyasztási döntését. Ugyanazt a feladatot kell megoldania, mint amit má az előadás első felében megoldottunk. 24.25 fólia A fame fogyasztóként olyan otimális fogyasztói kosaat választ, amelynél fogyasztásának intetemoális helyettesítési hatáátája é megegyezik a mai és holnai fogyasztási lehetőségek iaci cseeaányával. Máskéen megfogalmazva: jelen-, illetve jövőbeli fogyasztása akko tekinthető otimálisnak, ha jelen- és jövőbeli fogyasztását egymáshoz kéest ontosan annyia étékeli, mint amennyiét jövőbeli fogyasztását a hiteliacon jelenbeli fogyasztása tudná cseélni. Aól az áól van szó, ami a zsáka van átűzve. 2

3. Fishe-féle szeaációs tétel Ez az eedmény mint má az előadás első észében említettük független attól, hogy a fogyasztó (jelen esetben: a fame) milyen efenciákkal endelkezik. 24.9 fólia ismét Ha a hiteliacok tökéletesek, akámilyen efeenciájú legyen is a fogyasztó, hitelfelvétel vagy kölcsönnyújtás évén mindig kées eleget tenni az említett otimumfeltételnek. Ez azonban egyszesmind azt is jelenti, hogy beuházási és fogyasztói döntése tökéletesen szeaálható egymástól. 24.26 fólia A 24.26. ábán egy gafikonon ábázoltuk a fame beuházási és fogyasztói döntését. Időefeenciájával kacsolatban edig háom altenatív feltevést fogalmaztunk meg: A, B és C feltevést. Minél közelebb áll C-hez, elatíve annál többe étékeli az idei fogyasztást a jövő évihez kéest, minél közelebb áll A-hoz annál többe étékeli a jövő évi fogyasztását az ideihez kéest. Az ába leglényegesebb üzenete az: akámilyenek is az efeenciái, mindenkéen ugyanazt a beuházási döntést fogja meghozni. Ez a felismeés az alaja a dinamikus közgazdaságtan egy igen fontos tételének, amelyet megalkotójának tiszteletée Fishe 2 -féle szeaációs tételnek neveztek el. 24.27 fólia Ennek a tételnek a beuházás-, illetve tőkeelméletben 3 igen nagy hasznát vesszük. Ha az említett feltételek fennállnak, akko az otimális beuházási döntés meghatáozásako nem szükséges a obléma legáltalánosabb eezentációjáig, a beuházási döntést is meghozó fogyasztó haszonmaximalizálási oblémájáig elmennünk, elegendő a jóval egyszeűbb beuházási (vagyon-maximalizálási) oblémát megoldanunk. Biztosak lehetünk abban, hogy akámilyen efeenciájú szeelő legyen is a döntéshozónk, beuházási döntése efeenciáitól függetlenül ugyanaz lesz. Végezetül ejtsünk néhány szót a tételben megfogalmazott kikötésekől! A 2. kikötés az előadás első felében elmondottak alaján eléggé kézenfekvő. Ha a betéti és hitelkamatlábak különböznek, akko a kölcsönadók és kölcsönvevők más-más intetemoális költségvetési koláttal néznek szembe, így beuházási döntésük éintőfeltétele is különböző lesz. Ami az. kikötést illeti, ott az a gond, hogy ha az intetemoális hasznossági függvénynek más agumentumai is vannak a legjobb élda ee a szabadidő, akko a fogyasztók jólétüket nemcsak fogyasztásban (s így énzben) kifejezett dolgokban, hanem másban (éldául szabadidőben) is méik, melyet ez esetben nem lehet teljes métékben fogyasztási lehetőséggel kiváltani. Beuházás évén máedig egyedül énzbeli jövedelmünket tudjuk csak növelni. 2 Iving Fisheől van itt is szó. 3 A tétel alkalmazásával jövőbeli tanulmányaik soán nagy valószínűséggel két helyen is találkozhatnak: a vállalati énzügyek, illetve a munkaeőiac gazdaságtana című tantágyban. Az előbbi esetben a tétel a fizikai tőkejavakba, az utóbbi esetben az embei tőkébe (az embei tudásba) való beuházásoka konketizálható. 3

Iving Fishe (867 947) 4

24. előadás INTERTEMPORÁLIS DÖNTÉSEK MELLÉKLET Ketesi Gábo 5

24. Intetemoális költségvetési kolát (tökéletes tőkeiac/hiteliac: B H ) 6

24.2 Intetemoális költségvetési kolát ( tökéletlen tőkeiac/hiteliac: B H ) 7

24.3 A jelen- és jövőbeli jövedelmek jelenétéke és az intetemoális költségvetési kolát A jelen és a jövő fogyasztási lehetőségei közti átváltási összefüggést az alábbi egyenlet fejezi ki: dc () dc Íjuk föl az intetemoális költségvetési kolátot a jelen- és jövőbeli fogyasztási lehetőségek áainak segítségével c c m m V, (2) ahol V jelen- és jövőbeli jövedelmeink összétékét kéviseli. Rögzítsük V-t, és diffeenciáljuk teljesen (2)-t c és c szeint! Átendezve: dc dc (3) (3 ) dc dc Legyen a jelenbeli fogyasztás ( c ) a numéaie, vagyis legyen! 8

24.3 A jelen- és jövőbeli jövedelmek jelenétéke és az intetemoális költségvetési kolát (folytatás) Ekko ()-et (3 )-be helyettesítve, ezt kajuk: Vagyis: dc (4) dc ha, akko (5) (5) felhasználásával íjuk át (2) intetemoális költségvetési kolátot! c c m, (6) m V ahol V nem más, mint az összes jelen- és jövőbeli jövedelmünk jelenétéke (jelenbeli fogyasztási lehetőségünk áán számított étéke). (4)-ből következően, amennyiben c-et választanánk numéaie-nek ( ), akko. Ez esetben az intetemoális költségvetési kolát így festene: ( )c, (7) c ( )m m V ahol V nem más mint összes jelen- és jövőbeli jövedelmünk jövőétéke (jövőbeli fogyasztási lehetőségünk áán számított étéke). 9

24.4 A jelenéték (a jövőéték) és az intetemoális költségvetési kolát 2

24.5 Az intetemoális hasznossági függvény és helyettesítési hatáaány 2

24.6 Különböző időefeenciájú fogyasztók 22

24.7 Additív szeaábilis hasznossági függvény diszkonttényezővel: az intetemoális hasznossági függvény egy fontos seciális esete u(c,c) v(c) βv(c) () u(c,c) v(c) v(c), ρ ( ) β ρ, ρ, < β (2) ahol ρ a diszkontláb (vagy diszkontáta), β edig a diszkonttényező. β azt méi, hogy a fogyasztó szubjektíve milyen métékben étékeli kevesebbe a jövőbeli fogyasztás hasznosságát a jelenbeli fogyasztás hasznosságánál. β nem más mint a fogyasztó időefeenciájának méőszáma: milyen métékben étékeli a jelent a jövőhöz kéest többe. Példa: u(c,c) lnc β lnc (3) HF: Hatáozzuk meg a helyettesítési hatáaányt, és ételmezzük különböző időefeenciájú fogyasztóka (lásd 24.6. fólia)! 23

24.8 Intetemoális fogyasztói döntés max u(c,c) c,c c m kf : c m V (2) A Lagange-feladat: ERF: () c u(c,c) λ(c V) (3) L u(c,c) c : λ (4) c c : u(c,c c ) λ c λ : c V (6) Osszuk el egymással (4)-et és (5)-öt, és megkajuk az intetemoális fogyasztói döntési obléma otimalitási feltételét (az éintőfeltételt): Máskéen: u / c u / c (5) (7) MRS (7 ) c é- (7) és (6) együttesen meghatáozzák az otimális tékét. c és 24

24.9 Intetemoális fogyasztói döntés: azonos indulókészletek, különböző efeenciák 25

24. Intetemoális fogyasztói döntés: különböző indulókészletek, azonos efeenciák 26

24. A kamatláb változásának hatása a kölcsönadó, illetve a kölcsönvevő helyzetée egyételmű esetekben 27

24.2 A kamatláb változásának hatása a kölcsönadó, illetve kölcsönvevő helyzetée minden esetben A fogyasztó a kezdeti állaotban Kölcsönadó Hogyan változik a helyzete ha:?? Továbba is kölcsönadó maad? Kölcsönvevő? Továbba is kölcsönvevő maad 28

24.3 A kamatláb emelkedésének hatása a kölcsönadóa ( hatásáa ő továbba is mindenké kölcsönadó maad) 29

24.4 A kamatláb emelkedésének hatása a kölcsönvevőe (amennyiben továbba is kölcsönvevő maad) 3

24.5 Fishe-egyenlet A jelenbeli fogyasztás dc egységéől való lemondás ( R ) dc jövőbeli fogyasztásegység megszezését teszi lehetővé, fogyasztási eálegységekben méve: dc () ( R ) dc Mi töténik, ha közben az ászínvonal is változik? m Legyen a kezdeti időszak ászínvonala, edig a tágyidőszaké; legyen továbbá m és m a kezdeti és tágyidőszaki fogalomban levő énzmennyiség (a gazdaság szeelőinél levő összjövedelem)! Ekko: m m, c (2a) m m. c (2b) Átendezve és c, illetve m szeint teljesen diffeenciálva: m dc dm (2a ) m dc dm (2b ) m 3

24.5 Fishe-egyenlet (folytatás - ) Definiáljuk a következő hányadost! dm dm N (3) Jelentése: jelenbeli nomináljövedelmünk dm egységéől való lemondásét jövőbeli nomináljövedelmünk ( N ) dm egysége kées bennünket káótolni. ( N ) ennek a jutalma ; a nominális kamatláb. N Helyettesítsük be (3)-ba (2a )-t és (2b )-t! m dc m dm N (4) dm dc Helyettesítsük be (4)-be dc helyée ()-et! m m R ( )dc N (5) dc m m Vegyük észe, hogy / ( π) nem más, mint a nominális áemelkedés (vagyis az infláció) météke, ahol π az inflációs áta. Így (5) átíható a következőkéen: N R ( π)( ) (6) π R π R 32

24.5 Fishe-egyenlet (folytatás - 2) Mivel π R többnyie nullához közel eső kis szám, így megközelítően igaz, hogy : π (7) N R Ez a híes Fishe-egyenlet, mely kimondja: A nominális kamatláb megközelítően egyenlő a eálkamatláb és az inflációs áta összegével. Mivel a jövőbeli inflációs áta többnyie nem ismet, ezét az egyenletben a vát inflációs áta ( π e ) szeeel, amelye a gazdaság szeelői számítanak: N e π (8) Következmény: minél nagyobbak az inflációs váakozások e (minél magasabb π étéke), annál magasabb lesz a nominális kamatláb étéke is. R Pl. π, és R, 3 esetén a tozítás mindössze π R, 3. Iving Fishe (867-947), ameikai közgazdász tiszteletée nevezték el így. 33

24.6 Kettőnél több eiódusú modell 34

35 24.7 Rövid és hosszú távú kamatláb A eiódusok száma Rövid távú kamatláb t Hosszú távú kamatláb R t 2 R 3 2 2 2 2 2 2 R ) )( ( 4 3 2 3 3 3 2 2 2 3 3 R ) )( )( (......... T T T T T T t t T t t t T R ) (

36 24.8 Intetemoális költségvetési kolát kettőnél több eiódus esetén Háomeiódusú modell: 2 2 2 2 V ) )( ( m m m ) )( ( c c c. T-eiódusú modell ( ): T t t i i t T t t i i t V ) ( m ) ( c. Ha... T 3 2, akko: T t t t T t t t V ) ( m ) ( c.

24.9 Intetemoális fogyasztói döntés temelés mellett (autakia) 37

24.2 Egy technikai megjegyzés: c f(k) és T(c,c ) infomációtatalma megegyezik Mivel: c m k, c f(k), így T(m k,f(k)) Diffeenciáljuk k szeint! Átendezve: Vagyis: T(c c,c ) ( ) T(c c,c ) f (k) T / c f (k) MRT. T / c MRT f (k). 38

24.2 A temelés melletti intetemoális fogyasztói döntési obléma megoldása (autakia) max u(c,c) c,c,k () kf-k: c m k (2) c f(k) (3) Helyettesítsük be (2)-t és (3)-at ()-be ERF: Átendezve: max u(m k k,f(k)) (4) u(c,c) u(c,c) ( ) f (k) c c u / c u / c f (k) (5) (6) MRS MRT (6 ) 39

24.22 A temelés melletti intetemoális fogyasztói döntési obléma megoldása (autakia) 4

24.23 Az intetemoális temelői/beuházási obléma 4

24.24 Az intetemoális temelői/beuházási obléma algebai megoldása ERF: max k f(k) π k () f (k) (2) MRT (2 ) (2) egyenlet megoldását (az otimális beuházási volument k -ot) visszahelyettesítve az () ofitfüggvénybe, megkajuk az otimális ofit étékét: f(k ) π k (3) Így, temelés évén a ofit étékével megnöveltük indulókészletünk jelenétékét: V V π (4) f(k ) * m k f(k ) ( m k ) m m. 42

24.25 Intetemoális fogyasztói döntési obléma tökéletes hiteliacok jelenlétében Mennyi lesz a fame idei és jövő évi búzafogyasztása? ERF-k: max u(c,c) c,c c kf: m c m V Vπ () (2) c u(c,c) λ(c V ) (3) L c : c : λ : u(c,c c u(c,c c ) λ ) λ (4) (5) c V (6) c (4), (5) és (6) együttesen meghatáozzák c -ot és c-ot. (4)-et (5)-tel elosztva, megkajuk az otimalitási feltételt (éintőfeltételt): u / c u / c (7) MRS (7 ) 43

24.26 Az otimális beuházási döntés bámilyen időefeenciájú fogyasztó intetemoális fogyasztói döntésével összeegyeztethető 44

24.27 Fishe-féle szeaációs tétel Az intetemoális temelői/beuházási feladat otimális megoldása tökéletesen független az egyéni efeenciáktól, amennyiben fennállnak bizonyos egyéb feltételek:. Az intetemoális hasznossági függvénynek a jelen-, illetve jövőbeli fogyasztáson kívül nincs más agumentuma. Pl. A hasznossági függvény nem tatalmazza a szabadidő változóját egyik időontban sem. 2. A tőkeiac/hiteliac tökéletes. A betéti és hitelkamatlábak megegyeznek:. B H Iving Fishe. Lásd a 24.4. fólia lábjegyzetét 45