VEM A gyakorlati anyagok Összeállíotta: Páczelt István Dluhi Kornél és Baksa Attila.
. gyakorlat Közelítő módszerek I... Ritz-módszer bemutatása példákon keresztül Egy u mező kinematikailag lehetséges, ha folytonos deriválható kielégíti a kinematikai peremfeltételt: A Π min. elvet használjuk: u = u, ha r A u. Az u kinematikailag lehetséges elmozdulás mezőt így közelítjük: N u = u + c i ϕ i ( r ) N e + c N+j ψ j ( r ) N e y + c N+k χ k ( r ) e z i= ϕ i = ψ i = χ i =, ha r A u, i =,..., N Π = Π (c, c,..., c N ) j= k= δπ = Π δc + Π δc + + Π δc N = c c c N δc i tetszőleges legyen! Ezáltal kapunk egy lineáris egyenletrendszert a paraméterekre nézve! δπ = δc T Π c = c T = [ c c... c N ] Π c = [ Π c Π c... Π c N ] T = Π c i =, i =,... N A. ábrán látható húzott-nyomott rúd terhelése p hossz mentén megoszló súlyterhelés, és F L koncentrált erő. A rúd pontjainak elmozdulása u (). z p L A, E = áll. F L c N p N + N.. ábra. Húzott-nyomott rúd; Kiragadott rúddarab
. GYAKORLAT: Közelítő módszerek I. Példa. Rúd differenciál egyenlete N + p = ţ ű N lim + p = dn d + p = ε = u = du d = u kinematikai egyenlet σ = E ε = E u Hook-törvény dn d + p = Kinematikai peremfeltétel: u ( = ) = egyensúlyi egyenlet (rúdra) Dinamikai peremfeltétel: N ( = L) = A E u L = F L + F c = F L c u L Teljes potenciális energia: Π (u) = A rúd belső alakváltozási energiája Π = { }}{ ε σ dv }{{} A d V L A E (u ) d Ennek képezve a variációját kapjuk, hogy L A külső terhelések munkája {}}{ L u p d u L F L + u p d u L F L + c u L rugóenergia {}}{ c u L L L δπ = A E u δu d δu p d + c u L δu L δu L F L = (δ (u ) = u δu ) L δπ = [A E u δu] L δπ = L (A E u ) δu d L δu p d + c u L δu δu L F L = N L [ ] {}}{ (A E u ) + p δu d + (A E u ) L (F L c u L ) δu L = }{{} =: egyensúlyi egy. } {{ } =: dinamikai peremfeltétel Példa. Közelítő megoldás keresése: u () = c + c + c ez kinematikailag lehetséges, ha deriválható u () teljesül a kinematikai peremfeltétel miatt u () = ha c =
.. RITZ-MÓDSZER BEMUTATÁSA PÉLDÁKON KERESZTÜL Tehát ezen feltételeket kielégítő függvény ş u ť Π = = Z L Z L A E ş u ť ZL d A E (c + c ) d = A E ů c L + c c L u () = c + c u p d + c ş ul ť ul F L = Z L + c ą c + c ć p d + c ąc L + c L ć ą c L + c L ć F L = ÿ ÿ L L p ůc + c L + + c č c L + c c L + c L ď ą c L + c L ć F L A variációképzéssel: azaz kifejtve: δ Π = Π c δc + Π c δc = = Π c =, Π c = Π = AELc + AEL c p L c + cl c + cl c LF L = Π = AEL c + c AEL c p L + cc L + cl c L F L = ugyanezt mátrios formában felírva kapjuk: ů ÿ ů ÿ L L c AE L L Speciális esetek c csak koncentrált erővel terhelt rúd ů L + c L L L ÿ ů ÿ c = c " # p L + LFL p L + L F L F L.. ábra. F L, c =, p = a kijelölt osztás után AE ą Lc + L ć. c = FL L : (AEL) AE ţl c + ű. L c = F L L : ą AEL ć c + Lc = F L AE c + FL Lc = AE melyből c = míg c = F L AE. Ebben az esetben a lehetséges elmozdulás a következő alakban adódik u = FL AE melyből látható, hogy a Π min. elv érvényben van! N = AEu = F L dn d dinamikai peremfeltétel = N = áll. NL = FL egyensúlyi egyenlet
. GYAKORLAT: Közelítő módszerek I. csak megoszló terheléssel terhelt rúd p.. ábra. F L =, c =, p AE ą Lc + L ć pl c = AE ţl c + ű L c = pl. : (AEL). : ą AEL ć a kijelölt osztás után c + Lc = pl AE c + Lc = pl AE melyből c = p AE, illetve c = pl AE. Ebben az esetben a lehetséges elmozdulás a következő alakban adódik u = pl AE p AE A kapott megoldás egzakt, mivel az egyensúlyi egyenletet, illetve a dinamikai peremfeltételt kielégíti. N = AEu = pl p = p (L ) ha koncentrált és megoszló terhelés is működik a testen, akkor az előző két eset szuperpozíciójáról van szó. Tehát p = áll., F L, de c =. Ekkor a szuperpozíció alapján a következő eredmény adódik: melyből a lehetséges elmozdulás c = p (FL + pl), c = AE AE u = (FL + pl) p AE AE
. gyakorlat Közelítő módszerek II... Projektív módszer (gyenge alakú megoldás) Húzott-nyomott rúd esete z p = áll. L F L Differenciál-egyenlet Peremfeltételek: u () = N L = AEu L = F L.. ábra. Húzott-nyomott rúd d d (AEu ) + p = kinematikai (vagy lényeges) peremfeltétel dinamikai (vagy természetes) peremfeltétel a.) Súlyozott maradékok módszere u közelítő mező ( ) d AEu + p = d L [ ( ) ] [ d w i AEu ] + p d w il AEu L F L = d ahol w i = w i () teszt (ellenőrző) függvény. u () = u + N c i ϕ i () ; ϕ i ( = ) = próbafüggvények. i= A próbafüggvények lineárisan függetlenek. b.) Bubnov-Galerkin módszer w i () = ϕ i () Tekintsük a következő statikailag lehetséges közelítő függvényt a fennti probléma meg- Példa. oldásához: u = c 5
6. GYAKORLAT: Közelítő módszerek II. azaz ebben az esetben Mely alapján felírható Z L ϕ = w = 6 d d (AEc) h ŕ i + p7 5 d L ŕŕl AEc F L = {z } = p L L (AEc FL) = c = AELc = p L + LFL pl AE + F L AE Az így kapott eredmény ţ ű pl u = AE + FL N = AEu = pl AE + F L mely azt jelenti, hogy a differenciál egyenlet pontonként nem teljesül, de közelíti a tényleges megoldást. N pl + F L N * F L.. ábra. A rúderő eloszlása az tengely mentén Példa. Vegyünk egy másodfokú statikailag lehetséges közelítő függvényt az előző probléma megoldásához u = c + c ϕ = w = ϕ = w = Ekkor két egyenlet írható fel ϕ = ϕ = Z L Z L melyből a két ismeretlen paraméter meghatározható ů ÿ d d AE (c + c ) + p d L [AE (c + c L) F L ] = ů ÿ d (c + c) + p d L [AE (c + c L) F L] = d AEc L + p L LAE (c + cl) + FLL = AE cl + p L L AE [c + c L] + L F L = Tehát a kapott elmozdulás mező c = F L + pl AE c = p AE FL + pl u = AE p AE N = AEu = F L + pl p = F L + p (L ) mely az egzakt megoldást jelenti minden pontban.
.. LEVEZETÉS 7.. Levezetés Mutassa meg, hogy egy kinematikailag lehetséges elmozdulásmezőhöz tartozó potenciális energia mindig nagyobb vagy egyenlő mint az egzakt mezőhöz tartozó! azaz: Π ( u + δ u ) Π ( u ) Π ( u + δ u ) = V V ( A + δa ) D ( A + δa ) dv T V V A p ( u + δ u ) ρ k dv = {}}{ A D A dv u ρ k dv u p da + + + } {{ } Π( u ): egzakt értékhez tartozó V T {}}{ δa D A dv V δ u ρ k dv A p δ u p da+ } {{ } δπ: a potenciális energia variációja δt {}}{ δa D δa dv V }{{} δ Π=U(δA), ez való energia, ha az egzakt megoldásnál vagyunk Π ( u + δ u ) = Π ( u ) + = {}}{ δπ + δ Π Stacionaritási feltétel: δπ = a virtuális munka elve szerint tehát Π ( u + δ u ) Π ( u ) A p ( u + δ u ) p da =
. gyakorlat Ismerkedés az I-DEAS programrendszerrel.. Áttekintés Az I-DEAS olyan általános célú programrendszer, melyet a tervezési folyamat különböző fázisainak megkönnyítésére alkalmazhatunk. Minden egyes gépészeti folyamat más-más alrendszer betöltését és használatát igényli. A program például a következő alkalmazásokat nyújtja: Design: Modeller, Assembly, Drafting Setup Simulation: Boundary Conditions, Meshing, Model Solution Test: Time History, Histogram, Model Preparation, Signal Processing, Modal Manufacturing: Modeler, Generative Machining, Assembly Setup, GNC Setup Főbb jellemzők A parametrikus modellezés. A tervezés során először egy vázlatot kell készíteni, mely nagy vonalakban hasonlít majd az elkészítendő darabhoz, és a méreteket ezután kell pontosan beállítani az igényeknek megfelelően. De természetesen a geometriai elemek pontos koordináták segítségével is megrajzolhatóak. Tulajdonság alapú modellezés. A bázis alak létrehozása után egyszerűen lehet definiálni kivágást, furatot, beszúrást, stb. Párhuzamos alkatrész fejlesztés. Az alkatrészek közös könyvtárakban helyezhetőek el, melyek a megfelelő tervezők által elérhetők, módosíthatók... A program elindítása A program elindítható parancssorból, menüből vagy ikon segítségével. Előfordulhat az is hogy speciális jogok beállítsa is szükséges a szoftver megfelelő használatához. A gördülékeny használathoz elengedhetetlen a minnél jobb grafikai hardver megléte is, mely OpenGL támogatással rendelkezik. A program indítása után egy dialógus ablak a következő információkat igényli:. Projekt neve: mely az adott munkát rendszerezi. Ezt ki is lehet választani a felkínált listából. Vagy behívható egy kiválasztó ablak, az ikon kiválasztásával.. Model file: a munka során létrehozott objektumhoz tartozó adatk itt tárolódnak el. Ezt segíti egy előhívható lista, mely a file megnyitásához, mentéséhez hasonló ablakot jelent, a megfelelő ikon kiválasztásával aktivizálható.. A használni kívánt alkalmazás kiválasztása: alapértelmezésként felkínálja a program az utoljára használtat, illetve a Design csomagot. Ez alatt található az adott alkalmazáson belüli feladat kiválasztására szolgáló legördülő listaablak. Ha az I-DEAS-t parancssorból indítottuk el, akkor lehetőség van megadni opciókat is. 8
.. HASZNÁLATHOZ SZÜKSÉGES ALAPOK 9 -h az indításhoz használható opciók. -d device a grafikus drivert lehet vele megadni induláskor. Ha nem adjuk meg egy listát kínál fel amiből lehet választani. -g a legutóbb végzett munka folytatását teszi lehetővé. -l language a használni kívánt nyelvet lehet megadni. Ha nem adjuk meg a nyelvet akkor az elérhető nyelvek listáját kapjuk... Használathoz szükséges alapok Ablakok Rajzterület itt készül minden... Ikon (A, B, C mátri) érdemes egy kicsit kisebbre venni Lista üzenetek, hibák jelzésére; ha nem használjuk sokszor el lehet rejteni, de hasznos dolog Prompt ide mindig nézni Lényeges Egér A program használatához a három gombos egér használata az ideális, ahogy ezt egy korszerű tervező szoftvertől elvárható. Minden gombnak saját funkciója van. Bal gomb parancskiválasztás, geometriai alakzatok kiválasztása a grafikus ablakban. A Shift gombbal együtt használva csoportos kijelölést tesz lehetővé. (ez pl. törlésnél, méretezésnél hasznos) Középső gomb ez az Enter vagy a Return billenytyűt helyettesíti. A parancs lezárására szolgál. Jobb gomb Popup menüt jelenít meg, ha a rajzterületen használjuk, feladattól függően más és más parancsok aktivizálást gyorsítja. Funkció billentyűkről Számtalan billentyűkombináció előre definiált az I-DEAS-ban, melyek felsorolása túl nagy feladat. Most elsősorban az F - F billenytűkre gondolunk. Ezek szerepe természetesen átdefiniálható (ideas.ini) de alapértelmezésben a következő feladokat gyorsítják F - F5: eltolás, nagyítás, forgatás, kívánt nézet, reset F6: az előző 5 funkcióbillentyű szerepét határozza meg a feladatbank kiválasztással F7: Zoom All (AU Ctrl-A, ZM ablakkal nagyít) F8: Reconsider F9: Deselect All F: F: Filter F: Redisplay (Ctrl-R) Menü: elérése Ctrl-M kombinációval kapcsolható ki/be Kilépés: eit paranccsal, vagy menüből kiválasztva, vagy Ctrl-e kombinációval.
. GYAKORLAT: Ismerkedés az I-DEAS programrendszerrel.. Rajzolást megkönnyítő néhány funkció Dynamic Navigator érintő középpont végpont metszéspont párhuzamos függőleges vízszintes egybeesés Align, Focus, Grid, Snap (Workplace Apperiace) Select menü elemei alaphelyzetben a jobb egérgomb rajzterületen történő lenyomásával aktiválhatjuk ezt a popup menüt: Visible Label Egy-egy konkrét elem kijelölésére szolgál (pl. C curve, E edge, F face, P wireframe points, stb.) Filter... egy dialógus ablak segítségével szükíthetjük a kiválaszható objektumok típusát Area Options... kijelölési terület jellemzőit állíthatjuk itt be, (Auto Shift) Reconsider F8 Deselect All F9 Related To
. gyakorlat Szingularitás vizsgálat I-DEAS használata síkfeladatok megoldására.. csomópontú izoparametrikus elem vizsgálata Példa. Adott az elem az y síkon, állítsa elő a megadott alakfüggvények segítségével az elem leképzését a ξ η koordinátarendszerbe! Döntse el, hogy kölcsönösen egyértelmű-e ez a leképzés? Ha nem mutassa meg, hogy hol nem az! N = ( + ξ) ( + η) N = ( + ξ) ( η) N = ( ξ) ( η) N = ( ξ) ( + η) Megoldás: A koordináták leképzése: = y = i= y.. ábra. csomópontú elem az y és a ξ η KR-ben X N i i = ( + ξ) ( + η) + ş ( + ξ) ( η) + + = ( + ξ) η ť X N i y i = ( + ξ) ( + η) + + ţ ( ξ) ( + η) = ( + η) ξ ű i= A leképzés megfordíthatóság vizsgálatához számítsuk ki a J mátriot. " # " # y ξ ξ η ( + η) J = y = η η ( + ξ) ξ melyből Kérdés, hogy hol teljesül a detj = ξ η + ξη ( + ξ + η + ξη) = ( ξ η) detj = η = ξ összefüggés, mert ott nem kölcsönösen egyértelmű az elem leképzése! η ξ η ξ η = ξ.. ábra. Elfajuló a leképzés a saffozott területen
. GYAKORLAT: Szingularitás vizsgálat I-DEAS használata síkfeladatok megoldására.. I-DEAS használata síkfeladat megoldására Adott a következő C -állvány feladat: y p.5...5.8 b.6.5 F..8 Az állvány anyaga általános acél... ábra. C állvány b =.5 m p = 6 P a F = N Határozzuk meg a fenti ábrán jelzett peremfeltételek mellett a C állvány veszélyes helyét (helyeit), továbbá azon helyeken a maimális feszültségek értékét! A feladat végrehajtásához használandó főbb funkciók, parancsok: Simulation Master Modeller Simulation Meshing Options Units mm[newton] Create FE Model... B(, ) VEM modell definiálás Polylines A(, ) kontúrok rajzolása Physical Property A(5, ) lemezvastagság megadás Delete B(, ) nem kívánt rajzelemek, méretek törlése Materials B(5, ) anyagjellemzők beállítása Dimension A(, ) méretezés Define Shell Mesh A(, ) háló generálás Modify Entity B(, ) méretek megváltoztatása (All) Mentés Ctrl-S Mentés Ctrl-S Simulation Boundary Conditions Surface by Boundary A(5, ) felület definiálás Displacement Restraint A(, ) KPF előírása Sketch in Plane A(, ) rajzfelület kiválasztás Force A(, ) DPF előírása Polylines A(, ) Points A(, ) a kör közép kijelölése Force from Point A(, ) körön megoszló terheléshez Circle Center Edge A(, ) kör rajzolás Simulation Model Solution Trim at Curve A(, ) kivágások a felületről Solution Set A(, ) megoldások tárolására Name Parts... B(, ) alkatrész elnevezés Solve A(, ) megoldás Mentés Ctrl-S Visualizer A(6, )
5. gyakorlat Numerikus integrálás - I-DEAS használata 5.. 8 csomópontú elemek η y 7 (ξ, η) = y (ξ, η) = 8 N i (ξ, η) i i= 8 N i (ξ, η) y i i= 8 5.. ábra. 8 csomópontú izoparametrikus elem 5 6 ξ f = ( ξ) ( η) f 5 = ( ξ ) ( η) f 8 = ( η ) ( ξ) η η η η ξ = ξ ξ ξ N f f 5 f 8 5.. ábra. A 8 csomópontú izoparametrikus elemhez tartozó alakfüggvények előállítása N (ξ, η) = f f 5 f 8 = ( ξ) ( η) ( ξ ) ( η) ( η ) ( ξ) = = ( ξ) ( η) ( ξ η) Alakfüggvények: N (ξ, η) = ( ξ) ( η) ( ξ η ) N (ξ, η) = ( + ξ) ( η) (ξ η ) N (ξ, η) = ( + ξ) ( + η) (ξ + η ) N (ξ, η) = ( ξ) ( + η) ( ξ + η ) N 5 (ξ, η) = f 5 = ( ξ ) ( η) N 6 (ξ, η) = f 6 = ( η ) ( + ξ) N 7 (ξ, η) = f 7 = ( ξ ) ( + ξ) N 8 (ξ, η) = f 8 = ( η ) ( ξ)
5. GYAKORLAT: Numerikus integrálás - I-DEAS használata 5.. Numerikus integrálás Itt a Gauss-kvadratúra alapján végezzük el. F( ξ) NG F (ξ) dξ w i F (ξ i ) i= 5.. ábra. F (ξ) függvény képe ξ ±ξ i NG w i, 577, 77, 555, 888 A numerikus integrálás hasonlóan elvégezhető két, vagy három változóra is gondolva itt a D-s, illetve a D-s izoparametrikus elemekre. Példa 5. Tekintsük a következő függvény, és határozzuk meg analitikusan és numerikusan is a következő integrált: y y = = = 6 5.. ábra. y = Tehát Továbbá ξ függvény képe I = Z d Analitikusan meghatározva a 5. ábrán megadott integrál értéke: I = Numerikusan Z 6 d = (ln 6 ln ) =.869 transzformáljuk a függvény független változóját a ξ koordinátarendszerbe: ahol (ξ) = X N i (ξ) i i= N (ξ) = ( ξ), N (ξ) = ( + ξ) (ξ) = ( ξ) + ( + ξ) = ( ξ) + ( + ξ) 6 = ( + ξ) d = ţ ξ dξ = + 6 ű dξ = dξ Ekkor az I integrálra a pontos Gauss kvadratúrát alkalmazva a következőt kapjuk: I = Z 6 Z d = (ξ) dξ = Z (ξ) dξ X i= w i (ξ) = (ξ ) = ( +.7759) = 5.66885 (ξ ) = ( + ) = 9 =.5 (ξ ) = (.7759) =.85 =. 5. 5.66885 +. 8..5 +. 5..85 =.86
5.. I-DEAS HASZNÁLATA SÍKFELADAT MEGOLDÁSÁRA 5 5.. I-DEAS használata síkfeladat megoldására Adott a következő fogasszerű síkfeladat. F 5 6 R R b F Az alkatrész anyaga általános acél. 5.5. ábra. b = mm F = N F = 5 N Határozzuk meg a fenti ábrán jelzett peremfeltételek mellett a fogas veszélyes helyét (helyeit), továbbá azon helyeken a maimális feszültségek értékét! A feladat végrehajtásához használandó főbb funkciók, parancsok: Simulation Master Modeller Simulation Meshing Options Units mm[newton] Create FE Model... B(, ) VEM modell definiálás Workplane Appearance B(, ) Grid, Snap Physical Property A(5, ) lemezvastagság megadás Lines A(, ) kontúrok rajzolása Materials B(5, ) anyagjellemzők beállítása Dimension A(, ) méretezés Define Shell Mesh A(, ) háló generálás Modify Entity B(, ) méretek megváltoztatása Mentés Ctrl-S Mentés Ctrl-S Simulation Boundary Conditions Circle Center Edge A(, ) kör rajzolás Displacement Restraint A(, ) KPF előírása Lines A(, ) Points A(, ) a kör közép Force A(, ) DPF előírása Surface by Boundary A(5, ) felület definiálás Force from Point A(, ) körön megoszló terheléshez Trim / Etend A(, ) rajzelemek módosítása Simulation Model Solution Name Parts... B(, ) alkatrész elnevezés Solution Set A(, ) megoldások tárolására Mentés Ctrl-S Solve A(, ) megoldás Visualizer A(6, )
6. gyakorlat I-DEAS használata rugalmasságtani térbeli feladatra Adott a következő C -állvány feladat: 5 5 5 7 5 5 5 5 5 9 6.. ábra. C állvány Az állvány anyaga bronz, a következő anyagjellemzőkkel: Modulus of Elasticity: E = GP a Poissons ratio: ν =.7 Mass Density: ρ = 87 kg m A C állvány az alsó furatok segítségével van rögzítve. A felfelé mutató terhelés pedig a felső furatban működik, melynek nagysága F = kn Határozzuk meg a fenti ábrán jelzett peremfeltételek mellett a C állvány veszélyes helyét (helyeit), továbbá azon helyeken a maimális feszültségek értékét! 6
7 A feladat végrehajtásához használandó főbb funkciók, parancsok: Simulation Master Modeller Simulation Meshing Options Units mm[newton] Create FE Model... B(, ) VEM modell definiálás Polylines A(, ) kontúrok rajzolása Materials B(5, ) anyagjellemzők beállítása Delete B(, ) nem kívánt rajzelemek törlése Solid Mesh A(, ) háló generálás Dimension A(, ) méretezés Mentés Ctrl-S Modify Entity B(, ) méretek megváltoztatása Mentés Ctrl-S Simulation Boundary Conditions Etrude A(5, ) térbeli obj. definiálása Displacement Restraint A(, ) KPF előírása Sketch in Place A(, ) rajzfelület kiválasztás Force A(, ) DPF előírása Polylines A(, ) vonal rajzolása Mentés Ctrl-S Circle Center Edge A(, ) kör (Options) Simulation Model Solution Etrude A(, ) kivágások a testből (Cut) Solution Set A(, ) megoldások tárolására Name Parts... B(, ) alkatrész elnevezés Solve A(, ) megoldás Mentés Ctrl-S New Visualizer A(6, )